Análisis de Fourier. Análisis de Fourier. F. Javier Cara ETSII-UPM. Curso

Transcripción

1 F. Javier Cara ETSII-UPM Curso

2 Contenido periódicas. Serie de Fourier. periódicas. Serie de Fourier compleja Espectro no periódicas. Serie de Fourier. no periódicas. Transformada de Fourier. Catalogo de transformadas de Fourier Delta de Dirac Convolución y su transformada de Fourier Correlación y su transformada de Fourier Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta. Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto. Muestreo de señales Transformada de Fourier discreta (DFT)

3 . periódicas. Serie de Fourier. Serie de Fourier compleja. no periódicas. Serie de Fourier. Transformada de Fourier. Señales discretas. Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta. Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). Transformada de Fourier discreta (DFT). 3

4 Jean-Baptiste Joseph Fourier (1 de marzo de 1768, Auxerre - 16 de mayo de 183, París) 4

5 periódicas. Serie de Fourier. A= 15, f = Hz, T =.5 s A= 15, f = Hz, T =.5 s y=asin(ωt) 1 1 y=acos(ωt) A= 5, f = Hz, T =.5 s A= 5, f = Hz, T =.5 s y=asin(ωt) 1 1 y=acos(ωt) A= 5, f = 4 Hz, T =.5 s A= 5, f = 4 Hz, T =.5 s y=asin(ωt) 1 1 y=acos(ωt) Ondas: y = Asin(ωt), y = Acos(ωt) A: amplitud de la onda. ω = π T = πf : frecuencia angular, [rad/s]. T: periodo = tiempo entre dos repeticiones, [s]. f = 1 T : frecuencia lineal = num. de repeticiones por segundo, [Hz]. 5

6 periódicas. Serie de Fourier. x 4 =a 4 cos(ω 4 t) x 3 =a 3 cos(ω 3 t) x =a cos(ω t) x 1 =a 1 cos(ω 1 t) a 1 = 1, f 1 = Hz, T 1 =.5 s a = 8, f = 4 Hz, T =.5 s a 3 = 4, f 3 = 6 Hz, T 3 = s a 4 = 6, f 4 = 8 Hz, T 4 =.15 s y 4 =b 4 sin(ω 4 t) y 3 =b 3 sin(ω 3 t) y =b sin(ω t) y 1 =b 1 sin(ω 1 t) b 1 = 1, f 1 = Hz, T 1 =.5 s b = 8, f = 4 Hz, T =.5 s b 3 = 4, f 3 = 6 Hz, T 3 = s b 4 = 6, f 4 = 8 Hz, T 4 =.15 s x total = x 1 + x + x 3 + x 4 y total = y 1 + y + y 3 + y 4 x total y total

7 periódicas. Serie de Fourier. Al sumar ondas coseno, x(t) = K a k cos(ω k t): k=1 Si ωk = n ω 1, n N x(t) es una onda periódica: El periodo de x(t) es T1. K x() = x(t) = a k. k=1 Al sumar ondas seno, y(t) = K b k sin(ω k t): k=1 Si ωk = n ω 1, n N y(t) es una onda periódica: El periodo de y(t) es T1. y() = y(t) =. En conclusión, f(t) = K (a k cos(ω k t)+b k sin(ω k t)) es periódica: k=1 Si ωk = n ω 1, n N f(t) es una onda periódica: El periodo de f(t) es T1. K f() = f(t) = a k. k=1 7

8 periódicas. Serie de Fourier. El recíproco de la propiedad anterior también es cierto: Teorema Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer en una suma de senos y cosenos: f(t) = n=1 ( a n cos πn T t + b nsin πn ) T t Una función f(t) es periódica de periodo T si cumple que f(t) = f(t + T). Para n = 1 las ondas tienen la misma frecuencia que la función f(t): ω 1 = π T Esta frecuencia es conocida como frecuencia fundamental. El resto de ondas tienen frecuencias múltiplo de la fundamental (como habíamos visto en en el apartado anterior): ω n = πn T = n ω 1 8

9 periódicas. Serie de Fourier. Por ejemplo, veamos la función periódica (T = ): 1 1 < t < f(t) = + 1 < t < 1 f(t) = f(t + ) resto La frecuencia fundamental es ω 1 = π/t = π. La serie de Fourier de f(t) es: f(t) = π sinπt + 3π sin3πt + 5π sin5πt + 7π sin7πt + 9π sin9πt En la figura siguiente se representa la función f(t) y los tres primeros términos de la serie de Fourier. Se observa como con tan sólo tres términos, la aproximación conseguida es notable. 9

10 1 periódicas. Serie de Fourier. 1 f(t), f (t) = π sin π t f(t), f 1 (t) = /3π sin 3π t 1 f(t), f (t) + f 1 (t) f(t), f (t) = /5π sin 5π t 1 f(t), f (t) + f 1 (t) + f (t)

11 11 periódicas. Serie de Fourier. Como a n cos πn T t y b nsin πn T t oscilan en torno al cero, la suma de ellos también lo harán. Para tener en cuenta funciones periódicas que oscilan en torno a c: Teorema Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer en una suma de senos y cosenos: f(t) = c + n=1 ( a n cos πn T t + b nsin πn ) T t Por ejemplo, la función g(t) es periódica (T = ) pero con valores que oscilan en torno a 1. 1 < t < g(t) = 1 < t < 1 g(t) = g(t + ) resto

12 periódicas. Serie de Fourier. f(t), f (t) = 1/ f(t), f 1 (t) = π sin π t f(t), f (t) + f 1 (t) f(t), f 3 (t) = /5π sin 5π t 1 f(t), f (t) = /3π sin 3π t f(t), f (t) + f 1 (t) + f (t) f(t), f (t) + f 1 (t) + f (t) + f 3 (t) La serie de Fourier de g(t) es: f(t) = 1 + π sinπt + 3π sin3πt + 5π sin5πt + 1

13 periódicas. Serie de Fourier. Obviamente, la pregunta es: cómo se calculan a n, b n y c? Primero, hay recordar que las funciones seno y coseno cumplen: Son simetricas respecto a y = : Son ortogonales: + T + T T + T T T ( πm cos T t ( πm sin T t + T T + T T ( πn cos T t ( πn sin T t ( πm cos T t ) cos ) sin ( πn T t ( πn T t ) dt = ) dt = ) ( ) πn sin T t dt = ) dt = ) dt = { T/ si m = n si m n { T/ si m = n si m n 13

14 14 periódicas. Serie de Fourier. Cálculo de los coeficientes a n y b n. Término c. + T T f(t) = c + f(t)dt = n=1 + T T ( ( ) ( )) πn πn a n cos T t + b n sin T t ( c + n=1 ( ( ) ( )) ) πn πn a n cos T t + b n sin T t dt + T T f(t)dt = ct c = 1 T + T T f(t)dt

15 15 periódicas. Serie de Fourier. Término a 1. + T T + T = T + T T ( π f(t)cos T t ( Término a n. c + n=1 ) dt = ( ( ) ( )) ) ( ) πn πn π a n cos T t + b n sin T t cos T t dt ( ) π f(t)cos T t T dt = a 1 a 1 = + T ( ) π f(t)cos T T T t dt a n = T + T T ( ) πn f(t)cos T t dt

16 16 periódicas. Serie de Fourier. Término b 1. + T T + T = T + T T ( π f(t)sin T t ( Término b n. c + n=1 ) dt = ( ( ) ( )) ) ( ) πn πn π a n cos T t + b n sin T t sin T t dt ( ) π f(t)sin T t T dt = b 1 b 1 = + T ( ) π f(t)sin T T T t dt b n = T + T T ( ) πn f(t)sin T t dt

17 periódicas. Serie de Fourier. Teorema de la serie de Fourier Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer como: f(t) = a + ( ( ) ( )) πn πn a n cos T t + b n sin T t n=1 a n = T b n = T + T T + T T ( ) πn f(t)cos T t dt, n =, 1,,... ( πn f(t)sin T t ) dt, n = 1,,... Nota: Los términos a n y b n se calculan integrando en un periodo. En las fórmulas anteriores se ha integrado entre T/ y T/ pero también se podría hacer entre y T. Los a n y b n obtenidos dependen de los límites de integración elegidos, aunque (a n + b n ) es constante. 17

18 18 periódicas. Serie de Fourier compleja. periódicas. Serie de Fourier. Serie de Fourier compleja. no periódicas. Serie de Fourier. Transformada de Fourier. Señales discretas. Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta. Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). Transformada de Fourier discreta (DFT).

19 periódicas. Serie de Fourier compleja Serie de Fourier compleja { ( e ix cos(nω1 t) = = cosx + isinx 1 e inω ( 1t + e inω1t) sin(nω 1 t) = 1 i e inω 1t e inω1t) f(t) = a + n=1 a n ( e inω 1t + e inω1t) + b n ( e inω 1t e inω1t) i = a + 1 (a n ib n )e inω1t + 1 (a n + ib n )e inω1t n=1 = a + C n e inω1t + D n e inω1t n=1 C n = 1 (a n ib n ) = T D n = 1 (a n + ib n ) = T + T T + T T f(t)e inω1t dt f(t)e inω1t dt 19

20 periódicas. Serie de Fourier compleja ya que a n = T b n = T + T T + T T f(t)cosnω 1 tdt = T f(t)sinnω 1 tdt = T + T T + T T f(t) 1 f(t) 1 i ( e inω 1t + e inω1t) dt ( e inω 1t e inω1t) dt Teniendo en cuenta ésto f(t) = a + ( Cn e inω1t + D n e inω1t) = = = n=1 C n e inω1t + n= n= C n e inω1t n= 1 D ( n) e inω1t = C n e inω1t + D n e inω1t n= C n e inω1t + n= n=1 n= 1 C n e inω1t

21 periódicas. Serie de Fourier compleja Teorema de la serie de Fourier en notación compleja Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer como: f(t) = n= C n e iπnt/t C n = 1 T + T T f(t)e iπnt/t dt, C n C Las ventajas de utilizar la serie es Fourier en complejos son: Notación más compacta, más elegante. Es más facil operar con exponenciales que con senos y cosenos: multiplicar, derivar,... Pero es igual trabajar con senos-cosenos que con exp. complejas!!! * Los pares (t, f(t)) representan la función f en el dominio del tiempo. * Los pares ( (ω n, C n ) : n Z,ω n = π T n = nω 1) representan la función f en el dominio de la frecuencia. 1

22 periódicas. Serie de Fourier compleja Ejemplo Desarrollar en series de Fourier f(t) = t, < t < π, con periodo π. a n = T a = T T T f(t)dt = 1 π π f(t)cos πnt T dt = 1 π t dt = 8π 3 π t cosntdt Integrando por partes a n = 1 ( t sinnt + t cosnt π n n sinnt ) π n 3 = 4 n b n = T = 1 π T π f(t)sin πnt T dt = 1 t sinntdt π ( t cosnt + t sinnt n n + cosnt ) π n 3 = 4π n

23 3 periódicas. Serie de Fourier compleja C n = 1 (a n ib n ) = 1 ( 4 n + i 4π ) = +iπn n n Por tanto C = 1 a = 4π 3 f(t) = t 4π 3 + ( 4 n cosnt 4π ) n sinnt n=1 f(t) = t 4π 3 + n= n +iπn n e int Frecuencia fundamental: ω 1 = π/t = 1 rad/s. Frecuencias de Fourier: nω 1 = 1,, 3, 4,... rad/s

24 periódicas. Serie de Fourier compleja f(t)=t, f (t) = 4π / f(t), f 1 (t) = 4 cos t 4π sin t f(t), f (t) = cos t π sin t f(t), f 3 (t) = 4/9cos 3t 4π/3 sin 3t f(t), f 4 (t) = 1/4cos 4t π sin 4t f(t), f (t) + f 1 (t) f(t), f (t) + f 1 (t) + f (t) f(t), f (t) + f 1 (t) + f (t) + f 3 (t) f(t), f (t) + f 1 (t) + f (t) + f 3 (t) + f 4 (t)

25 Espectro Espectro Un espectro es la representación de una señal en el dominio de la frecuencia. Cuando tenemos senos-cosenos, el espectro consiste en representar a n y b n frente a ω n. Es preferible representar d n = an + bn frente a ω n, ya que a n y b n dependen de como se haya elegido T. En complejos, se puede representar la parte real y la parte imaginaria de C n, o el módulo (espectro de módulo) y la fase (espectro de fase). El espectro de módulo, C n, es simétrico respecto al eje x =. C n = 1 (a n ib n ) C n = D n = 1 (a n + ib n ) d n se reparte entre C n y C n en partes iguales: } C n = Cn C n = C n C n = 1 (a n +b n ), n =, 1,,... C n = 1 (a n +b n ), n = 1,, 3,... C n + C n = C n = dn, n = 1,, 3,... C = d 5

26 Espectro Ejemplo Espectro de f(t) = t a n b n (a n + bn ) 1/ REAL(c n ) IMAG(c n ) MOD(c n ) *MOD(c n ), n> ω n 5 5 ω n 5 5 ω n 5 5 ω n 6

27 Espectro Teorema de Parseval Teorema Sea f(t) una función periódica, y sean a n y b n los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier. Entonces se cumple que: 1 + T (f(t)) dt = a + 1 T T ( a n + bn) n=1 Teorema Sea f(t) una función periódica, y sean C n los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier complejo. Entonces se cumple que: 1 + T (f(t)) dt = T T n= Luego el espectro está relacionado con el valor cuadrático medio de la señal en un periodo. 7 C n

28 8 no periódicas. Serie de Fourier.. periódicas. Serie de Fourier. Serie de Fourier compleja. no periódicas. Serie de Fourier Transformada de Fourier. Señales discretas. Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta. Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). Transformada de Fourier discreta (DFT).

29 9 no periódicas. Serie de Fourier. En el caso de que tengamos una señal no periódica, se puede aplicar el análisis de Fourier de dos maneras: 1. Creando una señal periódica a partir de la señal no periódica.. Transformada de Fourier. Figura: Señal no periódica.

30 no periódicas. Serie de Fourier. 1. Creando señal periódica. Si tenemos una señal, f(t), definida entre t a y t b podemos crear una señal periódica a partir de ella, g(t), simplemente repitiendo f(t). El periodo de la nueva señal es T = t b t a. La nueva señal periódica, g(t), puede analizarse utilizando la serie de Fourier. Los resultados obtenidos son válidos en el intervalo [t b t a ]. 3

31 31 no periódicas. Transformada de Fourier.. Transformada de Fourier h(t) = { f(t) t [ta, t b ] resto La otra opción consiste en definir una función periódica pero cuyo periodo es infinito, h(t). Aparece así el concepto de Transformada de Fourier.

32 3 no periódicas. Transformada de Fourier. Sabemos que h(t) = C n = 1 T Sustituyendo una en la otra ( h(t) = n= 1 T n= + T T + T T C n e iπnt/t h(t)e iπnt/t dt h(t)e iπnt/t dt ) e iπnt/t Por otro lado ω n = π T n, por lo que la distancia entre ω n y ω n+1 es ω = π/t. Sustituyendo ( ) ω + T h(t) = h(t)e in ωt dt e in ωt π T n=

33 33 no periódicas. Transformada de Fourier. Conforme T, ω dω (se hace infinitésimo), n ω = ω n ω (la variable discreta se hace continua), y la suma se convierte en una integral ( ) ω + T h(t) = lim h(t)e in ωt dt e in ωt T π T h(t) = n= ( 1 ) h(t)e iωt dt e iωt dω π Teorema La Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier se definen mediante: H(ω) = 1 π h(t) = h(t)e iωt dt H(ω)e iωt dω

34 34 no periódicas. Transformada de Fourier. 1 El factor π nosotros lo hemos asignado a H(ω), pero también lo podíamos haber asignado a h(t). De hecho, no existe una solución consensuada para este problema, y nos podemos encontrar las siguientes definiciones para la transformada de Fourier: H(ω) = 1 π h(t) = h(t)e iωt dt H(ω)e iωt dω H(ω) = 1 π h(t) = 1 π h(t)e iωt dt H(ω)e iωt dω H(ω) = h(t) = 1 π h(t)e iωt dt H(ω)e iωt dω H(f) = h(t) = h(t)e iπft dt H(f)e iπft dω

35 35 no periódicas. Transformada de Fourier. Hay dos condiciones generales que tiene que cumplir la función h(t) para tener transformada de Fourier: La función ha de ser absolútamente integrable, esto es, + T T h(t) dt <. Cualquier discontinuidad de h(t) tiene que ser finita. Aplicando la fórmula de Euler, la transformada de Fourier a veces se escribe H(ω) = 1 π 1 h(t)cos(ωt)dt i π h(t) sin(ωt)dt Por tanto, H(ω) = H ( ω) y el espectro, H(ω), es simétrico respecto al eje Y. Teorema Teorema de Parseval. Sea h(t) una función periódica, y sea H(ω) su Transformada de Fourier. Entonces se cumple que: (h(t)) dt = π H(ω) dω = H(f) df

36 no periódicas. Transformada de Fourier. Construir una función periódica vs Transformada de Fourier. El espectro H(ω) es continuo, en contraposición al de C n que es discreto. Esto quiere decir que hay que utilizar todas las frecuencias que hay entre ω y ω para obtener exáctamente la función f(t) como suma de senos y cosenos. Sin embargo, si sólo empleo determinadas frecuencias, las ω n, la suma de senos y cosenos me da una función periódica: que coincide con f(t) entre t a y t b, pero que se repite fuera de ese intervalo. 36

37 37 Catalogo de transformadas de Fourier Catalogo de transformadas de Fourier

38 38 Catalogo de transformadas de Fourier

39 39 Catalogo de transformadas de Fourier

40 4 Catalogo de transformadas de Fourier

41 41 Delta de Dirac Delta de Dirac o función impulso La Delta de Dirac es la siguiente función: δ(t) = lim t ρ( t) δ(t) no es una función como las que trabajamos en análisis: se encuadran dentro de las funciones generalizadas o distribuciones. Cumplen que: si t δ(t)dt = 1 δ(t) = h(t)δ(t)dt = h()

42 4 Delta de Dirac Cuando está aplicada en t = t : δ(t) = lim t ρ(t, t) Las ecuaciones son ahora: si t t δ(t t )dt = 1 δ(t t ) = h(t)δ(t t )dt = h(t )

43 43 Delta de Dirac Gráficamente, δ(t) se representa como una flecha con altura unidad, y los impulsos en general se representan como flechas con altura igual a su integral.

44 44 Delta de Dirac Producto de la función impulso y una función ordinaria h(t) Se define como δ(t t )h(t) = h(t )δ(t t ) En efecto, integrando Para el primer miembro y el segundo miembro δ(t t )h(t) = h(t )δ(t t ) δ(t t )h(t) = h(t ) h(t )δ(t t ) = h(t ) δ(t t ) = h(t )

45 45 Delta de Dirac Producto de una función con un tren de impulsos función: h(t); tren de impulsos: h(t) n= δ(t n t) = n= δ(t n t); n= h(t)δ(t n t) El resultado es otro tren de impulsos con altura de cada impulso h(n t), ya que Por tanto n= h(t)δ(t n t) = h(n t)δ(t n t) h(t)δ(t n t) = n= h(n t)δ(t n t)

46 Convolución y su transformada de Fourier Convolución y su transformada de Fourier Integral de convolución (convolución entre x(t) y h(t)) y(t) = x(τ)h(t τ)dτ Tamb. se indica como y(t) = x(t) h(t). Proceso de convolución: 1. Folding. Se construye h( τ).. Displacement. Se desplaza h( τ) una cantidad igual a t h(t τ). 3. Multiplication. Se multiplican x(τ) y h(t τ). 4. Integration. El área bajo x(τ) h(t τ) es el valor de la convolución en el instante t. 46

47 47 Convolución y su transformada de Fourier Ejemplo: convolución de dos señales rectangulares.

48 48 Convolución y su transformada de Fourier Ejemplo: convolución con impulsos.

49 49 Convolución y su transformada de Fourier Forma alternativa de la integral de convolución Convolución entre x(t) y h(t): Integral de convolución y(t) = Forma alternativa y(t) = x(τ)h(t τ)dτ h(τ)x(t τ)dτ En la figura de la izquierda se hace la convolución entre la función rectangular y e at utilizando las dos integrales anteriores. El resultado es el mismo.

50 5 Convolución y su transformada de Fourier Teorema (Teorema de convolución en el tiempo) La Transformada de Fourier de la convolución de dos funciones en el dominio del tiempo es igual al producto de las Transformadas de Fourier de las funciones en el dominio de la frecuencia. y(t) = x(τ)h(t τ)dτ TF { Y(f) = H(f)X(f) Y(ω) = πh(ω)x(ω) Teorema (Teorema de convolución en frecuencia) La Transformada de Fourier del producto de dos funciones en el dominio del tiempo es igual a la convolución de las Transformadas de Fourier de las funciones en el dominio de la frecuencia. y(t) = x(t)h(t) TF { Y(f) = H(f) X(f) Y(ω) = 1 π H(ω) X(ω)

51 51 Convolución y su transformada de Fourier Ejemplos del teorema de convolución en el tiempo

52 5 Convolución y su transformada de Fourier Ejemplos del teorema de convolución en frecuencia

53 53 Correlación y su transformada de Fourier Correlación y su transformada de Fourier Integral de correlación y(t) = Proceso de correlación: x(τ)h(t +τ)dτ 1. Displacement. Se desplaza h(τ) una cantidad igual a t h(t +τ).. Multiplication. Se multiplican x(τ) y h(t +τ). 3. Integration. El área bajo x(τ) h(t +τ) es el valor de la convolución en el instante t.

54 54 Correlación y su transformada de Fourier Teorema La Transformada de Fourier de la correlación de dos funciones es igual al producto de la conjugada de la Transformada de Fourier de la primera función y la Transformada de Fourier de la segunda función. y(t) = x(τ)h(t +τ)dτ TF { Y(f) = H(f)X (f) Y(ω) = πh(ω)x (ω) Cuando x(t) = h(t), la correlación se conoce como autocorrelación de h(t). Entonces se tiene y(t) = h(τ)h(t+τ)dτ TF { Y(f) = H(f)H (f) = H(f) Y(ω) = πh(ω)x (ω) = π H(ω)

55 55 Correlación y su transformada de Fourier Comparación entre convolución y correlación

56 56 Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.. periódicas. Serie de Fourier. Serie de Fourier compleja. no periódicas. Serie de Fourier. Transformada de Fourier. Señales discretas. Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta. Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). Transformada de Fourier discreta (DFT).

57 Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. Sea una señal periódica, f(t), de periodo T. Tomamos N valores discretos de f(t) en cada periodo, separados t. Se cumple entonces que: T = N t 4 3 Discretizacion de f(t)=t. N=8 f(t) = t t (s) Valores discretos 4 3 f(t k ) = t k t (s) 57

58 58 Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. No conocemos la función de partida, sólo los puntos discretos. Podemos construir una suma de senos y cosenos que pase por los puntos discretos. Las ecuaciones en el caso continuo eran: f(t) = n= C n e iπnt/t C n = 1 T + T f(t)e iπnt/t dt T El valor de la señal en cada t k = k t será: f(t k ) = f(k t) = C n e iπn(k t)/(n t) = C n e iπnk/n n= n=

59 Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. C n para valores discretos se calcula teniendo en cuenta: C n = 1 T + T T f(t)e iπnt/t dt = 1 T T f(t)e iπnt/t dt Como en un periodo sólo hay datos en N instantes t k, se pueden calcular N valores de C n. C n = 1 N 1 N t n= f(k t)e iπnk t/(n t) t = 1 N N 1 n= f(k t)e iπnk/n Figura: Aproximación de una integral por una suma. 59

60 6 Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. Teorema Cualquier función periódica discreta de periodo T = N t se puede descomponer como: f(k t) = C n = 1 N N 1 k= N 1 n= C n e iπnk/n f(k t)e iπnk/n Las frecuencias de cada C n son: ω n = πn T = πn N t. Es facil comprobar que C n = C n, por lo que C n = C n y el espectro (ω n, C n ) es simétrico respecto al eje x =.

61 61 Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. Propiedades n = C = 1 N 1 f(k t) Media de los valores discretos de f, f(k t). N k= Como f(k t) son valores reales, C es un número real. n = N C N C N = 1 N N 1 k= f(k t)e iπ(n/)k/n = 1 N también es un número real. N 1 k= f(k t) cos(πk)

62 6 Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. n = N + m C N +m = 1 N = 1 N N 1 f(k t)e iπ(n/+m)k/n k= N 1 f(k t)e iπmk/n e ikπ = C N m k= Luego los elementos simétricos respecto a N/ son complejos conjugados.

63 Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. * Esto quiere decir que la mitad de la información es redundante, ya que conociendo los términos desde n = 1 hasta n = N 1 puedes conocer los términos desde n = N + 1 hasta n = N 1. * La frecuencia más alta que se puede evaluar es ω max k = ω N = π(n/)/(n t) = π t que se conoce como la frecuencia de Nyquist. ω Nyquist = π t rad/s, f Nyquist = 1 t Hz. * Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ω Nyquist entonces la serie de Fourier no la puede evaluar. * Lo anterior es válido si N es par. Si N es impar, la mayor frequencia que se puede conocer es la correspondiente a n = N 1. A partir de ahí la información es redundante. * Por tanto, como la frecuencia de Nyquist se ha definido como ω N, no es posible evaluar esta frecuencia con N impar (la máxima frecuencia que se puede evaluar es ω N 1). * Se volverá a incidir sobre ésto al estudiar la DFT. 63

64 64 Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.. periódicas. Serie de Fourier. Serie de Fourier compleja. no periódicas. Serie de Fourier. Transformada de Fourier. Señales discretas. Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta. Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). Transformada de Fourier discreta (DFT).

65 65 Señales discretas Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta. En el caso de que tengamos valores discretos de una señal no periódica, se puede aplicar el análisis de Fourier de dos maneras: 1. Creando una señal discreta periódica a partir de la señal no periódica.. Transformada de Fourier en tiempo discreto. 3. Transformada de Fourier discreta. Figura: Señal discreta no periódica.

66 Señales discretas Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta. 1. Creando señal discreta periódica. Si tenemos una señal discreta, f(t k ), definida entre t a y t b podemos crear una señal periódica a partir de ella, g(t k ), simplemente repitiendo f(t k ). El periodo de g(t k ) es T = t b t a = N t. g(t k ) puede analizarse utilizando la serie de Fourier discreta. Los resultados obtenidos son válidos en el intervalo [t b t a ]. 66

67 Señales discretas Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta. Por tanto, las ecuaciones serían f(k t) = C n = 1 N N 1 k= N 1 n= C n e iπnk/n f(k t)e iπnk/n 67

68 68 Señales discretas Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto.. Transformada de Fourier en tiempo discreto h(t k ) = { f(tk ) t k [t a, t b ] resto La otra opción consiste en definir una función discreta periódica pero cuyo periodo es infinito, h(t k ). Esto se hace discretizando la Transformada de Fourier Continua.

69 69 Señales discretas Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto. Las ecuaciones de la transformada de Fourier en tiempo continuo son H(ω) = 1 π h(t) = h(t)e iωt dt H(ω)e iωt dω Conocemos N valores [t k, f(t k )], t k = k t, k =, 1,..., N 1 H(ω) = 1 h(k t)e iωk t dt = 1 N 1 h(k t)e iωk t t π π = t N 1 h(k t)e iωk t π k= Esta función es periódica con periodo π t k= ya que e iωk t π iω(k+ = e t ) t, k

70 Señales discretas Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto. h(k t) = H(ω)e iωk t dω H(ω)e iωk t es periódica con periodo π t por lo que la integral anterior toma un valor infinito. Por ello se integra en un periodo h(k t) = H(ω)e iωk t dω π t Por otro lado, el factor t π que acompaña a H(ω) en la ecuación anterior se suele poner a h(k t), ya que el resultado final es el mismo. Teorema La Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier en tiempo discreto (Discrete Time Fourier Transform, DTFT) se definen: N 1 H(ω) = h(k t)e iωk t k= h(k t) = t π π t H(ω)e iωk t dω 7

71 71 Señales discretas Muestreo de señales Muestreo de señales Las señales en tiempo discreto pueden aparecer de muchas formas, pero lo más común es que aparezcan como consecuencia del muestreo de señales en tiempo continuo. A partir de una señal continua x c (t) se obtiene una secuencia de muestras x k mediante la relación x k = x c (k t) donde t = t k t k 1 es el periodo de muestreo y f s = 1 t es la frecuencia de muestreo, en numero de muestras por segundo. Figura: Señal muestreada

72 Señales discretas Muestreo de señales Teorema Sea función continua x c (t), el valor muestreado de x c (t) en t = t k es el producto x k = x(t k ) = x(t)δ(t t k ) dónde δ(t) es la función impulso. Cuando queremos muestrear en varios puntos multiplicamos por un tren de impulsos. (a) Señal continua. (b)-(c) Señal muestreada. La información contenida en (b) y (c) es la misma ya que x(t)δ(t k t) = x(k t) = x k Figura: Señal muestreada 7

73 Señales discretas Muestreo de señales La diferencia fundamental entre x s (t) (Figura b) y x k (Figura c) es que x s (t) es una señal en tiempo continuo (concretamente un tren de impulsos) que es cero excepto en múltiplos enteros de t. Por el contrario, la secuencia x k está indexada con la variable entera k, lo que introduce una normalización en el tiempo. Es decir, la secuencia de números x k no contiene información explícita sobre la frecuencia de muestreo. Por este motivo las ecuaciones de la DTFT se expresan también como H(ω) = N 1 k= h k = 1 π h k e iωk π H(ω)e iωk dω Es decir, se toma t = 1, no hay referencia al periodo de muestreo. Esto hace que las ecuaciones sean más generales, se pueden aplicar a cualquier secuencia de valores discretos, no solamente a secuencias obtenidas con muestreo. 73

74 74 Señales discretas Muestreo de señales Representación del muestreo en el dominio de la frecuencia (a) Señal que queremos muestrear, h(t) (muestreamos cada T seg). (b) Tren de impulsos (t). (e) Muestreo de h(t)= producto de h(t) y el tren de impulsos (t). (c) Transformada de Fourier de h(t), H(f). (d) Transformada de Fourier del tren de impulsos (t), (f). (f) Convolución de H(f) y (f): la T. F. del producto es la convolución. La señal (f) es la transformada de Fourier de la señal muestreada (e).

75 75 Señales discretas Muestreo de señales Aliasing Se repite el mismo proceso que en la figura anterior, pero ahora la frecuencia de muestreo, 1/T, es menor que f c, y por tanto aparece solapamientos en la transformada de Fourier de la señal muestreada. La señal obtenida en (e) está distorsionada debido a los solapamientos, y no es posible recuperar la señal original h(t) a partir de sus muestras h(t) (t). A este fenómeno se conoce como ALIASING.

76 Señales discretas Muestreo de señales El aliasing siempre aparece al muestrear una señal continua. Si se cumple que H(f) = para f f c, podemos evitar el aliasing tomando 1 T f c Si la señal en frecuencias no se hace nula a partir de un valor, sólo podemos hacer que el error de aliasing sea pequeño disminuyendo T. En la figura de la izquierda, la señal h(t) está muestreada con frecuencia de muestreo f s = 1 T = f c A esa frecuencia se le conoce como frecuencia de Nyquist. 76

77 Señales discretas Muestreo de señales Aliasing en el dominio del tiempo Sea y 1 = cos(πft). Tomamos valores discretos cada t. Si 1 t = fs < f, entonces por los valores discretos pasan y 1 = cos(πft) y también y = cos(π f f s t). Este es el fenómeno del aliasing en el dominio del tiempo. Para evitar el aliasing, fs = 1 t f max, es decir, la frecuencia de Nyquist tiene que ser mayor o igual que la máxima frecuencia que hay en nuestros datos. f s es la frecuencia de muestreo (numero de datos por segundo). (a) f = 6 Hz; f s = 4 Hz; f nq = Hz (b) f = 6 Hz; f s = 1 Hz; f nq = 6 Hz (c) f = 6 Hz; f s = 8 Hz; f nq = 4 Hz 1 a f s/ > 6: por los datos sólo pasa y 1 = cos(π6t). b f s/ = 6: caso límite (f nq = f ); por los datos sólo pasa y 1 = cos(π6t) c f s/ < 6: por los datos pasan y 1 = cos(π6t) e y = cos(πt)

78 78 Señales discretas Muestreo de señales Teorema de muestreo Hay un numero infinito de señales que pueden generar un conjunto dado de nuestras. El teorema del muestreo nos indica qué condicione se tienen que dar para que unos valores muestreados especifiquen unívocamente a la señal y la podamos reconstruir perfectamente.

79 79 Señales discretas Muestreo de señales Teorema (Teorema del muestreo de Nyquist) Sea x(t) una señal continua que cumple que X(f) = para f f m ; x(t) está determinada unívocamente mediante sus muestras x k = x(k t), k =,±1,±,... si f s = 1 t f m [Hz] f s es la frecuencia de muestreo y f m es la frecuencia a partir de la cual X(f) se anula. Se define la frecuencia de Nyquist como la mitad de la de muestreo, y por tanto la condición anterior también se expresa como f nq = f s = 1 t f m [Hz]

80 Señales discretas Muestreo de señales Interpretación gráfica del Teorema de muestreo Si se cumplen las condiciones del teorema, la señal recuperada x r (t) coincide con la señal de partida x(t). 8

81 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) 3. Transformada de Fourier discreta (DFT) Por último tenemos que obtener una expresión de la Transformada de Fourier que sea discreta en el tiempo y en frecuencia para que la podamos implementar con el ordenador. Para ello partimos de la Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) N 1 H(ω) = h(k t)e iωk t k= h(k t) = t π π t H(ω)e iωk t dω Tomando valores discretos de la frecuencia ω n = πn T = πn, n =, 1,..., N 1 N t ω = ω n ω n 1 = π T = π N t 81

82 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) N 1 H(ω n ) = h(k t)e iωnk t = h(k t) = t N 1 π = 1 N n= k= N 1 k= H(ω n )e iωnk t ω = t N 1 π N 1 H(ω n )e i πnk N n= n= πnk i h(k t)e N H(ω n )e i πnk t N t π N t = Teorema La Transformada de Fourier discreta y la Transformada Inversa de Fourier discreta (Discrete Fourier Transform, DFT) se definen mediante: H(n ω) = N 1 k= h(k t) = 1 N πnk i h(k t)e N N 1 H(n ω)e i πnk N n= 8

83 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Interpretación gráfica de la DFT (a) Función en el tiempo h(t) y su transformada de Fourier, H(f). (b) Tren de impulsos (t) y su transformada de Fourier (f). (c) Muestreo de h(t), h(t) (t), y su transformada de Fourier H(f) (f). (d) Las señales no son infinitas: la truncamos multiplicando en el tiempo por una ventana x(t) de altura unidad. Esta ventana también tiene T. Fourier. (e) h(t) (t) x(t) y su T. Fourier H(f) (f) X(f) (f) Muestreamos en frecuencia multipl. por un tren de impulsos, 1 (f). (g) h(t) = [h(t) (t) x(t)] 1 (t) H(f) = [H(f) (f) X(f)] 1 (f) 83

84 84 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Las fórmulas para la DFT son generales y se pueden aplicar a cualquier conjunto de datos {x, x 1, x,...,x N 1 }, sin que necesariamente provengan del muestreo de una señal continua Teorema Sean N valores discretos {x, x 1, x,...,x N 1 }. La Transformada de Fourier discreta (DFT) y la Transformada Inversa de Fourier discreta (IDFT) se definen mediante: X n = N 1 k= x k e iπnk/n, n =, 1,,(N 1) x k = 1 N 1 X n e iπnk/n, k =, 1,,(N 1) N n= De hecho, estas ecuaciones se pueden obtener sin hacer referencia a la Transformada de Fourier continua, diréctamente trabajando con datos discretos.

85 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Comentarios Aunque hemos partido de la Transformada de Fourier continua, que presupone periodo infinito, al discretizar obtenemos una función periódica (ver Figura 6. (g)). En realidad, el resultado obtenido construyendo una función discreta periódica f(k t) = C n = 1 N N 1 k= N 1 n= C n e iπnk/n, k =, 1,,(N 1) f(k t)e iπnk/n, n =, 1,,(N 1) es idéntico al obtenido discretizando la Transf. de Fourier continua h(k t) = 1 N H(n ω) = N 1 n= H(n ω)e iπnk/n, k =, 1,,(N 1) N 1 h(k t)e iπnk/n, n =, 1,,(N 1) 85

86 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Comentarios Existe un algoritmo muy eficiente para implementar la DFT conocido como Fast Fourier Transform (FFT). La transformada de Fourier reproduce exáctamente los valores x k, pero no reproduce exáctamente la señal continua x(t). Será tanto más precisa en cuanto el intervalo de muestreo tienda a cero. El factor 1 N no siempre va con X n. Depende del autor. Para k = 1 estamos en el instante de tiempo t = (k 1) t = seg. Matlab utiliza las siguientes expresiones: X n = N x k e i(π/n)(n 1)(k 1) k=1 x k = 1 N N X n e i(π/n)(n 1)(k 1) n=1 n = 1,,, N k = 1,,, N El espectro {(ω n, X n ) : n =, 1,...,(N 1),ω n = πn/(n t)} es simétrico respecto al eje y. 86

87 87 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Ejemplo Calcular la DFT de los datos obtenidos al muestrear la señal x(t) = t con t = 1 seg considerando N=8; N=9. N=8 k t k = k t x k n ω n = π N t n X n π/ i 4 π/ i π/ i π/ π/ i π/ i π/ i

88 88 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Los valores anteriores se han obtenido en Matlab haciendo x=[ ]; X=fft(x); La frecuencia de muestreo f s y de Nyquist f nq son f s = 1 t = 1 Hz = π rad/s, f nq = f s = 1 t Para n= el resultado es real y es la suma de los x k X = N 1 k= x k = 14 Para n=n/=4 el resultado también es real X N = N 1 k= N 1 πkn/ i x k e N = j= x k e iπj = =,5 Hz = π rad/s. N 1 k= = = 8 x k cos(πk)

89 89 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Se cumple que X n = XN n, n = 1,,..., N/ 1. Efectivamente X 1 = X 7, X = X 6, X 3 = X 5. * Esto quiere decir que la mitad de la información es redundante, ya que conociendo los términos desde n = 1 hasta n = N 1 se pueden conocer los términos desde n = N + 1 hasta n = N 1. * La frecuencia más alta que se puede evaluar es la frecuencia de Nyquist ωk max = ω N = π(n/)/(n t) = π t * Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ω Nyquist entonces la DFT no la puede evaluar y se produce aliasing. Como vemos estas propiedades eran válidas para las series de Fourier discretas.

90 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) N=9 k t k = k t x k n ω n = π N t n X n π/ i 4 4π/ i π/ i π/ i π/ i π/ i π/ i π/ i La frecuencia de muestreo f s y de Nyquist f nq son f s = 1 t = 1 Hz = π rad/s, f nq = f s = 1 t Para n= el resultado es real y es la suma de los x k X = N 1 k= x k = 4 =,5 Hz = π rad/s. 9

91 91 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Se cumple que X n = XN n, n = 1,,..., N/. Efectivamente X 1 = X 8, X = X 7, X 3 = X 6, X 4 = X 5. * Luego la mitad de la información es redundante, ya que conociendo los términos desde n = 1 hasta n = N 1 se pueden conocer los términos desde n = N+1 hasta n = N 1. * La frecuencia más alta que se puede evaluar es ω max k = ω N 1 = (π(n 1)/)/(N t) = π t N 1 N = 8π/9 * Por lo tanto no es posible evaluar la frecuencia de Nyquist (ω N ) con N impar. * Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ω N 1 DFT no la puede evaluar y se produce aliasing. entonces la

92 9 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) 8 N=8, x k 5 N=8, X n 6 t t k (s) X n ω n (rad/s) 8 N=9, x k 5 N=9, X n 6 t t k (s) X n ω n (rad/s)

93 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Ejemplo Sean N datos reales, {x j, j =, 1,...,N 1}. La transformada discreta de Fourier y la transformada inversa de estos datos se define como N 1 πjk i X k = x j e N, k =, 1,...,N 1 j= x j = 1 N N 1 k= X k e i πjk N, j =, 1,...,N 1 Expresar la transf. discreta de Fourier como suma de senos y cosenos. Para k = N 1 X = Es la suma de todos los datos de partida, y por lo tanto, es un número real. Esto es válido tanto si N es par como si es impar. En el resto de pasos hay que distinguir entre ambas situaciones: j= x j 93

94 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) N es par Para k = N X N = N 1 j= N 1 πjn/ i x j e N = j= x j e iπj = N 1 j= x j cos(πj) luego es la suma de los números pares menos la suma de los números impares (y también es un número real). Para k = 1 X 1 = N 1 j= que es un número complejo. Pero X N 1 = N 1 j= N 1 πj(n 1) i x j e N = j= πj i x j e N x j e iπj e i πj N = N 1 j= x j e i πj N Es decir, X N 1 es el complejo conjugado de X 1. Y en general se cumple que X N r es el complejo conjugado de X r, para r = 1,,..., N 1. 94

95 95 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Teniendo en cuenta estas tres propiedades podemos hacer x j = 1 N N 1 X k e i πjk N = k= = 1 N X + 1 N X N cos(πj) + = 1 N X + 1 N X N cos(πj)+ 1 N N/ 1 k=1 N/ 1 k=1 (X k e i πjk N (X k e i πjk N ) + XN k e i πj(n k) N + X k e dónde Xk es el complejo conjugado de X k. Supongamos que X k = z k + iy k ; desarrollando [ ( ) ( X k e i πjk πjk N + X i πjk πjk k e N = (zk + iy k ) cos + i sin N N [ ( ) ( )] ( πjk πjk πjk (z k iy k ) cos i sin = z k cos N N N ) πjk i N )] + ) y k sin ( ) πjk N

96 96 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Sustituyendo arriba x j = 1 N X + 1 N X N cos(πj)+ 1 N = 1 N X + 1 N X cos(πj)+ 1 N N = a + donde k=1 N/ 1 k=1 N/ 1 k=1 (X k e i πjk N ( z k cos + X k e ( πjk N/ ( ( ) ( )) πjk πjk a k cos + b k sin N N a k = z k N, b k = y k N a N = X N N, b N = N ) πjk i N ) ( πjk y k sin N ))

97 97 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Esta ecuación se puede agrupar un poco más donde N/ ( ( ) ( )) πjk πjk x j = a k cos + b k sin N N k= a = X N, b = a N = X N N, b N = a k = z k N, b k = y k N

98 98 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) N es impar Para k = 1 X 1 = que es un número complejo. Pero N 1 j= πj i x j e N X N 1 = N 1 j= N 1 πj(n 1) i x j e N = j= x j e iπj e i πj N = N 1 j= x j e i πj N Es decir, X N 1 es el complejo conjugado de X 1. Y en general se cumple que X N r es el complejo conjugado de X r, para r = 1,,..., N 1.

99 99 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Teniendo en cuenta estas tres propiedades podemos hacer x j = 1 N N 1 k= = 1 N X + = 1 N X + 1 N X k e i πjk N = (N 1)/ k=1 (N 1)/ k=1 (X k e i πjk N (X k e i πjk N ) + XN k e i πj(n k) N + X k e ) πjk i N dónde Xk es el complejo conjugado de X k. Supongamos que X k = z k + iy k ; desarrollando [ ( ) ( X k e i πjk πjk N + X i πjk πjk k e N = (zk + iy k ) cos + i sin N N [ ( ) ( )] ( πjk πjk πjk (z k iy k ) cos i sin = z k cos N N N )] + ) y k sin ( ) πjk N

100 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Sustituyendo arriba donde x j = 1 N X + 1 N = 1 N X + 1 N = a + O también como donde x j = (N 1)/ k=1 (N 1)/ k= (N 1)/ k=1 (N 1)/ k=1 ( a k cos (X k e i πjk N ( z k cos + X k e ( πjk N ) πjk i N ) ( πjk y k sin N ( ) ( )) πjk πjk + b k sin N N a k = z k N, b k = y k N ( a k cos ( πjk N ) ( πjk + b k sin N a = X, b =, a k = zk, b k = y k )) )) 1

101 11 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Ejemplo La transformada de Fourier continua estaba definida para frecuencias positivas y negativas. h(t) = H(ω)e iωt dω Expresar también la transformada de Fourier discreta para frecuencias positivas y negativas. x k = N 1 k= X n e iπnk/n, k =, 1,,(N 1) Para resolver este ejercicio nos basamos en la propiedad X n = X n.

102 Señales discretas Transformada de Fourier discreta (DFT) Si N es par: x k = N/ n= N/ 1 X n e iπnk/n, k =, 1,,(N 1) * X y X N son reales. * X r = X r, r = 1,..., N 1. Si N es impar: x k = (N 1)/ n= (N 1)/ X n e iπnk/n, k =, 1,,(N 1) * X es real. * X r = X r, r = 1,..., N 1. Si expresamos x k (tanto N par como N impar) como suma de senos y cosenos obtenemos la misma expresion que antes. 1