ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº 1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Transcripción

1 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº TEMA: Ecuacioes Difereciales Ecuacioes difereciales ordiarias de primer orde Ecuacioes difereciales ordiarias de segudo orde CONOCIMIENTOS PREVIOS: Métodos de derivació e itegració de fucioes I) Determiar el orde y el grado de las siguietes Ecuacioes Difereciales: a) y' = b) d y d y + 4 d d + y = c) (y'' ) + (y' ) 4 + y = d) y''' + 5 ( y'' ) + y' = se e) y' + = ( y y') II) Epresar mediate ua ecuació diferecial cada ua de las siguietes situacioes a) La velocidad e que se covierte gr. de azúcar e agua e detrosa es proporcioal a la catidad que aú o se ha covertido. Epresar cómo ua Ecuació Diferecial la velocidad de coversió después de t miutos. b) La pediete de ua curva e cada puto (,y) es igual al doble de la suma de la coordeadas del puto. Hallar la Ecuació Diferecial que represete esta codició. III) Hallar la Ecuació Diferecial asociada co la solució geeral: a) y 4 = C b) y = A se + B cos c) y = se ( + A )

2 d) y = A e + B IV) Verificar que las siguietes familias de fucioes so solucioes de las correspodietes ecuacioes difereciales: a) y = 4 + C e y' y = 4 ( ) b) y = C e + C e - y - y = c) y = C e + C e + y - y + y = V) Ecuacioes difereciales de primer orde ) Resolver mediate el método de variables separables dy a) = d y b) y =. y c) y = + y d)..y dy + 4.y d = d e).y.y + y - 4. =. + si y() = - f) y =. y +.cos si y(π) = g) dy tg.d y.tg.d = si y() = ) Determiar las trayectorias ortogoales de la familia de curvas: a) - y = c b) y = c c) y = c d).y = c e) ² + y² = c f) + y = c g) y = c e h).² +.y² = c ) Resolver las siguietes ecuacioes difereciales eactas a) (cos.cosy + )d (se.sey + y)dy = b) (e y + e y)d + ( e + )dy = si y() = - c)cosθdr + (e θ r.seθ)dθ = d) [ + y cos( + y)]d + [y - cos( + y)- e y ]dy = 4) Resolver las ecuacioes difereciales lieales: a) d dy - y = e b) y + tg. y = sec c) d dy + y = 5. d) y - 5y = 5 y e) y = y + y f) d dy + y = y -

3 5) Resolver las ecuacioes difereciales homogéeas: a) y.y +.y = b)(y + + y )d = dy dy - y c) = d..y d) y = y +.y + y VI) Ecuacioes difereciales lieales de segudo orde co coeficietes costates: ) Resolver las ecuacioes difereciales: a) y - 5y + 6y = b) y - 5y = c) y - y + 5y = d) y + y = e) y + 4y + 4y = f) y'' - y' - 6 y = ) Resolver utilizado el método de los coeficietes idetermiados: a) y - y = - + b) y + y - y = + c) y - y - y = e d) y - y - y = e 4 e) y + y - y = 7cos() f) y - 5y + 6y =.e g) y - 4y + 4y =.e h) y + y = se i) y + 4y = se - cos VII) Resolver las siguietes ecuacioes difereciales de segudo orde icompletas: a)..y - y + (y ) - d y dy = b).y = + d d c).y =..e + VIII )Resolver de la maera más coveiete las siguietes ecuacioes difereciales ) (² - y) d - dy = Rta: y = + C ) y d + ( + ²) dy = Rta: y² ( + ²) = C ) y'' - y' + y = e² Rta: y = C e + C e +.e 4) y' + y = + Rta: y = + C e - 5) y'' + 9 y = cos Rta: y = C cos + C se + 8 cos 6) y'' + y' + y = Rta: y = C. e - + C..e -

4 IX ) Aplicacioes ) U resorte de peso despreciable está suspedido verticalmete. E su etremo libre se ha sujetado ua masa de m kilogramos. Si la masa se mueve co velocidad Vo [ m / seg ] cuado el resorte está si alargar, hallar la velocidad V como fució del alargamieto e metros. Ley de Hooke: Fuerza sobre el cuerpo = peso del cuerpo fuerza del resorte por d dv dv d m = mg - k multiplicado y dividiedo por d: m dt d dt d = mg k co = V dt la ecuació diferecial será: dv m.v = mg - k, itegrado: mv² = m g k ² + c d para = se tiee V = V o etoces c = mv o por lo tato: m V² = m g - k ² + m Vo² ) Hallar la ecuació diferecial que eprese la fuerza total a la que esta sujeta ua partícula de masa m que se mueve liealmete si se le aplica ua fuerza F proporcioal y cotraria a su desplazamieto y ua fuerza resistete F proporcioal a su velocidad. F = - K como F = m. a K y K : factor de proporcioalidad F = - K d dt la fuerza total será : m d dt d = -K K dt 4

5 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº TEMA: Fucioes de varias variables Determiació del domiio y descripció del recorrido Gráfico de fucioes Curvas y superficies de ivel CONOCIMIENTOS PREVIOS: Fucioes de ua variable: Domiio-Gráfica Cóicas: Idetificació-Gráfica Cuádricas: Idetificació-Gráfica. Determiar si z es fució de e y a) z + yz y = b) ( /4) + (y /9) + z =. Ecotrar el valor de la fució e el puto idicado: a) f(,y) = e y P(5;) b) V(r;h) = π r y h P(;) c) f(,y) = ( t ) dt P(;4). Determiar y graficar el domiio. Describir el recorrido: a) f(,y) = 4 y b) f(,y) = arcse(+y) c) f(,y) = l(4--y) d) f(,y) = e /y e) f(,y) = 4 + 9y f) f(,y) =.y g) f(,y) = l( + y ) h) f(,y) = i) f(,y) = /.y j) f(,y) = y- 4 y 4. Dibujar la superficie gráfica de la fució a) f(,y) = 5 b) f(,y) = 6 - y c) f(,y) = e - d) f(,y) = y e) f(,y) = 4- - y f) f(,y) = + y 5

6 5. Dibujar y describir las curvas de ivel de la fució para el valor idicado a) f(,y) = + y k=, k= b) f(,y) = e.y k =, k = c) f(,y) = 5 y k=, k = d) f(,y) = + y k =, k = e) f(,y) = /( + y ) k =-, k = f) f(,y) =.y k = -, k = g) f(,y) = l( + y ) k =, k = h) f(,y) = 4 y k =, k = / 6. Dibujar la superficie de ivel para el valor idicado a) f(,y,z) = -y +z k = 6 b) f(,y,z) = + y + z k = 4 c) f(,y,z) = 4 + 9y - z k = d) f(,y,z) = + y - z k = -4 e) f(,y,z) =l( + y + z ) k = f) f(,y,z) = + y k = 9 7. Ecotrar la curva de ivel de f(,y) que pasa por el puto dado y graficar: a) f(,y) = P(;) b) f(,y) = y P(; 4 ) 8. Establecer la correspodecia etre las fucioes y las superficies. a) f(,y) = e y b) f(,y) = cos( + y ) c) f(,y) = + 7 d) f(,y) = - y e) f(,y) = se( + y ) f) f(,y) = cos + y I II 6

7 III IV V VI 9. Establecer la correspodecia etre las fucioes y las curvas de ivel: a) f(,y) = cos.cosy. e + y / 4 b) f(,y) = -.y /( + y ) c) f(,y) = /(4. + y ) d) f(,y) = y y 4 - I II 7

8 III IV ) Co cuál de las fucioes del ejercicio aterior se correspode la superficie: 8

9 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº TEMA: Límite de fucioes de varias variables. Límite y cotiuidad de fucioes de dos y tres variables. Propiedades. Regla de las dos trayectorias. CONOCIMIENTOS PREVIOS: Límite y cotiuidad de fucioes de ua variable.. Sabiedo que lim f (, y ) = y lim g(, y ) = (,y ) ( a,b ) calcular (,y lim ). Calcular, si eiste, el límite ( a,b ) f (, y (,y ) ( a,b ) ) + g(, y g(, y ) ) a) lim (,y ) (, ) + y c) e) g) i) lim y (,y ) (, ) + y lim.y y. + (,y ) (, ).y lim y (,y ) (, ). + lim (,y ) (, ). +. y k).( y ) lim (,y ) (, ) ( y ) y b) d) h) lim.z + y (,y,z ) (,, ) + lim..y + y y (,y ) (, ) y f) j) l) lim + y 4 (,y ) (, ) + y + y 4 lim + y (,y ) (, ) y lim.y. y ( ). (,y ) (, ) e lim (,y ) (, ) + y z 9

10 . Verificar, usado la defiició, que: (,y lim ) (, ).y + y = 4. a) Si lim f (, y ) = L (,y ) ( a,b ) f debe estar defiida e (a, b)? Justificar. b) Si f(a, b) = Qué puede decir acerca de lim f (, y ) si f o es cotiua e (a,b)? Eplicar. (,y ) ( a,b ) si f es cotiua e (a,b)? Y 5. Aalizar la cotiuidad de la fució. a) f(,y) = se(..y +. y) b) f(,y,z) =.se(z y) c) f(,y) = l( + y) d) f(,y) = / y.y + y si (,y) (,) si (,y) (,) + y e) f(,y)= f) f(,y) = 4 si (,y) = (,) si (,y) = (,).y 6. Defiir f(,) de maera que f (,y ) = resulte cotiua e el orige + y

11 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 TEMA: Derivadas parciales. CONOCIMIENTOS PREVIOS: Reglas de derivació para fucioes de ua variable.. Dada f(,y) = + y - y. Aplicado la defiició de derivadas parciales, hallar f (,) y f (,) y. Obteer las primeras derivadas parciales de z = f(,y) a) f(,y) = ta( 4.y ) / y b) f(,y) = ( -.y ) y/() c) f(,y) = e.l(.y) + d) f(,y) =.ta(y) +y.se() e) f(s,t) = t/s + s/t f) f(s,t) = s + t. a) Calcular la pediete de la recta tagete a la curva itersecció el plao = co la superficie 6z = 4 + 9y e el puto (;;) b) Calcular la pediete de la recta tagete a la curva itersecció el plao y = co la superficie z = 9 - y e el puto (;;) 4. Dada la fució f(,y) =.y + y si (,y) (,) si (,y) = (,) a) Verificar que f o es cotiua e (,) b) Hallar f (,) y f y (,) 5. Verificar que f y = f y para todo (,y) de R, siedo f(,y) = 4.y -.y -y f f 6. Ua fució se llama armóica si cumple co + = e el domiio de f. Probar que y las fucioes dadas so armóicas: a) f(,y) = l + y b) f(,y) = e - cos(y) + e -y cos() c) f(,y) = arctg(/y)

12 v v 7. La ecuació de oda es = a siedo a ua costate. t Verificar que las siguietes fucioes satisface la ecuació de oda: a) v(,t) = se(a.k.t).se(k.) b) v(,t) = ( at) 4 + cos( + at) ( y ) 8. Dada la fució.y. f(,y) = + y si (,y) (,) si (,y) = (,) a) Hallar f (,y) y f y (,y) para (,y) (,) b) Hallar f (,) y f y (,) c) Hallar f y (,) y f y (,) Qué se puede decir co respecto a la cotiuidad de las fucioes f y y f y? 9. Probar que la fució W = se(a).cos(by). e ecuació de Laplace e tres dimesioes: a + b.z co a y b costates, satisface la W W W + + y z =. La ley de los gases ideales puede escribirse como P.V =.R.T, dode es el úmero de moles del gas, V el volume, T la temperatura absoluta, P la presió y R ua costate. Probar que: T P V = P V T.Demostrar que las fucioes u(,y) y v(,y) satisface las ecuacioes de Cauchy-Riema: u v u v = ; = y y a) u(,y) = y ; v(,y) = y b) u(,y) = cos().cosh(y) + se().seh(y) v(,y) = cos().cosh(y) se().seh(y)

13 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 TEMA: Icremetos y Difereciales. CONOCIMIENTOS PREVIOS: Cálculo de derivadas parciales de fucioes de varias variables.. Escribir el icremeto y la diferecial total de f a) f(,y) = /(y +) + y.se b) f(,y,z) = cos(.y) + l(y + z). Dada f(,y) =. +..y y a) Calcular el icremeto de f e P o (;4) para =. y y = -. b) Calcular la diferecial total de f e P o (;4) para d =. y dy = -. c) Comparar los resultados obteidos e a) y b). Dada f(,y,z) =.y +l(y.z) a) Calcular el icremeto de f e P o (4;;5) para =., y =.4 y z = -. b) Calcular la diferecial total de f e P o (4;;5) para d =., dy =.4 y dz = -. c) Comparar los resultados obteidos e a) y b) 4. Demostrar que las siguietes fucioes so difereciables e todo su domiio a) f(,y) = y.l() /y b).l(.y) + 5.se() c) f(,y) = y.e..e -.y 5) Dada la fució f(,y) = + y a) Es cotiua e (,)? b) Es difereciable e (,)? c) Calcular usado difereciales el valor aproimado de f(4.;.99)

14 6. Dada la fució f(,y) =.y + y si (,y) (,) si (,y) = (,) a) Eiste f (,) y f y (,)? (ver ejercicio 4 del Práctico Nº) b) Es difereciable e (;)? Porqué? 7. Calcular aproimadamete la catidad de material ecesario para costruir u recipiete cerrado e forma de prisma rectagular de logitud iterior de 8 m, acho iterior de 5 m y co u espesor de 4 cm. 8. Calcular aproimadamete el error máimo al hallar el área de u triágulo rectágulo si sus catetos mide 6 y 8 cm, co u posible error de.cm e la medició. 9. Calcular aproimadamete el material ecesario para fabricar u vaso cilídrico co las siguietes dimesioes: radio iterior: r = 5cm altura: h = 5cm espesor ( paredes y fodo): k =.cm. La desidad relativa de u objeto esta dada por d = P/(P W) siedo P: peso e el aire W: peso e el agua Si P = Kg co u error posible de.kg y W = Kg co u error posible de.kg. Determiar el máimo error posible e el cálculo de d 4

15 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 TEMA: Regla de la cadea para fucioes de varias variables. Derivació parcial implícita CONOCIMIENTOS PREVIOS: Cálculo de derivadas parciales de fucioes de varias variables. Composició de fucioes.hallar la derivada du/dt i) Covirtiedo a u e ua fució de t ates de derivar ii) Aplicado la regla de la cadea a) u = l(.y) + y = e t y = e -t b) u =. e y + y.e =.cos t y = se t. Hallar du/dt empleado la regla de la cadea a) u = arctg (y/) = l t y = e t b) u = + y = e t.cos t y = e t c) u = + y + z = tg t y = cos t z = se t t < π/ u. Obteer las derivadas parciales y r u mediate la regla de la cadea. s a) u =. 4.y = 7.rs y = 5. r b) u = e y/ =.r.cos s y = 4.r.se s c) u = ch (y/) =. r.s y = 6.s. e r 4. Calcular las derivadas parciales que se idica. u u u a),, si: u =.se y = arctg(r + s.t) y = l (r.s +.s.t) s r t b) w, ρ w, θ w ϕ si: u = + y + z, = ρ.seφ.cosθ, y = ρ.seφ.seθ, z = ρ.cosφ 5

16 5. La altura de u cilidro circular recto dismiuye a razó de cm/mi y el radio crece 4cm/mi. Ecotrar la razó de cambio del volume e el istate e que la altura es de 5cm y el radio de 6cm. 6. Cierta catidad de gas obedece la ley del gas ideal P.V = K.T, co K =. El gas se calieta ºC por miuto. Si e el istate e que la temperatura es de ºC la presió es de 6N/cm y dismiuye.n/cm por miuto, determiar la razó de cambio del volume e ese istate. 7. Siedo y = f() ecotrar dy/d por derivació implícita. a) - y. - = b). e y - y.e + /y = c) l + y -.y = 8. Ecotrar la pediete de la recta tagete a la gráfica de la fució del ejercicio 7.a) e el puto (;) 9. Sabiedo que z = f(,y), hallar a) e z +.y + z + 5 = b) se(.y) + cos(.z) y.z = c) y - y/z = 5 d) cos( + y) se (.y.z) = e) yz l(.y.z) = z z y y por derivació implícita. 6

17 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº 7 TEMA: Fucioes vectoriales-curvas CONOCIMIENTOS PREVIOS: Gráficas de curvas. Vectores e R² y R³. Para las siguietes curvas: I) Escribir las ecuacioes paramétricas II) Escribir la ecuació vectorial paramétrica a) +y = 6 b) + y = 49 c) y = d) y = e) + y y = f) 4 + 9y = 6 g) 9( -) + (y +) = 6 h) 4-9y = 6 i) y + z = 4 j ) z = + y + y = + y =. Dada la ecuació vectorial escribir las ecuacioes paramétricas y cartesiaas (e el caso de curvas de R³, ver ej..i) y.j)) a) r(t) = 4(t + ) i r + t j r b) r(t) = cost i r + set j r co t π c) r(t) = cost i r + set j r + t k r d) r(t) = ( +t) i r + (- t) j r + 4t k r. a) Ecotrar r (t) para cada ua de las fucioes vectoriales del ejercicio aterior b) Dibujar e u mismo gráfico la curva del ejercicio.a) juto a los vectores r(-/) y r (-/) 4. r(t) = cost i r + set r j +4t k r represeta la posició de ua partícula e el istate t, cuál es su velocidad? y la rapidez? 7

18 5. Calcular (cost i r + set j r + t k r )dt 7. Dadas las fucioes vectoriales : r (t) = cost i r + set r j co t π r (t) = cos(t) i r + se(t) r j co t π a) Las fucioes vectoriales so iguales? b) So iguales sus gráficas? c) Si cada ua de ellas represeta la posició de ua partícula e el istate t, dichas partículas se mueve de la misma maera e el itervalo dado? cuál es la rapidez e cada caso? 8. r(t) = t i r + t j r represeta la posició de ua partícula e el istate t. Qué distacia recorre e el itervalo de tiempo [; ]? 9. Calcular la logitud de arco de las siguietes curvas e el itervalo idicado: a) r(t) = set i r + cost j r [; π] b) r(t) = t i r + t j r + t k r [ ; ] c) r(t) = e t.cost i r - e t.set j r + e t k r [ ; l]. Ecotrar el vector tagete uitario a la curva a) r(t) = e t.cost i r - e t.set r j + e t k r e t = b) = t y = t e t = z = t 8

19 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 TEMA: Derivada Direccioal Gradiete (e la direcció de u vector) Ecuació del Plao Tagete Recta Normal a la Superficie CONOCIMIENTOS PREVIOS: Derivadas parciales Vectores e R² y R³ producto escalar producto vectorial EJERCICIOS RESUELTOS La derivada direccioal de ua fució e u puto y e la direcció de u vector uitario es, por defiició, el límite de u cociete icremetal siempre que éste eista. Es decir, u úmero y dicho úmero represeta.. qué represeta? El gradiete de ua fució de dos variables e u puto es u vector de R² que se obtiee a partir de las derivadas parciales de la fució e dicho puto. Al graficar e el plao y este vector y la curva de ivel que pasa por el puto se ve que.. cómo so el vector y la curva? dóde ubica el orige del vector? Volviedo al cálculo de la derivada direccioal, si f cumple co ciertos requisitos. cuáles so? etoces el cálculo se puede simplificar usado el gradiete de la fució e el puto dado. Ejemplo: Se busca calcular la derivada direccioal de f(,y) = y + y direcció del vector uitario u r r 4 r = i + j 5 5 e P(,) y e la usado la defiició: 9

20 f( + D u f(,)= lim t t. 5, + t 4 t. ) 5 - f(,) ( + t. )( = lim 5 t + 4 t. ) 5 + ( + t 4 t. ) 5 - (. + ) = lim t t t + 5 t t 6 5 t t - 6 = lim t 6 5 t + t 8 5 t lim = t t 5 5 = 6/5 el límite eiste y es u úmero A pesar de ser ua fució poliómica, muy secilla, para calcular esta derivada hubo que hacer muchos cálculos a fi de salvar la idetermiació Esta fució tiee la propiedad de ser difereciable e todo puto de R² por qué? y por ede e P(,) etoces, usado el gradiete e el puto, teemos ua forma rápida y secilla para el cálculo: D u f(,) = f(,). u r f f (,y) = y (,y) = +.y por lo tato el gradiete es el vector: y f(,) = f r f r r r (,) i + (,) j = i + 5 j y calculado el producto escalar etre el vector gradiete y el vector uitario u r D u f(,) = f(,). u r r r r 4 r =( i + 5 j ).( i + j ) =. / /5 = 6/5 + 4 = 6/5 5 5 como era de esperar. Ates de aplicar esta forma de cálculo hay que verificar que f sea difereciable e el puto. Cuidado co el ejercicio 6!! Observació: el vector que os da la direcció debe ser uitario, e caso que o sea así, por ejemplo a r r r = i + 4 j se debe tomar u r r r r a.i + 4. j r 4 r = r = = i + j a

21 EJERCICIOS PROPUESTOS. Obteer la derivada direccioal de ƒ e la direcció del vector dado e el puto P idicado: a) ƒ (,y) = ² + y² ; u r =cos (π/4) i r + se (π/4) j r ; P ( ; ) b) ƒ (,y) = ² + y² ; a r = i r 4 j r ; P ( ; 4) c) ƒ (,y) = y ; u r r 5 r = i j ; P (,). Hallar el gradiete de la fució e u puto arbitrario (,y): a) ƒ (,y) = e y b) ƒ (,y) = y ² + y² c) ƒ (,y,z) =. se (y z) d) Trazar la curva de ivel C de ƒ que pasa por el puto P y el gradiete de ƒ e P (puto iicial P) i) ƒ (,y) = y² ² P (; ) ii) ƒ (,y) = ² y P ( ; 5). Ecotrar la fució escalar ƒ tal que: a) ƒ (, y,z) = i r + y j r + z k r b) ƒ (, y) = e.sey i r + e cosy r j r r yi + j c) ƒ (, y) = + y

22 4. Hallar el valor de la derivada direccioal de la fució ƒ e el puto P y la direcció del vector idicado para cada caso (utilizado, si fuera posible, el gradiete de la fució): a) ƒ (,y) = ² 4 y ; P = (, ) u r = es el vector que forma u águlo π radiaes co el eje positivo de la. b) ƒ (,y) = e² y ; P = (, ) ; a r = i r + 5 r j c) ƒ (,y,z) = y² + z² 4 z ; P = (,, ) ; a r = i r 6 r j + k r 5. Hallar D u ƒ e P y e la direcció P hacia Q : a) ƒ (,y) = ². e y ; P = (, ) Q = (, ) b) ƒ (,y,z) = ² + y² + z² ; P = (,, ) Q = (, 5, 4) 6. Sabiedo que f(,y) tiee f (,) = f y (,) = y que u r r 4 r = i + j Es esta 5 5 iformació suficiete para decir que D u f (,) eiste? Ejemplificar y eplicar. 7. Sea ƒ (,y) = ² + ³ y² y P = (, ) a) Hallar la direcció para la cual ƒ crece más rápidamete a partir de P. b) Hallar el mayor cambio istatáeo e P. c) E qué direcció es míima la derivada direccioal e P?. d) Cuál es el meor cambio istatáeo e P?. 8. La temperatura es de T grados e cualquier puto de ua placa rectagular que está e el plao y y T = ƒ ( y) = ² y³. Sea P ( ; ) a) E qué direcció aumeta más rápidamete la temperatura T e P? b) E qué direcció dismiuye más rápidamete la temperatura T e P? c) E qué direcció se aula?.

23 9. La derivada de ƒ (, y) e P (,) e la direcció de a = i r + r j es y e la direcció de b = r j es. Cuál es la derivada de ƒ e la direcció de i r r j?. Justificar la respuesta.. Hay algua direcció e la que la razó de cambio de ƒ (,y) = ² y + 4 y² e P (; ) sea igual a 4?. Justificar la respuesta.. Hallar u vector ormal uitario a la superficie e el puto P : a) z = ² + y² P (; 4; 5) b) ² y 4 z = P (; ; 6) c) z se y = 4 P ( 6; π ;7 ) 6. Hallar las ecuacioes del plao tagete y de la recta ormal a la superficie e el puto P : a) y z = P (; ; 5) b) 4 ² + y² + z² = 6 P (; ; ) c) ³ y + y² ² + se (y z) + 54 = P (; ; ) d) y = e cos z P (; e; ) e) ² y z + y² z² + 8 z = P (; ; ) E qué puto la ormal corta al plao + y z =? f) ² = y P (6; ; ). Hallar las ecuacioes del plao tagete y de la recta ormal a la superficie e el puto P : a) z = 9 ² y² P (; ; ) b) z = arc tg y P (; ; π /4) c) z = e ³. se y P (; π /6 ;) d) z = l ( y) P (/ ; ; )

24 4. Comprobar : a) El plao tagete al elipsoide (, y, z,) tiee la ecuació ² + y² + z² = e el puto a² b² c² y + y z + z = a² b² c² b) Todos los plaos tagetes al coo z² = a² ² + b² y² pasa por el orige. 5. Ecotrar ecuacioes paramétricas para la recta tagete a la curva de itersecció de las superficies e puto dado: a) + y² + z = 4 = P (; ; ) b) y z = ² + y² + z² = 6 P (; ; ) c) ³ + ² y² + y³ + 4 y z² = ² + y² + z² = P (; ; ) 4

25 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº 9 TEMA: Etremos de fucioes de varias variables Multiplicadores de Lagrage CONOCIMIENTOS PREVIOS: Cálculo de derivadas parciales Resolució de sistemas de ecuacioes EJERCICIOS RESUELTOS Dado el problema de ecotrar el o los etremos relativos de ua fució de dos variables, si es que eiste, ya se sabe que el primer paso cosiste e obteer las primeras derivadas parciales respecto de cada ua de las variables idepedietes para ecotrar todos los putos críticos que tega, es decir, todos los putos del domiio e los que algua de las derivadas o eista o bie e dode ambas derivadas se aule. Aquí es e dode debemos prestar mucha ateció ya que al tratar de despejar o y podríamos cometer errores (muy frecuetes ) que os lleve a ecotrar putos que o satisface el sistema de ecuacioes u otro tipo de errores, los que os hace perder iformació, es decir, que o ecotremos la totalidad de los putos críticos. 5

26 Veámoslo co u ejemplo: Dada f(,y) = y + +y +, es ua fució e dode los úicos putos críticos que puede aparecer so los que aule simultáeamete las primeras derivadas parciales: f (,y) = y + = f y (,y) = y +4y = e este caso comezaremos trabajado co la seguda ecuació porque se ve más secilla que la primera, etoces: y +4y = Cuidado!! U error frecuete es hacer u pasaje de térmios y llegar a: y = -4y etoces queda y =-y pero para poder despejar ecesito saber de atemao que y o es cero y o es éste el caso. => y(+) = => y= o = - Siempre coviee epresar las derivadas como producto co la mayor catidad de factores que sea posible º Caso: Si y= la primer ecuació queda + = => (-+) = => = o = / y así se ecuetra los putos críticos P (, ) y P (/, ) º Caso: Si =- la primer ecuació queda y = => y --4 = => y = 6 etoces y = 4 o y = -4 co lo cual se obtiee P (-,4) y P 4 (-,-4) E defiitiva se ecotraro cuatro putos críticos distitos. 6

27 Qué hubiera ocurrido de cotiuar co el error frecuete despejado? Se hubiera perdido iformació, se llegaba a = - ecotrado solo dos putos críticos: P (-,4) y P 4 (-,-4) y la respuesta quedaba icompleta. Ahora cotiúa el proceso buscado las segudas derivadas parciales para tratar de averiguar cuáles de estos putos correspode a etremos relativos. f (,y) = -6+ f yy (,y) = +4 f y (,y) = y etoces H(,y) = f f yy (f y ) = (-6+ ).( +4) (y) e P (, ) H(,) = 8 > co f (,) = > la fució alcaza el valor míimo relativo f(,) = e P (/,) H(/,) < o tiee etremo, lo mismo que e P (-,4) y P 4 (-,-4) (verificarlo) Otro ejemplo: f (,y) = 8 + y +6y es otra fució e la que los putos críticos, si eiste, so los que aule simultáeamete a las primeras derivadas parciales f (,y) = 4 + 6y = => 4 +y = () f y (,y) = y + 6 = => y + = () de () 4 = -y => y = 6 4 reemplazado e () = sacado factor comú (8 +) = co lo cual se obtiee dos posibles valores para : = = -/ Cómo utilizo esta iformació para ecotrar las ordeadas de los putos? Co = reemplazado e () o e () se ecuetra que y = => P (, ) pero co = -/ al reemplazar e () teemos y + (-/)= => y = => y = o y = - 7

28 ERROR!! Porque el puto (-/, ) si bie satisface la seguda ecuació o satisface la primera Cómo es que se llega a cometer ese error? Respuesta: Como los valores de se ecotraro luego de trabajar e la seguda ecuació lo correcto hubiera sido usar esa iformació e la primer ecuació y o e la seguda ecuació Por lo tato, reemplazado e (), el segudo puto crítico es P (-/,-) Multiplicadores de Lagrage: Para ecotrar los putos críticos de f(,y) = e y + y = formamos el sistema de ecuacioes que se ecuetra sobre la curva f (,y) =λ g (,y) f y (,y) = λ g (,y) dode g(,y) = + y = etoces: g (,y)= e y = λ () e y = λ y () + y = () reemplazado () e () ( λ ) = λ y => λ( - y) = => λ = (4) o y = (5) pero (4) o es posible porque e () quedaría e y = lo cual es absurdo porqué? etoces la úica posibilidad es y = Al sustituir (5) e () + ( ) = queda 4 + = y resolviedo la ecuació se obtiee: =, λ = e/ o = -, λ = -e/ e ambos casos y = (verificar), resultado dos putos críticos. Cuáles? Puede determiar si correspode o o a etremos? 8

29 EJERCICIOS PROPUESTOS. Determiar cuado sea posible, si la fució tiee etremos relativos: a) f (,y) = 5 ² + 4 y y² b) f (,y) = ³ y + y³ c) f (,y) = 4 y 4 y 4 d) f (,y) = y³ y ² y² ² e) f (,y) = 4 ³ ² y + y² f) f (,y) = e se y g) f (,y) = e y. Para la fució f (,y) resulta que f. f yy (f y) es cero e el orige, a pesar de eso Puede determiar si f tiee u valor máimo, u míimo o iguo de los dos e el orige? a) f (,y) = 4 y 4 b) f (,y) = ² y² c) f (,y) = y². Para f (, y, z) = ² + (y )² + (z + )² hallar los putos críticos y determiar, si es posible, si so máimos o míimos relativos. 4. Aalizar si f (,y) = ³ ² + y² tiee valores etremos. 5. Calcular los etremos absolutos de la fució e la regió R (e cada caso, R cotiee sus putos frotera) a) f (,y) = ² + y² 4 y dode R es la regió del plao y acotada por las gráficas de y = ² e y = 4 b) f (,y) = ² + y dode R es la regió del plao y dada por 9

30 R = (,y) c R² Λ y 6. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrage para hallar los etremos que se especifica: a) míimo de f (,y) = ² y² si y + 6 = b) máimo de f (,y) = e y si ² + y² = 8 c) máimo y míimo de f (,y) = ² + y² si ² - + y² - 4y= d) míimo de f (,y) = ² 8 + y² y + 48 si + y = 8 e) máimo y míimo de f (,y) = ²e y si ² + y² = 7. Usar el método de los multiplicadores de Lagrage para hallar los etremos que se especifica a) máimo de f (, y, z) = y z si a + y + z = 6 b) máimo de f (, y, z) = y z si + y + z = y si y + z = c) máimo y míimo de f (,y,z) = y + z² si y = y si ² + y² + z² = 4 8. Usado el método de los multiplicadores de Lagrage resolver los siguietes problemas : a) Determiar la distacia míima del puto P (,, ) al plao + y + z = b) Calcular las dimesioes de ua caja cilídrica circular recta de volume V = cm³ y de área superficial míima.

31 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº TEMA: Itegració Múltiple Itegrales dobles Aplicacioes: áreas de regioes plaas - volume Cambio de variables: coordeadas polares Área de ua superficie Itegrales triples Cambio de variables e itegrales triples: coordeadas cilídricas y esféricas CONOCIMIENTOS PREVIOS: Métodos de itegració Represetació gráfica de regioes e el plao Represetació gráfica de superficies EJERCICIOS RESUELTOS Para calcular f(, y) ddy R dode f(,y) está defiida e ua regió R del plao y cerrada y acotada debemos determiar, ayudados por el gráfico de la regió, u orde de itegració adecuado y los límites de itegració segú el orde elegido. Ejemplo : Dada la fució f(,y) = + y dode R es la regió determiada por la recta y- = y la curva y = - se quiere calcular f(, y) da R Se observa que la regió es de Tipo I, por lo que debemos ecotrar los putos de itersecció etre la recta y la parábola resolviedo el sistema de ecuacioes: y = + y = - etoces R = {(,y): -, - y + }

32 ( + y)dyd = (y + y. ) + d = ( - ( + ) + (. + ) - ( ) ( ) ) d = ( ) d = = 4 5 Ejemplo : Calcular de +y+ = ; -y+ = ; y = f(, y) da siedo f(,y) = +y sobre la regió R acotada por las gráficas R De acuerdo co el gráfico de la regió vemos que la misma coviee ser cosiderada como regió de Tipo II dode: R = {(,y): y, -y- y-} y la itegral se resuelve cambiado el orde de itegració, itegrado primero co respecto a y luego co respecto a y De otro modo habría que tomar a la regió como uió de dos regioes de Tipo I R (R, lo que hace más trabajoso el cálculo. R f(, y) da = y -y ( + y)ddy = ( + y) y -y dy = ( (y - ) + y(y ) - (-y - ) y( y ) ) dy = (y 4y ) dy = y y = 4 Ejemplo : Calcular f(, y) da dode f(,y) = e y R es la regió limitada por =, y R y =, y = Si bie la regió puede ser cosiderada tato de Tipo I como de Tipo II, la itegral doble resulta imposible de resolver itegrado primero co respecto a la variable y por lo que

33 debemos cambiar el orde de itegració: y e y ddy = y y y y e dy = y e dy = e = e Ejemplo 4: Calcular el área de la regió limitada por y =, y =, + y = por medio de ua itegral doble. A = da y como R = R U R A= / R dyd + dyd = / / R da + da = R Ejemplo 5: Calcular el volume del sólido limitado por las superficies de ecuacioes: y = 8, + z =, z = El cilidro y = 8 y el plao +z = determia ua curva la cual corta al plao y e (, 4, ) y e (, -4, ). Los plaos z = y +z = se corta e la recta = y el sólido puede pesarse como el cojuto de putos del espacio: V = { (,y,z): (,y) є R y ^ z - } dode R y = { (,y): -4 y 4 ^ y / 8 } R y y = (- ) dy -4 y 8 8 V = ( - ) ddy = 4-4 y y ( - + ) dy = /5

34 Ejemplo 6: Calcular el volume bajo el paraboloide de ecuació z = + y que se ecuetra acotado por los plaos z = = y = y el cilidro de ecuació y = R y A = y ( + y )dyd = ( y + ) d = 4 ( + ) d = 6 = ( / + /- 5 /5-7 / ) = /+/-/5-/ = 44/5 Ejemplo 7: Calcular el área iterior a la curva de ecuació polar r = -seθ π -seθ r drdθ = π r cos θ dθ = π ( cosθ) dθ = 6π verificar el resultado Ejemplo 8: Calcular el volume del sólido acotado por las superficies + y = 4 ; z + y = 4 y z = Utilizado coordeadas polares la itegral doble resulta de fácil resolució ya que la regió sobre el plao y es el círculo cetrado e el orige de radio cuya ecuació polar es r = co π π π π (4-rse)r drd = ( r seθ) dθ = 8 ( 8 seθ) dθ = [8 + (8cos)/] π = r 6π 4

35 Ejemplo 9: a) Calcular el área de la superficie de la parte del paraboloide z = + y bajo el plao z = 6. b) Calcular el área de la parte del plao z =6 situada detro del paraboloide z = + y R y a) Dado que el área es igual a: A = f + f + R y y da y que la regió del plao y es el círculo cetrado e el orige de radio 6, se obtiee: A = y + dyd pasado a coordeada polares resulta π 6 π (4r + ) 6 4r rdrdθ + = = d θ 8 / / π dθ = 6π/ b) E este caso, como lo que iteresa es el área de ua parte del plao, la fució a cosiderar será z = f(, y) = 6, la cual tiee derivadas parciales ulas y la itegral doble, obviamete, dará como resultado 6π, por qué? Verifíquelo. Ejemplo : Calcular utilizado ua itegral triple y el sistema de coordeadas coveiete: a) El volume del sólido limitado por las superficies + y = 4, + y = z, z = b) El volume del sólido limitado por las superficies + y = z y + y + z = 4 para z a) Lo más coveiete es utilizar coordeadas cilídricas: la ecuació del cilidro + y = 4 se covierte e r = co π y z є, la ecuació del paraboloide + y = z e z = r / co π y r => el sólido cotiee todos los putos del espacio: {(,r,z)/ r, π, z r / } π V= r / π r / rdzdrdθ = rz drdθ = 5

36 π r = drdθ π = dθ r 4 8 = π dθ =4 π b) E coordeadas esféricas el coo tedrá ecuació φ = π/ y la esfera Δ=, la itersecció etre ambas superficies es la curva de ecuació r(t) = cos(t)i + se(t)j + k => π, φ π/, ρ π π / ρ V= se φdδdφd= π π / ρ se π π / φ dφd= 8 seφdφd = π 8 π / (-cosφ) d = π 4 d = 8π/ 6

37 EJERCICIOS PROPUESTOS. Graficar la regió de itegració y calcular las siguietes itegrales: a) + ( y )dyd Rta: b) dyd Rta: / c) ( + y y y )ddy l 8 Rta: 5/6 d) l y ( e + y) ddy Rta: 8l8-6+ e. Graficar la regió de itegració y cambiar el orde de itegració 4 y a) f(, y) ddy y y c) f(, y) ddy b) f(, y) dyd d) 9 e f(, y)dyd. Graficar la regió de itegració y, determiado u orde de itegració adecuado, calcular la itegral doble: a) f(,y) = +y, dode R es la regió del primer cuadrate limitada por +y=, +y =4, y= Rta: 94/5 b) f(,y) = sey dode R es la regió del primer cuadrate limitada por y y =, y = π, = Rta: y c) f(,y) = e dode R es la regió limitada por =, y =, y = Rta: e- d) f(,y) = y dode R es la regió limitada por y =, y = / 4, y = / co Rta: (l)/ 4. Calcular, utilizado itegrales dobles, el área de la regió limitada por las curvas: a) y = y = 8 - Rta: 64/ b) = -y y = + Rta: 9/ c) y= e y = = = l Rta: d) y = y = + y = Rta:/ 5. Calcular la masa y el cetro de masa de ua lámia delgada co fució de desidad δ(,y) cuya forma coicide co la regió R del plao y 7

38 a) δ(,y) = 4, y =, y = Rta: m = / X = /5 Y = /5 b) δ(,y) = y + +, = y, = Rta: m = /5 X = 4/6 Y = c) δ(,y) = 6 +6y +6, =, y = Rta: m = 4 X = 5/7 Y = /4 6. Calcular el volume del sólido limitado por las superficies: a) +y +z = y los plaos coordeados e el primer octate Rta: 9/ b) =, z = 4 - y, y los plaos coordeados e el º octate. Rta: 6 c) z = + y, y =, =, + y =, z = Rta: 4/ d) y = 4 -, y =, z = + 4, z = Rta:65/ e) z = + y, y = 4, y =, z = Rta: 8576/5 f) + y + z =, z =, =, y = Rta: 4/ g) + y + z =, z =, =, y =, z =. (Resolverlo de dos formas distitas: º: proyectado sobre el plao z, º: teiedo e cueta los resultados de los icisos a) y f) ) Rta: 9/6 7. Calcular utilizado coordeadas polares a) El área de la regió del plao y determiada por: a ) La curva r = cosθ Rta: π a ) Ecerrada por la lemiscata r = 4cosθ Rta: 4 a ) Iterior a la curva r = seθ y eterior a r =, e el primer cuadrate Rta: π /9+ /6 b) La itegral doble: b ) 6 y b ) ddy dyd Rta: π / Rta: 6 b ) y y l( + y + )ddy Rta: π (l4-) c) El volume del sólido idicado: c ) Debajo del paraboloide z = + y, sobre el plao z = y detro del cilidro + y = 9 Rta: 8 π / c ) Limitado por el paraboloide y = 4- - z y los plaos z =, y =, z = Sugerecia: proyectar sobre el plao z Rta: π 8

39 c ) Debajo de z = c 4 ) Debajo de z = + y, sobre z = y detro de + y = 4 Rta: 6 π / y, sobre el plao y, detro de + y = /4 Rta: (8- )/ π 8. Calcular el área de la superficie: a) Porció del plao + y + z = 6 e el primer octate. Rta: 6 b) La porció de z = = 4- - y sobre el plao y Rta: 6.77 c) La porció de z = + y debajo de z = Rta: 4 π d) La porció de z = + y etre y =, y = = solo platear la itegral y, de ser posible, utilizar algú software para realizar el cálculo aproimado Rta:.9 e) La porció del plao y =, iterior al paraboloide z = + y, limitado por z = 4 Rta: / 9. a) Platear la itegral triple Q f(, y, z)dv : a ) f(,y,z) = y - z, dode Q es el tetraedro limitado por + y - z = 6 y los plaos coordeados.(solo platear) a ) f(,y,z) = 5, dode Q está limitado por + y + z = 4, = 4-y, = y z = b) Calcular el volume del sólido limitado por las superficies dadas utilizado itegrales triples: z = - y, z =, z = 4 -, = 4 ( Proyectar sobre el plao = ) Rta: 44/5 c) Reescribir la itegral iterada cambiado el orde de itegració comezado co ua variable diferete a la dada: c ) 4 y 4 y z ddzdy c ) y dzdyd c ) 4 z 4 + z dyddz. Utilizar coordeadas cilídricas para evaluar las siguietes itegrales: a) + y z dzdyd Rta: π /5 b) La itegral que permite calcular el volume del sólido limitado por = y + z, = 4 Rta: 8 π 9

40 9 c) 9 + z ( + z )dydzd Rta: 4π. Utilizar coordeadas esféricas para evaluar las siguietes itegrales: a) e Q ( + y + z Rta: π (e 8 - )/ / ) dv dode Q está limitado por z = 4 y y por el plao y + b) y + = Q z dv dode Q está limitada por z = y Rta: (- / ) π + y y por z 4 c) 8 y / + y ( + y + z ) dzdyd Rta: (56-8 )π/. Utilizado ua itegral triple y u sistema de coordeadas apropiado, calcular: a) Q + y e dv dode Q es la regió iterior a + y = 4 etre z = y z = Rta: π (e 4 -) b) + Q c) Q d) Q dv ( z) dode Q es la regió bajo + y + z =6 e el primer octate zdv dode Q es la regió etre z = Rta: y y z = 4 Rta: π. + y e z dv dode Q es la parte iterior a + y = 9 etre z = + y y z = Rta: π (e 9 -) 4

41 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº TEMA: Campo Vectorial Itegral De Líea-Itegral De Superficie Campos Vectoriales Divergecia y rotor Itegrales de Líea -Aplicacioes Idepedecia de la trayectoria Teorema de Gree- Aplicacioes al cálculo de áreas Superficies Parametricas Itegrales de Superficie- Itegrales de Flujo Teorema de Stokes- Teorema de Gauss (o de la divergecia) CONOCIMIENTOS PREVIOS: Vectores: represetació gráfica - producto escalar y vectorial Parametrizació de curvas Itegració múltiple EJERCICIOS RESUELTOS - INDICACIONES Se observa e este práctico que si bie el tema pricipal es Campo Vectorial e el ejercicio se pide el cálculo de itegrales de líea de fucioes escalares de dos o tres variables, es decir: fds = L f(r(s))ds = t t f(r(t)). r(t) dt dode r(t) es la ecuació vectorial parametrica de la curva (revisar práctico º6) y L es la logitud del arco de curva e el itervalo [t ; t ] Qué iterpretació se le puede dar a ua itegral de este tipo e el caso que f sea ua fució escalar que toma valores positivos y represete la fució de desidad lieal de masa de u hilo metálico represetado por C? 4

42 A partir del ejercicio º 4 comieza el cálculo de itegrales de líea de campos vectoriales: C F r dr = C t t F r.t r ds = F r (r(t)).r, (t)dt como F r (r(t)) = P(r(t); Q(r(t)); R(r(t)) dode P; Q y R so las compoetes del campo y,, ;, r, (t)dt = (t)dt;y (t)dt;z (t)dt la forma práctica para resolver esta itegral es C Pd + Qdy + Rdz Ejemplo: F r (,y) = i r + y j r dode r(t) = t i r + t j r para t (t) = t d = dt ; y(t) = t dy = tdt C d + ydy =.t.dt + t. tdt = (8.t +.t )dt = 9t + t 4 / = 9/ INDEPENDENCIA DEL CAMINO Cuado la itegral de líea de u campo vectorial o depede de la trayectoria sio de los putos etremos A y B del arco de curva, podemos resolver la misma de diferetes maeras: I. Tomado el camio más simple, por ejemplo u segmeto que ua a los putos A y B II. Calculado la fució potecial f correspodiete al campo -dado que éste es coservativo- y luego calcular f (B) f(a) Ejemplo: Calcular (y + )d + (y + )dy dode C es el arco de curva que ue C los putos A(,) y B(;-) 4

43 Solució: º paso: se debe verificar que la itegral es idepediete del camio, caso cotrario o se puede resolver dado que o cotamos co la ecuació de la curva. Q P = y = y como ambas derivadas parciales so iguales para todo y puto del plao y éste es simplemete coeo, etoces se puede afirmar que la itegral es idepediete del camio. º paso: se puede optar por buscar la fució potecial correspodiete al campo para calcular la itegral. f debe ser ua fució cuyo gradiete sea igual al campo: f (, y) = F r para todo puto de R² (Ver ejercicio del práctico 7) f f(, y) = i r f r + j = (y + ) i r + (y + ) r j y f = y f + ; = y + () y etoces f(;y) = (y + ) d = y + + g(y) () f derivado () respecto de y : = y + g (y) pero por () resulta y + = y + y g (y) ==> g (y) = co lo cual g(y) = y + c, de () resulta que: f(;y) = y + + y + c es la fució potecial buscada º paso: el valor de la itegral es C (y + )d + (y + )dy = f(; -) f(;) = (5 +c) (7 + c) = - Observació importate: rot( F r ) ulo e u cojuto D simplemete coeo implica idepedecia del camio para la itegral sobre cualquier curva coteida e D, e cosecuecia, poer mucha ateció e la solució del ejercicio º 8!! 4

44 TEOREMA DE GREEN La importacia del teorema de Gree es que vicula ua itegral de líea co ua itegral doble: C F r Q P dr = ( )da y R Para poder utilizar ua itegral doble aplicado el teorema de Gree e el cálculo de ua itegral de líea e primer lugar hay que asegurarse que se cumple las hipótesis del teorema. (Cuales so??) Iversamete, podemos calcular ua itegral doble usado ua itegral de líea. Ua de las aplicacioes de este teorema es el cálculo del área de ua regió del plao mediate ua itegral de líea: A = + dy C yd () o A = C dy () o A = C yd () dode C es la curva cerrada frotera de la regió a la cual se le quiere calcular el área. Cualquiera de las tres itegrales proporcioa el valor del área de la regió, e alguos casos la fórmula () puede resultar la más apropiada (e la () molesta el sigo egativo) y e otros, cuado queremos calcular el área ecerrada por ua elipse por ejemplo, la () es la que coviee utilizar. Hay que teer e cueta que la curva C se debe recorrer e setido atihorario y que además C debe ser cerrada simple regular a trozos qué sigifica? 44

45 EJERCICIOS PROPUESTOS. Represetar gráficamete alguos vectores de los siguietes campos vectoriales a) F r (,y) = i r + j r b) F r (,y) = y i r + y j r c) F r (,y,z) = i r + j r + z k r. Calcular el rotor y la divergecia de los siguietes campos vectoriales e los putos idicados: a) F r (,y,z) = y i r + z r j + z k r e P(,, ) b) F r (,y,z) = se(yz) i r + r j + (+z) k r e P(,,- ) c) F r (,y,z) = e i r + y r j + k r e P(,, ). Calcular la itegral de líea C fds : a) (-y) ds C: r(t) = 4t i r + t r j t Rta: C b) ds C : + y = 4 desde (,) a (,) e setido atihorario Rta: C c) ds C: segmeto de recta que va de (,) a (,) seguido por el cuarto de C circuferecia que llega hasta (,) Rta: 9/ d) ( + y + z ) ds C : r(t) = set i r + cost r j + 8t k r ; t π / C e) C Rta: 65 π(+6 π ) 6 4zds C : segmeto de recta que va de A(,,) a B(,-,) Rta : Calcular la itegral de líea F r dr e cada caso: C a) F r (,y) = i r + y j r C : segmeto de recta que ue los putos A(,) y B(5,4) Rta: b) F r (,y,z) = (z; ; ) C: r(t) = (cost,set,) desde (,,) hasta (,,) Rta: - c) y d + dy +yzdz C: segmeto de recta que ue los putos (-,,) y C (,,) Rta: d) y d + dy +yzdz C: curva itersecció el cilidro y = co el plao C z = desde (,,) hasta (,,) Rta: 7/ 45

46 5. Determiar, si realizar los cálculos, el resultado de: a) La itegral del ejercicio.e) tomado la trayectoria desde B(,-,) hasta A(,,) b) La itegral del ejercicio 4.b) tomado la trayectoria desde (,,) hasta (,,) 6. Calcular el trabajo efectuado por el campo de fuerzas F r (,y,z) = i r - z r j + y k r al mover u objeto a lo largo de la trayectoria cerrada C formada por los segmetos C : desde (,,) hasta (,,); C : desde (,,) hasta (,,) y C : desde (,,) hasta (,,) Rta: / 7. E los siguietes ejercicios verificar que la itegral de líea es idepediete de la trayectoria sobre algú cojuto D coteido e R o e R, segú el caso, y evaluar mediate la correspodiete fució potecial. a) C yd + ( -)dy C: trayectoria que ue los putos A(,) y B(,) Rta: 8 b) (, 4 ) (, ) ye y d + (e y y)dy Rta: -6 y c) d + dy + y + y C C: (-4) +(y-) = Rta: d) (4,, ) (,,) (z +y)d + dy + zdz Rta: -8 e) (,,5) + y + z d + + y + z dy + + y + z (,,) y z dz Rta: 4 f) C (cosz - )d + (z - y)dy + (y sez)dz C: cualquier curva cerrada de R 8. a) La itegral del ejercicio 7. c) es idepediete del camio sobre cualquier trayectoria de R? b) Calcular la itegral sobre la trayectoria cerrada C: +y = 9. Resolver las itegrales de líea de campos vectoriales sobre las trayectorias cerradas C utilizado el teorema de Gree-verificar previamete que se cumple las hipótesisa) ( - y)d + y dy C: + y = Rta: π C 46

47 b) C (y +)d + ( +y)dy C: + y = 4 Rta: π c) C (y + y )d + ( y + )dy C: formada por y= ; y= Rta: -/5 d) C (ysec -)d + (tg -4y)dy C: formada por = - y ; = Rta:. a) Es posible aplicar el teorema de Gree para calcular la itegral del ejercicio 7.c)? Justificar b) Si la curva es C: + y = 4? Justificar c) Es posible aplicar el teorema para calcular C (y -)d + (tg -4y)dy dode C: = - y ; =? Justificar. Calcular el área de la regió utilizado ua itegral de líea: a) Regió ecerrada por la elipse 4 + y = 6 Rta: 8 π b) Regió limitada por y = ; y = Rta: 4/ c) Regió limitada por la curva de ecuació r(t) = cos t i r + se t r j Rta: π/8 d) Regió limitada por y = ; y = 4 Rta: /. Parametrizar las siguietes superficies: a) Cilidro + y = 5 acotado por los plaos z = y z +y = 6 b) Coo + y - z = acotado por los plaos z = y z = 4 c) Paraboloide z = + y limitado por z = 9 d) Parte de la esfera + y + z = 6 e el iterior del coo + y - z = co z. Idetificar y dibujar las superficies: a) r(u ;v) = cos u i r + se u r j + v k r v 4, u π b) r(u ;v) = cos u i r + se u r j + v k r v 4 cos u se u, u π c) r(u ;v) = v.cos u i r + v.se u r j + v k r v 6, u π d) r(u ;v) =.sev.cos u i r +.sev.se u r j +.cosv k r v π, u π 4. Calcular el área de las siguietes superficies: a) r(u ;v) = cos u i r + se u r j + v k r co v 4 - se u, u π Rta: 6π b) Superficie del ejercicio. c) Rta: 49π/ 47

48 c) Superficie del ejercicio. d) Rta: 6π 5. Calcular la itegral de superficief(, y,z)ds : S a) f (,y,z) = z sobre el cilidro y = z ; ; z Rta: (7 / -)/4 b) f (,y,z) = z sobre + y + z = co z Rta: π/ c) f (,y,z) = + y + z sobre + y = ; z Rta: π r r 6. Calcular la itegral de flujo F(, y,z).ds : S a) F r (,y,z) = (y,-,), sobre z = + y co z 4 ( r hacia abajo) Rta: - 4π b) F r (,y,z) = (y,-,z), sobre z = + y co z ( r hacia abajo) Rta: - 8π c) F r (,y,z) = (y, y,z) sobre la superficie cerrada formada por las caras del cubo: ; y ; z ( r hacia el eterior) Rta: 5/ 7. Aplicar el teorema de la divergecia (Gauss) para calcular el flujo de F r hacia el eterior a través de la frotera de V a) F r (,y,z) = (y ) i r + (z y ) r j + (y ) k r V es el cubo limitado por: ; - y ; - z Rta: -6 b) F r (,y,z) = i r + y r j + z k r V es el cubo limitado por: ; y ; z Rta: c) F r (,y,z) = i r + y r j + z k r, V es el sólido limitado por + y 4 ; z = ; z = Rta: 4π 8. Aplicar el teorema de Stokes para calcular la itegral de líea C F r dr a) F r (,y,z) = ( e y) i r + (y + ) / j r + z k r ( r hacia arriba e el plao) C: z = y z = Rta: 4π b) F r (,y,z) = i r + (y 4 -) j r + z sey k r ( r hacia arriba e el plao) C: z = + y z = 4 Rta: - 4π 48

49 r r 9. Aplicar el teorema de Stokes para calcular la itegral rotf.ds a) F r (,y,z) = (z, y,z ) S es la porció de z = y sobre el plao y ( r hacia arriba) Rta: b) F r (,y,z) = (z, z e y, ly ) S es la porció de z = - - y sobre el plao y ( r hacia arriba) Rta: - π S 49

50 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº TEMA: Sucesioes Series Numéricas CONOCIMIENTOS PREVIOS: Cálculo de límite Derivació e itegració. a) Escribir los cico primeros térmios de las sucesioes: I. a = II. a = + b) Hallar el térmio geeral de las siguietes sucesioes: I.,,,,... II.,,,, Cosiderado las sucesioes del ejercicio a) Represetar cada ua e u eje real b) Determiar su covergecia o divergecia. Ecotrar el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales S. Determiar si la serie coverge o diverge y, si es posible, hallar su suma. a) b) = ( + ) = 4. Calcular el limite del térmio geeral a, qué se puede decir sobre la covergecia de la serie? a) + b) c) = - = Calcular la suma, cuado eista, de las siguietes series geométricas. a) b) = Aplicado el criterio de la itegral aalizar la covergecia de las siguietes series: a) b) l c) = = = + 7. Determiar e cada caso si la serie coverge o diverge aplicado el criterio de comparació: 5

51 a) = b) = + c) = + 8. Determiar e cada caso si la serie coverge o diverge aplicado el criterio del cociete o el de la raíz: a) =! b) = ( + )! c) = d) = + 9. Determiar cuales de las siguietes series alteradas so covergetes y cuales divergetes: + e a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) = =. Determiar cuales de las siguietes series so absolutamete covergetes, cuales codicioalmete covergetes y cuales divergetes: a) ( ) b) ( ) = ( + ) + + c) + ( ) d) se = = =. Determiar la covergecia o divergecia de cada ua de las siguietes series: a) b) ( )( ) c) + + d) = + = =! = e) = + i) = + f) + = + = e = g) = = + h) = = = l ( ) + + j) ( ) k) ( ) l) ( ) Epresar como úmero racioal utilizado ua serie geométrica al úmero,444. 5

52 ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº TEMA: Series de potecias Serie de Taylor Serie de Mac Lauri CONOCIMIENTOS PREVIOS: Cálculo de límite Derivació e itegració. Determiar el itervalo de covergecia para cada ua de las siguietes series de potecias: 4 4 a) b) c) d) ( ) 4!! 4! = =. Idem para las siguietes series de potecias: a) ( ) b) - 4 ( ) c) - =! = = + 6 d) = (-) + ( -)! -. Si se sabe que a coverge par = 9 y diverge para = -, es posible sacar coclusioes sobre: a) la covergecia e = -7? b) la covergecia absoluta e = 9? c) la covergecia e = -9? d) la divergecia e =? e) la divergecia e = -5? f) la divergecia e = 5? 4. a) Determiar la fució que defie la serie de potecias = b) Hallar las fucioes que se obtiee al reemplazar e la serie aterior por: I) II) III) 5

53 5. Dadas las siguietes series de potecias hallar: I) el radio de covergecia y el domiio de la fució que defie la serie dada II) la serie de potecias que defie a la fució f y el domiio de f a) = b) = ( -) c) = 6. Escribir la serie de Mac Lauri para cada ua de las siguietes fucioes: a) e b) cos c) se 7. Desarrollar e serie de Taylor cada ua de las siguietes fucioes: a) cos e = π / 6 b) / e = 8. Represetar por medio de ua serie de potecias: t a) e dt b) arctg c) l(+) 9. Calcular co dos cifras decimales sigificativas, el valor de l(/). Deducir las fórmulas de Euler: e i e i a) se = b) cos = i e + e i i i 5