VII. OPERADORES NO ACOTADOS EN ESPACIOS DE HILBERT

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1 VII. OPERADORES NO ACOADOS EN ESPACIOS DE HILBER La teoría de operadores no acotados surge como necesidad de establecer los fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica y fue desarrollada en los años por von Neumann y Stone. Sus principales aplicaciones, aparte de la Mecánica Cuántica, se dirigen al estudio de las ecuaciones diferenciales. Sirva este capítulo para mostrar las propiedades fundamentales de los operadores no acotados, destacando las diferencias y nuevas dificultades que aparecen al eliminar la condición de acotación en los operadores, en especial el problema de extensión que aquí aparece. SECCIONES 1. Introducción. Operadores simétricos y autoadjuntos. 2. Propiedades espectrales de operadores simétricos y autoadjuntos. 3. eorema espectral de operadores unitarios. 4. eorema espectral de operadores autoadjuntos no acotados. 5. Ejercicios. 289

2 1. INRODUCCIÓN. OPERADORES SIMÉRICOS Y AUO- ADJUNOS. Los dos ejemplos básicos de operadores no acotados son el operador multiplicación Mf(x) = x f(x) y el operador derivación Df(x) = d dxf(x), definidos en L 2 (R), operadores para los que se cumple la relación de conmutación DM MD = I, fórmula en la que se basa el principio de incertidumbre de la Mecánica Cuántica. Se puede probar además que la relación anterior no se da en ninguna pareja de operadores acotados (ver los ejercicios al final del capítulo) y los operadores que la cumplen se pueden identificar con los anteriores. El primer resultado que enunciamos es uno de los primeros teoremas del Análisis Funcional (1910) y sugiere que el dominio de un operador y el problema de extensión del mismo juegan un importante papel en la cuestión de su acotación eorema (Hellinger-oeplitz). Sea H un espacio de Hilbert y supongamos que : H H es un operador lineal definido en todo H y simétrico, es decir tal que x, y = x, y, x, y H. Entonces es acotado. En particular, como el operador multiplicación verifica Mf, g = xf(x) g(x)dx = f, Mg y no es acotado, no puede estar definido en todo el espacio. R Demostración. Supongamos por el contrario que existe una sucesión de Cauchy (y n ) n N en H con y n = 1 y y n. Definimos la sucesión (f n ) n N de funcionales lineales en H por f n (x) = x, y n = x, y n, n. Por la desigualdad de Schwarz, f n (x) = x, y n y n x, de modo que cada f n está acotado. Además, de f n (x) = x, y n x de deduce que (f n (x)) n N es una sucesión acotada. Por el principio de acotación uniforme (capítulo IV, teorema 4.2), ( f n ) n N está acotada, por lo que f n k, n. Así f n (x) f n x k x. En particular, para x = y n resulta que y n 2 = y n, y n = f n ( y n ) k y n = y n k lo que es absurdo. Observaciones. 1) El teorema anterior sugiere plantear el problema de determinar dominios de operadores y obtener extensiones de los mismos. 290

3 Utilizaremos la notación S para indicar que es extensión de S, es decir D(S) D( ) y D(S) = S. Es claro que S si y sólo si G(S) G( ), donde G representa el grafo del operador. 2) Si un operador lineal es acotado, es decir k > 0 : x k x, x D( ), puede extenderse a D( ) por continuidad. Si D( ) no fuera denso en H, se puede extender más allá de D( ), haciendo por ejemplo x = 0, x D( ), y por linealidad definirlo en todo H. Dicha extensión estará también acotada y tendrá la misma norma de. Esto sugiere suponer que los operadores lineales acotados están siempre definidos en todo H, de modo que en lo sucesivo adoptaremos dicho convenio. A continuación vamos a generalizar el concepto de operador adjunto en el caso de operadores no acotados Definición. Dado un operador lineal con dominio D( ) H, se define D( ) = {x H : y, x, x = x, y, x D( )} y se llama adjunto de al operador definido por x D( ) : x = y Proposición. está bien definida (es decir y es único) si y sólo si D( ) es denso en H. Demostración. Si D( ) H, existe y 1 H con y 1 0 tal que y 1 D( ). Así x, y = x, y + x, y 1. Recíprocamente, si D( ) = H e y 1 = x, y 2 = x, entonces y 1, z = y 2, z, z D( ) = y 1 y 2 D( ) = y 1 y 2 H = y 1 = y 2. Observaciones. De la definición se deducen también las propiedades correspondientes al caso en que los operadores son acotados. En particular: 1) x D( ), x D( ) : x, x = x, x. 2) Si L(H), entonces L(H) y =. 3) Si L(H), entonces =. 4) Si S, L(H), S = (S ). 5) Si α C y tiene dominio denso en H, entonces (α ) = α. Sin embargo, para operadores no acotados se presentan ciertas diferencias como se muestra a continuación. 291

4 1.4.- Proposición. Sean S y dos operadores lineales con dominio denso en el mismo espacio de Hilbert H. a) Si S, entonces S. b) + S ( + S). c) Si S tiene dominio denso en H, entonces S (S ). Si además S L(H), entonces S = (S ). Demostración. a) Si x D( ), entonces existe y H tal que x, z = y, z, z D( ). Como S, y, z = x, z = x, Sz, z D(S). Esto implica que x D(S ) y S x = y, o bien que S. b) Si x D( + S ), entonces x D( ) y x D(S ). Por tanto, y 1, y 2 H : x, z = y 1, z, z D( ) x, Sz = y 2, z, z D(S) = x, ( + S)z = y 1 + y 2, z, z D( ) D(S) = D( + S). Esto implica que x D( + S) y ( + S) x = y 1 + y 2 = ( + S )x. c) Si x D( S ) = x D(S ), S x D( ). Por tanto, y 1 H : x, Sz = y 1, z, z D(S), y 2 H : S x, u = y 2, u, u D( ), Ahora bien, si u D(S ), entonces u D( ) y z = u D(S). eniendo en cuenta que y 1 = S x, tenemos: x, S u = x, Sz = y 1, z = S x, u = y 2, u lo que implica que x D((S ) ) y (S ) x = y 2 = S x. Por último, si S L(H), veamos que D((S ) ) D( S ). Sea pues x D((S ) ). Entonces y H : x, (S )z = y, z, z D(S ). En particular x, (S )z = y, z, z D( ). Como S L(H), S L(H) y x, (S )z = S x, z, lo que implica que S x D( ). Como además D(S ) = H, también x D(S ); por tanto x D( S ). Una generalización del concepto de operadores simétricos para operadores no acotados es la siguiente: Definición. Un operador : D( ) H H es simétrico si x, y = x, y, x, y D( ). Un operador simétrico es maximal si no tiene extensiones simétricas propias. 292

5 Observación. A veces se exige que un operador simétrico tenga dominio denso y, en caso de no cumplir esta condición, recibe el nombre de operador hermítico. Las siguientes caracterizaciones de los operadores simétricos son útiles Proposición. Si D( ) = H, son equivalentes: i) es simétrico. ii). iii) x, x R, x D( ). Demostración. i) = ii). Sea x D( ). Existe entonces y = x tal que z, x = z, y, para todo z D( ). Esto implica que x D( ) y que x = y = x. ii) = iii). Si x D( ), x, x = x, x = x, x = x, x. Esto implica que x, x R. iii) = i). Sea α C. Entonces (x + αy), x + αy = x, x + α y, x + α x, y + α α y, y x + αy, (x + αy) = x, x + α y, x + α x, y + α α y, y. eniendo en cuenta que (x + αy), x + αy = x + αy, (x + αy), resulta: Para α = 1, x, y + x, y = x, y + x, y = Im x, y = Im x, y. Para α = i, x, y + x, y = x, y + x, y = Re x, y = Re x, y. De las dos igualdades se deduce que x, y = x, y Definición. Un operador : D( ) H H con dominio denso en H es autoadjunto si =. Es evidente entonces que todo operador autoadjunto es simétrico y si D( ) = H, el recíproco también es cierto. De la definición se deduce también que todo operador simétrico que verifica D( ) = D( ) es autoadjunto. Ejemplos. 1) Sea H = L 2 d (R) y D = i dx el operador definido en el conjunto de funciones que tienen límite cero en los infinitos (que es denso en H). Entonces D es simétrico. 2) Sea H = L 2 [0, 1] y se define k f = i f, (k = 1, 2, 3), con D( 1 ) = {f H : f absolutamente continua y f H}, D( 2 ) = {f D( 1 ) : f(0) = f(1)} D( 1 ), D( 3 ) = {f D( 2 ) : f(0) = f(1) = 0} D( 2 ), 293

6 dominios que definen varios aspectos del problema de la cuerda vibrante. Se observa en primer lugar que enemos además que 1 = 3, 2 = 2, 3 = 1. Resulta pues que 2 es extensión autoadjunta del operador simétrico 3 y 1 es una extensión no simétrica de 2. Esto indica en particular que los conceptos de operador simétrico y autoadjunto no coinciden en el caso de operadores no acotados. Observemos además que el cálculo del operador adjunto depende del dominio del operador y no basta la definición formal del mismo. En un espacio de Hilbert arbitrario H, la aplicación U : H H H H, definida por U(x, y) = i(y, x), llamado operador de conjugación, es un operador unitario tal que U 2 = I; además tenemos lo siguiente: Proposición. Sea : D( ) H H un operador lineal con D( ) = H. a) Si G( ) = {(x, x) : x D( )} es el grafo de, entonces U(G( )) = G( ). b) Si admite una clausura, entonces su adjunto tiene dominio denso en H y U(G( )) = G( ). Demostración. a) Supongamos que (x, y) U(G( )). Entonces, (u, v) U(G( )), (x, y), (u, v) = 0. Como (u, v) = U(a, a) = (i a, ia) para algún a D( ), resulta: 0 = (x, y), (u, v) = x, u + y, v = x, i a + y, ia = i x, a + i y, a = x, a = y, a. Esto implica que x D( ) y que y = x. Recíprocamente, si (x, y) G( ), x D( ), y = x. Por tanto, para todo a D( ), (x, y), (i a, ia) = i x, a + i y, a = i x, a + i y, a = 0. b) Supongamos que D( ) H, es decir y 0 0 : y 0 D( ). Entonces y 0, x = 0, x D( ), de donde (y 0, 0), (x, x) = 0, x D( ) = (y 0, 0) G( ). Debido al apartado (a), G( ) = U(G( )) = U(G( )). 294

7 D( ) tal que (y 0, 0) = lím n U(x n, x n ), de don- Por tanto, (x n ) n N de y 0 = lím n i x n, 0 = lím n ix n. Por ser clausurable, si lím n ix n = 0, lím n i x n = y 0, entonces y 0 = 0, lo que contradice la suposición inicial. La segunda parte se obtiene de (a) sustituyendo por. La importancia de este teorema queda patente en la variedad de consecuencias que de él se derivan Corolario. Sea : D( ) H H un operador lineal con dominio denso en H. 1) es cerrado. En particular los operadores autoadjuntos son cerrados. 2) Si D( ) es también denso en H,. 3) Si es clausurable, entonces ( ) =, =. En particular, si es cerrado, =. 4) N( ) = R( ) y, si es cerrado, N( ) = R( ). 5) Si es simétrico, es clausurable y es también simétrico. 6) H H = G( ) UG( ). { x + y = a 7) Si es cerrado, el sistema x + siempre tiene solución (x, y) y = b D( ) D( ). 8) Si es inyectiva y R( ) es denso en H, entonces es inyectiva y ( ) 1 = ( 1 ). Demostración. 1) G( ) es cerrado por ser el complemento ortogonal de un subespacio de H H. 2) Como U(G( )) = G( ), resulta U(G( )) = G( ) = U(G( )) G( ) = G( ) U(G( ) ) = G( ) =. 3) Si es la clausura de, G( ) = G( ). Entonces U(G( )) = U(G( )) = G( ) = U(G( )) = U(G( )) = G( ). Por otra parte, de G( ) = U(G( )) deducimos que G( ) = U(G( )) = U( G( )) = U(G( )) 295

8 y de aquí, G( ) = U(G( )) = U(G( ) ) = U 2 (G( )) = G( ). Esto prueba que =. 4) De lo anterior se deduce x N( ) (x, 0) G( ) (x, 0), (u, v) = 0, (u, v) U(G( )) (x, 0), (i a, ia) = 0, a D( ) x, a = 0, a D( ) x R( ). 5) Si es simétrico, es extensión de y es cerrado. Además, x, y D( ), (x n ) n N, (y m ) m N D( ) tales que Así pues, x n x, x n x, y m y, y m y. x, y = lím n,m x n, y m = lím n,m x n, y m = x, y. 6) Es evidente pues G( ) = U(G( )). 7) Sea (a, b) H H arbitrario. enemos: (a, b) = f + g, f G( ), g U(G( )) = U(G( )) (a, b) = (y, y) + U(x, x ), y D( ), x D( ) = (a, b) = (y, y) + i( x, x ) = (y, y) + ( x, x), y D( ), x D( ). 8) Por el apartado (4), N( ) = R( ) = R( ) = {0}. eniendo en cuenta ahora la proposición 1.4, como D( ) y D( 1 ) = R( ) son densos en H, entonces ( 1 ) ( 1 ) = I = ( 1 ) = ( ) 1. Observación. Debido al apartado 5) se puede suponer siempre que un operador simétrico es cerrado. La siguiente propiedad será también útil en el estudio de los operadores autoadjuntos Proposición. Sea un operador simétrico con dominio denso en H. Entonces: a) D( ) = H = = y L(H). 296

9 b) = y inyectivo = R( ) = H y 1 = ( 1 ). c) R( ) = H = inyectivo. d) R( ) = H = = y 1 L(H). Demostración. a) Por ser simétrico,. Como D( ) = H, =. Por el teorema del gráfico cerrado, como es cerrado y D( ) = H, es acotado. (Como se observa, esto constituye otra prueba del teorema de Hellinger-oeplitz.) b) Debido al apartado 4 del corolario anterior, N( ) = R( ), de modo que, si N( ) = 0, entonces R( ) = H. La segunda parte se obtiene ahora aplicando el apartado 8 del corolario citado. c) Sea v D( ) tal que v = 0. Entonces: v, x = 0, x D( ) = v, x = 0, x D( ) = v R( ) = v = 0. d) Si R( ) = H, es inyectiva y existe S = 1 con D(S) = R( ) = H. Dados f, h R( ), f = g, h = k, entonces Sf, h = g, k = g, k = f, k = f, Sh, es decir S es simétrico. Por el apartado a), S = S L(H) y, por el apartado b), = S 1 es autoadjunto. Estudiaremos a continuación el problema de las extensiones de operadores simétricos. Sabemos que, si es un operador simétrico y S es una extensión simétrica de, entonces S S, es decir toda extensión simétrica de es restricción de Proposición. a) odo operador simétrico tiene alguna extensión simétrica maximal. b) oda extensión simétrica maximal de un operador simétrico es cerrada. c) odo operador autoadjunto es simétrico maximal. El apartado a) es una simple aplicación del lema de Zorn y los otros dos son consecuencia de los resultados anteriores eorema. Sean un operador simétrico y λ = a + ib con a, b R. Entonces: a) ( λi)x 2 = b 2 x 2 + ( ai)x 2, x D( ). 297

10 b) Si b 0, N( λi) = {0}, es decir λi es inyectivo. c) Si b 0 y es cerrado, entonces R( λi) es cerrado. d) Si además R( λi) = H, es simétrico maximal. Demostración. Observamos en primer lugar que ( λi)x 2 = ( ai)x ibx 2 = ( ai)x 2 +b 2 x 2 +2 Re i ( ai)x, bx donde ( ai)x, bx = b x, x ab x 2 R. Esto demuestra el apartado a). De aquí también se deduce que ( λi)x = 0 = b 2 x 2 = 0 = x = 0, lo que prueba el apartado b). Para probar c) elegimos una sucesión (x n ) n N D( ) tal que ( λi)x n y. Entonces (x n ) n N es de Cauchy porque b 2 x n x m 2 ( ai)(x n x m ) 2 +b 2 x n x m 2 = ( λi)(x n x m ) 2 0. Por ser H de Hilbert, existe x = lím n x n. De este modo, por ser λi cerrado, debe ser x D( λi) y ( λi)x = y, es decir y R( λi). Por último, para probar d) suponemos que existe un operador simétrico S tal que S. Entonces H = R( λi) R(S λi). Si consideramos un elemento u D(S) \ D( ), aplicando el resultado de b) al operador S, tenemos: u D( ) : (S λi)u = ( λi)u = (S λi)u = u = u lo que es absurdo a no ser que = S. El siguiente resultado permite asociar a todo operador cerrado un operador positivo acotado y sirve de base para dar una prueba del teorema espectral de operadores autoadjuntos no acotados eorema. Sea cerrado con dominio denso; se define Q = I +. Entonces: a) Q : D(Q) H es biyectivo y existen B, C L(H), con B 1, C 1, tales que C = B y BQ QB = I. Además B 0 y es autoadjunto. b) Sea = D( ); entonces G( ) es denso en G( ). Demostración. Por el apartado 6 del corolario 1.9 y teniendo en cuenta que es cerrado, H H = G( ) UG( ). Entonces, h H, existen x D( ), y D( ) tales que: (0, h) = (y, y) + U(x, x) = (y + i x, y ix). 298

11 Quedan definidos así los operadores Bh = ix, Ch = y, que tienen dominio H y son lineales. Además, debido a que la suma anterior es ortogonal, por la definición de norma en H H, tenemos: h 2 = Ch 2 + Ch 2 + Bh 2 + Bh 2 Ch 2 + Bh 2. Entonces Ch h y Bh h, con lo que B 1 y C 1. Además, 0 = Ch Bh = B = C h = Ch + Bh = Bh + Bh = (I + )Bh = QB = I. En particular, y D(Q), h H tal que y = Bh; por tanto, Qy = QBh = h y BQy = Bh = y, de donde BQ I. La aplicación Q es biyectiva pues, por ser QB = I, Q es sobre y, por ser BQ I, Q es inyectiva. Además, Q es un operador positivo pues, x D(Q), Qx, x = x, x + x, x = x 2 + x 2 0. Veamos, como consecuencia de lo anterior, que B 0: Dado cualquier h H, sea x D(Q) tal que h = Qx; entonces Bh, h = BQx, Qx = x, Qx 0. Como B L(H), B es autoadjunto. De 1.10(b) se deduce que Q es también autoadjunto, con lo que evidentemente Q I = es autoadjunto. Para probar b), consideremos un elemento (x, x) ortogonal a G( ). Entonces y D( ) = D(Q) : 0 = (x, x), (y, y) = x, y + x, y = x, (I+ )y = x, Qy = x R(Q). Como R(Q) = H, x = 0. Observación. eniendo en cuenta que = (pues es cerrado) y es cerrado, el resultado anterior también se aplica al operador. Además, de la proposición 1.10 se deduce que los operadores (I + ) 1 y (I + ) 1 son acotados. Veremos en los ejercicios al final del capítulo algunas aplicaciones de este teorema. 299

12 2. PROPIEDADES ESPECRALES DE OPERADORES SIMÉRI- COS Y AUOADJUNOS. Muchas de las propiedades espectrales de operadores autoadjuntos acotados se conservan en el caso de operadores no acotados. Algunas de dichas propiedades se generalizan en esta sección. Observemos en primer lugar que, si : D( ) H H es un operador lineal cerrado con dominio denso, entonces λi : D( ) R( ) es biyectiva si y sólo si λ no es autovalor de. Así pues, los autovalores son aquellos para los que, o bien λi no tiene inverso, o bien ( λi) 1 no es un operador acotado definido en todo H. Si es además un operador simétrico, sus autovalores son reales (teorema 1.12.b). Esto da lugar al siguiente resultado Proposición. Sea un operador autoadjunto. La condición necesaria y suficiente para que λ sea autovalor de es que R( λi) H. Demostración. Si λ es autovalor, existe x 0 tal que x = λx. Entonces: x, ( λi)y = ( λi)x, y = 0, y D( ). Esto implica que x R( λi) con lo que R( λi) H. Recíprocamente, si R( λi) H, entonces x 0 tal que x R( λi). Luego x, ( λi)y = 0, y D( ) = x, y = x, λy, y D( ) = x D( ), x = λx. Como es autoadjunto y λ R, entonces x = λx Corolario. Si es autoadjunto, el autoespacio correspondiente a un autovalor λ es R( λi). El siguiente resultado es también similar al correspondiente en el caso de operadores acotados eorema. Sea : D( ) H H un operador autoadjunto con dominio denso en H. Entonces λ ρ( ) c > 0 : ( λi)x c x, x D( ). Los tres lemas siguientes serán útiles en la determinación del espectro de los operadores simétricos Lema. Sea un operador simétrico cerrado y λ = a + ib un complejo, con b 0. Si µ C es tal que λ µ < b, entonces N( µi) N( λi) = {0}. 300

13 Demostración. Supongamos por el contrario que f N( µi) N( λi) y f = 1. Como R( λi) es cerrado, N( λi) = R( λi), de modo que existe g H tal que ( λi)g = f. Así pues, como f N( µi), 0 = ( µi)f, g = f, ( µi)g = f, ( λi)g + (λ µ) f, g = f 2 + (λ µ) f, g. Entonces 1 = f 2 } = λ µ f, g λ µ g 1 = f = ( λi)g b g lo que contradice la hipótesis. = 1 λ µ b 1, Lema. Sean M y N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H, tales que M N = {0}. Entonces dim M dim N. Demostración. Llamamos P : H H a la proyección ortogonal sobre N y : M N a la restricción de P a M, f = P f, f M. Es evidente que es inyectiva. Por tanto, si L M es un subespacio arbitrario con dim L = k, entonces dim L = k dim N, lo que implica que dim M dim N Lema. Si es un operador simétrico cerrado, entonces dim N( λi) es constante para cualquier λ con Im λ > 0. Demostración. De los lemas anteriores, haciendo λ = a + ib, con b > 0, se deduce que dim N( µi) dim N( λi) si λ µ < b. omando λ µ < b/2, también λ µ < Im µ, de modo que la desigualdad contraria también es cierta. Se prueba así que la función λ dim N( λi) es localmente constante. Cubriendo el semiplano superior con bolas donde se cumpla lo anterior, se obtiene la tesis eorema. Si es un operador simétrico cerrado, entonces una y sólo una de las siguientes posibilidades es cierta: i) σ( ) = C. ii) σ( ) = {λ C : Im λ 0}. iii) σ( ) = {λ C : Im λ 0}. iv) σ( ) R. Demostración. Sea H ± = {λ C : ± Im λ > 0}. Por la proposición 1.12, si λ H ±, λi es inyectiva y tiene rango cerrado. enemos dos posibilidades: 301

14 - Si λi no es sobre, entonces λ σ( ). - Si λi es sobre, por la proposición 1.10(d), λ ρ( ). Como N( λi) = R( λi), del lema anterior resultan las siguientes opciones (observando además que σ( ) es cerrado, lo que se prueba como en el caso de operadores acotados): i) H + σ( ), H σ( ) = σ( ) = C. ii) H + σ( ), H σ( ) = = σ( ) = H + = {λ C : Im λ 0}. iii) H + σ( ) =, H σ( ) = σ( ) = H = {λ C : Im λ 0}. iv) H + σ( ) =, H σ( ) = = σ( ) R Proposición. Si es un operador simétrico cerrado, son equivalentes: i) es autoadjunto. ii) σ( ) R. iii) N( ii) = N( + ii) = {0}. Demostración. Por ser simétrico, sus autovalores son reales. i) = ii): Sea autoadjunto y tomemos λ C \ R. eniendo en cuenta los apartados b) y c) del teorema 1.12, {0} = N( λi) = N( λi) = [R( λi)] = R( λi) = H y, por el teorema anterior (repitiendo el argumento para λ), se deduce que el espectro de es real. ii) = iii): Como ±i ρ( ), N( ± ii) = [R( ii)] = H = {0}. iii) = i): Por hipótesis, R( ii) = R( + ii) = H. Veamos que además ± ii son inyectivas: Sea x D( ) tal que ( ± ii)x = 0. Por ser extensión de, z H resulta: x, z = x, ( ii)y = ( ±ii)x, y = ( ±ii)x, y = 0, y = 0 = x = 0. Esto quiere decir que existe ( ± ii) 1 L(H). Como [( ± ii) 1 ] = ( ii) 1, también ( ii) 1 L(H). Sea h D( ). Entonces existe f D( ) tal que ( + ii)f = ( + ii)h. Pero ( + ii)f = ( + ii)f, de modo que f = h y =. 302

15 3. EOREMA ESPECRAL DE OPERADORES UNIARIOS. A fin de lograr una representación espectral de operadores autoadjuntos, utilizaremos la transformada de Cayley y la representación espectral de operadores unitarios, que son acotados. En esta sección se deduce dicha representación espectral. Utilizaremos el enfoque clásico, inigualable en su alcance al enfoque actual vía la teoría de álgebras de Banach, transformada de Gelfand y teorema de Gelfand-Naimark, pero más próximo a quienes estén orientados a las aplicaciones. En primer lugar se prueba que el espectro de un operador unitario está en la circunferencia unidad eorema. Sea U : H H un operador unitario en un espacio de Hilbert complejo H; entonces λ = 1, λ σ(u). Demostración. Basta observar que, si λ < 1, si λ > 1, (U λi)x Ux λ x = (1 λ ) x, (U λi)x λ x Ux = ( λ 1) x, y, en ambos casos, (U λi) 1 L(H). Hay varias formas de obtener el teorema espectral de operadores unitarios, desde la de Wintner (1929) y pasando por las de von Neumann (1930), Stone (1932), Wecken (1935), Friedrichs (1935) y Riesz-Nagy (1955). En el caso finito-dimensional sabemos que si H es un espacio de Hilbert con dim H = n y U es un operador unitario en H, entonces existe una base ortonormal {v 1,..., v n } de H formada por vectores propios de U, con Uv j = λ j v j, j = 1,..., n y λ j = 1. Si llamamos E j al subespacio propio asociado a λ j, E j = {v H : Uv = λ j v}, y P j a la proyección ortogonal de H sobre E j (j = 1,..., m con m n), el teorema espectral dice que i) H = E 1 E m ; ii) I = P P m ; iii) U = λ 1 P λ m P m. Una posible generalización en dimensión infinita puede producir la descomposición U = k=1 λ kp k o bien U = λdp, siendo = {λ C : λ = 1} (pues los autovalores están en la circunferencia unidad). 303

16 Para que tenga sentido dicha integral necesitamos definir una correspondencia entre la σ-álgebra Ω de subconjuntos de Borel en y el espacio L(H) de los operadores lineales y acotados en H que tenga las propiedades de una medida. De ahí que debamos introducir la siguiente definición Definición. Sean X un conjunto arbitrario, Ω una σ-álgebra de subconjuntos de X y H un espacio de Hilbert. Una medida espectral u ortogonal en (X, Ω, H) es una correspondencia E : Ω L(H) con las propiedades i) E( ) es una proyección ortogonal, Ω. ii) E(X) = I, E( ) = 0. iii) Si {A n } n N Ω son disjuntos dos a dos y x H arbitrario, entonces E( A n )x = E(A n )x. n N n N iv) E(A B) = E(A)E(B), A, B Ω. De la definición se deduce inmediatamente el siguiente resultado Lema. Si E es una medida espectral en (X, Ω, H) y x, y H, entonces la función de conjuntos E x,y : Ω C definida por E x,y ( ) = E( )x, y es una medida numerablemente aditiva en Ω con variación total E x,y x y. El siguiente resultado da sentido al concepto de integral respecto a una medida espectral Proposición. Si E es una medida espectral en (X, Ω, H) y φ : X C una función Ω-medible acotada, existe un único operador A L(H) tal que para cualesquiera ε > 0 y { 1,..., n } Ω-partición de X con entonces sup{ φ(x) φ(x ) : x, x k } < ε (1 k n), A n φ(x k )E( k ) < ε, x k k. k=1 Dicho operador se llama integral de φ respecto a E y se denota por A = X φde. Del resultado anterior se deduce que Ax, y = X φde x,y. Demostración. A cada función simple s = n k=1 α kχ k le asociamos el operador A s = n k=1 α ke( k ). Como cada E( k ) es autoadjunto, entonces A s = n α k E( k ) = A s. k=1 304

17 Si t = m j=1 β jχ j es otra función simple, entonces A s A t = k,j α k β j E( k )E( j) = k,j α k β j E( k j) = A st. De estas igualdades se deduce que A sa s = A s A s = A ss = A s 2. Si tomamos x, y H arbitrarios, obtenemos: A s x, y = n α k E( k )x, y = k=1 de modo que A s x 2 = A sa s x, x = A s 2x, x = es decir A s x s x. X n α k E x,y ( k ) = k=1 X sde x,y, s 2 de x,x s 2 E x,x s 2 x 2, Por otra parte, es claro que, si x R(E( i )), entonces A s x = α i E( i )x = α i x; de esta igualdad y eligiendo i de manera que α i = s, resulta que ( ) A s = s. Sea ahora φ : X C una función Ω-medible y acotada y (s (i) ) i N una sucesión de funciones simples medibles que converge a φ. De la fórmula ( ) deducimos que la sucesión (A s (i)) i N es de Cauchy en L(H); por tanto, converge a un operador A L(H). Dicho operador no depende de la elección de la sucesión (s (i) ) i N. Así pues, dados ε > 0 y { 1,..., n } con las condiciones indicadas en el enunciado, la tesis se sigue de la convergencia de la sucesión (A s (i)) i N al operador A. Con esta notación, si consideramos la σ-álgebra Ω = { : de Borel en }, el teorema espectral se enuncia entonces de la siguiente forma: eorema. Si U L(H) es unitario, entonces existe una única medida espectral E en (, Ω, H) tal que U n = zn de(z), n Z. Observación. Debido a que todo punto z puede representarse como z = e it, con t [0, 2π), podemos escribir U n = 2π 0 e int de(t). Demostración. El proceso será el siguiente: 305

18 1) Buscaremos una familia de medidas {µ x, x H} tal que U n x, x = z n dµ x (z), n Z. Fijado x H, consideramos la sucesión numérica {c n (x)} n Z, definida por c n (x) = U n x, x. De la definición es claro que c n = c n. Como la medida espectral debe verificar que U n = zn de(z), n Z y, en particular, U n x, x = zn d E(z)x, x, x H, la medida escalar positiva µ x definida por µ x ( ) = E( )x, x debe verificar c n (x) = zn dµ x (z), n Z. La existencia de tal medida corresponde al llamado problema trigonométrico de momentos; la respuesta a dicho problema la proporciona el teorema de representación de Herglotz: Dicha medida µ existe (y es única) si y sólo si la sucesión {c n } n Z es definida positiva, es decir N j,k=1 c j k λ j λ k 0, N N, λ 1,..., λ N C. En este caso la sucesión { U n x, x } n Z es definida positiva, pues N c j k (x)λ j λ k = j,k=1 = N U j k x, x λ j λ k j,k=1 N λ j U j x, λ k U k x = j,k=1 N λ j U j x 2 0. j=1 2) A continuación queremos encontrar una familia de medidas µ x,y ( ) para las que U n x, y = zn dµ x,y (z), n Z. Para ello utilizamos la identidad de polarización U n x, y = 1 4 [ U n (x + y), x + y U n (x y), x y ] por lo que basta definir + i 4 [ U n (x + iy), x + iy U n (x iy), x iy ], µ x,y ( ) = 1 4 µ x+y( ) 1 4 µ x y( ) + i 4 µ x+iy( ) i 4 µ x iy( ). 3) Fijado de Borel en, la función β( ) : H H C definida por 306

19 β( )(x, y) = µ x,y ( ) es una forma sesquilineal: de modo que U n (αx 1 + x 2 ), y = z n dµ αx1 +x 2,y(z), α U n x 1, y + U n x 2, y = α z n dµ x1,y(z) + z n dµ x2,y(z) = z n d[αµ x1,y(z) + µ x2,y(z)], f(z)dµ αx1 +x 2,y(z) = f(z)d[αµ x1,y(z) + µ x2,y(z)], f exponencial trigonométrica. Por linealidad, también es cierta para polinomios trigonométricos y, por el teorema de aproximación de Weierstrass, también para toda función continua o continua a trozos. En particular, χ (z)dµ αx1 +x 2,y(z) = o bien µ αx1 +x 2,y( ) = αµ x1,y( ) + µ x2,y( ). Análogamente, debido a la igualdad χ (z)d[αµ x1,y(z) + µ x2,y(z)], x, U n y = U n x, y = z n dµ x,y (z) = U n y, x = z n d µ y,x (z), n Z, y razonando como en el caso anterior, se deduce que µ x,y ( ) = µ y,x ( ). 4) Veremos a continuación que F : C() L(H), definida por F (g) = g(u), es una representación de C() (espacio de las funciones continuas en con la norma del supremo), es decir es un homomorfismo de álgebras que cumple F (g ) = F (g), donde definimos g (x) = g(x). Definimos en primer lugar F : P L(H) por F (p) = p(u), donde denotamos por P = {p : C : p(z) = N 2 n=n 1 a n z n } al espacio de los polinomios trigonométricos con la norma del supremo. Resultan de la definición las siguientes propiedades: i) F es lineal, F (α 1 p 1 + α 2 p 2 ) = α 1 F (p 1 ) + α 2 F (p 2 ). ii) F es multiplicativa, F (p 1 p 2 ) = F (p 1 )F (p 2 ). iii) p(u)x, y = p(z)dµ x,y(z), x, y H. 307

20 iv) p(u) = p(u) : x, p(u) y = p(u)x, y = = v) Si p(z) 0, z, entonces p(u) 0: p(z)dµ x,y (z) = p(z)d µ x,y (z) p(z)dµ y,x (z) = p(u)y, x = x, p(u)y. Por el teorema de Fejér-Riesz, si p P es positivo, q P : p = q 2. Entonces p(u)x, x = ( qq)(u)x, x = q(u)q(u)x, x = q(u) q(u)x, x = q(u)x 2 0. vi) F = 1: p(u)x 2 = p(u)x, p(u)x = p(u) p(u)x, x p 2 x 2 [ p 2 I p(u) p(u)]x, x 0. Como p 2 I p(u) p(u) = F (q) con q(z) = p 2 p(z) 2 0, la desigualdad anterior se deduce de v). En definitiva, p(u)x p x = p(u) p = F 1. Por otra parte, tomando p(z) = 1, z, entonces p(u) = I de modo que F p(u) / p = 1 = F = 1. Como F es acotada y L(H) es completo, F se extiende a P que es el espacio C() de las funciones continuas con la norma del supremo, donde se mantienen las propiedades anteriores; en particular, ( ) F (g)x, y = g(u)x, y = g(z)dµ x,y (z), g C(). 5) Debido a la equivalencia entre el dual de C() y el espacio de las medidas de Borel finitas en, dada por µ l C(), con l(f) = fdµ, f C(), podemos probar la acotación de µ x,y como sigue: { } µ x,y = sup fdµ x,y : f C(), f 1 = sup{ f(u)x, y : f C(), f 1} sup{ f(u) x y : f C(), f 1} x y. 6) El siguiente paso es extender la representación F a la C -álgebra B() de las funciones medibles Borel y acotadas en. 308

21 Fijamos ahora g B() y definimos β g (x, y) = g(z)dµ x,y(z). Debido a que β g es un forma sesquilineal acotada con β g g, por el teorema de representación de Riesz para formas sesquilineales (capítulo III, teorema 6.5), existe un único operador A g L(H) tal que β g (x, y) = A g x, y y A g g. La nueva aplicación F : B() L(H) definida por F (g) = A g está bien definida, F (g) g y ( ) F (g)x, y = g(z)dµ x,y (z), x, y H. Debemos probar a continuación que F es una representación de B() que extiende a la correspondiente representación de C(). i) Es inmediato de ( ) y ( ) que se trata de una extensión. ii) Es también evidente que F es lineal y tiene norma 1. iii) F ( g) = F (g) pues, x, y H: F (g) x, y = A gx, y = A g y, x = g(z)dµ y,x (z) = g(z)dµ x,y (z) = A g x, y = F ( g)x, y. iv) F es multiplicativa; para ello veamos en primer lugar que F (f g) = F (f)f (g) con f C() y g B(), pero debido a las equivalencias F (fg) = F (f)f (g) F (fg)x, y = F (f)f (g)x, y = F (g)x, F (f) y (fg)(z)dµ x,y (z) = g(z)dµ x,f (f) y(z), la igualdad anterior será cierta si y sólo si fdµ x,y = dµ x,f (f) y, f C(), o bien ϕfdµ x,y = ϕdµ x,f (f) y, ϕ C(), lo que equivale a la multiplicatividad de F en C() que ya fue probada. Queda así probado que f(z)(g(z)dµ x,y(z)) = f(z)dµ x,g(u) y(z), f C(), g B(), de donde gdµ x,y = dµ x,g(u) y. Sean ahora g, g 1 B(); entonces F (gg 1 )x, y = (gg 1 )(z)dµ x,y (z) = g 1 (z)dµ x,g(u) y(z) = g 1 (U)x, g(u) y = g(u)g 1 (U)x, y = F (g)f (g 1 )x, y. 7) Definimos ahora, para cada de Borel en el operador E( ) = F (χ ) L(H). De la definición se deduce directamente que E( )x, y = µ x,y ( ). Veamos que E es una medida espectral en. 309

22 i) E( ) es un proyector ortogonal: E( ) 2 = F (χ ) F (χ ) = F (χ χ ) = F (χ ) = E( ); E( ) = F (χ ) = F ( χ ) = F (χ ) = E( ). ii) E() = F (χ ) = F (1) = I, E( ) = F (χ ) = F (0) = 0. iii) Si 1, 2 Ω, E( 1 2 ) = F (χ 1 2 ) = F (χ 1 χ 2 ) = F (χ 1 )F (χ 2 ) = E( 1 )E( 2 ). iv) Si { j } j N Ω son disjuntos dos a dos, es fácil probar la aditividad finita. Si llamamos H n = k>n k, para todo x H tenemos: E( j N j )x m E( j )x 2 = E(H m )x, E(H m )x j=1 expresión que tiende a cero si m. = E(H m )x, x = F (χ Hm )x, x = χ Hm (z)dµ x,x (z) = µ x,x ( j ), j>m 8) Por último veamos que F (g) = g(z)de(z), g C(): Dado ε > 0, sea { 1,..., n } una partición de mediante elementos de Ω tal que sup{ g(x) g(x ) : x, x k } < ε, (1 k n). Entonces, para cualquier elección x k k, g n k=1 g(x k)χ k < ε. Como F = 1, F (g) n k=1 g(x k)e( k ) < ε, lo que implica que F (g) = g(z)de(z), g C(). En particular, si g(z) = z n, entonces F (g) = U n, de donde U n = zn de(z), lo que completa la demostración. La medida espectral encontrada tiene la siguiente propiedad adicional Proposición. Si U L(H) es un operador unitario y A L(H) es un operador que conmuta con U, entonces A conmuta con E( ), para todo de Borel en. Además µ x,a y = µ Ax,y. Demostración. En primer lugar se comprueba que Ap(U) = p(u)a, para cualquier polinomio trigonométrico p. A continuación, si aproximamos toda función continua f C() mediante polinomios trigonométricos (aplicando el teorema de Stone-Weierstrass), se prueba que Af(U) = f(u)a. Por último, si Ω, consideremos la sucesión creciente {g n } n N de funciones 310

23 continuas tal que g n χ. Por el teorema de la convergencia monótona, x, y H se tiene: AE( )x, y = E( )x, A y = µ x,a y( ) = χ (z)dµ x,a y(z) = lím n g n (z)dµ x,a y(z) = lím n g n (U)x, A y = lím n Ag n (U)x, y = lím n g n (U)Ax, y = E( )Ax, y. Para la segunda parte, de AU = UA se deduce que: E( )Ax, y = AE( )x, y = E( )x, A y = µ x,a y = µ Ax,y. 4. EOREMA ESPECRAL DE OPERADORES AUOADJUN- OS NO ACOADOS. Es natural preguntarse si existe una descomposición espectral de todo operador simétrico análoga a la que existe en el caso de operadores acotados. rabajos importantes, especialmente de Carleman relativos a ecuaciones integrales singulares, mostraron la imposibilidad de obtener una completa analogía. Fue E. Schmidt quien observó que es necesario restringirse a operadores autoadjuntos si se quiere obtener una descomposición análoga. El teorema espectral para operadores autoadjuntos fue probado de diferentes maneras por von Neumann, Stone, Riesz y otros y constituyó el punto de partida de la nueva teoría de operadores lineales en espacios de Hilbert. En esta sección ilustramos una demostración de von Neumann que hace uso de la transformada de Cayley y, por tanto, se basa en la descomposición espectral de operadores unitarios (acotados). Otras demostraciones pueden verse en los distintos textos de Análisis Funcional (ver por ejemplo [BN], [RN], [Fu], [Ru]). Si uno considera los operadores, acotados o no, en espacios de Hilbert como generalizaciones de los números complejos, se encuentra que muchos resultados sencillos en relación a los números complejos tienen análogos no triviales en el contexto de operadores. Uno de ellos se refiere a la transformada de Möbius. Si en el espacio C definimos el conjunto = {z C : z = 1}, la transformación de Möbius w = z i z+i es una aplicación biyectiva de R en \ {1} cuya inversa es z = i(1+w) 1 w. Una adaptación de esta transformación al caso de operadores permitirá aplicar operadores autoadjuntos no 311

24 acotados sobre operadores unitarios acotados y operadores simétricos sobre isométricos. Esto permitirá establecer una analogía entre operadores lineales y números complejos. Mediante esta analogía los operadores autoadjuntos jugarán el papel de números reales, los operadores positivos corresponderán a los reales no negativos y los operadores unitarios a los complejos de módulo 1. Esto viene sugerido por el hecho de que el espectro de un operador autoadjunto es real y el de un operador unitario está contenido en. El paralelismo es más acusado si tenemos en cuenta que es autoadjunto en un espacio complejo si y sólo si x, x R, x. El siguiente ejemplo muestra que lo anterior no es cierto si el espacio es real: En el espacio X = R 2 definimos el operador (x 1, x 2 ) = (x 1 + 2x 2, x 2 ). Entonces x, x = 2 x 2 R pero (x 1, x 2 ) = (x 1, 2x 1 + x 2 ). La relación entre operadores autoadjuntos y unitarios viene dada por el siguiente resultado Proposición. Sea un operador autoadjunto en H. Entonces los operadores ± ii tienen inversas acotadas definidas en todo H y el operador U = ( ii)( + ii) 1 es un operador unitario en H, llamado transformada de Cayley de. Demostración. La primera parte se deduce de los teoremas 1.10 y 1.12 y de las igualdades N( ± ii) = R( ii). Para ver que U es unitario, sea x H y llamamos y = ( + ii) 1 x. Entonces: Ux 2 = ( ii)y, ( ii)y = y, y i y, y + i y, y + y, y = y, y i y, y + i y, y + y, y = ( + ii)y, ( + ii)y = x 2. Recíprocamente, conocida la transformada de Cayley de un operador autoadjunto, se puede extraer este como sigue Proposición. Si U es la transformada de Cayley de un operador autoadjunto en H, entonces I U es inyectiva y = i(i +U)(I U) 1. Demostración. Si (I U)x = 0 y llamamos y = ( + ii) 1 x, tenemos: x = Ux = x = ( ii)y = ( + ii)y = ( ii)y = y = 0 = x = 0. La segunda parte se obtiene por cálculo directo Corolario. Sea U la transformada de Cayley de un operador autoadjunto. Entonces 1 no es autovalor de U. Además 1 está en la resolvente de U si y sólo si es acotado. 312

25 El recíproco del resultado anterior también es cierto: si 1 no es autovalor de un operador unitario U, entonces U es la transformada de Cayley de algún operador autoadjunto. Los dos últimos teoremas, con los que concluimos el capítulo y el curso, permiten establecer una correspondencia biunívoca entre las medidas espectrales en R y los operadores autoadjuntos eorema (espectral de operadores autoadjuntos.) Sea : D( ) H un operador autoadjunto con dominio denso en H. Entonces existe una medida espectral P en R tal que = λdp (λ). R Demostración. Sea U = ( ii)( + ii) 1 la transformada de Cayley de ; como ya se ha probado, U es unitario, I U es inyectivo y = i(i + U)(I U) 1 con D( ) = (I U)(H). Por el teorema espectral de operadores unitarios, existe E medida espectral en tal que U = zde(z). Por ser I U inyectivo, 1 no es valor propio de U. De aquí se deduce que E({1}) = 0. En efecto, supongamos por el contrario que H 0 = E({1})H {0}. Entonces existe x 0 tal que x = E({1})x de donde Ux = UE({1})x. Como E({1}) es el operador asociado a la función característica χ {1}, tenemos: Ux = UE({1})x = lo cual contradice que I U es inyectivo. λ χ {1} (λ)de(λ)x = 1 E({1})x = x, Como la función ϕ : \ {1} R definida por ϕ(z) = i 1+z 1 z es biyectiva, la función P ( ) = E(ϕ 1 ( )), de Borel en R, es una medida espectral en R (como E({1}) = 0, E() = E( \ {1}) = I). Debido a la fórmula de la transformada de Cayley, procediendo formalmente, obtenemos: = i(i + U)(I U) 1 = i 1 + z 1 z de(z) = ϕ(z)de(z); si hacemos el cambio λ = ϕ(z), resulta = λde(ϕ 1 (λ)) = λdp (λ). Veamos el sentido de la expresión medible, no necesariamente acotada. f(λ)dp (λ), con f : R R función 313

26 4.5.- eorema. Sea P una medida espectral en R y f : R R una función medible. Existe entonces un único operador autoadjunto con dominio D( ) = {x H : f 2 (λ)d P (λ)x, x < } tal que = R f(λ)dp (λ) y x 2 = R f 2 (λ)d P (λ)x, x, x D( ). Demostración. Haremos la demostración en dos pasos. R 1) Si f es acotada, f(λ)dp (λ) es un operador acotado simétrico: f(λ)d P (λ)x, y es un funcional ses- En efecto, la aplicación β(x, y) = quilineal acotado pues β(x, y) f d P (λ)x, y f x y. Por tanto, existe un operador L(H) tal que β(x, y) = x, y, x, y H. Además es autoadjunto pues x, y = y, x = β(y, x) = = f(λ)d P (λ)y, x f(λ)d P (λ)x, y = β(x, y) = x, y. Escribiremos en este caso = f(λ)dp (λ). 2) Si f es medible, llamamos n = f 1 [n, n + 1), n Z; por definición, R = n Z n y la unión es disjunta. Si llamamos ahora ϕ n = χ n, P n = P ( n ) y H n = P n H, entonces 1 = n Z ϕ n, I = n Z P n, H = n Z H n (donde la suma es ortogonal por ser {P n } n Z una familia ortogonal de proyecciones). Como ahora f(λ)ϕ n (λ) son funciones acotadas para todo n, existen, según el apartado anterior, n operadores simétricos y acotados tales que n = f(λ)ϕ n (λ)dp (λ). Veamos ahora que nh H n, para lo cual basta probar que P n n = n: Como n = n f(λ)dp (λ), podemos aproximarlo por sumas de Riemann del tipo n k j=1 f(λ j)p (F j ), siendo {F 1,..., F k } una partición de n y λ j F j (j = 1,..., k). Entonces P n n k f(λ j )P ( n )P (F j ) = j=1 k f(λ j )P ( n F j ) = j=1 314 k f(λ j )P (F j ). j=1

27 Como ambas sumas de Riemann coinciden, n = P n n y, en consecuencia, R( n) H n. Lo anterior permite definir los operadores n = f(λ)ϕ n (λ)dp (λ) Hn : H n H n y probaremos a continuación que existe un único operador autoadjunto en H tal que Hn = n (teorema de Riesz-Lorch): Definimos pues x = n Z np n x cuyo dominio es D = {x H : n Z n P n x 2 < } (ver teorema 4.7, capítulo III). Así x D si y sólo si n [ k,k] np n x converge cuando k. Así definido se cumplen las siguientes propiedades: i) D H n, n Z. ii) está bien definido pues, si x D, ( ) x = P n x = (P n x) = n P n x. n Z n Z n Z iii) D es denso en H. En efecto, por i), H n D = n Z H n D = n Z H n D = H = n Z H n D. iv) D = {x H : f 2 (λ)d P (λ)x, x < } pues n P n x 2 = f 2 (λ)ϕ 2 n(λ)d P (λ)x, x = f 2 (λ)d P (λ)x, x n = n Z n P n x 2 = f 2 (λ)d P (λ)x, x. v) es simétrico pues, x, x H, x, x = n P n x, x = n P n x, P n x n Z n Z = P n x, n P n x = n P n x n Z n Z x, = x, x. 315

28 vi) es autoadjunto, para lo cual basta probar que D( ) D( ). Sea y D( ); entonces existe y tal que x, y = x, y, x D. Veamos que P n y = n P n y: n P n y, x = n P n y, P n x = P n y, n P n x = y, n P n x = y, P n x = y, P n x = P n y, x, x H. Entonces n Z np n y 2 = n Z P ny 2 = y 2 < = y D. vii) es único. Para ello, supongamos que existe un operador autoadjunto S tal que S Hn = n, n N. Veamos que S =. Si x D( ), debido a que n N SP n x 2 = n N n P n x 2 <, se deduce que n N SP nx converge. Por otro lado, como las sumas parciales de n N P nx (que están en D(S)) convergen a x y S es cerrado, x D(S) y además Sx = n N SP n x = n N n P n x = x. Esto implica que S. Recíprocamente, por ser S autoadjunto, de la proposición 1.4 deducimos que S = S =, de donde S =. Observaciones. 1) La forma que adopta la descomposición espectral de un operador autoadjunto no acotado es similar a la correspondiente del caso acotado. Sin embargo aquí los límites de integración en la representación no son finitos debido a que el espectro de un operador autoadjunto no acotado, aun siendo real, no es acotado. 2) De la descomposición espectral de un operador autoadjunto se puede obtener también una fórmula para la resolvente R z = ( zi) 1 (ver propiedades de la misma en los ejercicios al final del capítulo). Más precisamente, si P es la medida espectral de, R z = R 1 dp (λ) λ z para cualquier valor de z donde tengan sentido dichas expresiones. Esta fórmula se puede generalizar a operadores simétricos arbitrarios y proporcionar así diversas aplicaciones de la teoría de operadores. 3) Algunas notas históricas con respecto al teorema espectral pueden consultarse en las obras de Steen [Ste], Dunford-Schwartz [DS] y Halmos [Ha1]. 316

29 EJERCICIOS. 1. a) Probar que los operadores Mf(x) = xf(x), Df(x) = f (x) definidos en L 2 (R) son operadores simétricos no acotados y verifican la relación de conmutación DM MD = I. b) Probar que no existe ningún par de operadores acotados A, B que cumplan la relación AB BA = I. Resp.: a) En diversos lugares se ha probado ya que dichos operadores son simétricos no acotados. Además DMf(x) = D(xf(x)) = xf (x) + f(x) = (I + MD)f(x), es decir DM MD = I (en esta fórmula se basa el principio de incertidumbre en Mecánica Cuántica). b) Supongamos que existen A, B L(H) tales que AB BA = I. Entonces, multiplicando a izquierda y derecha por A, obtenemos: A 2 B ABA = A y ABA BA 2 = A. Al sumar miembro a miembro, resulta que A 2 B BA 2 = 2A. Repitiendo el proceso, se llega a la igualdad general A n B BA n = na n 1. Entonces n A n 1 A n B + BA n A n 1 AB + BA A n 1. Si suponemos que A 0, entonces A n 1 0, n, y de lo anterior se deduce que n AB + BA 2 A B, lo cual contradice el hecho de que A y B son operadores acotados. 2. Sean 1, 2, 3 tres operadores arbitrarios. a) Probar que ( 1 2 ) 3 = 1 ( 2 3 ). b) Probar que 1 2 = y Resp.: a) Veamos en primer lugar que D(( 1 2 ) 3 ) = D( 1 ( 2 3 )). 317

30 En efecto, x D(( 1 2 ) 3 ) x D( 3 ), 3 x D( 1 2 ) x D( 3 ), 3 x D( 2 ), 2 3 x D( 1 ) x D( 2 3 ), 2 3 x D( 1 ) x D( 1 ( 2 3 )). Por otra parte, es evidente que, si x D(( 1 2 ) 3 ), entonces ( 1 2 ) 3 x = 1 ( 2 3 )x. b) Como, por hipótesis, 1 2, entonces D( 1 ) D( 2 ) y 1 x = 2 x, x D( 1 ). Resulta así: x D( 3 1 ) = x D( 1 ), 1 x D( 3 ) = x D( 2 ), 2 x D( 3 ) = x D( 3 2 ). Además, x D( 3 1 ): ( 3 1 )x = 3 ( 1 x) = 3 ( 2 x) = ( 3 2 )x, lo que prueba que Con el otro caso se procede de la misma forma. 3. Sea H = L 2 (R) y llamamos D = {f L 2 (R) : x f(x) L 2 (R)}. Probar que el operador : H H definido por f(x) = xf(x) con dominio D es autoadjunto. [Este es el llamado operador posición en Mecánica Cuántica.] Resp.: Veamos que D es denso en L 2 (R). Para ello, basta observar que D contiene al conjunto de las funciones con soporte compacto y que este conjunto es denso en L 2 (R). Veamos a continuación que es simétrico: f, g = xf(x) g(x)dx = f(x) xg(x)dx = f, g, f, g D. R Esto implica que (ver proposición 1.6). Por último, comprobaremos que D( ) D( ): R Sea g D( ) y llamemos g = g. Por definición de adjunto, f D( ), xf(x) g(x)dx = f(x) g (x)dx. R 318 R

31 Si tomamos f(x) = χ [α,x0 ], la igualdad anterior queda x0 α x g(x)dx = x0 α g (x)dx y, derivando, x 0 g(x 0 ) = g (x 0 ) para casi todo x 0. Esto implica que g D y g(x) = xg(x). De lo anterior se deduce que es autoadjunto. 4. Sea H = L 2 (R) y D = {f L 2 (R) : f es absolutamente continua en todo intervalo finito y f L 2 (R)}. Probar que el operador : H H definido en D por f(x) = if (x) es autoadjunto. [Este es el operador momento en Mecánica Cuántica.] Resp.: Definimos para cada n la función continua 1 si x [α, x 0 ] f n (x) = 0 si x α 1/n ó x x 0 + 1/n recta en el resto. Las combinaciones lineales de funciones de la forma de f n con diferentes valores de α, x 0 y n son densas en L 2 (R). Por tanto, D es denso en H. Para probar que es simétrico, sea g D. Entonces, f D, integrando por partes obtenemos: b a if (x) g(x)dx = if(x) g(x) b b a + f(x)[ ig (x)]dx. Como f(x) g(x) es integrable en R, se deduce que lím f(x) g(x) b a,b a = 0 y f, g = if (x) g(x)dx = f(x)[ ig (x)]dx = f, g. R Esto implica que g D( ) y g(x) = ig (x), es decir. Sólo falta comprobar, al igual que en el ejercicio anterior, que D( ) D. Sea para ello g D( ) y llamemos g = g. Como sabemos, if (x) g(x)dx = f(x) g (x)dx, f D. R 319 R R a

32 Eligiendo las funciones f n anteriores, la igualdad anterior se escribe como: α x0 +1/n n i g(x)dx n i g(x)dx = f n (x) g (x)dx. α 1/n x 0 R Haciendo n, obtenemos: i ( g(α) g(x 0 ) ) = x0 α g (x)dx para casi todos α y x 0. Por la desigualdad de Schwarz, se deduce que g es integrable sobre cualquier intervalo finito. Entonces g(x 0 ) es absolutamente continua en x 0 sobre cualquier intervalo finito y, por tanto, ig (x 0 ) = g (x 0 ) para casi todo x 0. Esto implica que g D y g(x) = ig (x). 5. Probar que el operador 1 f(x) = if (x) es simétrico en D( 1 ) = {f L 2 [0, 1] : f es absolutamente continua, f(0) = f(1) = 0, f L 2 [0, 1]} pero no es autoadjunto. Resp.: Veamos que 1 = 2 donde 2 f(x) = if (x) tiene dominio D( 2 ) = {f L 2 [0, 1] : f es absolutamente continua y f L 2 [0, 1]}. Debido a que D( 1 ) = L 2 [0, 1], existe el adjunto 1. Si g D( 1 ) y llamamos g = 1 g, entonces f D( 1 ) : 1 0 if (x) g(x)dx = 1 0 f(x) g (x)dx. Si integramos por partes, 1 0 f(x) g (x)dx = 1 0 f (x) G (x)dx, donde G (x) = x 0 g (s)ds. Como f(1) = 1 0 f (x)dx = 0, entonces 1 0 f (x)[ G (x) + i g(x) + c]dx = 0, f D( 1 ), c. Por otra parte, h L 2 [0, 1], la función H(x) = x 0 h(s)ds x 1 0 h(s)ds está en D( 1 ). Para esta función se tiene: 1 0 { h(x) 1 0 h(s)ds} [ G (x) + i g(x) + c ] dx = 0. Eligiendo c de modo que 1 0 [G (x) ig(x)+c]dx = 0, resulta la igualdad 320

33 1 x 0 h(x)[ G (x) + i g(x) + c ] dx = 0. Al ser h arbitrario, G (x) = 0 g (s)ds = ig(x) c. Por tanto, g D( 2 ) y 2 g = g, lo que prueba que 1 2. Es claro también, integrando por partes, que 2 1, lo que completa la prueba. 6. Sea : D( ) H H un operador lineal con dominio denso en H. Probar la siguiente equivalencia: i) es clausurable ii) D( ) = H. Resp.: La implicación i) = ii) corresponde a la proposición 1.8.b). El recíproco se deduce del apartado 2 del corolario 1.9 (basta observar que y que es cerrado). 7. A la ecuación diferencial f f = g, siendo g L 2 [0, 1] una función conocida, se le asocian los tres problemas de contorno siguientes: a) f(0) = f(1) = 0. b) f (0) = f (1) = 0. c) f(0) = f(1) y f (0) = f (1). Mostrar que los tres problemas tienen solución única f tal que f es absolutamente continua y f L 2 [0, 1]. Resp.: En el espacio de Hilbert H = L 2 [0, 1] definimos los operadores k f = if (k = 1, 2, 3), con dominios D( 1 ) = {f H : f es absolutamente continua y f H} D( 2 ) = {f D( 1 ) : f(0) = f(1)} D( 1 ) D( 3 ) = {f D( 2 ) : f(0) = f(1) = 0} D( 2 ). Entonces y además 1 = 3, 2 = 2 y 3 = 1 (como observábamos en el ejemplo de la página 322). 321

34 a) Sea f D(3 3); entonces (I + 3 3)f = f f = f f. Como 3 es cerrado (pues 3 = 1 ), y D( 3) = H, entonces I +3 3 : D(3 3) H es biyectivo (teorema 1.13). Así pues, g H, existe un único f D(3 3) tal que (I + 3 3)f = g, es decir f f = g. Ahora bien, por ser f D(3 3), f D( 3 ) y 3 f D(3 ), es decir f(0) = f(1) = 0, f es absolutamente continua y f H, lo que resuelve el problema a). b) Sea ahora f D(1 1); nuevamente, (I + 1 1)f = f f = f f. El teorema 1.13 prueba también que el operador I : D(1 1) H es biyectivo. Así pues, g H, existe un único f D(1 1) tal que (I +1 1)f = g, es decir f f = g. Dicha solución verifica ahora que f D( 1 ) y 1 f D(1 ), lo que corresponde a las condiciones f (0) = f (1) = 0, f absolutamente continua y f L 2 [0, 1]. c) Consideramos en este caso f D( 2 2). Repitiendo el proceso seguido en los dos casos anteriores se prueba la existencia de solución para este problema. 8. Dada g L 2 (R), probar que la ecuación diferencial f f = g tiene solución única f L 2 (R) tal que f, f L 2 (R) y f, f son absolutamente continuas. Mediante cálculo directo, encontrar la fórmula f(x) = 1 2 x e t x g(t)dt 1 2 para determinar la solución de la ecuación. x e x t g(t)dt Resp.: Consideramos el operador f = if con dominio el conjunto de funciones absolutamente continuas en un intervalo cerrado de R y cuya derivada está en L 2 (R). Como dicho dominio es denso en L 2 (R) y es autoadjunto, el teorema 1.13 prueba que I + 2 : D( 2 ) L 2 (R) es biyectivo. Así pues, dado g L 2 (R), existe un único f D( 2 ) tal que (I + 2 )f = g, es decir f f = g. Como f D( ) y f D( ), la solución f es absolutamente continua y f L 2 (R), así como también f es absolutamente continua y f L 2 (R). Para resolver explícitamente la ecuación f f = g, buscamos en primer lugar la solución general de la ecuación homogénea asociada 322

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