DOMINANCIA DE GRAFOS EN Z n p Y EN Z n 3 Z m 2

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1 REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL Vol., No., 005 DOMINANCIA DE GRAFOS EN Z p Y EN Z Z Eduardo Piza Volio *, Cetro de Ivestigació e Mateática Pura y Aplicada (CIMPA) Uiversidad de Costa Rica, Costa Rica RESUMEN E este artículo se describe el problea de la doiació de los grafos del tipo Z p y ezclas del tipo Z Z a través de subcojutos doiates de vértices de taaño íio. Se itroduce u algorito del tipo de recocido siulado para calcular cotas superiores de la cardialidad de estos subcojutos doiates iiales. Se deuestra la eficiecia del algorito al coparar los resultados obteidos co los ya coocidos correspodietes a alguas clases de grafos, etre ellos los llaados grafos del "football pool proble" Se establece cotas superiores e alguos de los grafos del tipo Z p, co p 4. ABSTRACT I this paper we describe the proble of fidig iial doiatio subsets for graphs of the kid Z p ad Z Z. We use a siulatig aealig algorith to copute upper bouds of the cardiality of sub-iial doiatig subsets. We deostrate the effectiveess of the algorith by coparig the results with a previously, studied class of graphs, icludig the so-called "football pool" graphs ad others. We give soe ew upper bouds for graphs of.the kid Z p, with p 4. Key words: Graph doiatio, cobiatorics, siulatig aealig, football pool proble. MCS: 8R05, 8R0, 05C9, 90C7.. INTRODUCCIÓN EI tea de la doiació de grafos por doiios de torre ha sido profusaete estudiado e los últios años [Blokhuis-La (984), Davies-Royle (997), Hääläie-Rakie (99), Koschick (99), Va Laarhove et al. (989), Östergård-Hääläie (preprit), Östergård (994) y Wille (987)], ecotrádose diversidad de solucioes apropiadas (e ocasioes exactas) a los probleas plateados, Detro de la aplia gaa de étodos utilizados para hallar subcojutos íios doiates, Ios ás proisorios pareciera ser aquellos étodos heurísticos basados e técicas de la optiizació cobiatoria, tales coo búsqueda tabú, recocido siulado y algoritos geéticos. Este articulo precisaete describe u étodo para hallar subcojutos doiates cercaos al íio, utilizado u algorito del tipo recocido siulado [Aarts-Korst (990), Va Laarhove (989) y Piza et al. (998)]. A lo largo de este articulo p deotara a u úero atural y y será úeros aturales, co +. Estareos trabajado cocretaete co los grafos Fp y F, los cuales se defie de la siguiete aera:,, * E-ail: * epiza@cariari.ucr.ac.cr 4

2 p,, Los cojutos de vértices de F y F so respectivaete V = Z p y V = Z Z. E abos casos estipulaos que dos vértices cualquiera so adyacetes si tiee distacia Haig igual a, esto es, si difiere e solaete ua de las coordeadas. p Obsérvese que e cada caso los vértices se represeta coo vectores: de coordeadas e el del grafo F, F y de + coordeadas e el caso del grafo,. Abos grafos ha sido extesivaete estudiados e relació co el tea de la doiació, particularete el grafo F, e dode el problea de hallar u subcojuto íio doiate es deoiado el "football pool proble". La teriología "doiació por doiios de torre" se refiere exclusivaete al tipo de étrica epleada (distacia de Haig) y proviee del cotexto del ajedrez, e el cual el grafo F 8 ; coicide precisaete co los oviietos de la torre e el tablero de ajedrez, coo se ilustra e la Figura. Por otra parte, la teriología "football pool proble" proviee de u tipo de lotería existete e alguos países (por ejeplo: "Lotto" e Fracia e ltalia, "Totogol" o "Pega " e Costa Rica), e la cual los apostadores debe vaticiar los resultados de juegos del fútbol doiical, cada uo de los cuales adite tres posibles resultados: victoria del equipo casa, derrota del equipo casa, o epate. U subcojuto doiate de F correspoderá etoces a u cojuto de boletas de lotería lleas co los vaticiios de Ios juegos, de fora tal que se garatice -bajo todas las evetualidades de resultados- que por lo eos ua de las boletas cotedrá al eos - vaticiios correctos, o lo que es lo iso, a lo suo u vaticiio icorrecto. Si bie e tal caso el apostador o se hará illoario acertado a los juegos, o obstate gaara co certeza el segudo preio. el cual por lo geeral o es ada despreciable. Si la lotería aterior ('football pool") coteplara adicioalete juegos de otro deporte, e el cual cada uo de ellos tega posibles resultados (victoria o derrota del equipo casa, por ejeplo), etoces F, estaríaos frete al grafo,. U subcojuto doiate de este grafo os garatizara que ate cualquier evetualidad siepre tedreos ua boleta co a lo suo u desacierto (quizás iguo), de fora tal que co certeza gaareos el segudo preio y e ocasioes el priero. Hallar u subcojuto de vértices que sea íio y doiate para estos grafos F p y, F, es u problea cobiatorio idetificado coo difícil, o solo por el taaño ostruoso del espacio de cofiguracioes que ivolucra sio tabié por la coplejidad algorítica itríseca que platea. U esfuerzo cosiderable ha sido dedicado por varios autores a la búsqueda de subcojutos doiates para, estos grafos, e especial para F, y los grafos F y F. Alguos de esos esfuerzos ivolucra o bie costruccioes, cobiatorias, o bie búsquedas heurísticas, o ua cobiació etre abas técicas. E la práctica solaete se cooce la solució exacta para uy pocos valores pequeños de, y p. E la ayoría de los casos estudiados solaete se cooce ua cota superior de la cardialidad del subcojuto íio doiate. U listado de las solucioes coocidas, tato exactas coo cotas superiores, puede cosultarse e las obras de Hääläie y Rakie (99) y Östergard y Hääläie (preprit). 4

3 Figura. Dos de los objetos ás populares de Fp : los oviietos de las torres e el tablero de ajedrez, 8 e el grafo F = (Z 8, H) y el cubo Rubik F = (Z, H), dode H es la distacia de Haig. E el caso del ajedrez, e la figura se uestra ua de las solucioes exactas al problea de doiació: 8 torres so ecesarias y suficietes para doiar todos los escaques del tablero. E el caso del cubo Rubik, se requiere 5 "vértices" (pequeños cubos) para doiar el grafo; por ejeplo: 0, 0, 00,,. Deoteos por σ el taaño del íio subcojuto doiate para el "football pool proble" co juegos. El eor de los probleas para el cual el valor exacto de σ au se descooce es el grafo de 79 vértices F. E 989 va Laarhove, Aarts, va Lit y Wille [] ecotraro u subcojuto doiate de F co 7 vértices, utilizado para ello u algorito del tipo de recocido siulado. Por lo tato, Hasta el oeto ese es el récord oficial y auque se sospecha que σ 7. σ = 7 (ver Östergård [995]) si ebargo adie lo ha logrado deostrar y es posible que uca se llegue a esclarecer cual es el verdadero valor. Para copreder ejor la agitud de.este problea, e el grafo F de 79 vértices existe distitos subcojutos de 7 vértices, ua catidad ostruosa que hace iposible cualquier iteto de coprobació exhaustiva. E la Figura se preseta u subcojuto doiate de co 7 vértices (esto es, iguala el record) ecotrado por el autor. F Mediate el epleo de uestro algorito de recocido siulado heos hallado alguas cotas superiores para el taaño del íio subcojuto doiate de Fp, para valores de p 4. Co el algorito tabié se volviero a igualar alguas de las cotas superiores ya coocidas para el problea aálogo e los grafos, F,, F y F, poiedo de aifiesto la bodad del algorito. 44

4 Figura. U subcojuto doiate de Z, por 7 vértices, hallado por el autor. E este gráfico las posicioes de los vértices (-tuples de Z ) se ha represetado toado las prieras coordeadas coo las abscisas y las últias coordeadas coo las ordeadas.. DEFINICIONES, NOTACIONES Y RESULTADOS BÁSICOS E u grafo G = (V, E) decios que u vértice v V doia los vértices del vecidario cerrado N[v] = {v} U {u V: (u, v) E}. Los vértices doiados por u subcojuto del cojuto de vértices V V so aquellos coteidos e el cojuto N[ v] do V : = v V. U subcojuto doiate del grafo G es u subcojuto V V tal que do V = V. U subcojuto iio doiate del grafo G es aquel que tega el eor úero posible de vértices. E geeral, el problea de hallar u subcojuto íio doiate de G y su cardialidad es u problea NP-hard bie idetificado (Garey-Johso [979]). Cada vértices de Z p puede ser idetificado co u vector de coordeadas, cada ua de las cuales toa valores e Z p = {0,,..., p - }. Luego, la distacia Haig iplica que e el grafo adyacetes si difiere e exactaete ua de sus coordeadas. Aálogaete, e el grafo F p dos vértices será, F, cada eleeto de V = Z Z puede ser idetificado co u vector de + coordeadas, e dode las prieras coordeadas so triádicas (toa valores e Z ) y las últias so biarias (toa valores e Z ). E cosecuecia, e el grafo coordeadas., F, dos vértices será adyacetes si difiere e exactaete ua de sus 45

5 p El grafo F es regular (todos los vecidarios cerrados N[v] tiee el iso taaño) y tiee valecia (p - ) (úero de vértices adyacetes a cada vértice dado). Deoteos por σ p el taaño del íio subcojuto doiate del grafo Fp. Coo cada vértice v Z p doia a (p - ) + vértices, etoces se verifica las desigualdades p σ (p ) + p p. () La desigualdad de la derecha e () se justifica viedo el problea e térios de juegos co p distitos resultados, pues tedreos que p - es ua catidad de vértices suficiete para doiar el grafo co - juegos. La expresió de la izquierda e () brida ua cota iferior para σ p que geeralete se deoia la cota del epaquetaieto esferoidal para Fp. U subcojuto de vértices que exactaete satisface la cota del epaquetaieto esferoidal es llaado u código perfecto y tal código doia cada vértice del grafo F p exactaete ua vez. Aálogaete, el grafo del íio subcojuto doiate de etoces se verifica las desigualdades, F, es tabié regular y tiee valecia +. Deotaos por κ(, ) el taaño, F,. Coo cada vértice v Z Z doia + + vértices, κ(,) + +. () La desigualdad de la derecha e () se justifica al cosiderar todos los posibles resultados de - juegos e Z y juegos e Z, de fora tal que e total se garatice + - vaticiios correctos. La expresió de la izquierda e () brida ua cota iferior para κ(, ) llaada tabié la cota del epaquetaieto esferoidal para F,,,. U subcojuto de vértices del grafo F, para la cual la desigualdad izquierda e () sea ua igualdad se llaa tabié código perfecto y tal código doia cada vértice del grafo exactaete ua vez. Los grafos F y F so llaados respectivaete grafo del hipercubo y grafo del "football pool". Se sabe que cotiee códigos perfectos cuado y toa ciertos valores (ver Caero-Va Lit (99)). E particular, si = r - etoces el grafo del hipercubo Luego, σ = y, F, F cotiee u código perfecto de taaño r-r-. 7 σ =. Aálogaete, cuado = ( r - )/ etoces el grafo del "football pool" cotiee u código perfecto de taaño (r-r-)/. Por cosiguiete, teeos que 4 σ = 9 y σ = F Por otra parte, se sabe que para valores grades de, la catidad σ p tiede a la cota del epaquetaieto esferoidal (ver Biggs (974), Caero-Va Lit (99)), esto es, para todo p se cuple p σ li li =. () (p ) + Esta teriología es la tradicioalete epleada e la literatura. Obsérvese que por defiició teeos σ κ(, 0) = σ, ietras κ(0, ) =. 4

6 Adeás, de la forulació del grafo, F, e térios de juegos triádicos y biarios, es evidete la desigualdad κ( +, ) κ(, + ), que al reescribirla obteeos la siguiete desigualdad, uy útil para ecotrar cotas superiores gruesas para κ(, ) para ciertos valores de y : κ(, ) κ( -, + ) (4) Dado cualquier grupo aditivo G juto co u subcojuto geerador H que satisfaga H = H -, se defie el grafo de Cayley de G co respecto a H coo el grafo X(G, H) cuyos vértices so los eleetos de G, dode por defiició g es adyacete a gh, para todo g G y h H. E particular, toado Z p coo el grupo aditivo G y seleccioado H = {±e,±e...,±e }, dode ε i es el i-ésio vector base caóico, etoces el grafo Fp es justaete el grafo de Cayley de G co respecto a H. Aálogaete al toar Z Z coo el grupo aditivo G y seleccioado H = {±e,...,±e, ±e +,...,±e +}, dode e i es el i-ésio vector de la base, caóica, etoces el grafo F, es justaete el grafo de Cayley de G co respecto a H. Esta observació jugará u rol iportate ás adelate. Para ás detalles acerca de los grafos de Cayley se puede cosultar la obra de Biggs [974].. DESCRIPCIÓN DEL ALGORITMO Nuestro objetivo es hallar valores exactos o cotas superiores íias para códigos asociadas de los subcojutos doiates de los grafos F p y vaos a cocetraros e la explicació de la etodología epleada e el caso del grafo grafo, F, las ideas so copletaete aálogas., F, σ p y κ(, ), juto co los respectivaete. Para siplificar, F p, ya que para el Sea V u subcojuto cualquiera del cojuto de vértices V = Z p del grafo grafo F p, si ebargo el subcojuto V (V - do V ) iducido por V siepre doia a F p. Quizás V o doia al F p. Por lo tato, adaos buscado u subcojuto V* del cojuto de vértices V que sea solució al problea de optiizació cobiatoria siguiete: Miiizar c(v ) := V + V - do V sujeto a V V. (5) p Por cosiguiete, σ = c(v*), esto es, el úero de vértices de la solució V* de (5). Nuestro algorito de recocido siulado utiliza ua codificació adecuada de cada uo de los p vértices de V, así coo ua codificació copleta e la eoria del coputador de los vecidarios cerrados N[v] para cada vértice. Para ello, es ecesario utilizar itesivaete algoritos de codificació-decodificació de base decial a base p F, y a base (cuado trabajaos co el grafo, ), esqueas de codificació que explicareos ás adelate. EI algorito coieza seleccioado u subcojuto V de vértices al azar, de fora tal que se satisfaga la desigualdad () co c(v ):= V + V do V e vez de σ p. A cotiuació se repite la siguiete secuecia de pasos, utilizado u paráetro t k de "teperatura" del sistea, la cual ocasioalete se va decreetado para que t k tieda letaete a 0 cuado k : 47

7 . Se escoge al azar u vértice v V, el cual dará orige a u uevo subcojuto de vértices V de la siguiete fora; V = V {v}, si v V', ietras que V = V - {v}, si v V.. Se calcula c(v ) aprovechado el cálculo ya realizado para c(v ), actualizádolo de acuerdo a los vértices que doie o deje de doiar v. E la eoria del coputador se ecuetra alaceada la lista de todos los vecios de cada vértice del grafo, de fora tal que este cálculo es rápido.. Se toa la decisió de aceptar V co probabilidad igual a i{ e - c/tk }, dode c = c(v") - c(v'). Esta regia de aceptació es llaada regla de Metrópolis [Aarts-Korst (990)]. Aquí c es el cabio e la fució de costo producida por la iclusió o exclusió del vértice v seleccioado. La regia de aceptació de Metrópolis establece que si el vértice v da orige a u uevo subcojuto V que tiee costo eor que V, etoces es aceptado co probabilidad, pero de lo cotrario V es aceptado solaete co probabilidad e - c/tk. Los detalles específicos del pla de efriaieto del sistea se explica a cotiuació: (a) Decreeto de la teperatura: cada cierto úero de pasos el sistea es "efriado" u poco, disiuyedo el valor de la teperatura t k ediate el esquea de efriaieto geoétrico: t k+ = λ.t k, co λ ua costate fija previaete escogida etre [0.9,0.98] (λ = 0,95 ha resultado ser ua buea selecció e prácticaete todas uestras pruebas). Esto hace que la regia de Metrópolis sea cada vez ás rigurosa e la aceptació de vértices que icreete el costo. (b) Largo de las cadeas de teperaturas: el efriaieto de la teperatura se realiza cada NLIMIT pasos, o bie cuado ya ha sido aceptados NOVER uevos subcojutos V para los cuales c(v ) c(v'). Heos utilizado valores de NOVER [0 5,0 ] y NOVER [5000, 50000] depediedo del taaño del problea. (c) Teperatura iicial: la teperatura iicial t o es seleccioada de aera que al pricipio la regia de Metrópolis sea bastate tolerate, aceptado alrededor del χ 00% de los subcojutos V para los cuales c(v ) c(v ). Aquí χ es ua costate previaete escogida. Co este criterio, t 0 = ( + ) / l(/χ). Geeralete heos utilizado χ = 0.7 co bueos resultados e uestras pruebas. (d) Criterio de fializació del algorito: a lo suo se realiza 50 ciclos de teperatura, pues e la práctica t k = (t 0) k es casi ulo idepedieteete del valor iicial de t 0. No obstate, si para las últias NCAD cadeas de teperatura o ha surgido ejores subcojutos doiates V, el proceso se detiee. Heos epleado NCAD = e uestras pruebas co bueos resultados. Para la geeració de úeros aleatorios utilizaos u algorito de tipo aditivo propuesto por Kuth (98). El étodo de recocido siulado coverge e teoría a u íio global de la fució objetivo c(v) que se 48

8 está iiizado (Aarts-Korst [990]) auque e la práctica ua sola corrida del algorito es isuficiete. Para obteer bueas cotas de σ p o κ(, ) se realizaro uchas corridas sucesivas del algorito. Por ejeplo, σ 7 fue obteido luego de 5 corridas, pero para hallar 7 σ 8 fuero ecesarias 50 corridas del algorito. Buea parte del éxito de estos étodos se basa e ua buea calibració de los paráetros del sistea, aspecto que uca se teria de apreder. E la Figura se preseta los pricipales resultados obteidos co el grafo Fp, y e la Figura 4 co el F, grafo,. Coo se aprecia e las tablas de las figuras, solaete se ha estudiado los casos correspodietes a valores pequeños de p, y. Z Z Z 4 Z 5 Z Z 7 Z 8 Z 9 Z 0 a a a a a a a a a a a a 4 a 5 a a 7 a 8 a 9 a 0 e e 5 e 8 e e 8 e 5 e e 4 e 50 4 e 4 e 9 e 4 e 5 b 7 b b 4 b 90 5 e 7 e 7 e 4 b 00 b 540 e b,c 7 b 4 7 e c 8 8 e c 48 9 c c 4 0 c 0 c 45 c 9 c 9477 c 80 c 770 c 7 s c 7747 Figura. Mejores solucioes coocidas al problea del recubriieto de Z p por doiios de torre. E la tabla se aota el taaño del subcojuto íio coocido que doia Z p. Los superídices a la izquierda de cada úero tiee el siguiete sigificado: "a" idica ua solució trivial y exacta; "e" idica ua solució exacta hallada por el algorito e el 00% de las corridas; "b" es la ejor cota coocida, ecotrada por el autor; "c" es la ejor cota coocida, hallada por otros; "s" es ua solució exacta tipo "epaquetaieto esferoidal"... Represetacioes e base p y e base x Debido a que buea parte del éxito del algorito radica a que se atiee e eoria cetral la lista copleta de los vecios de cada odo, codificados e decial, es ecesario cotar co algoritos eficietes para llevar a cabo esta codificació. Probableete el lector se ecuetre failiarizado co la represetació e base p de los úeros aturales; o así co la represetació e base de los isos. Hagaos u breve resue.... Represetació e base p Sea s u úero atural. Escribios [ para deotar la represetació de s e base p, epleado dígitos p-ádicos d, d,..., d. Esto es, s] p 49

9 , i [ s] p := (d,...,d,d) p = dp i base p dode cada d i {0,,...,p }. El áxio úero atural que se puede represetar co este esquea es p -. EI algorito eficiete clásico para hallar los dígitos p-ádicos d i, cosiste e la aplicació sucesiva del algorito de la divisió euclideaa. La represetació p-ápica obteida es copatible co el orde lexicográfico de Z p, esto es, i= 0 s s [s] p [ s ] p.... Represetaci e base ] Sea s < y s' < dos úeros aturales. Escribios ( [ s], [ s ) para deotar la represetació de u etero a co + dígitos, de los cuales los prieros dígitos so triádicos (base ) ietras que los últios dígitos so biarios (base ). Esto es, ([ s] i [ ] = = i, s : (d,...,d,d)(r,...,rr) : ri + d i. base base i= i= Lo aterior queda justificado co el siguiete resultado. Proposició. (Base " x ). Todo atural a < se puede represetar de aera úica coo u vector dε + copoetes e la fora a a ] a = ([ q ], [ r ), () dode e las prieras copoetes se codifica u atural q a < e base, ietras que e las últias copotes se codifica u atural r a < e base. Los úeros q a y r a so úicos. Deostració: Cosidérese el cociete q a y el residuo r a de la divisió euclideaa de a por. Por cosiguiete, teeos que q a y r a so los úicos eteros que satisface a = q a + r a, co 0 r a <. Luego, claraete r a adite ua represetació úica e base epleado dígitos, deotada por [r a ]. Por otra parte, 0 q a a <, de dode 0 q a <. Por lo tato q a adite ua represetació úica e base epleado dígitos, deotada por [. q a ] La represetació aterior e base x es tabié copatible co el orde lexicográfico ordiario " " e el siguiete setido: de Z x Z, 0 a a < ([ qa ], [ ra] ) ([ qa ], [ ra ] ). 4. CONSTRUCCIÓN COMBINATORIA 50

10 El eor subcojuto doiate coocido de 8 F tiee taaño 48 y fue ecotrado por Laarhove y colaboradores [989] epleado recocido siulado, luego de ua costrucció cobiatoria igeiosa que redujo el problea a u grafo de eor diesió. Estas costruccioes cobiatorias fuero origialete foruladas por Blokhuis & La [984] y puede ser aplicadas a cualquier grafo F y cualquier grafo. p F,, E esta secció trabajareos co vectores colua, e vez de vectores fila, por coveiecia de otació. Expoeos a cotiuació la costrucció cobiatoria que e alguos casos ayuda a siplificar el estudio del grafo Fp. Defiició. Sea A = [a a... a ] ua atriz q x de rago q co etradas e Z p. Decios que el cojuto S Z q p recubre Z q p usado A si Z q p = {s + α a i: s S, α Z p, i }. Obsérvese que cuado q = y A es la atriz idetidad, etoces S recubre Z q p usado A si y solo si S es u subcojuto doiate de Fp. E geeral, teeos el siguiete resultado. Proposició. Si S recubre Zp q usado A, etoces W = {w Z p : Aw S} es u subcojuto doiate de F p de taaño W = S p -q. Deostració: Sea w Z p. Etoces tedreos que Aw Z p. E virtud que S recubre Zp q usado A, existe s S, α Z p y i tales que Aw = s + αa i. Sea e i el i-ésio vector de la base caóica de Z p. Luego, a i = Ae i, de dode A w = s + α Ae i, y por tato A(w - α e i) S. Pero por defiició esto sigifica que u - α ε i W, de dode w es doiado por W e F p. Fialete, por hipótesis A tiee rago q, e virtud de lo cual W = S p -q, ya que para cada w S la iage iversa A - ({w}) es u subespacio vectorial de diesió - q por tato tiee p -q eleetos distitos. Por ejeplo, e el grafo 8 F del "football pool", el cojuto S 4 F de vértices S = {(,,, ) t, (,., ) t, (, 0,, ) t, (0,,, ) t, (, 0,, ) t, (,,, ) t } recubre Z 4 usado la siguiete atriz A de taaño 4 x 8: A = Aquí q = 4. De esta fora Laarhove y colaboradores [989] ecotraro la cota superior σ S 4 =

11 E la práctica es bastate difícil hallar q < y u cojuto S Z q p juto co ua atriz A de taaño q x, de fora que S recubra Z q p usado A. Este problea tabié se puede forular coo u problea de optiizació cobiatoria de la siguiete fora: Para u etero positivo dado k y ua selecció de r {,..., - } hallar u subcojuto S Z p cosistete e k r-étuplos y ua atriz r x tal que el taaño del cojuto Z r p - {s + α a i : s S, α Z p, i } (7) sea íio. De uevo epleaos u algorito de recocido siulado para resolver este problea de optiizació: ua "ovida" es e este caso o bie el reeplazo de uo de los r-étuplos de S seleccioado al azar por otro r-étuplo que o sea eleeto de S, o bie el reeplazo de ua colua de A seleccioada al azar por otra colua que o esté e A. Si el algorito ecuetra u subcojuto S y ua atriz A para los cuales S es u recubriieto de Z r p usado A, etoces el valor de k es decreetado por y el algorito se ejecuta de uevo. La ejecució se fializa cuado k es tal que el algorito o ecuetra u subcojuto S y ua atriz A para el cual el cojuto e (7) sea vacío. Si defiios G = Z p y H = {±a,...,±a } etoces podeos ver que S es sipleete u subcojuto doiate del grafo de Cayley X = X(G, H). Este grafo X tiee los isos vértices que Fp auque es ás deso. De los resultados coocidos acerca de autoorfisos de grafos de Cayley podeos supoer si pérdida de geeralidad, que a i = e i para i, de fora que A cosiste e u prier bloque de la atriz idetidad de taaño q x q seguida de alguas coluas adicioales. Luego, X coicide co F p, co alguas aristas adicioales deteriadas por las coluas extras. Los beeficios de estas costruccioes cobiatorias reside e el hecho que os perite buscar subcojutos doiates e grafos ás pequeños y desos, dode los algoritos de recocido siulado fucioa ejor. Cualquier subcojuto doiate ecotrado e X iduce otro subcojuto doiate para F p. Si ebargo, este procediieto podría o hallar todos los subcojutos doiates de F p ; pues quizás o todos ellos tiee esta fora. Por cosiguiete, co esta técica podríaos fallar e obteer el íio subcojuto doiate de F p o cotas superiores para la cardialidad σ p del iso. EI algorito arriba descrito se siplifica u poco si ya cotaos co la atriz A. Davies y Royle [997] reporta el siguiete resultado, auque si ua adecuada justificació teórica para ecotrar la atriz A se estudia las órbitas del grupo proyectivo PGL(q, p), extrayedo de él u cojuto de putos (vectores) proyectivos a,...,a de q copoetes. Estos vectores fora las coluas de la atriz A. Eplea para estos eesteres el paquete coputacioal de teoría de grupos deoiado CAYLEY. Para el grafo cotiuació., F, tedreos ua costrucció cobiatoria copletaete aáloga, que se describe a 5

12 Defiició 4. Sea A = [a a... a ] ua atriz de taaño q X de rago q co etradas e Z. Siilarete, sea B = [b b... b ] ua atriz de taaño r de rago r co etradas e Z. Etoces S Z q Z r se dice que recubre Z q Z r usado A y B si Z Z = α Z, i α Z, j Proposició 5: Si S recubre Z q x Zr usado A y B, etoces W := w w Z Z : Aw Bw S es u subcojuto doiate de, F, de taaño W = S -q -r. x Deostració: Para cualquier x Z Z teeos que Ax Bx S de fora tal que se cupla ua de las igualdades siguietes: Z q Z r. Luego podeos hallar s s Ax Bx s + αai =, α Z, i. s o bie Ax Bx s = s + αb, α Z, j. j E el prier caso, al toar e i el i-ésio vector de la base caóica de Z, tedreos A(x αe i) Bx S, x ei x de dode α W, x lo cual sigifica que 0 x toado e j coo el j-ésio vector de la base caóica de Z, obteeos es doiado por W e F,,. E el segudo caso, de dode x 0 W x α e j Ax B(x αe j) S, x y e cosecuecia es doiado por W e x, F,. 5. ALGUNAS CONCLUSIONES 5

13 E la Figura, correspodiete al grafo Fp, se preseta la lista de cotas superiores de σ, para valores pequeños de p y. Alguas de ellas so ovedosas y fuero obteidas co uestro algorito de recocido siulado. Otras cotas superiores para σ p ya so coocidas. p E la Figura 4 se preseta los resultados coocidos para las cotas superiores de κ(, ) e el grafo, F,. Alguas de estas cotas superiores fuero tabié halladas e fora idepediete a través de uestro algorito de recocido siulado. Queda aú ucho trabajo por realizar, e particular sobre el grafo F p 4, para el cual las cotas estudiadas ha sido ecotradas gracias a la aplicació directa del algorito de recocido siulado, si la utilizació de las costruccioes cobiatorias descritas e la secció precedete. E la actualidad se trabaja e ua reprograació ás eficiete del algorito de recocido siulado que icorpore estas costruccioes cobiatorias, co la esperaza de hallar cotas superiores de σ para otros valores de p y ayores a los ya estudiados y tal vez ejorar alguos de los ya estudiados. p Z Z e e e e 4 e 7 e e e e e e e 8 e 4 48 e e e 0 e e 5 9 e e 4 e e 9 e d d 944 d d d 9 d d 9 04 d Figura d d d d d e Mejores solucioes coocidas al problea de doiació del grafo Z Z por doiios de torre. E la tabla se aota el taaño del íio subcojuto coocido que doia al grafo. Los superídices a la izquierda de cada úero tiee el siguiete sigificado: "e" idica ua solució exacta hallada por el algorito e el 00% de las corridas; "d" idica ua cota superior cosecuecia de la desigualdad K(, ) K(, +). 54

14 APÉNDICE Códigos de alguos subcojutos doiates Se preseta los códigos de alguos de los subcojutos doiates hallados por el autor. Co el fi de ateer cosistecia co los códigos reportados por otros autores, epleareos aquí la otació copriida de Östergård & Hääläie [preprit]. Cosidérese todos los vectores de Z p y de Z Z listados de acuerdo co sus respectivos órdees lexicográficos. Etoces, para especificar u código sipleete se va euerado la catidad de posicioes cosecutivas que debe oitirse e los listados copletos. Así, por ejeplo, u código cosistete e ", 0, 5,, " sigifica que se oite los prieros vectores. luego se seleccioa el vector siguiete, luego el siguiete, luego se oite 5 vectores y se seleccioa el siguiete vector, luego. se oite vectores y se seleccioa el siguiete vector. etc. Existe u hostal e Iteret co el resto de los códigos de subcojutos doiates para el grafo, que puede cosultarse a través de ftp e ftp.cs.uwa.ed.au e el directorio pub/graphs/pools. F,,.. 0 = 50. Solució exacta hallada co el algorito e el 00% de las corridas, 4,,, 44,, 4, 0, 7, 5,, 4,, 0,,, 8, 4,, 4, 0, 8, 5, 0, 7, 7, 44,,, 4, 8,,,, 0,, 0, 7, 4, 40,, 4., 4,,, 5, 8, 5, = 4. Solució exacta hallada co el algorito e el 00% de las corridas 7,, 5, 4,, 9, 9, 7,, 9, 7,, 4, 9, 4,, 7, 7, 7,,, 7,, 9, 7,, 4,, 7, 5, 5,, 4, 5, 5, 0, 8, 7, 4, 4, Mejor cota superior coocida, hallada co el algorito 9, 8, 9,,, 5,, 0, 0, 9, 0,,, 0,, 8,, 4, 4,, 7, 7, 4,, 8, 4,,, 7,,, 5, 0,, 5,, 0,, 7, 9,,, 4,, 8,,,,,, 5, 0,, 4,, 4,,, 48,, 0,, 8, 9, 9, 0,, 9,,, 5,,,,, 0, 4, 7, 0, 8, 0, 4, 5, 4,,,, 7, 5,,,,, 5,,,,,,, 9, 9,, 9,, 4, 7,, 5, 4, 9, 4,,,,, 8,, 5, 7, 4, 5,,, 44, 9, 9,,, 7, 5, 5, 8, 4, 4, 9, 0,, 4,, 4,,,, 4,, 0, 7,,,,, 4, 0, 0,, 4, 9,, 4, 9, 5, 4, 9, 8, 8,, 5, 5, 4, 4, 9,,, 0, 7,,,, 4,, 4, 0, 4, 4,, 7, 0, 5, 0, 0,, 5, 4, 0, 5, 9,,, 9,,,,, 9,,, 7,, 5, 7, 4, 0, 7, 55, 0,, 7, 5,, 8, 5, 8, 5,, 54, 5,, 5, 9, 5, 4,, 0, 5, 8, 8, 8, 8,, 4,,, 5, 8,, 9,,, 5,, 9,,, 5,, 5, 7, 5,, 0, 7, 9, 7, 5, 48, 8,, 4,,, 4, 7,,,,, 7, 7, 8, 8, 5, 4, 0,,, 0, 5, 5,, 9,, 0, 0,, 0, 4, 8, 8, 0,,, 5, 9, 9, 5, 9,,, 4,,, 4, 8,, 5, 8,, 8, 0,, 9, 7, 0, 9,, 0, 9, 9, 4, 4, 4, 9, 8,,, 5,,, 0,,, 0, 9, 8,,, 0, 9,, 9,,,, 0, 4,, 8, 7, 8,,, 5,, 4, 4, 9,, 0,, 5,, 0, 9, 40,, 9, 4, 7, 4,, 4, 8,, 5,, 4,, 5, =. Solució exacta hallada co el algorito e el 00% de las corridas, 5, 0,, 8,, 5,, 0, 8, 4, 9,,, 0, 4,, 4, 7,,,, 9, 4, 8,, 9,, 4,, 8, =. Mejor cota superior coocida hallada co el algorito 55

15 5, 4,, 8, 0, 4, 8,,, 8, 4, 8, 4, 5, 9,,,, 8,, 0,,, 7, 9, 4,, 9, 9, 0,,, 4, 0,, 5, 0, 4, 9, 8, 0, 9, 7, 8, 5,, 9,,,, 8, 9, 9, 8, 0, 8, 4, 9, 4, 8, 9, 8,,, 9,, 40, 7,, 0, 8, 4, 7,, 9, 0,,, 8, 0, 4,, 7, 4, 5, 4,, 0, 8, 5, 8, 4, 9, 4, 0,, 7, 45,,,,,, 4, 9,, 8, 7, 4, 7, 7, 7, 0,, 8, 5, 5, 5,, 8, 0,,, 4, 0, 8,, 8,, 4, 9,,, 8,,,, 7,, 40,, 5,, 44, 0, 4, 0, 4,,,,, 0,, 0, 7,, 0,,,,,, 7, 9,,,,,, 4,,, 8, 0, 4, 0, 8, 9, 8, 8,, 5, 0,, 4,, 8, 4, 4, 5, 5, 8,,,,,, 8, 44,, 4,,,, 0,,,, 0, 4,,, 8,,,, 4, 5,,,, 4, = 5. Solució exacta hallada co el algorito e el 00% de las corridas, 9, 9,, 0,,, 9,,, 9,, 9, 8, 9,, 8, 0,, 0, 5,,, 8, =. Mejor cota superior coocida, hallada co el algorito, 9,, 9,, 4, 0, 4, 9, 8, 9, 0,, 0, 9, 8, 7,,, 9,, 9,, 0, 9, 7, 9, 9, 7,, 9, 4, 0, 4, 9, 0, 0,,,, 0,,,,, 8, 0,,,,, 4,, 0, 0, 5,, 7, 4, 8, 9, 0, 5, 0, 7, 7,, 5, 8, 4,,, 0, 7, 7, 5,, 8, 8, 8, 4, 8, 0,, 4, 0,,,,, 4,, 9,,,,, 7,, 0, 8,,,,, 0,, 7, 4, 8, 7, 0, 7,, 0,, 5,,,, 0, 8, 9,..8. = 5. Solució exacta hallada co el algorito e el 00% de las corridas, 9,, 5,, 4, 4,, 0, 8, 0, 9, 4, 5, 4, 5,, = 7. Mejor cota superior coocida, hallada co el algorito 0, 0, 40, 8, 0,, 5, 4, 8, 0, 8, 0, 4, 0, 4, 4, 8, 0, 9, 8, 0,,, 0, 8,,,,, 8, 4,, 4,, 4, 0, 8, 4,,, 8,, 9, 4, 44,,, 8,, 8, 7, 4, 44,,,, 8,, 5, 4,, 0, 7,, 4,, 5,,, 8, 9, = 540. Mejor cota superior coocida, hallada co el algorito 7, 8,, 9, 9, 7,,, 7, 8,, 7, 8, 4, 7, 5,, 0, 7, 5, 9,,, 9,,, 9,, 9, 7, 7, 5, 8,, 8, 5, 0,, 4, 5, 4, 4, 9,,, 4,,, 5,, 9, 9,,, 4,, 4,,, 4, 9, 8, 9,,,, 4,, 8,, 8, 4, 7, 7, 5,, 4, 4,,, 0, 4,,,, 0, 7, 5, 7, 8, 4, 7, 4, 9, 5, 4, 8,, 7, 7,,,,, 9,,,, 0,, 40, 5,,,, 4,,,, 0,,,,,, 8, 5, 9, 4, 8, 7, 5, 4,, 4, 0,, 7, 0,, 4, 7, 7, 7, 9,, 9,,, 5, 0, 9,, 0, 8, 5,, 9, 5,, 4, 9, 8,, 7, 4,,,, 9,,,, 8,,, 7,, 7,, 4,,, 4, 5, 8, 0,,, 0, 0, 0, 7, 9, 8, 0,,,, 8, 5, 7, 4, 8, 9,, 0,,,, 5, 4, 4, 0, 9,, 8,, 5,, 9, 4,, 48,, 7,, 8, 9, 0, 0,, 45,, 5,, 9,,, 0, 8, 4, 5,,,, 0,,,, 5, 4, 9, 8, 4, 4,, 9,,,,,, 7, 4, 8, 7, 5,, 5,, 7,,, 0, 4,,,, 0, 0,, 9,, 9,, 5, 9,,, 9, 0,, 7, 0, 4, 0, 9,, 9, 4, 7, 0,, 0,,, 0, 9, 4,, 8,, 5,,, 7,,, 7,,,,,,, 8, 4, 7, 5,, 4, 4,,,,, 4, 9, 5, 9,,, 9,,, 7, 7, 40, 8,, 4,, 9,,, 7,, 5, 4, 8, 9,, 8, 9, 0, 8,, 9,, 9,, 7,,, 0, 9, 5, 5,, 4, 5,, 0, 5, 4,, 4, 5, 0, 4, 7, 0, 4, 7, 7, 5, 7, 5, 4, 5, 9,, 5, 5, 8, 0, 8, 9, 0,, 9,,,, 9,,, 4, 0, 9,, 7, 9, 0,,, 9,4,, 0,, 0, 4,. 0, 9,,. 7, 4. 0, 9,, 7,,, 8, 7,, 0,, 9, 7,,, 4, 9, 7, 5,, 0, 9, 7,, 8, 8, 8, 8,, 4. 0, 9, 4,,,, 5, 9,,,, 8, 5,4,, 5,, 4, 8, 8, 7, 9,, 9,, 9, 8, 4, 8, 8,, 0, 4, 4, 0,, 0, 0, 0,, 9, 8,,,,,,,, 8, 4,, 7, 5, 7, 4,, 5,,, 5,, 9, 8, 7, 0,,... 5 =. Solució exacta hallada co el algorito e el 00% de las corridas 5

16 0, 7,,, 7, 7,, 7, 5,,,, = 5. Solució exacta hallada co el algorito e el 00% de las corridas 5, 4, 8,, 9, 5,, 0,, 0, 4,, 0, 7, 4, 5,, 5, 9,, 4, 0, 7,, 9, 5,, 5,, 0,, 0,,, 5,,,, 8, 9, 5, 9, 5,, 0,,,,,, 9, = 00. Mejor cota superior coocida, hallada co el algorito 8, 7,,, 4, 0, 4, 7,, 0,,, 45,, 8, 0, 7,,, 4, 8,, 8,,, 4, 8, 5, 4,,,,, 5,,,,, 4, 4, 4,, 4,, 8,, 0,, 0,, 8, 7, 4, 8, 8, 5, 4,,, 7, 4, 5, 44,,, 7, 7,,, 4, 4, 5, 0, 5, 7,,, 4, 7, 0,, 4,, 4, 5,,,, 7,,, 4,, 8, 4,,, 7, 4, 0,, 4,,, 7,,, 0,,, 0, 9, 0, 0, 0,,,, 40, 5, 7,, 0,,, 7, 0,,,,,, 4, 0,,,,, 4,, 4,,, 40.,, 7, 5, 7, 5, 8, 7, 8, 4,, 8,,,,, 40,, 7, 5, 4, 8, 8,, 7, 4, 8,, 5, 5, 4, 5, 8,,, 45,,, 0,, 7, 4,,, 4, 7, 0, 7,,,, 4, 5, 7, 5, = 8. Solució exacta hallada co el algorito e el 00% de las corridas 0, 4, 0, 4,,,, = 4. Solució exacta hallada co el algorito e el 00% de las corridas, 4,, 8,, 7, 5, 7,, 0,,, 8, 5, 8,,,,,, 0,, 0, = 4. Solució exacta hallada co el algorito e el l00% de las corridas 7,, 4,,, 5,, 5, 4, 5, 0, 5, 9, 9, 4, 9, 9, 5, 0, 5,,,,,, 9,, 9, 7, 5,, 5, 5, 5, 8, 5, 9, 9,, 9, 4,,,,, 5, 0, 5, 7, 9, 8, 9, 7, 5, 0, 5,, 5, 8, 5,,, 4, Mejor cota superior coocida. Esta es otra solució distita a la presetada e la Figura 8,,,,,, 7, 0, 8,. 8, 0, 0, 0, 0, 0, 7,, 7,, 9, 8, 0,, 0, 5, 9,,, 4,,,, 4,,,, 8,,,, 7,, 0, 5,, 9,, 7, 4,, 0, 7,,,,, 0, 9,, 8, 8,, 5, 4,,,,, 8,,, 9. REFERENCIAS AARTS, E. ad J. KORST (990): Siulated Aealig ad Boltza Machies. A Stochastic Approach to Cobiatorial Optiizatio ad Neural Coputig. Joh Wiley & Sos, Chichester. BIGGS, N. (974): Algebraic Graph Theory, Cabridge Uiversity Press. BLOKHUIS, A. ad C.W.H. LAM (984): More coverigs by rook doais, Joural of Cobiatorial Theory Series A.,, CAMERON, P.J. ad J.H. VAN LINT (99): Desig, Graphs, Codes ad their Liks, Lodo, Matheatical Society Studet Texts, Cabridge Uiversity Press. 57

17 DAVIES, R. ad G.F. ROYLE (997): Graph doiatio, tabu search ad the football pool proble. Discrete Applied Matheatics 74(), 7-8. GAREY, M. ad D. JOHNSON (979): Coputers ad Itractability: a guide to the theory of NP-copleteess. W.H. Freea, Sa Fracisco. HÄMÄLÄINEN, H. O. ad S. RANKINEN (99): Upper bouds for football pool proble ad ixed coverig codes, Joural of Cobiatorial Theory, Series A., 5, KNUTH, D.E. (98): Seiuerical Algoriths, Seguda edició, volue del libro The Art of Coputer Prograig. Addiso-Wesley, Readig, Mass. KOSCHNICK, K.U. (99): A ew upper boud for the football pool proble for ie atches, Joural of Cobiatorial Theory, Series A,, -7. VAN LAARHOVEN, P.J.M. (988): Theoretical ad coputatioal aspects of siulated aealig, Cetru voor \Wiskude e Iforatica, Tract 57.. VAN LAARHOVEN, P.J.M.; E.J.L. AARTS; J.H. VAN LINT ad L.T: WILLE (989): "New upper bouds for the football pool proble for, 7 ad 8 atches, Joural of Cobiatorial Theory, Series A, 5, 04-. ÖSTERGÅRD, P.R.J. ad H.O. HAMALAINEN (preprit): A ew table of biary/terary ixed coverig codes. ÖSTERGÅRD, P.R.J. (994): New upper boud for the football pool proble for ad atches, Joural of Cobiatorial Theory, Series A, 7, -8. (995): A cobiatorial proof for the football pool proble for six atches, Joural of Cobiatorial Theory, Series A, 0-. PIZA, E.; J. TREJOS ad A. MURILLO (998): Global stochastic optiizatio techiques applied to partitioig, i book Advaces i Data Sciece ad Classificatio, 85-9; Spriger Verlag. WILLE, L.T. (987): The football pool proble for atches: A ew upper boud obtaied by siulated aealig, Joural of Cobiatorial Theory, Series A, 45,