Resumen Segundo Parcial, MM-502

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1 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L cundo t se proxim t 0 y se escribe lím t t 0 r(t) = L Si pr todo ε > 0, existe un número δ > 0, tl que pr tod t D r(t) L < ε siempre que 0 < t t 0 < δ. b) Definición Un función vectoril r(t) es continu en un punto t 0 de su dominio, si lím t t0 r(t) = r(t 0 ). L función es continu si es continu en todo su dominio. c) Definición L función vectoril r(t) = f(t)i + g(t)j tiene derivd(derivble) en t si f y g son derivbles en t. L derivd es l función vectoril r (t) = dr dt = lím r(t + t) r(t) t 0 t = df dt i + dg dt j. d) Definición L integrl indefinid de r con respecto t es el conjunto de tods ls ntiderivds de r, denotdo por r(t)dt. Si R es culquier ntiderivd de r. Entoces r(t)dt = R(t) + e) Definición Si los componentes de r(t) = f(t)i + g(t)j son integrbles en [, b], entonces tmbien lo es r(t), y l integrl definid de r de b es ( b ) ( b ) b r(t)dt = f(t)dt i + g(t)dt j. f ) Definición L longitud de un curv suve r(t) = f(t)i + g(t)j, t b, recorrid exctmente un vez, cundo t v desde t = hst t = b, es L = b ( df dt ) 2 + ( ) 2 dg dt = dt b g) Prmetrizción de longitud de rco con punto bse P(t 0 ) s(t) = t t 0 dr dτ dτ. dr dt dt. h) Ejemplo 1 onsidere l curv r(t) = 2 cos(t)i + 2 sin(t)j, prmetrizr l curv en términos de l longitud de rco con punto bse en t 0 = 0. i) Ejemplo 2 lcule l siguiente integrl complej 1 0 (1 + it) 2 dt.

2 2. Propiedd del móldulo de ls integrles b b r(t)dt r(t) dt. 3. Ejercicio Usr ls regls correspondientes l cálculo pr demostrr ls siguientes regls, cundo: w(t) = u(t) + iv(t) es un función complej de un vrible rel t y supuesto que w (t) existe ) d dt (w( t)) = w ( t). b) d dt (w(t))2 = 2w(t)w (t). 4. Probr que, si m y n son enteros, 2π 0 { 0 si m n e imθ e inθ dθ = 2π si m = n 5. Arcos Un conjunto de puntos z = (x, y) del plno complejo se dice que es un rco si x(t), y(t) ( t b) donde x(t) e y(t) son funciones continus del prámetro rel t. Escribimos z = z(t) = x(t) + iy(t) ( t b). 6. Arco simple Es un rco tl que no tiene intersección consigo mismo. 7. urv cerrd simple Es un rco tl que no tiene intersecciones consigo mismo excepto por el hecho de que z() = z(b). 8. Ejemplo ) b) Anlice l prmetrizción z(x) = { x + ix si 0 x 1 x + i si 1 x 2 z(θ) = z 0 + Re iθ. (0 θ 2π) z R z 0 O

3 9. mbio del intervlo de vrición L representción prmétric elegid pr un rco no es únic. Podemos cmbir l prmetrizción de l siguiente form t = φ(τ) de form que φ : [α, β] [, b], suponemos que φ es continu y tiene derivd continu en el intervlo de definición. 10. Observción El vlor de l longitud de rco bjo un tipo de prmetrizción es invrinte. 11. Arco suve Un curv z(t) es suve si z (t) es continu en ( t b). 12. mino Un cmino es un rco suve trozos. 13. Ejercicios ) Probr que si w(t) = u(t) + iv(t) es continu en un intervlo t b, entonces b b w(t)dt = w(t)dt = β α b w( t)dt w(φ(t))φ (t)dt = donde φ(t) es l función en el cmbio del intervlo de vrición. 14. Definición Si f est definid sobre un curv dd un form prámetric por r(t) = h(t)i+g(t)j, t b, entonces l integrl de líne de f sobre es n f(x, y)ds = lím n f(x k, y k ) s k k=1 15. Integrl de líne Pr integrr un función continu f(x, y) sobre un curv, Se evlu l integrl como r(t) = h(t)i + g(t)j t b f(x, y)ds = b f(h(t), g(t)) v(t) dt 16. Integrles de mino Definimos l integrl de cmino de f un función continu trozos lo lrgo del cmino como = z2 z 1 = b f(z(t))z (t)dt 17. Observción El vlor de l integrl de cmino sobre un curv es invrinte bjo culquier cmbio de prmetrizción. 18. Propieddes ) z 0 = z 0 b) (f(z) + g(z))dz = + g(z)dz c) Se un cmino, definimos el cmino recorrido en sentido inverso como w = z( t). d) e) = = + 1 2

4 f ) M Longitud() 19. Ejemplo lcule el vlor de l integrl de f(z) = (z + 2)/z y : z = e iθ (02 θ π) 20. Definición Un primitiv de f en D es un función F nlític en D tl que F (z) = f(z) pr todo z D. 21. Teorem Si un función continu f tiene primitiv F en un dominio D, y es un cmino en D empezndo en z 1 y terminndo en z 2 entonces f(z) = F(z 1 ) F(z 2 ). 22. orolrio Si es un curv cerrd en un dominio D, y f es continu con primitiv en D, entonces = Teorem de uchy Gourst 1. Un conjunto Ω es cotdo si existe un M tl que z < M pr todo z Ω. 2. Si Ω es cotdo definimos el dimetro de Ω como Dim(Ω) = Sup z,w Ω z w. 3. Si Ω 1 Ω 2 Ω 3... Ω n... es un sucesión de conjuntos no vcios compctos en el plno complejo, con l propiedd de que Dim(Ω) 0 cundo n, entonces existe un único punto w en el plno tl que w Ω. 4. Si f es nlític en z 0 muestre que existe un función w(z) tl que w(z) 0 cundo z z 0 y f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + w(z)(z z 0 ). 5. Teorem Se f nlític en un dominio D y se T D un triángulo contenido en D, entonces = 0. T Se definen los objetos T (0),T k j, T (k), d k,s k y τ (k). 6. orolrio Si f es nlític en un dominio D que contiene un rectángulo R en su interior, entonces = Teorem Un función nlític en un disco bierto tiene un primitiv en tl disco. R

5 8. Teorem de uchy pr un disco Si f es nlític en un disco bierto, entonces pr culquier curv cerrd contenid en tl disco. = 0 9. Teorem Se f(z) un función continu en un dominio D. Ls siguientes propieddes son equivlentes entre sí. ) f(z) tiene un primitiv F(z) en D. b) Ls integrles de cmino contenidos en D, dependen únicmente del punto inicil y el punto finl. c) Ls integrles sobre cminos cerrdos contenidos en D tienen todos vlor cero. 10. Definición Se dice que un dominio es simplemente conexo si todo cmino cerrdo simple contenido en él encierr solo puntos de D. 11. Teorem Supongmos que: es un cmino cerrdo simple con orientción positiv. k son cminos cerrdos simples interiores, con orientción positiv, disjuntos y cuyos dominios interiores no tienen puntos en común. Si f es un función nlític en todos esos cminos y en el dominio multiplemente conexo, entonces + n k=1 k = Fórmul integrl de uchy Se f nlític en el dominio interior un cmino cerrdo simple, orientdo positivmente, y en todos los puntos de. Si z 0 es un punto en el dominio interior, entonces En generl f(z 0 ) = 1 2πi z z 0 f n (z 0 ) = n! 2πi (z z 0 ) n orolrio Sen 1 y 2 cminos cerrdos simples, orientdos positivmente, donde 2 es interior 1. Si un función f es nlític en l region cerrd constituid por los dos cminos y los puntos comprendidos entre ellos entonces = orolrio Si un función es nlític en un punto, dmite derivds de todo orden en ese punto y ls derivds son funciones nlítics en él. 15. Teorem de Morer Se f continu en un dominio D. Si = 0 pr todo cmino cerrdo en D entonces f es nlític en D. 16. Desiguldd de uchy Si f es nlític en un dominio ω que contiene l fronter de un disco D centrdo en z 0 de rdio R, entonces donde f = sup z f(z). f (n) (z 0 ) n! f R n 17. Teorem de Liouville Si f es enter y cotd, entonces f es constnte.

6 18. orolrio Todo polinomio no constnte P(z) = n z n tiene un riz en los complejos. 19. Teorem fundmentl del álgebr Pr todo polinomio P(z) = n z n de grdo n 1 tiene precismente n rices en los complejos. Si ests rices son denotds por w 1, w 2,..., w n entonces P puede ser fctorizdo como 1.1. Ejercicios pr desrrollr en clse P(z) = n (z w 1 )(z w 2 )... (z w n ). 1. Se 0 : z z 0 = R, orientd positivmente, muestre que ) 0 dz z z 0 = 2πi. b) 0 (z z 0 ) n 1 dz = 0 pr n {±1, ±2,...} 2. Sin evlur l integrl, pruebe que donde es z : z = 2, 0 θ π/2. dz z 2 1 π 3 3. Probr que si es el contorno del triángulo con vértices en los puntos 0, 3i y -4, orientdo positivmente, entonces (e z z)dz Se R : z = R recorrid en sentido positivo. Demustre que Logz dz R z 2 5. Muestre que pr z = 1 y f(z) = 1 z 2 z 6. + ln R 2ππ. R 6. Evlue l integrl de cmino de f(z) = 12z 2 4iz donde : y = x 3 3x 2 + 4x 1 desde (1, 1) hst (2, 3). 7. Mustre que si f es nlític en un dominio D, entonces ls integrles de cmino son independientes de l tryectori en este dominio. 8. Muestre que l siguiente regl sigue siendo verdder en los complejos(integrción por prtes). F(z)G (z)dz = F(z)G(z) F (z)g(z)dz

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