UNNE Facultad de Ingeniería UNIDAD III: CORRIENTE ELECTRICA Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS. Indice

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1 UNIDAD III: COIENTE ELECTICA Y CICUITOS ELÉCTICOS Desplazamento de cargas eléctrcas. Intensdad y densdad de corrente. Undades. esstenca y resstvdad. Ley de OHM. aracón de la resstvdad con la temperatura. Superconductvdad. Energía en un crcuto eléctrco. Ley de JOULE. Generadores de energía eléctrca. Fuerza electromotrz. Undades. Cálculos de correntes y dferencas de potencal. Leyes de KICHOFF. Dferencas de potencal en los termnales de un generador y de un motor. esstencas en sere y paralelo. Análss del crcuto C. Carga y descarga de capactores. Indce Introduccón... elocdad de arrastre Densdad de corrente eléctrca esstenca, resstvdad y conductvdad... 8 Dependenca de la resstvdad de los metales con la temperatura.... Ley de OHM... esstvdad - Comportamento de los átomos... 4 Conduccón en semconductores... 8 Semconductores tpo-n y tpo-p Intercambos de energía en un crcuto eléctrco... Fuerza Electromotrz... Calculo de la corrente en un crcuto... 6 Algunos crcutos smples... 7 Dferencas de potencal... 8 esstenca euvalente - esstenca en sere y en paralelo... 9 esstenca euvalente de un conjunto de resstencas en sere... 9 esstenca euvalente de un conjunto de resstencas en paralelo... Ejemplo de resolucón de crcutos aplcando la Ley de Ohm... edes eléctrcas Leyes de Krchhoff... 4 La regla de los nodos o prmera Ley de Krchhoff... 5 La regla de las mallas o segunda Ley de Krchhoff... 5 esolucón de crcutos medante la aplcacón de las Leyes de Krchhoff... 6 Ejemplo de resolucón de crcutos... 6 Crcutos C Caga y descarga del condensador... 8 Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4

2 Introduccón Hasta ahora hemos tratado prncpalmente la electrostátca, es decr los efectos de cargas estaconaras. Comenzaremos ahora a consderar el movmento de los portadores de carga, la conduccón eléctrca. Ya vmos ue el campo eléctrco es nulo en el nteror de un conductor, E r 0, sn embargo, s mantenemos un campo eléctrco dstnto de cero en un conductor, por ejemplo conectándolo a una batería o una fuente, los portadores de carga del conductor se moverán, y se establecerá una corrente eléctrca. eremos los efectos de correntes estaconaras e nvestgaremos modelos ue nos ayuden a comprender la conduccón eléctrca en la matera. Un conductor es un materal en el cual algunas de las partículas cargadas se pueden mover lbremente, estas partículas son los portadores de carga del conductor. Por ejemplo s pensamos en un metal como una estructura de ones postvos localzados en poscones de red fjas, y entre éstos se dstrbuyen los electrones lbres. La carga del conjunto de los electrones lbres es gual y opuesta a la carga del conjunto de los ones, resultando un materal neutro. Los electrones de un metal pueden moverse entre la red de ones, y consttuyen los portadores de carga de un metal. Los electrones lbres en un conductor metálco aslado, tal como trozo de alambre de cobre, se encuentran en movmento rregular como las moléculas de un gas encerrado en un recpente. No tenen nnguna dreccón de movmento defnda a lo largo del alambre. S hace pasar un plano hpotétco a través del alambre, la rapdez con la cual pasan electrones a través de él de derecha a zuerda, es msma ue la rapdez con la cual pasan de zuerda a derecha; rapdez neta es cero. S los extremos del alambre se conectan a una batería, se establece campo eléctrco E r en todos los puntos dentro del alambre. en la dreccón de Este campo E r actuará sobre los electrones y les dará un movmento resultante E r. Decmos ue se ha establecdo una corrente eléctrca,s pasa una carga neta por una seccón transversal cualuera del conductor en el tempo t, la corrente, supuesta constante, es: t [] [ ] [] t La undad en el sstema nternaconal será el Amper [ coul] [ seg] [ Amp], defndo como, se le ha dado el nombre de ampero en honor a André Mare Ampére (775-86). Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4

3 S la velocdad de flujo de carga no es constante al transcurrr tempo, la corrente varía con el tempo y estará dada por: d, en los prmeros análss consderaremos correntes constantes. dt La corrente es la msma para todas las seccones transversales de un conductor, aun cuando el área de la seccón transversal ser dstnta en dferentes puntos. De la msma manera, la velocdad con la cual el agua (supuesta ncompresble) fluye a través una seccón transversal cualuera de un tubo, es la msma aun cuando cambe la seccón El agua fluye más aprsa en donde el tubo es de menor seccón y más lentamente en donde su seccón es mayor, tal manera ue el caudal, meddo por ejemplo en ltros / mnuto camba. Esta constanca de la corrente eléctrca se deduce del hecho de ue la carga debe conservarse; bajo las condcones de régmen estable supuestas, n se acumula contnuamente en nngún punto conductor n se perde contnuamente en nngún punto. Usando expresones ya vstas no hay "fuentes" n "sumderos" de carga La exstenca de un campo eléctrco dentro de un conductor no contradce lo ue se explcamos anterormente, ya ue antes consderábamos aslado al conductor y ue no se conservaba expresamente una dferenca de potencal entre dos puntos cualesuera de él.. El campo eléctrco ue obra sobre los electrones en un conductor no produce una aceleracón neta, debdo a los choues entre los electrones y los átomos (en rgor, los ones) ue consttuyen el conductor. Esta dsposcón de los ones, junto con las fuerzas ntensas de resorte de orgen eléctrco, - se llaman la red. El efecto total de estos choues es transformar energía cnétca de los electrones ue aceleran en energía de vbracón de la red. Los electrones v adueren una velocdad de arrastre constante meda, en dreccón. Se puede Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4 d E r hacer una analogía con una bola ue rueda por una escalnata muy larga y no con una bola ue cae lbre desde la msma altura. En el prmer caso, la aceleracón causada por el campo (gravtaconal) es contrarrestada efectvamente por los efectos retardadores de los choues con los escalones de tal manera ue, condcones adecuadas, la canca baja por la escalera con una aceracón meda cero, esto es, a velocdad meda constante. Aun cuando en los metales los portadores de carga son los electrones, en los electróltos o en los conductores gaseosos los portadores de carga pueden ser tambén ones postvos, negatvos o ambos. La corrente eléctrca es una magntud escalar, y aunue no es vectoral, comúnmente se habla de la dreccón de una corrente, ndcando con esto la dreccón en ue fluyen los portadores de carga postvos Se necesta adoptar una convencón para asgnar las dreccones de las correntes porue las cargas de sgnos opuestos se mueven en dreccones opuestas en un campo dado. Una carga postva ue se mueve en una dreccón es euvalente, para cas los efectos externos, a una carga negatva ue se mueve en dreccón opuesta. Por consguente, por

4 smplcdad y para establecer a unformdad algebraca, suponemos ue todos los portadores de carga son postvos y dbujamos las flechas de la corrente en el sentdo en ue se moverían tales cargas. S los portadores de carga negatvos, smplemente se mueven en sentdo contraro a las flecha de la corrente. Hay casos, como en el efecto may, ue ya veremos en el cual tene mucha mportanca el sgno de los portadores de carga en los efectos externos, en estos a corrente eléctrca I es una magntud escalar, y aunue no es vectoral, comúnmente se habla de la dreccón de una corrente, ndcando con esto la dreccón en ue fluyen los portadores de carga postvos por alto la convencón y tomaremos en cuenta la stuacón real. En las fguras vemos los dstntos casos ue se nos presentan Fgura Fgura En la fgura se muestran portadores de carga postvos movéndose haca la derecha, mentras ue en la Fgura vemos portadores de carga negatvos movéndose haca la zuerda. En la Fgura los portadores de carga postvos ue se mueven haca la derecha tenden a hacer ue la parte derecha del alambre sea más postva y la parte zuerda más negatva. En la Fgura los portadores de carga negatvos ue se mueven haca la zuerda tenden a hacer ue la parte derecha sea más postva y la zuerda más negatva. Es decr ue el movmento de portadores en ambas fguras produce el msmo resultado, y por tanto el sentdo de la corrente es en las dos el msmo, haca la derecha. La corrente es una característca de un conductor dado. Es una magntud escalar, es una cantdad macroscópca, como la masa de un objeto, o la longtud de varlla. Una magntud mcroscópca relaconada con la anteror la densdad de corrente j r Es un vector y es la característca de punto dentro de un conductor; no es la característca del conductor en conjunto. Ing. Arturo. Castaño Año de 4

5 elocdad de arrastre. Cuando se aplca a un conductor un campo eléctrco externo, éste ejerce una fuerza sobre cada uno de los portadores de carga del conductor producendo su movmento a través del materal. (Las partículas ue no son portadores se desplazan lgeramente, pero contnúan lgadas en sus poscones de la red ónca.) S sobre los portadores de carga no actuaran otras fuerzas, un campo eléctrco constante producría sobre ellos una aceleracón constante. Sn embargo, los portadores de carga nteracconan con las demás partículas del materal, y el efecto combnado de estas nteraccones y el campo eléctrco aplcado hace ue los portadores se muevan a velocdad constante, v d, llamada velocdad de arrastre. eremos ahora la relacón entre la corrente y el módulo de la velocdad de arrastre, v en un alambre de seccón S suponendo ue n es la densdad de portadores de d carga en el alambre (número de portadores por undad de volumen) y la carga de cada portador. En la fgura suponemos ue todos los v portadores llevan una velocdad d, de forma ue todos los portadores ue hay en el clndro de longtud de dl pasan a través de la superfce S en un tempo dt En condcones de flujo estaconaro, estos portadores son reemplazados por los del sguente clndro a la zuerda, de manera ue no varía la carga neta en el tramo de alambre. La longtud del clndró dl será dl v d dt El número de portadores de carga en el clndro es nadl nav dt, y todos ellos pasan por la superfce S en un tempo dt, el valor de la carga dq ue pasa a través de la superfce S en un tempo dt,es d Ing. Arturo. Castaño Año de 4

6 dq dq nadl nav d dt, como dt dq nav d, o sea dt nav, la corrente es proporconal a la velocdad de arrastre d d v, podemos escrbr Densdad de corrente eléctrca. Ya djmos ue una magntud mcroscópca relaconada con la corrente eléctrca anteror es la densdad de corrente j r. Es un vector y es la característca de punto dentro de un conductor; no es la característca del conductor en conjunto. La corrente eléctrca caracterza el flujo de carga a través de la seccón perpendcular total de un conductor. Para descrbr el flujo de carga en puntos del nteror de un conductor debemos usar la densdad de corrente j r. S la densdad de corrente es unforme, el moduló de la densdad de corrente j es gual a la corrente dvdda por el área del conductor j, susttuyendo el valor de navd A navd j nvd A A obtendo nos ueda, ue podemos expresar en forma vectoral r j r nv d A de la seccón La densdad de corrente apunta en la msma dreccón ue v d para portadores postvos y en contra de v para portadores negatvos, y por tanto la dreccón de d sentdo de la corrente en el alambre. j r concde con el Ing. Arturo. Castaño Año de 4

7 r S un conductor posee más de un tpo de portadores de carga, exstrá una contrbucón a j por cada tpo de portadores. S tuvésemos dos tpos de portadores de carga, a y b, tendríamos ue escrbr r j r r n v n v donde los subíndces a y b desgnan las magntudes a da a b db correspondentes a cada tpo de portadores. b j r debdas a Podemos utlzar la ecuacón anteror para demostrar ue las contrbucones a portadores de dstnto sgno apuntan en la msma dreccón. Consderemos la densdad de corrente en una solucón salna en la ue los portadores son ones con carga e y e. S el medo es neutro las densdades de ambos tpos de ones son guales. Tomaremos el eje r r x en la dreccón del campo, E E, con lo ue la velocdad de arrastre es r r v v v v para los ones negatvos, d d para los ones postvos, y d d donde los módulos de las velocdades vd y d v son ambos postvos. Es decr, la velocdad de arrastre de los ones postvos tene la dreccón del campo, y la velocdad de r j j arrastre de los ones negatvos tene dreccón opuesta al campo. La componente x de x será: ( e)( vd ) nevd nev nevd n d Como ambos factores son postvos las contrbucones de ambos tpos de ones a j r tambén j r tanto lo son. Por tanto, el sentdo de la corrente corresponde con la dreccón de para portadores postvos como negatvos. De nuevo vemos ue el efecto externo de los portadores de carga es el msmo, ndependentemente de su sgno. La ecuacón mentras ue la ecuacón unforma. r r j nv d es valda para cualuer clase de dstrbucón de corrente, j solo lo es aplcable cuando la densdad de corrente es A Ing. Arturo. Castaño Año de 4

8 S la velocdad de arrastre de los portadores varía, como se ve en la fgura, la densdad de corrente varará en la msma forma En este caso la corrente a través de una r superfce dada puede obtenerse medante la ntegral de superfce de la densdad de corrente j r r jds Por lo tanto podemos decr ue la corrente a través de una superfce es el flujo de la densdad de corrente a través de dcha superfce. esstenca, resstvdad y conductvdad S se aplca la msma dferenca de potencal entre los extremos de una barra de cobre y de una barra de madera se producen correntes muy dferentes. La característca del conductor ue ntervene esta dferenca es su resstenca. Defnmos la resstenca de un conductor (a menudo llamado una resstenca; símbolo -~) entre dos puntos aplcando una dferenca de potencal entre puntos, mdendo la corrente y dvdendo: las undades de la resstenca serán s esta en volts e en Amper, entonces la resstenca estará en ohms, cuyo símbolo es Ω, en honor a Georg Smon Ohm ( ). El nombre de resstenca eléctrca es apropado, ya ue es una medda de la oposcón ue ejerce un trozo de materal al flujo de carga a través de él. S un trozo de un materal tene mayor resstenca, la msma dferenca de potencal producrá una corrente menor. En los crcutos se añade a menudo resstenca para lmtar o controlar la corrente. El flujo de carga a través de un conductor se compara a nudo con el flujo de agua a través de un tubo, el cual se debdo a ue hay una dferenca de presón entre los extremos tubo, establecda, por ejemplo, con una bomba. Esta dferenca presón se puede comparar con la dferenca de potencal establecda entre los extremos de una resstenca medante una batería. Ing. Arturo. Castaño Año de 4

9 El de agua (dgamos m / seg.) se compara con la corrente ( amp). La rapdez de flujo del agua para una dferenca de dada depende de la naturaleza del tubo. Es largo o corto? Es angosto o ancho? Está vacío o lleno de algo, por ejemplo, grava? Estas característcas del tubo son análogas a la resstenca de un conductor. elaconada con la resstenca está la resstvdad ρ, ue es una característca de un materal y no de una muestra especal del materal. Para materales sótropos, ue son los materales cuyas propedades, eléctrcas en este caso, no varían con la dreccón ue se tome en E el materal, se la defne como ρ La resstvdad del cobre es de.7 X.0-8 Ohm-m; la del j cuarzo funddo es aproxmadamente de 0' Ohm-m. Pocas propedades físcas pueden medrse entre márgenes tan amplos de valores. En la tabla sguente vemos una lsta de algunos valores para metales comunes. esstvdad a 0 C ohm-m Coefcente de Densdad Punto de fusón temperaturaα C Alumno.8x0-8.9x Plata.6x0-8.8x Cobre.6x0-8.9x Herro.0x x Carbono.5x0-5 -5x α, es el coefcente de temperatura, en esta tabla esta defndo como dρ la fraccón ue camba la resstvdad dt α ρ d ρ dt por undad de cambo de temperatura. aría con la temperatura, los valores ue auí se consgnan son para 0 C. Para el cobre.9 X 0 - '/C ) la resstvdad aumenta en 0.9 x 00 para un aumento de temperatura de C cerca de 0 C. Nótese ue a para el carbón es negatva, o sea, ue la resstvdad dsmnuye al aumentar la temperatura. Consdérese un conductor clíndrco de seccón transversal A, longtud l ue lleva una corrente constante. Apluemos una dferenca de potencal entre sus extremos. S las seccones transversales del clndro son superfces eupotencales, la ntensdad campo eléctrco y la densdad de corrente serán constantes en todos, los puntos en el clndro y tendrán los valores: E l j A Ing. Arturo. Castaño Año de 4

10 La resstvdad ρ puede escrbrse entonces así: ρ Pero ρ E j l A es la resstenca A l l ρ a A l A l, de manera ue se obtene:, y son cantdades macroscópcas, ue se aplcan a un cuerpo a una regón extensa en partcular. Las cantdades mcroscópcas correspondentes son E, j y ρ ; éstas tenen sus valores partculares en cada punto de cuerpo. Las cantdades macroscópcas están relaconadas entre sí por medo de la ecuacón de la ecuacón y las E ρj cantdades mcroscópcas están relaconadas, en forma vectoral por Las cantdades macroscópcas se pueden encontrar por ntegracón de cantdades mcroscópcas usando las relacones ya conocdas: r r jds y ab b a r r Edl La ntegral en la ecuacón de la corrente es una ntegral de superfce, ue se debe obtener en una seccón transversal cualuera del conductor. La ntegral en la ecuacón de la dferenca de potencal es una ntegral de línea ue se debe efectuar sguendo una línea arbtrara trazada a lo largo del conductor, unendo dos superfces eupotencales cualesuera, desgnadas a y b. Para un alambre largo conectado con una batería, la superfce eupotencal a podría escogerse como una seccón transversal del alambre cerca de la termnal postva de la batería y b tomarse como una seccón transversal cerca de la termnal negatva. La resstenca de un conductor entre a y b puede expresarse en térmnos mcroscópcos dvdendo las dos ecuacones membro a membro así: Ing. Arturo. Castaño Año de 4

11 ab b a r E r j d r d l r S S el conductor es un clndro largo de seccón transversal A, longtud l y los puntos a y b están en sus extremos, la anteror ecuacón de se reduce a: El ja l ρ a ya vsta Las cantdades macroscópcas, y son de nterés prmordal cuando efectuamos medcones eléctrcas en objetos conductores reales. Son las cantdades ue se leen en los meddores. Las cantdades mcroscópcas E, j y ρ son de mportanca prmordal cuando nos ocupamos del comportamento fundamental de la matera, como ocurre ordnaramente en el campo de la físca del estado sóldo. Más adelante nos ocuparemos apropadamente del punto de vsta atómco de la resstvdad de un metal y no de la resstenca de una muestra de metal. Las cantdades mcroscópcas son tambén mportantes cuando estamos nteresados en el comportamento nteror de objetos conductores de forma rregular. Dependenca de la resstvdad de los metales con la temperatura. La resstvdad de muchos metales puros varía cas lnealmente con la temperatura en un amplo rango de valores de ésta, como se muestra en la fgura sguente para el cobre. Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4

12 Como generalmente para los metales sólo aparece una lgera curvatura en la gráfca de ρ frente a T, podemos escrbr ρ ρ [ α ( T )] 0 T 0 donde ρ es la resstvdad a la temperatura T, ρ 0 la resstvdad a una temperatura T y α es el llamado coefcente térmco de la resstvdad. Es decr, de referenca 0 en un rango lmtado de temperaturas podemos aproxmar la lgera curvatura de la gráfca de ρ frente a T por una recta. Notamos ue en la fgura la línea recta dada por la ecuacón anteror es dfíclmente dstnguble de la curva para temperaturas cercanas a T 0. En la tabla dmos valores de los coefcentes térmnos de la resstvdad para algunos materales representatvos La dependenca de la resstvdad de los metales con la temperatura altura se aparta claramente de la lnealdad a bajas temperaturas, por debajo de 0 K. En la sguente fgura vemos el comportamento típco en este rango A estas bajas temperaturas la resstenca de un metal depende fuertemente de las peueñas cantdades de mpurezas ue contenga. ealmente en la practca, las meddas de resstvdad a bajas temperaturas se usan a menudo o para determnar la cantdad de mpurezas ue contene un metal. En algunos metales aparece un hecho sorprendente cuando son enfrados a muy baja temperatura: su resstenca se anula completamente. Este comportamento se muestra en la fgura sguente Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4

13 El fenómeno fue descuberto en 9 por H. Kamerlngh Onnes (85-96), y se conoce como superconductvdad. Hoy día la superconductvdad consttuye una actva área de nvestgacón en físca, y cada vez es mayor su mportanca en ngenería. Todas las experencas llevadas a cabo parecen ndcar ue la resstenca de los materales en el estado superconductor es realmente cero; una vez ue se establecen correntes en un crcuto superconductor cerrado, perssten sn dsmnur durante muchas semanas, aun cuando no haya batería en el crcuto. S la temperatura se eleva lgeramente sobre el punto superconductor, las correntes se anulan nmedatamente. Ley de OHM Para muchos conductores, la corrente a través de un trozo del conductor es drectamente proporconal a la dferenca de potencal aplcada entre los extremos del msmo, de forma ue su resstenca es ndependente de (o de ). Así por ejemplo, s se duplca la dferenca de potencal entre los extremos de un conductor, la corrente tambén se duplcará. En este caso podemos escrbr El nombre de Ley de Ohm esta ecuacón es posblemente algo erróneo porue el rango de valdez de esta ecuacón está en ocasones demasado lmtado como para garantzarlo utlzando la palabra ley. No se trata de un hecho fundamental en la naturaleza, como por ejemplo lo es la ley de Coulomb. Por el contraro se trata de una expresón empírca ue descrbe con precsón el comportamento de muchos materales en el rango de valores de típcamente utlzados en los crcutos eléctrcos. En estas crcunstancas la ley de Ohm resulta muy útl. Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4

14 Los materales ue cumplen la ley de Ohm se denomnan óhmcos, y los ue no la cumplen no-óhmcos. Un conductor óhmco se caracterza por tener un únco valor de su resstenca. La grafca, de con respecto a, es una recta, de forma ue la pendente en todos los pu de la gráfca es la msma, y corresponde a. Un conductor no-óhmco no posee un valor únco de resstenca, y su gráfca de frente a no es una línea recta esstvdad - Comportamento de los átomos Podemos entender por ué los metales obedecen la ley de Ohm fundándonos en las deas cláscas sencllas. S se modfcan estas deas cuando sea necesaro de acuerdo con los reustos de la cuántca, es posble dar un paso más y calcular los valores de la resstvdad ρ para dversos metales. Estos cálculos no son sencllos, pero cuando se han efectuado, los resultados ordnaros concden con los valores expermentales de ρ. En un metal, los electrones de valenca no están lgados átomos ndvduales sno ue tene lbertad para moverse dentro la red y se llaman electrones de conduccón. En el cobre hay uno de estos electrones por cada átomo, los ventocho restantes están lgados núcleos de cobre formando corazones óncos. La dstrbucón de velocdades de los electrones de conduccón sólo se puede descrbr correctamente aplcando la físca cuántca. Sn embargo, para nuestras fnaldades basta consderar solamente una velocdad meda v defnda en forma convenente; para el cobre Ing. Arturo. Castaño Año de 4

15 v es gual a.6x0 8 cm / seg. En ausenca de un campo electrónco, las dreccones en ue se mueven los electrones están completamente azar, como las de las moléculas de un gas confnado en un depósto. Los electrones chocan constantemente con los corazones óncos del conductor, esto es, nteractúan con la red, sufrendo a menudo cambos repentnos en la rapdez y dreccón. Estos choues concuerdan a los choues de las moléculas de un gas confnado en depósto. Lo msmo ue en el caso de los choues moleculares descrbr los choues del electrón con la red medante un recorrdo lbre medo λ, sendo λ la dstanca meda ue recorre un electrón entre choues consecutvos, se puede demostrar ue los choues entre electrones ocurren muy pocas veces y tenen poco efecto en la resstvdad. En un crstal metálco deal a 0 K no ocurrrían choues electrón-red según pronostca la físca cuántca, esto es, λ, cuando T 0 K en los crstales deales. Los choues ocurren en los crstales deales por las sguentes causas (a) los corazones jóncos a cualuer temperatura T están vbrando en torno de sus poscones de eulbro en una forma desordenada. (b) pueden exstr mpurezas, esto es, átomos extraños. (c) los crstales pueden contener mperfeccones en la red, tales como flas de átomos faltantes y átomos desalneados. En vsta de lo anteror, no es sorprendente ue la resstvdad de un metal se pueda aumentar de las sguentes maneras: (a) elevando su temperatura, (b) agregando peueñas cantdades de mpurezas, (c) someténdolo a esfuerzos severos, por ejemplo, estrándolo a través de una hlera, para aumentar el número de mperfeccones de la red. Cuando se aplca un campo eléctrco a un metal, los electrones modfcan su movmento rregular de tal manera ue son arrastrados lentamente en dreccón opuesta a la del campo, con una velocdad meda de arrastre v. Esta velocdad de arrastre es mucho menor ue d la velocdad efectva meda v menconada anterormente. Ing. Arturo. Castaño Año de 4

16 La fgura sugere la relacón entre estas dos velocdades. La línea llena es una trayectora rregular posble seguda un electrón cuando no se aplca un campo; el electrón avanza de x, a y efectuando ses choues en el camno. Las líneas nterrumpdas muestran cómo hubera poddo ocurrr el msmo fenómeno s se hubese aplcado un campo eléctrco E r. Notamos ue el electrón es arrastrado constantemente haca la derecha, termnando en y y no y. Se puede calcular la velocdad de arrastre v de los electrones en del campo eléctrco aplcado d E r y de v y λ. Cuando se aplca campo a un electrón ue está ncalmente en reposo, d expermenta fuerza ley de Newton: a ee m r r F ee ue le comunca una aceleracón a dada por la segunda Consderemos a un electrón ue ha chocado precsamente contra un corazón on. El choue, en general, destrurá momentáneamente tendenca del arrastre y el electrón tendrá una verdadera dreccón desordenada después de este choue. Al sguente choue, la velocdad del electrón habrá cambado a: Ing. Arturo. Castaño Año de 4

17 v d a λ v λ, sendo v su tempo medo entre choues El movmento del electrón a través del conductor es análogo a la velocdad constante con ue cae una pedra en el agua. Contra la fuerza gravtaconal sobre la pedra se opone una fuerza resstente vscosa ue es proporconal a la velocdad. Así pues, la velocdad fnal de la pedra es constante. Podemos expresar a v d en funcón de la densdad de corrente ecuacón anteror, obtenemos: v d j ee λ jm v E ne m v, de donde ne λ E ρ llegamos a: j y como sabemos ue E j j jm v ne λ m v ne λ ρ j y combnarla con la Esta ecuacón se puede consderar como la afrmacón de ue los metales obedecen la ley de Ohm s es ue podemos demostrar ue v y λ no dependen del campo eléctrco aplcado E. En tal caso, ρ no dependerá de E, lo cual es el crtero para saber s un materal obedece la ley de Ohm. Las cantdades v y λ dependen de la dstrbucón de velocdades de los electrones de conduccón. emos ue esta dstrbucón ueda afectada sólo lgeramente al aplcar un campo eléctrco aun cuando sea relatvamente grande, puesto ue v es del orden de v es solamente es del orden de 8 0 cm / seg., mentras ue d 0 cm / seg., dando una relacón del orden de 0 0. Podemos estar seguros de ue cualesuera ue sean valores de v y λ (por ejemplo para el cobre a 0 C) cuando no hay un campo eléctrco, se conservan cas sn cambo cuando se aplca un campo eléctrco. Así pues, nuestra ecuacón de ρ es ndependente del campo eléctrco E y el materal obedece la ley de Ohm. El cálculo numérco de ρ a partr de esta ecuacón se complca por la dfcultad de calcular a λ, s ben se ha efectuado este cálculo en un buen numero de casos Ing. Arturo. Castaño Año de 4

18 Conduccón en semconductores Anterormente habíamos dvddo los materales en dos clases dependendo de su conductvdad eléctrca: conductores y aslantes. Exste un tercer tpo, los semconductores, cuya conductvdad es ntermeda entre la de los conductores y la de los aslantes. Los semconductores juegan un papel esencal en la tecnología moderna. Son los materales usados para fabrcar dspostvos electróncos como dodos, transstores y crcutos ntegrados.. Pues ben, la densdad de portadores es el factor clave para controlar la conductvdad de un semconductor. Conduccón en semconductores puros. Los semconductores están formados por elementos de las columnas centrales de la tabla peródca, entre los ue el slco es el más común. Estudaremos el slco como nuestro semconductor representatvo. Z 4 tene una valenca 4, y cuando los átomos de este elemento se juntan El slco ( ) formando un sóldo, cada uno tene cuatro vecnos más próxmos. En sguente fgura mostramos una representacón en dos dmensones de la red crstalna trdmensonal del slco; cada átomo aparece como un on de carga 4e acompañado de cuatro electrones de valenca. En el slco puro cas todos estos electrones están lgados a sus respectvos ones a temperatura ambente, pero las fluctuacones de energía térmca hacen ue algunos de ellos se encuentren lbres. Es decr, una peueña fraccón de los átomos de slco está térmcamente onzada. (A temperatura ambente, aproxmadamente un átomo de cada 0 se encuentra onzado, es decr una fraccón muy peueña.) Los electrones lberados térmcamente serán portadores de carga negatvos. Además de los electrones lbres, los semconductores tenen portadores de carga postvos. En la fgura anteror vemos ue s un electrón se lbera de su sto en el sóldo, deja atrás una Ing. Arturo. Castaño Año de 4

19 poscón donde falta un electrón. Esta «falta de electrón» se llama hueco, y un campo eléctrco aplcado puede hacer ue un hueco se mueva a través del sóldo en la dreccón del campo. De esta forma un hueco es un portador de carga postvo. Un hueco movéndose en un semconductor, debdo a un campo eléctrco aplcado, es smlar a una burbuja movéndose haca arrba desde e el fondo de una pscna debdo al campo gravtatoro de la terra; la burbuja sube a través del agua, aunue realmente el agua está cayendo conforme la burbuja sube. En lugar de hablar del agua cayendo resulta más apropado hablar de la burbuja subendo, pensamos en termno de «la falta de agua» (la burbuja) en ve; consderar el agua subendo. Semconductores tpo-n y tpo-p. En el caso anteror el número de portadores del slco era muy bajo en comparacón con, el de los metales. En un metal hay aproxmadamente un portador por átomo, ya vmos ue en el slco a temperatura ambente hay aproxmadamente uno por cada 0 átomos. En consecuenca, la resstvdad del slco a temperatura ambente es del orden de 0 veces mayor ue la de los metales. Sn embargo, la densdad de portadores en un semconductor puede aumentarse consderablemente ntroducendo certas mpurezas en el materal. Consderemos el efecto de la ncorporacón de átomos de fósforo en slco. El fósforo ( Z 5) tene cnco electrones de valenca, uno más ue el slco. S se ntroduce una peueña cantdad de fósforo en el slco sóldo, algunos lugares normalmente ocupados por los ones slco (con carga 4e ) serán ahora ocupados por ones fósforo (con carga 5e ), como se muestra en la sguente fgura Cuatro de los cnco electrones de valenca de cada átomo de fósforo estarán lgados al on de fósforo (en la msma dsposcón de los electrones alrededor de los ones de slco), y el electrón restante está sempre práctcamente lbre a temperatura ambente. Por tanto esencalmente cada átomo de la mpureza de fósforo cede un portador de carga negatvo, electrón lbre al materal. Ing. Arturo. Castaño Año de 4

20 Consderemos ahora el efecto de mpurezas de alumno en slco. El alumno ( Z ) tene tres electrones de valenca, uno menos ue el slco. S se ntroduce una peueña cantdad de alumno en slco sóldo, algunos lugares normalmente ocupados por ones slco pasarán a estar ocupados por ones alumno (con carga e ), como se muestra en la fgura A temperatura ambente el hueco, formado por la falta de un electrón de valenca en el alumno, está práctcamente sempre lbre, de forma ue cas todos los ones alumno tenen cuatro electrones a su alrededor, como los de slco. A temperatura ambente el hueco, formado por la falta de un electrón de valenca en el alumno, está práctcamente sempre lbre, de forma ue cas todos los ones alumno tenen cuatro electrones a su alrededor, como los de slco. El átomo de alumno acepta un electrón del materal, y ahora el materal tene un portador de carga en forma de hueco. Esencalmente cada átomo de alumno produce un hueco en el materal. Cuando se ntroduce a propósto una mpureza en un materal ue era puro se dce ue el materal está dopado. Por ejemplo, cuando se ntroduce fósforo en slco puro, el materal resultante es slco dopado-con fósforo. Como hemos vsto, el slco dopado con fósforo contene un exceso de portadores de carga negatvos. Este tpo de materal se denomna semconductor tpo n; refréndonos a la carga negatva de los portadores, en este caso electrones. El slco dopado con alumno es un semconductor tpo p; o sea a la carga postva de los portadores, los huecos. Para calfcar un semconductor corno tpo n o tpo p, la concentracón debe ser sufcentemente alta como para ue la densdad de electrones lbres o huecos debe ser mucho mayor ue la densdad de portadores en el materal puro. Ing. Arturo. Castaño Año de 4

21 Intercambos de energía en un crcuto eléctrco La fgura muestra un crcuto ue consste en una batería conectada con una caja cerrada, es decr no sabemos y para este prmer análss no mporta ue hay adentro, sno solo su comportamento al relaconarla con el exteror. Por los alambres de conexón pasa una corrente constante y exste una dferenca de potencal constante contener una resstenca, un motor o un acumulador, entre otras cosas. entre las termnales a y b. La caja podría ab La termnal a, conectada con el borne postvo de la batería está a mayor potencal ue la termnal b. S se mueve una carga d de a a b, esta carga dsmnurá su energía potencal d*ab eléctrca en una cantdad El prncpo de conservacón de la energía nos dce ue esta energía se transforma dentro de la caja, de energía potencal eléctrca a alguna otra forma Qué cosa será esa otra forma? Ello depende del contendo de la caja. Entonces en un tempo dt la energía du transformada dentro de la caja es: du d ab dt ab Encontramos la rapdez de transmsón de energía P dvdendo entre el tempo, o sea, du P dt ab S el artefacto ue está dentro de la caja es un motor, la energía aparece cas toda como trabajo mecánco hecho por el motor; s artefacto es un acumulador ue se está cargando, la energía aparece cas toda como energía uímca almacenada en esa segunda batería. S el artefacto es una resstenca, aseguramos ue la energía aparece como calor en la resstenca. Para darse cuenta de ello, consderemos una pedra de masa m ue cae desde una altura h. Dsmnuye su energía potencal gravtaconal en una cantdad mgh. S la pedra cae en el vacío, o ben -para muchos fnes práctcos el are, esta energía se transforma en energía cnétca de la pedra. Pero s la pedra cae en el agua, su velocdad al cabo de certo 'tempo se hace constante, lo cual sgnfca ue la energía cnétca ya no aumenta. La Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4

22 energía potencal de ue contnuamente se dspone conforme cae la pedra aparece entonces como energía térmca en la pedra y en el agua crcundante. Es la fuerza vscosa de arrastre del agua, semejante a la frccón y ue obra en la superfce de la pedra, la ue evta ue ésta acelere, y es en esta superfce en donde aparece la energía térmca. El paso de los electrones a través de la resstenca es muy semejante al de la pedra a través del agua. Los electrones avanzan con una velocdad constante de arrastre v d y por consguente no ganan energía cnétca. La energía potencal eléctrca ue perden se transmte a la resstenca como calor. En una escala mcroscópca esto puede nterpretarse consderando ue los choues de los electrones con la red aumentan la ampltud de ls vbracones térmcas de la red, en una escala macroscópca esto corresponde a un aumento de temperatura. Este efecto, ue es termodnámcamente rreversble, se llama calentamento por efecto Joule. Para una resstenca tenemos: P, pero de la ley de Ohm tenemos ue expresones podemos escrbr: P P ó Tengamos presente ue mentras ue eléctrca de todas las clases; las ecuacones combnando ambas P se aplca a la transmsón de energía P y P se aplcan solamente a la transformacón de energía eléctrca en energía calórfca a en una resstenca, estas son las ue se conocen como de Joule. Esta ley es en defntva una manera partcular de escrbr el prncpo de la conservacón de la energía para el caso especal en el cual energía eléctrca se transforma en energía calorífca. La undad de potenca la podemos deducr de: [ P ] [ ][] [ volt ][ amp ] joule seg [ P ] [ watt ] joule coul coul seg Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4

23 Fuerza Electromotrz Para ue en un crcuto eléctrco exsta una corrente contnua, el crcuto debe contener un componente ue actúe como fuente de energía eléctrca. Estos componentes se llaman fuentes de fuerza electromotrz, abrevado fem. Una fuente de fuerza electromotrz proporcona a los portadores de carga la energía eléctrca necesara para ue realcen su trayecto a través del crcuto. En nuestro estudo capítulo no nos ocuparemos de cómo están construdos o de los detalles de su funconamento, sno ue nos dedcaremos a descrbr sus característcas eléctrcas y a explorar su utldad en crcutos eléctrcos. La batería produce esa corrente estable al mantener una dferenca de potencal aproxmadamente constante entre sus termnales. El termnal ue está a mayor potencal se denomna termnal postvo, y el termnal ue está a menor potencal se denomna termnal negatvo. Por tanto, el sentdo de la corrente fuera de la batería (a través de la resstenca) va desde el termnal postvo al termnal negatvo, y el sentdo de la corrente en el nteror de la batería va del termnal negatvo haca el postvo. Dos mportantes magntudes ue caracterzan una batería son su fem ε y. su resstenca nterna r. Muchas veces para los cálculos el valor de la resstenca nterna r es tan peueño ue se lo puede desprecar. La fgura sguente muestra una fuente de fem ε, representada por una batería y la cual va conectada a una resstenca.la fuente de fem conserva la termnal superor postva y la termnal nferor negatva, como se representa con los sgnos y -. En el crcuto exteror a la fem los portadores postvos de carga se moverían en la dreccón ue muestran las flechas representadas por. En otras palabras, se producría una corrente en el sentdo de las manecllas del reloj. Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4

24 Una fuente de fem debe ser capaz de hacer trabajo sobre portadores de carga ue penetren a ella. En el crcuto anteror, el efecto de la fuente es mover las cargas pos de un punto de bajo potencal, la termnal negatva, a través fuente a un punto de elevado potencal, la termnal postva. ealza un trabajo smlar al de una bomba medante la cual el agua se puede subr un lugar de bajo potencal a otro de elevado potencal. En la crcuto pasa carga d en un tempo dt, esta carga entra a la fuente fem en su extremo de bajo potencal y sale de ella en su extremo de elevado potencal. La fuente debe hacer una cantdad debajo dw sobre los portadores de carga (postva) para forzarlos ue vayan al punto de, mayor potencal. La fem ε, de la fuente defne así: dw d ε S una fuente de fem hace trabajo sobre un portador de carga, debe haber una transmsón de energía dentro de la fuente. Por ejemplo, en una batería se transforma energía uímca en eléctrca. Podemos descrbr una fuente de fem como un dspostvo en el cual se transforma, en forma reversble, energía uímca, mecánca o de otra forma, en energía eléctrca. La energía uímca proporconada por la batería en el crcuto anteror se almacena en los campos eléctrcos y magnétcos ue rodean al crcuto. Esta energía almacenada no aumenta porue se está gastando al transformarse en calor por el efecto Joule en la resstenca con la msma rapdez con ue es abastecda. Los campos eléctrco y magnétco juegan el papel de ntermedaros en el proceso de transmsón de energía, funconando como depóstos de almacenamento. El dbujo sguente un síml gravtaconal del crcuto, en el msmo, la fuente de fem hace trabajo sobre los portadores de carga. Esta energía, almacenada temporalmente como energía de campo electromagnétco, aparece al fn de cuentas como calentamento por el efecto Joule en la resstenca. El hombre, al levantar las bolas de bolche del pso al anauel, hace trabajo sobre ellas. Esta energía ueda almacenada temporalmente como energía en el campo gravtaconal Las bolas ruedan lentamente por el anauel, cayendo por el extremo derecho a un clndro lleno de acete vscoso. Se hunden hasta el fondo a velocdad constante, y son extraídas medante un mecansmo adecuado ue no se muestra en la fgura. Después van rodando por el pso haca la zuerda. La energía ue proporcona la persona al sstema aparece al fn de cuentas como calor Ing. Arturo. Castaño Año de 4

25 en el fludo vscoso. La energía ue proporcona la persona vene de su propa energía nterna, uímca. La crculacón de las cargas en el crcuto, se suspenderá a la larga s la batería no carga, la crculacón de las bolas de bolche en el dbujo se suspenderá a la larga s la persona no recupera con almentos su provsón de energía nterna. La fgura muestra un crcuto ue contene dos baterías, deales A y B, una resstenca y un motor eléctrco deal ue opera levantando un peso. Las baterías se conectan de tal manera ue tenden a mandar cargas por el crcuto en dreccones opuestas; la dreccón defntva de la corrente ueda determnada por B, ue proporcona la mayor dferenca de potencal. La energía uímca en B se está consumendo contnuamente, aparecendo la energía en las tres formas mostradas a la derecha. La batería A se está "cargando" mentras ue la batería B se está descargando. Nuevamente, los campos eléctrco y magnétco ue rodean al crcuto obran como ntermedaros. Las transformacones de energía en este crcuto son: Trabajo producdo en la resstenca Energía uímca tomada de B Energía de campo eléctrca y magnetcaal macenada Energía uímca almacenada en A Trabajo hecho por el motor Ing. Arturo. Castaño Año de 4

26 Calculo de la corrente en un crcuto En un tempo dt aparecerá una cantdad de energía dada por la expresón: dw dt en la resstenca del crcuto anteror como calor por el efecto Joule. Durante ese msmo tempo se habrá movdo una carga habrá hecho un trabajo sobre esa carga dado por la sguente expresón dw ε d εdt d dt a través de la fuente de fem, y ésta De acuerdo con el prncpo de la conservacón de la energía, el trabajo hecho por la fuente debe ser gual al calor generado por el efecto Joule, o sea, dw ε dt dt Despejando la corrente tenemos ε εdt dt ε ε Tambén podemos dervar esta ecuacón consderando ue, para ue el potencal eléctrco tenga un verdadero sgnfcado, es precso ue un punto dado no pueda tener más ue un solo valor del potencal en un momento dado. S comenzamos en un punto cualuera del crcuto de la fgura, e magnaramente segumos todo el crcuto el una dreccón cualuera, sumando algebracamente los cambos de potencal encontrados, debemos llegar al msmo potencal cuando regresemos al punto de partda. En otras palabras, la suma algebraca de los cambos de potencal ue se encuentren al recorrer el crcuto completo, debe ser cero. Comencemos en un punto a cuyo potencal es a y recorramos el crcuto en sentdo de las manecllas del reloj. Al pasar por la resstenca hay un cambo de potencal de valor. El sgno menos ndca ue la parte superor de la resstenca tene un potencal mayor ue la parte nferor, lo cual debe ser certa porue los portadores de carga postva se mueven por sí msmos del potencal alto al potencal bajo. Al atravesar el acumulador de abajo. haca arrba hay un ε aumento de potencal de valor debdo a ue la batería hace trabajo (postvo) sobre los portadores de carga, lo ue uere decr ue los mueve de un punto de bajo potencal a un punto de potencal elevado. Añadendo la suma algebraca de los cambos de potencal al potencal a debe obtenerse el msmo valor a, o sea: ε a a, ue lo podemos expresar Ing. Arturo. Castaño Año de 4

27 ε 0 Expresón esta ue no depende del valor de a y ue expresa explíctamente ue la suma algebraca de los cambos de potencal al recorrer un crcuto completo es cero. Estas dos maneras de encontrar la corrente en crcutos smples, basadas en la conservacón de la energía y en el concepto de potencal son completamente euvalentes porue las dferencas de potencal se defnen en funcón del trabajo y energía. S ben lo volveremos a ver más adelante, el enuncado de ue la suma de los cambos de potencal ue se encuentran al segur un crcuto completo es cero se llama segunda ley de Krchhoff; o tambén teorema de la trayectora o de las mallas. Sempre debe tenerse presente ue este teorema es smplemente una manera partcular de enuncar el prncpo de la conservacón de la energía en crcutos eléctrcos. eamos las reglas para encontrar las dferencas de potencal en cualuer crcuto; estas reglas se deducen del análss anteror.. S se recorre una resstenca en el sentdo de la corrente, el cambo de potencal es ; en el sentdo contraro es.. S se atravesa una fuente de fem en el sentdo de la fem, el cambo de potencal es ε ; en el sentdo contraro es ε Algunos crcutos smples En el crcuto sguente se pone de manfesto ue todas las fuentes de fem tenen una resstenca nterna r ntrínseca. Esta resstenca no se puede elmnar, aun cuando desde el punto de vsta de las energías sería mejor hacerlo, porue es una parte nherente del aparato. La fgura muestra la resstenca nteror r y la fem separadas, aun cuando, en realdad, ocupan la msma regón del espaco. Ing. Arturo. Castaño Año de 4

28 S aplcamos la ley de las mallas, comenzando en el punto a y dando la vuelta en el sentdo de las manecllas del reloj, obtenemos: ε r b b o sea, ε r 0 despejando la corrente se obtene r ε Dferencas de potencal eamos como calcular la dferenca de potencal entre dos puntos en un crcuto. En el crcuto sguente calculamos la entre la dferenca de potencal entre los puntos a y b, es decr ab a b c r a r b ε ε Para encontrar esta relacón comencemos en el punto b y sgamos el crcuto hasta el punto a, pasando a través de la resstenca contra la corrente. S b y en los puntos b y a, respectvamente, tenemos: a a son los potencales r b ε a de donde Ing. Arturo. Castaño Año de 4

29 ab r a b ε esumendo podemos decr: Para encontrar la dferenca de potencal entre dos puntos cualesuera en un crcuto se comenza en un punto cualuera y se recorre el crcuto hasta llegar al otro punto, sguendo cualuer trayectora y se suman algebracamente los cambos de potencal ue se encuentren. Esta suma algebraca será la dferenca de potencal. Este procedmento es smlar al ue srve para encontrar la corrente en un crcuto cerrado, salvo ue en este caso las dferencas de potencal se agregan en una parte del crcuto y no en todo el crcuto. La dferenca de potencal entre dos puntos cualesuera no puede tener más ue un solo valor; así pues, debemos obtener el msmo resultado para todas las trayectoras ue conecten estos puntos esstenca euvalente - esstenca en sere y en paralelo Los crcutos eléctrcos contenen generalmente combnacones de resstencas. El concepto de resstenca euvalente de una combnacón de resstencas es útl para calcular la corrente ue pasa por las dferentes ramas de un crcuto. La resstenca euvalente de una combnacón de resstencas es el valor de una únca resstenca ue reemplazada por la combnacón produce el msmo efecto externo. Para producr el msmo efecto externo ue la combnacón, la resstenca únca debe transportar la msma corrente ue la combnacón cuando la dferenca de potencal entre sus extremos sea gual ue en ésta. Es decr, e, donde e es el valor de la resstenca euvalente a la combnacón, la dferenca de potencal entre los extremos de la combnacón, e la corrente ue fluye a través de la combnacón. esstenca euvalente de un conjunto de resstencas en sere El crcuto sguente nos muestra tres resstencas de valores, y conectadas en sere. Las líneas rectas de conexón ndcan alambres de resstenca desprecable. Tambén se muestra la varacón del potencal en la dreccón correspondente al sentdo de la corrente. amos a decr ue dos o más resstencas están conectadas en sere cuando la corrente ue crcula por ellas es la msma. Ing. Arturo. Castaño Año de 4

30 emos ue la dferenca de potencal entre los extremos de la combnacón es gual a la suma de las dferencas de potencal entre extremos de cada resstenca: Puesto ue están en sere, debe pasar la msma corrente por las tres resstencas, de forma ue ( ) Por defncón la resstenca euvalente es : e e Una únca resstenca de valor e, puede reemplazar a las tres resstencas, mantenendo el msmo efecto externo. Generalzando podemos decr ue para resstencas conectadas en sere n e, Para nuestro caso el crcuto uedará Ing. Arturo. Castaño Año de 4

31 e Donde e esstenca euvalente de un conjunto de resstencas en paralelo La condcón para consderar a dos o más resstencas en paralelo es ue la dferenca de potencal entre los extremos de ambas resstencas sea la msma. La corrente ue entra en el conjunto de resstencas es gual a la suma de las correntes ue atravesan cada resstenca. como la dferenca de potencal en los bornes de cada resstenca es, aplcando la Ley de Ohm nos ueda: reemplazando será Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4

32 y por defncón de resstenca euvalente e será e de la ecuacón anteror nos ueda: generalzando para n resstencas conectadas en paralelo n e n Nuestro crcuto uedará Donde se cumple ue e e Ejemplo de resolucón de crcutos aplcando la Ley de Ohm Entendemos por resolucón de crcutos el hecho de calcular todas las correntes eléctrcas ue crculan por el msmo. En el ejemplo sguente nos lmtamos a un crcuto ue tene una sola batería, el método de resolucón será tratar de encontrar la resstenca euvalente del crcuto, luego por aplcacón de la Ley de Ohm encontrar las correntes por cada resstenca Como prmer paso planteamos las correntes por las resstencas Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4

33 En el crcuto anteror resolvemos el euvalente paralelo entre las resstencas 5 y 6 Donde A contnuacón el paralelo entre y Donde Fnalmente resolvemos el crcuto sere e Donde e Ing. Arturo. Castaño Año 008 de 4