Propagación de la luz en los medios no conductores. Leyes de la reflexión y de la refracción

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1 Capítulo 3 Propagación de la luz en los medios no conductores. Leyes de la reflexión y de la refracción 3.1 Índicederefracción El efecto de la presencia de un dieléctrico lineal, homogéneo e isótropo en una región del espacio libre es un cambio de la velocidad de propagación de la luz en esa región con respecto al vacío y a otros dieléctricos. En el vacío es c = 1 ε0 µ 0 en tanto que en un dieléctrico con permitividad eléctrica ε y permeabilidad magnética µ v = 1 εµ Se llama índice de refracción de un dieléctrico a la razón entre la velocidad de la luz en el vacío y en el dieléctrico n = c v = εµ ε 0 µ 0 = ε r µ r Como en la mayoría de los dieléctricos se puede aproximar µ µ 0 µ r 1 17

2 18CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN resulta que n ε r expresión que se conoce como relación de Maxwell La velocidad de la luz es máxima en el vacío, de manera que en cualquier otro medio el índice de refracción es mayor o igual que uno v c n = c v Dispersión En los dieléctricos reales, el valor de ε r depende de la frecuencia del campo eléctrico a que están sometidos, de manera que el índice de refracción n es función del «color» de la luz. La causa de este comportamiento es que la capacidad de los dieléctricos para polarizarse eléctricamente siguiendo las variaciones del campo eléctrico es diferente en función de la «rapidez» de dichas variaciones. Ejemplos: La descomposición de la luz blanca en colores cuando atraviesa un prisma de vidrio. La formación del arcoiris. La aparición de colores en lupas y lentes no corregidas 3.2 Reflexión y refracción La experiencia diaria muestra que cuando la luz incide en la superficie de separación entre dos medios diferentes, en los que se propaga con velocidades distintas, una parte se refleja hacia el mismo medio del que procedía y otra parte pasa al segundo y cambia su dirección de propagación, esto es, se refracta. Al estudiar este fenómeno, interesa determinar: La relación entre las direcciones de propagación de los haces incidente, reflejado y refractado. La relación entre sus amplitudes o entre sus irradiancias) y entre sus fases.

3 3.3. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA FÍSICA 19 Estudiaremos los tres modelos clásicos que se emplean para determinar las leyes de la reflexión y de la refracción: Óptica Física ondulatoria): Principio de Huygens. Óptica Geométrica: Principio de Fermat. Óptica Electromagnética: Ecuaciones de Maxwell. 3.3 Planteamiento de la Óptica Física repaso de Física 2) Principio de Huygens Se trata de un principio aplicable a todo tipo de ondas, condependencia de su naturaleza, y establece que Cada punto del espacio que es alcanzado por una onda se convierte en un nuevo foco de «ondas elementales» que tienen su misma frecuencia y velocidad de propagación. Las nuevas posiciones del frente de onda vienen dadas por la envolvente de estas ondas elementales Leyes de la reflexión y de la refracción Del principio de Huygens se derivan las siguientes leyes que relacionan las direcciones de propagación de las ondas incidente, reflejada y refractada: 1. Las direcciones de propagación de las ondas incidente, reflejada y refractada, así como la normal a la superficie de separación de los dos medios están en el mismo plano. 2. Los ángulos de incidencia θ i y de reflexión θ r sodénticos θ i = θ r 3. Los ángulos de incidencia θ i y de refracción θ t satisfacen la Ley de Snell sin θ i = n t sin θ t

4 20CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN Ángulo límite. Reflexión total Cuando la luz pasa de un medio a otro con menor índice de refracción la onda refractada se aleja de la normal n t < θ t >θ i Se llama entonces ángulo límite o ángulo crítico al valor del ángulo de incidencia θ c para el que el ángulo de refracción toma su valor máximo θ i = θ c θ t = π 2 sin θ c = n t sin π 2 sin θ c = n t θ c =arcsin n t Cuando el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite se produce la reflexión total de la onda incidente. 3.4 Planteamiento de la Óptica Geométrica El principio de Fermat El principio de Fermat es axiomático y no asume ninguna hipótesis acerca de la naturaleza de la luz. La primera formulación de este principio se debe a Herón de Alejandría, que estableció su principio variacional de la reflexión más o menos en los siguientes términos: «Latrayectoriaquesiguelaluzparairdeunpuntoaotro pasando por una superficie reflectora es la más corta de las posibles» Fermat amplió este principio para englobar tanto la reflexión como la refracción, estableciendo su principio del tiempo mínimo: «La trayectoria que sigue la luz para ir de un punto a otro del espacio es aquélla en la que invierte el menor tiempo posible»

5 3.4. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA GEOMÉTRICA 21 Este principio permite predecir e interpretar la trayectoria de los rayos de luz así como calcular los cambios de dirección que experimentan al pasar de un medio a otro. Ejemplo 3.1 Deducción de la Ley de Snell de la refracción El tiempo empleado por la luz para ir de A a B pasando por un punto genérico O de la superficie de separación de dos medios en que se mueve con velocidades respectivas v i y v t es t = s i v i + s t v t s i = h 2 + x 2 s t = b 2 +a x) 2 t x) = para que t x) sea mínimo han de ser h2 + x 2 v i + dt dx =0 ; d 2 t dx 0 2 al imponer la primera condición resulta dt dx = 1 v i 2x 2 h 2 + x + 1 [ 2a x)] 2 v t 2 b 2 +a x) 2 b 2 +a x) 2 v t x h2 + x 2 =sinθ i a x b 2 +a x) 2 =sinθ t dt dx = 1 v i sin θ i 1 v t sin θ t =0 ydespejandoseobtiene sin θ i v i = sin θ t v t que es la ley de Snell.

6 22CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN Camino Óptico Cuando entre dos puntos del espacio A y B hay m medios transparentes distintos, el tiempo que emplea la luz en recorrer una trayectoria determinada entre A y B es t = s 1 v 1 + s 2 v s m v m teniendo en cuenta que los índices de refracción de los m medios están definidos como resulta = c v i 1 v i = c t = m i=1 s i v i = m i=1 c s i es decir m t = 1 c i=1 s i = 1 c L.C.O.) AB Se define la longitud del camino óptico entre dos puntos A y B como L.C.O.) AB = m s i i=1 o bien, en el caso de que el índice de refracción varíe de forma continua L.C.O.) AB = B A n s) ds que es «la distancia que la luz tendría que recorrer en en el vacío para tardar el mismo tiempo que er de A a B por un camino determinado atravesando los medios que haya entre ellos». ParaqueeltiempoquetardalaluzenirdeA a B t = 1 c L.C.O.) AB sea mínimo, es suficiente con que sea mínima la longitud del camino óptico. El principio de Fermat se puede escribir, pues:

7 3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA 23 «Latrayectoriaquesiguelaluzparairdeunpuntoaotrodel espacio es aquella que minimiza la longitud del camino óptico» Esta formulación, equivalente a la original de Fermat no es completamente exacta. La formulación moderna del principio de Fermat es ligeramente diferente: «Para ir de un punto a otro del espacio la luz sigue toda aquella trayectoria en que la longitud del camino óptico es estacionaria con respecto a las variaciones de la propia trayectoria» Principio de reversibilidad Este principio, corolario del de Fermat, establece que «La trayectoria que sigue la luz para ir de un punto A aotro B es la misma que sigue para ir de B a A» 3.5 Planteamiento de la Óptica Electromagnética El análisis del comportamiento de los campos de la onda electromagnética luminosa en la superficie de separación entre dos medios permite obtener no sólo las leyes de la reflexión y de la refracción que relacionan las direcciones de propagación, sino también un nuevo conjunto de ecuaciones las fórmulas de Fresnel) que relacionan las amplitudes de los campos incidente, reflejado y refractado. Consideremos una onda electromagnética plana que incide en la superficie, también plana 1 y que denominaremos interfase, que separa dos dieléctricos lineales, homogéneos e isótropos con índices de refracción respectivos y = c v i n t = c v t En un punto de la interfase r enquecoincidenlastresondassepueden escribir: 1 Las condiciones de que la onda y la superficie de la interfase sean planas no constituyen una restricciómportante ya que, en caso de tener otra geometría, el problema siempre se puede reducir localmente a esta situación.

8 24CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN Onda incidente: Onda reflejada: Ei r,t)= E i r) e iω it Er r,t)= E r r) e iωrt ɛr) Onda refractada: Et r,t)= E t r) e iω tt ɛ t ) En estas expresiones, ω i, ω r y ω t son las frecuencias angulares, en principio diferentes, de las tres ondas, en tanto que ɛ r y ɛ t son los desfases globales de las ondas reflejada y refractada con respecto a la incidente Leyes de la reflexión y de la refracción En la interfase se cumplen las ecuaciones de frontera del campo electromagnético. Empezemos teniendo en cuenta que la componente tangencial del campo eléctrico E se conserva a ambos lados de la interfase. De un lado tenemos la superposición de las ondas incidente y reflejada E 1 = E i + E r entantoquedelotrosólosetienelaondarefractada E 2 = E t de modo que la ecuación de frontera se escribe ˆn Ei + E r E ) t =0 ˆn E i + ˆn E r = ˆn E t ˆn E i r) e iω it + ˆn E r r) e iω rt ɛ r ) = ˆn E t r) e iω tt ɛ t ) Conservación de la frecuencia angular. La condición precedente ha de cumplirse en todo instante, para lo cual la frecuencia angular ha de ser común a las tres ondas, ω i = ω r = ω t = ω

9 3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA 25 Coplanariedad de las direcciones de propagación. Al incorporar la frecuencia angular común, la ecuación de frontera queda Teniendo en cuenta que ˆn E i r)+ˆn E r r) e iɛ r = ˆn E t r) e iɛ t E r) =E 0x e i k r+φ x ) î + E0y e i k r+φ y ) ĵ + E0z e i k r+φ z ) ˆk [ ] = E 0x e iφ x î + E0y e iφ y ĵ + E0z e iφ z ˆk e i k r = E 0 e i k r la condición anterior queda ˆn E 0i e i k i r + ˆn E 0r e i k r r+ɛ r) = ˆn E 0t e i k t r+ɛ t) y, además, ha de cumplirse en todos los puntos de la interfase, que es un plano cuya ecuación vectorial es ˆn r = C con C una constante. Por consiguiente, para todo punto de la interfase con posición r han de ser ki r = k r r + ɛ r = k t r + ɛ t ˆn r = C Al analizar estas igualdades nos encontramos con que tiene que ocurrir todo lo siguiente en cada punto r de la interfase: ˆn r = C la interfase es un plano perpendicular al vector ˆn, luego ˆn es un vector normal a la interfase, k i r = k r r + ɛ r ki ) k r r = ɛ r ki ) k r es un vector normalalainterfase, k i r = k t r + ɛ t ki ) k t r = ɛ t ki ) k t es un vector normalalainterfase. En consecuencia, los tres vectores anteriores son paralelos entre sí. Teniendo en cuenta, además que dos vectores paralelos están en el mismo plano y que la diferencia de dos vectores está siempre en el mismo plano que ellos, se puede concluir que

10 26CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN ˆn ki ) k r ˆn, k i y k r están en un mismo plano, por ejemplo, el que definen ˆn y k i, ˆn ki ) k t ˆn, k i y k t estánenunmismoplano,tambiénelque definen ˆn y k i en consecuencia, los cuatro vectores ˆn, k i, k r y k t están todos en el mismo plano, el que definen ˆn y k i,yquesedenominaplano de incidencia. Ley de la reflexión. En el desarrollo precedente hemos obtenido que ˆn ki ) k r ˆn ki ) k r =0 ˆn k i = ˆn k r ˆn k i sin ˆn, ) k i = ˆn k r sin ˆn, ) k r k i sin θ i = k r sin θ r como la onda incidente y la refractada se propagan en el mismo medio que es la ley de la reflexión = n r k i = k r sin θ i =sinθ r θ i = θ r Ley de la refracción. Tambien hemos obtenido que ˆn ki ) k t ˆn ki ) k t =0 ˆn k i = ˆn k t ˆn k i sin ˆn, ) k i = ˆn k t sin ˆn, ) k t k i sin θ i = k t sin θ t en este caso cada una de las ondas se mueve en un medio con distinto índice de refracción, pero ambas tienen la misma frecuencia angular ω. Como quiera

11 3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA 27 que v = ω k k = ω v n = c v 1 v = 1 k = ω c n c n = k 0n con k 0 el número de onda en el vacío, resulta k 0 sin θ i = k 0 n t sin θ t que, una vez simplificada, es la ley de Snell Fórmulas de Fresnel sin θ i = n t sin θ t Llegado este punto, conocemos ya las relaciones entre las direcciones de propagación. Sabemos además que los campos de las tres ondas oscilan con la misma frecuencia, ω i = ω r = ω t = ω y que en todos los puntos de la interfase ki r = k r r + ɛ r = k t r + ɛ t = C de manera que la relación entre los valores instantáneos de E i, Er y E t coincide con la relación entre sus amplitudes complejas E 0i, E 0r y E 0t E i r,t)= E i r) e iω it = E 0i e iω it k i r) = E0i e iωt C) E r r,t)= E r r) e iωrt ɛr) = E 0r e i ω r t k r r ɛ r) = E0r e iωt C) E t r,t)= E t r) e iω tt ɛ t ) = E 0t e i ω t t k t r ɛ t) = E0t e iωt C) Para encontrar esta relación se estudian por separado los comportamientos de dos componentes características de los campos eléctricos de las tres ondas que son respectivamente 2 Perpendicular al plano de incidencia E 2 Nótese que las componentes perpendiculares de las tres ondas son paralelas entre sí. No así las componentes paralelas que, por ser coplanares y perpendiculares a los respectivos vectores de propagación, forman entre ellas los mismos ángulos y con la normal los ángulos complementarios que las direcciones de propagación respectivas.

12 28CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN Paralela al plano de incidencia E Se utilizan las siguientes ecuaciones de frontera F1) Conservacióndelacomponentetangencialdelcampoeléctrico,yaempleada anteriormente, ˆn Ei + E r E ) t =0 F2) Conservación de la componente tangencial de la intensidad del campo magnético ˆn Hi + H r H ) t =0 y, además, se tiene en cuenta que en una onda electromagnética la relación entre los módulos de estos dos campos es H = 1 µ B = 1 E µ v = 1 1 c µ c v E H = 1 c n µ E Polarización σ s): E perpendicular al plano de incidencia. Al aplicar las ecuaciones de frontera se obtienen F1) Como los tres campos electricos son tangentes a la interfase y paralelos entre sí ˆn Ei + E r E ) t =0 E i + E r E t =0 E 0i + E 0r = E 0t {1} donde E 0i = E 0i ; E0r = E 0r ; E0t = E 0t

13 3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA 29 F2) Dado que, por estar los tres campos magnéticos contenidos en el plano de incidencia y ser perpendiculares a los respectivos vectores de propagación, forman con la interfase los mismos ángulos que sus respectivos vectores de propagación con la normal ˆn Hi + H r H ) t =0 H i cos θ i H r cos θ r H t cos θ t =0 1 E i cos θ i 1 n r E r cos θ r = 1 n t E t cos θ t c µ i c µ r c µ t como las ondas incidente y reflejada se propagan en el mismo medio son } = n r µ i = µ r y además tenemos la ley de la reflexión se puede escribir θ i = θ r µ i E 0i E 0r )cosθ i = n t µ t E 0t cos θ t {2} Al resolver este sistema de dos ecuaciones {1} y {2}) con dos incógnitas E 0r y E 0t ), se obtienen las fórmulas de Fresnel para la polarización σ r E0r E 0i ) cos θ i n t cos θ t µ = i µ t cos θ i + n t cos θ t µ i µ t t E0t E 0i ) = 2 cos θ i µ i cos θ i + n t cos θ t µ i µ t Los parámetros r y t son números complejos que representan las relaciones entre las amplitudes y fases de la onda incidente y de las ondas reflejada y refractada, respectivamente. Se denominan: r t coeficiente de reflexión de amplitud coeficiente de transmisión de amplitud

14 30CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN Polarización π p): E paralelo al plano de incidencia. Al aplicar las ecuaciones de frontera en este caso se obtienen F1) Ahora son los tres campos eléctricos los que están contenidos en el plano de incidencia y son perpendiculares a los respectivos vectores de propagación; forman con la interfase los mismos ángulos que sus respectivos vectores de propagación con la normal y ˆn Ei + E r E ) t =0 E i cos θ i E r cos θ r E t cos θ t =0 como θ i = θ r E 0i E 0r )cosθ i = E 0t cos θ t {3} F2) Los campos magnéticos de las tres ondas son, en este caso, tangentes a la interfase y paralelos entre sí, con lo que ˆn Hi + H r H ) t =0 H i + H r H t =0 1 E i + 1 n r E r = 1 n t E t c µ i c µ r c µ t teniendo en cuenta una vez más que = n r y µ i = µ r,resulta µ i E 0i + E 0r )= n t µ t E 0t {4} Al resolver las ecuaciones {3} y {4} para las incógnitas E 0r obtienen y E 0t, se r E0r E 0i ) n t cos θ i cos θ t µ = t µ i n t cos θ i + cos θ t µ t µ i t E0t E 0i ) = 2 cos θ i µ i n t cos θ i + cos θ t µ t µ i que son las fórmulas de Fresnel para la polarización π.

15 3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA 31 Fórmulas de Fresnel simplificadas. En la mayoría de los dieléctricos y se pueden aproximar r E0r E 0i µ i µ t µ 0 ) cos θ i n t cos θ t cos θ i + n t cos θ t t E0t ) E 0i 2 cos θ i cos θ i + n t cos θ t r E0r E 0i ) n t cos θ i cos θ t n t cos θ i + cos θ t t E0t ) E 0i 2 cos θ i n t cos θ i + cos θ t Haciendo uso de la ley de Snell sin θ i sin θ i = n t sin θ t n t = sin θ t las fórmulas de Fresnel en los dieléctricos se pueden expresar en función únicamente de los ángulos θ i y θ t r sin θ i θ t ) sin θ i + θ t ) t + 2sinθ t cos θ i sin θ i + θ t ) r + tan θ i θ t ) tan θ i + θ t ) En resumen: 2sinθ t cos θ i t + sin θ i + θ t )cosθ i θ t )

16 32CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN Las componentes con polarizaciones perpendicular y paralela al plano de incidencia de una onda electromagnética verbigracia, la luz) se reflejan y refractan de formas diferentes en la superficie de separación entre dos medios transparentes. La relación entre las amplitudes complejas de las ondas incidente, reflejada y refractada depende del estado de polarización de la onda incidente. En general, el estado de polarización de las ondas incidente, reflejada yrefractadanotieneporquéserelmismo Reflexión externa y reflexiónterna La ley de Snell pone de manifiesto que se pueden distinguir dos situaciones características en el estudio de la reflexión y la refracción: Reflexión externa: n t > θ t <θ i Al refractarse, la dirección de propagación de la onda se acerca a la normal. Para cualquier ángulo de incidencia hay una dirección posible para la onda refractada. Reflexiónterna: n t < θ t >θ i Al refractarse, la dirección de propagación de la onda se aleja de la normal. Existe un ángulo de incidencia límite ángulo crítico) θ c = arcsin n t a partir del cual se produce una reflexión total y no hay onda refractada. Cada una de estas situaciones se corresponde con un comportamiento característico de los coeficientes de reflexión y transmisión de amplitud frente al ángulo de incidencia.

17 3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA Ángulo de Brewster El comportamiento del coeficiente de reflexión de amplitud de la polarización π r ) es singular, tanto en reflexiónterna como en externa, en cuanto es el único cuyo valor cambia de signo a medida que se incrementa el ángulo de incidencia. Se llama ángulo de Brewster al valor θ B también se le llama θ p )del ángulo de incidencia para el cuál sólo se refleja la componente de polarización perpendicular al plano de incidencia polarización σ). Para θ i = θ B ha de ser r + tan θ i θ t ) tan θ i + θ t ) =0 θ i θ t tan θ i + θ t ) θ i + θ t = π 2 θ t = π 2 θ B usando la ley de Snell π ) sin θ B = n t sin θ t = n t sin 2 θ B = n t cos θ B ) n t = sin θ B cos θ B =tanθ B θ B = arctan n t Obsérvese que, al contario que para el ángulo límite, existe un valor real para el ángulo de Brewster tanto en reflexiónterna como en reflexión externa. En la práctica experimental, la relación ) permite orientar fácilmente la onda incidente según el ángulo de Brewster Reflectancia y transmitancia La fórmulas de Fresnel proporcional la relación entre las amplitudes y fases de las ondas incidente, reflejada y refractada, pero en muchos casos interesa conocer cómo se reparte la energía de la primera entre las otras dos. Consideremos las potencias medias incidente, reflejada y refractada en una porción de área A de la interfase. En A son:

18 34CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN Potencia incidente: Potencia reflejada: Potencia refractada: P i = I i A cos θ i P r = I r A cos θ r P t = I t A cos θ t dónde la irradiancia, en general, se puede escribir I = 1 2 vεe2 0 = vµ E2 0 = 1 n 2 cµ E2 0 y, teniendo en cuenta que en los dieléctricos µ i µ t µ 0, se puede escribir I 1 2cµ 0 ne 2 0 con E 0 = E 0 la amplitud real del campo eléctrico de la onda correspondiente. Reflectancia. Se define la reflectancia R como la razón de las potencias medias reflejada e incidente R = I ra cos θ r I i A cos θ i R = I r I i en consecuencia Transmitancia. R = I r I i 1 2cµ 0 n r E 2 0r 1 2cµ 0 E 2 0i = E0r E 0i ) 2 = R = r 2 ; R = r 2 ) 2 E0r = r 2 E 0i Se define la transmitancia T como la razón de las potencias medias refractada eincidente T = I ta cos θ t I i A cos θ i T = I t cos θ t I i cos θ i T = I t cos θ t I i cos θ i 1 2cµ 0 n t E 2 0t cos θ t 1 2cµ 0 E 2 0i cos θ i = n t cos θ t cos θ i E0t E 0i ) 2 = n t cos θ t cos θ i t 2

19 3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA 35 y,en consecuencia, Es sencillo probar que T = n t cos θ t cos θ i t 2 ; T = n t cos θ t cos θ i t 2 R + T =1 ; R + T =1

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