5 Ecuaciones. 1. Resolución de ecuaciones de 1 er grado con una incógnita. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + 3 = 7 b) x 4 = 6
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- Ana María Mora Palma
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1 Ecuaciones 1. Resolución de ecuaciones de 1 er grado con una incógnita Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) + = 7 b) = c) = 1 d) = 7 e) Cuánto vale la del dibujo? P I E N S A Y C A L C U L A a) = b) = 10 c) = d) = e) = kg 1 Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) + = b) 7 = 1 c) = 1 d) = 7 7 ( ) = ( 1) + = / A P L I C A L A T E O R Í A a) = b) = 8 c) = 7 d) = 8 ( + ) = ( 1) = Resuelve las ecuaciones: + ( 1) = 1 = 11/9 ( + ) = = 1 7 ( + 1) 7 = ( ) = 1/ 1 = = SOLUCIONARIO
2 = = = / = / 11 = + = Resuelve las siguientes ecuaciones: = 11 1 = 1 = 1/ = 1 = ( ) = = 8 7 = = / = = = = 1/1 = 1. Ecuaciones de º grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) + = 8 b) = 0 c) = 81 d) ( ) = 0 a) = b) = c) = ± 9 d) = 0, = P I E N S A Y C A L C U L A TEMA. ECUACIONES 17
3 Resuelve las siguientes ecuaciones: 18 = 0 1 = 0, = / 19 1 = 0 1 = 1/, = 0 9 = S =, P = = 0 S = 1, P = 1/ = 0 S = /1, P = 8/1 A P L I C A L A T E O R Í A 1 = /, = / 8 Halla una ecuación de º grado en que la suma de las raíces sea y el producto 8 1 = 0 1 = 1/, = ( )( 1) = 1 1 =, = = 0 1 =, = Calcula la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones sin resolverlas: + = 0 S =, P = + 8 = = Determina, sin resolverlas, cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones: a) + = 0 b) + 7 = 0 c) = 0 d) + 1 = 0 a) D = ò tiene dos soluciones reales. b) D = 7 ò no tiene soluciones reales. c) D = 0 ò tiene una solución real. d) D = ò tiene dos soluciones reales. Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios de segundo grado: a) b) + c) d) a) ( + 1/)( ) b) ( ) c) ( + /)( 1) d) ( /) 18 SOLUCIONARIO
4 . Resolución de problemas Calcula mentalmente: a) el lado de un cuadrado cuya área es de m b) dos números enteros consecutivos cuya suma sea 1 P I E N S A Y C A L C U L A a) = m b) = 7, = 8 1 Halla dos números que sumen 8 y cuyo producto sea 1 Número (8 ) = 1 = Un número es El otro número es A P L I C A L A T E O R Í A Tiempo de la 1ª moto = Tiempo de la ª moto = = ò = 8, = 7 1 Velocidad primera moto = 0/8 = 70 km/h Velocidad segunda moto = 80 km/h La solución negativa no tiene sentido. Se ha mezclado aceite de girasol de 0,8 el litro con aceite de oliva de, el litro. Si se han obtenido 00 litros de mezcla a, el litro, calcula cuántos litros se han utilizado de cada clase de aceite. Halla las dimensiones de un rectángulo en el que la base es cm mayor que la altura y cuya área sea de cm 0,8 +,(00 ) = 00, ò = 100 Aceite de girasol: 100 litros. Aceite de oliva: 00 litros. Capacidad (l) Precio ( /l) Dinero ( ) Girasol 0,8 Oliva 00, Mezcla 00, 0,8 +,(00 ) = 00, Dos motos salen juntas de una ciudad para recorrer 0 km a velocidad constante. La segunda moto lleva una velocidad de 10 km/h más que la primera, y tarda una hora menos en hacer el recorrido. Calcula las velocidades de las dos motos. ( + ) = =, = Las dimensiones son cm y cm La solución negativa no tiene sentido. + Dos grifos,abiertos a la vez,llenan un depósito en h. El segundo grifo tarda en llenar el depósito h más TEMA. ECUACIONES 19
5 que el primero, estando éste cerrado. Calcula el tiempo que tardan en llenar el depósito por separado. Tiempo del primer grifo = Tiempo del segundo grifo = = + = 10, = El primer grifo tarda 10 h El segundo grifo tarda 1 h La solución negativa no tiene sentido. En una tienda se compraron unos adornos de porcelana por 9. Se rompieron y los que quedaron se han vendido a más de lo que costaron. Si se ha obtenido un beneficio de 8, cuántos adornos se compraron? N de adornos = 9 ( ) ( + ) = = 7, = 1/ Se han comprado 7 adornos. La solución negativa no tiene sentido. 10 SOLUCIONARIO
6 Ejercicios y problemas 1. Resolución de ecuaciones de 1 er grado con una incógnita Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 7 a) + = 7 b) = c) = 1 d) = 9 8 a) = b) = 9 c) = d) = 7 Resuelve las ecuaciones: 8 7 ( ) = + 9 = 8/9 1 = / + 1 = 8/9 7 = + + = = = = ( 1) = 9/ 0 ( + ) = ( 1) = = 1/ 8 = = ( 1) ( + ) = 1 ( + ) = 1 = 7/ = / + = = = 1/ = + = 8 = / + = = = = TEMA. ECUACIONES 11
7 Ejercicios y problemas = 1 1 = /, = = + 1 ( ) + ( ) = = 1 =, = + 1 ( ) = + ( + )( 1) = + 7 = 1 =, =. Ecuaciones de º grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: = 0 (1 )( ) 1 = 1/, = + 1 = ( ) 1 = /, = / ( + )( ) = ( + ) 7 ( )( + ) = 0 1 =, = 7 ( ) + 1 = 0 1 = 0, = 1/ 8 = 0 1 = 0, = / = 1 1 = 1, = = 10 ( )( 1) + ( 1) = 9 1 = /7, = 10 ( + ) ( )( 1) = 7( 1) Resuelve las siguientes ecuaciones: 9 ( ) = 18 1 =, = 0 + = = 1/, =. Resolución de problemas 8 Halla dos números tales que su suma sea 10 y la diferencia de sus cuadrados sea 0 1 SOLUCIONARIO
8 Número = (10 ) = 0 = 8 Los números son y 8 Tiempo = = 0 = Tardan h en encontrarse. 9 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 cm. Si el cateto mayor mide 7 cm más que el cateto menor, cuál es la longitud de los catetos? 70 + ( + 7) = 1 =, = 1 Los catetos miden cm y 1 cm La solución negativa no es válida. Se mezcla avena de 0, /kg y centeno de 0, /kg para hacer pienso para vacas. Si se hacen 000 kg de pienso a 0,1 /kg, cuántos kilos de avena y de centeno se han utilizado? Peso (kg) Precio ( /kg) Dinero ( ) + 7 Avena 0, 1 cm Centeno 000 0, 0, + 0,( 000 ) = 000 0,1 = 000 Avena: 000 kg Centeno: 000 kg Mezcla 000 0,1 0, + 0,( 000 ) = 000 0, Dos obreros, trabajando juntos, tardan 1 días en realizar una obra. Se sabe que el segundo obrero, trabajando solo, tardaría 10 días más que el primero. Calcula el tiempo que emplean en realizar dicha obra por separado. Tiempo que tarda el primer obrero: Tiempo que tarda el segundo obrero: = = 0, = El primer obrero tarda 0 días y el segundo 0 días. La solución negativa no tiene sentido. Varios amigos han preparado un viaje de vacaciones que cuesta 000. Un amigo tiene problemas y los demás deciden pagar 00 más cada uno. Calcula el número de amigos que son. Nº de amigos = = 1 =, = El número de amigos es La solución negativa no tiene sentido. La edad de un padre es seis veces la del hijo. Si dentro de dos años la edad del padre será cinco veces la del hijo, calcula la edad de cada uno. 71 Un coche y una moto salen a la vez de dos ciudades, A y B, el uno hacia el otro por la misma carretera. La velocidad del coche es de 100 km/h y la velocidad de la moto es de 70 km/h. Si la distancia entre las ciudades es de 0 km, cuánto tiempo tardarán en encontrarse? Edad del hijo Edad del padre Hoy + = ( + ) ò = 8 La edad del hijo: 8 años. La edad del padre: 8 años. Dentro de años + + TEMA. ECUACIONES 1
9 Ejercicios y problemas Para ampliar 7 Calcula la suma y el producto de las raíces de la siguiente ecuación, sin resolverla: 81 Determina, sin resolverla, cuántas soluciones tiene la ecuación: = = 0 S = 1, P = D = = 0, tiene una sola raíz real. 7 Halla una ecuación de º grado en que la suma de las raíces sea, y el producto, = 0 77 Determina, sin resolverla, cuántas soluciones tiene la ecuación: 7 1 = 0 D = = 97 > 0, tiene dos raíces reales y distintas. 8 8 Halla la descomposición factorial del siguiente polinomio de º grado: 1 1 = ( )( + ) Calcula la suma y el producto de las raíces de la siguiente ecuación, sin resolverla: + 1 = 0 S = /, P = 7 78 Halla la descomposición factorial del siguiente polinomio de º grado: = ( )( + ) Calcula la suma y el producto de las raíces de la siguiente ecuación, sin resolverla: + 1 = 0 S = 1, P = 1 Halla una ecuación de º grado en que la suma de las raíces sea 1, y el producto, Halla una ecuación de º grado en que la suma de las raíces sea /10, y el producto, 1/ = 0 Determina, sin resolverla, cuántas soluciones tiene la ecuación: + 8 = 0 D = = 7 < 0, no tiene soluciones reales. Halla la descomposición factorial del siguiente polinomio de º grado: 1 = 0 1 = ( /)( + /) 1 SOLUCIONARIO
10 Problemas 87 Halla las raíces de una ecuación de segundo grado, sabiendo que su suma es 10 y su producto es 1 Suma de las raíces: S = 10 Producto de las raíces: P = = 0 1 = 7, = 88 Halla un número tal que al elevarlo al cuadrado sea 10 unidades mayor. + 0 ( + 0) = 000 = 0, = 80 Las dimensiones son 0 m por 80 m La solución negativa no tiene sentido. Número = + 10 = = 1, = 1 El número es 1 o 1 9 El perímetro de un triángulo rectángulo mide 8 cm, y su hipotenusa mide 0 cm. Calcula la longitud de los catetos. 89 Halla dos números pares consecutivos cuyo producto eceda a su suma en 1 unidades. 0 cm Primer número = Segundo número = + ( + ) = =, = Los números son 1, 1 y 1, (8 0 ) = 0 = 1, = 1 Los catetos miden 1 cm y 1 cm El dividendo de una división es 1 y el cociente y el resto son iguales. Si el divisor es el doble que el cociente, cuál es el divisor? Cociente = Resto = Divisor = + = 1 = 17/, = 8 El divisor es 1 Una finca rectangular tiene una superficie de 000 m. Si un lado de la finca tiene 0 m más que el otro, calcula las dimensiones de la finca. 9 La diagonal de un rectángulo mide cm. Calcula las dimensiones del rectángulo, sabiendo que la altura es / de la base. + ( ) = m = 1, = 1 Las dimensiones son 1 cm y 0 cm La solución negativa no tiene sentido. TEMA. ECUACIONES 1
11 Ejercicios y problemas 9 Se tiene un cuadrado cuyo lado es cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadrados se tienen cm, calcula el área de cada uno de ellos. ( + ) = + 81 = 1 La longitud del cuadrado inicial es 1 cm 97 Se tiene un rectángulo de 0 cm de perímetro. Si se reduce en cm la base y en cm la altura, el área disminuye en 18 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. 9 Calcula la longitud de las diagonales de un rombo de 9 cm de área, sabiendo que la diagonal menor es / de la diagonal mayor. + + ( + ) = = 8, = 1 El área es de cm y de 19 cm (10 ) = ( )(10 ) + 18 = Las dimensiones del rectángulo son cm y cm Se funde plata de ley 0,7 con plata de ley 0,9 para conseguir una aleación de 100 g de una ley 0,7. Calcula la cantidad de cada tipo de plata que se ha usado. = 9 = 1, = 1 Las diagonales miden 1 cm y 1 cm 9 Si se aumenta en tres centímetros el lado de un cuadrado, el área aumenta en 81 cm. Calcula la longitud del lado del cuadrado inicial. + 0,7 + 0,9(100 ) = 100 0,7 = 80 Plata de ley 0,7 pesa 80 gramos. Plata de ley 0,9 pesa 0 gramos. 99 Peso (g) Ley Plata 0,7 Plata 100 0,9 Aleación 100 0,7 0,7 + 0,9(100 ) = 100 0,7 Se mezcla leche del tipo A, con un % de grasa, con otra leche del tipo B, con un 8% de materia grasa. Si se obtienen 0 litros de mezcla con un % de materia grasa, cuántos litros de cada tipo de leche se han utilizado? 1 SOLUCIONARIO
12 100 Capacidad (l) Grasa Leche A 0,0 0,0 + 0,08(0 ) = 0 0,0 = 0 Leche A: 0 litros. Leche B: 0 litros. Leche B 0 0,08 Mezcla 0 0,0 0,0 + 0,08(0 ) = 0 0,0 Se han comprado por 7 unas zapatillas de deporte y un balón que costaban 0. Si en las zapatillas han rebajado el 0%, y en el balón, el 0%, cuál era el precio inicial de cada producto? Precio de las zapatillas = Precio del balón = 0 0,8 + 0,7(0 ) = 7 = 0 El precio de las zapatillas es 0, y el del balón, 0 Son estudiantes. La solución negativa no tiene sentido Pablo tiene 1 años, y su madre, 0. Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el doble que la de Pablo? Pablo Madre 0 + = (1 + ) = 10 Dentro de 10 años. Hoy 1 0 Dentro de años Un padre tiene el quíntuplo de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 0 años menos y el hijo 8 años más, la edad del padre sería el doble que la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno Se han pagado 0 por un lector de DVD y una tarjeta de red que ahora se deben cambiar. Si en la venta se pierde el 0% en el lector de DVD y el 0% en la tarjeta, y se han obtenido 88, cuál era el precio inicial de los dos artículos? Precio del DVD = Precio de la tarjeta = 0 0,7 + 0,(0 ) = 88 = 0 El precio del DVD es 0, y el de la tarjeta, 90 Un grupo de estudiantes alquila un piso por 00 al mes. Si aumentase el grupo en uno más, se ahorrarían cada uno. Cuántos estudiantes son? Número de estudiantes = = =, = ( + 8) = 0 = 1 El hijo tiene 1 años, y su padre, 0 10 Edad del hijo Edad del padre La edad de una madre y un hijo suman 0 años, y dentro de dos años la edad de la madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno. Edad del hijo Edad de la madre Hoy Hoy 0 ( + ) = 0 + = 1 El hijo tiene 1 años, y su madre, Dentro de años TEMA. ECUACIONES 17
13 Ejercicios y problemas Para profundizar 10 La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden cm y cm 109 Un alumno ha obtenido una nota final de, puntos en matemáticas. Los eámenes valen el 80% de la nota, y los trabajos, el 0%. Sabiendo que entre eámenes y trabajos suma 1 puntos, qué nota sacó en cada apartado? + (/) = 10 = 8, = 8 Las dimensiones son 8 cm y cm, respectivamente Se alean dos lingotes de oro. Uno de ellos con una ley 0,7, y otro con una ley 0,. Si se han conseguido 00 gramos de aleación con una ley 0,9, cuántos gramos pesaba cada lingote de oro? Peso (g) Ley Oro 0,7 0,7 + (00 )0, = 00 0,9 = 00 Oro de ley 0,7 pesa 00 gramos. Oro de ley 0, pesa 00 gramos. Una moto y un coche salen a la misma hora de la ciudad A en dirección a la ciudad B, que dista 80 km. La velocidad de la moto es / de la velocidad del coche, y llega 1 minutos más tarde que éste. Calcula las velocidades de los dos vehículos. Tiempo que tarda el coche = Tiempo que tarda la moto = + 0, = + 0, = / = 0,8 h = 8 min El coche lleva una velocidad de 100 km/h, y la moto, de 80 km/h 10 Oro 00 0, cm Aleación 00 0,9 0,7 + (00 )0, = 00 0,9 Nota de eámenes = Nota de trabajos = 1 0,8 + 0,(1 ) =, = En los eámenes sacó un, y en los trabajos, un Un padre tiene años, y sus hijos, 10 y 8 años. Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos? Edad del padre Edad del 1 er hijo Hoy 10 Dentro de años Edad del º hijo = = 7 Deben transcurrir 7 años. Se ha comprado un ordenador por 1 00,y se sabe que su valor se deprecia un 0% cada año. Cuánto tiempo debe transcurrir para que el ordenador valga menos de 00? Tiempo = ,8 = 00 =,9 Tienen que transcurrir,9 años. 18 SOLUCIONARIO
14 Aplica tus competencias 11 Unos solares cuestan y hay una inflación constante del 10%. Cuántos años deberán transcurrir para que el terreno valga 87 8? N de años = ,1 = 87 8 = Transcurrirán años. TEMA. ECUACIONES 19
15 Comprueba lo que sabes 1 Descomposición factorial del trinomio de grado. Pon un ejemplo. La descomposición factorial del trinomio de grado es: a + b + c = a( 1 )( ) donde 1 y son raíces de la ecuación a + b + c = 0 Ejemplo Halla la descomposición factorial de 1 En primer lugar, se hallan las raíces de la ecuación 1 = 0 ± + 0 ± 8 1 = = = = = La descomposición factorial es: 1 = ( )( + ) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7 + = ( 1) b) ( ) = ( + 1) a) = 1 b) = 17/ 7 Determina, sin resolverla, cuántas soluciones tiene la ecuación: = 0 D = = 0, tiene una sola raíz real. Halla la descomposición factorial del siguiente polinomio de grado: = ( + )( /) María tiene 1 años, y su madre, 0 años. Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la de María? Edad de María Edad de la madre Hoy 1 0 (1 + ) = 0 + = Tienen que transcurrir años. Dentro de años Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + 1 = b) + 1 = Se tiene un cuadrado cuyo lado es cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadrados tienen 19 cm de área, cuál es el área de cada uno de ellos? a) = b) = 7/8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 8 = 0 b) 1 + = 0 a) 1 =, = b) 1 = /, = / + + ( + ) = = = 0 = 7, = 10 Las áreas son 9 cm y 100 cm 10 SOLUCIONARIO
16 Linu/Windows Windows Derive Paso a paso 11 Resuelve la ecuación: ( ) 8 = 0 Resuelto en el libro del alumnado. 11 Resuelve la ecuación: 1 + = 10 Resuelto en el libro del alumnado. 11 Resuelve la ecuación: = 0 Haz la representación gráfica para comprobarlo. Resuelto en el libro del alumnado. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 117 Halla dos números enteros consecutivos tales que su suma dividida entre su producto es / Resuelto en el libro del alumnado. 118 En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide cm más que el otro cateto, y la hipotenusa mide cm más que el cateto mayor. Calcula la longitud de los tres lados. Resuelto en el libro del alumnado Factoriza: Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Resuelto en el libro del alumnado. TEMA. ECUACIONES 11
17 Linu/Windows Practica 10 Resuelve la siguiente ecuación: + ( 1) = 1 = 11/9 1 =, = 1 11 Resuelve la siguiente ecuación: 7 ( ) = ( 1) + = / 1 Resuelve la siguiente ecuación: ( + 1) 7 = ( ) = 1/ 1 Resuelve la siguiente ecuación: = 17 Resuelve la siguiente ecuación y haz la representación gráfica para comprobar el número de soluciones. + = 0 = 1 = = 1 Resuelve la siguiente ecuación: + = = / 1 Resuelve la siguiente ecuación: + = = 1/1 1 Resuelve la siguiente ecuación y haz la representación gráfica para comprobar el número de soluciones. + = 0 18 Resuelve la siguiente ecuación y haz la representación gráfica para comprobar el número de soluciones. + = 0 1 SOLUCIONARIO
18 Windows Derive No tiene soluciones reales. No corta al eje X. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 11 El perímetro de un triángulo rectángulo mide 8 cm, y su hipotenusa mide 0 cm. Calcula la longitud de los catetos. 0 cm (8 0 ) = 0 = 1, = 1 Los catetos miden 1 cm y 1 cm Factoriza el siguiente polinomio de segundo grado: ( + 1/)( ) Factoriza el siguiente polinomio de segundo grado: ( + /)( 1) 1 Se han pagado 0 por un lector de DVD y una tarjeta de red que ahora se deben cambiar. Si en la venta se pierde el 0% en el lector de DVD, y el 0% en la tarjeta, y se han obtenido 88, cuál era el precio inicial de los dos artículos? Precio del DVD = Precio de la tarjeta = 0 0,7 + 0,(0 ) = 88 = 0 El precio del DVD es 0, y el de la tarjeta, 90 TEMA. ECUACIONES 1
Solución: a) x = 5 b) x = 4 c) x = ± 9 d) x = 0, x = 2. 3x Solución: x = 1. 2x 2 3x = 0. Solución: = 0, x 2. 5x 2 14x 3 = 0.
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