Inversión de Datos de Concentración de Contaminantes Atmosféricos para Estimar la Tasa de Emisión de una Fuente Puntual: Aplicación del Método Adjunto

Transcripción

1 Inversón de Daos de Concenracón de Conamnanes Amosfércos para Esmar la Tasa de Emsón de una Fuene Punual: Aplcacón del Méodo Aduno Davd Parra 1, Yur N. Sba 1 (1) Cenro de Cencas de la Amósfera, Unversdad Naconal Auónoma de Méxco, Crcuo Exeror, Cudad Unversara, Méxco, D.F. (Méxco) (pdavd@amosfera.unam.mx) RESUMEN Se presena un méodo para esmar la asa de emsón de una fuene punual no-esaconara a ravés de un conuno de daos de la concenracón de conamnanes amosfércos. Se asume que la ubcacón de la fuene es conocda. Ese problema nverso nesable es relevane para la deermnacón de la nensdad de fuenes de emsón durane evenos sngulares, como los accdenes nucleares. Se muesra que la mnmzacón de la L2-norma de la prmera dervada de la asa de emsón es una regularzacón úl para ese problema. Tal procedmeno esá sueo a resrccones negrales, las cuales comprmen la relacón causa-efeco del fenómeno de dspersón. Las funcones adunas son la base para exhbr la relacón explíca enre la asa de emsón y la anomalía de la concenracón del conamnane. De esas ecuacones se obenen expresones analícas para esmar la asa de emsón en dos casos parculares: descarga consane e mpulso en el empo (explosón). Para el caso general, el problema dscreo asocado a la regularzacón propuesa (problema varaconal), es un problema de programacón cuadráca cuya solucón es la asa no-esaconara buscada, al problema se resuelve con la runa quadprog de Malab. Fnalmene, se presenan algunos eemplos numércos snécos, para un modelo de dmensón cero, que lusran el desempeño del méodo. INTRODUCCIÓN Los problemas nversos conssen en la deermnacón de las causas (condcones ncales, forzamenos o valores de parámeros) a parr del conocmeno de los efecos (los valores observados o deseados de las varables de esado) en un ssema (Aser e al., 213). Con frecuenca, los problemas nversos presenan dferenes pos de nesabldad o conflco en la exsenca y uncdad de la solucón (Aser e al., 213). Por lo ano, para analzar y resolver un problema nverso se requere, además del conocmeno del problema dreco, de méodos capaces de amorguar el proceso de nesabldad, y así selecconar una solucón congruene con el fenómeno en esudo. Dchos méodos se conocen como Regularzacones del Problema Inverso (Aser e al., 213). En parcular, los méodos nroducdos por Thonov (Thonov y Arsenn, 1977) conssen en la mnmzacón de un funconal que agrupa el error en los daos, la norma de la varable de conrol y la norma de algunas de sus dervadas. En ese rabao, el problema nverso consse en la esmacón de la asa de emsón noesaconara, para una fuene desconocda, a parr de un conuno de muesras punuales de la concenracón de un conamnane. Ese problema presena nesabldad debdo a las perurbacones en los daos de la anomalía de la concenracón de dcha susanca, por lo que el méodo de nversón ncorpora una regularzacón de po Thonov, y esá formulado como un problema varaconal con ceras resrccones negrales. La solucón de ese problema puede ser

2 ulzada para esmar la nensdad de pruebas nucleares, accdenes o evenos relaconados con el errorsmo, a ravés de la observacón de rado núcleos en la amósfera (Pudyewcz, 1998). Algunas lmacones en esudos prevos conssen en asumr que la fuene de emsón es de po esaconaro o defnda a ravés de un mpulso en el empo (Pudyewcz, 1998; Lush y Soce, 21). Ora lmacón consse en el uso de solucones analícas para modelar el fenómeno de dspersón, ya que eso resrnge la écnca a condcones de dspersón esaconaras (Kahrgamanahan, e al., 23; Lush y Soce, 21). El méodo que se presena en ese rabao apora meoras a las lmacones anes menconadas al nroducr un modelo de dspersón general, su correspondene modelo aduno y una regularzacón po Thonov. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA INVERSO Y RESULTADOS GENERALES Supongamos que en el nervalo de empo (, T ) un eveno sngular, al como una explosón o la descarga accdenal de una susanca pelgrosa, ha endo lugar en el so r localzado en una regón D. La asa de emsón Q () de esa fuene desconocda es la varable de conrol que se desea deermnar. Asumamos ambén que la dsrbucón () r de ese conamnane al empo ncal ha sdo esablecda, y que las emsones f( r, ) de dcha susanca desde oras fuenes ubcadas en la regón D son conocdas. El modelo general de dspersón para la concenracón de ese conamnane en (, T ) puede ser escro como sgue (Marchu, 1986): ( r, ) ( ) ( r r ) en D (, ), A f Q T ( r,) ( r) en D (1) El operador lneal A en (1) descrbe procesos físcos no-esaconaros ales como la adveccón debda al veno, la dfusón urbulena y la sedmenacón, así como la ransformacón de los conamnanes debdo a reaccones químcas, es el dervada emporal, y ( rr ) represena la funcón dela de Drac. Denoemos por la solucón del modelo (1) sólo con el forzameno f( r, ) ( Q ( ) ). Así, la anomalía de la concenracón sasface el modelo de dspersón ( ) ( r r ) en D (, ), ( r,) en D (2) A Q T Noe que la concenracón básca del conamnane es una solucón conocda del modelo de dspersón, y la concenracón puede ser evaluada parcalmene por medo de monoreo en algunos sos denro de la regón D. Por lo ano, las seres de empo de la anomalía de la concenracón del conamnane pueden ser calculadas para dferenes sos de monoreo. Esperamos que los errores en los daos de la concenracón sean pequeños (errores de medcón), sn embargo, los errores en la funcón básca (solucón de un modelo compuaconal) son en general mayores. Por lo ano, se espera que los errores en, consrudas para dferenes sos de monoreo, sean de magnud smlar a los errores en. Dchos errores son el orgen de la nesabldad en el problema nverso, y la razón fundamenal del uso de un méodo de regularzacón. Para eso, es necesaro prmero esablecer una relacón dreca enre las varables de causa y efeco en el ssema. Con el obevo de enconrar al relacón explíca enre la anomalía (varable de esado) y la asa de emsón Q () (varable de conrol), se nroduce la funcón de nfluenca g como la solucón del modelo aduno de dspersón (Marchu, 1986). g A g p( r, ) en D (, T), g( r, T) en D (3)

3 En (3), el operador aduno A se defne a ravés de la dendad de Lagrage (Marchu, 1986), ( A, g) (, A g), donde ( h, g) hgd L D. D r es el produco neror en el espaco de lber La combnacón de las ecuacones (1) y (3) (Marchu, 1986) conduce a T p( r, ) drd Q( ) g( r, ) d (4) D T S r D y el forzameno p( r, ) ( r r ) ( T) enonces la ecuacón (4) se reduce a la fórmula T ( r, T) Q( ) g( r, ) d (5) que esablece la relacón explíca enre la asa de emsón Q () y la anomalía de la concenracón del conamnane en los sos de monoreo r, 1,..., N, al momeno T. Es mporane observar que cada funcón aduna g depende sólo de las condcones de dspersón en la amósfera y del so de monoreo r, pero es ndependene de la varable de conrol Q. Así, la aplcacón de las ecuacones dadas por (5) requere calcular N funcones adunas dferenes. Por ora pare, s el forzameno p( r, ) n (5) se defne para un puno fo R en D y empo como p( r, ) ( r R ) ( ) (6) enonces la ecuacón (4) conduce a la sguene sere de empo T ( R, ) Q( ) g ( r, ) d ( 1,..., M) (7) para la anomalía de la concenracón del conamnane en el so de monoreo R e nsanes de muesreo T. De forma smlar al caso aneror, en (7) cada funcón aduna g depende sólo de las condcones de dspersón en la amósfera y del nsane, pero es ndependene de la varable de conrol Q. Es necesaro calcular M funcones g para aplcar las fórmulas (7). ay que noar que, de acuerdo al modelo aduno (3) y el forzameno dado por (6), se ene que g ( r, ) en (, T), y por lo ano, la ecuacón (7) se reduce a la forma 2 ( R, ) Q( ) g ( r, ) d (8) En el caso de condcones de dspersón esaconaras en la amósfera, el operador A es ndependene del empo, y la sguene dendad se cumple g ( r, ) g ( r, T ) en, (9) donde la funcón aduna g, conocda como núcleo básco, es la solucón del modelo aduno (3) con forzameno p( r, ) ( r R ) ( T). Así, la ecuacón (8) se smplfca como ( R, ) Q( ) g ( r, T ) d (1)

4 La ecuacón (1) es un resulado mporane, ya que esablece que la relacón explíca enre la varable de conrol Q () y la sere de empo para la anomalía de la concenracón del conamnane ( R, ) ( 1,..., M ), se logra a ravés de una sola funcón aduna, el núcleo básco g. La ecuacón (5) es úl en el caso de conar con varas esacones de monoreo que regsran la concenracón del conamnane al msmo empo en la regón D, y las ecuacones (7) u (8) pueden ser aplcadas con una sola esacón de monoreo en la regón que regsra la concenracón del conamnane en nsanes sucesvos (sere de empo). Consderando los resulados y noas anerores, el méodo de regularzacón (problema varaconal) que se propone para resolver el problema nverso, y esablecer la asa de emsón noesaconara Q () de una fuene punual desconocda, es el sguene: T 2 mnmzar J( Q) Q d (11) sueo a: Q( ), T, y ( R, ) Q( ) g ( r, ) d, 1,.., M (12) El funconal dado por (11) se mnmza con el obevo de flrar las perurbacones en la anomalía y reconsrur la asa de emsón. ay que noar que al rabaar con seres de empo reales no es posble usar drecamene la ecuacón (8) debdo a los errores en la anomalía, por al movo se consdera la dferenca de érmnos en (12). En esa resrccón, el parámero posvo ene la funcón de amplar el espaco de facbldad del problema varaconal (11)-(12), y así enconrar una solucón del problema nverso. Como se explca en los eemplos, al parámero nfluye en la suavdad de la solucón obenda, y su valor ópmo esá en funcón de la amplud de la perurbacón de la anomalía de la concenracón. Un problema varaconal smlar se puede esablecer al consderar la ecuacón (5) en forma de resrccón. En el problema (11)-(12), ano la funcón obevo como las resrccones dependen drecamene de la varable de conrol Q, y la versón dscrea de (11)-(12) es un sencllo problema de programacón cuadráca. Tal problema se esablece y resuelve más adelane con la runa quadprog de MATLAB (Venaaraman, 22). En la sguene seccón, se descrben los modelos de dspersón y su aduno que complean la formulacón general del problema nverso. MODELO DE DISPERSIÓN Y SU ADJUNTO En lo que sgue se descrbe brevemene un modelo que es posble ulzar para predecr la dspersón de varas susancas emdas desde fuenes punuales. Los dealles pueden consularse en Parra- Guevara e al. (21). Sea D D(, ) un domno acoado rdmensonal (conexo y smplemene conexo) con fronera abera D S S S, la cual es la unón de la superfce laeral clíndrca S, la base S en el fondo y la cubera S en z (ver Fg. 1). Se denoa por r x, y, z D, 1,..., N, los punos donde se ubcan las N fuenes punuales (fuenes ndusrales) que emen K especes conamnanes pasvas con asas respecvas q ( ), 1,, N r, a la. Se denoan con concenracón del -ésmo conamnane denro de la regón D en el puno r al empo. Se supone que la regón D conene a odas las fuenes de emsón de los conamnanes, y por lo ano, no habrá conrbucones exernas a la conamnacón denro de D. Así, la propagacón de los conamnanes se puede descrbr a ravés del sguene ssema (ver Fg. 1):

5 s ( ) U ( ) [ ( ) z] z f ( r, ) en D (, T) (13) ( r,) ( r) en D (14) s s en e 3 D (15) s s ( ) z Un en S, ( ) z en S (16) n Un en S, n en S (17) ˆ n en S (18) U u v w en D (19) x y z Se supone que la velocdad del veno ( r, ) u, v, w U en D cumple la ecuacón de connudad (19); ( r, ) es el coefcene de ransformacón químca de la -ésma espece conamnane; ˆ( r, ) dag{,, } es el ensor dagonal de dfusón urbulena; y f ( r, ) es el forzameno formado por las asas de emsón para el -ésmo conamnane: N f ( r, ) q ( ) ( r r ) (2) 1 donde ( rr ) es la funcón dela de Drac cenrada en la poscón de la -ésma fuene punual. Noemos que la asa de emsón de cada fuene es la suma de las asas para cada conamnane K q ( ) q ( ) (21) 1 Fg. 1: Proyeccón en el plano x-z de la regón D. Fg. 2: Línea connua: Q (), línea puneada: (). La ecuacón (14) defne a como la dsrbucón espacal de la -ésma espece conamnane al s empo sobre D. El érmno en (13), descrbe el cambo en la concenracón de las parículas por undad de empo debdo a la sedmenacón, la cual esá caracerzada por una velocdad consane de sedmenacón s. La fronera S se ha dvddo en cnco pares, dos para el fluo horzonal, es decr, vecor normal exeror y super or: adveccón, y S se defne como los punos de S al que Un U n S se defne como el complemeno ( Un U n, donde n es el ). Dos para la fronera S es la fronera donde la sedmenacón es el resulado de la dfusón menos la S mplca que la sedmenacón es gual a la dfusón (Ec.16). Por úlmo, en S,

6 que es la fronera nferor, se ene que la dfusón es cero debdo a que el fluo es angene a la superfce rregular (Ec.18). Las condcones de fronera (17) esablecen que cuando el veno ngresa a la regón D el fluo oal del conamnane, omando en cuena dfusón y adveccón, es gual a cero, por lo cual, en S no hay salda o enrada de la espece conamnane. Cuando el veno sale de la regón D, se despreca el fluo dfusvo urbuleno en comparacón con el fluo advecvo del conamnane, por lo ano, la salda de la espece conamnane sólo es por adveccón. Esas condcones de fronera fueron defndas por Marchu (1986), y generalzadas por Sba (1993) y Parra-Guevara (21). Las condcones de fronera (16)-(18) hacen del modelo de dspersón (13)-(19) un problema ben formulado en el sendo de adamard, es decr, la solucón de dcho problema es únca y esable respeco de pequeñas perurbacones en las condcones ncales y del forzameno (Sba y Parra-Guevara, 2). Ese resulado es consecuenca de que el operador A, en la ecuacón (13), es posvo semdefndo: ( A, ), donde (, ) dr es el produco neror. De aquí se sgue la sguene D desgualdad que esablece la uncdad y la esabldad de la solucón del modelo (13)-(19) 2 1/ 2 T max f ( r, ), donde ( d ) 2 r (22) D 2 T 2 2 La exsenca de la solucón del problema (13)-(19) se prueba en Sba y Parra-Guevara (2). Las condcones (16)-(18) enen ambén un adecuado sendo físco, ya que el modelo sasface una ecuacón de balance de masa conssene con el fenómeno de dspersón y ransformacón. N 1 3 D D S n S S dr q () dr e n ds U ds (23) Esa ecuacón ndca que la varacón de la masa oal de la -ésma espece conamnane en el domno D, es gual a la suma de las asas con que se eme, menos la asa de ransformacón por reacvdad químca, menos la asa de sedmenacón en la fronera S, menos la asa de pérdda de masa conamnane que escapa por la fronera debdo a la adveccón (noar que U n en S S ). Por ora pare, de la dendad de Lagrange es posble esablecer el operador aduno A formular el modelo aduno para un forzameno p( r, ) en la forma y ( g ) Ug g ( g ) [ ( g ) z ] z g p( r, ) (24) g ( r, T) en D (25) s s g v g e en 3 D (26) ( g ) en S, ( g ) U g en S (27) z z n g n en S, g n U g en S (28) n Es mporane noar que (24)-(28) es un problema de valor fnal en donde la velocdad del fluo y la sedmenacón han nverdo su dreccón, además, el cambo de varable ' T lo convere en un problema de valor ncal cuya solucón enen caraceríscas smlares a las del problema (13)- (19). El forzameno p( r, ) en (24) se puede elegr como en (6) para esablecer una relacón explíca enre las varables de esado y las de conrol. De hecho, sea p( r, ) 1/( ), s r y ( T, T) ; y p( r, ) en oro caso. Enonces se obene un prncpo de dualdad para expresar la concenracón promedo del -ésmo conamnane en la zona D durane el nervalo de empo ( T, T)

7 1 ( ) T N T (, ) ( ) (,) ( ) T D 1 D C d r d g r q d g r r d r (29) Las funcones adunas g ( r, ) son ndependenes de las asas de emsón y la dsrbucón ncal del conamnane, y represenan la nfluenca emporal que el so de descarga r ene sobre la zona de acuerdo al proceso de dspersón. Fnalmene, ya que ( A, ), enonces la solucón numérca del modelo de dspersón (13)-(19), y la del modelo aduno (24)-(28), se pueden calcular efcenemene a ravés de un esquema en dferencas fnas de segundo orden, absoluamene esable y balanceado, basado en el esquema de Cran-Ncolson y el méodo de separacón de operadores por componenes (Sba, 1993). La venaa de ese esquema consse en que sólo se requere resolver (sucesvamene) ssemas de ecuacones lneales con marces rdagonales. RESULTADOS NUMÉRICOS PARA UN MODELO DE CAJA En esa seccón se analza el desempeño que el problema varaconal (11)-(12) ene con un modelo sencllo de dspersón de dmensón cero. Se asume que la anomalía de la concenracón del conamnane se descrbe por las sguenes ecuacones (Parra-Guevara y Sba, 23)., () (3) ( V ua ) V Q( ), T Se supone que el conamnane forma una mezcla homogénea con el are en la regón 3 D [, a] [, a] [, a] de volumen V a. La velocdad del veno u es esaconara horzonal, y denoa el coefcene de ransformacón químca del conamnane. Así, la ecuacón (3) es un caso parcular de la ecuacón general de balance de masa (23) para un sólo conamnane, sn s sedmenacón ( v ), y consderando una fuene punual en D con asa de emsón Q (). Para mosrar la nesabldad del problema nverso se calcula Q () drecamene de (3) usando fórmulas de dferencas fnas cenradas de segundo orden de aproxmacón. Se ene que ( 1 1)/(2 ).5 r( 1 1) V Q donde r V ua, Q aproxma Q ( ) en los momenos,,1,..., L, es la longud de empo enre los daos, y es la anomalía de la concenracón del conamnane en. Así, se obene el sguene esquema para reconsrur Q (): Q.5 V{( r 1/ ) ( r 1/ ) }, 1,..., L (31) 1 1 donde se consdera. La sere de empo snéca que ulzamos para probar (31) se consruye con base al sguene par de funcones asocadas al modelo de dspersón (3): Q( ), 2; q, 2 4;, ( ), 2; q( rv ) 1 exp( r( 2)), 2 4; q( rv ) exp( r( 4)) exp( r( 2)), 4 1 (32) La Fgura 2 muesra ambas funcones en el caso de los sguenes parámeros: a 1m, 1 u.5mh 1 1,.1h, T 1h y q 1g h. Sean, 1,..., L, los errores aleaoros. Consderando la funcón () de (32), la sere de empo snéca esá dada como ( ),, 1,..., L (33)

8 La Fgura 3 muesra la sere de empo consruda con (33) (.5h), donde los valores aleaoros esán unformemene dsrbudos en -.5,.5. La amplud de los errores esá normalzada por el 15% del valor máxmo de. Se muesra en la Fgura 4 la asa de emsón Q () que se obene del esquema (31) con la sere de empo de la Fgura 3. Se noa que la amplud de los errores ha aumenado hasa 175% en algunos casos, y por ano, la funcón Q () ha sdo oalmene perdda. Explcaremos al fenómeno de nesabldad. Subsuyendo (33) en (31), se obene Fg. 3: Sere de empo { } obenda con (33). Fg. 4: Línea puneada: Q () obenda con (31) Q( ) Q.5 V r r o ( ) V r o ( ) donde max { }. Así, la 1 amplud de los errores se ncremena por el volumen V y por la frecuenca de muesreo. En parcular, s el número de daos consderados en el nervalo (, T ) se ncremena, enonces, y por lo ano, la esmacón de Q () usando el esquema (31) empeora. La esmacón de la asa de emsón Q () a ravés del problema varaconal (11)-(12) requere una relacón enre la varable de conrol y la de esado. Para el modelo (3), al relacón se formula con la ransformada 1 r r 1 2 de Laplace: ( ) V e Q( ) e d, T, donde r V ua. Por lo ano, 1 ( ) Q( ) g ( ),, 1,..., ; ( ) exp{ }, d L g V r (34) Noe que g en (34) ene el msmo sgnfcado que la solucón aduna en (8). Además, debdo a las condcones de dspersón esaconaras, es posble nroducr el sguene núcleo básco: 1 g ( ) V exp{ rt },. Enonces g ( ) g ( T ) para, que es la ecuacón general (9). ay dos casos parculares donde la nensdad de la fuene se deermna nmedaamene de (34), o en forma más general, de la ecuacón (8). Cuando los errores en la sere de empo presenan 1 valor promedo gual a cero y la fuene es consane: enonces Q ( L L )[ g ( ) d ] ; y c 1 1 cuando los errores en la sere de empo presenan valor promedo gual a cero y Q( ) Qe ( e), L L 1 explosón al empo, enonces Q ( )[ g ( )]. Para resolver el problema (11)-(12) en e e 1 1 e el caso general no-esaconaro, en una malla regular l l, l,1,..., L, L T, se nroducen los splnes lneales ( ). La asa de emsón Q () se propone como Q ( L ) Q ( ), donde l l Q Q( ),,1,..., L, debdo a que ( ). Susuyendo al Q () en (11) y (12), se obene el l l problema de programacón cuadráca sguene: l l l

9 mnmzar J Q.5Q Q; sueo a: Q, l,1,..., L, y l ( ) a Q, 1,.., L l l l (35) donde Q,,,, es una marz de dmensón L 1 smérca, rdagonal y posva Q Q1 Q L l1 semdefnda, y a l g ( ) l ( ) d. Sn pérdda de generaldad, se ha supueso que los nsanes l1 de muesreo concden con los nodos de malla. El problema (35) ene solucón únca ya que la J Q es connua y el espaco de facbldad, deermnado por las resrccones en (35), es funcón un conuno compaco. La solucón se calcula aplcando drecamene la runa quadprog de MATLAB (Venaaraman, 22). La Fgura 5 muesra la solucón correspondene a los daos snécos de la anomalía de la concenracón generados según (33) (Fg. 3). Claramene, el méodo de regularzacón flra las frecuencas alas en los daos y perme obener una funcón suave que aproxma la asa de emsón de prueba Q (). Aun cuando Q () no es suave, la aproxmacón que se obene a ravés de (35) meora consderablemene aquella obenda con el esquema (31) (Fg. 4). S no se consderan las varacones en una vecndad de las dsconnudades de Q (), las cuales corresponden al proceso de aproxmar una funcón dsconnua a ravés de una funcón suave, enonces el error relavo enre esas dos funcones no excede el 5%, lo cual esá denro del rango de la amplud de los errores en los daos snécos (33). Ese es el resulado más razonable que se espera al rabaar con daos reales. Fg. 5: Línea puneada: Q () obenda con (35). Fg. 6: Comporameno de la solucón cuando. Por ora pare, los resulados numércos muesran que a mayor valor del parámero en (12), mayor es la suavdad de la solucón del problema (11)-(12). De hecho, s enonces la solucón ende a una consane (funcón clase C ), eso se debe a que el espaco de facbldad se expande hasa que en el líme conene ese mínmo global de la funcón obevo J (noe que J ( ) ). En el oro exremo, cuando, max { }, enonces se obene la meor aproxmacón de la asa de emsón Q () que la regularzacón apora. La Fgura 6 muesra las solucones de (35) para los daos snécos que se presenan en la Fgura 3, donde e, e 1.8,1.4 y 1.. Los errores relavos de aproxmacón (correspondenes) son: Er.32,.28 y.19. Fnalmene, cuando, la solucón del problema nverso presena nesabldad. Ya que para daos reales el valor de es desconocdo, enonces al cambo en el comporameno de la solucón nos ndca el puno donde se ha alcanzado el valor ópmo.

10 CONCLUSIONES Se ha formulado un problema varaconal para hallar la asa de emsón no-esaconara Q () de una fuene punual desconocda. Ese méodo requere al menos de una sere de empo de la anomalía de la concenracón del conamnane en un so de monoreo. Se ha demosrado que el uso de las funcones adunas es fundamenal para esablecer las resrccones negrales en el problema varaconal, las cuales relaconan explícamene los daos de dcha anomalía y Q (). De esas relacones se obenen expresones analícas para esmar la asa de emsón en dos casos parculares: descarga consane e mpulso en el empo (explosón). En el caso general, la mnmzacón de la L2-norma de la prmera dervada de Q () es una regularzacón úl para ese problema nverso nesable, ya que flra los errores en los daos y perme obener una aproxmacón suave de Q (). Tal funcón es la solucón del problema dscreo asocado al problema varaconal, el cual es un sencllo problema de programacón cuadráca que se resuelve efcenemene con la runa quadprog de MATLAB. AGRADECIMIENTOS Ese rabao fue apoyado por el Ssema Naconal de Invesgadores (CONACyT-Méxco), becas No y 14539, y por el proyeco No. IN , PAPIIT, DGAPA-UNAM, Méxco. REFERENCIAS Aser, R. C., B. Borchers y C.. Thurber; Parameer esmaon and nverse problems. Academc Press, Elsever (213). Kahrgamanahan, P., R. McKbbn y R. I. McLachlan; Source release-rae esmaon of amospherc polluon from a non-seady pon source-par1: Source a a nown locaon. Res. Le. Inf. Mah. Sc., 5, (23). Lush, E. y J. M. Soce; An nverse Gaussan plume approach for esmang amospherc polluan emssons from mulple sources. Amospherc Envronmen, 44, (21). Marchu, G. I.; Mahemacal models n envronmenal problems. Elsever, New Yor (1986). Parra-Guevara, D., Y. N. Sba y A. Pérez-Sesma; A lnear programmng model for conrollng ar polluon. Inernaonal Journal of Appled Mahemacs, 23 (3), (21). Parra-Guevara, D. y Y. N. Sba; Elemens of he mahemacal modellng n he conrol of polluans emssons, Ecologcal Modellng, 167, (23). Pudyewcz, J.; Applcaon of adon racer ranspor equaons for evaluang source parameers. Amospherc Envronmen, 32, (1998). Sba, Y. N. y D. Parra-Guevara; Indusral polluon ranspor. Par I: Formulaon of he problem and ar polluon esmaes. Envronmenal Modelng and Assessmen, 5, (2). Sba, Y. N.; Balanced and absoluely sable mplc schemes for he man and adon polluan ranspor equaons n lmed area. Rev. Inern. Conamn. Amben., 9, (1993). Thonov, A. N. y V. Y. Arsenn; Soluon of Ill-posed Problems. Washngon: Wns. & Sons (1977). Venaaraman, P.; Appled opmzaon wh MATLAB programmng, J.Wley and Sons, NY (22).