entonces A B 3, 1, 3,3, 3,4, que en el plano 5, 1, 5,3, 5,4 cartesiano queda:

Transcripción

1 FUNCIONES Y RELACIONES Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B ( AB a cruz b ) es un conjunto de parejas en el que los elementos tienen un elemento del primer conjunto y uno del segundo conjunto y, coma y y que lo podemos representar en el plano cartesiano.,,,3,,4, Ejemplo.- Si A,3,5 y B,3,4 entonces AB 3,, 3,3, 3,4, que en el plano 5,, 5,3, 5,4 cartesiano queda: Ejemplo.- Si A RELACIÓNES números reales tales que son mayores o iguales a y B 3 ser ( ), pero no pueden ser 3 ( 3) Graficando en el plano AB nos queda números reales tales que están entre y 3, pueden Una relación entre dos conjuntos C y D es un subconjunto del producto cartesiano C D, es decir, R es una R C D, gráficamente: relación entre C y D si R C D Solución A B Línea punteada pues y no puede ser 3 Recuerda: un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B ( ) si éste (A) está dentro de B. Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S.

2 Ejemplo.- Decir si,, R y y es una relación en ( : números enteros) Primero tenemos que graficar a en el plano cartesiano:,, 0,, 0,, 0,3...etc,,,,,3...etc y y algunos elementos de son:,,,,,3,,4,,5...etc Si los graficamos en el plano tenemos Pero en realidad como los enteros son muchos, en total tendríamos Ahora grafiquemos sobre este último plano cartesiano algunos elementos de R, y y, Z Z Z Z Z Z,4,,, 0,0,,,,4, 3,9,etc.,4,,, 0,0,,,,4, 3,9, que son de R caen dentro de Z Z, es decir R, por tanto R si es relación en Z Z Claramente los puntos Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S.

3 FUNCIONES Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos X e Y de tal manera que a cada elemento del conjunto X, le corresponde un ÚNICO elemento del conjunto Y, al primer conjunto se le llama DOMINIO y a el segundo conjunto se le llama imagen o recorrido. X= {,,3,4 } dominio Y= {a,b,c,d } imagen Una función se denota como: Retomemos la función f 3 y completemos la siguiente tabla. Algunos valores del dominio (valores que puede aceptar ) Algunos valores que toma la imagen (valores que toma y) f 3 Puntos de la gráfica de la función y f y, 3 ( 3, ) 7 (, 7) 4 (, 4) 0 3 (0, 3) 4 (, 4) 7 (, 7) 3 (3, ) efe de equis. Una función puede ser representada por medio de una epresión algebraica, por ejemplo: efe de equis igual a equis cuadrada más tres En la función de arriba, tenemos,,,, Cálculos de algunos valores de la imagen Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S. 3

4 Ahora si graficamos los puntos (, y) en el plano cartesiano tenemos, la gráfica de f, ten en consideración que los valores asignados a sólo son algunos valores del dominio de la función, por lo que tendrás que dar más valores si es necesario para poder determinar de manera correcta el dominio de dicha función Ahora para determinar el dominio de la función (D f ) tendrás que observar la gráfica de izquierda a derecha observando hacia la gráfica, lo cual podrás ver que su dominio es: D f = (, ) En todo momento observas la gráfica a través del eje Para determinar la imagen de la función (I f ) tendrás que girar tu cuaderno (tu gráfica) hacia la izquierda 90 y observar ahora la gráfica de abajo hacia arriba (derecha-izquierda) hacia la gráfica, lo cual podrás ver que su imagen es: I f = (3, ) Observa las flechas rojas, estas líneas NO observan gráfica a través del eje y. Se observa gráfica a través del eje y desde Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S.

5 Ejemplo.- Encuentra la gráfica, dominio e imagen de la función f 3 Nuevamente tabulemos de 4 hasta 4 (recuerda que estos valores son como sugerencia) f ERROR 4 3 Representamos nuestros puntos en el plano cartesiano: los puntos que están a la izquierda de la asíntota sólo se juntan con los de su lado, no con los de la derecha En tu calculadora marca MATH ERROR Cuando esto sucede es porque habrá una asíntota horizontal. En éste caso está en = 3 Una asíntota es una recta que la curva no cortará, pero que al graficar la función, ésta se le pegará lo suficiente como para pensar que la toca, aunque en realidad nunca la toca. = 3 es la ecuación de la asíntota, sólo se pone el valor dónde corta al eje. Asíntota horizontal = 3 Las graduaciones de son normales Como los valores de nuestra función son muy pequeños, nuestra graduación del eje y es más amplia. Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S. 5

6 Como podrás estar de acuerdo, los puntos del lado izquierdo de la asíntota sí forman algo que puede uno graficar, pero del lado derecho de la asíntota sólo tenemos un punto, por tanto, sólo usaremos las fila marcadas con puntos etras para ver qué sucede en otros valores de, por ejemplo, para el lado veamos que sucede si =.5 y para el lado derecho daremos =3.5, =5 y =7. f ERROR 4 PUNTOS EXTRAS Representando nuestros puntos nuevos tenemos que: La gráfica no terminará o empezará en este punto, pues, por ejemplo, si = 6 también hay gráfica Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S.

7 Finalmente, nuestra gráfica queda: Dominio,3 3, Imagen,0 0, Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S. 7

8 EJERCICIOS Obtén la gráfica, el dominio y la imagen de las siguientes funciones (a) f ( ) (b) f( ) (c) f ( ) (d) f ( ) 3 (e) y (f) y Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S.

9 (g) y 3 (h) y 3 4 (i) y (j) y 3 (k) f ( ) 3 (m) f ( ) (l) f ( ) (n) f (o) f Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S. 9

10 0 DOMINIO DE FUNCIONES SIN GRAFICAR Ahora que ya sabes cuál es el dominio de una función (valores posibles para ), vamos a encontrar dicho dominio sin graficar la función. Ejemplo : Encontrar el dominio de la función f 3 Como podrás observar, la función es un quebrado, entonces la parte de abajo no podría tomar el valor de cero. Entonces Cuándo 3 vale cero? Veamos: 3 0 despejando a 3 Es decir, cuando 3 la epresión 3 vale cero, entonces el valor que no puede tomar es 3, por lo tanto su dominio es: Ahora, al igual que en el ejemplo anterior, la parte de abajo.. no puede ser cero, entonces Ejemplo : f 0 Despejando a Qué número al cuadrado resulta? Pues parece que no es difícil ver que: pero también entonces los valores que no podrá tomar son y, ya que la función f es: Ejemplo 3: f Recuerda: La parte completa de abajo ( ) no debe ser cero, NO sólo el valor de. vale cero en dichos valores. El dominio de Bueno, ahora ya no tenemos un quebrado, pero aparece una raíz (radical) y, como ya sabemos, las raíces cuadradas de números negativos no eisten. Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S.

11 Entonces lo que tenemos dentro del radical deberá ser cero o positivo, recuerda toda la epresión dentro del radical deberá ser mayor o igual a cero NO el valor de. Veamos entonces Dónde 0? Despejando: como sí se puede tomar el valor de se pone corchete [, si no se pudiera tomar el valor de, como en los ejemplos anteriores que no podía ser uno por ejemplo, se pone paréntesis (. Ejemplo 4: f Esta función tiene tanto un quebrado como un radical, es decir, lo de abajo no debe ser cero y, lo que está adentro del radical debe ser mayor o igual a cero, o sea: 0 como se encuentra debajo de la función, no puede ser +, ya que =0, es decir: 0 estrictamente mayor de cero. despejando : Ejercicios: Encuentra el dominio de las funciones a) f b) f c) f 3 4 Recuerda: en la raíz cúbica de números negativos. porque porque, sí hay raíces números mayores o iguales a mayor que Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S.

12 d) f e) f 4 f) f 4 g) f 9 h) f j) f 5 k) m) f 3 f 3 3 n) f 4 5 i) f l) f 3 Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S.

13 TIPOS DE FUNCIONES FUNCIÓN INYECTIVA Una función es inyectiva si a cada par de elementos diferentes del dominio le corresponden dos elementos diferentes de la imagen. Para determinar si una función es inyectiva, traza su gráfica y si al poner rectas horizontales sobre dicha gráfica es cortada más de una ocasión entonces la función NO es inyectiva, en caso contrario lo será. FUNCIÓN SUPRAYECTIVA Una función es suprayectiva (sobreyectiva) si el contradominio de ésta es igual a su imagen. FUNCIÓN BIYECTIVA Una función es biyectiva si inyectiva y suprayectiva a la vez. Recuerda que todas las funciones consideradas tienen como contradominio a los números reales R, es decir una función va a ser suprayectiva si su imagen son los números reales. Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S. 3

14 FUNCIÓN INVERSA Dada una función f, la función inversa de ésta se obtiene de la siguiente manera: Encontrar la función inversa de f 4 3 Primero, si nos dan la función como f, la cambiamos por y, es decir, en nuestro caso: f 4 3 es lo mismo y43 Ahora lo que hacemos es cambiar a las por y y a las y por y43 4y3 En seguida despejamos a y y este despeje representa la función inversa de la función dada. 4y3 34y como y es positiva +4y, la dejamos ahí, del lado derecho de la igualdad y quitamos el 3 Ahora sólo falta quitarle a y el 4 que está multiplicando con ella 3 y 4 Para representar la función inversa de una función f se utiliza la notación (f menos uno de ), es decir: 3 y 4 La función inversa de f 4 3 es: Ejemplo.- Encontrar la función inversa de Tomamos la función y por ( y ) f 4 3 f 3 f 4 f que es igual a y, ahora hacemos el cambio de las por y y las y y y Despejando a y tenemos y primero tratamos de que no haya quebrados y cambio de y y y y y y y y como ahora nuestra ecuación tiene el mismo denominador (y) lo omitimos y sólo nos quedamos con la parte de arriba como ya sabes y y f 4 Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S.

15 recuerda que cuando tenemos que despejar una variable que aparece varias veces, hay que pasar los términos que tienen dicha variable a un mismo lado de la igualdad y y factorizando a y Ejemplo.- Encontrar la función inversa de y 3 En este caso nos dan la función con y y no con y y y y f, entonces empezamos con el cambio de y 3 3y despejando a y, elevamos al cuadrado para quitar la raíz cuadrada finalmente, quitándole el a y y 3 f 3y 3y y3 3 Ejercicios.- Encontrar la función inversa de las siguientes funciones: a) f 4 b) c) y f función inversa buscada 3 5 d) f y como y es negativa ( y) la mandamos a la izquierda de la igualdad, y a que está a la izquierda la quitamos. Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S. 5

16 e) f f) y 5 3 g) i) f 3 h) y 5 3 y j) f Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calito S.