Examen de Álgebra = 2. x 2x

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1 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CIENCIAS Emen de Álgebr. Resuelve l ecución: 6. puntos. Resuelve ls siguientes inecuciones: ) b) puntos. Resuelve ls ecuciones: X X ) b) log ( ) 9 puntos log log log. Resuelve el sistem: log log y log puntos Resuelve l ecución:. puntos

2 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CIENCIAS Soluciones ) 6 ( ); 6 ( ); ( )( ) m.c.m.:()(-) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6; Al comprobrls, vemos que ls dos soluciones son válids. ) 9. Vemos los vlores que nuln el numerdor y el denomindor. 9,8, 8 9 Probmos el signo de en los intervlos de signo constnte: (,),,,, L solución es: (-,-), ) ) ( ) ( ) b) log ( ) 9 ( ) ; Solo es válid l solución, pues hce que l bse del logritmo se 7, y eso no es posible.

3 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CIENCIAS ) log log log log log log y log log log log y y ) ( 6 6 y y y Ls soluciones del sistem son: 6 6 ; ; y Al comprobrls observmos que mbs soluciones son válids. ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 6( ; Comprobmos y vemos que mbs soluciones, son válids.

4 º Bchillerto Ciencis GLOBAL ÁLGEBRA ) Oper y simplific: 9 6 ( punto) ) Resuelve ls siguientes ecuciones: ( puntos) ) 9-7 b) c) ( ) ) Hll un polinomio que tiene por ríces y cero, sbiendo que es de grdo, y que su coeficiente principl es. ( punto) ) Resuelve ls siguientes inecuciones: ) b) < 7 ( puntos) ) Resuelve los sistems: y 8 7 ln ln y b) b) y ln ln y ( puntos)

5 º Bchillerto Ciencis Soluciones ) Debemos hllr el mínimo común múltiplo: ) )( ( 6 ); )( ( 9 El m.c.m. es (-)()() 6 9 ) )( )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( )( ( 9 9 ) )( )( ( 9 9 ) )( )( ( 9 El polinomio del numerdor, no tiene ningun ríz en común con el polinomio del denomindor por tnto, no podemos simplificr l frcción lgebric. ) ) 9-7 Hcemos el cmbio t X 7. 7 t t t t Por tnto:: 7 7 X ; log7 log log log7 7 X b) elevmos mbos miembros l cudrdo: 6 elevmos mbos miembros l cudrdo:() Comprobndo ls soluciones, vemos que solo es válid c) ) ( ) ( ) ( ) )( ( ); ( m.c.m.()(-) ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( Comprobndo, solo es válid ) Hll un polinomio que tiene por ríces y cero, sbiendo que es de grdo, y que su coeficiente principl es. Este polinomio fctorizdo será: - ()( ) ) < ) 6 ) ( < < < Pr resolver est inecución debo empezr por resolver ls ecuciones que resultn

6 º Bchillerto Ciencis de igulr cero el numerdor y el denomindor: A l vist de ls soluciones debemos probr el signo de l función en los intervlos (, 6),( 6, ),(, 6),( 6, ). 6 Tomndo un vlor pr encd uno de los intervlos, vemos que l epresión, 6,, 6 es negtiv en ( ) ( ) 7 7 Esto equivle l siguiente 7 sistem: Pr resolverlo, resolvemos ls 7 ecuciones Pr obtener l solución del sistem debemos obtener ls soluciones de ls inecuciones y de l inecución Pr solucionr l primer probmos en los intervlos de l rect (, ),(, ),(, ). Vemos que es negtiv en (, ) Pr solucionr l segund probmos en los intervlos de l rect (, ),(, ),(, ) Vemos que es positiv en (, ) (, ) Sol L solución del sistem será l intersección de mbs soluciones: Sol Sol Sol (, ) (, ) y ( ) y y y y y ; y y e y y ln y ln y ln ln y b) e ln ln y ln lne e y y e e e e Sólo es válid, l solución e y y que los negtivos no tienen logritmo e

7 EXAMEN º BACHILLERATO. NÚMEROS Y ÁLGEBRA Los resultdos deben drse de form ect Tendré en cuent l presentción y limpiez del ejercicio Trt de justificr siempre tus respuests Pregunt (, puntos). ) Rcionliz y simplific: b) Clcul y simplific dndo el resultdo, si es posible, en form de un único rdicl: Pregunt ( puntos). Queremos relizr un eperimento colocndo un cntidd de prtículs en un probet. El primer dí colocmos y cd dí ñdimos l mitd de lo ñdido el dí nterior (considermos que podemos dividir ls prtículs tnto como quermos). ) Escribe un fórmul que nos indique el número de prtículs que se ñden l probet dependiendo del dí. b) Cuánts prtículs tendremos l cbo de cutro semns? (No es necesrio relizr l operción, puede dejrse indicdo). c) Si se pudier repetir el proceso indefinidmente, cuánts prtículs tendremos l finl? Pregunt. Resuelve ls siguientes ecuciones o sistems: ) 6 ( punto) b) ( punto) c) ( punto) d) ( punto) e) log log y log y (, puntos)

8 . ) Rcionliz y simplific: ( )( ) SOLUCIONES ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) b) Clcul y simplific dndo el resultdo, si es posible, en form de un único rdicl:. Queremos relizr un eperimento colocndo un cntidd de prtículs en un probet. El primer dí colocmos y cd dí ñdimos l mitd de lo ñdido el dí nterior (considermos que podemos dividir ls prtículs tnto como quermos). ) Escribe un fórmul que nos indique el número de prtículs que se ñden l probet dependiendo del dí.,,,,... es un progresión geométric de rzón (decreciente) n n n r n b) Cuánts prtículs tendremos l cbo de cutro semns? (No es necesrio relizr l operción, puede dejrse indicdo). Veintiocho dís: 7 r Sn n S 8,,, 8 r,, 8 (, ) S8, c) Si se pudier repetir el proceso indefinidmente, cuánts prtículs tendremos l finl? S r. Resuelve ls siguientes ecuciones o sistems: ) 6 primero, fctorizmos el polinomio Solución: - ± 9 9 ( )( )( )

9 b) , llmmos 7z z ± z 7 z ± Soluciones:, z 7 ± c) ( ) ( 7) 7 ± 6 7 ± 7 ± 6 Soluciones: 6, d) m.c.m. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 ± ningun de ls dos posibles soluciones servirí y que pr mbos vlores de se nul lgún denomindor de l ecución originl log log y log( y) log y e) log y log log y y y sustituimos en l primer ecución: y y y y ± no vle l negtiv (no eisten los logritmos de números negtivos), luego l solución es:, y

10 Mtemátics I CONTROL ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA Octubre 8. Oper y simplific: (, puntos) ) b). Oper y simplific, rcionlizndo en su cso: ( puntos) ) ( ) : b) c) 8. Hll el vlor de en los siguientes csos, sin utilizr l clculdor: ) log 8 b) log log c) 9 (, puntos cd uno). Desrroll: (,7 puntos).- Oper y simplific, sin utilizr l clculdor (utilizndo sólo ls propieddes de los logritmos y ls de ls operciones con potencis): (,7 puntos cd uno) 6 ) 8 9 b) log( ) log 6 log c) log

11 Mtemátics I SOLUCIONES. Oper y simplific: ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( m.c.m ( )( ) ( )( ) b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ). Oper y simplific, rcionlizndo en su cso: ) ( ) : : : ) ( b) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) c) 8 6. Hll el vlor de en los siguientes csos, sin utilizr l clculdor: ) log 8 8 b) log log 8 log log c) ±. Desrroll: ( ) ( ) ( ) ( )

12 .- Oper y simplific: 6 ) 7 8 ( ) ( ) 9 b) log( ) log 6 log log log log log log log log log Mtemátics I c) log log 8 log log 8 9 8

13 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics EXAMEN BLOQUE ÁLGEBRA.- Hll, sin hcer uso de l clculdor, el vlor de los siguientes logritmos: log ( ) 6 log, ( punto) ( ).- Epres en form de intervlo y represent gráficmente los números reles que cumpln l condición ( punto).- Hll el término generl de l sucesión, -,, -, (, puntos).- Escribe rzondmente el vlor de los límites de ls sucesiones siguientes: n n n n b n n > n ( punto).- Hll l sum de los primeros términos y l sum de los infinitos términos de un sucesión geométric n de rzón y cuyo primer término es. (, puntos) 6.- Resuelve ls ecuciones: ( puntos) ) 8 b) log( ) log( 6) 6 c) Clsific y resuelve, si es posible, el sistem de ecuciones: y z y z ( punto) y z 8.- Hll l solución, si eiste, del siguiente sistem de inecuciones: 9 > (, puntos) ( ) º Bchillerto Ciencis

14 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES.- Hll, sin hcer uso de l clculdor, el vlor de los siguientes logritmos: log 6 ( ) log 6 6 log6 6 log (, ) log log log log log.- Epres en form de intervlo y represent gráficmente los números reles que cumpln l condición gráficmente: Intervlo: (, ] U [, ) n.- Hll el término generl de l sucesión, -,, -, n ( ) n.- Escribe rzondmente el vlor de los límites de ls sucesiones siguientes: 6 n n lim n n n 97 b n n > b, 989 lim bn n 99.- Hll l sum de los primeros términos y l sum de los infinitos términos de un sucesión geométric n de rzón y cuyo primer término es. S 98 S : : S 6 r 6.-) 8 ( ) 6( ) ± 768 ± ( 6) 6 º Bchillerto Ciencis

15 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics Comprobmos: SI SI Soluciones: 8 y 8 8 b) log( ) log( 6) log log 6 6 ( 6) VÁLIDA 6 c) m. c. m 6( 6) ( 6) ( 6) 6( 6) 6 8 6( 6) 6( 6) 6( 6) 6( 6) ± ± 8 VÁLIDAS LAS DOS 7.- Clsific y resuelve, si es posible, el sistem de ecuciones: y z y z y z ª ª y z ( ª ª ) y z y z 8 y z ª ª y z y z y z ( ª ª ) y z 8 Sistem INCOMPATIBLE 8.- Hll l solución, si eiste, del siguiente sistem de inecuciones: 9 > ( )( ) > ( ) 6 6 Solución:, º Bchillerto Ciencis

16 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS GLOBAL ANÁLISIS ) Hll el vlor de pr que l función f se continu en todo R. (, puntos) si - f() si - < Represent gráficmente l función (pr ese vlor de ) ) Clcul ls siguientes derivds: ( puntos) ) y ( ) b) e y ln e c) y cos sen d) y rctg ) Hz un estudio lo más completo posible de l función represéntl gráficmente. f( ) y ( puntos) ) Hll rzondmente un punto de l función y en el que l rect tngente se prlel l rect de ecución y 7. Hll tmbién l ecución de dich rect tngente. (, puntos) ) Hll ls síntots de l función 6 f( ) y estudi su continuidd. ( puntos)

17 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS SOLUCIONES si - CONTINUA en (, ) ) f() si - < CONTINUA en (, ) Sólo nos flt que se continu en -, pr lo cul, tienen que coincidir: f( ) lim f( ) lim lim f( ) lim ( ) si - trozo de hipérbol Gráfic de f() si - < trozo de prábol Prábol con vértice en (, ) y cortndo l eje OX en Hipérbol con síntots los ejes de coordends ) ) y ( ) [ ] y' ( ) ln ( ) y' ( ) ln b) e y ln y' e e e c) sen e ( e ) ( e ( e ) )( e y cos y' ( sen cos) d) y rctg y' cos sen ( ) ( ) ) e e sen cos cos sen ) f( ) Asíntots: Verticles: ±

18 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS lim lim A.V. de rms divergentes lim lim lim - A.V. de rms divergentes lim Horizontles: lim y tmbién lim Asíntot horizontl y, vemos si l gráfic está por encim o por debjo: ( ) Pr > pr - > ( ) Luego en mbos ldos está por encim Puntos de corte con los ejes: Pr y Pr y Puntos singulres: ( ) y' ( ) 8 y' 8 ( ) (, ), vemos que es un máimo. ) Hll rzondmente un punto de l función y en el que l rect tngente se prlel l rect de ecución y 7. Hll tmbién l ecución de dich rect tngente. y ' m (prlel, mism pendiente) el punto es el ( ) Rect tngente en el punto ( ),, : y ( ) y

19 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS 6 ) f( ), est función es un función rcionl, continu en su dominio que es Dom ( f) R {, }, vemos que tipo de discontinuidd hy en esos dos puntos: En 6 ( 6) ( )( ) lim lim lim ( )( ) ( )( ) En tiene, por lo tnto, un discontinuidd evitble, y que eiste el límite en el punto, unque l función no está definid en el mismo. En lim ± luego, en -, tiene un discontinuidd de slto infinito, o más clro, un síntot verticl de rms divergentes. Tmbién tiene un síntot oblicu y m n 6 m lim 6 n lim lim L síntot oblicu es: y 6

20 I.E.S. MURILLO MATEMÁTICAS I CONTROL FUNCIONES. Dds ls funciones: f ( ), g( ), h( ) Hll: ( p) ) fo g y g o f b) L función invers de h(), h, comprueb el resultdo y hll su dominio. c) L función invers de g(), g, comprueb el resultdo y hll su dominio.. Hll los dominios de ls siguientes funciones: ( p) ) f( ) b) g e ) h( ) log ( c) ( ). Represent gráficmente (sin hcer tbl de vlores) l función y Escribe sus crcterístics: Dominio, recorrido, síntots, continuidd, etc. (, p). Represent gráficmente l siguiente función (sin hcer tbl de vlores) y escribe sus crcterístics: si < f( ) si < < (, p) si. Represent gráficmente ls siguientes funciones, sin hcer tbl de vlores, es decir, hllndo previmente su dominio, puntos de corte con los ejes y demás crcterístics. y, y ( p) Deprtmento de Mtemátics

21 I.E.S. MURILLO MATEMÁTICAS I Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES. Dds ls funciones: f ) (, g ) (, h ) ( Hll: ) ( ) [ ] 7 f f g g f ) ( ) ( o ( ) [ ] [ ] g g f f g ) ( ) ( o b) y cmbimos: y y y y h ) ( R h Dom ) ( Comprobción: ( ) [ ] h h h h h ) ( ) ( o c) y cmbimos y y y despejmos y y y y g y y ) ( ) ( Comprobción: ( ) [ ] g g g g g ) ( ) ( o. Hll los dominios de ls siguientes funciones: ) f ) ( Dom(f) ( ),, U b) e g ) ( l eponencil está definid en todo R, pero hy que tener cuiddo con el eponente, que no está definido pr ) ( Dom(g) { } R, c) ( ) h log ) ( los logritmos sólo están definidos pr números positivos, es decir si > > ) ( Dom(h) ( ),

22 I.E.S. MURILLO MATEMÁTICAS I. y primero vmos representr l función y, que es un hipérbol con síntot verticl y horizontl el eje. y hor el vlor bsoluto: Crcterístics: Dom R {} Rec (, ) Continu en su dominio, discontinuidd de slto infinito en Creciente en (,) y decreciente en (, ) si < rect horizontl. f( ) si < < rect si prábol b 9 Prábol y vértice V, Corte con los ejes: Eje OX: eje OY y Crcterístics: Dom R { } 9 Rec, Constnte en (, ) Creciente en, Decreciente en, 9 Tiene un máimo en V, no tiene síntots. Deprtmento de Mtemátics

23 I.E.S. MURILLO MATEMÁTICAS I. y tiene que ser luego, Dom [, ) cort l eje en (,), no cort l eje y, es creciente y continu en su dominio y su, recorrido es [ ) Gráfic: y función eponencil de bse menor que, Dom R, siempre positiv, decreciente en su dominio, cort l eje y en (,) y no cort l eje. Gráfic: Deprtmento de Mtemátics

24 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS GLOBAL DERIVADAS ) Hllr los vlores de y b pr que l función f se derivble en todo R. e si f() ( puntos) b si > Clcul ls siguientes derivds: sen ) ( ) b) y rctg( ) y (, puntos) ) Hz un estudio lo más completo posible de l función gráficmente. f() y represéntl (, puntos) ) Hll l ecución de l rect tngente l curv y ln que es prlel l rect de ecución y (, puntos) ) Hll ls dimensiones del rectángulo de áre máim inscrito en un circunferenci de 8 m de rdio. (, puntos) 6) Hll los vlores de, b y c pr que l función f() b c verifique: ) L rect tngente en el punto (,) es l de ecución y b) Tiene un etremo reltivo en el punto de bscis. (, puntos)

25 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS SOLUCIONES e si ) f() pr que se derivble en R, primero tiene que ser b si > continu, cd trozo es continuo y derivble (l primer prte es un eponencil y l segund un función polinómic) Tendremos que obligr que se continu y derivble en el punto de engnche, es f() e decir el. Continuidd en : lim f() lim e e lim f() lim( b ) e < f'( ) e Derivbilidd en : f'() b b > f'( ) b b ) ) y sen ( ) ln y sen ln( ) sen ln( ) ést l hcemos por derivción logrítmic: y hor, derivmos y' sen cos ln( ) sen y' cos ln( ) y y sen sen y ' cos ln( ) ( ) b) y rctg( ) y' ( ) y' y' ( ) ) f() DOMINIO: Dom(f) R {}, es continu y derivble en su dominio. ( ) SIMETRÍA: f( ) NO es simétric ASÍNTOTAS: lim VERTICALES: lim A.V. lim OBLICUA: y m n m lim ( )

26 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS n lim lim lim A.O. y CRECIMIENTO Y EXTREMOS RELATIVOS ( ) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) Luego, tenemos un máimo en y un mínimo en, es decir MÁX (,), MÍN (,8) CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INF. 8 f' '( ) No Puntos de ( ) Infleión CORTE CON LOS EJES pr y pr y Solmente cort los ejes en (,) GRÁFICA ) y ln tngente prlel l rect y L pendiente de l rect tngente pedid tiene que ser l mism que l de l rect dd, es decir, por lo que sbemos que f'( ) y tenemos que hllr, pr lo cul derivmos l función e igulmos : y' y ln Rect tngente: y f'( )( ) y y ln y ' 99

27 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS ) L función que hy que optimizr el es áre del rectángulo A y utilicemos lo que sbemos, el rdio es 8 m, luego el diámetro es de 6 m, y por el teorem de Pitágors, tenemos que: y 6 y 6 sustituyendo, tenemos A( ) 6 Derivmos e igulmos cero: ( ) A' ( ) A' ( ) , m Pr, m tenemos un máimo, y que, si estudimos el signo de A vemos que ps de positiv (creciente) negtiv (decreciente). Pr ese vlor de tenemos que y 6 8, m es decir, l solución es un cudrdo de ldo, m. 6) f() b c ) rect tngente y m f'() y tmbién, como es en el (,) f () b) f '() Hllmos l derivd: f '() b f'() b b f() c c f() f'() b

28 MATEMÁTICAS I ºBACHILLERATO CIENCIAS EXAMEN DERIVADAS.- Utilizndo l definición, clcul l función derivd de l función f( ) 7 Cuál es l pendiente de l rect tngente en -?( punto).- Dibuj un función que teng derivd nul en y, derivd negtiv en el intervlo (, ) y positiv pr culquier otro vlor de. ( punto).- Hll ls derivds de ls siguientes funciones: ( puntos) ) y b) y cos sen c) y ln d) y ( ) e.- Hll rzondmente un punto de l función y en el que l rect tngente se prlel l rect de ecución y 7. Hll tmbién l ecución de dich rect tngente. (, puntos).- Encuentr los vlores de y b pr los que l función es continu y derivble en R. si f( ) b si > ( puntos) 6.- Dd l función f( ) b c d. Hll, b, c y d sbiendo que tiene etremos reltivos en (,6) y (-,). (, puntos)

29 MATEMÁTICAS I ºBACHILLERATO CIENCIAS SOLUCIONES f ( h) f ().- f ( ) 7 L función derivd es f '() lim, de h h donde: ( h) ( h) 7 ( 7) h h h 7 f '( ) lim lim h h h h h h h h( h ) lim lim lim( h ) h h h h h L pendiente de l tngente en - será f '( ) ( ) 7.- Un función que cumpl ls crcterístics pedids, tendrá que ser decreciente (derivd negtiv) en el intervlo (-,) y creciente en el resto. Por lo tnto, tendrá un máimo en y un mínimo en, por ejemplo l gráfic de l derech cumple ls condiciones. ( 6 6) ( ).- ) y y' ( ) b) y cos sen sen cos y' ( sen cos) cos sen cos sen c) y ln y' ( )( ) y' ( 9 ) ( ( ) ) 6 6 ( ) d) y ( ) e y' ( ) e ( ) e ( ) y' ( ) e ( 6) e e ( )

30 MATEMÁTICAS I ºBACHILLERATO CIENCIAS.- y tngente prlel y 7, esto signific que tiene l mism pendiente, que es (coeficiente de l ). Luego, hllremos l derivd e igulremos : y ', luego l rect tngente es en el punto de bscis, hllemos l ordend: y Ecución de l rect tngente: y f' ( )( ) f( ) y ( ) y y si.- f( ) b si > es continu y derivble en R { } continu y derivble en (, ) b función polinómic, continu y derivble en R continu y derivble en (, ), luego hbrá que ver qué ps en el punto : f( ) continuidd en : lim lim f( ) f( ) Derivbilidd en : f ( ) y y' lim lim b b b f' ( ) y y' f' ( ) (*) b b b b (*) Luego, l función es continu y derivble en su dominio pr b 6.- f( ) b c d f' ( ) b c f( ) 6 d 6 ps por los puntos (-, ) y (,6) f( ) 8 b c 6 f'( ) c etremos reltivos en y f'( ) b c 8 b 8 b b b b f( ) 6 f'( ) ( )

31 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics EXAMEN DE GEOMETRÍA ANALÍTICA. Ddo el punto A(,-) y l rect r:-y. ) Hll l ecución de un rect prlel r y que pse por A. b) Hll l ecución de un rect perpendiculr r y que pse por A. ( puntos). Hll el simétrico del punto A(-,) respecto de l rect r: y-. ( puntos). Hll el ángulo α que formn ls rects r - y 7 s y - ( punto). Ddos los puntos A(-,), B(,) y C(-,-) ) Hll l ecución de l meditriz del segmento AB. b) Hll l ecución de un rect que se prlel AB y pse por el punto C. ( puntos). Ddo el triángulo de vértices A(-,), B(,), C(,-) ) Hll su áre. b) Hll su perímetro. ( puntos) 6. Comprueb si el cudrilátero ABCD es un prlelogrmo, siendo A(,), B(,), C(,) y D(7,). ( punto) º Bchillerto Ciencis

32 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES. Ddo el punto A(,-) y l rect r:-y. ) Hll l ecución de un rect prlel r y que pse por A. Pendiente de r: m, si es prlel, l pendiente es l mism. Ecución punto pendiente: y y m( ) y ( ) L ecución de l rect pedid es: y b) Hll l ecución de un rect perpendiculr r y que pse por A. Pendiente de un rect perpendiculr: m Ecución punto pendiente: y y m( ) y ( ) 7 L ecución de l rect pedid es: y. Hll el simétrico del punto A(-,) respecto de l rect r: y-. Rect dd en form eplícit: y y m l rect perpendiculr tendrá m Y ps por el punto A, es decir, que su ecución es: y ( ) y L intersección de ls dos rects es el punto M, resolviendo el sistem: y ( ) M(-,) y y este M es el punto medio del segmento AA, siendo A(-,) y A (,y) y y M(, ), ;, y A'(, ) r r - y 7 n(, ). Hll el ángulo α que formn ls rects r s y - n'(, ) r r v r n n' 6 cosα cos n n' ( ) ( n, n' ) r r α 7º '. Ddos los puntos A(-,), B(,) y C(-,-) ) Hll l ecución de l meditriz del segmento AB. º Bchillerto Ciencis

33 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics Necesitmos hllr el punto medio de AB, M M, (, ), l meditriz ps por M y es perpendiculr l rect AB, cuy pendiente es: m, luego l pendiente de l meditriz será (invers y opuest), l ecución de l rect pedid será: y ( ) y b) Hll l ecución de un rect que se prlel AB y pse por el punto C. Si es prlel AB, su pendiente es l mism, es decir m -, y ps por C: y ( ) y. Ddo el triángulo de vértices A(-,), B(,), C(,-) ) Hll su áre. Necesitmos un bse y l ltur correspondiente: bse AB y l ltur será l distnci de C AB. Ecución de AB: m y ( ) y en form implícit: 7 y 7y Bse d( A, B) ( ) ( ) 8 u Altur 8 7( ) d( C, AB) u A 8 u ( 7) 8 b) Hll su perímetro. P d( A, B) d( B, C) d( C, A) d( B, C) ( ) ( ) 8 u d( A, C) ( ) ( ) u P u 6. Comprueb si el cudrilátero ABCD es un prlelogrmo, siendo A(,), B(,), C(,) y D(7,). Pr que se un prlelogrmo los ldos no dycentes tienen que ser prlelos, es decir que, tiene que ser: AB DC y BC AD, lo comprobmos: AB,, ( ) ( ) ( 7, ) ( ) (, ) ( ) ( 7, ) ( ) DC, BC, AD, Comprobdo, es un prlelogrmo º Bchillerto Ciencis

34 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics EXAMEN DE GEOMETRÍA ANALÍTICA. Ddo el triángulo de vértices A(-,), B(-,-), C(,) hll ls ecuciones de sus meditrices. ( puntos). Hll k pr que ls rects de ecuciones: r: ky k s: (k-) y sen perpendiculres. (, puntos).- Ddo el triángulo de vértices A(-,), B(,), C(,-). ) Hll su áre. b) Hll su perímetro. c) Hll el ángulo en A. ( puntos).- Hll el punto simétrico del A(,-) respecto de l rect r: -y. (, puntos)

35 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES. A(-,), B(-,-), C(,) hll ls ecuciones de sus meditrices Ldo AB: punto A(-,), pendiente: m Punto medio M :, M(, ) Pendiente de l perpendiculr: m Ecución de l meditriz del ldo AB: y ( ) y Ldo AC: punto A(-,), pendiente: m Punto medio N :, N(, ) Pendiente de l perpendiculr: m - Ecución de l meditriz del ldo AC: y ( ) y Ldo BC: punto B(-,-), pendiente: m Pendiente de l perpendiculr: - Punto medio P :, P(, ) Ecución de l meditriz del ldo BC: y ( ) y. r: ky k n r (, k) s: (k-) y n r '( k, ) pr que sen perpendiculres ls dos rects tmbién tienen que serlo los vectores normles, es decir, que su producto esclr r r tiene que ser : n n' ( k ) k k k.- A(-,), B(,), C(,-). ) Hll su áre. Pr ello necesitmos un bse y l ltur correspondiente, vmos tomr l bse AC y l ltur BP. d( A, C) ( ) ( ) pr hllr l ltur, necesitmos l ecución de l rect AC, pr después hllr l distnci del punto B dich rect Ecución de AC: punto A(-,) pendiente m y ( ) y y

36 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics b h h d( B, AC) A, u.. b) Hll su perímetro: sum de ls longitudes de sus ldos: ldo AC (hecho ntes) mide (, ) ldo AB: d A B ( ) ( ) 8 ldo BC: d B C ( ) ( ) 8 (, ) P 8 u.l. c) Hll el ángulo en A, necesitmos los vectores de dirección de AC y de AB: AC (, ) (, ) 7 6 cosa AB (, ) ( 7, ) ( ) 7 8 ángulo en A: ˆ 6 A rccos 68º ' Hll el punto simétrico del A(,-) respecto de l rect r: -y. Trzmos l perpendiculr r psndo por A, es l rect que ps por el punto A(,-) y tiene vector de r d, dirección el vector norml de r ( ) t r' y hor hllmos su intersección con y t r (punto P), y este punto es el punto medio del segmento AA, con lo que podremos hllr el punto pedido A 8 t ( t) t 8 t y P P,, 6 6 y 6 y A', y y y

37 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics EXAMEN DE TRIGONOMETRÍA. Resuelve l inecución y los sistems de inecuciones siguientes: < y ) b) c) > ( ) < ( puntos). Obtén el perímetro del cudrilátero de l figur: (, puntos). Sbemos que sen α con α en el primer cudrnte cos β con β en el tercer cudrnte. (, puntos) Sin hllr el vlor de los ángulos y epresndo el resultdo con frcciones y rdicles, clcul: ) sen ( α β) b) tg ( α β) c) cos α d) tg β. Resuelve l ecución: (, puntos) sen cos. Comprueb l identidd: (, puntos) sen sen cos tg cos º Bchillerto Ciencis

38 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES. Resuelve l inecución y los sistems de inecuciones siguientes: y ) gráficmente, representmos > primero ls rects correspondientes, y y, luego los semiplnos solución de cd un de ls inecuciones y ls intersección de mbos semiplnos será l solución del sistem, teniendo en cuent que entr en l solución l semirrect y (en verde) b) < < < < 6 > 6 6 < ( ) < < < > c) - Solución del sistem: [ 6, ) c) estudimos el signo por intervlos: Solución: (, ] U (, ) º Bchillerto Ciencis

39 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics. Obtén el perímetro del cudrilátero de l figur: En el triángulo ABC, tenemos el ángulo B: B ˆ 8º ( º 8º ) 8 º Aplicmos el teorem del seno pr hllr los otros dos ldos del triángulo y d:,, cm senº sen8º, d d 8, 7cm senº sen8º Ahor nos vmos l triángulo ACD, en el que conocemos dos ldos y el ángulo comprendido, plicmos el teorem del coseno pr hllr el ldo c: c 8 8, 7 8 8, 7 cos9º c, cm Perímetro: P 8,,, cm. Sbemos que sen α con α en el primer cudrnte cos β con β en el tercer cudrnte. Empezmos hllndo ls rzones de α y β : 9 6 sen α cos α cosα cosβ sen β 9 senβ 9 ) sen ( α β) senα cosβ senβcosα tgα tgβ tg tgα tgβ b) ( α β) c) cosα cos α sen α tg α tg β d) tg β cosβ β ± ± ± ( está en el II cudrnte) cosβ º Bchillerto Ciencis

40 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics. sen cos sencos cos cos( sen cos) 9º 6º k cos cos k Z 7º 6º k º 6º k sen cos sen cos tg º 6º k. Comprueb ls identiddes: sen sen sen sen cos cos sen cos tg cos sen sen cos cos sen (cos sen ) cos sen cos sen cos sen sencos cos cos cos º Bchillerto Ciencis

41 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics.- Dds ls funciones: f ( ) y ) Clcul fo g, g o f y sus dominios. b) f EXAMEN ANÁLISIS - GEOMETRÍA g( )., y sus dominios. ( puntos) g.- Represent gráficmente ls siguientes funciones (sin utilizr tbl de vlores) y escribe sus crcterístics: ) f( ) b) g( ) log (, puntos) si <.- Represent gráficmente l función: f( ) si < si > ) Escribe sus crcterístics. b) Clcul: lim f( ), lim f( ), lim f( ), lim f( ), lim f( ) c) Estudi su continuidd. (, puntos).- Dibuj rzondmente un función que cumpl ls siguientes condiciones: ) Tiene síntot verticl en y síntot horizontl en y - b) Su Dominio es R {, } c) Cort l eje OX sólo en el punto (,) ( punto).- Ddo el triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(,), B(,-) y C(-,). Clcul: ) Su áre. b) Su perímetro. c) El ángulo en C. d) L ecución de l meditriz del ldo AC. ( puntos) 6.- Determin m y n sbiendo que l rect ny ps por el punto (,) y es prlel l rect m-y. ( punto) Mtemátics I

42 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES.-.- Dds ls funciones: f ( ) y ) Clcul fo g, g o f y sus dominios. ( fo g) ( ) f[ g( ) ] f Dominio: Dom fo g, U, ( ) ( ] ( ) g( ). ( ) [ ] ( ) ( ) g o f ( ) g f( ) g ( ) Dominio: tiene que ser, pero no puede ser porque se nul el denomindor. Dom( g o f) [, ) U (, ) b) f, g y sus dominios. y cmbimos: y despejmos y ( y ) y y f ( ) comprobmos: ( fo f )( ) f[ f ( ) ] f( ) ) Dom( f R, función polinómic y y cmbimos:, despejmos y ( y ) y y y y y y y( ) y g ( ) ( g o g ( ) g g ( ) g : ( ) Dom( g ) R { }, función rcionl ( ).- ) f( ) vmos representr primero comprobmos: ( ) [ ] l prábol y Mir hci bjo. Vértice V (, ) Eje de simetrí ) Corte ejes: eje OY: y Eje OX: Hciendo el vlor bsoluto tenemos l gráfic pedid (en rojo), Continu en R Crcterístics: Dom R ; Rec [ ) Mtemátics I

43 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics Máimo en (, ), Mínimos en (,) y (,). Crecimiento: creciente en (, ) U (, ) y decreciente en (, ) U (, ) b) g( ) log Función logrítmic de bse <, luego es decreciente Su dominio (como todo logritmo) es (, ) Asíntot verticl el eje OY. Ps por (,). L dibujmos:.- ) f( ) si si si resto es continu. < trozo de hipérbol AV < trozo de eponencil de bse > semirrect En f( ) no eiste lim lim > Crcterístics: R, Dom { } Rec ( ), U, Asíntot verticl - Creciente en (, ) U (, ) Decreciente en (, ) U (, ) b) lim f( ), lim f( ), lim f( ), lim f( ) lim f( ), c) Continuidd: tenemos problems en l AV: - y en los puntos de engnche y. Estudiremos l continuidd en esos tres puntos, puesto que en el f( ) Discontinuidd de slto infinito f( ) Mtemátics I

44 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics lim f( ) En f ( ) Discontinuidd de slto finito lim f( ) lim f( ) En f() no eiste lim f( ) Discontinuidd evitble lim f( ).- Dibuj rzondmente un función que cumpl ls siguientes condiciones: ) Tiene síntot verticl en y síntot horizontl en y - b) Su Dominio es R {, } c) Cort l eje OX sólo en el punto (,) Un gráfic serí:.- Ddo el triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(,), B(,-) y C(-,). Clcul: ) Su áre. Necesitmos un bse y l ltur correspondiente, tommos como bse AB y l ltur correspondiente será l distnci del punto C l rect AB. Empezmos hllndo l ecución de l rect AB: Pendiente m y punto A(,) Ecución punto-pendiente: y ( ) y 7 y 7 es l rect AB h d( C, AB) b d( A, B) b) Su perímetro. c d( A, B) ( ) 7 u ( ) ( ) 6 u ( ) ( ) 6 u b h A u Mtemátics I

45 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics b d( A, C) ( ) ( ) d( B, C) ( ) ( ) 6 6 u u P u c) El ángulo en C. Será el ángulo que formn los vectores CA y CB (α) CA (, ), CB (, ), ( ) ; ( ) CA CB ( ) cos α α 9º Triángulo rectángulo CA CB ( ) d) L ecución de l meditriz del ldo AC. Punto medio M, (, ) ( ) AC (, ), meditriz: y y 6.- Determin m y n sbiendo que l rect ny ps por el punto (,) y es prlel l rect m-y. ny ps por el punto (,) n n n luego, l primer rect es -y vector norml (,-) l segund rect es m-y vector norml (m, -) mbos vectores tienen que tener l mism dirección, es decir que m Mtemátics I

46 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics CONTROL ANÁLISIS Abril 9. Clcul: (, puntos) ) lim b) lim c) lim - d) lim - e) lim ( ). Escribe rzondmente y represent gráficmente un función con un discontinuidd evitble en, un síntot horizontl en y - y un síntot verticl en. (, puntos). Hll el vlor de k pr que l siguiente función se continu en - e si f( ) k si > Pr ese vlor de k, represent gráficmente l función f y comprueb que es continu. ( puntos). Estudi l continuidd de l siguiente función y clsific sus discontinuiddes, si ls hy: si < g( ) si ( puntos) si >

47 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES. Clcul: ) lim lim lim b) lim lim ( )( ) ( ) lim ( ) Fctorizmos: ± c) lim lim ( ( )( ) ( )( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ) lim ( )( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) 8 - d) lim - ( ) lim lim lim lim ( )( ) lim e - e lim ( ) e e e) lim ( ) ( )( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) -

48 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics. Asíntot Verticl, nul el denomindor. ( ) f( ) ( )( ) y - Asíntot Horizontl, ( ) lim ( )( ) lim ( ) ( )( ) discontinuidd evitble en, y que no eiste f(), pero si el límite ( ) lim lim ( )( ) ( ) Gráfic proimd: e si eponencil, continu. f( ) k si > cudrátic, continu Continuidd en - lim f( ) lim e e f( ) e e k k lim f( ) lim ( k ) k e si eponencil, creciente f( ) si > prábol,, vértice(, ) Gráfic:

49 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics. g( ) si si si < hipérbol, AV :, AH : y punto(, ) > prábol,, vértice(, ) Hy problems, o puede hberlos en - (AV de l hipérbol), y en -. En el resto, l función es continu. Continuidd en -: lim f( ) No eiste discontinuidd de slto infinito (AV) lim Continuidd en -: f( ) lim lim f( ) f( ) lim lim discontinuidd evitble ( )

50 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics CONTROL ANÁLISIS Myo 9. Clcul l derivd de l función f( ) plicndo l definición. Escribe l ecución de l rect tngente l gráfic de l función f en el punto de bscis -. ( puntos). Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: ( puntos) ) y ln b) y e sen c) cos y d) y rctg sen. Hll el vlor de pr que l siguiente función se continu en R. Es f derivble pr ese vlor de? Rzon l respuest. ( puntos) f( ) si si <. Decide si l siguiente función es continu y derivble en todo su dominio. Si en lgún punto no es continu o derivble o mbs coss, rzónlo. ( punto).- Estudi el crecimiento de l función y. Hll rzondmente sus máimos y/o mínimos. ( puntos)

51 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES. f f( h) f( ) ( ), sbemos que f'( ) lim h h f( h) f( ) ( h) ( h) ( ) h h h f( h) f( ) h h h h( h ) f' ( ) lim lim lim h h h h h h rect tngente en el punto de bscis -: y f( ) f'( ) ( ) f( ) ( ) ( ) ; f' ( ) ( ) y y y ( ). Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: ( ) ( ) ) y ln y' y' ` b) y e sen y' e c) y ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) sen e cos e ( cos sen) cos cos( sen) sen cos cos sen y' sen ( cos ) cos sen cos cos sen y' sen sen d) y rctg y' ( ) ( ). Hll el vlor de pr que l siguiente función se continu en R. Es f derivble pr ese vlor de? Rzon l respuest. si < función cudrátic, continu f( ) si función riz cudrd, continu si Tiene que ser continu en f( ) lim f( ) lim ( ) lim f( ) lim si < Pr, l función es continu en R. f( ) si Derivbilidd: Cd trozo es derivble, unque no lo serí en -, pero no está definid en ese punto. Qued ver, por tnto, si es derivble en

52 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics f '( ) si < si f'( > f'( L función es continu en R y derivble en R { } ) no derivble en ). Decide si l siguiente función es continu y derivble en todo su dominio. Si en lgún punto no es continu o derivble o mbs coss, rzónlo. Dominio R Continu en R Derivbilidd: est función no es derivble en tres puntos: ; -,8 ;,8 (pro) En esos tres puntos ls pendientes de ls rects tngentes por l derech y por l izquierd son diferentes, es decir, ls derivds lterles en cd uno de esos puntos no coinciden..- Estudi el crecimiento de l función y y' 6 ( 6) 6 Creciente en (, ) U (, ) Decreciente en (, ) Máimo en y MÁXIMO (,) Mínimo en y 8 MÍNIMO (,)

53 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics CONTROL ANÁLISIS Myo 9.- Encuentr los vlores de y b pr los que l función b si < f( ) es derivble en R. Pr esos vlores hll f () si (, puntos).- Entre todos los triángulos isósceles de perímetro cm cuál es el de áre máim? ( puntos).- Dd l función: y ( puntos) ) Estudi su continuidd. b) Hll sus síntots. c) Hll sus etremos reltivos. d) Represéntl gráficmente..- Se l función f( ) b c. Hll b y c sbiendo que en los puntos de bscis y l rect tngente es horizontl. (, puntos).- Clcul ls siguientes integrles: ( puntos) ) d 7 b) d

54 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES b si <. f( ) los dos trozos son funciones polinómics, sí que si son continus y derivbles cd uno en el intervlos donde está definido. Pr que se derivble en R flt, por tnto, que se continu y derivble en Continuidd en Derivbilidd en f( ) lim f( ) lim ( b) b b lim f( ) lim ( ). Observndo el dibujo: y, de donde y L función de l que hy que hllr el máimo es el áre: b h h A, pero h y ( ) Por tnto: A 9 Y su derivd A' de donde ó Pr, tenemos un máimo, y que l derivd A ps de positiv (creciente) negtiv (decreciente) Solución: triángulo equilátero de ldo cm.. y ) Continu en R { } b) Asíntots: prtdo b) Verticl: lim, discontinuidd de slto infinito en (ver lim lim Horizontl: lim no tiene Oblicu: y m n m lim ; lim lim Asíntot oblicu: y c) Etremos reltivos:

55 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' Máimo ( ), Mínimo ( ), Representción gráfic:.- Se l función c b f ) (. Hll b y c sbiendo que en los puntos de bscis y l rect tngente es horizontl f f ) '( ; ) ( ' c b f ) '( c b c c b f c f ) ( ' ) '(.- ) d C rctg d d b) d 7 d 7 d d d 7 d d C C ln ln

56 Mtemátics I CONTROL TRIGONOMETRÍA diciembre 8. Resuelve ls siguientes ecuciones: (, puntos) ) b) ( ) c) 9 6. Resuelve los sistems de ecuciones: (, puntos) y y log log y ) b) y log log y. Sbiendo que tg α y que α > π hll ls restntes rzones trigonométrics de α. (epresándols con frcciones y rdicles) (, puntos). Resuelve l ecución: cos sen sen (, puntos). Observmos el punto más lto de un torre bjo un ángulo de 6º sobre l horizontl. Si nos lejmos metros, lo vemos bjo un ángulo de º. A qué ltur se encuentr l torre? (, puntos) 6. Comprueb l identidd: (, puntos) tg cos sec sen 7. Un triángulo isósceles tiene 8 cm de bse y el ángulo dycente es de º. Hll su perímetro y su áre. (, puntos)

57 SOLUCIONES Mtemátics I. Resuelve ls siguientes ecuciones: ) no tiene solución b) m. c. m. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Comprobndo, solo es válid c) 9 6 6, hcemos el cmbio t y tenemos: t t t 6 solución t imposible. Resuelve los sistems de ecuciones: ) y y y sustituimos en l segund ecución y y y y y y y y ( y) y y y y 8 y 8y y comprobmos: si hllmos : y y,solución del sistem:, y log log y log( y) log log log y log b) log log y log log y log log log y y y ( y ) y y y y hllmos : y Solución: ; y

58 Mtemátics I. Sbiendo que tg α y que α > π hll ls restntes rzones trigonométrics de α. Tngente negtiv, el ángulo podrí estr en el segundo o en el curto cudrnte, como es myor de 8º está en el curto cudrnte, es decir seno negtivo y coseno positivo. Vmos clculr ls rzones del ángulo: tg α 9 cos α cosα cos α cos α senα tgα senα tgα cosα cosα cosecα ; sec α ; senα cos α cot α. cos sen sen sen sen sen sen sen sen sen ( sen ) sen rcsen( ) º 6º k 8º 6º k k Z rcsen( ) imposible. Tenemos dos triángulos rectángulos, plnteremos un sistem de ecuciones: tg 6º y tg º y, y, 69( y ), y, 69y 97,, y 97, y 69, 9, y, 9, 9, m mide l torre tg cos 6. Comprueb l identidd: sec sen sen tg sen sec cos sen cos sec sec cos cos ( )( ) sen sen cos cos sen cos cos cos cos cos

59 Mtemátics I 7. Un triángulo isósceles tiene 8 cm de bse y el ángulo dycente es de º. Hll su perímetro y su áre. Se formn dos triángulos rectángulos, de ángulos gudos º y º (complementrio), y un cteto de cm cos º 6, cm cosº Tmbién necesitmos l ltur c, pr hllr el áre: c tg º c tgº, 77cm Perímetro: P 8 6,, cm Áre: A 9, 8cm

60 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics EXAMEN FINAL Junio 9 ÁLGEBRA. Resuelve ls inecuciones ) 9 b). Resuelve ls ecuciones: log log( ) ) b) 9 7 log( ). Resuelve ls ecuciones: ) ( ) b). Resuelve los sistems de inecuciones: 6 8 > ) b) ( ) y. ) Oper y simplific, rcionlizndo en su cso: y z b) Resuelve por el método de Guss el sistem: y z y 7z TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA. Si es un ángulo del segundo cudrnte cuy tngente es y b es un ángulo del tercer cudrnte cuyo coseno es. Hll medinte fórmuls: ) Ls restntes rzones trigonométrics de y b. b) cos( b) c) tg. Resuelve l ecución sen cosec. Ddo el triángulo de vértices A (, ), B ( 8, 8) y C (, ), se pide: ) Longitud del ldo AB. b) Longitud de l ltur que prte del vértice C. c) Áre del triángulo.. Clcul los metros de vll necesrios pr cercr l finc representd en el siguiente dibujo, sí como l superficie de dich finc.. Hll el punto simétrico del punto A(, ) respecto de l rect r: y

61 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics ANÁLISIS. Dd l función f( ) ) Estudi su continuidd y hll sus síntots b) Estudi su crecimiento y hll sus etremos c) Represéntl gráficmente. Se dispone de m de lmbrd. Qué dimensiones debe tener el rectángulo de myor áre que puede roderse con ést lmbrd?. Clcul: ) lim b) lim 7. Clcul ls ecuciones de ls rect tngente y norml l gráfic de f( ) en el punto de bscis.. Clcul ls derivds de ls funciones: ) f( ) ln b) f( ) e rccos 6 ALUMNOS CON UN BLOQUE: LOS EJERCICIOS DEL MISMO. ALUMNOS CON DOS BLOQUES: LOS PRIMEROS DE CADA BLOQUE. ALUMNOS CON TRES BLOQUES: LOS PRIMEROS DE ÁLGEBRA Y DE TRIGONOMETRÍA-GEOMETRÍA Y LOS PRIMEROS DE ANÁLISIS. TODOS LOS EJERCICIOS PUNTUAN IGUAL

62 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics ÁLGEBRA. ) 9 SOLUCIONES Solución: (, ) U [, 6] b) 9 Solución:, ( ). ) log log ( log log ) log( log( ) ) log ( ) log( ) ± 6 ± 8 Ambs soluciones son válids 6 6 b) z 7 z z 7 z 7 7 ± 8 ± z ln z 7 ln 7 ln ln7. ) m.c.m. ( )( ) ( ( ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 6 6 b) 6 ( ) ( ) Comprobción: Válid No válid 6 8 ( )( ) ( )( ). ) ( )

63 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics Solución de l primer ecución: (, ) Solución de l segund ecución:, Solución del sistem: φ (l intersección de mbs soluciones) > b) representmos ls y rects: y señlmos los y semiplnos que corresponden cd inecución, l intersección de mbos semiplnos es l solución del sistem (en rojo, en l solución tmbién entr el segmento correspondiente l segund rect) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). ) y z b) Resuelve por el método de Guss el sistem: y z E E y 7z y z y z E E y z y z y z E E E E y 7z y z y z Sistem comptible indetermindo, llmmos t z t Solución: y t dándole vlores t obtendrímos ls distints soluciones z t TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA. Si tg - ( II cudrnte) y cos b ( b III cudrnte). ) Ls restntes rzones trigonométrics de y b: tg cos cos cos cos sen cos sen sen sen

64 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics sen b cos b sen b senb tg b b) cos( b) coscosb sen senb c) cos tg ± ± cos positiv, y que el ángulo mitd de estrá en el primer cudrnte. sen cosec sen sen sen sen ± 8 sen sen sen rcsen( ) 9º 6º k º 6º k rcsen º 6º k k Z ± C,, se pide: ) Longitud del ldo AB. d( A, B) ( 8 ) ( 8 ) 7 6 u b) Longitud de l ltur que prte del vértice C Hllmos primero l ecución de l ltur (CP): r r dab ( 6, 6) dcp (, ) y ps por C(,) y y el punto P será l intersección de ls rects CP y y AB: y 6 6 y y 7, y 7 y P(7,7), longitud de l ltur: d( C, P) ( 7 ) ( 7 ) 8 b h 6 c) Áre del triángulo: A 8u. Ddo el triángulo de vértices A (, ), B ( 8, 8) y ( ). Clcul los metros de vll necesrios pr cercr l finc representd en el siguiente dibujo, sí como l superficie de dich finc. A º, B º C 8 6 º plicmos el teorem de los senos: sena b senb c senc u

65 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics 79, m senº senº b b 6, 7m senº senº Metros de vll: 79,6,789,7 Pr hllr l superficie, necesitmos un ltur, vmos clculr l correspondiente h l vértice B: sen º h senº, 7m 6, 7, 7 A. 6, 8m. Hll el punto simétrico del punto A(, ) respecto de l rect r: y hllmos primero l ecución de un rect s perpendiculr l dd y que pse por r r y A: d r (, ) d s (, ) s 6 y y 6 Ahor hllmos el punto P, intersección de mbs rects, que será el punto medio del segmento AA (siendo A el simétrico de A, es decir, el punto pedido) y y 9 9 y y 6 y 8 9 y P,, A ', y y ANÁLISIS. Dd l función f( ) Continuidd y síntots: f es continu en R { } 6 lim Asíntot verticl: lim A.Verticl 6 lim Asíntot horizontl: lim no tiene Asíntot oblicu: y m n m lim n lim lim lim y ( ) 8 Crecimiento y etremos: f' ( ) ( 8) ( ) ( )

66 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics Posibles etremos: ( 8) 8 Máimo (,) AV Mínimo (8,6). Se dispone de m de lmbrd. Qué dimensiones debe tener el rectángulo de myor áre que puede roderse con ést lmbrd? Perímetro y y y L función que hy que mimizr es el áre del rectángulo: f( ) A y f ( ) ( ) f '( ) El áre es máim pr y Solución: El rectángulo de áre máim es un cudrdo de metros de ldo. ) lim ( ) lim lim lim lim e e 7 ( 7 )( 7 ) b) lim lim ( )( 7 ) ( ) lim lim ( )( 7 ) ( 7 ) 6 ( 7 9) lim ( )( 7 ). Clcul ls ecuciones de ls rect tngente y norml l gráfic de ( ) f( ) en el punto de bscis f'( ) ( ) ( )

67 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics Rect tngente: ) )( '( ) ( f f y y y ) ( Rect norml: ) ( ) '( ) ( f f y y y ) (. Clcul ls derivds de ls funciones: ) ( ) 6 f ln f ) ( ) ( ) ( ) '( ) )( ( ) ( ) '( f b) e f rccos ) ( e e f rccos ) ( ' e f rccos ) ( '

68 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS EXAMEN FUNCIONES.- Dds ls funciones: f() ; g() ; h () ln ) Clcul los dominios de f, g y h. b) Clcul l función invers de g. c) Clcul f o g, g o f, h o f y sus dominios.- Clcul los siguientes límites (en cso de no eistir, eplic por qué): ) lim b) lim c) lim - - d) lim 6.- Encuentr rzondmente l epresión nlític de un función rcionl que cumpl: ) Tiene un discontinuidd evitble en b) Tiene síntots verticles en y - c) Tiene síntot horizontl en y d) Hz un representción gráfic proimd de dich función..- Dd l función: si f() si < < m si Estudi su continuidd y hll m pr que se continu en.- Represent gráficmente l función eprésl como función trozos. f(). Hll su dominio y su recorrido y PUNTUACIÓN: PUNTOS CADA EJERCICIO

69 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS SOLUCIONES.- Dds ls funciones: f() ; g() ; h () ln ) dominios de f, g y h. f() Dom(f), [ ) g() Dom(g) R { } h () ln > > Dom(h) (, ) y b)función invers de g: y y y y y y y( ) y g () 6 f ( 7) 7 Dom f o g 7, c) (f o g)() f[ g() ] ( ) [ ) (g o f)() g f() Dom(g o f) [, ) [ ] g[ ] ( h o f)() h[ f() ] h( ) ln Dom(h o f) (, ) 7,.- ) lim ( )( ) lim ( )( ) ( )( ) lim lim ( ) 8 ( )( ) lim 9 ( ) ( )( ) b) lim ( ) lim lim lim c) lim - d) lim límite - ( 6 ) e lim lim lim e lim 6 6 e lim ()() e lim no eiste No e e eiste

70 MATEMÁTICAS I.- ) Discontinuidd evitble en ( ) ( ) A.V. en y - ( ) ( )( )( ) A.H. en y ( ) ( )( )( ) º BACHILLERATO CIENCIAS si continu en (, ) U (, ), rcionl.- f() si < < continu en (, ), rcionl m si continu en (, ) Hbrá que estudir l continuidd en -, -, En - lim f( ) no eiste lim tenemos un lim discontinuidd de slto infinito, es decir un síntot verticl de rms divergentes En - lim f() lim f( ) lim f() tenemos un lim f() lim discontinuidd de slto infinito en - En f() m lim f() lim f() lim lim f() lim (m ) m ( )( ) lim ( )( ) 7 pr que se continu en tiene que ser m m m

71 MATEMÁTICAS I.- f() empezmos representndo gráficmente l hipérbol y que tiene l síntot verticl en y l síntot horizontl en y, dibujmos su gráfic º BACHILLERATO CIENCIAS y psmos l prte negtiv (debjo del eje OX) positiv ( l hcer el vlor bsoluto) Dom(f) Re c(f) R R {} {} > f () si < si < si >

72 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS CONTROL FUNCIONES.- Hll rzondmente el dominio de ls siguientes funciones: (, puntos) ) f() 9 b) g() ln( ) c) h().- Dds ls funciones: f() y g() Hll: ) fog, gof y sus dominios. (, puntos) b) f - y g - y sus dominios ( punto).- Represent gráficmente y hll el dominio y el recorrido de ls funciones: si ) f() 6 b) g () (, puntos cd un) si >.- Dds ls funciones f() y g() log ( puntos) ) Escribe ls crcterístics de cd un de ells. b) Represéntls gráficmente en el mismo sistem de referenci. c) Qué relción hy entre ells?

73 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS SOLUCIONES.- ) f() l ríz cúbic no tiene problems, sólo hbrá problems cundo se 9 nule el denomindor 9 ± Dom(f) R, { } ln, l función logrítmic tiene dominio (, ) b) g() ( ) resolver l inecución > ( )( ) > ( ), luego hbrá que Dom(g) (, ) c) h() tiene que cumplirse Dom(h), (, ] U.- ) f() y g() f o g () f g() f ( ) ( ) ( f )() g( f() ) g( ) Dom(f o g) g o (, ) Dom (g o f), U (, [ ) ) b) f() y y y f () Dom(f ) R y g() y y y y y y ( ) y y g () Dom(g ) R {} 6.- ) f() y 6 prábol, mir hci bjo. 6 Vértice V(,) Corte ejes: si si si < >

74 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS Eje OY (, ) Eje OX 6 Dom(f) R Re c(f) [, ) si b) g () l gráfic si > será un trozo de hipérbol, un segmento y un semirrect, vmos dibujrl: L hipérbol tiene l síntot horizontl en el eje OX y l verticl en, pr dibujr l semirrect le dmos un pr de vlores. Dom(g) R {} (,) [ ) Re c(g) U,.- f() g() log R, Re c, Dom, Re c Dom ( ) ( ) R Ps por (,) y, Ps por (,) y, Es decreciente en su dominio Asíntot horizontl eje OX (dch) Es decreciente en su dominio Asíntot verticl eje OY Ls gráfics de mbs funciones están hechs en el libro de teto. Ests funciones son INVERSAS o RECÍPROCAS.

75 Mtemátics I IES MURILLO EXAMEN GLOBAL TRIGONOMETRÍA π.- Sen y b dos ángulos tles que cos siendo < < π y tg b π siendo π < b <. Hll, sin utilizr l clculdor: sen( b), cos( b), tg, cot( b) ( puntos).- Resuelve l ecución: cos sen (, puntos).- L longitud del ldo de un octógono regulr es de 8 m. Hll los rdios de ls circunferencis inscrit y circunscrit. (, puntos).- Epres cos en función de sen y cos. (, puntos).- Comprueb l identidd: tg sen tg sen (, puntos) 6.- Hll el vlor de l epresión siguiente sin utilizr l clculdor y escribiendo todos los vlores en form de frcción: π sen º tg π cos sen º ( punto) π sen cosº 7.- Oper y simplific: (, puntos) ) ( i) ( i)( i) i b) i

76 Mtemátics I IES MURILLO SOLUCIONES π.- cos siendo < < π sen sen 9 π tg b siendo π < b < b cos, sen b cos b sen( b) sen cosb cos sen b 6 cos( b) coscosb sen sen b 8 cos tg ± ± ± ( es del curto cudrnte, luego su cos mitd está en el segundo cudrnte, tngente negtiv) cot( b) tg b 9 tg b 7 6 : tg b 6.- cos sen cos sen sen sen sen sen sen sen sen sen ( sen ) sen sen lo segundo es imposible, luego l solución es: º 6º k rcsen 8º 6º k.- Triángulo ABC (isósceles), el ldo es el de l circunferenci circunscrit y l ltur y es el rdio de l circunferenci inscrit: Ángulo en A: 6 º º, Ldo BC 8 m 8 8 Ángulos B y C: 67º' BC 8 sen 67º ' Teorem del seno:, m sen º sen 67º ' sen º Como l mitd del triángulo ABC es un triángulo rectángulo, podemos hcer: y tg 67º ' y tg 67º ' 9, 66m.- cos cos( ) coscos sen sen cos( cos sen ) sen ( sen cos) cos cos sen sen cos cos sen cos 7

77 Mtemátics I IES MURILLO.- º cos º cos º sen sen tg sen π π π ( )( ) ( )( ) sen tg sen tg sen sen sen cos cos sen sen sen sen cos cos cos sen sen cos cos ) cos ( 7.- ) ( ) ) )( ( i i i i i i i i i i i i b) ( )( ) ( )( ) i 7 7i i i i 6i i i i i i i ) ( ) (

78 GLOBAL ÁLGEBRA Noviembre 8 MATEMÁTICAS.- Resuelve ls ecuciones: ) b) ( punto) ( punto) c) ( 7)( 7 8) (,7 puntos) d) log( ) log( ) log (,7 puntos).- Resuelve ls inecuciones: (, puntos) ) b).- Resuelve los sistems de ecuciones: ( puntos) y 9 y ) b) y log log y log.- Resuelve los sistems de inecuciones: ( puntos) y ) b) 6 < y <.- Un cjero utomático contiene 9 billetes de, y euros, lo que supone un totl de. Si el número de billetes de es el doble del número de billetes de. Averigu cuántos billetes hy de cd tipo. Aplicndo el método de Guss. ( punto)

79 SOLUCIONES MATEMÁTICAS. ) m. c. m. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 8 ± Solución ( no es válido) b) ( ) 7 hcemos el cmbio t t 6t t t t t ± ± 7t t t Solución imposible c) 7 ( 7)( 7 7 8) 7 8 z 7 ± 7z 8 z 89 7 ± 9 z 7 Soluciones:, 9, 9 log log log log log( ) log( ) d) ( ) ( ) log log( ) Solución ( no es válido) ± ± 9.- Resuelve ls inecuciones: ) Solución:, U, ( ] [ )

80 MATEMÁTICAS b) sistem 6 Solución: [ ],.- Resuelve los sistems de ecuciones: ) y 9 y Por sustitución: 9 y 9 ( ) ( ) ( ) comprobmos: 8 8 sólo un vlor de es válido Y hor clculmos 9 9 y, Solución:, y b) y y log log log ( ) y y y y y y y log log y y y y y (no puede ser negtivo) Hllemos hor : y Solución: y.- Resuelve los sistems de inecuciones: ) < 6 < 6 ) ( [ ] <, :, : ) ( 9 sol sol 9 L solución del sistem será l intersección de ls dos soluciones, es decir: No hy intersección. Solución: φ

81 y y y b) representmos y < y y ls dos rects y hllmos los semiplnos solución de cd inecución, l intersección de los dos será l solución del sistem, que es l zon en mrillo, entrndo l semirrect correspondiente y y no entrndo l otr. MATEMÁTICAS.- Un cjero utomático contiene 9 billetes de, y euros, lo que supone un totl de. Si el número de billetes de es el doble del número de billetes de. Averigu cuántos billetes hy de cd tipo. Aplicndo el método de Guss. billetes de y z 9 y z 9 y billetes de y z y z z billetes de y y y z 9 y z 9 y z 9 E E E E y 7 y 7 y y y y 7 7 y z 9 z Solución: Hy billetes de, billetes de y billetes de.

82 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics GLOBAL ANÁLISIS Junio 9 ) Clcul los siguientes límites: (, puntos) ) lim 6 b) lim c) lim - ). Hll ls derivds de ls funciones siguientes: ( punto) e ) y ln b) y rcsen( ) e ) Hll l ecución de l prábol y b c tngente l rect y que ps por el punto ( ) en el punto B(, ). ( punto) A, y es ) Estudi l continuidd y l derivbilidd de l siguiente función y represéntl gráficmente: si < f ( ) si < (, puntos) si ) Dd l función f( ), se pide: ( puntos) () Dominio y síntots. (b) Intervlos de crecimiento y cálculo de máimos y mínimos. (c) Representción gráfic. 6). Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenus 8 cm encuentr el de áre máim. (, puntos) 7) Clcul ls siguientes integrles: (, puntos) 6 d 6 ; d ; cos ( ) d

83 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES ) ) lim 6 ( ) 6 6 lim lim 6 ( )( )( ) b) lim lim ( )( )( ) 6 6 ( ) lim ( ) c) - lim ( ) lim e * lim e * lim e * e ) ) y ln e e e y' e e e b) y rcsen( ) y' e e e e e e e e ( e ) ( e ( e ) e ( e ) ( e )( e ) e y' ( ) ) e ) Hll l ecución de l prábol y b c tngente l rect y que ps por el punto ( ) en el punto B(, ). y ' b f ( ) c c tngente y f '( ) m ( ) b ps por B( ), f( ) ( ) b( ) b b b b b prábol y A, y es

84 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics ) si < hipérbol, continu y derivble en (, ) {} f ( ) si < polinómic, continu y derivble en (, ) si cons tn te, continu y derivble en (, ) hbrá que estudir, por tnto, l continuidd y derivbilidd en los puntos, y Continuidd en f( ) no eiste lim discontinuidd de slto infinito en no derivble lim Continuidd en f( ) si < ( ) lim f( ) lim continu en ; f' ( ) si < < si > lim f( ) lim ( ) Derivbilidd en f'( ) ( ) No es derivble en (derivds lterles distints) f'( ) Continuidd en f( ) lim f( ) lim ( ) 7 discontinuidd de slto finito en ; no derivble lim f( ) lim Continu en R {, } y Derivble en R {,, }

85 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics ) f ) ( ) Dominio y síntots: Función rcionl, { } R Dom, Continu en su dominio. Asíntots: Verticles: lim lim ; lim lim Horizontl: y lim b) Intervlos de crecimiento y cálculo de máimos y mínimos. 6 6 f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c) Representción gráfic

86 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics 6). Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenus 8 cm encuentr el de áre máim. y A pero sbemos que 8 y 6 de donde y 6 f( ) ( ) f ( ) ± 6 L negtiv no vle, por ser un longitud, y vemos que pr vlores de menores de l función derivd es positiv, o se f es creciente y pr vlores de myores que l función derivd es negtiv, o se f es decreciente, con lo que pr el áre del triángulo es máim. Solución: el áre es máim pr y, es decir cundo el triángulo es rectángulo isósceles de ctetos cm

87 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics 7) 6 d d d rcsen C 6 ln 6 d d d d 6 d ( ) 6rctg C cos ( ) cos ( ) d cos( ) d sen( ) C d

88 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics GLOBAL TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA 9-II-9 ) Clcul el bricentro (punto donde se cortn ls medins) del triángulo cuyos C, 7. vértices son A (, ), B (, ) y ( ) ( puntos) ) Ddos el punto ( ) P, y l rect r : y, se pide: () Distnci del punto P l rect r. (b) Punto simétrico de P respecto de r. ( puntos) ) Sbiendo que er sen α, cos β, α cudrnte, β º cudrnte, clcul: β sen ( α), cos, tg ( β) y sen ( α β) (, puntos) ) Sin hcer uso de l clculdor, resuelve un triángulo ABC (clcul sus ldos, sus ángulos y su áre), siendo: A ˆ º ; B ˆ º y c cm. (, puntos) y t ) Dds ls rects r y s, se pide: y t () Averigu su posición reltiv. (b) Si se cortn, clcul ls coordends del punto de corte y el ángulo que formn y, si son prlels, clcul l distnci entre ells. ( puntos) 6) Resuelve l ecución: cos sen sen ( punto)

89 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics ) triángulo cuyos vértices son A (, ), ( ) SOLUCIONES B, y C (, 7). Empezmos hllndo los puntos medios de los ldos: P, (, ) 7 Q, (, ) 7 R, (, ) Ahor, ls ecuciones de ls tres medins: Medin del ldo AB, ps por C(,7) y r P(,) d CP (, ) y r Medin del ldo BC, ps por A(,) y Q(,), d AQ (, ) y y y r Medin del ldo AC, ps por B(,) y R(,), d BR (, ) y y y Pr hllr el bricentro M, hbrá que resolver el sistem: y y y y M, Bricentro y y y ) punto ( ) P, y l rect r : y, se pide: () Distnci del punto P l rect r. Hllmos l ecución de l rect que ps por P y es perpendiculr r: v r Vector dirección de r: d (, ) e(, ) y y 6 y y hor, hllmos el punto M (intersección de est rect con l dd r): y y ( y) y y 6 y y M, y

90 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics d( P, r) d( P, M) u.. l (b) Punto simétrico de P respecto de r. P es el simétrico de P respecto de r, luego M es el punto medio del segmento PP : 8 P(, ), M,, P'(, y) y y 6 y P, Simétrico de P respecto de l rect r ) Vmos hllr primero ls restntes rzones: er sen α, α cudrnte cos α cosα, 9 9 cos β, β º cudrnte sen β sen β, tg β 6 6 sen( α) sen α cos α 9 β cosβ cos β ± ( está en el º cud) 8 tgβ tg( β) tg β ( ) 7 sen( α β) sen α cos β sen βcosα ) A ˆ º ; B ˆ º y c cm C ˆ 8 ( ) º b Teorem del seno: sen º sen º sen sen( 6) b 6 6 cm 6 ( sen º sen º )cm Pr hllr l ltur, nos fijmos en el triángulo rectángulo de l izquierd:

91 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics h sen º h sen º A cm Áre: ( ) ( 6 ) ( ) cm y t ) Dds ls rects r y s, se pide: y t () Averigu su posición reltiv. Ls ponemos en form generl: r y ; s: t ; t y y y ls rects son secntes (b) Si se cortn, clcul ls coordends del punto de corte y el ángulo que formn y, si son prlels, clcul l distnci entre ells. Hllmos el punto de corte: y sumndo (reducción): y y y se cortn en el punto (,) ( ) ángulo que formn: cosα α 9º Perpendiculres ( ) 6) cos sen sen cos sen sen sen sen ± sen sen sen sen ± 6sen º 6º k rcsen k Z º 6º k 99º 8' 6º k rcsen k Z º ' 6 º k sen

92 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS EXAMEN INTEGRALES Clcul ls siguientes integrles: ) d ) 6 d ) cos d ) tg d e d ) ( ) 6) rctg d 7) sen cos d 8) ln d 9) ( ) d ) e sen d PUNTUACIÓN: punto cd integrl

93 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS SOLUCIONES ) d d d rctg C ) 6 d d d rcsen C ) cos d cos d u cos du sen d dv cos d v sen cos cos sen ( sen ) d sen () () sen cos sen d sen cos ( cos ) d cos d sen cos cos d d cos sen cos sen cos cos d C sen cos ) tg d d d d d cos cos cos d tg C cos d e e e d u du d u du d u du d dv e d v e dv e d v e dv e d v e ( ) e d ( ) e e 6[ e e d] ( ) e d e e 6 e 6e C 6 e ) ( ) e ( ) e e d ( ) [ ] ( ) ( ) C 6) rctg d rctg d rctg d du d u rctg ( ) dv d v rctg d rctg d rctg d ( ) d rctg d ( )

94 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS rctg d rctg rctg C 8 rctg C 8 7) sen t cos d t dt C t sen dt cos d sen C ln 8) ln d ln ( ln ) d ln ln ln d d (*) ln d ln u ln du d dv ln d u ln du d v ln d (*) dv d v ln d ln ln ln C ln ln C d ( ) d tdt t dt t dt ( )d ( )d 9) ( ) t ( ) d C t C ( ) C ) e sen d e cos e cos d du e d u e du e d u e dv sen d v cos dv cos d v sen e cos e sen e sen d Llmmos I e sen d y tenemos que: I e cos e 6 7I e cos 6 6 I sen I I e cos e sen I e cos e e sen sen C

95 EXAMEN NÚMEROS REALES. º BACHILLERATO CIENCIAS Los resultdos deben drse de form ect Se tendrá en cuent l presentción y limpiez del ejercicio Trt de justificr siempre tus respuests Pregunt ( puntos). ) Define el concepto de logritmo en bse de un número P. b) Si sbemos que en ciert bse b se tiene que log b ( ), que logb ( ) y que 7 log b ( ), clcul log b c) Clcul usndo l clculdor log. Especific l propiedd utilizd. Pregunt (, puntos). Rcionliz y simplific, ls siguientes epresiones. b ) b b b) Pregunt ( puntos). ) Indic el intervlo que result de ([, ) ( 6, 7) ) I [, 6] U Está el 6 incluido? b) Represent gráficmente el conjunto A R / <,. Escríbelo tmbién en form de intervlo. Pregunt (, puntos). Simplific ls siguientes epresiones: ) b) b b, b b b

96 SOLUCIONES Pregunt ) Define el concepto de logritmo en bse de un número P. Se llm logritmo en bse de un número P l eponente l que hy que elevr pr obtener P log P P b) log b ( ), que logb ( ) y que log b ( ) 7 log b log b 7 logb logb ( ) logb log b logb logb logb logb logb ( ) 9 c) Clcul usndo l clculdor log. Especific l propiedd utilizd. log log, 98 Propiedd log logp log P log Pregunt Rcionliz y simplific, ls siguientes epresiones. ) b b b b b b b b ( b) ( ) ( )( b) b b b ( b) ( b) b( b b) b( b b) b ( b b) b ( b) ( b) b b) b) b ( ) ( ) Pregunt b b b b ) Indic el intervlo que result de ([, ) U ( 6, 7) ) I [, 6] [ ) b, Está el 6 incluido? NO

97 b) A R / <, <,, < <,, 7 < <, Pregunt Simplific ls siguientes epresiones: ) b) b b, b b b b b, b b b b b b b b ( ) b ( ) b b

98 Mtemátics I IES MURILLO RECUPERACIÓN TRIGONOMETRÍA.- Dibuj en l circunferenci goniométric el ángulo tl que sen -/ con 8 º < <7 º. Si demás conocemos sec b - con 9 º < b <8 º. Sin utilizr l clculdor, hll: sen ( - b), cos( b), tg y cotg(b/) (, puntos).-sbiendo que es un ángulo del tercer cudrnte cuyo coseno es -/. Clcul sin utilizr l clculdor y utilizndo ls fórmuls: tg ( puntos).- Pr clculr l distnci desde dos puntos A y B otro punto O situdo l otro ldo del río, se hn hecho ls medids que se indicn en el dibujo djunto. Clcul ls distncis OA y OB. ( puntos).- Comprueb l identidd: tg sen sen sen sen (,7 puntos).- Resuelve l ecución: cos cos cos (,7 puntos)

99 Mtemátics I IES MURILLO SOLUCIONES.- Dibuj en l circunferenci goniométric el ángulo tl que sen -/ con 8 º < <7 º. Hllmos el coseno y l tngente: 8 sen cos cos cos tg 9 sec b - con 9 º < b <8 º cosb sen b cos b sen b sen b tg b sen( b) sen cosb sen b cos 6 cos( b) cos cosb sen sen b 6 tg 7 tg : tg b cosb cot ± (primer cudrnte) b b tg cos.- es un ángulo del tercer cudrnte cuyo coseno es -/ necesitmos l tngente de : 9 tg tg tg cos y tmbién necesitmos l tngente de : tg tg : tg tg tg tg tg tg( ) tg tg tg 6 ( ) (

100 Mtemátics I IES MURILLO.- En el triángulo OAB, necesitmos lgún ángulo, pr ello vmos utilizr el teorem del coseno en el triángulo ABC: cosabc ˆ 9 cos ABC ˆ 9 98 cos ˆ 9 98 ABC, ABC ˆ 7º 9 O BA ˆ 8º 7º 8 º Hllemos hor el ángulo BAC ˆ teorem de los senos: 98 ˆ sen 7 sen BAC BAC ˆ 9º ' sen BAC ˆ sen 7º 98 luego, el ángulo B AO ˆ 9º 9º ' º ' Y podemos hllr el ángulo en O 8 º 8º º ' º ' Ahor, plicndo el teorem de los senos en el triángulo OAB, tendremos ls 9 OB OA distncis pedids: sen º ' sen º ' sen 8º 9sen º ' 9sen 8º OB 97, 79m OA 6, 79m sen º ' sen º '.- tg sen sen sen sen cos sen cos sen cos ± cos cos cos ( cos) ( cos) sen sen cos sen sen cos.- cos cos cos cos sen cos ( ) cos cos cos sen cos cos cos( cos ) cos cos cos cos cos cos cos cos cos 9º 6º k cos 7º 6º k ( cos cos ) cos ± 8 cos ± k Z 68º ' 6k 9º 8' 6k

101 EXAMEN DE MATEMÁTICAS º BACHILLERATO - RECUPERACIÓN TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA 8-V-9 ) Sbiendo que er sen α, cos β, α cudrnte, β º cudrnte, clcul: α β α tg β sen ( ), cos ( ) y ( ) ) Sin hcer uso de l clculdor, resuelve un triángulo ABC (clcul sus ldos, sus ángulos y su áre), siendo: o A ˆ o, B ˆ 6 y b cm (Si hces uso de l clculdor, este ejercicio se vlorrá con punto ) ) Resuelve l siguiente ecución: cos sen ) Hll el simétrico del punto P(, ) respecto de l rect r : y. ) Ddos los puntos A(-,), B(,) y C(-,-) ) Hll l ecución de l meditriz del segmento AB. b) Hll l ecución de un rect que se prlel AB y pse por el punto C. Puntución: puntos cd ejercicio

102 SOLUCIONES er ) sen α, cos β, α cudrnte, β º cudrnte sen α cos α cosα 6 cosβ sen β senβ tgβ 9 sen( α β) senα cosβ senβcosα 7 cos ( α) cos α sen α tgβ tg( β ) tg β ) o A ˆ o, B 6 b cm C ˆ 8 ( 6) 7 º Teorem del seno: b sen º sena senb sen6º cm sen7º sen( ) sen cos sencos 6 c b sen7º 6 c cm senc senb sen6º h 6 Áre: Hllmos primero l ltur h: sen h cm b 6 6 c h 6 A cm 8 6 ) cos sen ( sen ) sen sen sen º 6º k ± k sen º º k Z 9º 6º k

103 ) Hll el simétrico del punto P(, ) respecto de l rect r : y. Hllremos primero l ecución de l rect perpendiculr r, psndo por P: Vector director de r (, ), vector perpendiculr (, ) Rect perpendiculr: y y y Resolvemos hor el sistem formdo por ls dos rects, pr hllr su punto de corte M: y y y y 7 7 y y M, M es el punto medio del segmento PP, luego, si P (,b): 7 7 Punto simétrico: P ', b 7 b b ) Ddos los puntos A(-,), B(,) y C(-,-) ) Hll l ecución de l meditriz del segmento AB. r Punto medio de AB: M, (, ), dirección AB: d (, ) (, ) (, ) Vector perpendiculr (l meditriz es perpendiculr por el punto medio): (,) y Ecución de l meditriz: y b) Hll l ecución de un rect que se prlel AB y pse por el punto C. r dirección AB: d (, ) (, ) (, ), punto C(-,-) y y y

104 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics RECUPERACIÓN BLOQUE ÁLGEBRA.- Hll, sin hcer uso de l clculdor, el vlor de los siguientes logritmos, sbiendo que ln k, : ln ( k ) e ln ( punto) k.- Rcionliz y oper: ( punto).- En un progresión geométric n sbemos que su primer término tiene como vlor 8 y que l sum de sus infinitos términos vle. ) Hll el término generl de l sucesión. b) Clcul l sum de los doce primeros términos. c) Clcul l sum de los términos en delnte. (, puntos).- Resuelve ls ecuciones: ( puntos) ) b) c) 6 d) log( ) log( ) log log( ).- Clsific y resuelve, si es posible, el sistem de ecuciones: y z y z ( punto) y z 6.- Hll l solución, si eiste, del siguiente sistem de inecuciones: (, puntos) ( ) º Bchillerto Ciencis

105 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics º Bchillerto Ciencis SOLUCIONES.- k, ln : ( ) k ln k k,, ln ln k e ln k e k e,, ln ln ln ln.- Rcionliz y oper: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) y S ) Hll el término generl de l sucesión: r 8 r S 8 r ) ( 8 r 8 r n n n n r b) Clcul l sum de los doce primeros términos: r r S S, c) Clcul l sum de los términos en delnte S S ),,.- Resuelve ls ecuciones: ) ( ) ( ) 6 Comprobción: b) hcemos el cmbio z 7 z 7 z z 7 ± 7 7

106 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics z 7 z c) ± 6 Soluciones:,,, [( )( ) ] log( ) d) log( ) log( ) log log( ) log ( ) Solo es válid l solución (pr, slen log( ) y log( ) eisten), que no y z y z y z.- y z E E y z E E y z y z y z y z y z E E y z SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO 6.- Hll l solución, si eiste, del siguiente sistem de inecuciones: 6 ± ( ) Sol :, I, [ ] [ ) φ Solución del sistem: φ,no tiene, y que no hy puntos comunes. º Bchillerto Ciencis

107 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS RECUPERACIÓN ANÁLISIS si < ) Represent gráficmente l función f( ) sin hcer tbl de si vlores, hll su dominio y recorrido y estudi su continuidd. (, puntos) ) Clcul ls siguientes derivds: ( puntos) ) y cos b) y ln c) y rctg ) Hz un estudio lo más completo posible de ls funciones siguientes y represéntls gráficmente. (, puntos) ) f( ) b) g( ) ) Hll los puntos de l curv y en los que l tngente tiene pendiente. Hll l ecución de ess rects tngentes. (, puntos) ) Determin pr que l siguiente función se continu en. si f() si Pr ese vlor de es f continu en R? (, puntos)

108 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS SOLUCIONES. f( ) si < hipérbol con AV y AH y si prábol con vértice en (, ) y cort eje en Dom R {} Rec R Discontinu en - y en En - tiene un discontinuidd de slto infinito (síntot verticl de rms divergentes) En tiene un discontinuidd de slto finito.. ) y cos y' ( lncos sen) y' sen cos b) y ln y' c) y rctg y'. ) f ) Asíntots: ( Dom R { } ln lim lim Verticl lim Oblicu y m n y m lim ; n lim lim lim Puntos de corte con los ejes:

109 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS Eje : ± ; Eje y: No cort Puntos singulres: ( ) y' y' No tiene Gráfic b) g( ) Función polinómic, no tiene síntots Rms infinits: lim ; lim Corte con los ejes: ( ) Cort en (,) y (,) Puntos singulres: g' ( ) ( ) Máimo (,) Mínimo, 7. y y' ± f( ) y f ( ) Rect tngente en : y ( ) y Rect tngente en : y ( ) y

110 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS. si si f() f lim ) )( ( ) )( ( lim lim ) ( L función f es continu slvo en los puntos en que se nul el denomindor, es decir ± En y hemos visto que es continu En - lim, síntot verticl F es continu en { } R, y en ese punto tiene un discontinuidd de slto infinito

111 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS IES MURILLO SEVILLA MATEMÁTICAS I SEPTIEMBRE 8 ALUMNA/O:.- Simplific: Dd l sucesión n 9 n clcul su límite y qué término vle. n.- Resuelve l ecución log 9 log log 6.- Resuelve l inecución > medinte intervlos. epresndo el conjunto de soluciones.- Resuelve l ecución cos sec Clcul el vlor ecto y un proimción hst ls centésims de l longitud del rdio de un octógono regulr de ldo u. 7.- Determin y b sbiendo que l rect y ps por el punto (,) y es prlel l rect b y. 8.- Hll l ecución de l meditriz del segmento que determin l rect y l cortr los ejes de coordends. 9.- Clcul el vlor de pr que l función en todo R y represéntl. si f ( ) se continu si >.- Clcul l derivd de l función f ( ) ln( 6 9) y encuentr en qué punto crece f () como un rect de pendiente.

112 SOLUCIONES 8.- Simplific: 8 n 9.- Dd l sucesión n clcul su límite y qué término vle. n lim n n n n 9 ( n ) 9( n ) n 8n 9 n n n.- Resuelve l ecución log 9 log log6 log ( 9 ) log ± 8 Solución (l negtiv no es posible).- Resuelve l inecución > epresndo el conjunto de soluciones medinte intervlos. > > > Solución: (, ).- Resuelve l ecución cos sec 9 cos 9 cos 9cos cos 9cos cos 9 ± 8 9 ± cos - no es un solución válid rccos 78º 8' 6k 8º ' 6k 6.- Clcul el vlor ecto y un proimción hst ls centésims de l longitud del rdio de un octógono regulr de ldo u. Ángulo centrl: 6:8º En el triángulo, plicmos el teorem del coseno: r r rrcos º r r r ( ) r r r r vlor ecto, proimción:, u

113 7.- Determin y b sbiendo que l rect y ps por el punto (, ) y es prlel l rect b y. y ps por (, ) b y es prlel b y b 8.- Hll l ecución de l meditriz del segmento que determin l rect y l cortr los ejes de coordends. Hllmos primero los puntos de corte: Eje OX: (, ) Eje OY: y y (, ) L rect dd tiene pendiente m l meditriz (l ser perpendiculr ést) tiene pendiente m ' y ps por el punto medio del segmento determindo por (, ) y (, ), que es el punto M, (, ) Ecución punto-pendiente: y ( ) y 9.- Clcul el vlor de pr que l función en todo R y represéntl. si f( ) se continu si > El primer trozo es un trozo de prábol, continu en (,) función rcionl no continu en, pero ese trozo sólo está definido en (, ) luego sólo hbrá que obligr que se continu en f( ) lim f( ) lim ( ) lim f( ) lim si f( ) gráficmente si > son un trozo de un prábol con vértice en (,) y un trozo de l función, cuys síntots son el eje OY (verticl) y l rect y (horizontl). El segundo es un,

114 .- Clcul l derivd de l función f( ) ln( 6 9) y encuentr en qué punto crece f () como un rect de pendiente. 6 f( ) ln( 6 9) f'( ) pendiente de l rect tngente ( 6 9) ± ± 7 En los puntos y crece como un rect de pendiente

115 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS I SEPTIEMBRE 9 ) Resuelve ls ecuciones: ) b) log log( ) log( ) ) Resuelve ls ecuciones: ) 7 b) ) Resuelve los siguientes sistems de inecuciones: < y > ) b) ( ) < 7 y < ) Sin hcer uso de l clculdor, resuelve un triángulo ABC, siendo: A ; B y c cm. ) Resuelve l ecución sen cos y t 6) Dds ls rects r y s, se pide: y t ) Averigu su posición reltiv. b) Si se cortn, clcul ls coordends del punto de corte y el ángulo que formn y, si son prlels, clcul l distnci entre ells. 6 7) Dd l función f( ), se pide: ) Continuidd y síntots. b) Crecimiento y decrecimiento y máimos y mínimos. c) Representción gráfic. 8) Clcul los siguientes límites: ) lim 9 b) 8 lim 8 9) Clcul l derivd de cd un de ls funciones siguientes: f( ) ln ; g( ) rctg( ). 8 teng como rect tngente en el punto de bscis l rect de ecución y. ) Hll los vlores de y b pr que l función f( ) b Not: Todos los ejercicios tienen l mism puntución

116 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics SOLUCIONES ) ) ( ) z z z z z 8z z 6 z 7z 6 z 7 ± ± z imposible log log log( ) b) log( ) log( ) ( )( ) l solución no es válid (sldrí log(-)) ) ) ( ) 7 Comprobción: 7 NO tiene solución b) m. c. m. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ± 9 8 Solución -(l solución no es válid, nul denomindor) ) Resuelve los siguientes sistems de inecuciones: < ( ) < sol : (, ) ) ( ) < 7 < 7 < sol :, Solución del sistem: l intersección de mbs, es decir (, ) ( ) y > b) representmos ls rects: y < y y y y y mrcmos los semiplnos correspondientes cd inecución, l intersección de los dos semiplnos es l solución del sistem, mrcd en zul y sin entrr ningun de ls semirrects.

117 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics ) Resuelve el triángulo ABC, siendo: A ; B C ˆ 8 7 º sen sen y c cm. b c sena senb sen C 6 senº sen( 6) sencos6 sen6cos ( 6 ) ( 6 ) cm ; 6 ( 6 )( 6 ) b 6 6 ( 6 ) ( ( 6 )( 6 ) b sen ) cm sen 6 ) sen cos ( cos ) cos cos cos cos ± 6 ± cos cos rccos 6º 6º k º 6º k k Z no válid y t 6) Dds ls rects r y s, se pide: y t r r ) Averigu su posición reltiv. d r (, ), d s (, ) vectores de dirección no prlelos, luego ls dos rects se cortn b) Si se cortn, clcul ls coordends del punto de corte y el ángulo que formn y, si son prlels, clcul l distnci entre ells. r y y y y P(,) s t y y y r r Observmos que dr ds (, ) (, ) r y s son perpendiculres, luego el ángulo que formn es de 9º

118 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics 7) Dd l función 6 f( ), se pide: R ) Continuidd y síntots. Continu en { } Asíntot verticl: 6 6 lim 6 lim A.Verticl 6 6 lim 6 Asíntot horizontl: lim no tiene 6 Asíntot oblicu: y m n m lim n lim lim lim y A. Oblicu b) Crecimiento y decrecimiento y máimos y mínimos. ( 6) 6 f' ( ) ± posibles etremos Comprobmos: Máimo (-,-8) Mínimo(,8) c) Representción gráfic. 8)) lim 9 ( ) 9 9 lim 9 9 lim 9 lim 9 8 b) lim fctorizmos numerdor y denomindor:

119 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics 8 ( -) ( ) lim lim lim 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 9) Clcul l derivd de cd un de ls funciones siguientes: 8 ( ) f( ) ln f' ( ) 8 ( 8) f' ( ) ( 8) ( )( 8) 8 g( ) rctg( ) g '( ) ( ) ) Hll los vlores de y b pr que l función f( ) b teng como rect tngente en el punto de bscis l rect de ecución y pendiente f '( ) tmbién sbemos que l rect tngente lo es en el punto y es decir, f ( ) f () b ( ) b f'( ) b f ' Resolvemos el sistem: b b b b b b b ( b) b Solución:, b

120 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS EXAMEN TRIGONOMETRÍA I π. Sen y b dos ángulos tles que tg siendo < y cosb siendo 7 π < b < π. b Hll, sin utilizr l clculdor: sen ( b), cos( b), tg, cot puntos. Se quiere construir un puente entre los puntos A y B de l siguiente figur. Se sbe que O ˆ 9º, A ˆ 8º y que l distnci, medid en líne rect entre los puntos A y O es de 7 m. Clcul l longitud del puente., puntos. Resuelve ls ecuciones:. tg tg b. cos sen, puntos. Comprueb l identidd: tg sen, puntos tg π π. Simplific l epresión: ( ) cot tg tg tg, puntos 6. Represent gráficmente l función: y sen, puntos

121 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS SOLUCIONES ) Empezmos hllndo ls restntes rzones trigonométrics de y b: π 6 tg siendo < tg cos cos cos cos cos (º cud) sen cos tg π 9 cosb siendo < b < π sen b cos b sen b sen b ± (segundo cudrnte) tg b 9 7 cosb sen ( b ) sen cos b sen b cos cos( b ) cos cos b sen sen b tg tg tg b cot b tg ± cosb cosb cosb cosb 9 7 (ºcud) ) O ˆ 9º, A ˆ 8º y que l distnci entre los puntos A y O es de 7 m el tercer ángulo: B ˆ 8 (9 8) 9º plicmos el teorem del seno: AO AB 7 sen B sen O sen 9 sen 9 7sen 9 9m sen9 ) ) tg tg tg tg z t ± 8 z tg tg º 8k 6º' 8k 9º 6k º9' 6k b) cos sen cos sen sen sen sen sen ± 8 sen sen sen z sen z sen

122 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS º 6k y 7 º 6k º 6k tg ) sen sen cos tg sen cos sen cos sen cos cos sen : cos cos sen cos cos π π π π tg tg tg tg ) ( cot tg ) tg tg tg tg π π tg tg tg tg tg tg tg tg ( tg ) ( tg ) tg tg tg tg tg tg tg tg ( tg tg ) tg tg tg tg tg tg tg tg 6) y sen es un sinusoide, hcemos l tbl de vlores (en rdines): π π π π y

123 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS CONTROL TRIGONOMETRÍA.- Dibuj en l circunferenci goniométric los ángulos cuyo coseno vle 7 y hll el seno y l tngente de los mismos..- Sin utilizr l clculdor y sbiendo que sen º ' 6 y cos º ' 77, hll rzondmente ls rzones trigonométrics de los siguientes ángulos: ) º b) º c) º d) º.- Desde un punto P del suelo vemos un bnder en lo más lto de un torre. Los ángulos A y B de l figur miden 7º y º respectivmente. Si el mástil de l bnder mide m, clcul l ltur del edificio..- Tres ciuddes A, B y C están unids por tres trmos rectilíneos de ferrocrril. El trmo BC mide km y el AC km. El ángulo con el que se ven ls ciuddes B y C desde A es de º. Hll l distnci por ferrocrril entre A y B. Hy más de un solución? Por qué?.- Clcul l longitud del ldo y el perímetro de un pentágono regulr inscrito en un circunferenci de cm de rdio. PUNTUACIÓN: puntos cd ejercicio

124 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS SOLUCIONES.- Como el coseno es positivo en los cudrntes primero y curto, los ángulos pedidos serán los de l figur (más circunferencis complets) Pr hllr el seno, plicmos l fórmul: sen A cos A sen A sen A 7 9 sen A sen A ± Como A es del primer cudrnte: sen A 7 Y B del curto cudrnte: sen B 7 Y ls tngentes: tg sen A cos A A 7 7 sen B tg B cos B.- sen º ' 6 y cos º ' 77 ) sen º cos º ' 77 ; cos º sen º ' 6 ; º '77 tg º sen ' cos º '6 b) sen º sen (8º º) sen º ' 6 cos º cos(8º º ) cos º '77 º '6 tg º sen '8 cos º '77 c) sen º sen (8º º ) sen º ' 6 cos º cos(8º º) cos º '77 º '6 tg º sen '8 cos º '77 d) sen º sen (6º º ) sen º ' 6 cos º cos(6º º) cos º '77 º '6 tg º sen '8 cos º '77.- tg A ; tg B y y y tgº ( ) tg7º tg7º tgº '6 '( ) '6 ' ' '9 ' 7 m 7 7

125 MATEMÁTICAS I º BACHILLERATO CIENCIAS.- plicmos el teorem del seno: b sen A sen B senº sen B senº sen B '89 B ˆ 6º8' (no hy otr posibilidd, y que el triángulo ABC y tiene un ángulo obtuso (no puede tener otro) C ˆ 8º º 6º8' º ( ) ' hor, pr hllr el ldo c, plicmos el teorem del coseno: c ' cosº' 8 cosº' 7' c 7 ' '77 km.- En el triángulo ABC, conocemos dos ldos y el ángulo comprendido A, que l ser un 6 pentágono regulr, es de 7º Â plicmos el teorem del coseno: cos 7º cos 7º '9 '9 '88 cm mide el ldo del pentágono Perímetro: P '88 9' cm

126 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics EXAMEN DE TRIGONOMETRÍA. Dibuj en l circunferenci goniométric un ángulo tl que cos, siendo > π. Hll ls restntes rzones trigonométrics de. ( puntos). Resuelve l ecución: sen cosec (, puntos). Represent gráficmente l función: y cos. Escribe sus crcterístics. ( puntos). Teorem del seno. Demostrción. Como plicción: Se quiere construir un puente entre los puntos A y B de l siguiente figur. Se sbe que O ˆ 9º, A ˆ 8º y que l distnci, medid en líne rect entre los puntos A y O es de 7 m. Clcul l longitud del puente. (, puntos). Hll el áre y el perímetro de un decágono regulr inscrito en un circunferenci de cm de rdio. ( puntos) º Bchillerto Ciencis

127 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics. SOLUCIONES cos, siendo > π, el ángulo estrá en el tercer cudrnte. sen cos sen tg 6 cosec cot ; 9 - sec - 6. sen cosec sen cosec sen sen sen sen. y cos sen sen sen sen sen 9º 6K º 6K º 6K K Z X π / 6 π / π / π / π / π / π / 6 π 7 π / 6 π / π / Y Crcterístics: Función contínu en R Dominio R Recorrido [,] Periódic, de período π º Bchillerto Ciencis

128 IES MURILLO Deprtmento de Mtemátics. O ˆ 9º, A ˆ 8º, AO 7m Tercer ángulo: B ˆ 8 ( 9 8) 9 º AO sen B 7 sen 9 AB sen O AB sen 9 7 sen 9 AB 9m sen 9 6 º. Al ser un decágono regulr, cd uno de sus ángulos centrles mide: 6º nos fijmos en uno de los triángulos isósceles que se formn. En este triángulo conocemos los dos ldos igules ( cm cd uno) y los ángulos igules son de 8 6 º 7º cd uno. Podemos hllr el ldo del decágono (), plicndo el teorem del coseno: cos 6º cos6º 9, 9, 9 cm P, 9, 9cm de perímetro. Pr hllr el áre, podemos hllr el áre de este triángulo y multiplicrl por, pr lo que necesitmos l ltur. En el triángulo rectángulo ABC, tenemos que: h sen 7 h sen 7, 7 cm Áre del triángulo:, 9, 7 A 7, 6cm Áre del decágono: A 7, 6 7, 6cm º Bchillerto Ciencis

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