A4 Programación lineal. Problemas de transporte, asignación y emparejamiento

Transcripción

1 40 Materials David Puolar Morales A4 Prograació lieal. Probleas de trasporte, asigació y epareaieto Defiició 55. Problea de trasporte. Se deoia problea de trasporte a todo problea lieal cuya expresió foral vega dada por: [ OPT ] åå x å x si" iî{,, } å x ³ d " Î{,, } x ³ 0" iî {,, } " Î{,, } (63) A efectos de copresió, cosidérese u esquea coceptual coo el siguiete: Orígees Destios s O D d s i O i D d s O D d Dode: - si: deota la oferta de u deteriado bie viculada a u cierto orige i-ésio. - d: desiga la deada de u deteriado bie asociada a u cierto destio -ésio. E el cotexto aterior, cosidérese que: - x: sea la catidad que debe eviarse desde el orige i-ésio al destio -ésio. - c: sea el coste uitario de trasporte desde el orige i-ésio al destio -ésio. E tal caso, el problea decisioal adoptará la fora:

2 Fudaetos de prograació lieal y optiizació e redes Materials 4 Mi x åå å x si" iî{,, } å x ³ d " Î{,, } x ³ 0" iî {,, } " Î{,, } Teorea 47. La codició ecesaria y suficiete para que u problea de trasporte posea solució propia viee dada por: åsi = å De satisfacerse dicha codició, deoiada de balaceado o equilibrado, adeás de asegurar la existecia de solució propia, da lugar a que las restriccioes del problea (63) se cupla e fora de igualdad. E el supuesto de que u problea de trasporte o esté equilibrado, resulta fácilete equilibrable itroduciedo, segú correspoda, u orige o destio ficticios. Para ello, si:.- å s i > åd debe crearse u destio ficticio + co d (64) (65) + = å i -å d s d c = " i i Î + 0 {,, }. La iterpretació de las variables ligadas a destios ficticios es iediata. Así, e el eeplo sobre oferta y deada, dichas variables idicaría el ivel de stock de los distitos orígees de oferta. 2.- å s i < åd debe crearse u orige ficticio + co + = å -å i s d s c = " Î + 0 {,, }. Coo e el caso aterior, el sigificado de las variables viculadas a orígees ficticios es secillo. E el eeplo citado, ediría el ivel de deada o satisfecha para los distitos destios. De acuerdo co lo aputado, ótese pues coo u problea de trasporte equilibrado adopta la expresió: [ OPT ] åå x å x = si" iî{,, } å x = d " Î{,, } x ³ 0" iî {,, } " Î{,, } Fialete, adviértase coo situacioes e las que desde algú orige i o pueda servirse a algú destio so fácilete odelizables ya sea e fora de far para tales orígees y destios o viculables x = 0 ya sea, alterativaete, iputádoles u coeficiete c arbitrariaete grade si el problea es de iiizació o arbitrariaete pequeño si el problea es de axiizació. y y (66)

3 42 Materials David Puolar Morales Defiició 56. Problea de trasporte etero. Se deoia problea de trasporte etero a todo problea de trasporte e el que las variables de decisió deba ser eteras y los si y d sea tabié eteros. Foralete, y ua vez equilibrado: [ OPT ] åå x å x = si" iî{,, } (67) å x = d " Î{,, } x ³ 0" iî {,, } " Î{,, } x Î " iî {,, } " Î{,, } Teorea 48. La expresió e fora atricial de u problea de trasporte equilibrado viee dada por: [ OPT ] cx ' x Ax = b (68) x ³ 0 Dode (véase u eeplo al fial de la secció): - c' = ( c, ¼, c, c2, ¼, c2,, c, ¼, c) vector de diesió x. - x' = ( x, ¼, x, x 2, ¼, x 2,, x, ¼, x) vector de diesió x. - b' = ( s, ¼, s, -d, ¼, -d) vector de diesió x(+). é ' 0 ' 0' ù 0 ' ' 0' - A= 0 ' 0 ' ' êë I I I úû Por lo tato, A es ua atriz de diesió (+)x co rago +, dode 0', ' so, respectivaete, u vector de diesió x de ceros y u vector de diesió x de uos, ietras que I es la atriz idetidad de diesió x. Nótese que el sigo egativo de los d así coo el de las atrices idetidad respode al hecho de expresar las restriccioes de la fora å x = d coo - å x =-d. De este odo, cada colua de la atriz A cotiee u y u siedo el resto de eleetos ceros, asegurádose por lo tato que sea uiodular total (recuérdese la defiició (43)) y, por ede, la aplicabilidad del teorea (29) e probleas de trasporte eteros que esté equilibrados. Fialete, que su rago o sea + sio que sea + (cosecuecia de que e u problea de trasporte equilibrado se verifica (65)) perite oitir ua restricció si pérdida iforativa y de odo que la atriz resultate posea u rago copleto por filas. Alterativaete, si se aplía la atriz A co ua colua adicioal, itroduciedo ua variable artificial e ua úica restricció, la atriz A apliada tabié poseerá rago copleto por filas y coservará la propiedad de uiodularidad total. Dicha variable artificial o poseerá igú ipacto sobre la fució obetivo dado que siepre tedrá u valor ulo e cualquier solució posible del problea artificial.

4 Fudaetos de prograació lieal y optiizació e redes Materials 43 Procediietos de resolució. E tato que probleas lieales cotiuos, los probleas de trasporte puede ser resueltos ediate la aplicació del algorito síplex. E tal caso, la obteció de ua base iicial requiere la itroducció de + variables artificiales y, por lo tato, la aplicació del étodo de las dos fases. E cosecuecia, supoiedo que o se haya oitido igua restricció e la atriz la atriz A, la atriz apliada co las variables artifíciales poseerá diesió (+)x(+(+)) y rago copleto por filas (que, por la itroducció de las variables artificiales será ahora igual a +). Por lo que respecta a los probleas de trasporte eteros, al ser la atriz A uiodular total, tabié puede resolverse ediate el algorito síplex (recuérdese el teorea (29)). No obstate, dada la peculiar estructura de la atriz A de restriccioes resulta ás eficiete coputacioalete hallar ua solució factible de base iicial si ecesidad de itroducir + variables artificiales. El procediieto e cuestió costituye el úcleo del llaado algorito del trasporte o síplex para el problea del trasporte (véase BAZARAA et al. (200)) tabié aplicable e probleas de trasporte eteros. Defiició 57. Problea de asigació. Se deoia problea de asigació a todo problea lieal cuya expresió foral vega por: [ OPT ] x å x " iî{,, } åå å x ³ " Î{,, } x Î { 0, }" iî {,, } " Î{,, } Nótese coo u problea de asigació es u caso especial del problea del trasporte, e el que s y las variables so biarias. Coo ilustració cosidérese ua situació e la que los orígees del problea se " iî {,, } ; d " Î{,, } asiila a recursos y los destios a tareas. Supoiedo que igú recurso pueda asigarse siultáeaete a ás de ua tarea y que toda tarea requiera de al eos u recurso para llevarse a cabo; etoces, cuado ua variable de decisió x vale uo sigifica que el recurso i-ésio es asigado a la tarea -ésia, ietras que de valer cero, ello supoe la o asigació de dicho recurso a la tarea e cuestió. (69) Teorea 49. La codició ecesaria y suficiete para que u problea de asigació posea solució propia viee dada por = ; esto es, que el úero de orígees sea igual al de destios. El resultado aterior es cosecuecia directa de (65) habida cueta que si =; d y, por lo tato åsi = ; åd =. * Adviértase coo el total de ceros e cada colua es de +2 y, por ede, el de ceros e la atriz es de (+2)(). E cuato al algorito del trasporte, el puto de partida del iso lo costituye la iclusió de ua úica variable artificial e ua restricció cualquiera, co obeto de asegurar que el rago de la atriz A así apliada (que atiee la propiedad de uiodularidad total) sea +. El coeficiete que se asiga a dicha variable e la fució obetivo es 0, al o teer igua ifluecia sobre ésta, dado que el problea origial (ua vez equilibrado) siepre posee solució propia.

5 44 Materials David Puolar Morales Al igual que e el caso de los probleas de trasporte, de satisfacerse dicha codició, adeás de asegurar la existecia de solució propia, da lugar a que las restriccioes del problea (69) se cupla e fora de igualdad, por lo que u problea de asigació equilibrado vedrá forulado coo: [ OPT ] x å x = " iî{,, } åå å x = " Î{,, } x Î { 0, }" i, Î{,, } (70) De o estar equilibrado u problea de asigació, resulta fácilete equilibrable. Para ello, si:.- > debe crearse destios ficticios co coeficietes c ulos. Coo sucedía e el problea del trasporte, la iterpretació de variables referidas a destios ficticios es siple. Así, e el eeplo de recursos y tareas idica qué recursos queda si asigarse. 2.- < debe crearse orígees ficticios co coeficietes c ulos. Coo ates, las variables asociadas a orígees ficticios tiee fácil lectura. Así, e el eeplo citado, expresa qué tareas o se realiza por falta de recursos. E cuato a las situacioes e las que desde algú orige i o pueda servirse a algú destio su trataieto es aálogo al descrito para los probleas de trasporte. Esto es, ya sea e fora de far para tales orígees y destios o viculables x = 0 ya sea, alterativaete, iputádoles u coeficiete c arbitrariaete grade si el problea es de iiizació o arbitrariaete pequeño si el problea es de axiizació. Defiició 58. Problea de epareaieto. U caso particular de problea de asigació es el deoiado problea de epareaieto, caracterizado por: - El obetivo del problea es el de axiizar el úero de asigacioes factibles. - Los c tiee u carácter cualitativo, recogido ediate la iputació de u valor uitario cuado el orige i-ésio puede asigarse al -ésio y de u valor ulo si tal asigació o es factible. Obsérvese que e el caso de ser todos los c ulos, el problea es ifactible. - Coo cosecuecia de lo aterior, cuado deba itroducirse orígees o destios ficticios a los c viculados a los isos se les debe iputar u valor uitario ietras que las relacioes o factibles etre orígees y destios requiere establecer u valor ulo a sus respectivos c.

6 Fudaetos de prograació lieal y optiizació e redes Materials 45 Teorea 50. La expresió e fora atricial de u problea de asigació equilibrado viee dada por: [ OPT ] cx ' x Ax = b x Î { 0, }" i, Î{,, } (7) Dode: - c' = ( c, ¼, c, c2, ¼, c2,, c, ¼, c) vector de diesió x 2. - x' = ( x, ¼, x, x 2, ¼, x 2,, x, ¼, x) vector de diesió x 2. - b' = ( ' '); ' º ( ) por lo que b' es u vector de diesió x(2).,-,, uos é ' 0 ' 0' ù 0 ' ' 0' - A= 0 ' 0 ' ' êë I I I úû Así pues, A es ua atriz de diesió (2)x 2 co rago 2, dode 0', ' so, respectivaete, u vector de diesió x de ceros y u vector de diesió x de uos, ietras que I es la atriz idetidad de diesió x. Nótese que el sigo egativo del segudo subvector de b' así coo el de las atrices idetidad so cosecuecia de expresar las restriccioes de los destios de la fora å x coo = - å x =-. Al igual que sucedía e el caso del problea del trasporte, A es ua atriz uiodular total, por lo que queda asegurada la aplicabilidad del teorea (29) e probleas de asigació equilibrados y, e cosecuecia, que las restriccioes de biariedad de las variables se pueda reeplazar por las de o egatividad. Esto es, (7) se puede reforular coo : [ OPT ] cx ' x Ax = b (72) x ³ 0 Asiiso, el que su rago o sea 2 sio que sea 2 (cosecuecia de que e u problea de asigació equilibrado se verifica = ) perite oitir ua restricció si pérdida iforativa. Obsérvese coo todo problea de trasporte etero puede cocebirse coo u problea de asigació forulado coo e (72). Para ello basta co que para cada orige se repita la isa restricció si veces (co variables específicas e cada caso), cada ua de ellas co ua oferta uitaria; y que para cada destio se replique la isa restricció d veces (co variables tabié específicas para cada ua de ellas) cada uo de los cuales co ua deada uitaria. A su vez, los c viculados a orígees y deadas repetidos será los isos que los viculados a las relacioes etre los orígees y destios del problea de trasporte etero de partida.

7 46 Materials David Puolar Morales Procediietos de resolució. E tato que casos particulares del problea del trasporte, y teiedo e cueta la uiodularidad total de A, los probleas de asigació adite ser resueltos tato ediate el algorito síplex coo por el algorito del trasporte. No obstate, dada su estructura, dode todos los térios idepedietes vale uo, resulta e térios de cálculo ás eficiete u algorito específico coo es el deoiado algorito húgaro (véase BAZARAA et al. (200) para ua descripció). Extesioes. Sobre el problea de trasporte se puede cosiderar diversas geeralizacioes y variates. Etre estas se ecuetra el problea del trasbordo, co putos iteredios etre orígees y destios, o el llaado problea de trasporte geeralizado (véase BAZARAA et al. (200) para ua apliació).

8 Fudaetos de prograació lieal y optiizació e redes Materials 47 Eeplo otacioal para u problea de trasporte. Cosidérese u problea de trasporte e el que: - = =2. - s = s 2 =0. - d = d 2 =5. - c = c 2 = 5; c 2 = c 22 = 8. - Obetivo: iiizació de la fució. Puesto que s + s 2 =20 < d + d 2 =30 para equilibrar el problea debe crearse u orige ficticio, co s 3 = 0 y c 3 = c 32 = 0. E tal caso, la estructura del problea será: Mi f( x) = 5x x x x ü Mi f( ) = x + x + x + x ìï x x x x x + 2 = 0 x + x = 2 0 x + x = ï ï x2 + x22 = 0 x + x = ï ý º ï í x3 + x32 = 0 x + x + x = x -x2 - x3 =-5 x + x + x = ï ïïï -x2 -x22 - x32 =-5 x ³ 0 " iî{,, 3}, Î{, 2} ï x,, ïïï ³ 0 " iî 3}, Î{, 2 ï þ ïî Para la expresió aterior, defiiedo: - c' = ( ,,,,, ). - x' ( x, x, x, x, x, x ). = { } - b' = ( 0, 0, 0, -5,-5). é ù é ù é ù ' 0 ' 0' ú - úº º 0 ' ' 0' A= ' 0 ' ' ê ú ë -I -I -I û êë úû ê ë úû Obsérvese coo e cada colua de la atriz A hay u, u y el resto de eleetos so cero, por lo que se satisface la codició suficiete de uiodularidad total.