EXAMEN DE JUNIO DE MAS I

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1 EXAMEN DE JUNIO DE MAS I Se recomienda: a) Antes de hacer algo, lee todo el eamen. b) Resuelve antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del eamen en una hoja distinta. d) Es una hoja de eamen por las dos caras sobre la que no se escribe nada. e) Recuerda mostrar todas las operaciones para conseguir la puntuación completa de cada apartado f) Es un eamen de contenidos mínimos por lo que en cada parte hay que responder bien a una serie de preguntas. g) En caso de tener que realizar todos los apartados, para obtener una nota de 5 se ha de superar el 0% del eamen. Tema : Números reales. Efectúa: Racionaliza y simplifica: 5 4. Calcula y simplifica: Averigua que valores de cumplen 5. Epresa el resultado en forma de intervalo. 5. Efectua las siguientes operaciones utilizando las potencias y sus propiedades: a a Tema : Matemática financiera. Utilizando las propiedades de los logaritmos calcula las siguientes epresiones:. log 8. log log4 log9 log49 hallar el valor de. Dada la siguiente sucesión: Se pide:. Cuál es la razón?. Cuál es su término general?. Cuál es el término que ocupa el décimo lugar?.4 Cuál es la suma de los diez primeros términos?. Averigua en cuánto se transforma un capital de euros al.5% anual durante 6 años si el periodo de capitalización es semestral. curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp

2 Tema : Epresiones algebraicas. Dados los polinomios siguientes: P 4 5 Q 8 9 T 6 Se pide:. P Q. P. P T. Aplica las identidades notables en las siguientes epresiones: Factoriza el siguiente polinomio: Realiza la siguiente operación con fracciones algebraicas: 5 TEMA 4 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES. Dado el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: 4y y 4 Resuélvelo por uno de los cuatro métodos conocidos (reducción, igualación, sustitución y gráficamente).. Resuelve las siguientes ecuaciones de º grado: Resuelve una de las siguientes ecuaciones:. Ecuación polinómica de grado superior a dos: Ecuación racional:. Ecuación con radicales: TEMA 5 INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES. Resuelve este sistema de inecuaciones: Resuelve esta inecuación de º grado: Resuelve este sistema de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas: 4y y 4 curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp

3 TEMA 6 FUNCIONES. Observa la gráfica de la siguiente función y Se pide:. Domf. Im f. Puntos de corte:.. Con el eje OX... Con el eje OY..4 Intervalos de monotonía.4. Intervalos de crecimiento..4. Intervalos de decrecimiento..4. Intervalos de constancia..5 Etremos relativos..5. Máimos relativos..5. Mínimos relativos..6 Continuidad y discontinuidad. TEMA INTERPOLACIÓN. El número de habitantes de cierto municipio viene epresado por la siguiente tabla: Año Población Se pide:. Comprobar que es factible aplicar la interpolación lineal.. Hallar la recta de interpolación.. Calcular el valor interpolado de la población en Calcular el valor etrapolado de la población en 990. curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp

4 TEMA 8 LÍMITES Y CONTINUIDAD. Calcula DOS de los límites siguientes:. lim. lim. lim lim 9. Estudia la continuidad de la función dada por f 6 if 4 0 if 4 5 if Para tener una idea clara de ella, ayudate de su representación gráfica. TEMA 9 FUNCIONES ELEMENTALES. Dada la función f 4 Se pide:. Domf. Cortes con los ejes.. Simetría..4 Asíntotas..5 Esboza la gráfica. curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp 4

5 Tema : Números reales SOLUCIÓN Conclusión: el intervalo, a a a 5 a a 5 a a 5 a a 0 0 a curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp 5

6 Tema : Matemática financiera.. log log 8 log log 4 4. log log4 log9 log49 log log4 log9 log49 log log4 9 log log log a n a r n 4. a 0 4 r n S 0 a r 0 a 0 ra 56 4 r r Como un año tiene dos semestres, la fórmula será: 6 C f C i r. 5 t euros curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp 6

7 Tema : Epresiones algebraicas. P 4 5 Q 8 9 T 6. P Q P Q P Q P P T Método "fast" factorización: término independiente 6 divisores del término independiente,,, 6 Regla de Ruffini encadenada para los divisores: resto 6 0 resto curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp

8 TEMA 4 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES. 4y y 4, Solution is: 5, y UN MÉTODO DE LOS CUATRO POSIBLES. Método de sustitución: 4y y 4 Elegimos la incógnita en la primera ecuación y la despejamos: 4y 4y Sustituimos este valor de en la segunda ecuación: 4y 4 8y 4 8y y 4 y 4 y Como tenemos el mismo denominador a ambos lados del signo igual, lo podemos suprimir: 4 8y y 9y 58 y 9 58 Sustituimos este valor de y en la epresión de obtenida anteriormente: 4 5 Se trata de un sistema compatible determinado con solución 5,. Método de igualación. 4y y 4 Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones, y: 4y y 4 y 4 y 4 Igualamos las dos epresiones obtenidas en y: Sustituimos este valors de en una de las dos epresiones de y obtenidas anteriormente: y 4 5 Se trata de un sistema compatible determinado con solución 5,. Método de reducción 4y y 4 Elegimos la incógnita, y multiplicamos la primera ecuación por (coeficiente de en la segunda ecuación) y la segunda por (coeficiente de en la primera ecuación). 4y y 4 6 8y 4 6 y Restamos en columna: 9y 58 y 58 9 Sustituimos este valor de y en una de las dos ecuaciones para obtener el correspondiente valor de : curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp 8

9 Se trata de un sistema compatible determinado con solución 5,.4 Método gráfico 4y y 4 Representamos la recta 4y y 4 Tenemos la siguiente tabla de valores 5 puntos A,, B 5, y - Representamos la recta y 4 y 4 Tenemos la siguiente tabla de valores 5 - puntos y - -4 C 5,, D,4 La representación gráfica queda: Se trata de un sistema compatible determinado con solución 5,; las rectas se cortan en un punto , Solution is:, 5 6 Ecuación de º grado completa con b b 4ac a a 8 b 9 c , Solution is:, Un producto de dos números es igual a cero si uno de los multiplicandos es cero. 0 curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp 9

10 , Solution is: 5, Resuelve una , Solution is:,, Nos fijamos en: El término independiente es 6. Sus divisores son,, Aplicamos la Regla de Ruffini para estos valores para descomponerlo en factores: Resto 6 0 Resto 6 6 Las soluciones son,,. En total tres, que es el grado del polinomio (Teorema Fundamental del Álgebra)., Solution is: Para operar, hemos de calcular el m. c. m., Como los denominadores son iguales a ambos lados de la igualdad, se pueden suprimir. 0 0 Comprobación: cierto!!!! si es solución.., No solution found. Elevamos al cuadrado en ambos lados de la igualdad Dado que un cuadrado es cero sólo si la base es cero. Comprobación: 4 0 falso!!!!! Entonces no es solución. curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp 0

11 TEMA 5 INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES La solución es el intervalo cerrado, Consideramos la ecuación de º grado cuyas soluciones son, 5 6 Consideramos la tabla siguiente de valores: intervalo, ,, signo de Tomamos un valor cualquiera de, Tomamos un valor cualquiera de 5 6, será será Tomamos un valor cualquiera de, 0 será La solución es el intervalo cerrado 5 6,.. 4y y 4. Para pintar el semiplano asociado a 4y consideramos la recta de ecuación 4y Para dibujarla tomamos la tabla de valores 0 y 0 4 Puntos A, 0, B 0, 4 Al pintar la recta, el plano queda dividido en dos partes. Para determinar cuál es la que verifica la inecuación hemos de tomar un punto de una de ellas. Por ejemplo 0, 0 para sustituirlo en la inecuación: CIERTO. Luego dicho semiplano, el que queda por debajo de la recta sin incluirla, verifica la inecuación.. Para pintar el semiplano asociado a y 4 consideramos la recta de ecuación y 4 Para dibujarla tomamos la tabla de valores 0 y 0 4 Puntos C, 0, D 0, 4 Al pintar la recta, el plano queda dividido en dos partes. Para determinar cuál es la que verifica la inecuación hemos de tomar un punto de una de ellas. Por ejemplo 0, 0 para sustituirlo en la inecuación: FALSO. Luego dicho semiplano, el que queda por encima de la recta sin incluirla, verifica la inecuación. Gráficamente nos queda: curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp

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13 TEMA 6 FUNCIONES. y Domf 6, 6. Im f 0, 9. Puntos de corte:.. Con el eje OX 6, 0,5, 0,0, 0,5, 0,6, 0.. Con el eje OY 0, 0.4 Intervalos de monotonía.4. Intervalos de crecimiento 6, 5, 0, 5,.4. Intervalos de decrecimiento,5, 0, 5, 6.4. Intervalos de constancia,,.5 Etremos relativos..5. Máimos relativospuntos de abscisa,.5. Mínimos relativospuntos de abscisa 6, 5, 0, 5, 6.6 Continuidad y discontinuidadla función es continua en 6, 6,,,,,. En todos los puntos de discontinuidad tenemos una discontinuidad inevitable de salto finito. curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp

14 TEMA INTERPOLACIÓN. número de habitantes de cierto municipio Año Población Representamos gráficamente los datos de la tabla: y Claramente los cuatro puntos están alineados.. Para hallar la recta de interpolación vamos a considerar los puntos etremos 950, 958, 980, 4 La ecuación de la recta será de la forma y m n. Como tenemos dos puntos de la misma se cumplirá que: 950, mn 980, mn Consideramos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: mn 4 980mn, Solution is: m 6 5, n 48 8 Lo resolvemos por el método de reducción, restando en columna: 56 0m m sustituimos este valor de m en una de las dos 5 ecuaciones para hallar el correspondiente valor de n: n n La recta de interpolación es y En 955 la población era habitantes.4 En 990 la población será habitantes curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp 4

15 TEMA 8 LÍMITES Y CONTINUIDAD. DOS de los límites siguientes:. lim INDETERMINACIÓN. Multiplicamos y dividimos por el conjugado. lim lim lim lim lim lim. lim lim 4 0 Hemos de estudiar los límites laterales: lim lim lim 0 lim 0 para ser más precisos Entonces como los límites laterales son distintos, el límite no eiste. lim INDETERMINACIÓN. Hemos de aplicar la Regla de Ruffini para lim 5 0 Resto lim 5.4 lim 9. f lim 6 if 4 0 if 4 5 if lim 5 lim 5 Se trata de una función definida a trozos, por lo que vamos a representar cada uno de ellos en unos mismos ejes de coordenadas. 6 if 4 Se trata de una recta horizontal a la altura 6 0 if 4 Se trata de la parábola con las ramas hacia abajo y "subida" 0 unidades. Consideramos la siguiente tabla de valores: -4-0 y si 4 y si y 0 6 si 0 y si y if curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp 5

16 Se trata de una recta, por lo que queda unívocamente determinada si conocemos dos de sus puntos. Por lo tanto, consideramos la siguiente tabla: y -4 - si y 5 4 si y 5 La representación gráfica será: y Atención: la función presenta un agujero para 4, dado que no está definida para ese punto. Por lo tanto, gráficamente tenemos dos discontinuidades; una evitable en 4, y otra inevitable de salto finito en. Hemos de comprobar esto analíticamente. 4 Para empezar no eiste f4. Luego, en cuanto a los límites laterales tenemos: lim f lim lim f lim Como los límites laterales son iguales es lim f 6 f4 pues este no eiste. Se 4 trata por tanto de una discontinuidad evitable. Tenemos que: f 5 4 lim lim f lim f lim Entonces lim f lim f f. Se trata por tanto de una discontinuidad inevitable de salto finito La función es continua en R 4, curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp 6

17 TEMA 9 FUNCIONES ELEMENTALES. f 4. Domf R 4 Como se trata de un cociente, habrá problemas si el denominador es cero: Cortes con los ejes. Cortes con el eje OX a, 0 con a R Como se trata de un cociente, será cero si el denominador es cero: 0 Punto, 0 Cortes con el eje OY 0, b con b R Calculamos f Punto 0, 4. Simetría Calculamos f Esta última epresión es distinta tanto de f, como de f; por lo tanto, no presenta ningún tipo de simetría..4 Asíntotas Asíntotas horizontales Estudiamos los siguiente límites: 4 lim f lim 4 lim lim Entonces y es una asíntota horizontal cuando lim f lim 4 lim lim Entonces y es una asíntota horizontal cuando Asíntotas oblicuas Careces de ellas pues las tiene horizontales Asíntotas verticales Estudiamos los límites laterales de la función en 4 lim f lim lim f lim Entonces 4 es una asíntota vertical. curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp

18 .5 La gráfica será: y curso 0/ eamen de mas i junio 0 fjsp 8