Ejercicios y problemas (páginas 63/68))

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1 Ejercicios y problemas (páginas 6/68)) Polinomios y operaciones con polinomios Dados p() 59 y q() 5, halla: p() q() p ( ) q( ) 5 0 c() r() Calcula. ( ) ( ) ( )( ) ( ) e) ( 5)( 5) f) ( 5)( ) ( ) 9 6 ( ) ( )( ) 6 6 ( )( ) ( ) e) ( 5)( 5) 5 f) ( 5)( ) Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones. ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( 5 6) : ( 5) c() ; r() 6 c() 5 ; r() c() 8; r() 6 Dados dos polinomios, P() de grado 5 y Q() de grado : Cuál será el grado de P() Q()? Cuál será el grado de P() : Q()? Cuál será, como máimo, el grado del resto de la división P() entre Q()? El grado de P() Q() será la suma de los grados de P() y Q(), es decir, 8. El grado de P() : Q() será la resta de los grados de P() y Q(), es decir,. El grado del resto ha de ser como máimo un grado menos que el grado del divisor, en nuestro caso,. Determina el valor de a y b para que sea eacta la división ( 8 5 a : ( ). Se realiza la división y se obtiene de resto (a 6) b. Para que la división sea eacta, se debe cumplir que a 6 y b 0. 6 Calcula el cociente y el resto de: ( 5 ) : ( ) ( ) : ( ) ( 6) : ( ) c() 9 ; r() 89 c() 5 ; r() 6 c() 8; r() 0 Factorización de polinomios y teorema del resto Dados los polinomios p() 5 y q() 9 5: Calcula las raíces de p() y de q(). Descompón factorialmente los dos polinomios. Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de p() y q() ayudándote de sus descomposiciones factoriales. Las raíces de p() son, doble y. Las raíces de q() son 5, y. p() ( )( ) q() ( )( )( 5) m.c.d. ( )( ) m.c.m. ()() (5) 0 85 Utiliza el teorema del resto para determinar el resto de la división del polinomio P() 6 entre ( ) y entre ( ). P() 6 P() () () () 6 8 Calcula el valor de m para que el polinomio: p() m (m ) sea divisible por el binomio. Calculando p() e igualando a 0 se obtiene m 6. Si la división del polinomio p() entre ( ) es eacta, qué puedes afirmar de p()? de p()? p() 0 y p() no se puede conocer. Determina en cada caso el valor de k, para que las siguientes divisiones sean eactas: ( 6 k 5) : ( ) ( 5 k 5) : ( ) ( 5 8 k) : ( ) Sustituyendo por e igualando a cero, se obtiene: k 0 k Sustituyendo por e igualando a cero, se obtiene: k 0 k Sustituyendo por e igualando a cero, se obtiene: k 6 0 k 6 Si dado el polinomio q() se verifica que q() 0, cuál será el resto de la división de q() : ( )? Por el teorema del resto, será 0. Calcula el valor de m para que el resto de la división de ( m 5 ) entre ( ) sea. Sustituimos por e igualamos a. Se obtiene 8 m m Números y Álgebra

2 Sin efectuar divisiones, contesta razonadamente las siguientes preguntas. Es divisible ( 6) por ( )? por ( )? Es divisor ( ) de ( 8)? de ( 8)? Es el polinomio p() 6 6 múltiplo del binomio q()? Por ( ) sí, ya que p() 6 0. Por ( ) no, ya que p() () Escribe tres polinomios de tercer grado que tengan por raíces:, y y Únicamente a( )( )( ) a( ) ( ) o a( )( ) a( ) ( ) es divisor de 8, ya que () 8 0. En cambio no es divisor de 8, ya que: () 8 0. Escribe un polinomio de grado que no tenga ninguna raíz real. Determinaremos si p() es divisible por q(), calculando el valor: p() No es divisible, luego p() no es múltiplo de q(). ( (, donde a 0 y b 0 Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios. 5 Halla el polinomio de segundo grado que satisfaga las siguientes condiciones: Que el coeficiente de segundo grado sea. p() ( ) ( ) ( ) q() ( ) ( ) s() ( 6 9) ( ) Que sea divisible por. Que al dividirlo por, el resto de la división sea 0. Primera condición p() b c Segunda condición p() 0 8 b c Tercera condición p() 0 8bc Resolviendo el sistema se obtiene b y c 6: p() 6 m.c.d. ( )( ) m.c.m. ( ) ( )( )( )( ) Descompón factorialmente los siguientes polinomios y halla sus raíces ( )( )( ), sus raíces son y 6 Dado el polinomio p() a b, calcula a y b 6 ( )( )( ), sus raíces son, sabiendo que p() es divisible por ( 5) y que el resto de y dividir p() por ( ) es ( 5)( ),sus raíces son 5 y Imponiendo p(5) 0 y p() 9 obtenemos a y b 5. (doble) 8 9 Dado el polinomio P() 5 a b, determina el valor de a y b sabiendo que al dividirlo por ( ) la división es eacta, y que al dividirlo por ( ) el resto es 0. Al sustituir por e igualar a cero, se obtiene a b 0. Si se sustituye por y se iguala a 0, se obtiene a b 0. Al resolver el sistema, se obtienen los valores pedidos: a b a /, b / a b Calcula a y b para que p() a b sea divisible por ( ) y al dividirlo por ( ) el resto sea 6. Al sustituir por e igualar a cero, se obtiene: 5 6a 6b 6 0 A continuación se sustituye por y se iguala a 6, con lo que tenemos la ecuación a b 6. Se resuelve el sistema y se obtienen los valores pedidos: 6a 6b 58 a, b 5 a b Siendo p() 5 a b, calcula a y b para que sea múltiplo de ( ) y ( ). Se sustituye por y se iguala a cero, se obtiene entonces a b 0. A continuación, se sustituye por y se vuelve igualar a cero, 6a 6 b 0. Se resuelve el sistema, obteniendo los valores de a y b: a b 0 a, b 6a b ( )( )( ) sus raíces son, y Etrae factor común y utiliza las identidades notables para factorizar cada uno de los siguientes polinomios, y di cuáles son sus raíces e) 6 5 f) ( ), raíces: 0 y (doble) 5 0 5( ), sus raíces son: 0 y ( )( ), sus raíces son: 0, y 8 ( ), sus raíces son: 0 (doble) e) 6 5 6( )( ), sus raíces son: 0, y f) ( ),sus raíces son: (doble) y 0 5 Factoriza ( )( )( )( ) 6 ( )( ) 6 5 ( )( 5). Ecuaciones y sistemas

3 6 Determina las raíces de cada uno de los siguientes polinomios. Calcula la fracción irreducible equivalente a las siguientes fracciones ( ) 0,,,,, (doble),, / Si un polinomio, P(), tiene como raíces y, puede ser el grado de P() mayor que dos? Sí, si alguna de las raíces no es simple. 8 Calcula un polinomio que tiene por cuadrado ( ) 9. Descomponiendo el polinomio obtenemos: p() ( ) ( ) Averigua si eiste un polinomio p() que verifique la siguiente igualdad: Aplicando la raíz cuadrada encontramos el polinomio buscado: 5 p() ( )( ) 9 Averigua el m.c.m. y el m.c.d. de los siguientes polinomios. p() 5 A() y B() 5 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. A(), B() 5 y C() 5 A() y B() 6 m.c.m. (A(), B()) ( )( )( ) 6 ; m.c.d. (A(), B()) ( ) m.c.m. (A(), B(), C()) ( )( ) ; m.c.d. (A(), B(), C()) ( ) m.c.m. (A(), B()) ( )( )( ) ( ); m.c.d. (A(), B()) ( ) Fracciones algebraicas 0 Dada la fracción determina una equivalente que tenga en el numerador un polinomio de grado. Basta con multiplicar numerador y denominador por el mismo polinomio de grado. Determina, en cada caso, q() de modo que estas fracciones sean equivalentes. 5 q ( ) 9 q() q( ) q() Etrae factor común y simplifica cada una de las siguientes fracciones. y y y y y y y Efectúa, simplificando al máimo, las siguientes operaciones con fracciones algebraicas. ( ) 9 6 : e) 5 f) g) 5 0 h) 6 8 i) 5 j) 5 8 Números y Álgebra

4 5 k) l) 5 : m) n) / g) 6 h) i) 5 j) k) 5 l) 9 8 m) 8 n) ñ) 6( ) o) p) 0 6 ñ) (/) o) : p) 9 5 ( ) ( )( ) e) 6 5 ( )( ) f) 5 Calcula a y b para que se cumpla que: a b ( ) ( ) a( ) b( ) Si 5 a a 5/ Si b () b / 8 Calcula a, b y c, sabiendo que: 6 a b c ( ) ( ) ( 5) 5 a, b 6 y c 9 Determina A, B y C para que se cumpla que: 5 A B C 6 9 ( ) A 8, B 9 y C Ecuaciones polinómicas 0 Resuelve las siguientes ecuaciones e) f) 6 0,,, e), 8, f), Qué valor debe tener c en la ecuación 5 c 0 para que esta no tenga soluciones reales? Imponiendo que el discriminante sea negativo 0: 5 c 0 c 5 c 5 c 5/. En el intervalo (5/, ) la ecuación no tendrá solución real. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas No tiene soluciones reales.,, Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones e) f) 5 0 g) ,, 5,,,, 5, e), f),, / g) 5, /, / Ecuaciones racionales Resuelve las siguientes ecuaciones No tiene solución.,. Ecuaciones y sistemas 9

5 Ecuaciones con valor absoluto 5 Resuelve las siguientes ecuaciones ,,,, 5, Ecuaciones irracionales 6 Resuelve estas ecuaciones No tiene solución.. No es solución /9.. No es solución. 5/ Ecuaciones eponenciales y logarítmicas Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales e) f) 0, e g) 0 h) i) 5 0 No se puede epresar la ecuación en función de una única potencia, por lo que se toman logaritmos decimales: log (log ) log 9 6 Se epresa la ecuación en función de, y se obtiene una ecuación de segundo grado con una incógnita: De esta ecuación se deduce que, por lo que. 8 Epresando los dos miembros bajo una única raíz: Igualando los eponentes: 8 8 Tomando logaritmos: log log log log e) f) 0, e Se despeja e y se aplican logaritmos: 0, 0,e e ln g) 0 Sea t. Sustituyendo se tiene: t t 0 con lo que las soluciones para t son y. Si, tomando logaritmos: ln ln ln ln Si, tenemos: h) Llamando y, tenemos: 8y y 6y 8y 0 y e y ln ln Solo es válida la solución positiva, por lo que. i) 5 Tomando logaritmos neperianos, tenemos: ( )ln ln ln 5 ln ln 5 ln ln (ln ln 5) ln ln ln ln ln ln 5 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. log 8 ln ( ) log e log e ln ln log e log 0 e) log 5 f) log log log 000 g) In 0 log 8 Aplicando la definición de logaritmo: 8 Ahora se epresan las potencias con la misma base: 0 Números y Álgebra

6 ln ( ) log e En primer lugar, se deben epresar los logaritmos en la misma base. Si llamamos y log e, podemos escribir: 0 y e Tomando logaritmos neperianos en esta última igualdad se tiene que: y ln 0 y log e ln 0 Se sustituye y se obtiene: ln ( ), es decir: ln 0 ln ( ) ln 0, de lo que se deduce que 8. log e ln ln log e Aplicamos propiedades de los logaritmos: ln log e log e ln log e ln Como log e, sustituimos y se obtiene: ln 0 ln ln 0 0 log 0 Aplicamos logaritmos y se obtiene: ( log ) log log log 0 e) log 5 Aplicamos la definición de logaritmo y se obtiene: ( ) 5 f) log log log 000 Aplicando las propiedades de los logaritmos: log log (0 6 ) g) ln 0 ( ln ) 0 bserva que no puede ser cero, porque ln 0 no eiste. Por tanto: 50 5 Resuelve estas inecuaciones racionales (, ] (, 5) [, ] (, ) (/, ) Resuelve las siguientes inecuaciones. y 0 y 0 y y 5 y y X X ln ln e/ e Inecuaciones 9 Resuelve las siguientes inecuaciones. 0 ( )( 5) e) 0 f) g) 0 (, ) (, ] (, 5] (, 0) [, ) e) (, ) (, ) f) (, ) (, ) g) (, ] [, ] 8 6 y y X X. Ecuaciones y sistemas

7 Sistemas de ecuaciones 5 5 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, indicando si son incompatibles o compatibles y, en este caso, si son determinados o indeterminados. y 5 f) y 0 y y 5 y y 5 g) ( ) y 0 y 5 y 5y y h) y y y 5/ y i) (/)( y) y y ( ) 5y e) y j) ( ) ( y) y ( y) 0 Compatible determinado:, y Incompatible Compatible determinado:, y Compatible indeterminado: y e) Compatible indeterminado: y f) Compatible determinado:, y g) Compatible indeterminado: 8 y h) Compatible determinado:, y i) Incompatible j) Compatible determinado:, y 0 Utilizando el método de Gauss, resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. y z y z 5 y z y z y z y z 8 y z y z y z 8 y z y z 0 y z, y, z 8/9, y /, z 6/9 Compatible indeterminado: z, y z, y, z e) /, y, z 8 f) 9/, y /, z 5/ g) Incompatible h) /5, y /5, z /5 e) f) g) h) ( y) z y 0 z y y 6z y / y 5z 0 y z 6 ( y) (y z) y z 0 y 5( ) 6 y z 5 y 6 z 5 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales. y y y y y log ( ) log y y y y y despejando en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, tenemos: 5 0 Resolviendo la ecuación bicuadrada obtenida, se obtiene:, y ;, y ;, y ;, y log( ) log y log y y y 0 y, y / y y y y y y y y y y y y y /, ±5/ ln y l ln ln ln y n y y ln ln y y y y y y Resolviendo la ecuación de segundo grado, se obtiene y e y. Esta última solución no tiene sentido, puesto que no eisten logaritmos de números negativos. La solución es:, y. Sistemas de inecuaciones 55 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. ( 6) 8 ( ) / ( 6) /9 La solución del sistema es 5/9. 6 ( ) El sistema no tiene solución. ln y l n y Números y Álgebra

8 56 Resuelve gráficamente los sistemas de inecuaciones. y 0 y 0 y 0 y y 0 5 y 0 y 6 X 5 y 0 5(y ) 0 5 5( ) 0 Resuelve estos sistemas de inecuaciones no lineales. y 0 y X (, ] [, ) 9 0 [/, ] La solución del sistema es [/, ] [, ]. y [, 6] 0 (, ) y X No tiene solución. 0 (, ] [, ) 0 (, 0] [, ) La solución del sistema es (, ] (, ). y {} 0 (0,) La solución del sistema es. Resuelve gráficamente estos sistemas no lineales. y y 0 y 6 X y y 0 y y y / y. Ecuaciones y sistemas

9 8 6 y 6 8 X y 0 60 Actualmente un padre tiene 0 años más que su hijo, y dentro de 0 años la edad del hijo será la cuarta parte de la suma de sus edades. Qué edades tienen el padre y el hijo actualmente? Si p es la edad del padre y la del hijo, se debe plantear este sistema: p 0 p 5, 5 0 p 0 Por tanto, la edad del padre es 5 años y la del hijo, 5 años. y 0 6 La suma de las dos cifras de un número es. Si a este número le restamos 5, el resultado es igual al obtenido al cambiar de orden las cifras del número inicial. De qué número se trata? Sea y el número. Se plantea el siguiente sistema: 8 6 y X 6 8 y 6 y 9, y (0 y) 5 0y 5 Por tanto, el número es 9. Halla un número de dos cifras sabiendo que las decenas son el cuádruple de las unidades y que si invertimos sus cifras y sumamos el número resultante con el anterior, obtenemos 55. Si y es el número inicial, se deben cumplir las dos ecuaciones de este sistema: Este sistema no tiene solución. Problemas de aplicación y Un padre tiene el doble de edad que su hijo, al que dentro de 5 años sacará 5 años. Qué edades tienen los dos en la actualidad? Determinamos que es la edad del hijo e y, la del padre. Como el padre tiene el doble de edad que su hijo, y. como dentro de 5 años le sacará 5 años, (y 5) ( 5) 5. El sistema que se plantea es el siguiente: y y La solución del sistema es: 5, y 50 Por lo tanto, la edad del padre deberá ser 50 años y la del hijo, 5 años. y y 6 8 X 6 8 X y, y 0( y) y 55 Por tanto, el número es. Determina qué número se diferencia de su cuadrado en 0 unidades. Si llamamos al número: 0 6, 5 Los números son 6 y 5. Un bodeguero vende 5 L de vino de dos tipos: uno de /L y el otro de /L. El precio total de la venta es. Cuántos litros ha vendido de cada vino? Si llamamos al vino de /L e y al de /L, obtenemos este sistema: y 5, y y Por tanto, el bodeguero ha vendido L de vino de /L y L del que cuesta /L. Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son tres números consecutivos. Averigua las medidas de dicho triángulo, en cm. Si llamamos a la longitud del lado más pequeño, se obtiene esta ecuación: ( ) ( ), Las longitudes de los lados del triángulo son, y 5 cm. Sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo se puede construir un cuadrado de 65 cm de superficie. Uno de los catetos de dicho triángulo mide cm más que el otro. Averigua el área del triángulo. El cuadrado de la hipotenusa coincide con el valor de la superficie del cuadrado que se construye sobre ella, y uno de los catetos es cm más largo que el otro. Se puede plantear esta ecuación: 65 ( ) La solución es, por lo que el otro cateto mide cm. El área del triángulo es, por tanto: A cm Números y Álgebra

10 6 Calcula el área de un triángulo isósceles cuyo perímetro mide cm y cuyo lado desigual es de cm. Una hipoteca aumenta dos veces durante un año: la primera un 0,5 %, y la segunda, un,5 %. Calcula el importe de Cada uno de los dos lados iguales mide: la mensualidad inicial si ha sufrido en total un incremento 0 cm de 0. y =,005,005 = 98, y = 508 y = = Así, la altura del triángulo es h cm. Por tanto, A 8 8 cm. Un grifo tarda h en llenar un depósito, mientras que otro solo necesita h. Cuánto tiempo emplearán los dos grifos en llenarlo si están funcionando a la vez? Si es el tiempo que tardan los dos grifos en llenarlo, a es el caudal del primer grifo y b, el del segundo, se obtienen estas ecuaciones: a V b V (a V (a a/) a, h h min Los dos grifos a la vez tardan h y min en llenar el depósito. Dos grifos llenan un recipiente en 0 s. Si uno de ellos lo llena en s, en cuánto tiempo lo llena el otro? Los dos grifos, a y b, llenan un determinado volumen en 0 s: (a 0 V. El grifo a lo llena en s: a V. Despejando a y sustituyendo en la primera ecuación, se obtiene: V V b 0 V b 0 V V b 5 Por tanto, el segundo grifo llena el recipiente de volumen V en 5 s. Tres amigos invierten 0 000, y ,respectivamente, para abrir un negocio. Tras finalizar el primer ejercicio económico y al repartir los beneficios, el segundo de los amigos obtiene 00 más que el primero. Cuáles son los beneficios del negocio? Si son los beneficios del primero (el que puso ), entonces el del segundo (que invirtió ) habrá tenido unos beneficios de ( 00). bserva la relación entre los dos: Para obtener los beneficios del tercero, y, se resuelve esta ecuación: 800 y y Por tanto, los beneficios de los tres amigos son, respectivamente, 800, 00 y 000. Los beneficios de una empresa se reparten entre tres socios: uno recibe la mitad, otro el 60 % de lo que queda y el tercero, 00. A cuánto ascendían los beneficios? Qué porcentaje de capital había puesto cada uno de ellos, si suponemos que los beneficios se reparten de forma proporcional al capital invertido? Si b son los beneficios, se debe plantear esta ecuación: b 0,6 b 00 b b Por tanto, los beneficios de la empresa son se reparte, respectivamente, 50 %, 0 % y 0 %. 5 6 Así, la mensualidad inicial era de 98. Un cierto capital se coloca a lo largo de un año al,5 % anual. Transcurrido el año, se coloca el capital final al % anual durante otro año. Si al final del segundo año se ha obtenido un beneficio total de 650 %, cuál fue el capital invertido? Si C es el capital invertido, se debe plantear: C,05,0 C 650 C Se han invertido Una población de habitantes sufre primero un descenso y después, gracias a la inmigración, llega a ser de 50 habitantes. Sabiendo que el porcentaje de aumento ha sido 5 veces mayor que el porcentaje de disminución, averigua qué porcentajes de disminución y aumento ha sufrido la población. Si es el porcentaje de disminución, se plantea esta ecuación: y Por tanto, deducimos que la población sufre un % de disminución y un 0 % de aumento, o 6 % de disminución y 80 % de aumento. Con una lámina cuadrada de cartón de cm de superficie, se desea construir una caja sin tapa que tenga una capacidad de 5 cm, cortando cuatro cuadrados idénticos en cada esquina. Determina las dimensiones de los cuadrados que debemos recortar de la lámina original. Si es el lado del cuadrado que se recorta, el área de la base de la caja es: ( ) Al multiplicar la base, ( ), por la altura,, se obtiene la capacidad, la cual se iguala a 5: ( ) 5 perando, se obtiene la ecuación: 5 0 Con el teorema del resto y la regla de Ruffini se deduce que una solución es cm: 5 ( )( 5) 0 Solucionando la ecuación de. grado 5 0, se obtiene la otra solución, 0,88 cm. En el mercado, Pedro se ha gastado,60 por la compra de patatas, manzanas y naranjas que costaban, respectivamente, /kg,,0 /kg y,50 /kg. Cuántos kilos ha comprado de cada alimento si entre todos han pesado 9 kg y, además, se ha llevado kg más de naranjas que de manzanas? Llamamos a los kilos de patatas; y, a los de manzanas, y z, a los de naranjas. Se plantea el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: y z 9,0y,50z,60, y, z z y Por tanto, Pedro compró kg de patatas, kg de manzanas y kg de naranjas.. Ecuaciones y sistemas 5

11 Una familia tiene unos ingresos al mes de 50 por los sueldos de la madre, el padre y el hijo. Si la madre gana el doble que el hijo, y el padre / de lo que recibe la madre, cuánto gana cada uno de los miembros de la familia? Si es el sueldo del padre; y, el de la madre, y z, el del hijo, podemos plantear este sistema: 9 Determina los valores de a, b y c para que la parábola de ecuación y a b c pase por los puntos (, 0), (, 0) y (, ). Si imponemos que la parábola de ecuación y a b c pase por esos puntos, habrá que sustituir cada punto en la ecuación y así obtener tres ecuaciones. Con ellas se forma este sistema: y z 00 y z 000, y 500, z 50 (, 0) 0 a b c y/ (, 0) 0 a b c a, b 5, c (, ) 9a b c Por tanto, el padre gana 000, la madre, 500 y el hijo, Por tanto, la ecuación de la parábola es y Calcula tres números sabiendo que el tercero es igual a dos veces el primero más el segundo; que el segundo es la cuarta parte del doble del primero más el tercero, y que si se resta al tercero la suma del primero más el segundo, el resultado da. Llamamos al primer número, y al segundo y z al tercero. Se obtiene este sistema: z y y / ( z) y/, y, z 0 Por tanto, los números son, respectivamente,, y 0. 6 Números y Álgebra