REAL SOCIEDAD MATEMÁTICA ESPAÑOLA. XLIV OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA Comunidad de Madrid. Primera sesión, viernes 23 de noviembre de 2007

Transcripción

1 REL SOCIEDD MTEMÁTIC ESPÑOL XLIV OLIMPID MTEMÁTIC ESPÑOL Comunidad de Madrid Primera sesión, viernes de noviembre de 00 En la hoja de respuestas, escribe la letra que corresponde a la opción que creas correcta en cada pregunta. Si decides cambiarla, táchala con una cruz y escribe otra. Cada respuesta correcta te aportará puntos, cada respuesta en blanco puntos y cada respuesta errónea, 0 puntos. No están permitidas calculadoras ni ningún instrumento de medida. Tiempo: horas. un número de cifras del que sabemos que es divisible por, y, se le han borrado las dos últimas cifras, quedándonos el 86. Cuál es la suma de las dos cifras borradas? ) ) 6 9 E) Utilizando algunos de los nueve enteros que hay del al 9, podemos hacer una lista de forma que cualesquiera dos consecutivos no son primos entre sí. Por ejemplo: 6, 8,,,. l hacer la lista más larga posible con los nueve enteros que hay del al 9, cuántos quedarán fuera? ) 0 ) E) l hacer la multiplicación de los dos números de dos cifras que ves, se nos han perdido unos cuantos. Qué cifra debe aparecer en lugar de? ~ ~ ~ ~ 8 ~ 8 ~ 0 ~ ~ ) ) E) 9 Los cuatro números,, y, están colocados en orden creciente. Si la diferencia entre cada dos consecutivos es constante, cuál es valor de y? ) 8 ) 6 E) 8 La suma de un número de tres cifras y la suma de sus cifras es 9. Cuál es el producto de las tres cifras de este número? ) 0 ) E) 8

2 6 Colocamos cinco rectángulos idénticos como se muestra en la figura. Si el rectángulo grande mide cm de ancho, cuál es su área en cm? ) 0 ) E) 0 cm Cuándo es el producto L + un número entero? n ) Cuando n es impar ) Cuando n es par Cuando n es múltiplo de Siempre E) Nunca 8 Doblamos una hoja de papel de dimensiones y como se muestra en la figura, es decir, que una esquina cae en el lado opuesto y el doblez pasa por la otra esquina opuesta al lado. Cuál es el valor de d? ) ) 6 d 90º E) 9 Las siguientes escalas muestran la población de cinco ciudades,, C, D y E en 99 y 00. Cuál de las cinco tiene un porcentaje de crecimiento más alto durante estos diez años? C D E Población en 99 C D E Población en 00 ) ) C D E) E 0 En la circunferencia de la figura, de radio cm, es un diámetro. Hemos dibujado dos arcos del mismo radio, con centros y, que se cortan, como puedes observar, en puntos que están en la circunferencia. Cuál es, en cm, él área sombreada? ) π ) π E) π El dibujo que ves muestra un paralelogramo dentro de un triángulo. Si los segmentos marcados tienen igual longitud, cuántos grados mide el ángulo? ) 80º ) 8º 90º 9º E) 00º

3 Qué fracción del área del rectángulo CD está sombreada? 6 ) 8 ) E) 9 D 8 C Si 0 =, y =, z =, qué afirmación de las siguientes es correcta? ) < y < z ) < z < y y < z < z < < y E) y < < z Si a personas trabajando b horas diarias cada una, pintan c m de pared, cuántas horas debe trabajar al día cada una de d personas para pintar e m? abe ) cd ) abd ce abc de acd be ace E) bd EL dibujo muestra un rectángulo dentro de un cuadrado 0 0. Cuál es el valor de? ) 0 + ) E) 6 El cociente entre la longitud y la anchura de una pantalla de televisión de las de antes es, y 6 ese cociente en las de pantalla plana es. Si dos pantallas, una antigua y otra plana, tienen 9 la misma área, el cociente (longitud pantalla plana):(longitud pantalla antigua) es: ) ) E) Nada de lo anterior El dibujo que ves muestra un cuadrado y dos segmentos que unen vértices del cuadrado con el punto medio de un lado opuesto. Si la figura sombreada es un rectángulo, qué fracción del área del cuadrado ocupa? ) ) 0 E) 8

4 8 Un cuadrado está dividido en cuatro rectángulos iguales y una cuadrado pequeño como se muestra en la figura. Si el área del cuadrado pequeño es del área del grande, cuál es el cociente entre las longitudes de los lados de los rectángulos? 9 ) ) En el rectángulo de la figura, hemos sombreado tres cuartos de su área. Cuál es el valor de? E) ) ),,6 E) En el cuadrilátero CD de la figura, la diagonal C es bisectriz del ángulo. Si = y D =, y los ángulos C ˆ y C ˆ D son rectos, la longitud de dicha diagonal es: ) ) 90º 9 90º E) C D Si + + = 0, cuánto vale +? ) + i ) i De los siguientes números hay uno sólo que es primo. Cuál? E) Nada de lo anterior ) ) E) Si R es el radio de la circunferencia circunscrita a un decágono regular de lado, cuántas de las siguientes epresiones son iguales a R? cos 8º ; sen 6º + ; ( cos 6º ) ; sen º ) 0 ) E)

5 Hace años, la edad de Jorge era el cuádruple de la de Marta, pero hace 8 años era sólo el triple. Cuántos años hace que era nada más que el doble? ) ) 8 6 E) En el rectángulo CD de centro O, el punto E está en el segmento OC y F es el pie de la perpendicular de E a F O. Si OF = y EF = ), el cociente es igual a: C ) D O E E) C 6 En el interior del triángulo equilátero C elegimos al azar un punto P. Cuál es la probabilidad de que el ángulo P sea obtuso? ) ) π 6 + π π + 6 E) En la sucesión,,,,, se verifica, como ves, que cada término después de los dos primeros es la suma de los dos que le preceden. De las siguientes afirmaciones, cuántas son verdaderas? I. El 0º término es divisible por. II. El 0º término es divisible por. III. El 0º término es divisible por. IV. El 0º término es divisible por. ) 0 ) E) 8 Si b es un número real que verifica b = b +, cuál de las siguientes igualdades no es correcta? ) b = b + b ) b = b + b = b + b b + b + = + E) b + b = b + b 9 En el triángulo isósceles C con = C y el ángulo igual a α, las alturas que parten PE de y se cortan en el punto P. Si E es el pie de la altura que parte de, cuánto vale? E ) ) sen α cos α E) tg α 0 Una bolsa contiene m bolas rojas y n bolas blancas. Elegimos al azar una bola, miramos su color y la devolvemos a la bolsa junto a k bolas de su mismo color. continuación elegimos una segunda bola al azar. Cuál es la probabilidad de que esta segunda bola sea roja? ) m m + n ) n m + n m m + n + k m + k m + n + k E) m + n m + n + k

6 REL SOCIEDD MTEMÁTIC ESPÑOL XLIII OLIMPID MTEMÁTIC ESPÑOL Comunidad de Madrid Primera sesión, viernes de noviembre de 006 Nombre:... Curso:.... IES/Colegio:.. Teléfono de contacto:... Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta 6 C D 8 D 9 E 0 6 D 8 E 9 C D 0 D E C 6 D 8 E 9 E 0 Correctas Incorrectas En blanco TOTL