TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA

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1 ESCUELA ESTUDIOS DE TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INFORMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA I ÁLGERA LINEAL OLETINES DE PROLEMAS Curso 8-9

2 Sistemas de ecuaciones lineales. Estructura vectorial de K n. Resolver, utilizando transformaciones elementales, el siguiente sistema: x + y + z + t + u = x y z t 6u = 6 x + y + t + u = x + 6y + z + t + 7u = 8. Resolver, utilizando transformaciones elementales, el siguiente sistema homogéneo: x + y z + t = x + y + z t = x y t =. Discutir y resolver cuando se pueda los sistemas: x y = x + y = x + y = a ax + ay + z = x + ay + z = a x + y + az = a. En R se considera el sistema de ecuaciones lineales: x + (α + 8)y = α 6 αx αy + z = x + 8y z = α Discutirlo y resolverlo según los valores del parámetro α. 5. Discutir y resolver, según los valores de a y c, el sistema: x y z + at = c x + y + z + t = x y + z t = x + y z + t = 8 6. Estudiar, según los valores de m, el siguiente sistema: 6x + 8y mz = 7x y z = x + y 6z = 7. Estudiar y resolver el sistema: x + y + z = λ x x + y + z = λ y x + y + 8z = λ z

3 8. Discutir y resolver según los valores del parámetro λ, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ( λ)x + ( + λ)y + ( + λ)z = λ λx + λy = ( + λ) x + ( + λ)y + ( + λ)z = 9 λ + λ 9. Consideremos una base = {u,..., u } de R y sean los vectores v = u + u + u v = u u + u v = u + au u Determinar la condición que ha de verificar a para que v = u u u + u sea combinación lineal de v, v y v.. Consideremos en R una base = {u,..., u }. Determinar si los vectores: v = u u + u v = u 7u + u u v = u + u + u u v = u + u son linealmente independientes. En caso de no serlo encontrar la relación de dependencia. Calcular el rango de dicho conjunto de vectores.. Sea = {u, u, u } una base de R. Se consideran las variedades: L = L = L = L =< 5u + u + u, u + u + u, 8u + u + u > Calcular la dimensión de cada una de ellas, así como una base contenida en el sistema de generadores dado.. Sea = {u, u, u, u } una base de R y consideremos las variedades L y L generadas por: L = L = Calcular la dimensión de cada una de ellas, una base contenida en el sistema de generadores dado y expresar el resto de los vectores generadores como combinación lineal de los de la base.

4 . Consideremos el espacio R y sea = {u, u, u, u } una base. Sean L, L y L las variedades lineales generadas por los vectores cuyas coordenadas respecto de la base son L =<,, 6 > L =<, 5, 5 6, > L =<,, 6, 6 9 > Calcular, de cada subespacio, la dimensión y una base contenida en el sistema de generadores. Expresar el resto de los generadores en función de los de la base.. Sea una base de R y sean los vectores {a, a, a, a, a} cuyas coordenadas son: a =, a =, a =, a = y a = 6 Se pide: (a) Demostrar que el conjunto {a, a, a, a } es una base de R y calcular las coordenadas del vector a respecto a esa base. (b) Repetir lo mismo con los vectores a = 5 7, a = 5 7, a = 5 7, a = 7 5 y a = 6 (c) Calcular las ecuaciones del cambio de bases anteriores. 5. Sea una base de R y sean los conjuntos de vectores cuyas coordenadas respecto de la base son A = {,,, }

5 C = {,,, } Dado los vectores x = e y = C Se pide: (a) Demostrar que A y C son bases de R. (b) Calcular las coordenadas respecto de la base A y de la base C del vector x. (c) Calcular las coordenadas respecto de la base A y de la base del vector y. 6. Determinar si los vectores del espacio vectorial R : v =, v = 7, v = y v = son linealmente independientes. En caso de no serlo, encontrar la relación de dependencia. 7. Sean u, v, y w tres vectores linealmente independientes de R. Demostrar que los vectores u + v, u v, y u v + w, también son linealmente independientes. 8. Estudiar, según los valores de m y n, la dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores: (a) m, n, 5 m (b),, 5, 7, 5 6 m 5

6 9. Sea {u,..., u n } un conjunto de vectores linealmente independientes de R n. Demostrar que el conjunto de vectores {v,..., v n }, v = u v = u u v = u u u. v n = u u u n es linealmente independiente.. Consideremos en R una base y se consideran los vectores {u, u, u, u } cuyas coordenadas respecto de la base son u =, u =, u = y u = Probar que forman una base de R y hallar, respecto de ella, las coordenadas de v =.. Sea = {u, v, w} una base de R. Sean u = u v+w, v = u+w y w = u v+w. (a) Probar que = {u, v, w } es una base de R. (b) Establecer las ecuaciones del cambio de base de a. (c) Hallar las coordenadas respecto de del vector z = u + v + w.. Sea = {u, u, u, u } una base del R. Se consideran los conjuntos = {v, v, v, v } y = {w, w, w, w }, donde: v =, v =, v =, v = w =, w =, w =, w = Se pide: 6

7 (a) Probar que y son bases de R. (b) Hallar las ecuaciones del cambio de base de a. (c) Determinar las coordenadas respecto de del vector x = 7

8 Ecuaciones en variedades. Consideremos el espacio R 5 y sea = {u, u, u, u, u 5 } una base de él. Sean L, L y L las variedades lineales cuyas ecuaciones implícitas son L L L x + x + x + x + 5x 5 = 6x + x + x + 5x + 7x 5 = 9x + 6x + 5x + 7x + 9x 5 = x + x + x + 8x 5 = 6x x + x + 5x + 7x 5 = 9x x + x + 8x + 9x 5 = 6x x + 5x + 7x + x 5 = x x + x + x x 5 = 5x + 6x x + 7x + x 5 = x + x x + x + x 5 = 7x + 9x x + 5x + 6x 5 = 5x + 9x x + x + 6x 5 = Hallar la dimensión y una base, así como unas ecuaciones paramétricas de las variedades L, L, L, L + L, L + L, L + L, L + L + L, L L, L L, L L y L L L. Hallar la dimensión y una base, así como unas ecuaciones paramétricas e implícitas de las variedades complementarias a las anteriores.. En R consideremos el subconjunto L = {(, x, y) t : x, y R}. Se pide: (a) Demostrar que L es un subespacio vectorial de R. (b) Probar que si = {(,, ) t, (,, ) t } y C = {(,, ) t, (,, ) t, (,, ) t } entonces se tiene que L = L < >= L < C >.. Fijada una base en R, se consideran los conjuntos: A = {(,, ) t }, = {(,, ) t, (,, ) t } y C = {(,, ) t, (,, ) t } Sean L = L < A >, L = L < > y L = L < C >. Se pide: (a) Estudiar si L y L son subespacios complementarios. Análogamente para los subespacios L y L. (b) Expresar, si es posible, (,, ) t como suma de un vector de L y otro de L. La descomposición es única? (c) Expresar, si es posible, (,, ) t como suma de un vector de L y otro de L. La descomposición es única? 8

9 . Consideremos en R la base = {e, e, e, e }. Para cada uno de los subespacios L =< v, v, v > y L =< u, u, u, u > calcular, la dimensión, una base contenida en el sistema de generadores dado y la expresión de los restantes vectores respecto de la base, en donde 5. En R se consideran los vectores v = e e + e v = 6e 5e + e v = e + e e + e u = e e + e e u = e + e + e + e u = e + e + e u = e + e + e u = (,,, ) t, u = (,,, ) t, u = (, 6,, 5) t y u = (,,, 6) t Se pide: (a) Ecuaciones implícitas de L =< u, u, u, u >. (b) Dimensión y base de L. (c) Coordenadas de los vectores dados respecto de la base formada. (d) Prolongación de la base de L a una de R. 6. Determinar en R un subespacio suplementario de cada uno de los subespacios siguientes: (a) L =< (,, ) t > 7. L =< (,, ) t, (,, ) t > 7. L =< (,, ) t, (,, ) t, (,, ) t > 7. Construir en R 5, un subespacio complementario del subespacio: x x + x x 5 = L x + x + x 5 = x x + x 5 = 8. Se consideran en R los subespacios F y G generados respectivamente por los vectores < u, u, u > y < v, v, v > en donde u = (,,, ) t, u = (,,, ) t, u = (,,, ) t, v = (,,, ) t, v = (,,, ) t y v = (,,, ) t. Hallar las ecuaciones de F G y de F + G. 9

10 9. En R se consideran las variedades lineales: L = L < (,,, ) t, (,,, ) t, (, + α, + α, ) t > x + x + (β )x + x = L x + x + + x = x + x βx = Estudiar, en función de los valores de α y β, L +L y L L, dando sus ecuaciones, dimensiones y bases.. En R se consideran las variedades lineales: L = L < (,,, ) t, (,,, ) t, (,,, α) t > x x x x = L x x x = x 5x + αx = (a) Hallar α para que L L está generado por un único vector. Existe algún α para el cuál L L tenga una base de dos elementos? (b) Para los valores anteriores de α, hallar tres bases, y de L L, L y L + L, respectivamente, de modo que.. Dadas las variedades lineales de R : { x + x L = x + x = L { x αx = x + x = Hallar, en función de α, una base de L L y unas ecuaciones de L + L, así como espacios complementarios de L, L, L + L y L L.

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12 Aplicaciones Lineales. Determinar una aplicación lineal f : R R, tal que Ker(f) está generado por (,,, ) t y (,,, ) t, e Img(f) generada por (,, ) t y (,, ) t.. Consideremos la aplicación lineal f : R R definida por: f x y z = x + y z (a) Determinar Ker(f) y hallar una base de dicho subespacio. (b) Hallar el rango de f. (c) Pertenece (6,, ) t a Ker(f)?. Dada la aplicación lineal f : R R definida por f x y z = ( x + y z ) Se pide: (a) Ecuaciones de f respecto de las bases canónicas. (b) Expresión matricial de f respecto de las bases = {(,, ) t, (,, ) t, (,, ) t } y C = {(, ) t, (, ) t }. (c) Ecuaciones de f respecto de las bases = {(,, ) t, (,, ) t, (,, ) t } de R y C = {f((,, ) t ), f((,, ) t )} de R.. Fijada una base en R. Consideremos las aplicaciones lineales f : R R tales que Unas ecuaciones de Ker(f), respecto de, son x + x + x =. { x + x Unas ecuaciones de Img(f), respecto de, son: = x = Se pide (a) Ecuaciones de f respecto de. (b) Determinar f f.

13 5. Sea f : R R una aplicación lineal cuyas ecuaciones son: f x x x x = Sea L un subespacio de R. Determinar f(l) en los siguientes casos: (a) Una base de L está formada por los vectores v = (,,, ) t y w = (,,, ) t (b) Unas ecuaciones implícitas de L son: L = x x x x { x x + x x = x + x + x x = 6. Sea la aplicación lineal f : R R que respecto de las bases canónicas tiene por ecuaciones: 5 x x f x = x x x 5 Determinar f (L) para los siguientes subespacios L de R : (a) Las ecuaciones implícitas de L son ax + bx + cx + dx =. { x + x (b) Las ecuaciones de L son: + x = x x + x = (c) L está generada por los vectores (,,, ) t y (,,, ) t. 7. Sea f : R R la aplicación lineal de tal forma que f(e ) = (,,, ) t, f(e ) = (,,, ) t y f(e ) = (,,, ) t, en donde {e, e, e } es una base de R. Hallar la expresión matricial de f respecto de las bases = {(,, ) t, (,, ) t, (,, ) t } de R y C = {(,,, ) t, (,,, ) t, (,,, ) t, (,,, ) t } de R. 8. Sea C = {u, u, u, u } una base de R y sean f y g las aplicaciones lineales de R en R determinadas por: f(u ) = (,,, ) t f(u ) = (,,, ) t f(u ) = (,,, ) t f(u ) = (,,, ) t g(u ) = (,,, ) t g(u ) = (,,, ) t g(u ) = (,,, ) t g(u ) = (,,, ) t (a) Determinar las matrices asociadas a f y g, respecto a C. (b) Idem para f, f g, g f y f g.

14 9. Sean f, g : R R definidas por: x x y f y = z y g z x + y + z x y z = x y x x y + z (a) Hallar la expresión matricial de f + g respecto de las bases canónicas. (b) Idem para f g. (c) Determinar Ker(f) y Ker(g). Es Ker(f) + Ker(g) = Ker(f + g)?. Para cada λ R se define la aplicación lineal f λ : R R f λ x x x x = λx + x x + λx x + x (a) Estudiar los valores de λ que hacen que f λ sea inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. (b) Hallar una base de Ker(f λ ) para λ =. (c) Sea la variedad lineal L de R de ecuaciones L = para λ =. { x = x =. Calcular f λ(l) (d) Dada la base de R, = {(,, ) t, (,, ) t, (,, ) t }, hallar la matriz de f λ (L), para λ =, respecto a la base canónica de R y de R.. Sea f : R R lineal y definida por: El vector (,, ) t se transforma, mediante f, en sí mismo. La variedad lineal de ecuación {x x = también se transforma en sí misma. La matriz asociada a f, respecto de la base canónica, es simétrica y de traza nula (la traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal). Se pide: (a) Hallar la matriz A asociada a f respecto de la base canónica. (b) Es posible determinar una base del núcleo sin necesidad de hallar sus ecuaciones? Razona la respuesta. (c) Siendo H la variedad lineal generada por los vectores (,, ) t y (,, ) t, hallar una base de f 998 (H). (d) Determinar una base de f(l) H donde L es la variedad de ecuación {x =.

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16 Ortogonalidad. Se considera, en el espacio vectorial euclídeo R, la base = {e, e, e }, tal que: < e, e >=, < e, e >=, < e, e >=, < e, e >=, < e, e >= y < e, e >= (a) Hallar la matriz de dicho producto escalar respecto de la base. (b) Ortonormalizar la base = {(,, ) t, (,, ) t, (,, ) t } de R.. Dada, en el espacio vectorial euclídeo R, la aplicación que con respecto a la base canónica viene definida como < x, y >= y t x se pide: (a) Demostrar que es un producto escalar. (b) Utilizando el método de Gram-Schmidt, obtener una base ortonormal asociada a la base {e + e, e, e + e }. (c) Encontrar una base en donde la matriz del producto escalar anterior sea la identidad.. En el espacio vectorial euclídeo R, con el producto escalar < x, y >= x y + x y + x y + x y se considera el subespacio L generado por los vectores (,,, ) t y (,,, ) t. Determinar un subespacio suplementario y ortogonal de L.. Sea R el espacio vectorial euclídeo tridimensional y = {u, u, u } donde: u =, u =, u = 5, < u, u >= y el vector u u es ortogonal a los vectores u y u. Se pide: (a) Matriz del producto escalar respecto de la base. (b) Una base ortonormal de R asociada a la base. 5. Se considera en R el producto siguiente: se pide: < x, y >= y t 6 x

17 (a) Demostrar que es un producto escalar. (b) Respecto a ese producto escalar, hallar la variedad lineal ortogonal a la generada por los vectores (,, ) t y (,, ) t. (c) Respecto a ese producto escalar, encontrar una base ortonormal de R. 6. Consideremos en R una base = {e, e, e } y, respecto a esta base, el producto definido por: < x, y >= y t Qx en donde los elementos de la matriz Q son a ij =. i+j+ Se pide: (a) Demostrar que el producto anterior es un producto escalar. (b) Calcular el ángulo de los vectores e y e. (c) Estudiar para qué valores de a, son ortogonales e + ae y e ae. (d) Ortonormalizar la base. 7. En el espacio vectorial euclídeo R {, respecto de una base ortonormal, se consideran 6x y = a = (,, ) t y el subespacio H y z = (a) Obtener una base ortonormal de H. (b) Expresar a como x + y donde x H, y H. 8. Se considera el producto de R definido por < x, y >= x y + x y + x y + αx y x y x y + x y (a) Calcular α para que sea un producto escalar. (b) Para α =, hallar una base ortonormal de R. (c) Para α =, la variedad lineal L cuya ecuación es {x x = y la variedad M de ecuación {x x =, hallar una variedad lineal de dimensión que contenga a L y a M. 9. Se considera el espacio vectorial euclídeo R con el producto que respecto a la base canónica tiene la forma < x, y >= y t Qx en donde: Q = (a) Demostrar que se trata de un producto escalar. (b) Calcular el valor de a para que los vectores (,, a) t y (a,, ) t sean ortogonales. 7

18 (c) Si L es la variedad lineal de ecuaciones { x + x + x =, hallar unas ecuaciones implícitas de L. (d) Dado el vector v = (,, ) t, descomponerlo en suma de dos vectores, uno de L y otro de L. (e) Obtener una base ortonormal de R, = {u, u, u }, con u L.. Sea f : R R la aplicación lineal definida por: y sea L la variedad lineal f x x x L = x + x + x x x + x x { x + x = x + x = Si se define en R el producto escalar cuya matriz, respecto de la base canónica es: 5 (a) Descomponer el vector (,, ) t en suma de uno de f(l) y otro de [f(l)]. (b) Hallar una base de la variedad L + f(l). (c) Hallar unas ecuaciones implícitas de L f(l).. Sea el producto en R < x, y >= y t Qx cuya matriz Q, respecto de la base canónica, es α Se pide: (a) Calcular el valor de α para que el producto sea un producto escalar. (b) Determinar α para que además, los vectores u = (,, ) t y v = (,, ) t sean ortogonales. (c) Para el valor de α calculado anteriormente, determinar la variedad ortogonal a la variedad lineal L {x y z =. (d) A partir de las bases de L y L, obtener una base ortonormal de R. 8

19 . Se considera el espacio vectorial R en donde se define el producto < x, y >= y t Qx, con Q la matriz Q = 9 (a) Demostrar que el producto anterior es un producto escalar. (b) Hallar una base ortonormal de R aplicando el algoritmo de Gram-Schmidt a la base {e, 7e + 5e + e, e }. (c) Sea f : R R definida por f(e ) = e, f(e ) = e y f(e ) = λe y sea la variedad lineal L generada por e y e. Hallar, en función de λ, una base de f(l ).. Consideremos en R una base = {u, u, u } y se sabe que = i + j i, j {,, } (a) Dada la variedad lineal L de ecuación {x + y =, encontrar L. (b) Hallar una base ortonormal aplicando Gram-Schmidt a la base.. En el espacio vectorial euclídeo R y respecto a una base ortonormal se consideran las variedades lineales: { x x L = L x x = {x + αx + βx = (a) Hallar α y β sabiendo que L es ortogonal a L. (b) Obtener una base de L, y otra de L, tales que su unión = sea una base ortonormal de R. (c) Utilizando la base del apartado anterior, construir razonadamente una transformación f de R tal que f(l ) L. Se podría hallar si la condición fuese f(l ) L? 5. En el espacio vectorial euclídeo R con el producto escalar habitual, consideramos las variedades lineales L {x + z = y L =< (,, ) t >. Se pide: (a) Estudiar la relación que existe entre L y L. Es L el complemento ortogonal de L en R? (b) Obtener una base ortonormal = {u, u, u } de R tal que u L. (c) Dado el endomorfismo f : R R definido por x f y = z x + y x y z 9

20 6. Sea Q = i. Obtener la matriz de f respecto a la base. Conserva f la norma de un vector? Y el ángulo entre dos vectores? ii. Hallar el subespacio complementario ortogonal de f (L f(l )). a y consideremos en R las variedades lineales L {x x x = L { x 5x = x + x = (a) Calcular a para que < x, y >= y t Qx sea un producto escalar. (b) Hallar a para que las variedades L y L sean ortogonales. (c) Calcular una base y las ecuaciones implícitas de L. (d) A partir de las bases de L y L, obtener una base ortonormal de R. 7. Se considera en R el producto < x, y >= y t Qx cuya matriz Q viene dada por, respecto de la base canónica. a (a) Para qué valores de a se trata de un producto escalar? { x = (b) Calcular a sabiendo que, además, las variedades L x = L { x x = son ortogonales. (c) Obtener, para el valor de a obtenido en el apartado anterior, y a partir de L y L, una base ortonormal de R. (d) Consideremos el endomorfismo f de R definido por: f(e ) = e + e, f(,, ) t = (,, ) t y f(,, ) t = (,, ) t. i. Hallar la matriz asociada a f respecto de la base obtenida en el apartado anterior y estudiar si f es una transformación ortogonal. ii. Dada la variedad lineal L de R, de ecuación implícita {x =, calcular F = [f(l ) L ]. 8. Se considera en R el producto escalar usual. Sean u R un vector unitario fijo y H el subespacio ortogonal a u. Se define: f u : R R donde f u (x) = x δu, siendo δ =< x, u >. (a) Probar que f u es lineal. y

21 (b) Probar que f u es la identidad. (c) Probar que si x H entonces f u (x) = x (d) Calcular f u (H) y f u (u). (e) Probar que existe una base ortonormal de R tal que la matriz asociada a f u respecto de es. (f) Sean u, v R ortogonales y unitarios, y sean H y H los subespacios ortogonales a u y v respectivamente. Si g = f u f v, demostrar que g(x) = x si y sólo si x H H.

22 Aplicaciones lineales en espacios vectoriales euclídeos. Dado el endomorfismo f : R R definido como f((x, y, z) t ) = (x + y + z, x + y + z, x + y + z) t en donde se considera en R el producto escalar < x, y >= y t Qx con Q la matriz se pide (a) Calcular la expresión matricial de f respecto de la base canónica. (b) Calcular la expresión matricial del endomorfismo adjunto de f respecto de la base canónica. Es f normal? Y autoadjunto?. Dado el endomorfismo f : R R definido como f((x, y, z) t ) = ( y + z, x + z, x + y) t en donde se considera en R el producto escalar < x, y >= y t Qx con Q la matriz se pide (a) Calcular la expresión matricial de f respecto de la base canónica. (b) Calcular la expresión matricial del endomorfismo adjunto de f respecto de la base canónica. Es f normal? Y autoadjunto?. Sean u = (,, ) t, u = (,, ) t y u = (,, ) t los vectores de una base de R. Sea la aplicación lineal cuya expresión matricial respecto de la base anterior es f x y z = Estudiar si dicho endomorfismo es autoadjunto o no. x y z

23 . Sean u = (,, ) t, u = (,, ) t y u = (,, ) t los vectores de una base de R. Sea la aplicación lineal cuya expresión matricial respecto de la base anterior es f x y z = Estudiar si dicho endomorfismo es autoadjunto o no. 5. Demostrar que los siguientes endomorfismos son autoadjuntos: (a) f((x, y) t ) = (x + y, y + x) t (b) f((x, y, z) t ) = (y + z, x + z, x + y) t 6. Sea = u = (,, ) t, u = (,, ) t, u = (,, ) t una base de R. Sean las aplicaciones lineales cuyas expresiones matriciales respecto de la base anterior son: A = 6 ; = 5 x y z ; C = (a) Calcular la expresión matricial de los adjuntos respecto de la base. (b) Estudiar si son isometrías o no. 7. Dado, en el espacio vectorial euclídeo R, el producto escalar que respecto de la base canónica viene definido como < x, y >= y t x Sea el endomorfismo f((x, y, z) t ) = (x + y z, x y + z, x + y + z) t. Se pide (a) Calcular el endomorfismo adjunto f. (b) Es normal? (c) Es f autoadjunto? 8. Sea la base = {(,, ) t, (,, ) t, (,, )t } de R y sea f el endomorfismo cuya matriz respecto de la base canónica es 5

24 (a) A partir de, obtener una base C ortonormal. (b) Calcular la expresión del endomorfismo adjunto f respecto de la base canónica. (c) Es normal? (d) Es autoadjunto? 9. Sea la base = {(,,, ) t, (,,, ) t, (,,, ) t, (,,, ) t } de R y sea f el endomorfismo cuya matriz respecto de la base canónica es (a) A partir de, obtener una base C ortonormal. (b) Calcular la expresión del endomorfismo adjunto f respecto de la base canónica. (c) Es normal? (d) Es autoadjunto?

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26 Formas canónicas. Hallar los autovalores y los subespacios propios de los endomorfismos que, en la base canónica, tienen asociadas las matrices: 6 Analizar en ambos casos si son diagonalizables.. Sea V un espacio vectorial de dimensión, en el que se considera una base = {u, u, u }. Se considera un endomorfismo f : V V del cual se sabe que: El vector 6u + u + 5u se transforma, por f, en sí mismo. La variedad {x + x 7x = es un subespacio propio de f. La traza de la matriz A de f, respecto de, es igual a 5. (a) Hallar los autovalores de f. (b) Hallar la matriz A de f en la base.. Sea f : R R el endomorfismo que, respecto de una base dada = {u, u, u }, tiene asociada la matriz: A= + α α α + α α α α R a) Obtener los autovalores de A, comprobando que no dependen del parámetro α. b) Obtener los subespacios propios de f, en función de α, y estudiar cuando f es diagonalizable. c) Cuando f sea diagonalizable, hallar su forma diagonal y la base correspondiente.. En el espacio vectorial R y respecto de una base = {u, u, u }, se considera el endomorfismo f del que se sabe que: f(u ) = u + u + u, f(u ) = u + u. La matriz de f respecto de es simétrica. El vector a = u u u es autovector de f. 6

27 Hallar la matriz de f respecto de, así como los autovectores y autovalores. Es f diagonalizable?. 5. Calcular la forma canónica de Jordan de las siguientes matrices, así como una base canónica de Jordan de cada una de ellas. ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Calcular la forma canónica de Jordan de las siguientes matrices, así como una base canónica de Jordan de cada una de ellas Calcular la forma canónica de Jordan de las siguientes matrices, así como una base canónica de Jordan de cada una de ellas

28 Calcular la forma canónica de Jordan de las siguientes matrices, así como una base canónica de Jordan de cada una de ellas De una matriz cuadrada A de dimensión 9 9 se sabe que tiene a λ = como autovalor quíntuple y a λ = como autovalor cuádruple. Se sabe además que: rank(a I) = 7, rank(a I) = 5, rank(a I) = rank(a + I) = 8, rank(a + I) = 7, rank(a I) = 6 Hallar las cajas de Jordan de la matriz A.. Determinar en función de los parámetros α, β R, la forma canónica de Jordan de la matriz: A= α β En el caso de no ser A diagonalizable, hallar una matriz P de paso a la forma de Jordan, J = P AP. 8

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