CBC EXACTAS INGENIERÍA PRÁCTICA 5

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María Rosario Ortíz Cuenca
hace 5 años
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1 Ing. José Luis Unmuno & Asoc. Tel.: CBC EXACTAS INGENIERÍA PRÁCTICA 5 TRANSFORMACIONES LINEALES (EN ESTE APUNTE TRANSCRIBIREMOS LA INTRODUCCIÓN TEÓRICA Y LOS TEXTOS DE LOS EJERCICIOS TOMADOS DEL APUNTE EDITADO POR LA FUNDACIÓN ENSEÑAR CIENCIA A LOS EFECTOS DE ACLARAR LAS DEFINICIONES QUE VAMOS A UTILIZAR Y ESTABLECER LA MISMA NOTACIÓN SIMBÓLICA, LOS APUNTES MENCIONADOS LOS PODÉS ADQUIRIR EN UBASUR, EVA PERÓN 65 FRENTE A LA UBA, EN AVELLANEDA?) Presentción: quí vmos ver sin dibujos ni coss por el estilo, y con en enfoque lo más estricto posible el tem Trnsformciones Lineles (que es un tem espinoso porque cd vez se sumn más conceptos) Recordemos que esto es Álgebr, y el Álgebr se bs en definiciones, son purs definiciones y construcciones que no necesrimente representn elementos reles, en muchos csos son purs bstrcciones. Tenés que mnejr sin duds ni bches el tem Espcios Vectoriles, si no, no vle l pen seguir. Aclrción: quí están resueltos solo los problems típicos y los que entrñn lgun dificultd en prticulr. Si un problem se resuelve como otro nterior, simplemente hremos un referenci l problem y resuelto. TRANSFORMACIONES LINEALES (TL) Definiciones y Propieddes TRANSFORMACIONES LINEALES Sen V y W espcios vectoriles sobre R. Un trnsformción linel f:v W es un función que stisfce ls siguientes dos propieddes: TL: TL: Si u V y v V, f(u+v) = f(u) + f(v). Si k R y u V, f(k.u) = k f(u). Son TL: L función Nul, :V W dd por (v)= v V L función Identidd, id:v, dd por id(v)=v, v V. Propieddes: Culquier TL f:v W stisfce: ) f() = b) f(-v) = -f(v) c) f(v-w) = f(v) f(w) d) f(.v +.v n.v n ) =.f(v ) +.f(v ) n.f(v n ) Notción: si f:v W, S T V, T T W, w W, notmos f(s) = {w W / w =f(s), con s S} f - (w) = {v V / f(v) = w} f - (T) = {v V / f(v) W T} Propieddes: Si S es subespcio de V, entonces f(s) es subespcio de W Si T es subespcio de W, entonces f - (T) es subespcio de V. Teorem: Si {v,v,, v n } es un bse de V, w, w, w n son vectores (no necesrimente distintos) en W, entonces hy un únic TL tl que f(v ) = w, f(v ) = w,, f(v n ) = w n, Pg. de 8 3/3/6 AlgebrCBC_Prctic_5_TrnsformcionesLineles9.doc

2 Ing. José Luis Unmuno & Asoc. Tel.: Este teorem nos dice que un TL está completmente determind por los vlores que tom en un bse. Si f:v W es un TL, llmmos: Núcleo de f l conjunto Nu f = {v V / f(v)=} imgen de f l conjunto Im f = {w W / w = f(v), con v V} Observción Im f = f(v) Propieddes: si f:v W es un TL, entonces: ) Nu f es un subespcio de V b) Im f es un Subespcio de W c) Si {v,v,, v n } es un conjunto de generdores de V, entonces: {f(v ), f(v ),, f(v n )} es un conjunto de generdores de Im f. d) Si {f(v ), f(v ),, f(v n )} es linelmente Independiente, entonces v,v, v n es linelmente Independiente Decimos que un TL f:v W es : Monomorfismo Epimorfismo si es inyectiv, esto es, si verific f(v)=f(w) entonces v=w si es suryectiv, esto es, si Im f L W Isomorfismo si es biyectiv, es decir si es Monomorfismo y Epimorfismo Propieddes: si f:v W es un TL, entonces: ) f es Monomorfismo Nu f = b) Si f es Monomorfismo y {v, v,, v r } es linelmente independiente, entonces {f(v ), f(v ),,f(v r )} es linelmente independiente. c) f es Isomorfismo si y sólo si: Si {v,v,, v n } es bse de V, entonces {f(v ), f(v ), f(v n )} es bse de W Teorem de l Dimensión si f:v W es un TL, entonces Propieddes: dim V = dim Nu f + dim Im f si f:v W y g:w U son TL, l composición gºf:v U dd por (gºf) (v) = g(f(v)), es TL. Si f:v W es Isomorfismo, l función invers f - :W V, que cumple f º f - = idw y f - º f= idv, es Isomorfismo. Si f:v W y g:w U son Isomorfismos (gºf) es Isomorfismo y se verific: (gºf) - = f - ºg - Un TL p:v V es un proyector si pºp=p. Propiedd: si p:v V es un proyector, entonces V = Nu p Im p Pr todo v Im p, p(v)=v Dds l TL f:r n R m, eiste un únic mtriz A R mn tl que f puede escribirse en l form: f (,,., n) = A, ó f() = A n Est mtriz tl que f() = A se denomin Mtriz de L Trnsformción Linel f, y escribimos A=M(f). Propiedd: ls columns de M(f) son un conjunto de generdores de Im f. Pg. de 8 3/3/6 AlgebrCBC_Prctic_5_TrnsformcionesLineles9.doc

3 Ing. José Luis Unmuno & Asoc. Tel.: Si A R mn, el rngo column de A es l dimensión del subespcio generdo por ls columns de A, el rngo fil de A es l dimensión del subespcio generdo por ls fils de A. Teorem: si A R mn, entonces rngo fil de A = rngo column de A Est iguldd nos permite hblr de rngo de A, que notremos rg A. Propiedd: dim Im f = rg M(f) Teorem: Si A R mn, l dimensión del subespcio de soluciones de A= es n - rg A. Sen B={v, v,,v n } un bse del espcio vectoril V de dimensión n y B ={w, w,,w m } bse de un espcio vectoril W de dimensión m. si f:v W es un TL y f(v j ) = j.w + + mj.w m, <= j <= n, llmmos mtriz socid f en ls bses B y B, l mtriz de mn: M BB' ( f ) = m m n n mn Notr que en l column j de M BB (f) están ls coordends de f(v j ) en bse B. L mtriz M BB (f) es tl que si v V, M BB (f).(v) B =(f(v)) B Observción: si f:r n YR m y E y E son ls respectivs bses cnónics. M EE (f) = M(f) Notción: Si W=V y B =B, escribimos M B (f) en lugr de M BB (f). Propiedd: rg M BB (f) = dim Im f ; de esto se deduce que el rngo de un mtriz socid un trnsformción linel, no depende de ls bses elegids. Propiedd: Mtriz de l composición: Sen U, V y W espcios vectoriles, y sen B, B y B bses de U, V y W respectivmente. Si f:uyv y g:vyw son TL, se tiene: M BB (gºf).= M B B (g). M BB (f) Propiedd: si f:v W es un Isomorfismo, y B y B son bses de V y W respectivmente, M B B (f - ).= (M BB (f)) - Si B y B son dos bses del espcio vectoril V, llmmos mtriz de cmbio de bse de B B, l mtriz C BB = M BB (id) Propiedd: C B B = (C BB ) - Propiedd: si f:v V es un TL y B y B son bses de V, M B (f) = C BB. M B (f). C B B o en virtud de l propiedd nterior, M B (f) = (C B B ) -. M B (f). C B B EJERCICIOS Ejercicio : Determinr cuáles de ls siguientes funciones son TL : ) f:r YR, f(, ) = (, ) (epresión nlític) Pr ser TL debe cumplir ls condiciones TL y TL (ver pág. ) Pg. 3 de 8 3/3/6 AlgebrCBC_Prctic_5_TrnsformcionesLineles9.doc

4 Ing. José Luis Unmuno & Asoc. Tel.: TL: f(+b) = f() + f(b) TL: f(k.) = k.f() sen y b R = (, ) y b=(b,b ), +b = ( +b, +b ) y k. = (k.,k. ) Simplemente plicmos l epresión nlític de f y verificmos que se cumpln TL y TL TL f(+b) = f() + f(b) (, +b ) = (, ) + (, b ) (, +b ) = (, +b ) Listo TL f(k.) = k.f() (,k. ) = k. (, ) (,k. ) = (,k. ) Listo b) f:r YR, f(, ) = (. -5, +, ) TL f(+b) = f() + f(b) (.( +b )-5, ( +b ) + ( +b ) ) = (. -5, + ) + (.b -5,b +b ) (. +.b -5, +b + +b ) = (. +5+.b +5, + + b + b ) Aquí se ve que no se cumple l primer condición, no es TL c) f:r YR 3, f(, ) = ( +3.,, ) (est slt l vist que es TL) TL f(+b) = f() + f(b) (( +b )+3.( +b ), ( +b ), ( +b )) = ( +3.,, ) + (b +3.b, b, b ) (( +b )+3.( +b ), ( +b ), ( +b )) = ( +b b, +b, +b ) OK TL f(k.) = k.f() (k. +3.k., k., k. ) = k. ( +3.,, ) OK d) f:r YR, f(, ) = (est no es TL, comproblo vos) + e) f:r YR 3, f(, ) = trbjremos con mtrices, es similr pero ordendo de otr mner, sen y b R = (, ) y b=(b,b ), +b = ( +b, +b ) y k. = (k.,k. ) TL f(+b) = f() + f(b) + b + b + + b ( + b ) ( + b ) TL f(k.) = k.f() k. k. + k. k. k. = = k. + + b + b b + b Si plicmos el producto del esclr por l mtriz en el segundo miembro vemos que l TL se cumple, listo. f) f:r YR, f(a) = det (A) En este cso los elementos sobre los cules trbjmos son mtrices de y l trnsformción linel corresponde l clculo del determinnte, es decir que podrímos escribir l epresión nlític de est mner: f:r YR, f( ) =. -. Será un TL? vemos con A, B, A+B y ka R TL f(a+b) = f(a) + f(b) ( +b ).( +b )-( +b ).(.b ) = b.b - b.b Est no se cumple, se hce evidente poco de operr sobre el primer miembro de l iguldd, entonces no es un TL g) f:r 3 YR, f() = v con v=(,,-3) b OK OK Pg. 4 de 8 3/3/6 AlgebrCBC_Prctic_5_TrnsformcionesLineles9.doc

5 Ing. José Luis Unmuno & Asoc. Tel.: Aquí v no es otr cos que el producto esclr de dos vectores, podemos escribir l epresión nlític de f como f(,y,z) = (,,-3) (,y,z) = v+y-3z te dejo vos comprobr que es un TL (es como el ejercicio c) pero más fácil. h) f:r 3 YR 4, f() = A., con A R 43 Este es similr l nterior y se resuelve como el c), sólo hy que tener pcienci y ordenr ls coss muy bien. Te delnto que es un TL. Plnteemoslo de est mner: A R 43 es decir que A = A = 3 4 Plntendo l epresión pr f qued: f y = A. = z y = z Con est últim epresión nlític podemos trbjr como en el cso del ejercicio b) y comprobr que es un TL. Se v =(,y,z ), v =(,y,z ), v + v = ( +,y +y,z +z ) TL f(v + v ) = f(v ) + f(v ).(.( 3.( 4.( ) + ) + ) + ) ) + ) + ) + ) + vemos que est iguldd se cumple. L otr condición te l dejo vos. 3 3.( z + z).( z + z).( + ) = z z.( z + ) z Pg. 5 de 8 3/3/6 AlgebrCBC_Prctic_5_TrnsformcionesLineles9.doc

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