Dyna ISSN: Universidad Nacional de Colombia Colombia

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1 Dya ISSN: Uversdad Nacoal de Colomba Colomba ARANGO SERNA, MARTÍN DARIO; VERGARA RODRÍGUEZ, CESAR; GAVIRIA MONTOYA, HORACIO MODELIZACIÓN DIFUSA PARA LA PLANIFICACIÓN AGREGADA DE LA PRODUCCIÓN EN AMBIENTES DE INCERTIDUMBRE Dya, vol. 77, úm. 162, uo, 2010, pp Uversdad Nacoal de Colomba Medellí, Colomba Dspoble e: Cómo ctar el artículo Número completo Más formacó del artículo Pága de la revsta e redalyc.org Sstema de Iformacó Cetífca Red de Revstas Cetífcas de Amérca Lata, el Carbe, España y Portugal Proyecto académco s fes de lucro, desarrollado bao la catva de acceso aberto

2 MODELIZACIÓN DIFUSA PARA LA PLANIFICACIÓN AGREGADA DE LA PRODUCCIÓN EN AMBIENTES DE INCERTIDUMBRE FUZZY MODELIZATION FOR AGGREGATED PRODUCTION PLANNING UNDER UNCERTAINTY ENVIRONMENTS MARTÍN DARIO ARANGO SERNA II. Doctor Igeero Idustral Escuela de Igeería de la Orgazacó. Facultad de Mas. Uversdad Nacoal, CESAR VERGARA RODRÍGUEZ II, Uversdad Nacoal de Colomba, HORACIO GAVIRIA MONTOYA Estudate de geería dustral, Uversdad Nacoal de Colomba, Recbdo para revsar Julo 5 de 2009, aceptado Octubre 7 de 2009, versó fal Octubre 26 de 2009 RESUMEN: El presete artículo preseta ua herrameta de apoyo a los procesos de toma de decsó e la plafcacó de la produccó a medao plazo cuado la demada es u parámetro co certdumbre, desarrollada al teror del Grupo de Logístca Idustral Orgazacoal GICO. El desarrollo de u pla de produccó lleva cosgo la determacó de parámetros que muchas veces posee certo grado de vaguedad, esto colleva a que el persoal a cargo de tomar dedcoes asuma el maeo de esta certdumbre. La lógca dfusa aparece como ua herrameta alteratva a la estocástca o tradcoal para asstr procesos de toma de decsoes e ambetes dfusos. Este artículo calmete realza ua breve troduccó acerca de la plafcacó de la produccó y de la lógca dfusa. Segudamete se dseña u modelo de programacó leal dfusa como herrameta de apoyo para la toma de decsó e la plaeacó agregada de la produccó cuado esta sgue ua estratega de alcace de la demada prevsta, asumedo a la demada como u parámetro dfuso. Para la costruccó de este modelo fue precso platear prevamete u modelo de programacó leal que marcara los límtes del modelo dfuso. Falmete e este artículo se solucoa u problema de plaeacó agregada dode la demada posee certdumbre, utlzado el modelo dfuso propuesto. PALABRAS CLAVE: Lógca dfusa, plafcacó de la produccó, decsoes e ambetes dfusos, modelo de programacó leal dfusa, plaeacó agregada, modelo de programacó leal ABSTRACT: Ths artcle shows a tool to support decso makg producto plag for the medum term f demad s a ucerta parameter, developed to the Idustral Orgazatoal Logstc Research Group GICO. The developmet of a producto pla volves the determato of parameters that ofte have some degree of vagueess, t s cocluded that the persoel charge of takg dedcato assume the maagemet of ths ucertaty. Fuzzy logc appears as a alteratve to tradtoal or stochastc processes to assst decso makg fuzzy evromets. Ths artcle begs wth a bref troducto of the producto plag ad fuzzy logc. I the secod part t desgs a fuzzy lear programmg model as a tool to support decso makg the aggregate producto plag whe t follows a strategy of forecast demad, assumg the clam as a fuzzy parameter. For the costructo of ths model prevously was to rase a lear programmg model to mark the boudares of the fuzzy model. Fally ths paper solves a aggregate plag problem where demad s ucerta, usg the proposed fuzzy model. KEYWORDS: Fuzzy logc, producto plag decsos fuzzy evromets, fuzzy lear programmg model, aggregate plag, lear programmg model. Dya, Año 77, Nro. 162, pp Medellí, Juo de ISSN

3 398 Arago et al 1. INTRODUCCIÓN E este artculo se desarrolla el cocepto de lógca Dfusa, troducdo e 1965 por Lotf Asker Zadeh [8]. La lógca dfusa es u leguae que permte modelar setecas del leguae atural del ser humao como u formulsmo matemátco. Este modelameto se realza a través de ua fucó de membresía o perteeca cotua e el tervalo [0,1] que calfca el vel de perteeca de cada elemeto de u couto [3], [9]. E u proceso de plafcacó de la produccó se determa paralelamete los veles de produccó, vetaro y capacdad de ua orgazacó para u horzote de plafcacó coocdo co el f de mmzar los costos totales geerados por el pla de produccó [4]. E u problema de plafcacó de la produccó dode la certdumbre de los parámetros uega u papel mportate, la herrameta de apoyo para la toma de decsoes debe seleccoarse de maera que le faclte al usuaro tomar la decsó adecuada y respoder a los posbles mprevstos que sura [1]. El obetvo de este artículo es presetar ua herrameta de apoyo para la toma de decsoes e la plafcacó de la produccó, más cocretamete e la plaeacó agregada. Este artculo se emarca detro del proyecto de Ivestgacó facado por el DIME 2008 ttulado Modelzacó matemátca fuzzy para la plafcacó de la produccó e cotextos de certdumbre Se da u breve marco referecal asocado a la plafcacó de la produccó y a la lógca dfusa co el obetvo de famlarzar al lector co estas temátcas. Para la costruccó del modelo fuzzy se hzo ecesaro la delmtacó de los parámetros dfusos presetes e el msmo, esto se logra evaluado el modelo determsta equvalete e los límtes que preseta los parámetros dfusos. Falmete, se lustra el uso del modelo de programacó leal dfusa propuesto e este artículo e el campo de la plafcacó de la produccó, específcamete brdado solucó a u problema de plaeacó agregada, teedo e cueta a la demada como u parámetro dfuso y las coclusoes más relevate sobre el problema modelzado. 2. PLANIFICACIÓN DE LA PRODUCCIÓN. Ua orgazacó debe plaear la produccó ates de poder llevarla a acabo. S la plafcacó de la produccó es probable que ua empresa o pueda producr lo sufcete para lograr u cremeto e la demada futura. Quzás la capacdad o este dspoble e ese mometo y se perda las vetas [6]. 2.1 La Jerarquía De Los Plaes De Produccó La erarquía de plaes de la fucó productva está compuesta por tres veles [4]: Plafcacó estratégca o a largo plazo La determacó de la capacdad productva es ua decsó que lleva asocada ua mportate versó de captal y va a determar e gra medda las posbldades de éxto de la orgazacó. Por ello, es ua decsó que debe aalzarse de forma deteda, tratado de optmzar la utlzacó de los recursos faceros. Se puede defr la capacdad como la máxma catdad de bees o servcos que puede obteerse e ua udad productva e codcoes ormales de fucoameto e u perodo de tempo determado [4] Plaeacó agregada La faldad prcpal de la plafcacó agregada es determar la combacó de rtmos de produccó, mao de obra y veles de exsteca, que mmza costos y logra satsfacer la demada prevsta. Para ello se debe cosegur los sguetes obetvos:

4 Dya 162, Mmzar el coste y maxmzar los beefcos. Maxmzar el servco al clete. Mmzar la versó e vetaro. Mmzar los cambos e el rtmo de produccó. Mmzar las varacoes e la platlla. Maxmzar la utlzacó de la capacdad stalada. U pla agregado be elaborado debe lograr adaptar la produccó a las osclacoes de la demada o tratar de reducr la tesdad de dchas osclacoes, a la vez que cosegur ua efcete utlzacó de la capacdad productva de la empresa (mao de obra, maquara, etc.). Alguas meddas para modfcar la oferta so las cotratacoes y despdos de empleados, utlzacó de horas extraordaras, cotratacó de empleados temporales o a tempo parcal, acumulacó de vetaro e temporada de poca demada y la subcotratacó de la produccó. Esta últma mplca ua sere de coveetes etre los que podemos señalar la perdda de cotrol sobre el tempo de etrega y la caldad del producto [4]. Otra alteratva es mateer el rtmo de produccó y tratar de modfcar la demada para amortguar sus osclacoes. Evdetemete esta opcó o cueta co tatas posbldades de éxto, dado que e la demada fluye muchos factores que se ecuetra fuera de cotrol de la orgazacó. Au así la empresa puede tratar de modfcar la demada medate: la modfcacó de preco o de la polítca de comucacó, la retecó de peddos, la creacó de ueva demada y la complemetacó de la gamma de productos empresarales co otros que tega ua estacoaldad versa [4]. Etre las estrategas alteratvas que el drector de operacoes debe elegr a la hora de cofeccoar el pla agregado de produccó se puede señalar las tres sguetes [4]: Estratega de produccó costate: E esta opcó el rtmo de produccó se cosdera fo e el tempo, co lo cual se cosgue reducr los costos de cotratacó y despdo, se smplfca el proceso de plaeacó de recursos, se cremeta la caldad del producto, se smplfca el cumplmeto del croograma de produccó y se reduce el coste de mao de obra y materales al evtar las paradas e el proceso productvo [4]. Estratega de segumeto de la demada: E este caso, el rtmo de produccó se adapta e cada perodo a la demada exstete, por lo que el vel de vetaro es práctcamete exstete. Para lograrlo es ecesaro cotar co ua eorme flexbldad que os permta varar el úmero de trabaadores, capacdad stalada y materales de forma rápda y ecoómca [4]. Estrategas mxtas: Se trata de ua mezcla de las opcoes aterores, e la cual la empresa establece u vel base de produccó costate que adapta a la demada empleado horas extras, trabaadores temporales, subcotratacó, acumulacó de peddos, etc. [4] Programa maestro de produccó (MPS) U programa maestro de produccó (MPS) represeta u pla para la fabrcacó. Este pla proporcoa los requermetos de sumos del vel superor y desarrolla las catdades y fechas que se debe explotar a f de geerar los requermetos por perodo para compoetes, pezas y materas prmas. El MPS o es ua proyeccó de vetas, so u pla de fabrcacó factble. U MPS detallado determa la ecoomía de la produccó medate el agrupameto de dversas demadas y la elaboracó de tamaños de lotes. De esta maera, el MPS coserva la tegrdad de las acumulacoes del sstema total, las acumulacoes atcpadas y los requermetos de compoetes de vel feror [4] Plafcacó de la produccó a muy corto plazo El pla de produccó a corto plazo tee u horzote de plaeacó feror a tres meses. A esta plafcacó a corto plazo se la cooce e las empresas dustrales como

5 400 Arago et al gestó de talleres y se ecarga de programar, cotrolar y evaluar las operacoes de produccó a muy corto plazo, para lograr el cumplmeto del pla maestro co la capacdad dspoble y co la mayor efceca posble. Etre las prcpales fucoes que realza e dcha gestó de talleres cabe señalar las sguetes [4]: Evaluar y cotrolar los peddos a fabrcar. Establecer las prordades etre los peddos o trabaos a realzar, ordeádolos por cetro de trabao y asgádoselos a cada uo de ellos. Rastrear la evolucó de los peddos e curso. Cotrolar el desarrollo de las operacoes. Cotrolar la capacdad de cada cetro de trabao. Proporcoar realmetacó al sstema de plafcacó y cotrol de capacdad. 3. LÓGICA DIFUSA La mprecsó e la formacó tee que ver co el etoro humao, esta puede ser del tpo estadístco o o estadístco. Precsamete es a este últmo tpo de certdumbre es a la que se hace refereca como dfusa. Por eemplo, s se defe el couto de obetos que está cercaos a 7, etoces o será posble defr dcho couto empleado valores covecoales, co obetos que satsfaga propedades precsas para el grado de perteeca. Zadeh (1965) propuso la represetacó de dcho elemeto medate fucoes de perteeca, que mapea los úmeros e el tervalo utaro [0, 1], los cuales cotee u grado de perteeca. Usado esta represetacó, se puede defr u couto de úmeros que sea cercaos a 7. E dcho caso, s el grado de perteeca es 0.98, etoces se puede ferr que se trata de u elemeto co u valor cas gual a 7 [1], [2]. La fucó característca de u couto clásco asga u valor de 1 ó 0 a cada dvduo e el couto uversal; 1 a los que so membros de la relacó y 0 a los que o. Esta fucó puede ser geeralzada de tal maera que los valores asgados a los elemetos del couto uversal esté detro de u rago, especfcado co este el grado de adhesó de estos elemetos e el couto e cuestó. Los valores más altos dca u mayor grado de aflacó. Esa fucó se llama ua fucó de perteeca, y el couto defdo por u couto dfuso [3]. Zmmerma (1996), defe formalmete los coutos dfuso como: A = { x, µ A ( x )}, x X dode µ A ( x ) se deoma la fucó de perteeca (o grado de perteeca) de x e A, y µ A : X M es ua fucó de X e u espaco M deomado espaco de perteeca. Cuado el espaco de perteecía sólo cotee los dos putos 0 y 1, A o es dfusa y µ A ( x ) es détca a la fucó característca de u couto o dfuso. µ A ( x ) Es ua fucó cuyo rago es u subcouto de los úmeros reales o egatvos y que tee la propedad de que el supremo de este couto es fto. Así, la presucó básca es que u couto dfuso A, a pesar de la mprecsó de sus límtes, se puede represetar co precsó asocádole a cada puto x u úmero etre dos límtes feror y superor, por eemplo 0 y 1, que represeta su grado de perteeca e A [5]. Para el meor etedmeto de los coutos dfusos segudamete se presetara varos eemplos. Eemplo 1. Se desea descrbr el couto de la gete ove. B = { Couto de gete ove } B = 0, 20 [ ] El límte feror puede ser 0, pero el límte superor es más dfícl de defr. Cómo se defe el límte superor e 20, para ua persoa ove? Ua persoa de 21 años o etre 20 y 21, ya o es ove? La Fgura 1 muestra ua forma de defr el couto de persoas óvees, asgádole ua fucó de perteeca etre 0 y 1.

6 Dya 162, Fgura 1. Eemplo de couto dfuso. Fgure 1. Example of dffuse set. Se defe el úmero dfuso A, como el couto cuya fucó de perteeca, µ A toma el valor de 1, e el puto x = A. U úmero dfuso correspode a u subcouto ormal y covexo de u uverso de dscurso X. Normalmete x R y µ A ( x )) = 1. Dcha covexdad x X x X, α 0, 1. mplca: [ ] 1, 2 S A es u úmero dfuso, etoces se cosdera que es tragular s su covexdad es leal a tramos. Co la faldad de smplfcar las operacoes co los úmeros dfusos, geeralmete se smplfca su otacó, de maera leal. Desde este puto de vsta, u úmero dfuso tragular asmétrco se deota como sgue: a = ( m α, m, m β ) [2] (Fgura 2). A Fgura 3. Número tragular dfuso asmétrco 6 = (4.5, 6, 7.3). Fgure 3. Asymmetrcal tragular fuzzy umber 6 = (4.5, 6, 7.3). Ua extesó de la represetacó de los úmeros dfusos, puede realzarse tomado fucoes de perteeca trapezodales. Se obtee así u úmero dfuso trapezodal, como se deota a cotuacó: b = ( m,, α, β ). La represetacó gráfca del úmero expresado e la ecuacó ateror se observa e la Fgura 4. Auque este tpo de úmeros puede abarcar ua gra compoete de certdumbre, requere tratametos matemátcos de orde más compleo que el de los úmeros tragulares [2]. Fgura 2. Número tragular dfuso asmétrco: a = ( m α, m, m β ). Fgure 2. Asymmetrc dffuse tragular umber: a = m α, m, m β ( ) Nótese que correspode a ua otacó smple, como ua represetacó de 3 úmeros cocretos, dode el úmero del cetro represeta el puto dode µ = 1. A Eemplo 2. U úmero cercao a 6, (Represetado e la Fgura 3), puede deotarse como 6 = (4.5, 6, 7.3) Fgura 4. Cocepto de úmero trapezodal dfuso asmétrco b = ( m,, α, β ). Fgure 4. Trapezodal fuzzy umber cocept of b = m,, α, β asymmetrc ( ) 4. MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA LA PLANEACIÓN AGREGADA DE PRODUCCIÓN. Ua de las tareas e que los admstradores de produccó ha vertdo más tempo y recurso es e la plaeacó agregada. A lo largo del tempo se ha desarrollado muchos modelos utlzado programacó leal y estos ha tratado de alcazar los prcpales obetvos que busca ua plaeacó agregada [6],[8]. Ua de las vetaas que ofrece la programacó leal es que todas las

7 402 Arago et al varables y sus coste se puede expresar de maera explcta [6]. El modelo de programacó leal que se propoe e este artículo, busca mmzar los costos asocados a la plaeacó agregada de produccó. La otacó que se defrá de aquí e adelate es la que se utlzara a lo largo de este artículo. 4.1 Defcó De Varables De Decsó A cotuacó se defrá las varables de decsó del modelo de programacó leal para la plaeacó agregada de produccó: CE = Catdad de empleados e el perodo. CHE = Catdad Pr oducda e Horas Extras e el Perodo. CUS = Catdad de Pr oducco Subcotrat ada e el Perodo. CEC = Catdad de Empleados Cotratado s e el Perodo. CED = Catdad de Empleados Despeddos e el Perodo. PJR = Pr oducco Jorada Re gular e el Perodo. NUI = Numero de Udades e Ivetaro e el Perodo. 4.2 Defcó De Parámetros Costates Del Modelo. Los parámetros a cotuacó se cosdera costates detro del modelo: D = Demada Pr evsta e el Perodo. CDL = Catdad de das Laborables e el Perodo. CMB = Capacda Maxma e la bo deg a CHTEU = Catdad Horas de trabao Es ta dar por udad de la famla. ( Pr oducto Ter m ado ) CHEED = Catdad de horas Es ta dar por empleado da. CME = Capacdad max ma de Empleados PHE = Poltca Lmte Horas Extras. PCE = Poltca Lmte de Cotratac oes por Perodo. PDE = Poltca Lmte de Despdos por Perodo. PUS = Poltca Lmte Udades Subcotrat adaspor perodo. D = Demada Pr evsta e el Perodo. CostHR = Coste de hora Re gular. CostHE = Coste de Hora Extra. CostUS = Coste por Udad Subcotrat ada. CostC = Coste de Cotratar u Empleado. CostD = Coste de Despdo de u Empleado. CostUI = Costo de Udad e Ivetaro. A cotuacó, se preseta la fucó obetvo y las restrccoes del modelo de programacó leal. 4.3 Fucó Obetvo Auque exste dversas metas que alcazar a la hora de crear u pla agregado, para el modelo de programacó leal propuesto solo os cetramos e u obetvo, mmzar los costos asocados al pla agregado de produccó. E este setdo, para mmzar estos costos plateamos ua fucó obetvo que esta coformada por uos costos de mao de obra y otros de maeo de vetaro e el horzote de plaeacó coocdo. A cotuacó se defe e que cosste cada uo de estos costos: Costos mao de obra. Este tpo de costos hace refereca a los ocasoados por el cremeto de la produccó, o so costos fos, es decr, so costos asocados a la maufactura de productos e horas regulares, extraordaras y costos de udades subcotratadas. També tee e cueta los costos de cotratacó y despdo de persoal co el f de alcazar la demada prevsta [1]. El modelo de estos costos es el sguete: CMO = ( CDL CE CHEED CostHR ) ( CHE CHTEU CostHE ) ( CUS CostUS ) = 1 = 1 ( CEC CostC ) ( CED CostD ) = 1 = 1 = 1 Dode: CMO = Costo mao de Obra Costos asocados a maeo de vetaro Cuado se produce u desceso de la demada puede mateerse el rtmo de produccó establecdo acumulado e exceso de produccó e uestros almacees. Dcha catdad de artículos almaceados os permtrá satsfacer u exceso de demada que pueda producrse e u futuro s ecesdad de modfcar uestro rtmo de produccó. Evdetemete la acumulacó de vetaros tee u coste mportate, por lo que o se puede abusar de esta opcó [4].

8 Dya 162, El coste que se tedrá e cueta para el maeo de vetaro es el producdo al almacear u producto por perodo; el coste de ruptura de stock o se tedrá e cueta dvdo a la estratega de alcace de la demada que empleamos e el modelo o hay udades faltates. El modelo de estos costos es el sguete: Dode: CMI = = 1 ( NUI CostUI ) 1 CMI = Costo Maeo de Ivetaro. Después de defr los costos de mao de obra y maeo de vetaro os dspoemos a platear uestra fucó obetvo como sgue: Dode: M CAPA = CMO CMI CAPA = Costo de Aplcaco del Pla Agregado Para luego llegar a ua versó s cotraccó de la fucó obetvo: M CAPA = = 1 = 1 = 1 = 1 ( CDL CE CHEED CostHR ) ( CHE CHTEU CostHE ) ( CUS CostUS ) ( CEC CostC ) = 1 ( CED CostD ) ( NUI CostUI ) = Plateameto De Restrccoes Excte dversas categorías de restrccoes e la dustra maufacturera, como so: de mercado, de materales e vetaro, de capacdad, logístca, admstratvas y coductuales. Los requstos y ecesdades de mercado defe los límtes de redmeto específco de la empresa. Los problemas de materales, vetaro y capacdad le salta a la vsta al admstrador de la produccó, por lo tato, es posble que estas recba gra atecó. E las dustras maufactureras també hay restrccoes logístcas, admstratvas y coductuales [7]. El modelo de programacó leal que propoemos para ua plaeacó agregada tee e cueta lmtacoes de capacdad, mercado, materales e vetaro, admstratvas y de o egatvdad Restrccoes de capacdad Las horas regulares dspobles, está suetas a la catdad de empleados por perodo y dcha produccó por período esta sueta a la catdad de horas regulares útles. 1 CDL CE CHEED = PJR CHTEU Reemplazado parámetros costates y udades de las varables de decsó teemos: CDL [ da ] CE [ empleado ] 1 = PJR hora udad [ udad ] [ hora ] [ empleado da ] Otro tpo de restrccó de capacdad tee que ver co el límte de empleados que la empresa puede albergar. CE 1 CE = CE CEC CED CME 1 CEC CED Restrccoes de mercado Esta restrccoes exste dvdo a la estratega de alcace de la demada prevsta que se utlza para la plaeacó agregada, la cual adapta el rtmo de la produccó e cada perodo a la demada exstete. A Cotuacó se muestra el modelo de la restrccó de mercado que se utlzara. PJR CHE CUS NUI 1 D Reemplazado parámetros costates y udades de las varables de decsó teemos:

9 404 Arago et al CDL CHE [ da ] CE [ empleado ] [ hora ] [ empleado da ] 1 hora 2 udad [ udad ] CUS [ udad ] NUI [ udad ] D [ udad ] Restrccoes de materales e vetaro El modelo o tee cosderacoes lmtacoes acerca del maeo de materas prmas. Para modelar las restrccoes de vetaro, se tee que el vetaro al fal de u período debe ser gual al vetaro del período ateror sumada la produccó del período meos la demada del este perodo. NUI = NUI 1 PJR CHE CUS D Reemplazado parámetros costates y udades de las varables de decsó teemos: NUI CHE [ udad ] = NUI 1 [ udad ] PJR [ udad ] [ udad ] CUS [ udad ] D [ udad ] Los veles máxmos y mímos de vetaro está codcoados a la capacdad que se tee e la bodega para almacear producto termado. NUI CMB Este tpo de restrccoes costa de ua estructura muy smple, por lo cual o ecesta la descrpcó de las udades de los parámetros que la coforma Restrccoes admstratvas Estas restrccoes tee que ver co las dferetes polítcas que la gereca ha mpuesto e la empresa. Segudamete se expodrá y detallara estas polítcas y las restrccoes que estas colleva. Polítca de horas extras E la mayoría de los casos cuado se tee polítcas de horas extras, estas se calcula como u porcetae de la produccó e tempo regular. Para Colomba, por ley, se tee estpulado u máxmo de produccó e horas extras equvalete a u 10% de la produccó e orada regular [1]. CHE PHE PJR Polítcas de cotratacoes y despdos Esta polítca empresaral trata de o cotratar o despedr más de u úmero de empleados e u solo período. CEC PCE CED PDE Polítcas de máxma subcotratacó Esta restrccó lmta el úmero de udades de produccó que es coveete delegar a otra empresa. CUS PUS Restrccoes De No Negatvdad Esta restrccó mplca que gua de las varables de decsó e el modelo deber ser egatva. 5. MODELO DE PLANEACIÓN AGREGADA DE PRODUCCIÓN CON LÓGICA DIFUSA E esta parte del artículo se platea u modelo de programacó leal dfusa para la plaeacó agregada de produccó, este modelo es ua amplacó del modelo leal plateado e la seccó cuatro, co la dfereca que la demada esta dada de forma mprecsa o vaga. U caso partcular de la programacó leal dfusa es cuado los coefcetes del lado derecho de las restrccoes b so catdades co certo grado de certdumbre [3]. Para el dseño de este modelo se asume que los valores de la demada está defdos e D, D p para cada perodo, el tervalo [ ] dode D es la demada proostcada para el perodo y p es el compoete dfuso; p se puede defr por métodos cualtatvos para proóstcos de demada para cada perodo; estos métodos se basa e percepcoes y ucos de valor que se costruye a partr del etoro, de factores que determa la demada y e la preseca futura de estos [4].

10 Dya 162, Después de los aterores supuestos se procede a platear el modelo de dfuso para la plaeacó agregada el cual busca maxmzar la satsfaccó del decsor ( λ ) mmzado a su vez los costos de mplemetacó de u pla agregado bao ua estratega de alcace de demada prevsta, cuado esta posee certdumbre. El prmer supuesto que realzamos para uestro modelo es que D es u úmero dfuso. Para ua meor lustracó, D es u úmero dfuso de la forma: 1 ax D D ( x ) = p 0 s s ax D p D < ax < D p ax D Cuya represetacó se muestra e la fgura 5. Luego el couto dfuso de valores óptmos (U), el cual es u subcouto dfuso de R, esta defdo por [3]: 1 s x CAPA CAPA x U ( x ) = s CAPA < x < CAPA CAPA CAPA 0 x CAPA E este caso el grado de satsfaccó del decsor ( λ ) aumeta e la medda que la respuesta obteda se acerca a CAPA como lo muestra la fgura 6. Fgura 6. Número dfuso CAPA. Fgure 6. Fuzzy umbers CAPA. Fgura 5. Número dfuso Fgure 5. Fuzzy umbers D. D Ahora, para determar el couto dfuso de valores óptmos, prmero se calcula los límtes feror y superor de estos. Para hallar estos límtes, se solucoa los problemas de programacó leal estádar equvaletes: M S. a = 1 x 0 S. a CAPA a M CAPA = 1 x 0 = = 1 c x b p ( N ) a = = 1 x x b ( N ) c x. ( N ( N ) Para este f utlzamos el modelo de programacó leal que se propuso e el umeral cuatro. m m ) Luego la solucó más efcete se ecuetra resolvedo el sguete modelo de programacó leal [7]: Max λ S.A. Restrccoes De Capacdad: 1 CDL CE CHEED = PJR CHTEU CE 1 CEC CED CME Restrccoes De La Fucó Obetvo (Dfusa): λ ( CAPA = 1 ) ( CDL CE CHEED CostHR ) ( CHE CHTEU CostHE ) ( CUS CostUS ) ( CEC CostC ) ( CED CostD ) ( NUI CostUI ) CAPA CAPA 1 Restrccó De Mercado (Dfusa)

11 406 Arago et al = 1 PJR CHE CUS NUI 1 λ p D Restrccoes De Materales e Ivetaro (Dfusa): ( NUI 1 PJR CHE CUS ) P = D NUI λ NUI CMB Restrccoes Admstratvas: Polítca De Horas Extras: CHE PHE PJR Polítca De Cotratacoes Y Despdos: CEC PCE CED PDE Polítcas De Máxma Subcotratacó: CUS PUS Y Restrccoes De No Negatvdad Dode λ es el vel que como mímo tee que alcazar todas las fucoes de perteeca. Lo ateror se terpretará como el vel de aspracó o de satsfaccó de u decsor [2]. 6. APLICACIÓN DEL MODELO DIFUSO A UN PROBLEMA DE PLANEACIÓN AGREGADA E el sguete problema se lustra la vetaa de cosderar certdumbre e la formulacó de modelos para la plafcacó de la produccó. Se preseta a cotuacó la solucó de u problema de programacó leal dfusa para la plaeacó agregada de produccó cuado la demada es u parámetro dfuso. 6.1 Eucado Del Problema Ua empresa que se dedca a la fabrcacó y veta de electrodoméstcos, que vede co marca blaca e ua mportate cadea comercal, las prevsoes de demada para el próxmo año aparece refleadas e la tabla 1. Tabla 1. Demada prevsta Table 1. Expected demad Demada Prevsta Eero 2500 Febrero 3200 Marzo 3800 Abrl 2300 Mayo 1800 Juo 2500 Julo 4000 Agosto 3200 Septembre 3800 Octubre 2600 Novembre 2100 Dcembre 1800 El gerete de esta empresa ha comprobado (expereca) que la demada alcaza aproxmadamete 200 productos mas que las predccoes que se realza e la empresa, el explca que esto se debe a que las predccoes que se realza so muy coservadoras. El comportameto de la demada dfusa se descrbe e la fgura 8. Teedo e cueta la formacó ateror y los datos operatvos de la empresa (Tabla 2) se busca maxmzar la satsfaccó del decsor al mplemetar ua plaeacó agregada de produccó. Esta satsfaccó se logra mmzado los costos de la plaeacó agregada alcazado la demada e cada perodo. Fgura 7. Demada dfusa Fgure 7.Fuzzy demad E la tablas 2 muestra otra sere de datos operatvos de la empresa.

12 Dya 162, Tabla 2. Datos operacoales Table 2. Operatoal data Ivetaro fal 500 Producco mesde dcembre del presete año 2000 Coste utaro de almaceameto mesual $ Coste de cotrataco por empleado $ Coste despdo por trabador $ Coste de ua hora de mao de obra regular $ Coste de ua hora de mao de obra extra $ Coste de subcotrataco por udad $ Lmte de horas extrasmesuales Datos Operacoales 5% de la producco e orada regular. Horas de trabo mesual Aálss Y Solucó Del Problema Dfuso De Plaeacó Agregada Para propóstos de lustracó, caremos el aálss del problema co ua lsta de suposcoes usuales, para después, presetar la solucó ecotrada. Supuestos 1. Se supoe que los costos que se maeara, se comportara de maera costate a lo largo del horzote de plaeacó. 2. La plata de empleados es de 25 al co del horzote de plafcacó. 3. La empresa trabaa 5 días a la semaa, u turo al día, comezado labores a las 8 A.M. y termádolas a las 5 P.M. Co ua hora de almuerzo a las M. 4. Se supoe que la catdad de días laborables durate el horzote de plaeacó so los sguetes (Tabla 3): Tabla 3. Días laborados. Table 3. Labor days. Días Labor ados Eero 20 Febrero 20 Marzo 21 Abrl 20 Mayo 19 Juo 19 Julo 21 Agosto 19 Septembre 22 Octubre 21 Novembre 19 Dcembre Se supoe que la capacdad de produccó e horas regulares, extras se matee costate a lo largo del horzote de plaeacó. 6. Para determar la catdad de horas estádar por día por trabaador, se toma la suposcó que es la msma catdad de horas laborables por día. 7. Se supoe que la catdad de horas estádar por udad de la famla es gual las horas de trabao por udad ( 2 h / Udad ). 8. Se supoe que el espaco destado para almaceae de producto termado e la bodega de la empresa es para máxmo 500 udades. 9. Se supoe que la empresa tee ua polítca de produccó e horas extras de o superar 10% del total de produccó e orada regular. 10.Se supoe que la empresa tee ua polítca de o superar la cotratacó o despdo de mas de 10 empleados por perodo. 11.Se supoe que la empresa utlza ua polítca la cual tee como lmte máxmo de udades subcotratadas por perodo de 500 udades..se supoe que la empresa puede teer ua catdad de empleados máxma de 50. Para resolver este problema se utlza los modelos leal y dfuso plateados e este

13 408 Arago et al artículo los cuales fuero solucoados utlzado el software GAMS. Prmero se ecotraro los límtes superor e feror del modelo dfuso. Los valores de CAPA y CAPA so $ y $ respectvamete. E la tabla 4 se ecuetra el maeo de empleados ecotrado co el modelo, co el f de mmzar costos y alcazar la demada e cada perodo del horzote de plafcacó. Perodo Tabla 4. Maeo de empleados. Table 4. Maagemet employees Catda de empleados Numero de empleados cotratados Numero de empleados despeddos El volume de produccó resultate para el horzote de plafcacó se ecuetra dscrmado e la tabla 5. Perodo Tabla 5. Produccó Table 5. Producto Producco e Producco e orada regular orada extraordara Catdades subcotratadas Producco total Co estos resultados se alcazo u vel de satsfaccó del decsor de λ= %. E la fgura 8 podemos aprecar la produccó resultate de los modelo dfusos, determstas y la demada predcha. Udades Co m par co d e Mo d e lo s Pr o p u es to s vs. De m a da Pr e d cha Pe r o d os Demada Prevsta Modelo Determstco Modelo Dfuso Fgura 8. Comparacó de Modelos. Fgure 8. Comparso of Models 7. CONCLUSIONES Alguo de los beefcos que ofrece la lógca dfusa a los procesos de toma de decsoes e la plafcacó de la produccó es el maeo de la certdumbre. Esta característca le permte a la persoa o equpo que toma las decsoes, modelar co mayor exacttud el comportameto de u parámetro dfuso. aplcacó co lógca dfusa propuesta e este artículo para la toma de decsoes e la plafcacó de la produccó a medao plazo es u modelo de programacó leal dfusa que tee por obetvo maxmzar la satsfaccó del decsor. Esta aplcacó es útl cuado la demada es u parámetro co certo grado de certdumbre y la empresa sgue ua estratega de alcace de la demada. Esta aplcacó ofrece ua solucó a las prcpales varables de decsó e la plaeacó agregada de produccó como lo so: la produccó a realzarse e orada regular y extra, la produccó que será subcotratada y el úmero de cotratacoes y despdos por perodo e u horzote de plafcacó coocdo. El modelo de programacó leal dfuso propuesto se utlza e este artculo para solucoar u problema de plaeacó agregada dode la demada posee certdumbre. solucó que etrega el modelo para este problema alcaza u vel de satsfaccó e el decsor de 72% aproxmadamete, este resultado es aceptable detro del couto de modelos dseñados para la plaeacó de la produccó e dode los meores alcaza u vel de satsfaccó del 78%. Los modelos que se propoe e este trabao so sólo u eemplo de las dferetes

14 Dya 162, aplcacoes que puede teer la lógca dfusa para facltar la toma de decsoes a la hora de plafcar la produccó. REFERENCIAS [1] ARANGO S., MARTIN D.; URAN S., AUGUSTO; PEREZ O., GIOVANNI. (2008). Aplcacoes de lógca dfusa a las cadeas de sumstro. Avace e Sstemas e Iformátca, Vol. 5, Nº 3. [2] CORREA, JORGE. Aproxmacoes Metodológcas Para la Toma de Decsoes, Apoyadas e Modelos Dfusos. (2004). tess presetada a la Uversdad Nacoal de Colomba para optar al grado de Magíster e Igeería de Sstemas. Medellí. [3] KLIR, GEORGE. Fuzzy Sets ed Fuzzy Logc, Theory ad Applcatos. (1995). Vol. 1, New Jersey: Pretce Hall PTR [5] MULA, JOSEFA, Aplcacoes de la Teoría de los Coutos Dfusos e la Plafcacó de la Produccó: U Estudo de la Lteratura. (2004). Memoras VIII Cogreso de Igeería de Orgazacó. Legaés. [6] NARASIMHAN, S. Plaeacó de la produccó y cotrol de vetaros. 2 ed. Méxco: Pretce Hall. [1996]. [7] UMBLE, MICHAEL. Maufactura Scróca. (1995). Vol. 1, Méxco. [8] ZADEH. From crcut theory to systems theory. (1965). IRE Proc [9] ZIMMERMANN. Fuzzy Set Theory ad ts Applcato. (1996). thrd ed., Kluwer Academc Publshers. [4] MIRANDA, FRANCISCO. Maual de dreccó de operacoes. (2005). Vol. 2, Madrd.