David F. Muñoz Negrón 1 y Diego F. Muñoz Medina 2

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1 Vol. 14 Nº 27 Muñoz Negrón y Muñoz Medina: Pronósticos bayesianos ara reuestos de automóviles 7 PRONÓSTICOS BAYESIANOS PARA REPuestoS DE AUTOMÓVILES USANDO SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA BAYESIAN FORECASTINGS FOR automobile arts USING STOCHASTIC SIMULATION David F. Muñoz Negrón 1 y Diego F. Muñoz Medina 2 Resumen Este artículo resenta el desarrollo y la alicación de un modelo de simulación que fue utilizado ara ronosticar la demanda de reuestos de automóviles a artir de información obtenida de un distribuidor de automóviles y reuestos en México, D. F. En articular, este trabajo ilustra, con un modelo sencillo, cómo se ueden combinar la simulación estocástica y la estadística bayesiana ara modelar y resolver roblemas comlejos de ronóstico. El marco rouesto es suficientemente general ara alicarse a modelos muy detallados del fenómeno en estudio. Los resultados obtenidos demuestran cómo se uede incororar la incertidumbre en los arámetros del modelo, y su alicación usando datos reales, revela cómo la amlitud de la muestra roduce una distribución osterior con oca influencia sobre la distribución a riori. Palabras claves: ronósticos, ronóstico de reuestos, estimación bayesiana, untos de reorden, nivel de servicio. Abstract This article resents the develoment and alication of a simulation model that was used to forecast the demand of automobile arts using information from a car dealer in Mexico, D. F. In articular, this worllustrates, using a simle model, how stochastic simulation and Bayesian statistics can be combined to model and solve comlex forecasting roblems. The roosed framewors general enough to be alied to very detailed models of the system under study. The results obtained demonstrate how uncertainty on the arameters of the model can be incororated, and the alication using real data shows how a large samle size roduces a osterior distribution that has little influence from the rior distribution. Keywords: Forecasts, reair forecasts, Bayesian inferences, reorder oints, level of service. 1. Instituto Tecnológico Autónomo de México. Ph. D. en Investigación de Oeraciones de Stanford University, California. <davidm@itam.mx>. 2. Estudiante del Master of Science en Management Science and Engineering, Stanford University. Ingeniero industrial, Instituto Tecnológico Autónomo de México (México). <dkedmun@stanford.edu>.

2 8 Journal of Economics, Finance and Administrative Science December 2009 Introducción El ronóstico de la demanda juega un ael fundamental en la estrategia de numerosas organizaciones de manufactura o servicios. La elaboración de ronósticos es de gran ayuda en la rogramación de la mano de obra, la obtención de niveles de servicio adecuados y la determinación de los requerimientos de recursos, entre otras alicaciones (Makridakis et ál., 1998). La caacidad ara elaborar ronósticos con un alto grado de recisión es un objetivo que adquiere creciente imortancia en un gran número de emresas y, en articular, juega un ael fundamental ara ronosticar demandas que tienen un atrón esorádico. Diversos autores como Wacker y Srague (1998), y Zotteri y Kalchschmidt (2007) consideran que la recisión de un ronóstico deende, sensiblemente, de la técnica cuantitativa que se emlea ara elaborarlo. Por lo tanto, este artículo ha sido motivado or la necesidad de formular y alicar nuevas herramientas ara la elaboración de ronósticos de la demanda y, en articular, ara los casos en los que la demanda es esorádica. De acuerdo con el trabajo de Caniato et ál. (2005) y Kalchschmidt et ál. (2006), es indisensable rooner técnicas de ronósticos que no solo tomen en cuenta la serie de tiemo, sino también la estructura del roceso que genera la demanda (variabilidad no sistemática). Por esta razón, el resente artículo mostrará cómo se uede alicar técnicas de simulación y estadística bayesiana en un modelo que toma en cuenta las características esecíficas del sistema que se retende estudiar. En la ráctica, un modelo de ronóstico uede llegar a ser comlejo, en el sentido que no es osible obtener exresiones analíticas ara los estimadores untuales y de variabilidad requeridos ara el ronóstico. A manera de ejemlo, uede mencionarse el modelo de Croston (1972) rouesto ara ronosticar demanda intermitente, cuyos resultados fueron corregidos or Rao (1973) y, más adelante, or Syntetos y Boylan (2001). Por esta razón es relevante rooner metodologías que ermitan incororar un modelo comlejo de ronóstico utilizando la simulación ara estimar los arámetros necesarios ara construir el ronóstico. Curiosamente, hasta el día de hoy se había estado utilizando simulación ara comarar el desemeño de diferentes técnicas de ronósticos (véase Bartezzaghi et ál., 1999; Zotteri & Kalchschmidt, 2007a y b). Sin embargo, la literatura sobre el uso de la simulación como herramienta ara construir ronósticos todavía es escasa. Una de estas ocas referencias es Willemain et ál. (2004), donde se utiliza un modelo de simulación ara ronosticar demandas con atrones intermitentes y se obtiene mejores resultados que con los métodos de Croston y de suavizamiento exonencial, aunque en este trabajo no se incororó la incertidumbre aramétrica en el ronóstico. Es conveniente remarcar las ventajas que resenta el enfoque bayesiano usado en este artículo, en comaración con las alternativas tradicionales ( frecuentistas ), cuando se utiliza un modelo comlejo ara construir ronósticos. En rimer lugar, en las alicaciones tradicionales donde se utiliza la simulación estocástica como herramienta de análisis se suele fijar el valor de los arámetros de las distribuciones de robabilidad (reemlazándolos, or ejemlo, or estimadores de máxima verosimilitud); en este caso, el método tradicional no es caaz de incororar la incertidumbre aramétrica en el ronóstico y uede subestimar el riesgo del mismo. Por otro lado, si bien existen métodos tradicionales que consideran la incertidumbre aramétrica, en algún momento se ven forzados a sustituir el valor del arámetro or un estimador untual; or ejemlo, Cheng y Holland (2004) roonen que al utilizar simulación estocástica, la incertidumbre aramétrica uede incororarse utilizando bootstra aramétrico, que consiste en remuestrear (a través de simulación) los estimadores de máxima verosimilitud de la distribución de robabilidades que se obtiene al reemlazar el valor de los arámetros or el estimador máximo verosímil que se calculó a artir de una muestra de observaciones (reales). En cambio, como se ilustra en este artículo, un enfoque bayesiano ermite incororar la incertidumbre aramétrica de manera natural, sin necesidad de asumir algún valor articular ara los arámetros. Debido a las consideraciones mencionadas, la construcción de ronósticos bajo un enfoque bayesiano es aconsejable cuando el investigador está interesado en cuantificar la incertidumbre aramétrica (or ejemlo,

3 Vol. 14 Nº 27 Muñoz Negrón y Muñoz Medina: Pronósticos bayesianos ara reuestos de automóviles 9 orque los datos rovienen de muestras de un equeño tamaño), como se ilustra en Alba y Mendoza (2007), donde los autores resentan la alicación de un método bayesiano ara datos estacionales y muestran que este método se desemeña mejor que los de series de tiemo tradicionales cuando la serie de tiemo es corta. Este artículo resenta el desarrollo y la alicación de un modelo de simulación que fue utilizado ara ronosticar la demanda de reuestos de automóviles que exerimenta un concesionario en México, D. F. Asimismo, se ilustra el otencial de la simulación como una oderosa herramienta ara elaborar ronósticos utilizando un modelo comlejo del sistema en estudio. La metodología utilizada uede ser vista como un ejemlo de cómo es osible atacar roblemas de ronóstico cuando la comlejidad del modelo no ermite obtener exresiones analíticas ara los estimadores de ronóstico untual y de la incertidumbre en el ronóstico. El artículo se comone de cuatro secciones. En la rimera sección se resenta un marco teórico general ara la alicación de la simulación y la estadística bayesiana ara construir ronósticos y se revisan las técnicas disonibles ara roducir los estimadores de los arámetros requeridos ara ronosticar. En la segunda sección se resentan dos modelos simles que ueden ser utilizados ara roducir ronósticos de reuestos que siguen un atrón de demanda esorádica. En la tercera sección se utilizan datos reales de la demanda de embragues, obtenidos de un distribuidor de automóviles y reuestos en México, D. F., ara imlementar uno de los modelos descritos en la segunda sección con las técnicas de simulación resentadas en la rimera sección. En articular, se ilustra cómo se estiman la demanda eserada y el unto de reorden ara la demanda de embragues durante el tiemo de demora de una orden de suministro. Finalmente, en la cuarta sección se resentan las rinciales conclusiones de este trabajo y se discuten direcciones ara futuras investigaciones. Definición del roblema En esta sección se hace una equeña revisión del marco y de las técnicas resentadas en Muñoz (2009), que serán alicadas en este artículo. En dicho artículo se roonen dos asos esenciales ara la construcción de ronósticos utilizando simulación. El rimer aso consiste en la evaluación de la incertidumbre sobre los arámetros del modelo utilizando la información disonible (x) y una densidad a riori (θ). En el segundo aso se utilizan el modelo de simulación y la densidad osterior ara estimar los arámetros requeridos ara hacer ronósticos sobre la variable de resuesta. La densidad a riori (θ) refleja la incertidumbre inicial sobre el vector de arámetros Θ, y existen fundamentalmente dos untos de vista ara rooner (θ). El rimero consiste en usar una densidad a riori no informativa, la cual es aroiada cuando se desea que no se favorezca ningún valor osible de Θ sobre otro, y este constituye un unto de vista objetivo (una reciente discusión sobre este tema uede verse en Berger et ál., 2009). Las densidades a riori no informativas han sido muy estudiadas, y varios libros sobre estadística bayesiana (or ejemlo, Bernardo & Smith, 2000) ublican la corresondiente densidad a riori no informativa (de referencia) ara las distribuciones más usadas. El segundo enfoque es un unto de vista subjetivo y consiste en establecer la densidad a riori con base en oiniones de exertos, véase or ejemlo, Kraan y Bedford (2005) ara una discusión sobre la construcción de una densidad a riori con base en ronósticos de exertos. Luego de identificar la densidad a riori (θ), la incertidumbre aramétrica se cuantifica or medio de la densidad osterior (θ x): (θ x) = (θ) L(x θ) (1) P (θ) L(x θ) dθ ara x R n y θ P, donde L(x θ) es la función de verosimilitud, que ara el caso articular en que x = (x 1, x 2,, x n ) es un conjunto de observaciones de una muestra aleatoria X = (X 1, X 2,, X n ) de una función de densidad f (y θ), la función de verosimilitud toma la forma: L(x θ) = f (x 1 θ) f (x 2 θ) f (x n θ) (2)

4 10 Journal of Economics, Finance and Administrative Science December 2009 En general, un ronóstico ara la variable de resuesta W queda definido or su función de distribución acumulada (f.d.a.) F (w x) = P [W w X = x]. Sin embargo, desde un unto de vista ráctico, un ronóstico se exresa en términos de un ronóstico untual y una medida de la incertidumbre de dicha estimación. El ronóstico untual más usado en estadística bayesiana es la eseranza: r (x) = E [W X = x]. (3) Otra medida de desemeño de imortancia ráctica es el α-cuantil definido or: q α (x) = inf {w: F (w x) α}, (4) ara 0 < α < 1. Los α-cuantiles son útiles ara evaluar la incertidumbre del ronóstico untual r(x), ya que ermiten construir un intervalo de redicción del (1 β)100% (donde 0 < β < 1), que toma la forma de [q β/2 (x), q 1 β/2 (x)]. Dicho intervalo es llamado un intervalo de redicción del (1 β)100% orque P [q β/2 (x) W q 1 β/2 (x) X = x] = 1 β, siemre y cuando F (w x) sea continua en q β/2 (x) y q 1 β/2 (x). Los cuantiles también son útiles ara calcular untos de reorden ara la administración de inventarios. En este caso, cuando W es la demanda durante el tiemo de demora del suministro, el α cuantil q α (x) uede ser interretado como el unto de reorden ara alcanzar un nivel de servicio (tio-i) del 100α% (véase, or ejemlo, Chora & Meindl, 2004). Cuando las exresiones analíticas ara los arámetros del ronóstico definidas en las ecuaciones (3) y (4) no ueden ser obtenidas (o es muy comlicado hacerlo), se uede hacer una estimación de estos arámetros utilizando simulación. En el gráfico 2 de Muñoz (2009,. 15) se resenta un rimer algoritmo, que será llamado muestreo osterior (MP), debido a que se generan valores del arámetro Θ a artir de la densidad osterior (θ x) ara luego obtener observaciones indeendientes e idénticamente distribuidas de la variable de resuesta W que ermiten estimar el ronóstico untual r (x) y el α cuantil q α (x). Como es bien sabido, dichos estimadores son consistentes, lo cual imlica que se aroximan al arámetro a medida que se incrementa el número de reeticiones m. Sin embargo, cabe mencionar que el número de reeticiones necesarias ara alcanzar un nivel de recisión redeterminado deende en gran medida del roblema. Por lo tanto, es una buena ráctica calcular una medida de recisión del estimador untual e incrementar las rélicas del exerimento hasta obtener la recisión deseada. El rocedimiento más difundido ara evaluar la recisión de un estimador untual obtenido or medio de simulación consiste en calcular el ancho medio de un intervalo de confianza (IC) asintótico. El ancho medio de un IC de 100(1 β)% de confianza aroiado ara el estimador r ˆ(x) obtenido or MP está dado or: H β [ r ˆ(x) ] = z S(x) 1 β/2 m, (5) donde S(x) = m 1/2 [ W i r(x) ˆ ] 2 y z 1 β/2 denota el (1 β/2) cuantil de una distribución normal estándar. Una interretación simle de un ancho medio es que el arámetro r (x) se halla entre r ˆ(x) ± H β [ r ˆ(x) ] con una confianza del 100(1 β)%. Por ello, un ancho medio resulta muy útil ara evaluar la recisión de un estimador untual. Análogamente, un ancho medio del 100(1 β)% de confianza ara el estimador qˆ α (x) obtenido a través del MP está dado or: H β [ qˆ α (x) ] = ( Y n1 + Y n2 ) / 2, (6) donde Y 1 Y 2 Y n resultan de ordenar las W i, n 1 = m α z 1 β/2 [m α (1 α)] 1/2, y n 2 = mα + z 1 β/2 [mα (1 α)] 1/2. Una rueba de la validez asintótica de este ancho medio se uede hallar en Serfling (1980). La técnica clásica ara analizar exerimentos or simulación transitoria adota un algoritmo muy similar al algoritmo MP, con la diferencia de que el valor de Θ es fijo y, or ello, no se requiere el muestreo de (θ x). Por lo tanto, la varianza de la variable de resuesta bajo un enfoque clásico toma la forma: σ 2 (θ) = E [W 2 X = x, Θ = θ ] (E [W X = x, Θ = θ ]) 2, (7)

5 Vol. 14 Nº 27 Muñoz Negrón y Muñoz Medina: Pronósticos bayesianos ara reuestos de automóviles 11 donde θ P es el valor que se ha fijado ara Θ. Por otro lado, bajo el enfoque bayesiano, la varianza de la variable de resuesta es: σ 2 = E [W 2 X = x ] (E [W X = x ]) 2, (8) W de manera que sumando y restando el término E [r 1 2 (Θ) X = x ] en (8), se uede verificar que: σ 2 = σ 2 + σ 2, (9) W s donde σ 2 = E [r 2 1 (Θ) X = x ] (E [r 1 (Θ) X = x ]) 2, r 1 (θ) = E [W X = x, Θ = θ], σ 2 s = E [σ 2 (Θ) X = x ], y σ 2 (θ) está definido en (7). Nótese que σ 2 = 0 y σ 2 s = σ 2 (θ) bajo un enfoque tradicional, razón or la cual σ 2 es llamada la varianza aramétrica y σ s 2 es llamada la varianza estocástica. Para imlementar el algoritmo MP, se requiere de un método ara generar muestras de la densidad osterior (θ x), el cual uede estar disonible si se ha identificado la familia de distribuciones corresondiente a (θ x). Sin embargo, en muchas situaciones uede ser difícil obtener una exresión analítica que ermita identificar esta familia de distribuciones. En este caso, se uede alicar una técnica conocida como la cadena de Markov Monte Carlo (CMMC), la cual no requiere de un algoritmo que genere muestras de (θ x). En este artículo se alicará el algoritmo del gráfico 4 de Muñoz (2009,. 19), que es una imlementación de la CMMC conocida como el muestreador indeendiente, ues deben generarse muestras de una densidad auxiliar q(θ) (donde q(θ) > 0 cuando (θ) > 0). Diversos autores (or ejemlo, Asmussen & Glynn, 2007) concuerdan en que este algoritmo se desemeña mejor cuando q(θ) es arecida a la densidad osterior (θ x). Nótese que, a esar de que no es necesario ara calcular los estimadores untuales, el algoritmo CMMC or utilizar divide el número de rélicas m en b gruos de longitud m b. Esto orque se roone el uso del método de romedios or gruos ara roducir intervalos de confianza asintóticos ara los estimadores untuales, como se exlica a continuación. Habiendo escogido un número b de gruos entre 5 y 20 (como sugiere Schmeiser, 1982), los siguientes anchos medios del 100(1 β)% de confianza son asintóticamente válidos (a medida que m ) ara r (x) y q α (x), resectivamente: S MC (x) H β [ rˆ MC (x) ] = t (b 1, 1 β/2) y (10) b S MC (x) H β [ q ˆ MC (x) ] = t (b 1, 1 β/2), (11) b donde t (b 1, 1 β/2) denota el (1 β/2) cuantil de una distribución t-student con (b 1) grados de libertad, rˆ MC (x), q ˆ MC (x) son los estimadores untuales del algoritmo CMMC, y: b Σ r ˆ i r ˆ MC (x) 2 i =1 S (x) =, MC b 1 MC α S (x) = b 2 Σ qˆ i α q α i =1 b 1 donde rˆ i y q ˆ i son los estimadores or gruos definidos en el algoritmo CMMC, y q α = b 1 Σ qˆ α i. Para una discusión sobre la validez de los intervalos de confianza resentados en las ecuaciones (10) y (11), se uede consultar Muñoz (2009,. 20). Como ya se mencionó, el muestreador indeendiente resenta un mejor desemeño cuando q(θ) es cercana a la densidad osterior (θ x). Por ello, uede roonerse un rocedimiento ara seleccionar la densidad q(θ) tomando en cuenta que, bajo condiciones de regularidad, una densidad osterior satisface un teorema de límite central (a medida que el tamaño de muestra n ), donde la distribución límite es una normal (multivariada). Por lo tanto, una rouesta razonable ara q(θ) es una densidad corresondiente a una distribución normal multivariada con un vector b,

6 12 Journal of Economics, Finance and Administrative Science December 2009 de medias µ n y una matriz varianza-covarianza V n, donde los arámetros µ n y V n ueden determinarse de acuerdo con las características articulares de (θ x). Los siguientes asos ara seleccionar los arámetros µ n y V n están basados en el teorema 5.14 de Bernardo y Smith (2000), y ueden ser imlementados cuando la función de verosimilitud tiene la forma que se resenta en la ecuación (2). 1. Hacer µ n igual al vector que minimiza def L n (θ) = log [(x θ)], resolviendo = L n (θ) θ = µn = Hacer V n = [ L n (µ n ) ] 1, donde def 2 L n (θ) L n (µ n ) = θ i θ θ = µ n j es la matriz Hessiana, la cual tiene que ser ositiva definida ara que este rocedimiento sea válido. En la tercera sección se resenta un ejemlo sencillo de la imlementación de este rocedimiento ara rooner una distribución de muestreo q (θ) ara el muestreador indeendiente. Modelos de ronóstico ara demanda de reuestos En esta sección se resentan dos modelos sencillos que ueden usarse ara ronosticar la demanda de reuestos, y serán útiles ara ilustrar cómo se ueden alicar las técnicas mencionadas en la sección anterior. En ambos modelos se asume que las fallas ocurren aleatoriamente, y la única diferencia radica en la forma en que están disonibles los datos, como se exlica a continuación. En ambos modelos se tienen k máquinas durante el eriodo de ronóstico, y las fallas ocurren indeendientemente con la misma tasa Θ P = (0, ) ara cada máquina. Existe incertidumbre en la tasa de fallas Θ, reflejada en la densidad a riori (θ), y ara i = 1, 2,, k, N i = { N i (t): t 0 ; Θ} denota el roceso de fallas ara el comonente i, los que se asumen condicionalmente indeendientes dado Θ (véase la definición, or ejemlo, en Chung, 1974), y: P [ N i (t + s) N i (t) = j Θ, N i (u), 0 u t ] = e Θs (Θs) j, j! ara j = 0, 1,, t, s 0, i = 1, 2,, k, es decir, los rocesos de fallas son rocesos de Poisson con la misma tasa Θ. Un modelo con datos de tiemos entre fallas sucesivas En este modelo, la información disonible corresonde a los tiemos entre fallas sucesivas de cada arte. En consecuencia, las observaciones rovienen de una muestra aleatoria X = (X 1, X 2,, X n ) de la distribución exonencial con densidad: f ( y θ) = θe θy, y > 0, 0, de otra forma y de (2) sigue que la función de verosimilitud está dada or: n L(x θ) = θ e θ Σ x i. (12) Se sabe que la distribución no informativa ara una densidad a riori exonencial (véase, or ejemlo, Bernardo & Smith, 2000) es (θ) = θ 1, or lo que sigue de (1) y (12) que: (θ x) = n, (13) exresión que corresonde a una distribución Gama n n, Σ xi, donde ara β 1, β 2 > 0, Gama (β 1, β 2 ) denota la distribución gama con eseranza β 1 β 1 2. n Σ x i n θ n 1 e (n 1)! n θ Σ x i

7 Vol. 14 Nº 27 Muñoz Negrón y Muñoz Medina: Pronósticos bayesianos ara reuestos de automóviles 13 Se desea ronosticar el número de comonentes que fallarán durante un eriodo de tiemo de longitud t 0, or lo que la variable de resuesta a ronosticar es: dado [ X = x ]. W = Σ N i (t 0 ), (14) Con la finalidad de obtener una exresión analítica ara r (x), se uede alicar la Proosición 1 de Muñoz (2009,. 11), teniendo en cuenta que r 1 (θ) = E [W Θ = θ] = k t 0 θ, se obtiene: r(x) = 0 r 1 (θ) (θ x) dθ = k t 0 n 1 Σ x i. (15) Para el caso en que t 0 corresonde al tiemo de demora de una orden, el unto de reorden ara un nivel de servicio tio-i del 100α% es q α (x), definido en la ecuación (4). Debido a que no se disone de una exresión analítica sencilla ara este arámetro, el uso del algoritmo MP uede ser aroiado ara estimar q α (x) usando simulación. Suóngase ahora que se tienen Q unidades del reuesto en inventario al inicio de un eriodo de longitud t 0. En este caso, dos medidas de desemeño de imortancia ara la administración de inventarios son el nivel de servicio tio-i (100α 1 %), y el nivel de servicio tio-ii (100α 2 %), donde: α 1 = P [ W Q X = x] y α 2 = E [min {1, Q / W} X = x ]. (16) Como uede areciarse de estas ecuaciones, ambas medidas de desemeño tienen la misma forma de la eseranza r (x), ara una variable de resuesta aroiadamente definida. Nuevamente, obtener exresiones analíticas ara estas medidas de desemeño no es una tarea fácil, or lo que se justifica la alicación del algoritmo MP ara estimar α 1 y α 2. Un modelo con datos de censo k Suóngase que no se tienen registros de los tiemos entre fallas sucesivas, ero en cambio, ara cada n eriodo de tiemo i = 1, 2,,, se ha registrado el número de máquinas en oeración durante el eriodo i, y el número de fallas or máquina durante el eriodo i. En este caso, los datos toman la forma de x = (x 11,, x 1k1,, x 1,, x k ), donde x ij es el número de fallas de la j ésima máquina durante el eriodo i, j = 1, 2,, ; i = 1, 2,, (en este caso n = Σ ). Para simlificar la notación, se asume que cada eriodo tiene la longitud de una unidad de tiemo, lo que se logra exresando la tasa de fallas en la escala aroiada (fallas or unidad de tiemo). Como los rocesos de fallas se asumen condicionalmente indeendientes dado Θ, el vector de datos x uede considerarse como el conjunto de observaciones de una muestra aleatoria X = (X 1, X 2,, X n ) de una distribución de Poisson, de acuerdo con una función de robabilidades (discreta): f ( y θ) = e θ θ y y! j=1 (θ x) = n Σ Σx ij j=1, y = 0, 1,, y sigue de (2) que la función de verosimilitud resulta: Σ ki L(x θ) = e θ θ Σ Σ x ij j=1. (17) Como se sabe (véase, or ejemlo, Bernardo & Smith, 2000), la densidad a riori objetiva ara la distribución de Poisson es (θ) = θ 1/2, or lo que sigue de (1) y (17) que; que corresonde a la distribución Gama (Σ Σ x ij + 1/2, n). j=1 j=1 x ij!, (18) Como en el modelo anterior, aquí se desea ronosticar el número de comonentes que fallan durante un eriodo de tiemo de longitud t 0, or lo que la variable de resuesta obedece a la ecuación (14). Teniendo en cuenta que ahora la densidad osterior (θ x) está definida +1/2 θ Σ Σ x ij 1/2 e nθ Γ Σ Σ x ij + 1/2 j=1

8 14 Journal of Economics, Finance and Administrative Science December 2009 en (18), se uede roceder como en la ecuación (15) ara obtener una exresión analítica ara r(x): r(x) = 0 r 1 (θ) (θ x) dθ = n 1 k t 0 ( Σ Σ x ij + 1/2). (19) En este caso también el algoritmo MP uede ser utilizado ara estimar el unto de reorden q α (x), o el nivel de servicio definido en (16). Nótese que en los dos modelos resentados no se ha requerido utilizar el algoritmo CMMC, debido a que se ha odido reconocer la familia de distribuciones a la que ertenece la densidad osterior (en ambos casos es gama). Sin embargo, si no se usara la densidad a riori objetiva en estos modelos, udiera ocurrir que la familia de distribuciones a la que ertenece la densidad osterior (θ x) no fuera fácil de reconocer, y en este caso el algoritmo CMMC sería de utilidad, como se ilustra más adelante en el segundo acáite de la siguiente sección. Pruebas exerimentales j=1 En esta sección se alica el modelo que considera datos de censo ara ronosticar la demanda de embragues (de un modelo articular) que exerimenta un distribuidor de autos. Se ilustra la alicación de los métodos descritos en secciones revias utilizando datos de la demanda de embragues de un distribuidor de autos y reuestos en México, D. F. Alicación de la técnica muestreo osterior (MP) ara calcular untos de reorden y niveles de servicio El modelo de autos A es el modelo de una línea que ha tenido mucha acogida, y que se continúa roduciendo y vendiendo actualmente. En el Cuadro 1 se resentan datos disonibles sobre la demanda de este modelo, que incluyen la demanda de autos y de embragues ara cada mes del año Con la finalidad de alicar el modelo con datos de censo, se asume que los clientes que comran su auto en un distribuidor articular son los mismos clientes que comran los reuestos de embrague en dicho distribuidor. En consecuencia, el número de autos en oeración al final del eriodo i es igual a la cantidad de autos del modelo A vendidos or el distribuidor hasta dicho eriodo, de manera que = 1 + S i, donde S i es la cantidad de autos vendidos en el eriodo i. Como uede observarse de los datos del Cuadro 1, el año 2008 emezó con 337 autos en oeración del modelo A (de acuerdo con las ventas de los años anteriores). Cuadro 1. Demanda de autos y embragues ara el modelo A en 2008 Mes (i) Ventas de autos (S i ) Autos en oeración ( ) Demanda de embragues (Σ x ij ) Enero (1) Febrero (2) Marzo (3) Abril (4) Mayo (5) Junio (6) Julio (7) Agosto (8) Setiembre (9) Octubre (10) Noviembre (11) Diciembre (12) Total 109 4, Fuente: Datos roorcionados or un concesionario de autos en México, D. F. Se desea ronosticar la demanda W, de acuerdo con la ecuación (14), cuando t 0 = 0.5 y k = 500, ya que se asume que la demora de una orden de embragues es de aroximadamente 15 días y existen 500 autos en oeración durante el eriodo de ronóstico. Usando (19) se calculó el ronóstico untual de la demanda de embragues durante la demora del edido y se obtuvo r(x) = Posteriormente, se alicó el algoritmo MP ara estimar (x), el unto de reorden ara un nivel de servicio de 90%. Los resultados ara la estimación de r(x) y (x) usando m = 10 6 reeticiones se resumen en el Cuadro 2. El ancho medio ara r(x) indica que el error en la estimación de r(x) ˆ es menor que , aunque ya sabemos que la diferencia entre r(x) y r(x) ˆ tiene menos de 4 decimales significativos. j=1

9 Vol. 14 Nº 27 Muñoz Negrón y Muñoz Medina: Pronósticos bayesianos ara reuestos de automóviles 15 Cuadro 2. Estimación de arámetros usando MP con m = 10 6 reeticiones Parámetro Estimación or simulación Ancho medio r (x) r (x) = (x) (x) = En el caso de la estimación de (x), se uede areciar del cuadro 2 que el ancho medio es de 0, lo cual no es sorrendente si se toma en cuenta que la variable de resuesta W es discreta, y su función de distribución acumulada es constante or tramos. Nótese también que P [ W q α (x) X = x ] no necesariamente es igual a α (como lo es cuando W es una variable aleatoria continua), or lo que es interesante estimar el verdadero nivel de servicio corresondiente a (x). En el Cuadro 3 se reortan las estimaciones de los niveles de servicio tio-i (robabilidad acumulada) ara diferentes valores de Q, obtenidos luego de alicar el algoritmo MP con m = 10 6 reeticiones. A artir de los datos del cuadro se uede areciar que el nivel de servicio corresondiente a (x) = 4 es aroximadamente 95.74% Cuadro 3. Niveles de servicio estimados ara diferentes valores de Q usando MP con m = 10 6 Inventario inicial (Q) ˆ ˆ Nivel de servicio tio-i ˆ estimado (α 1 ) Ancho medio E E E E E E E E E E E E+00 Como uede areciarse de los Cuadros 2 y 3, el número de reeticiones m = 10 6 fue lo suficientemente grande ara obtener errores de estimación equeños ara cada uno de los arámetros, lo cual odría no ocurrir ara un número equeño de reeticiones. Para ilustrar cómo este número afecta el cubrimiento y el ancho medio, se reitió el exerimento de estimación M = 1,000 veces ara diferentes valores de m, y se calcularon el cubrimiento emírico, el romedio y la desviación estándar de los anchos medios, el error cuadrático romedio y el sesgo ara cada conjunto de exerimentos. Para calcular estas medidas, se requiere de los valores teóricos (verdaderos) ara los arámetros r(x) y (x), or lo que se tomaron los valores r(x) = y (x) = 4 obtenidos anteriormente. Los resultados se resentan en el Cuadro 4. Como uede areciarse de los datos del Cuadro 4, el cubrimiento emírico se aroxima al nominal de 90% a medida que el número de reeticiones crece, y ara m = 1,600 ya se obtiene un cubrimiento acetable. Nótese también que ara m = 1,600 se obtiene un sobre cubrimiento en la estimación de (x), lo que se exlica or el hecho de que la variable de resuesta W es discreta. Es conveniente notar que al incrementarse el tamaño de la muestra se arecia una reducción del error de estimación, reduciéndose consistentemente el ancho medio, el error cuadrático romedio y el sesgo. Alicación de la CMMC ara incororar una densidad a riori subjetiva Como se indicó en el segundo acáite de la segunda sección, cuando se usa la densidad a riori no informativa (gama) ara el modelo con datos de censo, se udo identificar que la distribución osterior es también gama, or lo que se udo alicar el algoritmo MP ara la estimación de r(x) y q α (x). En esta sección se ilustra cómo se alica la CMMC cuando se usa una densidad a riori subjetiva, ara la cual no se ha odido identificar la familia de distribuciones a la que ertenece la distribución osterior. Se consideró una densidad a riori uniforme en [ a, b ], donde los valores de a y b son roorcionados or el usuario. La identificación de la distribución osterior con esta densidad a riori no es tarea fácil, or lo que se justifica el uso del algoritmo CMMC en este caso. Para la imlementación del algoritmo, se consideró la

10 16 Journal of Economics, Finance and Administrative Science December 2009 Cuadro 4. Desemeño de MP con base en M = 1,000 exerimentos ara diferentes valores de m Número de reeticiones m = 100 m = 400 m = 1,600 Parámetro estimado Cubrimiento emírico Promedio Ancho medio Desviación estándar Error cuadrático romedio Sesgo r (x) (x) r (x) (x) r (x) (x) distribución de muestreo q(θ) que resulta de alicar el rocedimiento sugerido al final de la rimera sección, como se exlica a continuación. Como (θ) = 1, ara a < θ < b, sigue de (1) y (17) que: or lo que L n (θ) = log [ (θ x) ] = Σ Σ x ij log (θ) θ Σ log x ij!, j=1 µ n = Σ Σ x ij Σ Por otro lado, como L n (θ) = θ 2 Σ Σ x ij, se obtiene la varianza: σ 2 = [ L n (µ n )] 1 = j=1 µ n 2 Σ Σ x ij. (20) Finalmente, considerando que (θ x) es cero cuando θ < a o θ > b, se tomó q(θ) igual a la densidad corresondiente a la distribución N ( µ n, σ 2 ) truncada en [ a, b ], donde µ n y σ 2 están definidas en (20) y (21), resectivamente. Usando la densidad q(θ) así definida, se imlementó el algoritmo CMMC ara ronosticar la demanda W definida en (14). Los arámetros de la densidad a j=1 j=1 j=1. (21) riori se fijaron en a = 0 y b = 0.02 ara t 0 = 0.5 y k = 500. Los resultados de la estimación de r(x) y (x) usando m = 10 6 reeticiones se resumen en el Cuadro 5. Cuadro 5. Estimaciones obtenidas usando la CMMC con m = 10 6 reeticiones Parámetro Estimación or simulación Ancho medio r (x) rˆ MC (x) = MC (x) q ˆ 0.9 (x) = Como se arecia de los Cuadros 2 y 5, los estimadores obtenidos con la densidad a riori subjetiva (uniforme) y con la densidad a riori objetiva (no informativa) son muy arecidas (diferencia menor de dos cifras decimales en el caso de r(x) y exactamente iguales en el caso de (x)). Este resultado no es sorrendente si se toma en cuenta (del cuadro 1) que el tamaño de muestra ( Σ = 4,584 ) es grande, y en este caso la distribución osterior tiene oca influencia de la distribución a riori. Otra interesante consecuencia de disoner de un tamaño de muestra grande es que se reduce la incertidumbre aramétrica, y la varianza σ 2, definida W en (9), está dominada or la varianza estocástica σ 2. Para ilustrar esta roiedad, nótese que en este s modelo se tiene que r 1 (θ) = σ 2 (θ) = k t 0 θ, or lo que, bajo la densidad a riori objetiva (gama) se

11 Vol. 14 Nº 27 Muñoz Negrón y Muñoz Medina: Pronósticos bayesianos ara reuestos de automóviles 17 uede verificar fácilmente que σ 2 = ( k t 0 ) 2 β 1 β 2 2, y s σ 2 = k t 0 β 1 β 2 1, donde β 1 = Σ Σ x ij y β 2 = Σ. Estos resultados ermiten verificar que, ara los datos del cuadro 1, la varianza estocástica σ 2 reresenta el 94.82% de la varianza total σ 2. Para roorcionar un ejemlo de cómo estos métodos bayesianos ueden desemeñarse de otra forma, deendiendo del conjunto de datos disonible, se simuló un conjunto diferente de datos ara el mismo roblema de estimación. El nuevo conjunto de datos se resenta en el cuadro 6, y fue obtenido considerando un número fijo de máquinas en oeración = 10, i = 1, 2,, 12, y fallas distribuidas según una distribución de Poisson con tasa de fallas de θ = 1 or mes. Cuadro 6. Datos simulados ara 10 máquinas y tasa de fallas θ = 1 Mes (i) j=1 Máquinas en oeración ( ) Fallas ( Σ x ij) Enero (1) 10 8 Febrero (2) Marzo (3) Abril (4) Mayo (5) 10 9 Junio (6) Julio (7) Agosto (8) 10 8 Setiembre (9) Octubre (10) Noviembre (11) Diciembre (12) Total Las estimaciones de r(x) y (x) usando m = 10 6 reeticiones, k = 10 y t 0 = 1 se resumen en el cuadro 7 ara los métodos MP y CMMC. Para el algoritmo MP se consideró la densidad a riori objetiva (gama), y ara el algoritmo CMMC se consideró la densidad a riori uniforme en [ 0.8, 1.2 ]. w j=1 Cuadro 7. Estimación de arámetros usando MP y CMMC con m = 10 6 reeticiones Método Muestreo osterior Cadena de Markov Monte Carlo Estimación or simulación Ancho medio r (x) = (x) = r MC (x) = (x) = En el cuadro 7 se resumen los resultados de las estimaciones de r(x) y (x) usando densidades a riori diferentes. En el caso de MP, la densidad a riori no informativa asume oco conocimiento a riori sobre el valor del arámetro Θ. Por otro lado, ara el caso de la CMMC, la densidad a riori uniforme en [ 0.8, 1.2 ] roorciona mayor información sobre Θ. Como uede observarse en el cuadro mencionado, la influencia de la densidad a riori en el valor de los arámetros es mucho más grande que la observada con los datos del cuadro 1. En la figura 1 se resentan las gráficas de la función de distribución acumulada de W obtenidas bajo las dos diferentes densidades a riori, donde se uede areciar con mayor claridad la diferencia. Nótese que la distribución de W bajo la densidad a riori no informativa tiene una varianza más grande, lo que refleja una mayor incertidumbre en el ronóstico. Conclusiones y direcciones ara investigaciones futuras ˆ ˆ ˆ ˆ MC Este artículo ilustra cómo se uede combinar un modelo de simulación con técnicas de estimación bayesiana ara estimar arámetros de ronóstico en roblemas de administración de inventarios de reuestos. La ventaja de usar la simulación como una técnica de ronóstico radica en el hecho de que se ueden utilizar modelos muy comlejos, que incororan información detallada del sistema, con la finalidad de roducir ronósticos más confiables.

12 18 Journal of Economics, Finance and Administrative Science December Distribución acumulada obtenida or muestreo osterior Distribución acumulada obtenida or CMMC Cumulative Probability Values Figura 1. Distribución acumulada de la variable de resuesta usando datos de fallas simulados Se han ilustrado las alicaciones otenciales de los métodos de muestreo osterior y de la cadena de Markov Monte Carlo como técnicas ara construir ronósticos utilizando simulación estocástica. El método de muestreo osterior (MP) requiere de un algoritmo ara generar muestras de la función de densidad osterior (θ x), mientras que el método de la cadena de Markov Monte Carlo (CMMC) uede ser alicado aun cuando no se haya identificado la familia de distribuciones a la que ertenece (θ x). La alicación de estos métodos se ilustró rooniendo dos modelos sencillos ara el ronóstico de fallas de reuestos; el rimer modelo considera la existencia de datos de tiemos entre fallas sucesivas, mientras que el segundo considera datos de censo, y en ambos casos se utilizó un marco bayesiano ara el ronóstico de la demanda de reuestos. Se alicó el modelo con datos de censo, utilizando datos reales de un distribuidor de autos y reuestos de México, D. F., y ambas metodologías, MP y CMMC, cuando fueron necesarias. Para alicar MP se consideró la distribución de referencia (no informativa), mientras que ara la CMMC se consideró una distribución uniforme (subjetiva). Los resultados de la alicación de estos métodos han ermitido establecer las siguientes conclusiones. En rimer lugar, el error de estimación (medido or el ancho medio), así como el sesgo y el error cuadrático romedio disminuyen a medida que crece el número de reeticiones m del exerimento de estimación or simulación. En consecuencia, desde el unto de vista de la alicación, es imortante establecer el número de reeticiones m que osibilita obtener el grado de error ermitido, y el cálculo del corresondiente ancho medio es imortante ara medir la magnitud del error de estimación de la simulación. En segundo lugar, los resultados obtenidos usando datos reales ilustran cómo un tamaño grande de la muestra ermite que la distribución osterior tenga oca influencia de la distribución a riori. El ronóstico obtenido con la densidad a riori objetiva resultó muy similar al que se obtiene con una distribución más informativa, debido a que, en este caso, la densidad a riori tiene oca influencia en la distribución osterior. Para ilustrar esta roiedad, se simuló otro conjunto de datos con un tamaño de muestra más equeño y una tasa de fallas más grande. En este caso, la influencia de

13 Vol. 14 Nº 27 Muñoz Negrón y Muñoz Medina: Pronósticos bayesianos ara reuestos de automóviles 19 la densidad a riori se hizo más evidente, obteniéndose ronósticos considerablemente diferentes. Finalmente, la relevancia de las metodologías ilustradas en este artículo deende de la habilidad del modelo rouesto ara imitar el sistema real, la que está relacionada con una adecuada selección de los arámetros ara los cuales existe información muestral, así como de las relaciones entre los comonentes aleatorios que generan la incertidumbre estocástica. En esta dirección, los modelos rouestos en la segunda sección ueden modificarse ara reflejar mejor el sistema en estudio, or ejemlo, asumiendo una familia diferente de distribuciones ara los tiemos entre fallas del reuesto. Similarmente, estos métodos que combinan la simulación con un enfoque bayesiano de ronóstico odrían ser aroiados ara resolver roblemas de ronóstico en cadenas de suministro (véase, or ejemlo, Kalchschmidt et ál., 2006). Es conveniente remarcar que, si bien en este artículo se utilizaron modelos relativamente sencillos, el mayor otencial de las metodologías ilustradas radica en su osible alicación con modelos de simulación que incluyen información detallada sobre el roceso de generación de la demanda. Referencias Alba, E. de, & Mendoza, M. (2007). Bayesian forecasting methods for short time series. Foresight, 8, Asmussen, S., & Glynn, P. W. (2007). Stochastic simulation algorithms and analysis. New York: Sringer. Bartezzaghi, E., Verganti, R., & Zotteri, G. (1999). A simulation framework for forecasting uncertain lumy demand. International. Journal of Production Economics, 59, Berger, J. O., Bernardo, J. M., & Sun, D. (2009). The formal definition of reference riors. Annals of Statistics, 37(2), Bernardo, J. M., & Smith, A. F. M. (2000). Bayesian theory. Chichester: John Wiley. Caniato, F., Kalchschmidt, M., Ronchi, E., Veganti, R., & Zotteri, G. (2005). Clustering customers to forecast demand. Production Planning & Control, 16, Cheng, R. C. H., & Holland, W. (2004). Calculation of confidence intervals for simulation outut. ACM Transactions on Modeling and Comuter Simulation, 14(4), Chora, S., & Meindl, P. (2004). Suly chain management. (2.ª ed.). New Jersey: Prentice Hall. Chung, K. L. (1974). A course in robability theory. (2.ª ed.). San Diego: Academic Press. Croston, J. D. (1972). Forecasting and stock control for intermediate demands. Oerational Research Quarterly, 23, Kalchschmidt, M., Verganti, R., & Zotteri, G. (2006). Forecasting demand from heterogeneous customers. International Journal of Oerations & Production Management, 26(6), Makridakis, S., Wheelwright, S. C., & Hyndman, R. J. (1998). Forecasting: Methods and alications. (3.ª ed.). New York: John Wiley. Muñoz, D. F. (2009). Pronósticos bayesianos usando simulación estocástica. Cuadernos de Difusión. 14(26), Rao, A. V. (1973). A comment on forecasting and stock control for intermediate demands. Oerational Research Quarterly, 24, Schmeiser, B. (1982). Batch size effects in the analysis of simulation outut. Oerations Research, 30(3), Serfling, R. J. (1980). Aroximation theorems of mathematical statistics. New York: John Wiley. Syntetos, A. A., & Boylan, J. E. (2001). On the bias of intermittent demand estimates. International. Journal of Production Economics, 71, Wacker, J. G., & Srague, L. G. (1998). Forecasting accuracy: comaring the relative effectiveness of ractices between seven develoed countries. Journal of Oerations Management, 16, Willemain, T. R., Smart, C. N., & Schwarz, H. F. (2004). A new aroach to forecasting intermittent demand for service arts inventories. International Journal of Forecasting, 20,

14 20 Journal of Economics, Finance and Administrative Science December 2009 Zotteri, G., & Kalchschmidt, M. (2007a). Forecasting ractices: Emirical evidence and a framework for research. International. Journal of Production Economics, 108, Zotteri, G., & Kalchschmidt, M. (2007b). A model for selecting the aroriate level of aggregation in forecasting rocesses. International Journal of Production Economics, 108,