MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA. APLICACIÓN EN LA VALORACIÓN DE OPCIONES FINANCIERAS

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1 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA. APLICACIÓN EN LA VALORACIÓN DE OPCIONES FINANCIERAS Begoña Vitoriao bvitoriao@mat.ucm.es Uiversidad Complutese de Madrid

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3 ÍNDICE I MODELADO DE SISTEMAS MEDIANTE SIMULACIÓN... 3 I. SISTEMAS, MODELOS Y SIMULACIÓN... 3 I. VENTAJAS E INCONVENIENTES DE LA SIMULACIÓN... 6 I.3 TIPOS DE SISTEMAS Y DE SIMULACIÓN... 7 I.4 ELEMENTOS DE UN MODELO DE SIMULACIÓN DINÁMICO... 9 I.4. El reloj de simulació... 9 I.4. Mecaismo de trasició... 0 I.5 ETAPAS EN EL DESARROLLO DE UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN... II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN... 5 II. IDENTIFICACIÓN DE PATRONES... 5 II.. Distribucioes empíricas... 6 II.. Distribucioes teóricas... 8 II. GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS... 5 II.. Geeració de muestras uiformes... 5 II.. Geeració de variables aleatorias discretas... 9 II... Método geeral o estádar... 9 II... Biomial ( p, ) II...3 Geométrica ( p )... 3 II..3 Geeració de variables aleatorias absolutamete cotiuas... 3 II..3. Método de la trasformada iversa... 3 II..3. Método de aceptació - rechazo... 3 II..3.3 Aplicació a ua discreta: Poisso( ) II..3.4 Normal (, ) II..3.5 Logormal (, ) II..3.6 ( pa, ) y Beta (, ) II II..3.8 t de Studet II..3.9 F m, de Fisher-Sedecor... 4 II..4 Geeració de variables aleatorias mixtas... 4 II..5 Geeració de variables aleatorias multidimesioales... 4 II..5. Nocioes de cálculo matricial... 4 II..5. Normal Multivariate N(, ) II..5.3 Multiomial II..5.4 T de Studet multivariate i E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

4 III ANÁLISIS DE RESULTADOS III. COMPORTAMIENTOS TRANSITORIO Y ESTACIONARIO DE UN PROCESO ESTOCÁSTICO III. TIPOS DE SIMULACIÓN SEGÚN EL ANÁLISIS DE RESULTADOS III.3 ESTIMACIÓN DE VARIABLES RESPUESTA: PRECISIÓN Y TAMAÑO MUESTRAL III.4 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS ESTACIONARIOS: EL PROBLEMA DEL ESTADO INICIAL TRANSITORIO... 5 III.5 TÉCNICAS DE REDUCCIÓN DE LA VARIANZA III.5. Muestreo correlado (úmeros aleatorios comues) III.5. Variables atitéticas III.5.3 Variables de cotrol III.5.4 Codicioamieto III.5.5 Muestreo estratificado III.5.6 Muestreo por importacia IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS... 6 IV. NOCIONES BÁSICAS SOBRE DERIVADOS FINANCIEROS... 6 IV.. Cotratos de futuros... 6 IV.. Opcioes... 6 IV... Opcioes vaiilla (vailla optios) IV... Opcioes exóticas (exotic optios) IV. VALORACIÓN DE OPCIONES Y FUTUROS IV.. Coceptos básicos e valoració de derivados IV.. Estimació del valor de opcioes si posibilidad de ejercicio aticipado mediate simulació IV..3 Estimació del valor de opcioes co posibilidad de ejercicio aticipado mediate métodos uméricos IV..3. Método biomial V REFERENCIAS VI BIBLIOTECA DE PROBLEMAS VII RESULTADOS DE LA BIBLIOTECA DE PROBLEMAS VIII PRÁCTICAS PROPUESTAS PARA FINANZAS ii E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

5 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN I Modelado de sistemas mediate simulació I. Sistemas, modelos y simulació La primera vez e la historia que se habló de simulació fue e el año 949 cuado Joh Vo Neuma y Staislaw Ulam presetaro el deomiado método de Mote Carlo. Desde etoces la simulació ha sufrido u crecimieto muy fuerte y, especialmete e las dos últimas décadas, este crecimieto ha sido vertigioso gracias al desarrollo de los ordeadores. Dar ua defiició exacta de la simulació o es ua tarea fácil dada la amplitud de las aplicacioes y sistemas a los que se aplica. Si embargo, ua buea defiició sería la dada por Shao e 975, segú la cual, simulació es el proceso de diseñar u modelo de u sistema real y llevar a cabo experiecias co él, co la fialidad de apreder el comportamieto del sistema o de evaluar diversas estrategias para el fucioamieto del sistema. Varios coceptos so utilizados e esta defiició y debe ser precisados. Sistema: Cojuto de objetos o ideas que está iterrelacioadas etre sí como ua uidad para la cosecució de u fi. Forma parte de la vida real. Modelo: Represetació simplificada de u sistema. Es ua abstracció del sistema. El objetivo es crear u modelo del sistema a partir de la observació. Si embargo, esto o es particular de la simulació ya que e todo aálisis de sistemas éste es u paso ecesario, lo que es particular es el tipo de modelo y el uso que se hace de él. Así, se dice que existe dos procedimietos para obteer modelos de sistemas: Aálisis teórico o método deductivo: co este procedimieto se lleva a cabo u estudio cualitativo de los feómeos que caracteriza el comportamieto del sistema, que so plasmados e relacioes matemáticas cocretas que defie las ecuacioes descriptivas del proceso. Para dar ua respuesta co este tipo de modelos hay que resolver las ecuacioes descriptivas del proceso, tarea que e ocasioes es especialmete difícil. Como ejemplo, supógase u objeto que se mueve co ua cierta trayectoria, ua velocidad e cada mometo y ua aceleració, que a su vez depede de otras codicioes exteras como las características del terreo e que se ecuetre o la cercaía de otros objetos similares. Para dar respuesta, por ejemplo al puto e que se ecotrará pasado u determiado tiempo co este tipo de modelo, hay que resolver las ecuacioes del movimieto del objeto, lo cual o es imediato si el objeto cambia su trayectoria y 3 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

6 I MODELADO DE SISTEMAS MEDIANTE SIMULACIÓN aceleració co el tiempo, las características de la posició, el movimieto de otros objetos, etc. Aálisis experimetal o método iductivo: cosiste e costruir u modelo matemático a partir de medidas realizadas sobre el sistema, dado ua descripció detallada de cómo evolucioa a lo largo del tiempo, co el fi de observar el comportamieto del modelo y llevar a cabo experiecias co él: simulació del modelo. Co el mismo ejemplo del objeto móvil, se puede ir represetado e pequeños itervalos de tiempo las variacioes de velocidad, aceleració, posició, mediate la defiició directa que relacioa a estas variables, tato del móvil observado como de los cercaos, modificado e cada mometo los parámetros segú la posició e que esté él y los demás objetos, hasta llegar a cumplir el tiempo que se desea observar. Co este modelo es posible esayar diversas respuestas ate distitas situacioes. Así pues, co este procedimieto el objetivo o es coocer el sistema e sí, sio su comportamieto ate diversas situacioes Los modelos de simulació o se resuelve, se hace fucioar! Ejemplo : Se desea costruir ua carretera y para ello se ha de hacer u túel a través de ua motaña. Existe dos putos posibles dode hacer el túel, correspodietes a dos motañas distitas M y M cercaas. Supogamos que se tiee que decidir si hacerlo e u puto o e otro. Mediate estudios prelimiares se sabe que e el puto M la logitud del túel habría de ser L y e la motaña M, L. E la primera de ellas, por las características del terreo, se perforaría a razó de x uidades por jorada de trabajo, mietras que e la otra motaña sería a razó de x uidades. La empresa debe recibir ua maquiaria ueva co ua probabilidad 0.7. La probabilidad de que la ueva maquiaria se averíe e M es 0.4 y e M es 0.6. Para la maquiaria vieja estas probabilidades so, respectivamete, 0.8 y 0.9. Las averías puede ser de dos tipos: graves co probabilidad 0.35 y 4 joradas de trabajo de reparació o leves co jorada de trabajo de reparació. La preguta es: dóde se debe perforar el túel para tardar lo meos posible e la costrucció de la carretera? U modelo de simulació desarrollado para la perforació e el puto M sería, por ejemplo, el de la figura. 4 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

7 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Perforació M 0.7 SI Llega maquiaria ueva? 0.9 NO p=0.4 p=0.8 p SI Avería -p NO 0.35 Grave Tipo avería Leve 0.65 DA=4 DA= DA=0 DT=L/x+DA Figura. Modelo de simulació de perforació motaña M. Aálogamete, se haría otro para el puto M. Este modelo se programa e u leguaje geeral y luego es simulado e el ordeador varias veces de modo que se obtega ua muestra simulada de la duració de la perforació e cada uo de los putos. Ua vez obteida la muestra la decisió puede ser tomada eligiedo el puto que tega u meor valor de la duració esperada. Si embargo, este cálculo tambié puede ser obteido mediate el método teórico, es decir, mediate cálculo de probabilidades. A modo de ejemplo, co el método teórico se obtuvo ua duració esperada e M de joradas y e M de y después de 50 simulacioes se obtuvo ua duració media e M de 9.34 joradas y e M de 0. joradas. De este ejemplo, tambié se deduce la ecesidad de u mecaismo eficaz para geerar variables aleatorias que sea rápido, dado que hay que repetir la simulació u úmero elevado de veces para dar por válidos los resultados obteidos. Ejemplo : A Pepe, su mejor amigo Jua le propoe u juego: lazar u dado hasta que la diferecia etre las veces que ha salido úmeros pares e impares sea tres. Pepe pagará 00 moedas e cada tirada y cobrará 000 al fial. Cómo puede comprobar Pepe si Jua es realmete u bue amigo? 5 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

8 I MODELADO DE SISTEMAS MEDIANTE SIMULACIÓN Para comprobarlo, Pepe puede hacer los cálculos ecesarios para calcular la esperaza de la gaacia o de la pérdida o puede simular las tiradas del dado y observar los resultados. I. Vetajas e icoveietes de la simulació Puesto que existe dos métodos para obteer modelos, cabe pregutarse cuádo es vetajoso utilizar la simulació y qué icoveietes puede teer. Cuádo puede ser vetajosa la simulació: Si o existe formulació matemática del modelo o los métodos de resolució. Por ejemplo, cuado se va a costruir u aeropuerto para prever las ecesidades de ifraestructuras ecesarias o existe u modelo matemático que pueda cotemplar todo cojutamete. Otro ejemplo so los sistemas de líeas de espera para los que se puede platear u modelo, pero para muchos de ellos o existe métodos matemáticos para resolver las ecuacioes resultates. Sí existe, pero resulta más barato y secillo simular, ya que e muchas ocasioes el modelo y su resolució resulta más secillos. Si se desea experimetar co el sistema ates de su uso o costrucció. El ejemplo más coocido so los simuladores de vuelo, pero o es el úico, ya que cada vez es más habitual la implatació de puestos de formació para operadores de sistemas, de modo que pueda practicar co el modelo como si lo hiciera co el sistema. Si es imposible experimetar sobre el sistema y se desea preveir evetualidades. Éste es uo de los usos más habituales, la preveció de evetualidades, de modo que si posteriormete se da algua de ellas se tega idetificada la respuesta óptima ate la evetualidad. Uo de los casos más represetativos es el de la simulació de vuelos espaciales, de modo que ates de lazarlo se ha simulado el sistema para teer respuestas e caso de fallo de algú mecaismo o similar. Obviamete, el éxito de este uso pasa por ua buea idetificació de las posibles evetualidades. Si hay razoes éticas que impide la experimetació, como e el caso de sistemas biológicos humaos. Si se desea reducir escalas de tiempo, pues la evolució del sistema es muy leta. Por ejemplo e el estudio de diferetes políticas de talas de árboles o es viable esperar a ver cuál es la evolució del bosque co ua determiada política, o sólo por las cosecuecias que pueda teer, sio porque para observarlas habría que esperar umerosos años. Por último, ua característica importate de la simulació es que permite estudiar sistemas diámicos e tiempo real. 6 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

9 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Si embargo, tambié tiee ciertos icoveietes la simulació: La costrucció del modelo puede ser compleja y costosa. Por ejemplo, la costrucció de u bue modelo socioecoómico mudial puede llevar uos cico años de trabajo a u equipo. Es frecuete despreciar elemetos o relacioes si importacia aparete y obteer resultados falsos, auque este peligro existe e cualquier proceso de desarrollo de u modelo, o sólo e los modelos de simulació. Es difícil establecer el grado de precisió de los resultados, ya que se obtiee muestras y como tales ha de ser aalizadas, co sus limitacioes. Es decir, cuado existe aleatoriedad los resultados ha de verse como tales, aleatorios, y aalizados co sumo cuidado y rigurosidad mediate técicas estadísticas. I.3 Tipos de sistemas y de simulació A la hora de obteer u modelo de simulació de u sistema diámico es fudametal defiir el estado del sistema. Se llama estado de u sistema al cojuto de variables ecesarias para describir u sistema e u istate particular de tiempo relativo a los objetivos de u estudio. Los sistemas se clasifica a partir de sus variables de estado: Sistemas cotiuos: Las variables de estado cambia de forma cotiua co el tiempo. Por ejemplo, el movimieto de u tre por ua vía, las variables de estado so posició, velocidad y aceleració. Sistemas discretos: Las variables de estado cambia e ciertos istates de tiempo. Por ejemplo, u sistema de ateció a clietes atedido por u solo servidor, la variable de estado es el úmero de clietes que hay e el cetro de servicio. Los modelos de simulació a su vez puede ser clasificados atediedo a varios criterios: Segú la evolució del tiempo o o Estáticos: represeta u sistema e u istate particular. A meudo, a este tipo de simulació se la deomia simulació de Mote Carlo. Diámicos: represeta u sistema que evolucioa co el tiempo. Segú la aleatoriedad 7 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

10 I MODELADO DE SISTEMAS MEDIANTE SIMULACIÓN o o Determiistas: o icluye variables aleatorias. Dados uos datos de etrada, existe u úico cojuto posible de datos de salida. Probabilistas o estocásticos: cotiee variables aleatorias, las salidas so aleatorias (estimacioes de las verdaderas características). Segú las variables de estado o o Cotiuos: si todas las variables de estado cambia de forma cotiua co el tiempo. Discretos: si todas las variables de estado cambia e determiados istates de tiempo. Se defie como evetos aquellos sucesos que puede producir u cambio e el estado del sistema. A estos modelos tambié se les llama modelos de simulació de evetos discretos. Hay que teer e cueta, si embargo, que o siempre de u sistema discreto se hace u modelo discreto, hay casos e que por simplificar es mejor tratarlo como u sistema cotiuo. U caso muy habitual so los modelos de tráfico, e que auque los cambios so discretos, modelarlos como flujos cotiuos da mucho mejor resultado. o Híbridos o combiados: si icluye variables de estado cotiuas y discretas. U ejemplo de u modelo cotiuo es el clásico modelo presa - depredador de Lotka Volterra. E él se supoe ua població (grade) y cerrada (o hay migracioes) de presas y depredadores. El objetivo es estudiar cómo varía el úmero de cada uo de ellos e el tiempo. El modelo propuesto por Lotka Volterra sería el siguiete: Xt (): úmero idividuos presa e el istate t Yt (): úmero de idividuos depredador e el istate t dx rx ( t) ax ( t) Y ( t), dt a 0 dy sy ( t) bx ( t) Y ( t), dt b 0 dode r es la tasa de crecimieto de la població presa e ausecia de depredadores, s la tasa de decrecimieto de los idividuos depredador e ausecia de presas, y a y b so parámetros para poderar la presecia de los otros idividuos e la variació de població. Este modelo se puede itetar resolver mediate métodos clásicos, si embargo, es mucho más secillo simularlo tomado pequeños itervalos de tiempo y actualizado las variables de estado e esos itervalos mediate las ecuacioes descritas (directamete al ser pequeños itervalos). Obsérvese que desde u puto de vista teórico el sistema presetado sería discreto. Si 8 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

11 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN embargo, cuado las poblacioes so suficietemete grades, el modelo apropiado es u modelo cotiuo. E este documeto os vamos a cetrar e los modelos de simulació diámicos, estocásticos (el caso determiista es cosiderado u caso particular) y discretos: modelos de simulació de evetos discretos. I.4 Elemetos de u modelo de simulació diámico I.4. El reloj de simulació E u modelo de simulació diámico el elemeto característico es el tiempo y su avace. Para ello se utiliza ua variable que registra la catidad de tiempo que ha sido simulada: el reloj de simulació. Esta variable o represeta tiempo real, o es tiempo de ejecució, sio que es u cotador itero del modelo. El reloj de simulació hay que moverlo, icremetar su valor. Para ello hay dos métodos: Icremeto e tiempo fijo (time step): el reloj de simulació se icremeta e exactamete t uidades de tiempo ( t elegido apropiadamete). Cada vez que se icremeta el tiempo se actualiza las variables de estado, si es u modelo de evetos discretos comprobado si algú eveto ha ocurrido e ese itervalo de tiempo. Los evetos que haya podido ocurrir e ese itervalo se cosidera que ocurre al fial de éste, mometo e que se actualiza las variables. Este método es oportuo para simulació cotiua o cuado el mometo e que ocurre los evetos es fijo o para aimació gráfica. Si embargo, para otros casos preseta alguos icoveietes, fudametalmete, la simultaeidad de evetos cuado más de u eveto ocurre e u itervalo y el error que se comete de redodeos al cosiderar que los evetos ocurre al fial del itervalo y que para dismiuirlo hace que se tome icremetos muy pequeños que raletiza eormemete la simulació comprobado muchos itervalos e los que o ocurre ada. Icremeto al próximo eveto (evet step): sólo es válido para modelos de evetos discretos, dode el reloj de simulació se iicializa a cero y se determia los istates e que sucederá los futuros evetos (todos o los más imediatos que pueda ocurrir). El reloj de simulació se avaza hasta el istate del suceso más imiete de los futuros evetos (el primero de ellos), actualizado e ese istate el estado del sistema depediedo del eveto de que se trate. Este procedimieto tiee como vetajas respecto al aterior que o tiee errores al cosiderar tiempos exactos de ocurrecia de los evetos y que es más rápido ya que los periodos e que o hay evetos so saltados. 9 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

12 I MODELADO DE SISTEMAS MEDIANTE SIMULACIÓN Obsérvese que e ambos casos es ecesario teer defiidos cuáles so los evetos futuros y e qué istates se va a dar, al meos los más imediatos, lo que se verá e el siguiete capítulo. I.4. Mecaismo de trasició Co cualquiera de los métodos propuestos, cuado se produce u avace del reloj de simulació hay que actualizar las variables de estado. Se defie el mecaismo de trasició como el mecaismo que muestra los cambios que se produce e el estado del sistema y que permite actualizar su valor. E el caso de los modelos cotiuos, hay que mostrar los cambios de las variables de estado cuado ha pasado u itervalo de tiempo fijo t. Por ejemplo, e el caso de querer hacer u modelo de simulació para el modelo de Lotka-Volterra las variables de estado sería Xt (): úmero idividuos presa e el istate t Yt (): úmero de idividuos depredador e el istate t y el mecaismo de trasició sería de la forma: X ' X rx ( t) ax ( t) Y ( t) t, Y ' Y sy ( t) bx ( t) Y ( t) t actualizado posteriormete X X ' Y Y ' (ua simplificació imediata es o pasar por las variables X ' e Y ', pero se puede cometer pequeños errores por la actualizació de la variable Y co u valor ya actualizado de X ) E el caso de u modelo de evetos discretos, el mecaismo de trasció va asociado co cada eveto mostrado los cambios que se produce e el estado del sistema cuado se produce ese eveto. Por ejemplo, e u sistema de colas co u servidor, la variable de estado es el úmero de clietes que hay e el cetro de servicio y, por lo tato, los evetos so la llegada de u cliete y el fial de u servicio, y el mecaismo de trasició se puede defiir como Nt ( ) si llegada cliete Nt () Nt ( ) si fial de servicio cliete siedo Nt () el úmero de clietes e el sistema e el istate t. 0 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

13 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN I.5 Etapas e el desarrollo de u estudio de simulació Al llevar a cabo u estudio de simulació hay alguos pasos que se debe seguir para lograr el éxito, etediédose éste como u correcto aálisis del problema, la obteció de u modelo que sirva para los fies para los que se desarrolla y que sea creíble por parte del destiatario fial. Por otra parte, hay que difereciar si el fi del estudio es sólo el desarrollo del modelo (obteer u programa que otro usuario va a utilizar fialmete) o si el aálisis de resultados forma parte tambié del estudio. A cotiuació, se muestra el caso más geeral que icluye el aálisis de resultados como ayuda e la toma de decisioes. FORMULAR EL PROBLEMA E esta fase se platea los objetivos del estudio, las hipótesis básicas que puede ser asumidas, los parámetros que iterviee, cuáles so las variables de estado del sistema y por tato del modelo, etc. Es ua fase clave, deomiada fase de especificació, que, a meudo, es ifravalorada e tiempo, ya que aparetemete el problema está formulado, pero, cocretar exactamete lo que se quiere obteer y de lo que se dispoe, o es ta obvio como pueda parecer. REUNIR DATOS Y CREAR UN MODELO E esta fase e primer lugar hay que reuir los datos. Éste puede ser el cuello de botella del proyecto total ya que la recogida de éstos puede ser ua tarea larga y tediosa. Ua vez obteidos, mediate u aálisis estadístico, hay que modelar la aleatoriedad para ser icluida e el modelo de simulació. PROGRAMAR EL MODELO Cuado se cooce los datos de que se dispoe y su aturaleza, se desarrolla el modelo e sí mismo. La programació del modelo, como ya se ha cometado, se puede hacer co u leguaje de programació de propósito geeral o co u leguaje específico de simulació (GPSS, AutoMod, Witess, Area,...). Las vetajas e icoveietes de uos y otros será aalizadas e otra secció. E cualquier caso, la decisió ha de ser tomada previamete, ya que ifluye o sólo e la programació sio tambié e el modelo desarrollado. Para el primer caso éste será u diagrama de flujo. VERIFICAR LA PROGRAMACIÓN Este paso cosiste e verificar que lo que se ha programado coicide co lo que se había modelado. Para ello hay que llevar a cabo ejecucioes de prueba y compararlas co el modelo, E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

14 I MODELADO DE SISTEMAS MEDIANTE SIMULACIÓN para ello ua traza bie elegida y desarrollada puede ser ua valiosa ayuda. E el caso de ser detectados errores, habrá de volver a la fase aterior. VALIDAR EL MODELO Cosiste e comprobar la validez del modelo diseñado y para ello hay que ejecutar el modelo y comparar co el propio sistema o co solucioes teóricas de casos secillos que se halle bie resueltos. La comparació co el propio sistema sugiere comparació de datos reales y datos simulados. Cuado existe aleatoriedad o es fácil hacer tal comparació y u procedimieto habitual para llevarla a cabo cosiste e alimetar el modelo co los mismos datos co los que se alimeta al sistema real para obteer los resultados que se va a comparar. Por ejemplo, si es u sistema de colas co u servidor, se le da al modelo los tiempos etre llegadas y de servicio observados y se compara lo que ocurre e el sistema real co esos tiempos co lo que el modelo simula (o se geera aleatoriamete, e este caso para la validació). DOCUMENTAR EL MODELO O SIMULADOR Ésta es ua etapa fudametal del desarrollo de u modelo para garatizar su amplia difusió. La documetació ha de ser clara, precisa y completa. El maual de usuario debe icluir la especificació técica fucioal, matemática e iformática. El propio código debe icluir ua buea documetació para facilitar la tarea del mateimieto. Piésese que la mayor parte del ciclo de vida de u modelo o está e el desarrollo sio e la fase de uso y mateimieto. Hasta aquí, sería el desarrollo del modelo de simulació, es decir, la costrucció de ua herramieta que simule u sistema. Sólo faltaría para dar por termiada esta parte documetar el modelo co istruccioes al usuario, descripció de hipótesis y datos, etc., y la puesta e servicio para otros usuarios, si es el caso, que sea, al fi y al cabo, los usuarios fiales. Esa fase de fializació, puede ser tambié muy larga y costosa, depediedo de dóde haya de ser istalado, de la documetació que haya que etregar, de la formació que haya que dar a los usuarios, etc. Sea quie sea el usuario fial (es decir, tato si es quie ha desarrollado el modelo como si o), el modelo se usará para ayudar e la toma de decisioes y para ello habrá que llevar a cabo ejecucioes co distitas cofiguracioes, etc. Tambié para esta parte, existe ua metodología co el fi de hacer creíbles los resultados obteidos y obteer la mayor iformació posible de forma eficaz. DISEÑAR EL EXPERIMENTO Hay que diseñar las estrategias a evaluar, las pruebas que se va a llevar a cabo, el úmero de simulacioes de cada ua de ellas, etc. U bue diseño de experimetos puede ser E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

15 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN fudametal para obteer la iformació eficietemete. Tambié las técicas de reducció de la variaza que permite obteer estimadores más precisos co el mismo esfuerzo computacioal, o igual de precisos co meor esfuerzo computacioal, so ua buea ayuda para resolver el problema de forma eficiete. Alguas de estas técicas está especialmete diseñadas para simulació (variables atitéticas, variables de cotrol, muestreo correlado,...) y otras proviee de la teoría geeral de muestreo (muestreo estratificado, muestreo por importacia,...). E esta fase tambié hay que teer e cueta los periodos trasitorios a la hora de diseñar las pruebas, ya que si uestro objetivo es obteer medidas de u sistema e estado estacioario, habrá que determiar la logitud del periodo trasitorio (periodo de tiempo hasta que se puede cosiderar que el régime de fucioamieto del sistema es estacioario o permaete) y utilizar procedimietos para elimiar o ateuar su ifluecia e las medidas que se pretede obteer. LLEVAR A CABO LAS EJECUCIONES DE SIMULACIÓN Se ejecuta todas las pruebas que ha sido diseñadas e la fase aterior. ANALIZAR LOS RESULTADOS Hay que teer muy e cueta que lo que se tiee de cada ejecució es ua muestra simulada y, por lo tato, hay que recurrir al aálisis estadístico para sacar las coclusioes, igual que si la muestra o fuera simulada. DECIDIR SI DAR POR TERMINADA LA SIMULACIÓN A la vista de los resultados, hay que decidir si dar por termiada la simulació y pasar a la última fase del estudio o, por el cotrario, si se requiere uevas pruebas, e cuyo caso habría que volver al paso de diseñar u uevo experimeto. DOCUMENTAR Y ORGANIZAR LAS EJECUCIONES Es importate recopilar y mostrar bie la iformació obteida de las simulacioes, co el fi de hacer creíbles las coclusioes y decisioes que se propoga. Para ello ua buea documetació es u puto fudametal que forma parte del propio estudio. 3 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

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17 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN II Modelado de la aleatoriedad e simulació Como ya se ha cometado, los modelos de simulació habitualmete icluye aleatoriedad, hasta el puto de que e muchos casos cuado el modelo es determiista se cosidera u caso particular de u modelo estocástico más geeral. Por tato, es ecesario modelar correctamete la aleatoriedad icluida y dispoer de procedimietos rápidos y eficietes para geerar valores de variables aleatorias co ua distribució determiada y coocida. II. Idetificació de patroes Para geerar valores de las variables de etrada de u modelo y poder desarrollar la simulació hay que modelar la aleatoriedad que rige a éstas variables. Este modelado se puede hacer mediate dos aproximacioes:. Ajustar ua distribució teórica a los datos: lo que supoe buscar ua distribució teórica que sea acorde a los datos dispoibles, cotrastado la bodad del ajuste para cofiar e que el modelo es el apropiado, y usar esta distribució para geerar valores luego de esa variable.. Defiir la distribució empírica de los datos: de modo que la distribució de los datos es utilizada directamete para geerar valores de la variable posteriormete. La aproximació debe usarse sólo si o se puede usar la, por las siguietes razoes: Los datos so aleatorios, diferetes datos produce diferetes distribucioes empíricas. Es decir, el método de la distribució empírica está muy sujeto a fluctuacioes e los datos. La distribució empírica o permite geerar valores fuera del rago e que se mueve los datos co la que se ha obteido. Habitualmete, o hay u rago claramete establecido y por lo tato, usar este método fuerza a que los valores o pueda ser i meores i mayores que los ya obteidos, es ua limitació, e geeral, poco deseable. Podemos teer razoes para poer u modelo teórico por las propiedades que el modelo seleccioado pueda teer y que so coocidas de atemao. E lo que sigue se supodrá que se parte de ua muestra aleatoria simple, es decir, observacioes idepedietes de la variable a modelar obteidas e las mismas codicioes. 5 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

18 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN II.. Distribucioes empíricas E esta secció se muestra como obteer la distribució empírica a partir de uos datos. La primera distició es si se cosidera que la variable aleatoria es cotiua o discreta. Variables aleatorias discretas Si la variable aleatoria es discreta, la distribució empírica se obtiee asigado a los valores observados la frecuecia relativa co la que aparece e la muestra. Este procedimieto es muy habitual, por o decir el que más se utiliza, para variables aleatorias discretas, especialmete cuado o existe fudametos para supoer que la distribució pueda seguir u modelo cocreto del tipo Biomial, Poisso o relacioadas. Variables aleatorias cotiuas E el caso de las variables aleatorias cotiuas cabe destacar a su vez dos casos, que las observacioes se de agrupadas por itervalos o que o sea así. Variables cotiuas co observacioes o agrupadas: X,..., X El procedimieto para obteer la fució de distribució empírica es el siguiete: ) Ordear los valores de la muestra de meor a mayor: X(),..., X ( ) ) Obteer la fució de distribució segú la siguiete expresió: 0 x X() i x X F x X x X i x X( ) () i ( ) ( i) ( i),..., ( )( X ( i) X ( i) ) Por ejemplo, la fució de distribució correspodiete a las observacioes, 5, 9, 7, 3, 6, sería la correspodiete a la siguiete gráfica: 6 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

19 Frecuecia acumulada MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Valores Figura 6. Fució de distribució empírica de datos o agrupados Variables cotiuas co observacioes agrupadas e itervalos: Sea observacioes agrupadas e k itervalos a, a, a, a,..., a, a 0 k... k. k, cuyas frecuecias absolutas observadas so i de modo que La fució de distribució empírica, dode Ga ( j ) deota la frecuecia relativa acumulada, es decir, Ga ( ) j j i i, sería la siguiete: 0 x a0 x aj G( x) G( a j) ( G( a j ) G( a j)) a j x a j, j,..., k aj aj x ak Por ejemplo, dada la siguiete tabla de valores, la gráfica de la fució de distribució empírica correspodiete es la que se muestra e la figura [,4) [4,8) [8,0) [0,5) E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

20 Frecuecia acumulada II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN [,4) 4 0. [4,8) [8,0) [0,5) 5 5 = Valores Figura 7. Fució de distribució empírica de datos agrupados II.. Distribucioes teóricas E esta secció se preseta el procedimieto a seguir para idetificar u modelo de distribució teórico apropiado para las observacioes de que se dispoe. El procedimieto costa de ua serie de pasos que so los siguietes: a) Propoer posibles familias de distribucioes a partir de u aálisis exploratorio de los datos de tipo descriptivo. Los tres elemetos que se utiliza fudametalmete e este aálisis so: Valores característicos de los datos Cuatiles y gráficos Box-Plot Histogramas b) Estimar los parámetros de las distribucioes propuestas c) Determiar cómo de represetativas so las distribucioes ajustadas, mediate procedimietos heurísticos y mediate cotrastes de hipótesis de bodad de ajuste (Test de la y Test de Kolmogorov-Smirov). Vamos a desarrollar ahora cada uo de estos pasos co más detalle. a) Propoer familias de distribucioes a partir de u aálisis descriptivo. Esta fase cosiste fudametalmete e propoer familias de distribucioes que se observe que so apropiadas para los datos a partir del aálisis descriptivo de éstos, o lo que ocurre e muchas ocasioes, más que propoer, esta fase permite descartar determiadas distribucioes. 8 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

21 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Este aálisis puede apoyarse tambié e determiadas hipótesis que se pueda hacer sobre los datos; por ejemplo, supogamos que uestros datos so datos de tiempo etre fallos de máquias y sospechamos o supoemos que estos fallos o está iflueciados por el desgaste, sio que so por causas aleatorias, parece razoable platearse la expoecial como ua posible distribució, ya que esta distribució o tiee memoria. Para poder platear posibles distribucioes apropiadas para los datos dispoibles se debe aalizar los valores característicos de los datos, los cuatiles y el gráfico Box-Plot, y el histograma de los datos. - Valores característicos de los datos: Los valores que suele ser obteidos y observados so media, variaza, disviació típica, mediaa, asimetría, curtosis, coeficiete de variació,... La razó es porque hay familias de distribucioes para los que estos valores tiee u determiado valor. Así, por ejemplo, para ua distribució ormal, la media y la mediaa coicide, y la asimetría y curtosis so cero. Otro valor característico de ua distribució es el coeficiete de variació, es decir, el cociete etre la desviació típica y la media, que es, ya que ambos valores so iguales para la expoecial. Ua matizació que realizar es que dado que los valores obteidos so de la muestra, cuyas observacioes so aleatorias, o se puede preteder que estos valores sea exactos, es decir, auque los datos provega de ua expoecial, lo habitual es que el coeficiete de variació calculado a partir de los datos o sea, pero sí próximo a él. - Cuatiles y Box-Plot Este aálisis suele ser razoable para distribucioes cotiuas, o para discretas. Los cuatiles x q so los valores que deja a su izquierda ua probabilidad q, es decir, u valor tal que F( xq ) q. Es habitual obteer los deomiados cuartiles ( x 0.5, x 0.5 que es la mediaa, y x 0.75 ) de la muestra y compararlos co los de la distribució propuesta. Esta comparació se suele hacer más que uméricamete por forma, obteiedo el deomiado gráfico Box-Plot. E el gráfico Box-Plot, se represeta los cuartiles e ua caja cetral, co ua líea e medio que es la mediaa; a su vez se represeta dos líeas a cada lado hasta el míimo de los datos la de la izquierda y hasta el máximo la de la derecha, siempre que la logitud de las líeas o supere.5 veces el rago itercuartílico; e el caso e que esta catidad sea E ocasioes el coeficiete de variació viee dado e porcetaje, siedo etoces 00 el valor característico de ua expoecial. 9 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

22 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN superada, los datos que queda fuera se represeta separadamete, siedo deomiados outliers u observacioes fuera de rago. Los que está distaciados más de 3 veces el rago itercuartílico se deomia superoutliers. Este gráfico se utiliza para ver la asimetría y aalizar esos posibles outliers. Los outliers ha de ser estudiados y elimiados del estudio si se cocluye que puede proveir de errores. Si embargo, ha de teerse mucho cuidado al tomar la decisió de elimiarlos del aálisis. El gráfico Box-Plot cosidera que so outliers para ua distribució ormal, pero si trabajamos co ua distribució asimétrica a la derecha, por ejemplo, lo ormal es que aparezca este tipo de datos si que sea igú tipo de error. U ejemplo de u gráfico Box-Plot de ua distribució asimétrica a la derecha es el que se muestra a cotiuació x 0.75 mi 0.5 Me x max outlier - Histogramas y diagrama de barras: Los histogramas so ua represetació de los datos proveietes de distribucioes cotiuas que debe asemejarse a la fució de desidad que se propoga. Los diagramas de barras so para datos proveietes de ua distribució discreta que debe parecerse a la fució de masa de la distribució discreta a propoer. Los histogramas represeta los datos agrupados por itervalos, así a la hora de hacer esta represetació, la decisió fudametal es cómo agruparlos. El procedimieto para costruir u histograma es el siguiete: Dividir el rago e itervalos El úmero de itervalos o es u úmero fijo sio que se puede probar co varios, teiedo e cueta que o puede quedar itervalos de frecuecia ula. E geeral, los itervalos se suele hacer todos de igual amplitud, excepto, e todo caso, los extremos. No hay que olvidar que co el histograma pretedemos ver gráficamete si los datos tiee ua distribució que se pueda parecer a algua coocida, así que se debe probar co distito úmero de itervalos, y co distitas amplitudes, buscado la semejaza co algua distribució. Como orietació para el úmero de itervalos, se suele probar co úmeros cercaos a la raíz cuadrada del úmero de datos o a la fórmula de Sturgess: 0 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

23 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Nº itervalos k log 3.3 log 0 Levatar sobre cada itervalo u rectágulo de área proporcioal a la frecuecia, mateiedo la misma costate de proporcioalidad e todos los itervalos. Comparar co las fucioes de desidad U posible histograma se muestra a cotiuació. E geeral, las herramietas iformáticas estadísticas costruye los histogramas co toda facilidad, represetado icluso la fució de desidad de ua distribució propuesta a su lado. Si embargo, auque se utilice estas herramietas, la decisió de cómo agrupar los datos para lograr ua semejaza si es posible, sigue siedo ua tarea a realizar por el usuario. 8 datos 7 datos 6 datos 8 datos 6 0 Para el caso de distribucioes discretas, el diagrama de barras resulta mucho más secillo, ya que cosiste e levatar ua barra sobre los valores observados de altura la frecuecia relativa de éstos. 8 datos 7 datos 4 datos datos 0 3 b) Estimar los parámetros de las distribucioes propuestas E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

24 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN Propuestas uas distribucioes, se estima los parámetros de éstas que hace que el ajuste a los datos sea el mejor. La estimació se puede hacer mediate distitos métodos de estimació paramétrica, como el método de máxima verosimilitud, el de los mometos, etc. Actualmete, esta fase o se suele llevar a cabo de forma idepediete, ya que las herramietas iformáticas de estadística realiza la estimació al hacer los cotrastes de bodad de ajuste del paso siguiete. c) Determiar cómo de represetativas so las distribucioes ajustadas Para determiar si so razoables las distribucioes propuestas, el primer paso es comparar gráficamete los histogramas co las fucioes de desidad e el caso de distribucioes cotiuas, y los diagramas de barras co las fucioes de masa para el caso de distribucioes discretas. Este paso a meudo se hace al pricipio, para hacer la propuesta de distribucioes. Si embargo, o es suficiete co ver que gráficamete hay ua semejaza sio que además se debe cuatificar la bodad del ajuste para poder comparar cuá bueo es éste co distitas distribucioes, y tomar ua decisió acerca de la distribució a seleccioar. Para ello se realiza cotrastes de bodad de ajuste co el fi de descartar algua de las distribucioes propuestas, y para cuatificar la bodad del ajuste mediate el p-valor. Tests de Bodad de Ajuste So cotrastes de hipótesis dode el plateamieto es: Sea X,..., X ua muestra aleatoria simple (v.a.i.i.d.) co distribució F descoocida. Sea F 0 ua distribució particular. H0: F F0 El cotraste que se platea es: H: F F0 Observacioes:. Por la aturaleza de los cotrastes e geeral, si el resultado es rechazar la hipótesis ula se hará co bastate seguridad; si el resultado es aceptarla se debe decir "o rechazar H 0 ya que o hay evidecia estadística para ello". E geeral, los tests tiede a aceptar que los datos puede proveir de la distribució propuesta.. Para ua catidad grade de datos es habitual que el resultado sea rechazar H 0, ya que alguos cotrastes so muy sesibles a pequeñas variacioes. 3. Se debe utilizar el p-valor como medida del ajuste: E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

25 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN El p-valor es el ivel de sigificació para el que se rechazaría H 0 co los datos utilizados para realizar el cotraste, es ua cota de la probabilidad de cometer el error de tipo I (rechazar H 0 siedo cierta). Cuato mayor sea el p-valor mejor es el ajuste. Si embargo, o se ha de ser ciego a la hora de seleccioar ua distribució, ya que puede ser preferible ua distribució más secilla auque tega u p-valor peor (siempre que sea razoable) que otra que tega u mejor valor pero sea muy compleja. Existe dos tipos de tests de bodad de ajuste que so los más utilizados: el test de la y el test de Kolmogorov-Smirov. E geeral, estos tests está icluidos e todas las herramietas iformáticas de estadística, pero, es recomedable saber e qué cosiste co el fi de dar los parámetros adecuados, saber cuádo utilizarlos y saber iterpretarlos. Test de la (Pearso, 900) La idea básica de este test es agrupar los datos e itervalos y comparar las frecuecias de estos itervalos co las probabilidades que la distribució teórica les asiga, midiedo la distacia etre ambas. Este test es aplicable tato a distribucioes discretas como cotiuas, auque requiere teer ua muestra suficietemete grade ya que se basa e u resultado asitótico. El procedimieto sería el siguiete: a) Dividir el rago de la distribució ajustada e k itervalos adyacetes: a, a, a, a,..., a, a 0 k k b) Sea N úmero de X e itervalo j-ésimo j itervalo a, j a j i = frecuecia absoluta observada de c) Calcular de la distribució teórica la probabilidad de cada itervalo: p j P( a j, a j ), y a partir de ella la frecuecia esperada como pj. d) Calcular: X k j ( N p ) j p j j Si H 0 es cierta, se verifica que parámetros estimados. X, dode m es el úmero de D k m e) Rechazar H 0 si X k m, 3 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

26 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN Ua cosideració a hacer es que el valor del estadístico X varía segú los itervalos elegidos. No hay ormas claras al respecto, excepto que o puede haber itervalos de frecuecia ula, pero, ua idea es que sea de igual amplitud, que haya al meos 3 itervalos y que la frecuecia esperada sea al meos 5, es decir, p j 5. Test de Kolmogorov-Smirov Este test compara la fució de distribució empírica de los datos co la fució de distribució teórica. Este test es aplicable e la versió que se preseta sólo para distribucioes cotiuas (existe ua versió para distribucioes discretas que o se preseta e este capítulo), y es válido para cualquier tamaño de muestra, icluso auque se dispoga de pocos datos. El procedimieto para aplicarlo es el siguiete: a) Calcular la fució de distribució empírica de los datos si iterpolació, es decir: úmero de X F ( x) ' s i x b) Obteer la máxima diferecia etre la fució de distribució empírica y la teórica: esta diferecia se alcazará e los putos observados, ya que so los putos de salto de la fució empírica, pudiedo ser e el propio puto o justo ates. Por ello, se calcula D i max F( X () i ) que es la máxima diferecia e los putos observados co el valor i i de la distribució empírica justo e el puto, y se calcula D max F( X () i ) que es i la máxima diferecia tomado el valor de la distribució empírica justo ates (por la izquierda) del puto. Así la máxima diferecia etre la fució de distribució empírica y la teórica será el máximo de ambos valores, es decir, D max D, D. c) Rechazar H 0 si D d,, dode d, es el valor que se recoge para esa sigificació y tamaño de muestra e las tablas de Kolmogorov-Smirov. E la siguiete figura se muestra gráficamete el sigificado de los valores D y D. 4 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

27 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN D D D D Figura 8. Represetació gráfica de los valores D y D II. Geeració de variables aleatorias Ua vez que se ha seleccioado ua distribució para modelar la aleatoriedad de ua variable de etrada, es ecesario establecer procedimietos para obteer valores de esta variable durate la simulació del modelo. Así pues esta secció se dedica a la simulació de variables aleatorias co ua distribució determiada. Se empieza por geerar valores de variables aleatorias co distribució uiforme e el itervalo (0,). La razó es que todos los métodos para geerar variables aleatorias o so más que trasformacioes de variables aleatorias co esta distribució y por ello el primer paso es saber obteer ésta. II.. Geeració de muestras uiformes Los úmeros pseudoaleatorios so ta importates que su geeració o se puede dejar al azar. Ua secuecia de úmeros se dice que es aleatoria si cualquier secuecia fiita, seleccioada previamete a su diseño, es igualmete factible que esté icluida e aquélla. Los mejores métodos para geerar úmeros aleatorios so los físicos y de etre ellos el mejor es el de la ruleta. Este método cosiste e ua ruleta dividida e 0 partes iguales, a las que se les asiga los valores del 0 al 9, y ua flecha fija e u puto fuera de la ruleta. Si se la hace girar y posteriormete se la detiee bruscamete, se puede aotar el úmero que señala la flecha. Repitiedo esta operació veces, se obtiee ua secuecia de úmeros que obviamete costituye ua secuecia de úmeros aleatorios. Estos valores se puede cosiderar valores de ua variable cuya distribució sea ua uiforme discreta que toma los valores de 0 a 9 co probabilidad /0 cada uo de ellos. Pero tambié los podemos agrupar de k e k y cosiderar que so valores de ua uiforme discreta que toma valores 0,,0 k. 5 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

28 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN Si se desea geerar valores de ua uiforme e el itervalo (0,), podemos agrupar los valores de k e k y cosiderar que cada grupo so las cifras decimales de ua realizació de ua variable aleatoria co distribució U (0,). Obviamete, para cosiderar iformativos los resultados obteidos mediate la simulació de u modelo es ecesario simularlo más de ua vez. De hecho, se debe hacer ua gra catidad de veces, e geeral, más cuato más complicado es el modelo, lo que hace ver la ecesidad del uso del ordeador. Existe tablas de úmeros aleatorios obteidos por el método de la ruleta y otros métodos físicos, pero o es u bue método para su uso e ordeador. Ésta fue la razó por la que se crearo métodos aritméticos particulares adaptados al ordeador, auque co u cierto deterioro de la aleatoriedad, deomiádose úmeros pseudoaleatorios. U geerador ideal de úmeros pseudoaleatorios debe proporcioar secuecias de úmeros co las siguietes propiedades: Teer distribució uiforme (so realizacioes de uiformes) Ser estadísticamete idepedietes Ha de ser reproducibles Capaces de producir diferetes secuecias de úmeros Debe teer u ciclo o repetitivo ta largo como se desee Ser geerados rápidamete Ocupar poca memoria o almaceamieto e el ordeador Métodos cogrueciales Estos métodos so debidos a Lehmer (95). Los métodos de geeració de úmeros pseudoaleatorios llamados cogrueciales se basa e el cocepto matemático de úmeros cogruetes. Sea x, y, m. Se dice que x es cogruete co y e módulo m si y sólo si x e y da el mismo resto al dividir por m. Se represeta por ( m) x y. Sea ab, 0, m. Se dice que ua sucesió x 0 está geerada por el método cogruecial si y sólo si ( m) x ax b 6 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

29 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN x 0,..., m 0,,..., siedo x 0 la semilla de la sucesió que suele ser u dode valor dado por el programador, a m se le deomia módulo y a a multiplicador. Además si b 0 se deomia geerador multiplicativo y, e el caso geeral, geerador mixto. Los úmeros geerados por el método cogruecial verifica que x es el resto de dividir y ax b etre m. Además la ley recurrete es x y mod m ( ax b) mod m Ejemplo: m 9, a 5, b, x0 y 5 6 x 6 y 56 3 x 4 y3 54 x3 3 y x4 7 y x5 0 y6 50 x6 x0 Este método es evidete que geera valores a gra velocidad y ocupa poca memoria de ordeador, puesto que o se guarda toda la secuecia sio que para geerar u valor sólo ecesito el último valor geerado. Tambié es claro que es reproducible (co ua misma semilla se obtiee ua misma secuecia). Si embargo, hay tres propiedades que o so ta evidetes y que o se cumple para valores cualesquiera de a, b y m. Respecto al ciclo o repetitivo e el mismo ejemplo se puede ver que es muy corto. De hecho, hay que observar que la máxima logitud que se puede lograr si repetir es de m, ya que es la mayor catidad de úmeros diferetes que se puede obteer y ua vez que se obtiee u úmero repetido toda la secuecia se repite, por lo que m hay que elegirlo suficietemete grade. Además se suele elegir de tal forma que facilite los cálculos (potecias de o similares). Existe ua gra variedad de resultados buscado codicioes que ha de teer los parámetros para que el ciclo o repetitivo sea el máximo posible. A su vez, los geeradores tiee que cumplir propiedades estadísticas: uiformidad e idepedecia de las secuecias. Para determiados valores de los parámetros de los geeradores (valores para los que el ciclo sea el máximo posible) se ha geerado distitas secuecias y se les ha hecho pasar cotrastes de bodad de ajuste para la uiformidad y cotrastes de idepedecia. 7 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

30 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN De todo ello, se puede afirmar que los dos geeradores multiplicativos siguietes geera valores co la propiedad de la uiformidad y la idepedecia y co ciclo o repetitivo 3 maximal: m para ambos y multiplicador a 6807 o bie a El primero es más rápido y tiee meor riesgo de desbordamieto de memoria. Si embargo, el segudo tiee mejores propiedades estadísticas. Por último, señalar que el fi de la geeració de úmeros pseudoaleatorios es obteer muestras uiformes e el itervalo (0,), para ello lo que se hace es dividir cada úmero geerado por el módulo m, co lo que la muestra obteida puede ser cosiderada uiforme e ese itervalo 3. Si se dispoe de diferetes cadeas de úmeros aleatorios cada ua se debe utilizar para u parámetro aleatorio [Law]. E este caso se debe teer e cueta la logitud de la cadea para evitar solapes. E [Law] se puede ecotrar diferetes semillas para cadeas del geerador mecioado separadas etre sí por úmeros pseudoaleatorios. Si embargo, los geeradores aleatorios ateriores co módulo alrededor de 3 puede ser isuficietemete largos para ciertas aplicacioes. De hecho, esta logitud se puede agotar e pocos miutos e u PC. Para suplir esta carecia se ha diseñado otros geeradores de mayor logitud y mejores propiedades, deomiados geeradores múltiples recursivos combiados [L Ecuyer, 00]. Estos geeradores permite la obteció simultáea de múltiples cadeas pudiedo cada ua ser dividida e muchas subcadeas cotiguas de gra logitud. Su programació e e C, C++ o Java se puede ecotrar e El cálculo del úmero pseudoaleatorio u para ua etapa es la siguiete x ( a x b x ) mod m,,, 3 x ( a x b x ) mod m,,, 3 z ( x x ) mod u,, z si z si z 0 E caso de ser ecesaria la programació de u geerador de úmeros pseudoaleatorios hay que teer e cueta que auque el segudo de los valores se cosidera que tiee mejores propiedades estadísticas, computacioalmete da más problemas, sobre todo, de desbordamieto de memoria. 3 El valor uiforme e (0,) se usará para geerar otras variables aleatorias, pero para obteer el siguiete úmero de la secuecia ha de utilizarse el úmero pseudoaleatorio, es decir, el obteido ates de dividir por m. 8 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

31 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN siedo a , b 8078, b y m , a 576, 3 m La logitud de este geerador es ( m )( m ) /, muy superior a las ateriores. Para geerar diferetes cadeas y subcadeas se elige dos eteros positivos v y w, se defie z v w. Etoces, el ciclo es dividido e cadeas cotigüas de logitud Z z y cada ua a su vez es dividida e V v subcadeas de logitud W w. Valores adecuados so v 5 y w 76, de maera que 76 W y 7 Z. Para este geerador e particular se puede utilizar los siguietes valores como semillas iiciales por omisió ( x, 3, x,, x,, x, 3, x,, x, ) (345,345,345,345,345,345). Otros parámetros adecuados para geeradores simulares se puede ecotrar e [L Ecuyer, 999]. Ateció específica merece la geeració de úmeros aleatorios para ser utilizados e cálculos e paralelo [Fushimi]. II.. Geeració de variables aleatorias discretas II... Método geeral o estádar Sea ua variable aleatoria co ua distribució discreta que toma ciertos valores co determiada probabilidad x x X x co prob co prob co prob p p p 3 3, siedo pk. La idea ituitiva del procedimieto es dividir el itervalo (0,) e tatos subitervalos como valores puede tomar la variable y de tamaño las probabilidades de éstos. Geerar u valor uiformemete distribuido e (0,) y observar e qué subitervalo se ecuetra y asigar a la variable el valor correspodiete a ese subitervalo. k 0 p p + p p p p Más formalmete, cosiste e geerar u úmero aleatorio uiformemete distribuido u U(0,), etoces X xi si i i p k k u p k k, es decir, si Fx xi u Fx xi ( ) ( ). 9 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

32 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN Por ejemplo, sea X 0 co prob p 0. co prob p 0., co fució de distribució co prob p co prob p4 0. Fx ( ) Para la secuecia de úmeros aleatorios 0.7, 0.54, 0.06, 0.89 y 0.5, la variable tomará los valores siguietes:,, 0, 3 y. Vamos a ver métodos cocretos para alguas distribucioes, biomial y geométrica, si olvidar que el método aterior sirve para cualquier distribució discreta. Para las demás distribucioes coocidas tambié hay métodos basados e su defiició o e alguas propiedades, pero o se verá e este documeto. Para ver ua relació más extesa ver [Law] o [Bratley]. II... Biomial ( p, ) Se basa e la propiedad segú la cual la distribució de la suma de v.a.i.i.d. co distribució de Beroulli de parámetro p es Biomial( p., ) Luego, para geerar valores de ua variable co distribució Biomial ( p,, ) se puede geerar Beroulli de parámetro p y sumarlas. Algoritmo:. x 0. Hacer veces Geerar u U(0,) Si u p xx 3. Salida: X se distribuye segú Biomial ( p, ) 30 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

33 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN II...3 Geométrica ( p ) La distribució geométrica correspode al úmero de esayo e que aparece el primer éxito al repetir u experimeto de Beroulli de parámetro p. Así que para geerar valores co esa distribució es posible hacerlo co el método tradicioal o aprovechado esta propiedad. Co el método tradicioal, basta aplicarlo co su fució de distribució x [ F( x) ( p) x,,... ] para ver que la expresió sería l( u) d l( u) x l( p) l( p) Segú la propiedad que la relacioa co los experimetos de Beroulli el algoritmo sería:. x 0. Hacer hasta que u p xx Geerar u U(0,) 3. Salida: X se distribuye segú Geométrica( p ) Este método es bueo cuado el valor de p es grade. 4 II..3 Geeració de variables aleatorias absolutamete cotiuas II..3. Método de la trasformada iversa Sea X la variable aleatoria cuya fució de distribució es F( x) PX x u úmero aleatorio uiforme etre 0 y, u, y luego se determia x tal que F() x. Se geera u. Supogamos que la variable tiee distribució expoecial co F( x) e x para x 0 siedo la media de la distribució. Dado u úmero aleatorio u tal que F() x l( u) d l( u) x. u, luego 4 La expresió obteida es la primera, pero la utilizada es la seguda que tiee meos d operacioes y la misma distribució, ya que si u U (0,) etoces u tambié. 3 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

34 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN Otra aplicació directa de este procedimieto es para la distribució uiforme e u x a itervalo cualquiera ( ab, ). La fució de distribució e este caso es Fx ( ) si b a x ( a, b) (0 para valores meores y para valores mayores) y dado u úmero aleatorio u tal que F() x u, se tiee que x a ( b a) u. La distribució Weibull (, ) es otra distribució para la que se puede aplicar este procedimieto directamete. La fució de desidad de ua distribució Weibull (, ) de media (/ ), es ( x) f ( x) x e, x 0, co lo que la fució de distribució se obtiee de forma imediata ( x) F( x) e, x 0. Así, dado u valor aleatorio uiforme e / d /. (0,), u, el valor geerado sería x l( u) l( u) Auque éste es el procedimieto más extedido, si embargo, muestra ua dificultad fudametal para su aplicació, la ecesidad de coocer explícitamete la fució de distribució. La forma habitual de caracterizar ua distribució absolutamete cotiua es mediate su fució de desidad, de ahí que se haya diseñado otros procedimietos basados e esta fució. II..3. Método de aceptació - rechazo Se trata de u método geeral para variables absolutamete cotiuas. Existe dos versioes, la primera es más secilla y co más limitacioes, pero tambié más utilizada precisamete por esa secillez. Método simple de rechazo Se quiere obteer valores de ua variable aleatoria co fució de desidad f() x cuyo soporte es u itervalo acotado (, ) a a. Sea c u valor tal que c max f ( x) : x ( a, a ). La idea básica es geerar putos uiformemete e el rectágulo de base ( a, a ) y altura (0, c ). Si el puto está por ecima de la curva el puto es rechazado y habrá que geerar otro y si está por debajo se acepta su coordeada x como valor de ua variable aleatoria co fució de desidad f() x. El procedimieto es: 3 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

35 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN. Geerar u, u U (0,) Calcular x a ( a a ) u Calcular y cu. Calcular f() x. Si y f () x ir a 3. Salida: X toma el valor x que se distribuye segú f() x Obsérvese que P(aceptar u valor dado por ( x, y)), por lo tato el valor de c( a a ) c es deseable que sea lo más pequeño posible. E particular, siempre que sea fácil de obteer se toma c max f ( x) : x ( a, a ). Este procedimieto es especialmete relevate para distribucioes triagulares y trapezoidales. Veamos el siguiete ejemplo para ua distribució triagular. Sea x 0 x f ( x) x x 0 fuera de 0, fx ( ) 0 El procedimieto es el siguiete: d. Geerar u U(0,) y u U(0,) d Calcular x u e y u. Aceptar x si y f () x, rechazar si y f () x y volver al paso Este método tiee dos icoveietes pricipales, que hace que surja el método geeralizado: que el soporte tiee que ser u itervalo acotado (hay muchas distribucioes que o cumple esta hipótesis) y que la evolvete sea rectagular, cuado claramete puede haberlas mejores. Método geeralizado de rechazo Sea f () ua fució de desidad co soporte o ecesariamete fiito de la que se desea obteer valores simulados. Sea g() ua fució de desidad elegida por osotros tal que 33 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

36 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN a : f ( x) ag( x) x 5 (e particular, esto implica que el soporte de g() ha de coteer al soporte de f () ). El procedimieto es el siguiete:. Geerar xg() d d Geerar y U(0, ag( x)). Calcular f() x Si y f () x ir a 3. Salida: X se distribuye segú f() x Respecto a la elecció de la evolvete g() o hay ada establecido acerca de cuál es la mejor, pero se debe elegir lo más parecida posible a la fució a geerar pero que sea secillo obteer valores para ella. E cuato al valor de la costate a, hay que teer e cueta que P(aceptar x) P( y f ( x)) a y, por lo tato, a debe ser lo meor posible pero mateiedo la hipótesis iicial, es decir, su valor óptimo sería f( x) a sup : g( x) 0. gx ( ) Obsérvese tambié que el método simple visto ateriormete es u caso particular del método geeralizado (co ua distribució uiforme como evolvete). Veamos u ejemplo: Supogamos que se desea geerar valores de ua distribució Normal(0,) ( f ( x) e x ), utilizado como evolvete la distribució logística cuya x e fució de desidad es gx ( ), y de aquí se deduce su fució de distribució de x ( e ) forma imediata esta distribució basta calcular Gx ( ), y mediate la trasformada iversa para geerar valores de x e u x l, luego es ua evolvete apropiada. u 5 g () se toma para que se pueda simular valores si dificultad y previamete a aplicar el algoritmo es ecesario calcular el valor de la costate a que haga que se verifique la relació aterior. 34 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

37 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN El primer paso, ates de empezar el algoritmo, es ecotrar el valor de la costate f( x) a sup : g( x) 0 gx ( ) El algoritmo sería: que resulta ser a d. Geerar xg() : Geerar u U(0,) y calcular u x l u d Geerar y U(0, ag( x)) : Geerar u U(0,) y calcular y.5958 g( x) u. Calcular f() x. Si y f () x ir a 3. Salida: X se distribuye segú f() x El pricipal icoveiete para utilizar este método es que o tiee ua forma geeral ya que para cada distribució hay que elegir la evolvete más apropiada. Si embargo, hay u caso e que es muy secilla su aplicació, las distribucioes trucadas. E este caso, es claro que la mejor evolvete es la propia distribució si trucar y que la aplicació del algoritmo se reduce a rechazar los valores obteidos e la regió que al trucar ya o forma parte del soporte y aceptar los demás. Existe alguas distribucioes particulares para las que, por su relevacia, se ha diseñado procedimietos específicos, e pricipio, más eficietes y geerales que estos métodos. II..3.3 Aplicació a ua discreta: Poisso( ) La distribució de Poisso es ua distribució discreta, si embargo para geerarla el mejor algoritmo se basa e el proceso estocástico de Poisso y su relació co la distribució expoecial, de ahí que o haya podido icluirse e la secció dedicada a las distribucioes discretas. Sea Y t u proceso estocástico. Se dice que t 0 t t 0 parámetro si y sólo si i) Y0 0 c. s. ii) tt 0 Y es u proceso de Poisso de Y es u proceso de icremetos idepedietes, es decir, t, h 0 Yt h Yt es idepediete de Y /0s t s Y es u proceso de icremetos estacioarios, cuya distribució es iii) tt 0 35 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

38 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN t, h 0 Y Y ( h) th t d Su aparició pricipal es e Teoría de Colas, dode se usa para cotar el úmero de idividuos que llega a ua cola hasta el istate t. Propiedades del proceso de Poisso:. U proceso de Poisso es u prcceso de coteo. Sea t 0 Y : úmero de sucesos que ocurre e el itervalo (0, t ], y sea t i,,... X : tiempo etre los sucesos i parámetro si y sólo si X Exp( ) i,... Basádoos e esta última proposició, si i d i e i. t t 0 ocurridos e (0, t ] es igual a k, o lo que es lo mismo, que Yt Y es u proceso de Poisso de k quiere decir que el úmero de sucesos k k X t X. Puesto que para i i i t la distribució de Y es ua Poisso de parámetro, se pude decir que u valor k geerado de Y es el primer valor atural k tal que co distribució Exp( ). De dode se deriva el siguiete algoritmo. Algoritmo:. Hacer x 0, Q 0 d. Geerar u U(0,). Hacer Q Q lu Si Q/ ir a 3). E otro caso, hacer xx y repetir el paso ) 3. Salida: X ( ) d k X i, dode X, X,... so v.a.i.i.d. i i II..3.4 Normal (, ) Para geerar valores de ua variable aleatoria co distribució N(, ) basta co saber geerar valores de la distribució N (0,), ya que es bie coocido que multiplicado ésta por y sumado se obtiee la distribució deseada. Por lo tato, todos los esfuerzos se cetra e saber obteer valores de la distribució N (0,). Dado que o existe ua expresió exacta para su fució de distribució, el método de la trasformada iversa o es aplicable e este caso. Auque existe ua aproximació fucioal de 36 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

39 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN la iversa de la fució de distribució, vamos a ver ahora dos métodos particulares basados e resultados de la probabilidad. Método del teorema cetral del límite Este método se basa e el coocido teorema cetral del límite, por el cual si X,..., X so v.a.i.i.d. de media y desviació típica, etoces la distribució de la distribució N (0,) cuado. X i i tiede a sería Este resultado aplicado a variables distribuidas segú ua distribució uiforme U (0,) u i i. U valor que facilita los cálculos es / sería obteer variables co distribució uiforme U (0,) y calcular, co lo que el procedimieto u 6 i i. El pricipal icoveiete que tiee el método es que el resultado e que se fudameta es asitótico y, por lo tato, se puede cosiderar válido u úmero grade, pero o es precisamete u úmero grade. Por otra parte, aumetar el úmero de variables uiformes utilizadas, supoe u gra esfuerzo computacioal para geeral u úico valor, lo que lleva a buscar otros procedimietos. Método de Box-Müller Este método se basa e ua trasformació de variables aleatorias segú la cual si u, u so v.a.i.i.d., etoces x l ucos( u) e y l use( u) so v.a.i.i.d. co distribució N (0,). Así el procedimieto a seguir sería:. Geerar u, u U (0,). Salida x l ucos( u) e y l use( u) v.a.i.i.d. N (0,) Existe u método derivado del aterior, el método polar de Marsaglia, pero que o requiere la evaluació del seo o del coseo. E realidad, es u método de rechazo, ya que geera valores aleatorios e el cuadrado (,) (,) y si éstos está detro del círculo uidad expresa los valores ateriores e fució de este puto y si o lo está los rechaza. Algoritmo: 3. Geerar u, u U (0,) Calcular v u, v u, w v v 37 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

40 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN 4. Si w volver al paso 5. Hacer l w y, x vy, x vy w 6. Salida: x, x v.a.i.i.d. segú N (0,) Existe otros métodos para geerar esta distribució, etre ellos existe ua aproximació aalítica de la iversa de la fució de distribució, etc. II..3.5 Logormal (, ) La distribució logormal, como su ombre idica, se deriva de la distribució ormal, de d d Y modo que Y N(, ) X e LN(, ). El procedimieto para obteer valores de ua variable co esta distribució cosiste e geerar la ormal asociada y calcular la expoecial correspodiete. Ua iformació adicioal sobre esta distribució que puede ser de iterés e muchas ocasioes es el valor de esperaza y variaza de la distribució. Éstos so: E[ X ] / e V[ X ] e ( e ) ( e ) E[ X ] II..3.6 ( pa, ) y Beta (, ) Vamos a estudiar estas variables cojutamete, ya que está muy relacioadas. Para el caso de la Beta, se cosiderará la estádar, es decir, la que toma valores e el itervalo (0,); cualquier otra se obtiee multiplicado por la amplitud del itervalo fial y trasladado. Separaremos e casos, segú los parámetros sea aturales o o, ya que si los parámetros so aturales los procedimietos so bastate más secillos y rápidos. ( p, a) p E este caso, se usa ua propiedad por la cual si el parámetro p es atural ( p, a) Erlag( p, a) y esta distribució Erlag se defie como la suma de p expoeciales de parámetro a. Por lo tato, el procedimieto será geerar p v.a.i.i.d. U (0,), y calcular l u i i x. a p 38 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

41 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Beta(, ), d d X d Se basa e que si X (, a) e Y (, a) etoces Beta(, ), por lo que X Y para geerarla se obtiee u,..., u, v,..., v B i l u l u i i i i. l v i v.a.i.i.d. U (0,) y se calcula Caso geeral Beta (, ) (, 0) Se demuestra, mediate la pertiete trasformació que el siguiete algoritmo geera valores de ua distribució Beta:. Repetir hasta que xy Geerar u U(0,). Hacer Geerar v U(0,). Hacer x y / u / v. Hacer x x x y 3. Salida: X se distribuye segú Beta(, ) Caso geeral ( pa, ) ( pa, 0) Igual que e el caso aterior, mediate trasformacioes de variables aleatorias se demuestra que el siguiete algoritmo geera los valores deseados:. Hacer p y r p p. Geerar u,..., u U (0,). Hacer 3. Geerar W Beta( r, r) Z l ui i 4. Geerar u U(0,). Hacer Y lu 5. Salida: X Z WY se distribuye segú ( pa, ) a 39 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

42 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN II..3.7 Para esta distribució se platea dos métodos distitos, uo basado e la propia defiició y otro e algua de sus propiedades. La defiició de esta distribució es la siguiete: X,..., X v.a.i.i.d. N(0,). d i i X X X, siedo Por lo tato, u primer procedimieto es: Geerar variables N(0,), elevarlas al cuadrado y sumarlas. Si embargo, este método puede ser muy leto. La otra posibilidad es aprovechar la relació etre esta distribució y la Gamma: ( p /, a / ) Distiguiremos dos casos segú el parámetro p sea par o impar. par: ( /,/ ) Erlag ( /,/ ). Algoritmo:. Geerar U,..., U / v.a.i.i.d. U(0,). Salida: impar: / X lu i i d d X Y X dode Y (( ) /,/ ) y X N(0,) d Algoritmo:. Geerar U,..., U( )/ v.a.i.i.d. U(0,) Geerar Z N(0,). Salida: ( )/ i d X lu Z i II..3.8 t de Studet Basádoos e la defiició, idepedietes. d Z d T t T dode Z N(0,) e Y/ d Y Hay que teer e cueta que la T de Studet como distribució para modelar variables aleatorias reales sólo se suele utilizar e fiazas, como ua distribució semejate e forma a la ormal de media 0 y desviació, pero cuyas colas so más pesadas. Si embargo, para que 40 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

43 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN esto sea cierto y pueda sustituir a la ormal, hay que dividir la t de Studet por su desviació típica co el fi de que la variable resultate tambié tega desviació típica la uidad. La variaza de ua t de Studet es /( ), por lo que la expresió resultate sería T. /( ) II..3.9 F m, de Fisher-Sedecor Mediate la defiició: d / m F F F idepedietes. m m,, m / II..4 Geeració de variables aleatorias mixtas Hasta ahora hemos visto cómo geerar variables aleatorias cuya distribució es discreta o absolutamete cotiua. E esta secció vamos a ver u método geeral, que e particular, permitirá geerar valores de variables cuya distribució o sea iguo de los casos ateriores. Teorema: Si U es ua variable aleatoria U(0,) y F() ua fució de distribució arbitraria, la variable aleatoria defiida por tiee por fució de distribució F(). Y if z : U F( z) Alguos ejemplos de cómo se emplea este resultado so los siguietes: Variable absolutamete cotiua: el método aplicado a este caso coicide co el método de la trasformada iversa. Variable discreta: e este caso es el mismo procedimieto que el del método geeral o estádar que vimos para distribucioes discretas, e el cual se dividía el itervalo e subitervalos de logitud las probabilidades. Variable mixta: sea la variable aleatoria mixta X cuya distribució viee defiida por 0 x 3/ F( x) x 3/ x x Etoces la variable aleatoria Y if z : U F( z) resulta ser 3/ 0 u / Yu ( ) u u / que tedrá la misma distribució que X. 4 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

44 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN II..5 Geeració de variables aleatorias multidimesioales Las variables aleatorias multidimesioales si hay idepedecia etre las uidimesioales que la forma o requiere de métodos especiales. Por lo tato, lo que resulta fudametal e este apartado e la relació de depedecia etre las variables, e muchos casos, como la ormal, plasmada e la matriz de variazas-covariazas. Por lo tato, vamos a ver uas ligeras ocioes de cálculo matricial para recordar alguos coceptos ecesarios para eteder los métodos que se presetará posteriormete. II..5. Nocioes de cálculo matricial Sea A ua matriz cuadrada y x u vector columa. Defiició: x 0 es u autovector de A asociado al autovalor Ax x. Observacioes:. A tiee exactamete autovalores reales y complejos.. Cada autovalor tiee ifiitos autovectores asociados 3. Ax x Ax x 0 ( AI) x 0, que tiee solució distita de 0 si y sólo si AI 0. Ejemplo: A A I,, Para 5 5 x 0 x ( A ( ) I) x x 0 x 0... x 3 0 x 3 Propiedades:. Sea A simétrica. Etoces sus autovalores so reales y los autovectores correspodietes so ortogoales. 4 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

45 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN. Diagoalizació: Sea A simétrica. Etoces matriz diagoal de los autovalores y C e e asociado al autovalor i de orma. A CDC, siedo D 0 0 la,..., dode e i : autovector columa Defiició: T A es defiida positiva x Ax 0 x 0 Propiedades:. A simétrica defiida positiva 0,..., 0 T. A simétrica defiida positiva P tal que A PP. Cocretamete, P CB co B 0 0 i de orma. 3. A defiida positiva y C e e,..., dode e i : autovector columa asociado al autovalor A defiida positiva 4. A defiida positiva y B o sigular T A o ula 5. m T B AB defiida positiva AA defiida positiva y simétrica Triagulació de Cholesky: i,..., úica matriz A triagular iferior tal que ij simétrica y defiida positiva existe ua j,..., AA Algoritmo para obteer la matriz triagular de Cholesky:. Para i,...,, j,..., a ij 0 T. Hacer a y para / i i,..., a i a 3. Para j,..., hacer: a j jj jj ajk k / Para j aa i j,..., aij a ij ik jk k jj 43 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

46 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN II..5. Normal Multivariate N(, ) X X X N f x x e Defiició:,..., d (, ) (,..., ) x x X / T,..., matriz simétrica defiida positiva. T dode Corolario: E X y es la matriz de variazas-covariazas Método (Basado e la diagoalizació) Sabemos que de autovectores ormalizados. T PP siedo P CB co B 0 0 C e,..., e matriz Z Z v.a.i.i.d. N(0,), etoces Sea,..., idetidad. E tal caso, se tiee que X PZ N(, ). d Z Z,..., Z N(0, I) siedo I la matriz d (El resultado es obvio ya que es ormal y E[ X] PE[ Z] y T T T T T V[ X ] E[( X )( X ) ] PE[ ZZ ] P PIP PP ). Algoritmo. Calcular P CB. Geerar Z,..., Z N(0,). Hacer Z ( Z,..., Z ) T 3. Salida: X PZ Método (Basado e la triagulació de Cholesky) d Z Z,..., Z N(0, I) siedo I la matriz idetidad, etoces Sea d T X AZ N(, AA ) dode A es la matriz triagular iferior de Cholesky Algoritmo. Calcular A matriz triagular iferior de Cholesky. Geerar Z,..., Z N(0,). Hacer Z ( Z,..., Z ) T 3. Salida: X AZ 44 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

47 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Método 3 (Basado e las distribucioes codicioadas) Se basa e que f ( x,..., x ) f ( x ) f ( x / x ) f ( x3 /( x, x)) f ( x /( x,..., x )) y e: X d d X (0, ) k T T X N N( ak Ak k, k ak Ak ak ) X x,, X k xk X k k x dode A, ak, k k k k, k x k Algoritmo. Obteer las distribucioes de X, X / X, X 3 /( X, X )) X /( X,..., X )). Para k..., geerar x k segú f ( xk / x xk ) 3. Salida: X ( x,, x ) N(, ) De los 3 procedimietos el más acosejable es el de la triagulació de Cholesky, pero los 3 so válidos, y e cocreto el último es ampliamete utilizado. Caso particular: Normal bivariate V X Supógase que se quiere simular ( X, X ) ormal bivariate co E[ X i] i, i,, [ i] i, i, y Cov( X, X ) d d Proposició: ( X, X ) N(, ) X N(, ) d X / X x N( ( x ), ( )) Algoritmo: y. Geerar Z, Z N(0,). Salida: X Z, X ( Z Z II..5.3 Multiomial Sea ua població dividida e k clases co P( A ) p, i,..., k. Se extrae elemetos co reemplazamieto, y se defie X i : úmero de elemetos obteidos de la clase i, i,..., k. Se defie la distribució multiomial como ( X,..., X k) M ( ; p,..., pk ) i i d 45 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

48 II MODELADO DE LA ALEATORIEDAD EN SIMULACIÓN Método : basado e la defiició Algoritmo. Para i,..., k hacer x 0. Repetir veces i Geerar J segú ua discreta tal que P( Y i) p i,..., k Hacer x x 3. Salida: ( X,..., Xk ) Método o estádar X J J Las distribucioes codicioadas de ua multiomial so: X B(, p), d d k p X p (, ),, k k B x B( x, ) X x X x,..., X j k p k x k j p Algoritmo i d j j. Hacer x0 0, p0 0. Para i,..., k geerar 3. Salida: ( X,..., Xk ) i pi X i B( x j, ) i j0 p j0 j II..5.4 T de Studet multivariate Para obteer muestras de ua t t multidimesioal de dimesió m co ua matriz dada de correlacioes etre las compoetes,, podemos proceder como sigue. Algoritmo. Geerar ( X,..., X m) ormal multivariate co medias 0 y matriz de covariazas d. Geerar Y idepediete de las ormales ateriores. 3. Para j,..., m hacer t X / 4. Salida: j j Y,..., d t tm T de Studet multivariate de dimesió m y correlacioes 46 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

49 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN III Aálisis de resultados U estudio de simulació busca respuestas a pregutas sobre el sistema objeto del estudio a través de la iformació que proporcioa los experimetos co el modelo del sistema. A su vez los experimetos busca, e geeral, respuestas a pregutas del tipo: Qué pasaría sí? (What-if) que se platea e distitas fases del ciclo de vida: diseño, modificacioes de sistemas ya existetes,... Las respuestas que buscamos mediate los experimetos servirá de soporte para tomar ua decisió racioal sobre el sistema. Así pues, iteresa que las respuestas quede expresadas uméricamete para la alterativa que os ocupa e cada mometo. Las alterativas costituirá ua variate del modelo o esceario de simulació co las que realizaremos los experimetos, y co la que obtedremos ua estimació de las variables respuesta. Como tales estimacioes, siempre que el modelo icluya aleatoriedad habrá que recurrir para aalizarlas y obteer coclusioes a la estadística, y más cocretamete a los métodos de muestreo, los métodos de reducció de la variaza, los métodos de estimació y al diseño de experimetos. III. Comportamietos trasitorio y estacioario de u proceso estocástico E los modelos de simulació diámicos y aleatorios la variable respuesta varía co el tiempo, por lo tato puede ser realmete cosiderado u proceso estocástico. Así pues comezaremos explicado brevemete los dos tipos de comportamieto que puede teer u proceso estocástico: el trasitorio y el estacioario o permaete. Cosidérese el proceso estocástico respuesta Y, Y,..., y sea Fi( y / I) P( Yi y / I), y la distribució de la variable i -ésima del proceso supuestas uas codicioes iiciales I. Fi ( y / I ) es deomiada distribució trasitoria del proceso e el istate i para las codicioes iiciales I. Si cuado el tiempo se hace teder a, la distribució deja de depeder del tiempo y de las codicioes iiciales, es decir, F ( y / I) F( y) y, I, etoces se dice que Fy ( ) es la distribució estacioaria. i i 47 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

50 III ANÁLISIS DE RESULTADOS Es u límite, pero e la práctica suele existir u cierto k a partir del cual las distribucioes so casi iguales. Las siguietes gráficas muestra la evolució de u cierto proceso estocástico que alcaza u estado estacioario. E la primera, se represeta la distribució de la variable respuesta y como va cambiado co el tiempo. E la seguda, se muestra la evolució de la media de la variable respuesta (úmero de clietes e u sistema de colas co u servidor) co distitas codicioes iiciales. TRANSITORIAS ESTACIONARIAS EY EY i Yi k Yi k Y i5 Y i4 Y i 3 Y Y i i i i i3 i4 i5... ik ik+ Figura. Evolució de la distribució de la variable respuesta S=0 E[ D / S] i d 9 S=0 S: º clietes e sistema e t=0, E[ Di / S ] : º medio clietes e sistema Figura. Evolució de la media de la variable variado codicioes iiciales 48 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

51 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN III. Tipos de simulació segú el aálisis de resultados Cabe distiguir varios tipos de simulació segú sea el tipo de aálisis que se preteda hacer, o más cocretamete, como sea el proceso estocástico de la variable respuesta y qué características de su comportamieto se pretede aalizar segú su horizote temporal. Así los tipos de simulació que se puede platear so: Simulació co horizote fiito: es la que se lleva a cabo cuado existe u eveto atural E que especifica la logitud de cada simulació o replicació. E ese eveto el sistema se reiicializa, obteiedo ua muestra aleatoria simple de variables respuesta. Las codicioes iiciales geeralmete afecta a las medidas de desarrollo, por lo que ha de ser represetativas del sistema real, para lo cuál se puede platear u periodo de caletamieto o arraque (warm up) e el que se alcace esas codicioes ó se puede modelar las codicioes iiciales y aleatorizar e cada replicació. E ocasioes, cuado el horizote es muy lejao respecto al periodo de arraque, siedo el comportamieto estacioario el que rige la mayor parte del tiempo, la simulació co horizote fiito se puede asimilar a ua simulació co horizote ifiito. Simulació co horizote ifiito: o existe tal eveto que idique el fial de la replicació, y uestro iterés se cetra e el comportamieto a largo plazo, pudiedo etoces darse varias posibilidades:. Existe distribució estacioaria: el objetivo es estimar los parámetros estacioarios del modelo.. No existe distribució estacioaria, pero sí por ciclos: etoces hay que estimar los parámetros estacioarios de cada ciclo y la duració de éstos. 3. No existe distribució estacioaria, pues los datos de etrada varía e el tiempo: etoces hay que cosiderar que cada vez que cambia es u fial de horizote, y tratarlo así, como si fuera sucesioes de simulacioes co horizote fiito. III.3 Estimació de variables respuesta: precisió y tamaño muestral E geeral, el valor esperado de la variable respuesta se estima mediate la media muestral de las observacioes, que es el estimador putual para ésta. Si embargo, e muchas ocasioes 49 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

52 III ANÁLISIS DE RESULTADOS o es suficiete dar u valor putual, sio que se desea tambié dar u itervalo de cofiaza para ésta (estimació por itervalo) o ua precisió del valor obteido. Así, dada ua muestra aleatoria simple de la variable respuesta, putual para la media es la media muestral, Y cetrado para la esperaza, es decir, E[ Y] E[ Y]. i Y i Y,..., Y, el estimador, que es u estimador isesgado o Por otra parte, u estimador para la variaza de la variable Y es la cuasivariaza, cuya expresió es S i ( Y Y) i, de modo que dado que la variaza de la media muestral es S Var[ Y], etoces, el valor resulta ser u estimador para la variaza de la media muestral. Estos estimadores será isesgados sólo si la muestra es aleatoria simple, es decir, si existe idepedecia etre las variables. Los valores de la media y variaza muestrales se puede calcular iterativamete de acuerdo co estas expresioes [Ramos:90] o estas expresioes uméricamete estables Y ( ) Y Y S ( ) ( ) S ( ) Y Y S ( ) ( ) S ( ) Y Y siedo S () 0. S ( ) ( ) S ( ) Yi ( ) Y ( ) i S ( ) ( ) S ( ) Yi Y ( ) i Y =Y y Y el valor de la última observació y tomado como valores iiciales 50 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

53 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Co estas cosideracioes, dado u ivel de cofiaza, el itervalo de cofiaza para la esperaza de la variable respuesta, supoiedo distribució ormal o ua muestra suficietemete grade, tiee la siguiete expresió: dode, / Y t, / t es el valor de la t de Studet co grados de libertad que deja ua probabilidad de / a su derecha. Su iterpretació es que da cada 00 itervalos que costruyéramos, cofiamos e que e al meos e ( ) 00 se ecotrará la esperaza de la variable. Obsérvese que al hacer sólo uo, o hay seguridad de que la media real se ecuetre e tal itervalo, sólo cierta cofiaza. Por otra parte, si se desea dar ua estimació de la precisió de la media, se puede deducir a partir del itervalo de cofiaza. A la vista de la expresió aterior ua multiplicació por 4 del úmero de muestras implica ua dismiució del itervalo de cofiaza aproximadamete a la mitad. Por lo tato, ua medida de la precisió de la estimació de la media viee dada por la relació etre la desviació típica de la media y la media S S ( ) X A partir de aquí, se puede platear dos tipos de muestreo: Muestreo de dimesió fija: el tamaño de la muestra,, se fija de atemao, y se obtiee ua precisió o cotrolada previamete. Muestreo secuecial: la precisió es fijada de atemao y lo que queda idetermiado y sujeto a los resultados que se vaya obteiedo es el tamaño de la muestra; e cada iteració se calcula la precisió lograda, y si o alcaza a la prefijada se sigue muestreado. III.4 Estimació de parámetros estacioarios: el problema del estado iicial trasitorio Como ya se ha cometado e u proceso estocástico, como es la variable respuesta de u modelo de simulació diámico, existe u comportamieto trasitorio, y si el proceso es estacioario, otro comportamieto que es el que se alcaza e el periodo estacioario. 5 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

54 III ANÁLISIS DE RESULTADOS Si la simulació es de horizote fiito, el periodo trasitorio ha de teerse e cueta, de tal forma que icluso el objetivo del aálisis sea estudiar el comportamieto e este periodo. Si embargo, si la simulació es de horizote ifiito, o se pretede estimar u parámetro estacioario o de comportamieto ormal, es decir, se quiere estimar lim EY i i, hay que evitar las ifluecias del estado iicial. Alguos métodos para obteer ua muestra para la media estacioaria y u estimador putual para ésta so los siguietes: A) Replicació/Elimiació B) Procedimieto por Lotes C) Procedimietos regeerativos A) Método de Replicació/Elimiació: Se realiza replicacioes idepedietes de logitud m. Se determia el periodo de arraque (warmup) de logitud l ( l m), y se elimia esas observacioes e la estimació. Así si las observacioes de cada replicació so Y,, Y m,, Y,, Y m, se cosidera sólo las observacioes posteriores al periodo de arraque para hacer la estimació, obteiédose de cada replicació X m Y i i l,..., m l SX itervalo co estos valores: X t, / X m Y i i l ml, y posteriormete haciedo la media y su El problema de este método es que puede existir ua desviació etre el valor estimado, ˆ, y el verdadero valor de. E cuato a la aplicació preseta la dificultad de elegir la logitud de periodo de arraque, lo que se suele hacer mediate u aálisis previo de tipo gráfico mediate medias móviles. Por otra parte, depediedo de cuál sea esa logitud, resulta poco eficiete simular el comportamieto desde el pricipio cada vez, para luego prescidir de las primeras observacioes. B) Procedimieto por Lotes: E este caso se realiza ua úica replicació, co lo que sólo hay u periodo de arraque, que debe ser elimiado. El resto de la secuecia se divide e lotes de tamaño k. k y 5 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

55 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN debe ser suficietemete grades, de modo que los bloques se pueda cosiderar idepedietes y sus medias distribuidas ormalmete (para que sea aplicable el Teorema Cetral del Límite para obteer el estimador. Así, supoiedo que las observacioes, ua vez elimiado el periodo de arraque, fuera Y,..., Y,..., Y, se divide e los lotes de los que se obtiee la media: k k Y,..., Y k, Yk,..., Yk Y( k),... Y,..., ( ) Y Y ( k) k k. Y ( k) Por último, se obtiee la media de los valores medios obteidos de cada lote Y (, k) Y ( k) k j j i y la cuasivariaza para poder hacer el itervalo de cofiaza o la precisió k Y i S (, k) j ( Y ( k) Y (, k)) j El problema que puede presetar este método es que se haga ua estimació baja de la variaza del estimador, Var( ). Esta ifraestimació puede darse porque al ser ua úica replicació las observacioes o so idepedietes y, por lo tato, si el tamaño de cada replicació o es suficietemete grade puede haber correlació etre ellas y o ser correcta la estimació de la variaza. Ésa es, por lo tato, la mayor dificultad del método, cómo obteer el tamaño k para lograr la icorrelació. Respecto al método aterior preseta la vetaja de o teer que realizar la simulació del periodo de arraque más que ua vez. C) Procedimietos regeerativos: E este caso se realiza ua úica replicació, como ates, pero los bloques o so del mismo tamaño, sio que se toma u puto de regeeració para determiar dóde acaba, siedo variable la logitud de cada secuecia obteida, N i. Se etiede por puto de regeeració, u puto e el que el sistema vuelve a comezar como si fuera el pricipio. Por ejemplo, e u sistema de colas podría ser que el sistema se ecuetre vacío. De ese modo, se evita el problema de la correlació etre las observacioes de dos secuecias. Si embargo, ahora hay que teer e cueta que el tamaño de cada secuecia es tambié ua variable aleatoria. Así si las observacioes obteidas, agrupadas ya e secuecias, so las siguietes 53 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

56 III ANÁLISIS DE RESULTADOS Y, Y..., Y B, Y,..., Y,..., Y B B,..., Y co tamaños respectivos, N B, N B B, N B B, se cosidera para cada B B secuecia dos variables: la suma de las observacioes, N j. X j Bj Y i ibj, y el tamaño de éstas, Para cada ua de estas variables se cosidera las estimacioes de su media y variaza, así a partir de las X j se obtiee X y S X, y a partir de las N j se obtiee N y S N. Por último, el estimador de la media será S S ZS Z S, el estimador de su X X, N N variaza, será S S ZS Z S, dode X X, N N S de cofiaza resultate Z z /. N S X, N j ( X X )( N N) j j, y el itervalo Co este método tambié se corre el riesgo de hacer ua ifraestimació de la variaza. Pero su pricipal icoveiete es que puede ser difícil de aplicar, bie porque o haya puto de regeeració o que la probabilidad de que se dé sea muy pequeña teiedo que hacer largas simulacioes para lograr ua muestra o que el úmero de secuecias obteido sea muy pequeño, o bie por todo lo cotrario, que resulte secuecias de tamaño N j demasiado pequeños, que haga que o se pueda cosiderar idepedietes las secuecias y por lo tato se esté ifravalorado su variaza. III.5 Técicas de reducció de la variaza El objetivo de estas técicas es icremetar la eficiecia estadística del aálisis de simulació. El medio para lograrlo es reduciedo la variaza de las variables de salida si modificar la media de la estimació. De esta forma se obtiee mayor precisió para el mismo úmero de datos, o la precisió deseada co meos pasadas de simulació. Ates de ver las técicas de reducció de la variaza hay alguas observacioes que hacer sobre ellas: Los métodos de reducció de la variaza depede del modelo e estudio, de modo que su comportamieto puede ser muy diferete e distitos modelos. 54 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

57 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Normalmete o es posible saber de atemao cuáto se va a poder reducir la variaza, o icluso, si se va a poder reducir. Alguas técicas puede aumetar el coste computacioal, por lo que hay que buscar u equilibrio etre la mejora que puede proporcioar y el coste que colleva utilizarlas. Las técicas utilizadas más habitualmete para reducir la variaza de u estimador so las siguietes: Muestreo correlado. Utilizació de variables de cotrol. Utilizació de variables atitéticas. Codicioamieto Muestreo estratificado. Muestreo por importacia Vamos a ver ua itroducció a todas ellas, para ampliar el estudio puede cosultarse cualquier libro de teoría de muestras o de simulació avazado(ver [Law, 000] o [Ríos-Isúa, 997]) III.5. Muestreo correlado (úmeros aleatorios comues) El objetivo de esta técica es comparar dos o más cofiguracioes alterativas para el sistema bajo codicioes de experimetació similares. Por lo tato, se utiliza cuado se quiere comparar la variable de salida co dos cofiguracioes diferetes. La idea básica es que se quiere comparar la variable de salida para dos cofiguracioes, y por lo tato si X j y X j so las observacioes para la ª y ª cofiguració, respectivamete, e el tiempo j, lo que queremos estimar es EZ ( j ) E( X ) E( X ) j j Sea la variable Z j Xj X j, cuya esperaza es el valor que se desea estimar,, y sea la media muestral de estas variable, isesgado de. La variaza de este estimador es Z( ) Z j / j, que es u estimador 55 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

58 III ANÁLISIS DE RESULTADOS V ( Z j ) V ( X j ) V ( X j ) Cov( X j, X j) V ( Z( )) Si las variables obteidas co distitas cofiguracioes se obtiee de forma idepediete, la covariaza es cero, pero se puede dismiuir la variaza del estimador si se logra ua covariaza positiva etre ambas. Para lograrlo, el muestreo correlado propoe utilizar los mismos valores U(0,) para simular cada ua de las cofiguracioes a lo largo del tiempo. El método es eficaz y razoable, si embargo, hay que teer cuidado al aplicarlo co la sicroizació, pues puede o ser suficiete co poer la misma semilla para los úmeros aleatorios. Ua forma de buscar esa sicroizació es utilizar ua semilla diferete para cada variable aleatoria del modelo, co el fi de que auque algua de ellas pierda la sicroía el resto o lo haga. III.5. Variables atitéticas Esta técica se utiliza para reducir la variaza del estimador de la media, pero si comparacioes etre distitas cofiguracioes. El objetivo es iducir ua correlació egativa etre las sucesivas simulacioes o replicacioes del modelo que se lleva a cabo para obteer ua muestra co la que obteer el estimador. Supogamos que X y X es ua muestra de tamaño de la variable respuesta. El estimador de la media de la variable será la media muestral, X ( X X ) / y su variaza será, V ( X ) / 4( V ( X ) V ( X ) Cov( X, X )) Obsérvese que si las variables so idepedietes, la covariaza es cero, pero que el valor de la variaza mejoraría si la covariaza fuera egativa. Por lo tato, el objeto de esta técica es itetar lograr ua covariaza egativa etre dos replicacioes del mismo modelo. Para ello, el método propoe que e ua replicació se utilice uos valores de la uiforme y e la otra los valores complemetarios, es decir, meos los ateriores. Así si U,..., U so variables aleatorias co distribució uiforme e (0,), las variables U,..., U tambié so uiformes e (0,). Y es más, si X,..., X so variables obteidas mediate la trasformada iversa a partir de U,..., U, y X ',..., ' X so las obteidas a partir de U,..., U, etoces las variables X j y egativamete. X ' está correladas j 56 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

59 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN De aquí se deduce que si e ua simulació se utiliza los valores de ua uiforme y e la siguiete sus complemetarios las variables estará correladas egativamete, mejorado el valor de la variaza del estimador. Si embargo, o siempre es cierto ya que auque las variables de etrada esté correladas egativamete, si el sistema es complejo las de salida puede o estarlo. Además, el resultado está demostrado para variables de etrada geeradas por el método de la trasformada iversa, pero o siempre éste es el método que se utiliza para geerar ua variable aleatoria. III.5.3 Variables de cotrol El objetivo de esta técica es utilizar la correlació etre ciertas variables aleatorias para coseguir reducir la variaza. Supogamos que X es la variable de salida del modelo. Por ejemplo, e u sistema de colas podría ser el tiempo de espera e cola de los primeros 00 clietes, y se desea estimar EX ( ). Sea Y ua variable aleatoria que aparece e el proceso de simulació, correlada co X (positiva o egativamete), y co esperaza EY ( ) coocida. Para el mismo ejemplo podría ser Y : tiempos de servicio de los primeros 99 clietes que termia su servicio, cuya media es coocida puesto que el tiempo de servicio es ua variable de etrada co media coocida. Etoces el valor observado para la variable Y (valor que puede ser Y o Y ) permite ajustar el valor de X, y por lo tato, se dice que Y es ua variable de cotrol para X. Veamos cómo utilizar esta variable de cotrol para mejorar la eficiecia del estimador. Para ello se defie el siguiete estimador de cotrol: X X a( Y ) Obsérvese que este estimador es u estimador isesgado para, ya que y su variaza es C E( X ) E( X a( Y )) E( X ) a( E( Y ) ) a( ), C que V X V X a V Y acov X Y ( C) ( ) ( ) (, ) Así pues, para que la variaza de este estimador sea mejor que la aterior ha de verificarse a V Y ( ) acov( X, Y ) 0, y por lo tato lo que hay que determiar es u valor de a 57 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

60 III ANÁLISIS DE RESULTADOS para que esto sea cierto. E cocreto, el mejor valor para la costate, el que da la meor * Cov( X, Y) variaza, es a. V( y) Precisamete, el problema que puede teer este método es determiar la variable de cotrol y el valor de a, que además requiere de ua estimació previa de la covariaza etre las dos variables. Además, este método es específico para cada modelo, co lo cuál su automatizació e el software de simulació comercial existete resulta prácticamete iviable. III.5.4 Codicioamieto La técica de codicioamieto para reducir la variaza del estimador iteta aprovechar algua propiedad especial del modelo para remplazar u valor estimado por u valor aalítico exacto. Al elimiar esta fuete de variabilidad es de esperar que la variable aleatoria de salida sea más estable, auque o esté absolutamete garatizado. Esta técica tiee su orige e el método de Mote Carlo codicioal itroducido por Trotter y Tukey (956) y desarrollado por Hammersley ad Hadscomb (964). Supogamos que X es la variable de salida de uestro modelo, cuya media desea ser estimada. Supogamos que existe otra variable aleatoria Z tal que para u valor dado de ésta, z, es posible calcular aalíticamete el valor de la esperaza codicioada de X por este valor, es decir, E[ X / Z z] es u valor coocido. Etoces u estimador isesgado para se puede obteer a partir de la esperaza e Z de la esperaza codicioada de X a los valores de Z, es decir, E[ X ] E [ E( X / Z)]. Como ejemplo de lo que sería este estimador, si Z Z fuera discreta auque de distribució descoocida el estimador por codicioamieto sería E [ ( / )] ( / ) ( ) Z E X Z E X Z z p z, que sería cetrado. Respecto a la reducció de la z variaza se verifica la siguiete relació ya que la variaza es ua fució o egativa Var [ E( X / Z)] Var[ X ] E [ Var( X / Z)] Var[ X ] Z Así el procedimieto sería muestrear o simular para obteer valores de la variable Z y para cada uo de ellos calcular aalíticamete el valor de la esperaza codicioada de X por ese valor. Es decir, se realiza el experimeto de simulació para observar la variable Z obteiédose las observacioes z,..., z y a partir de ahí se calcula el estimador E [ X / Z zi ]. i Ua aplicació de este método puede verse e Carter ad Igall (975). E este caso se quería aalizar políticas de ateció del servicio de extició de icedios del Brox, Z 58 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

61 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN comparado para ello el tiempo medio de respuesta cuado se produce u icedio cosiderado serio (e el que puede peligrar vidas humaas). Datos históricos revelaba que de cada 30 icedios es serio. Y por lo tato para hacer la simulació había que simular 30 veces más situacioes que las que se quería cosiderar para la variable de salida. Sie embargo, el modelo teía tal estructura que coociedo la situació de los equipos de extició e u mometo dado, era posible determiar aalíticamete co exactitud el tiempo medio de respuesta si e ese mometo se produjera u icedio serio. Así el procedimieto cosistió e hacer la simulació, pero iterrumpir periódicamete la simulació para observar el estado del sistema y calcular y almacear el valor del tiempo medio de respuesta bajo esas codicioes si se produjera u icedio serio e ese mometo (auque realmete o estuviera sucediedo). El estimador fial fue la media de estos tiempos de respuesta esperados codicioados e icluía muchos más térmios que el úmero de icedios serios que realmete había sido simulados. Co este procedimieto se redujo e u 95 % la variaza del estimador auque co u mayor esfuerzo computacioal. Para el mismo esfuerzo computacioal la reducció fue de u 9 %. Si embargo e este método o siempre se puede asegurar que reduzca la variaza e tales dimesioes, o icluso que se llegue a reducirla, dada la correlació que puede existir etre los valores codicioados de X y que o ha sido teida e cueta. III.5.5 Muestreo estratificado Esta técica para reducir la variaza es ua técica o específica de la simulació sio que proviee de la idea de estratificació de la teoría de muestras (ver Thomso, 99). Supogamos que deseamos estimar E[ h( X)] para ua variable aleatoria X co fució de desidad f ( x), x D. Es posible hacer ua partició del soporte D e k subcojutos o estratos D i y defiir i h ( x ) f ( x ) dx. Etoces, se tiee que D i h( x) f ( x) dx h( x) f ( x) dx D k Di i i Así pues, el procedimieto sería dividir el soporte e estratos y estimar el valor e cada estrato y después sumarlos. Se comprueba que si la estratificació se ha hecho adecuadamete, se obtiee ua reducció e la variaza al teer meor variabilidad e los estratos que e el soporte completo. El efecto de la reducció se alcazará cocetrado putos muestrales e estratos que sea más importates. La mayor dificultad de este método está e cómo elegir los estratos para lograr reducir la variaza y el tamaño de la muestra e cada estrato. Por otra parte, ua hipótesis implícita e la estratificació es que resulta posible geerar muestras directamete de los espacios muestrales codicioados asociados a cada estrato, lo cuál o siempre es posible. k i 59 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

62 III ANÁLISIS DE RESULTADOS III.5.6 Muestreo por importacia Este método se basa e los coceptos de estratificació y poderació de la teoría de muestras (ver Thomso, 99). Supogamos que queremos estimar E[ h( X)], dode la variable aleatoria X tiee fució de desidad f() x, se platea como estimar E[ h( X )] h( x) f ( x) dx D x m D. E tal caso, el problema La idea básica de este método cosiste e observar que para cualquier otra variable aleatoria Z co fució de desidad g co el mismo domiio D, deomiada distribució de importacia, se puede expresar el estimador como h( z) f ( z) h( z) f ( z) g() z dz E D Z g( z) g( z) Así se puede estimar el parámetro muestreado los valores estimador z i de Z y utilizar como h( zi) f ( zi) ˆ g( z ) i que es u estimador isesgado. Básicamete, este estimador es ua media de los valores hz ( i ) poderados co pesos f / g. La variaza de este estimador puede llegar a ser mucho meor que la de X si se toma la distribució de importacia co forma similar a hf de modo que el cociete sea casi costate. Esta técica cocetra la distribució e los putos que se cosidera de mayor importacia, de modo que si supiésemos de atemao que alguos valores so más importates que otros e la determiació del parámetro, desearíamos seleccioar estos valores co mayor frecuecia de la que la distribució les da e sí. Si embargo, esto puede ser difícil de coseguir y suele ser coveiete llevar a cabo ua simulació piloto de tamaño pequeño para determiar si se produce reducció de la variaza. Por otra parte, como ocurre co la mayoría de las técicas de reducció de la variaza, el muestreo por importacia depede fuertemete del modelo, por lo que resulta iteresate sugerir distribucioes de importacia adecuadas para clases de problemas relevates. Auque es difícil hacerlo, se ha avazado e alguas áreas (ver Geweke (989) para la aplicació a alguos modelos i ecoométricos). 60 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

63 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN IV Aplicacioes de la simulació e fiazas IV. Nocioes básicas sobre derivados fiacieros E las actividades fiacieras hay múltiples mecaismos de iversió, la mayoría de ellos deomiados derivados fiacieros puesto que su valor depede o se deriva del valor de otro activo fiaciero más básico deomiado activo subyacete. El subyacete utilizado puede ser muy diferete: accioes, ídices bursátiles, valores de reta fija, tipos de iterés o tambié materias primas (oro, petróleo, productos agrícolas ). Las características geerales de los derivados fiacieros so: Su valor cambia e respuesta a los cambios de precio del activo subyacete. Requiere ua iversió iicial eta muy pequeña o ula, respecto a otro tipo de cotratos que tiee ua respuesta similar ate cambios e las codicioes del mercado. Se liquidará e ua fecha futura. Puede cotizarse e mercados orgaizados (como las bolsas) o o orgaizados ("OTC") Los pricipales derivados so las siguietes: Cotrato de futuros (forward): cotrato o acuerdo que obliga a las partes cotratates a comprar o veder u úmero determiado de biees o valores (activo subyacete) e ua fecha futura y determiada y co u precio establecido de atemao. Opcioes: cotrato que da a su comprador el derecho, pero o la obligació, a comprar o veder ua catidad determiada del activo subyacete a u precio predetermiado (strike o precio de ejercicio), e o hasta ua fecha cocreta (vecimieto o fecha de ejercicio). Itercambios (swaps): cotrato por el cual dos partes se compromete a itercambiar ua serie de catidades de diero e fechas futuras. Normalmete los itercambios de diero futuros está refereciados a tipos de iterés, llamádose IRS (Iterest Rate Swap) auque de forma mas geérica se puede cosiderar u swap cualquier itercambio futuro de biees o servicios (etre ellos el diero) refereciado a cualquier variable observable. 6 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

64 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS IV.. Cotratos de futuros U cotrato de futuros es u cotrato o acuerdo que obliga a las partes cotratates a comprar o veder u úmero determiado de biees o valores (activo subyacete) e ua fecha futura y determiada y co u precio establecido de atemao. Existe dos motivos por los cuales alguie puede estar iteresado e cotratar u futuro: Operacioes de cobertura: La persoa tiee o va a teer el bie subyacete e el futuro (petróleo, gas, arajas, trigo, etc.) y lo vederá e u futuro. Co la operació quiere asegurar u precio fijo hoy para la operació de mañaa. Operacioes especulativas: La persoa que cotrata el futuro sólo busca especular co la evolució de su precio desde la fecha de la cotratació hasta el vecimieto. Detro del argot fiaciero, es importate eteder lo que se llama posicioes largas y cortas. Estar largo. Quie compra cotratos de futuros, adopta ua posició larga, por lo que tiee el derecho a recibir e la fecha de vecimieto del cotrato el activo subyacete objeto de la egociació. Básicamete sigifica comprar hoy para veder mañaa o ivertir hoy para mañaa recuperar el omial más las plusvalías. Estar corto. Quie vede cotratos adopta ua posició corta ate el mercado, por lo que al llegar la fecha de vecimieto del cotrato deberá etregar el correspodiete activo subyacete, recibiedo a cambio la catidad de diero acordada e la fecha de egociació del cotrato de futuros. Básicamete sigifica fiaciarse hoy co la veta del activo que aú o teemos, tomado la obligació de devolver el activo mañaa. Co idepedecia de que u cotrato de futuros se puede comprar co la iteció de mateer el compromiso hasta la fecha de su vecimieto, tambié puede ser utilizado como istrumeto de cobertura e operacioes de tipo especulativo, ya que o es ecesario mateer la posició abierta hasta la fecha de vecimieto; e cualquier mometo se puede cerrar la posició co ua operació de sigo cotrario a la iicialmete efectuada: cuado se tiee ua posició compradora, puede cerrarse la misma si esperar a la fecha de vecimieto simplemete vediedo el úmero de cotratos compradores que se posea; de forma iversa, alguie co ua posició vededora puede cerrarla aticipadamete acudiedo al mercado y comprado el úmero de cotratos de futuros precisos para compesar su posició. IV.. Opcioes Ua opció es u cotrato que da a su comprador el derecho, pero o la obligació, a comprar o veder ua catidad determiada del activo subyacete a u precio predetermiado (strike o precio de ejercicio), e o hasta ua fecha cocreta (vecimieto). 6 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

65 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Ua opció se compra (o vede) a u precio o prima, que es el valor iicial de la opció. El precio del subyacete es observable e el tiempo y va variado siguiedo u proceso estocástico. Segú varía el precio del subyacete va variado el valor de la opció. Las opcioes se puede clasificar de varias formas. De forma muy geérica se puede dividir e dos grupos: las "vaiilla" que cosiste e los cotratos básicos de opcioes "call" o "put" y las "exóticas" que icorpora variates que hace más complejo su tratamieto y su valoració. IV... Opcioes vaiilla (vailla optios) Se trata de las opcioes "básicas" que, depediedo del tipo de derecho que os de, so opcioes call (de compra) y opcioes put (de veta). E fució de su forma de ser ejercidas podemos difereciar: Opció europea: ta sólo se puede ser ejercidas e ua fecha determiada (fecha de ejercicio). Opció americaa: puede ser ejercidas a lo largo de su vida hasta la fecha de ejercicio. OPCIÓN CALL Ua opció call da a su comprador el derecho -pero o la obligació- a comprar u activo subyacete a u precio predetermiado e ua fecha cocreta. El vededor de la opció call tiee la obligació de veder el activo e el caso de que el comprador ejerza el derecho a comprar. Se llama pay-off a la gaacia al vecimieto de la opció (si icluir el coste de la prima). Por ejemplo, si K es el precio de ejercicio y S el valor del activo subyacete e el mometo del ejercicio, el pay-off de ua opció call será max( S K,0) ( S K) La compra de ua opció call es iteresate cuado se tiee expectativas alcistas sobre la evolució futura del mercado de valores. Posibles situacioes favorables para la compra de opcioes call: - Cuado se prevé que ua acció va a teer ua tedecia alcista, ya que es más barato y retable que la compra de accioes. - Cuado ua acció ha teido ua tedecia alcista fuerte, el iversor o ha comprado y puede pesar que está cara, pero que puede seguir subiedo, la compra de ua call permite aprovechar las subidas si la acció sigue subiedo y limitar las pérdidas si la acció cae. 63 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

66 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS - Cuado se quiere comprar accioes e u futuro próximo porque se cree que va a subir pero hoy NO se dispoe de los fodos ecesarios, la opció call permite aprovechar las subidas si teer que comprar las accioes. La compra de ua opció call implica: a) Se puede comprar la acció a u precio fijo. Este precio (precio de ejercicio) lo fija el comprador. b) Todo lo que la acció suba e la Bolsa por ecima de dicho precio de ejercicio meos el precio pagado por la prima so gaacias. c) Si el precio de la acció cae por debajo del precio de ejercicio, las pérdidas so limitadas y coocidas: so exactamete igual al precio pagado por la opció, es decir, la prima, ya que o se ejercería la opció. d) El coste de la opció es mucho meor que el de la compra de la acció. e) El apalacamieto (relació coste de la iversió/redimieto) es muy alto. Co pequeñas iversioes puede obteerse altas retabilidades. E la veta de ua opció call, el vededor recibe la prima (el precio de la opció). A cambio, está obligado a veder la acció al precio fijado (precio de ejercicio), e el caso de que el comprador de la opció call ejerza su opció de compra. Posibles situacioes favorables para la veta de opcioes call: - -Para asegurar igresos adicioales ua vez decidida la veta de las accioes. - -Es el caso de que o importe veder las accioes a u precio cosiderado suficietemete alto y recibir, además, u igreso extra previo. Este es el caso e que se vede ua call fijado u precio de ejercicio e el ivel que se desee por ecima del precio actual de la acció e Bolsa. Si la acció llega a alcazar ese precio, habrá que veder la acció, pero a u precio alto y, además, se habrá igresado el valor de la opció. La veta de ua opció call supoe: - Geera u flujo moetario imediato derivado del igreso procedete de la veta de la opció. - Retrasa el mometo e que se etra e pérdidas por bajadas e el precio de la acció. - Proporcioa ua atractiva retabilidad si la acció se matiee estable. 64 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

67 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN OPCIÓN PUT Ua opció put da a su comprador el derecho -pero o la obligació- a veder u activo a u precio predetermiado hasta ua fecha cocreta. El vededor de la opció put tiee la obligació de comprar el activo e el caso de que el comprador de la opció decida ejercer el derecho a veder el activo. El pay-off o gaacia al vecimieto de la opció (si icluir el coste de la prima), si K es el precio de ejercicio y S el valor del activo subyacete e el mometo del ejercicio, será max( K S,0) ( S K) La compra de opcioes put se utiliza como cobertura, cuado se preve caídas de precios e accioes que se posee, ya que mediate la compra de Put se fija el precio a partir del cual se gaa diero. Si la acció cae por debajo de ese precio, el iversor gaa diero. Las pérdidas queda limitadas a la prima. Las gaacias aumeta a medida que el precio de la acció baje e el mercado. Por tato, es iteresate comprar ua opció put: - Cuado se tiee accioes y se cree que hay grades probabilidades de que su precio caiga a corto plazo, pero se piesa que el valor tiee ua tedecia alcista a largo plazo, por lo que o se quiere veder dichas accioes. Co la opció put se obtiee beeficios si cae los precios y o se tiee que veder las accioes. De este modo se aprovecharía la futura subida de los precios de la acció. Es ua forma de proteger beeficios o realizados cuado se tiee accioes compradas. A esta operació se le cooce como "Put protectora", porque protege la iversió de caídas. - Cuado se está covecido de que la acció va a caer y se quiere aprovechar esa caída para obteer beeficios. Si o se tiee accioes compradas previamete tambié iteresa comprar ua opció put, pues co ello se obtiee beeficios co las caídas de la acció. El vededor de ua opció put está vediedo u derecho por el que cobra la prima. Puesto que vede el derecho, cotrae la obligació de comprar la acció e el caso de que el comprador de la put ejerza su derecho a veder. Posibles situacioes favorables para la veta de opcioes put: - Para comprar accioes co descueto. Cuado iterese comprar accioes a u precio fijo por debajo del ivel actual de precios y además co u descueto. El descueto es la prima igresada por la veta de la opció. - Cuado se piesa que el precio de la acció va a etrar e u período de estabilidad, se está covecido de que o va a caer y que es posible que tega ligeras subidas. E esta situació se puede fijar u precio a partir del cual se está dispuesto a comprar; 65 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

68 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS etretato, se igresa la prima. El precio límite de compra es el precio de ejercicio al que se vederá la opció put. IV... Opcioes exóticas (exotic optios) So opcioes que so más complejas que las opcioes comúmete egociadas (plai vailla). Estos productos so egociados ormalmete over-the-couter (OTC). Icorpora distitas variates ("exoticidades") que puede llegar a complicar el cálculo de la valoració de la opció e gra medida. Exoticidad e el cálculo del pago (pay off): - Opció asiática (Asia optio): depede de la media del valor del subyacete e u periodo determiado. - Lookback optio: se calcula e fució del máximo (o míimo) alcazado por el subyacete e u periodo. Variates: opció rusa (Russia optio) es ua opció lookback que está operativa e perpetuidad. - Opció biaria o digital (digital / biary optio): el pago puede ser ua catidad determiada (o u activo) o, por el cotrario, o haber pago e absoluto. - Opció oscilate (swig optio): el comprador puede oscilar el precio del subyacete. Pricipalmete empleada e eergía. - Opció parisia (Parisia optio): depede del tiempo que el activo esté por ecima (o por debajo) del strike. Exoticidad e la fecha/forma de ejercicio: - Opció bermuda (Bermuda optio): permite ser ejercida e varios mometos del tiempo (espaciados de forma discreta); por ejemplo, trimestralmete. Variates: opció caaria (Caary optio) es ua opció a caballo etre ua opció europea clásica y ua bermuda; permite ser ejercida e varios mometos pero uca ates de u periodo fijo, por ejemplo, de u año. - Opció co barrera (barrier optio): la opció deja de existir kock out- (o comieza a existir kock i-) cuado el subyacete alcaza (o se cruza) u determiado valor (barrier level). Se puede dar distitas combiacioes de codicioes: Up-ad-out: el subyacete comieza a fluctuar bajo el barrier level y si lo alcaza, la opció deja de existir (kock out). Dow-ad-out: el subyacete comieza a fluctuar sobre el barrier level y si lo cruza, la opció deja de existir (kock out). 66 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

69 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Up-ad-i: el subyacete comieza a fluctuar bajo el barrier level y si lo alcaza, la opció se activa (kock i). Dow-ad-i: el subyacete comieza a fluctuar sobre el barrier level y si lo cruza, la opció se activa (kock i). - Opció de estilo cap (capped-style optio): la opció se ejecuta automáticamete cuado el subyacete alcaza u determiado precio y se marca u uevo mark to market. No tiee ada que ver, a pesar de su ombre, co u iterest rate cap. - Opció compuesta (compoud optio): cosiste e ua opció sobre otra opció, supoiedo, de este modo, dos fechas de ejercicio y modalidades distitas. - Opció grito (shout optio): Cosite e dos fechas de ejercicio distitas. El comprador puede señalar o gritar - ua fecha e la que el precio del subyacete le parezca iteresate. E el mometo fial de madurez de la opció, el comprador puede decidir si le coviee el pago (pay off) a precio de la fecha fial o a precio de la fecha del grito. Exoticidad e fució del subyacete: - Opció cesta (basket optio): se basa e ua media poderada de distitos subyacetes. Variates: opció arco iris (raibow optio) se basa e ua cesta e la que la poderació de los compoetes depede de su comportamieto fial. Por ejemplo, u caso especial de este tipo de opció que es bastate comú es ua opció basada e el subyacete que peor comportamieto haya teido detro de ua cesta. Otras variates: Himalaya optio, moutai rage optio - Opció de itercambio (exchage optio): se itercambia u activo por otro. Exoticidad e fució de la divisa: - Opció cruzada (cross / composite optio): el subyacete se egocia e ua divisa y el strike está deomiado e otra. Variate: opció quato (quato optio) es ua opció e el que el tipo de cambio queda fijado desde el comiezo; por ejemplo,. Otras exoticidades: - Game / Israeli optio: el comprador puede cacelar la opció, afectado esto al pay off o teiedo que pagar algú tipo de "multa". - Reoptio: es la posibilidad de reovar ua opció que expiró si haber sido ejercida. - Chooser optio: da la opció de decidir si la opció será put o call. 67 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

70 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS - Forward startig optio: el strike se decide e el futuro, o e el comiezo del cotrato. Variates: cliquet optio es ua secuecia de forward startig optios. IV. Valoració de opcioes y futuros IV.. Coceptos básicos e valoració de derivados Ua opció se compra (o vede) a u precio o prima, que es el valor iicial de la opció. El precio del subyacete es observable e el tiempo y va variado siguiedo u proceso estocástico. Segú varía el precio del subyacete va variado el valor de la opció. El cobro a que da lugar ua opció e el mometo del ejercicio por parte del comprador se deomia pay-off. Obviamete, el día del vecimieto de la opció el pay-off es igual al valor de la opció. E ua opció europea se ejercerá el derecho de la opció si el pay-off o valor e la fecha de vecimieto es positivo. E ua opció americaa o bermudas el ejercicio de la opció puede llevarse a cabo ates de la fecha de vecimieto. E tal caso, e cada mometo que se puede ejercitar hay u pay-off que viee determiado por el valor del subyacete. Auque puede darse el caso de que icluso co u pay-off positivo o se ejerza la opció co el fi de ejercerla más adelate. La curva de precios del subyacete a lo largo del tiempo determia los valores para los que es óptimo ejercer la acció es lo que se llama frotera de ejercicio óptimo. Este precio marca la frotera etre la coveiecia o o del ejercicio e ese mometo. E la valoració de opcioes americaas y bermudas o se busca sólo su valor sio tambié la frotera de ejercicio óptimo. Los problemas para este tipo de opcioes se cooce como problemas de frotera libre y so mucho más complejos que para las opcioes europeas. Como tratamos co catidades e distito mometo del tiempo, hay que teer e cueta que éstas ha de ser actualizadas co la tasa de iterés libre de riesgo, que llamaremos r. E geeral, este iterés r vedrá dado como iterés aual. Es decir, ua catidad K al K vecimieto de ua opció, e t años ates de esa fecha tiee u valor de ( r Si embargo, e muchas ocasioes se ecesita el iterés e u tiempo cotiuo, es decir, co ua expresió válida para cualquier icremeto de tiempo t o ecesariamete e años. Para ello se utiliza lo que se llama el iterés e cotiuo, cuya relació co el iterés aual es e rt c t ( r), o lo que es lo mismo haciedo t, r l( r). E geeral, e todo lo que se refiere a difereciales y variacioes istatáeas utilizaremos la otació r pero refiriédoos al iterés e cotiuo. c ) t. 68 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

71 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Igualmete, para el caso e que se quiera obteer el iterés o redimieto e u itervalo t, por ejemplo, para u mes sería t / etediedo el año como uidad de tiempo, el r redimieto e ese periodo visto como iterés tiee que cumplir c t t r e ( r). Gra parte de la teoría fiaciera actual descasa e la Hipótesis del Mercado Eficiete ( Efficiet Market hypothesis EMH) que viee a decir: E u mercado co iversores que actúa racioalmete, los precios de las accioes refleja e todo mometo la iformació dispoible y se dice que el mercado es eficiete. E u mercado eficiete igú tipo de aálisis puede coducir a estrategias que bata cosistetemete a u ídice apropiado ( bechmark ) Los participates compra bajo la creecia de que lo que adquiere vale más de lo que está pagado por ello y vede covecidos de que recibe más de lo vale, pero si los mercados so eficietes y los precios refleja toda la iformació dispoible, compradores y vededores itetado beeficiarse covierte al mercado e u juego de suerte y o de habilidad. Si u mercado es eficiete, la trayectoria seguida a lo largo del tiempo por los precios de los valores debe seguir u proceso estocástico e el que la memoria del pasado o exista. Este tipo de procesos se cooce como procesos markoviaos. De la EMH o se deduce que las variacioes absolutas de los precios o los redimietos relativos e u período tega que seguir ua distribució ormal, si embargo, el modelo más extedido sobre los precios bursátiles, auque muy discutido, es que los precios bursátiles sigue u tipo de proceso de difusió coocido como movimieto geométrico browiao (GBM) cuya ecuació diferecial estocástica viee dada por: ds Sdt SdW o e térmios de variació relativa ds dt dw siedo la S tedecia o drift, la volatilidad y W u proceso de Wieer (proceso markoviao cuyos icremetos tiee distribució ormal de media 0 y variaza el tamaño del icremeto de tiempo). Esta expresió viee a decir que la variació relativa del activo sigue ua distribució N( dt, dt ), y las variacioes absolutas de éste N( Sdt, S dt ) Si embargo, estas variacioe so e periodos estacos, si se desea saber el redimieto acumulado Rt () e u itervalo [0, t ], se tiee S( t) S(0) e Rt () o equivaletemete t St () R( t) l l S( t) l( S(0)). S(0) Aplicado resultados de cálculo estocástico que excede el coteido de este capítulo (e cocreto el Lema de Ito del Cálculo Estocástico aplicable sólo si se trabaja co u proceso de 69 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

72 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS Wieer), se llega a la ecuació diferecial estocástica que expresa las variacioes del redimieto compuesto dr dt dw Itegrado el redimieto acumulado se tiee R t dt dw t W t W t t ( ) ( ( ) (0)) 0 0, por lo que retomado el valor del activo se tiee. t ( W ( t) W (0)) S( t) S(0) e Dadas las propiedades de los icremetos e u proceso de Wieer, el valor del activo sigue ua distribució log-ormal 6. Por otra parte, dado que W(0) 0 c.s., la expresió se reduce a t W () t S( t) S(0) e Otra hipótesis asumida e la valoració de opcioes es la ausecia de arbitraje. U arbitraje es ua estrategia de operacioes fiacieras, si riesgo de crédito i riesgo de mercado, co ua probabilidad ula de dar ua retabilidad iferior a la tasa libre de riesgo y ua probabilidad positiva de dar ua retabilidad superior a la tasa libre de riesgo correspodiete. U mercado dode hay posibilidad de arbitraje se dice que o está e equilibrio, ya que si se da esa posibilidad, los arbitrajistas itervedría modificado precios hasta restablecer el equilibrio. Por lo tato, para la valoració de opcioes se va a supoer la ausecia de arbitraje. A la hora de valorar u cotrato se busca ua fució de valor V( S, t, T, K,,, r), pero dado que todos so parámetros del cotrato excepto el precio del subyacete y el tiempo, se cosidera ua fució V( S, t ) como la fució de valor de ua opció. El siguiete gráfico (Camaño (006)) muestra ua fució de valor de ua opció call a dos años co strike 4. Como puede observarse, al vecimieto el valor de la opció es el pay-off. 6 Obsérvese que la esperaza de ua logormal es la espoecial de la media de la ormal asociada más la mitad de la variaza de esa ormal, por lo que se tiee el siguiete resultado, por otra parte, E[ S( t)] S(0)exp t t S(0) e t evidete 70 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

73 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Para opcioes europeas sobre subyacetes que o da dividedos existe solució aalítica, coocida como ecuació de Black&Scholes para la fució de valor. Esta expresió es: S l r t X t rt e V ( S, t) e Payoff ( X ) dx t X 0 Así, e ua opció call europea Payoff ( X ) max( X K,0) ( X K) I( K, ) ( X ), y rt sustituyedo y operado e la expresió aterior se llega a Vcall ( S, t) S( d) Ke ( d), siedo la fució de distribució de ua N(0,), S l r t K d d t t d S l r t K y t Para ua opció put se puede repetir el proceso o utilizar la relació de paridad existete etre ambos tipos de opcioes. E la valoració de opcioes europeas, se da la deomiada relació de paridad. Si se tiee dos opcioes co el mismo strike K, mismo vecimieto, pero ua es call comprado y otra put vedido ambas sobre el mismo subyacete, obsérvese que si S es el precio del suyacete, el pay-off de la cartera es C P max( S K,0) max( K S,0) S K. Así e cualquier mometo aterior, y e particular al iicio, se tiee que cumplir la relació de paridad K rt c C P S S e K. Esta relació o tiee por qué darse e opcioes americaas t ( r) o bermudas. 7 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

74 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS rt Por lo tato, aplicado que V ( S, t) V ( S, t) S Ke, y operado se llega a rt call V ( S, t) S( d ) Ke ( d ) put Si embargo, el objetivo e este capítulo o es derivar o utilizar esta expresió aalítica, sio estimar el valor de ua opció mediate la simulació del activo subyacete y la estimació del pay-off obteido. Para ello todavía teemos que dar algú cocepto más del mercado como es el teorema fudametal de las fiazas y la medida de probabilidad de riesgo eutro. La idea básica es que el valor de ua opció puede computarse como el valor presete a la tasa libre de riesgo del valor esperado del pay-off computado co u drift igual a la tasa libre de riesgo. Es decir, rt V e E ( Payoff ( S)) opció riesgoeutro No se trata de que las accioes siga trayectorias GBM co drift igual a la tasa libre de riesgo, o es así. Lo que sucede es que la valoració puede realizarse supoiedo riesgo eutro y el resultado de la valoració es correcto. Calcular el valor esperado del pay-off co estas trayectorias es calcular el valor esperado de u fucioal de las trayectorias ( pay-off ) utilizado ua medida de probabilidad ueva que deomiamos medida de probabilidad de riesgo eutro. Ua medida de probabilidad Q se dice que es de riesgo eutro si el precio libre de arbitraje de u derivado es el valor presete del valor esperado bajo Q del pay-off futuro del derivado. E esta medida de probabilidad todas las accioes sigue GBM co drift igual a la tasa libre de riesgo (los valores presetes a la tasa de iterés libre de riesgo del valor de ua acció sigue e esta medida de probabilidad de riesgo eutro u proceso co drift ulo, es decir, ua martigala). Todos los activos bajo Q tiee la misma tasa esperada de retoro igual a la tasa libre de riesgo co idepedecia del ivel de riesgo asociado al mismo. Por este motivo se deomia a la medida Q medida de probabilidad de riesgo eutro. El teorema fudametal de la valoració de activos se eucia: Dado u mercado fiaciero se tiee que:. No existe arbitrajes si y solo si existe ua medida de probabilidad de riesgo eutro equivalete a la medida de probabilidad real, es decir tal que los sucesos de probabilidad ula de ua y otra medida so los mismos.. La medida de probabilidad de riesgo eutro es úica si y solo si existe carteras de réplica de todos los productos derivados que permite su cobertura, es decir si y solo si el mercado es completo. put 7 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

75 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN De estos resultados se deduce que ua valoració se puede obteer como rt V e E ( Payoff ( S)) dode S se rige por las ecuacioes difereciales opció riesgoeutro ds rsdt SdW o e térmios relativos ds rdt dw. Y asumiedo que W fuera u S proceso de Wieer r t( W ( t ) W (0)) S( t) S(0) e. Por último, detro de estas ocioes básicas, si el activo produce uos dividedos (o u iterés si fuera ua divisa) del tipo d como proporció del valor del activo, la posesió de éste puede verse como u iterés adicioal o lo que es lo mismo se puede ver como teer u drift de r d. Si se tratara de ua mercacía que por el cotrario tuviera u coste c su posesió (coste de mateimieto, etc.) el drift que habría de cosiderarse sería r c. Estas cosideracioes so válidas para la estimació del payoff, obviamete o para la actualizació del precio, es decir, ha de utilizarse para las trayectorias, o para la actualizació del valor de la opció. IV.. Estimació del valor de opcioes si posibilidad de ejercicio aticipado mediate simulació Se asume que el mercado fiaciero cosiderado admite ua medida de probabilidad de riesgo eutro equivalete a la medida de probabilidad real, es decir, que ambas tiee el mismo cojuto de sucesos de probabilidad ula. E estas circustacias, el teorema fudametal de la valoració de activos garatiza que el valor, e ausecia de arbitrajes, de cualquier cotrato cotigete viee dado por el valor presete a las tasa de iterés libres de riesgo del valor esperado del pay-off e la medida de probabilidad de riesgo eutro. Es decir, que rt V e E ( Payoff ( S)) siedo la ecuació diferecial estocástica de la variació opció riesgoeutro de S de la forma ds rdt dw. S No se trata de que el subyacete siga e la realidad este proceso sio de que se puede seguir el siguiete algoritmo para estimar mediate simulació el valor de ua opció:. Simular la variable aleatoria pay-off a partir de sucesivas simulacioes del valor del subyacete al vecimieto (asumiedo u drift igual a la tasa libre de riesgo) o de la trayectoria discretizada del mismo segú sea requerido para el cálculo del pay-off.. Estimar el valor esperado del pay-off mediate la media de la muestral de pay-off correspodietes a las simulacioes. 73 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

76 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS 3. Computar el valor presete a la tasa libre de riesgo de dicho valor esperado. Obsérvese que c esta actualizació se puede hacer como V opció e rt Payoff ( S) o como t V opció ( r) Payoff ( S) Este cálculo arroja ua estimació del valor del cotrato tato mejor cuato mejor sea la estimació del valor esperado del pay-off. No importa lo complicado que sea el fucioal que se utilice para el cálculo del pay-off, puede ser el simple de ua opció call europea o el promedio aritmético de los valores de la trayectoria que es el pay off de ua opció asiática, la valoració es siempre el valor presete a la tasa libre de riesgo del valor esperado co probabilidad riesgo eutro de dicho fucioal. E casos de cotratos de tipo europeo e los que el pay-off depeda sólo del valor fial o es ecesario simular toda la trayectoria seguida por el subyacete durate la vida del cotrato, sería suficiete simular el valor del subyacete e el dia del vecimieto, si se cooce su distribució. Por ejemplo, si se trata de u subyacete que sigue u GBM e la medida de probabilidad de riesgo eutro goberado por la ecuació diferecial estocástica ds S r dt dw dode r es la tasa de iterés libre de riesgo e cotiuo se sabe que su c solució viee dada por: S( t) S(0) e rc t( W ( t ) W (0)) St () es ua variable aleatoria que puede simularse directamete puesto que Wt () es ua variable aleatoria ormal cuya variaza es t, y por lo tato, o es ecesario simular toda la trayectoria para simular el valor fial del subyacete. E otros casos de cotratos tambié de tipo europeo, es decir, si la posibilidad de ejercicio aticipado, el pay-off puede depeder de la trayectoria seguida por el subyacete durate la vida del cotrato, e este caso o basta co simular el valor fial hay que simular la trayectoria. Tambié puede ocurrir que la ecuació diferecial estocástica que gobiera el proceso seguido por el subyacete e la medida de probabilidad de riesgo eutro o sea ta secilla como u GBM cuya solució es coocida y o se dispoga de la forma explícita de la distribució de St (). De hecho, lo ormal e ua difusió de Ito es que se descoozca la solució explícita. Por ejemplo, e el caso que el subyacete siga el proceso ds rdt ( S) dw de volatilidad o costate. S E estos casos se tiee que simular toda la trayectoria para calcular el payoff. La simulació de la trayectoria debe hacerse discretizado la ecuació diferecial estocástica que gobiera la diámica del proceso seguido por el subyacete. 74 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

77 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN Obviamete, esta discretizació de la trayectoria itroduce u error propio que es idepediete del error de estimació de Motecarlo. Icluso, auque se pudiera simular la trayectoria cotiua se icurriría e los errores propios de cualquier estimació, pero e el caso de discretizació de la ecuació diferecial estocástica se tiee además el error de discretizació. La simulació de trayectorias es muy simple como u modelo cotiuo co icremeto fijo de tiempo. Es decir, se divide el itervalo [0, t ] e el que se desea la simulació e subitervalos de cosecutivos de duració t, 0 t0 t... t t co t ti ti i,...,, siedo el mecaismo de trasició S S Sr ( S) dw Se rc t ( S) dw S( r) t ( S) dw. t Si el proceso cosiderado es u proceso de Wieer, será más preciso si se utiliza la fórmula de actualizació fial e u itervalo, es decir, d W ( t) N(0, t ). S Se ( ) rc S t ( S )( W ( t ) W (0)), dode Ua vez calculados los valores de la trayectoria e los odos para los valores itermedios se iterpola liealmete. Así se costruye las trayectorias del subyacete e el iterior del itervalo [0,t]. Para cada trayectoria simulada se calcula el pay-off del cotrato al que daría lugar. Se ecesita muchas trayectorias para poder evaluar co garatías el valor esperado del pay-off y su valor presete a la tasa libre de riesgo que será el valor de la opció. Por otra parte, para hacer u itervalo de cofiaza o dar la precisió de la estimació, hay rct rct que teer e cueta que V ( S) e E [ payoff ( S)] E [ e payoff ( S)]. Cuado se hace la estimació mediate simulació se tiee: call r r rc t rc t rc t call i / i / i i V e payoff e payoff e payoff y se puede hablar etoces de la precisió de esta estimació como de la variaza de la media rct rct muestral. Puesto que V[ e payoff ( S)] e V[ payoff ( S)], se puede decir que la variaza de la estimació del valor es S e S /, y así obteer la precisió de la estimació rt c V call payoff como S rt c payoff, / e. t 75 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

78 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS E ocasioes puede requerir mucho esfuerzo computacioal, y ser muy leto, por lo que las técicas de reducció de la variaza para aumetar la precisió o reducir el tamaño de la simulació puede ser muy coveietes. La simulació es uo de los mejores procedimietos para valorar ua opció que o implique igua decisió durate el periodo de ejercicio, como so las opcioes europeas. Si embargo, o es apropiada para valoració de opcioes americaas o bermudas e las que el ejercicio se puede hacer e diferetes mometos del tiempo. Ua referecia para ver cómo aplicar la simulació a este tipo de opcioes es Logstaff-Schwartz(00), si embargo, o es lo más apropiado. Por lo tato, a cotiuació se preseta u capítulo e que se muestra métodos ya o de simulació Mote Carlo para valoració de opcioes americaas. IV..3 Estimació del valor de opcioes co posibilidad de ejercicio aticipado mediate métodos uméricos Como ya se ha dicho, la simulació o da respuesta a qué decisioes tomar sio que evalúa decisioes previamete plateadas. Por lo tato, se preseta como ua herramieta muy poderosa para valorar opcioes e que o hay que tomar decisioes durate el periodo de ejecució. Si embargo, o es ua herramieta apropiada para valorar opcioes que e su diseño implica tomar tambié algua decisió e fució del valor del subyacete durate el periodo de ejercicio, como so las opcioes americaas o bermudas. E estas opcioes o sólo se busca dar el valor, sio, dar además ua frotera de valores críticos que determia cuádo se debe ejercer la opció, siedo icluso este puto más relevate que la valoració de la propia opció. Obviamete, el ejercicio óptimo varía co el subyacete y co el tiempo hasta el vecimieto, S*( t ), marcado la frotera etre la coveiecia o o del ejercicio e ese mometo. Haciedo variar t se obtiee la frotera de ejercicio óptimo, a veces tambié llamada cojuto de valores críticos. El siguiete gráfico (de Camaño (006)) muestra la frotera de ejercicio óptimo de ua opció put americaa co strike 3. Obviamete, al fial del ejercicio ( t 0 ), el valor crítico es el propio strike, si el valor del subyacete es iferior al strike se ejerce la opció vediedo a 3 (por ecima de lo que vale el suyacete). Tres años ates, por ejemplo, el valor crítico es 7, co lo que iteresa ejercer la opció aticipadamete si el valor del subyacete es iferior. 76 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

79 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN U gráfico muy iteresate para poder ver las diferecias etre el valor de opcioes europeas y americaas es el gráfico de valor o del pay-off. Este gráfico represeta lo que sería el pay-off e ese mometo si se pudiera ejercer y el valor de la opció e fució del valor del subyacete. Los dos gráficos mostrados a cotiuació (obteidos de Camaño (006)) represeta los diagramas pay-off de ua opció europea call y ua put, respectivamete, ambas co strike 4 y a cierto plazo del vecimieto. La líea azul es el supuesto pay-off y la líea roja el valor de la opció, ambas e fució del valor del subyacete. Obsérvese que la líea roja sería ua secció (la que determie el tiempo hasta el vecimieto) de la superficie de valor V( S, t ) que se vio e la secció IV.., y la líea azul la correspodiete a la fecha de vecimieto de esa misma superficie. Obsérvese, que e la opció put el valor de la opció puede estar por debajo del pay-off que se recibiría e ese mometo. Esto o puede ocurrir e ua opció americaa pues daría ua opció de arbitraje, bastaría co comprar la opció (pagado su valor) y ejercerla de imediato, obteiedo u pay-off mayor si riesgo alguo. 77 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

80 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS Los diagramas de valor de opcioes americaas so los siguietes, tambié co strike 4 y al mismo plazo del vecimieto. Como puede verse e la opció put, el gráfico de valor descasa sobre el pay-off, como si fuera u obstáculo, tomado u cotacto suave co él. El puto de cotacto es justo el valor crítico para ese plazo. E ese mometo, para valores del subyacete por debajo del valor crítico se debe ejercer la opció (veta del subyacete), mietras que para valores superiores se debe mateer hasta u tiempo posterior. Resulta obvio, e geeral, la siguiete relació V ( S, t) V ( S, t) V ( S, t) europea bermudas americaa Si embargo, se puede observar que el gráfico de la opció call es el mismo para ua opció europea y americaa. Si etrar e detalles, ua opció call americaa uca es óptimo ejercerla ates del vecimieto, ya que se compra el subyacete y se sigue sujeto a sus fluctuacioes (pudiedo perder más que co la opció y añadiedo los gastos fiacieros para poseer el activo). Por lo tato, el valor de ua opció call americaa que o paga dividedos es el mismo que el de ua europea. Auque si el activo paga dividedos ya sí puede iteresar ejercer aticipadamete. E efecto, ejercer la opció sigifica pagar el strike y cargar co el coste de fiaciació de aticipar el pago del strike, pero la posesió aticipada de la opció da derecho a percibir el dividedo desde ese mometo. Mietras la retabilidad por dividedo sobre el precio de la acció sea iferior, e térmios absolutos, al coste de fiaciació del strike, o será óptimo ejercer ates del vecimieto. Este criterio o determia el valor crítico, pero marca rt * e ua codició clara, es decir, S () t K e Dt. Si embargo, e la práctica las retabilidades por dividedos de las accioes suele ser iferiores a las tasas de iterés libres de riesgo D < r y esto hace que los valores críticos se sitúe alejados del strike, y, salvo que las opcioes esté muy i the moey, o co retabilidades por dividedo iguales o superiores a las tasas de iterés o dividedos extraordiarios, o co plazo remaete largo, se estará lejos del valor crítico y es raro que iterese ejercer aticipadamete ua opció call americaa. 78 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

81 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN El caso de las opcioes put americaas es completamete distito al de las call americaas, tato si paga dividedos como si o paga dividedos existe ua frotera de valores críticos que marca el mometo óptimo de ejercicio y el problema de valoració es más complejo, o siedo válida la ecuació de Black&Scholes. E 993 Petter Bjerksud & Guar Steslad publicaro u artículo e el Joural of Busiess Fiace ad Accoutig bajo el título America Exchage Optios ad a put call trasformatio e el que aparece ua equivalecia o relació de paridad etre los valores de ua opció call americaa y ua opció put americaa co parámetros cambiados. Esa relació es: V ( S, t, K,, r, d) V ( K, t, S,, d, d r) call americaa put americaa que o es ua relació etre ua call y su put, ya que los parámetros está cambiados, pero sirve para poder hacer ua valoració e u mometo dado. Es válida para americaas y europeas, siempre que sea vailla, es decir, si igua otra sofisticació. Los métodos uméricos habituales para hacer ua valoració de ua opció put americaa o bermudas so básicamete el método biomial y los métodos basados e diferecias fiitas. IV..3. Método biomial El método biomial, se basa fudametalmete e costruir uas trayectorias e tiempo discreto cuya covergecia débil esté asegurada que es el movimieto browiao, y estimar el pay-off sobre estas trayectorias (e cierto modo, se podría eteder como ua simulació). Por lo tato, sólo es válido asumiedo que el subyacete sigue u movimieto browiao. El pricipio de ivariaza de Dosker juega u papel co los procesos estocásticos similar al del teorema cetral del límite co las variables aleatorias. Bajo ciertas codicioes, u paseo aleatorio ( radom walk ) discreto co saltos regidos por cualquier distribució que tega variaza fiita coverge ua vez ormalizado hacia el proceso de Wieer cuado el itervalo de tiempo etre los saltos se va aproximado a cero. Los saltos puede teer cualquier distribució pero co la codició de que tega media ula y variaza uidad. Esta es ua codició ecesaria para la covergecia hacia el proceso de Wieer, si la media y la variaza o cumple este requisito pero so fiitas se producirá la covergecia igualmete pero o hacia el proceso de Wieer sio hacia ua difusió de Ito cuyos parámetros sea precisamete la media y la desviació típica de la distribució de los saltos. La formulació del pricipio de ivariaza sería: Sea ua sucesió de variables aleatorias X todas ellas idepedietes y co la misma distribució que la variable aleatoria X que tiee media 0 y variaza fiita positiva N 79 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

82 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS EX [ ] 0. A partir de ellas se costruye las sumas parciales M X k k. Estas sumas parciales costituye u paseo aleatorio o radom walk e tiempo discreto que puede trasformarse e u proceso cotiuo mediate la iterpolació lieal siguiete: G ( t) M ( t [ t]) X [ t] [ t] El pricipio de ivariaza dice que e estas circustacias, la sucesió de los procesos cotiuos G () t coverge débilmete hacia el proceso de Wieer. Geeralizado el pricipio de ivariaza se puede comprobar que si las variables aleatorias so idepedietes e idéticamete distribuidas co media t T /, los procesos cotiuos G ( t) M ( t [ t]) X 0 t T [ t ] [ t ] t y variaza t σsiedo coverge débilmete e el itervalo [0, T] hacia ua difusió de Ito G(t) cuya ecuació diferecial estocástica es dg dt dw, que o es u proceso de Wieer, pero sus saltos e t so ormales de media t y variaza t. Esta covergecia débil de los paseos aleatorios a difusioes de Ito co parámetros costates se da cualquiera que sea la distribució de las variables aleatorias siempre que sea idepedietes e idéticamete distribuidas y tega media t y variaza t. Naturalmete, el iterés o está e los paseos aleatorios aritméticos sio e los geométricos, e los que cada térmio se deriva del aterior multiplicado por ua variable aleatoria positiva, Rk Rk k de modo que S S e S e, pero que tomado logaritmos se trasforma e paseos k k 0 aleatorios aritméticos: l( S ) l( S ) R l( S0) R. k k k k k Los paseos aleatorios geométricos so los que coverge débilmete al GBM ds Sdt SdW. Dada esta covergecia débil, si se dispoe de ua sucesió de paseos aleatorios geométricos que coverge e distribució al GBM de riesgo eutro, puede computarse el valor esperado de cualquier variable directamete mediate la medida de probabilidad de riesgo eutro, o bie aproximado mediate la sucesió de los valores esperados de dicha variable co la sucesió de medidas de probabilidad asociadas co los paseos aleatorios de la sucesió. 80 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

83 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN La idea por lo tato, es costruirlos co uas variables aleatorias lo más secillas posible. E cocreto, se cosidera ua variable que puede tomar dos valores posibles u co probabilidad p y d / u co p, de modo que el subyacete e cada salto pasa a ser S S u co probabilidad p y S S / d S u co probabilidad p. k k k k k Para que se dé la covergecia requerida al GBM co riesgo eutro, el redimieto r t esperado debe ser el de la tasa libre de riesgo, es decir, e pu ( p) / u, y la variaza t, es decir, t pu ( p) / u pu ( p) / u tiee:. Resolviedo este sistema se rt t e / u u e p. u/ u Obsérvese etoces que se obtiee u árbol biomial co los sucesivos saltos. Por otra parte, a cada odo del árbol se llega tras ua serie de subidas y bajadas, idepedietemete de e qué orde se haya producido. Es decir, e la etapa a u odo se llega tras k subidas y k k bajadas, desde varias trayectorias, cada ua co probabilidad p ( ) úmero de camios que lleva a él es de k p, y que el. Por lo tato, la probabilidad de que sea k k alcazado ese odo es la probabilidad de la distribució biomial p ( p ) k valor del subyacete e ese odo Su k k u Su k. k, siedo el Co la probabilidad asociada a cada odo se tiee defiida ua medida de probabilidad e el cojuto de las posibles trayectorias seguidas por el paseo aleatorio geométrico de riesgo eutro, y se puede estimar el valor del pay-off e los odos fiales de forma directa, y co ello actualizarlo co la tasa libre de riesgo y teer la valoració de ua opció. Éste es el coocido método biomial. Para ua opció call europea sería V S t e p p Max Su K rt k k k call europea (, ) ( ) (,0) k k siedo t t / y real de la opció. rt t e / u u e p, dode estas aproximacioes coverge al valor u/ u 8 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

84 IV APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN EN FINANZAS Este método, siedo válido para opcioes europeas o lo es para opcioes americaas, pues o siempre se ejerce al fial. Ua modificació imediata para usarlo es o utilizar el valor sólo de las hojas del árbol biomial, sio, computarlo e cada odo del árbol para poder tomar la decisió, por ejemplo, de ejecutar e ese mometo si el valor esperado de etapas futuras es iferior. Este procedimieto exige ir recorriedo el árbol de las hojas a la raíz, para poder estimar el pay-off esperado, y se cooce como algoritmo biomial. No es apropiado para opcioes europeas pues auque o maeja grades úmeros combiatorios, requiere mucha memoria y tiempo de computació, pero es la alterativa para opcioes americaas y bermudas. El algoritmo trata de computar el valor esperado del pay-off e la raíz S, pero recorriedo el árbol de las hojas hasta el vértice. Comezado desde el ivel -ésimo para el cual el payoff se computa de acuerdo co las características del cotrato y recorriedo el árbol, u paso atrás cada vez, hasta llegar al vértice. E cada odo del ivel t k se computa el valor esperado del pay-off calculado la media de los valores esperados del pay-off e los dos odos del ivel k+ coectados co él y previamete calculados, actualizados co la tasa libre de riesgo, y se compara co la ejecució e el mometo, eligiedo lo más vetajoso. El valor computado para la raíz es el valor de la opció. 8 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

85 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN V Referecias Barceló, J. (996) Simulació de Sistemas Discretos. Isdefe. Bratley, P., Fox, B.L., Schrage, L.E. (987) A Guide to Simulatio. Spriger-Verlag. Carter, G. ad Igall, E.J. (975) Virtual Measures: A Variace Reductio Techique for Simulatio, Maagemet Sciece,, Fushimi, M. (989) Radom Number Geeratio o Parallel Processors Proceedigs of the 989 Witer Simulatio Coferece. pp Geweke, J. (989) Bayesia Iferece i Ecoometrics usig Mote Carlo Itegratio. Ecoometrica, 57, Hammersley, J.M. ad Hadscomb, D.C. (964) Mote Carlo Methods, Methue Hull, J.C. (006) Optios, Futures ad Other Derivatives. Pretice Hall. Kelto, W.D., Sadowski, R.P. ad Sadowski, D.A. (00) Simulatio with Area. McGraw-Hill. Kleije, J. ad Va Groeedaal, W. (994) Simulatio. A Statistical Perspective. Wiley& Sos Law, A.M., Kelto, W.D. (000) Simulatio Modelig ad Aalysis. McGraw-Hill. L Ecuyer, P. (999) Good Parameters ad Implemetatios for Combied Multiple Recursive Radom Number Geerators Operatios Research. Vol. 47, No., Ja-Feb, pp L Ecuyer, P., Simard, R., Che, E.J., ad Kelto, D. (00) A Object-Orieted Radom- Number Package with May Log Streams ad Substreams Operatios Research. Vol. 50, No. 6, November-December, pp Logstaff, F.A. ad E.S. Schwartz (00) Valuig America Optios by Simulatio: A Simple Least Squares Approach. escholarship Repository of Aderso Graduate School of Maagemet, Uiversity of Califoria. Peña, D. (998) Estadística. Modelos y métodos,.(vol. ). Aliaza Uiversidad Textos. Ríos-Isúa, D., Ríos-Isúa, S., Martí, J. (997) Simulació. Métodos y Aplicacioes. Ra-Ma Rubistei, R.Y. ad Melamed, B. (998) Moder Simulatio ad Modelig. Wiley& Sos Thomso, S.K. (99) Samplig. Wiley. Trotter, H. ad Tukey, J. (956) Coditioal Mote Carlo for ormal samples, i Symposium o Mote Carlo Methods, H. A. Meyer (ed.), Wiley, E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

86 V REFERENCIAS 84 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

87 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN VI Biblioteca de problemas PROBLEMA Sea ua variable aleatoria X co fució de desidad y de distribució: x x [0,] 8 x (,8] f( x), 5 x x (8,0] resto 0 x<0 x x [0,] 6 F( x) ( x ) x(,8] 4 x 5x x (8,0] resto a) Explicar cómo se geeraría valores de la misma. Aplicació al caso de dispoer de los úmeros aleatorios 0.680, 0.08, 0.34, 0.84, y 0.9. b) Cómo se geeraría valores de ua variable aleatoria discreta que toma los valores, 5 y 9 co probabilidades 0., 0.5 y 0.3, respectivamete? Aplicarlo co los datos del apartado aterior. PROBLEMA Aplicar el método de la trasformada iversa y el de aceptació y rechazo para geerar variables aleatorias a partir de las siguietes fucioes de desidad: 3x x f( x) 0 cualquier otro valor 0 x 0 x 0 xa a( a) f( x) a x a a x a x a( a) 0 x para valores de 0 a / Cometar qué método es el más coveiete para cada fució de desidad. 85 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

88 VI BIBLIOTECA DE PROBLEMAS PROBLEMA 3 U muelle circular ejerce fuerza e fució del águlo de separació. Dicho águlo puede estar etre 0 y 90 grados. Su fuerza e Newto se calcula como: K expresado K e Newto/rad. El águlo de separació es ua variable aleatoria que tiee ua fució de desidad f ( ) cos( ). a) Establecer el procedimieto de la trasformada iversa para muestrear la fuerza que ejerce el muelle. b) Utilizado como úmeros aleatorios uiformes 0.3, 0.7, 0.78, 0.90 y 0.54 calcular el valor medio de la fuerza del muelle y la variaza de dicho valor medio. PROBLEMA 4 U fodo de iversió ofrece u iterés aual equivalete al icremeto porcetual e el año del ídice IBEX-35. U potecial iversor ha aalizado estadísticamete el icremeto porcetual de este ídice y ha establecido la siguiete fució de desidad: Fució de desidad /0 /40 /40 % IBEX Calcular la media muestral del icremeto porcetual del IBEX-35 aplicado el método de la trasformada iversa co los úmeros pseudoaleatorios facilitados a cotiuació, y comparar el resultado co el valor real esperado segú la distribució propuesta. Números pseudoaleatorios: 0., 0.8, 0.79, 0.34, 0.5, 0.37, 0.89, 0.4, 0.09, PROBLEMA 5 U equipo está formado por tres compoetes idéticas cofiguradas e paralelo y fucioado e redudacia activa, es decir, las tres al mismo tiempo y co la misma carga. El fallo de ua compoete es catastrófico para la misma. Si desigamos por T a la variable duració de ua compoete, la probabilidad de que ua cualquiera de las compoetes falle ates del istate t viee dada por 5 F t P T t e t Estimar, mediate simulació y co ayuda de la secuecia de úmeros aleatorios que se adjuta (0.5, 0.46, 0.4, 0.53, 0., 0.08, 0.74, 0.0, 0.65, 0.77, 0.5, 0.74, 0.89, 0.95, 0.69), la vida media del equipo. 86 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

89 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN PROBLEMA 6 U trasformador tiee ua capacidad máxima de trasformació C que se distribuye segú ua fució de desidad uiforme e el itervalo ab,. Su potecia trasformada p se distribuye estadísticamete segú ua distribució triagular cuyo valor míimo es 0 y cuyo valor máximo es el valor de C y que a su vez coicide co el valor más probable de la distribució, ver figura adjuta. f(p) C Potecia trasformada a) Establecer u procedimieto basado e el método de la trasformada iversa para simular la potecia trasformada. b) Establecer u procedimieto que utilice el método de aceptació-rechazo simple que permita simular la potecia trasformada. c) Estimar por uo de los dos procedimietos la media de la potecia trasformada co los valores de a 395 y b 40 a partir de la siguiete secuecia de úmeros pseudoaleatorios: 0.435, 0.8, 0.30, 0.604, 0.3, 0.65, 0.603, 0.56, 0.3, 0.93, 0.859, p 87 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

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91 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN VII Resultados de la biblioteca de problemas RESULTADO DEL PROBLEMA 3 Datos: q varia etre 0 y 90 grados. La fórmula de la fuerza es: F Kq [N]; La fució de desidad de águlo q: f(q)=cos(q); q (0,90) La fució de distribució del águlo q es: F(q) = se(q) q (0,90) Geeramos u úmero aleatorio etre 0 y y luego se determia x tal que F(x) = u, luego x = -arcse(u) Co los úmeros aleatorios propuestos: 0.3, 0.7, 0.78, 0.90 y 0.54 x= q: 8,66 9,79 5,6 64,5 3,68 Las diferetes fuerzas saldrá: Fuerzas 348, K 95,84 K 67 K 47 K 069 K La fuerza media del muelle viee dada por i5 fuerzas K 65,3[ Newto 5 i i5 _ ( xi x) s i La variaza del valor medio viee dada por Valor = K 57443; 5 5 (5 ) RESULTADO DEL PROBLEMA 4 Establecemos la fució de desidad y calculamos la fució de distribució: 89 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

92 VII RESULTADOS DE LA BIBLIOTECA DE PROBLEMAS Fució de desidad: La fució de distribució quedará: / 0 0 x 0 / 40 0 x 0 ix ( ) / 40 0 x 0 0 resto 0 x 0 x 0 0 x 0 40 p x I( x) i( x) dx 0 x x 0 0 x x 0 Números pseudoaleatorios: 0., 0.8, 0.79, 0.34, 0.5, 0.37, 0.89, 0.4, 0.09, 0.93 Cálculo de la media muestral del icremeto porcetual del IBEX-35 aplicado el método de la trasformada iversa: Regla: Si u (0,/ 4) etoces u = (x+0)/40 Si u (/ 4,3/ 4) etoces u = ¼+x/0; Si u (3/ 4,) etoces u = ¾+(x-0)/40; Las variables aleatorias resultates: U x 0., -5, 0.8, 0,6 0.79,,6 0.34,,8 0.5, 5,4 0.37,,4 0.89, 5,6 0.4, -0,4 0.09, -6, , 90 E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

93 MODELOS Y MÉTODOS DE SIMULACIÓN La media sale: media = i0 xi 4,6 0 i % Comparado este resultado co el valor esperado segú la distribució: Gracias al gráfico adjuto se ve que sale 5 %. La diferecia etre ambos es de 0.74 %. RESULTADO DEL PROBLEMA 5 5 F t P T t e t expoecial de media 5. Estimació de la vida media del equipo: Método de la trasformada iversa: t = - 5 L(F); Co los 5 úmeros aleatorios sacamos 5 tiempos de duració t y tomamos estos de 3 e 3. La vida del equipo será el máximo tiempo de etre los tres; esto es porque está e paralelo, y el equipo o dejará de fucioar hasta que las tres compoetes falle. Usado los úmeros aleatorios: 0.5, 0.46, 0.4, 0.53, 0., 0.08, 0.74, 0.0, 0.65, 0.77, 0.5, 0.74, 0.89, 0.95, 0.69 u fallos compoetes fallos de equipo E INVESTIGACIÓN OPERATIVA I