Simulación de Monte Carlo para comparar estimadores de regresión en la estimación de totales y razones *

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1 Simulación de Monte Carlo para comparar estimadores de regresión en la estimación de totales y razones * ** JAIRO A. FÚQUENE P. Resumen. Se presenta el concepto de estimador de regresión para la estimación de un total poblacional bajo el diseño M.A.S. y los modelos heterocedástico sin intercepto y homocedástico con intercepto dados por Särndal, Swensson & Wretman (1992). Además, se muestra un estimador de razón construido en este trabajo con dos estimadores de regresión por medio del método de linealización de Taylor. Finalmente, mediante simulación de Monte Carlo, se comparan las propiedades del estimador propuesto por Horvitz-Thompson, cinco estimadores de regresión para la estimación de un total y el estimador de razón. Palabras clave: estimadores de regresión, simulación de Monte Carlo, diseño M.A.S, método de linealización de Taylor. 1. Introducción En la actualidad en la teoría de muestreo, los estudios se centran en la idea de utilizar información auxiliar conocida a nivel poblacional para disminuir la varianza de las estimaciones obtenidas a partir de muestras probabilísticas. Esta información puede ser aprovechada tanto en la fase de diseño, en la asignación de las probabilidades de inclusión y/o selección de los elementos de la población; como en la fase de la estimación, en la construcción de estimadores. En cualquier caso el objetivo es minimizar el error de la estimación del parámetro en estudio, utilizando la información que en lo posible debe estar altamente correlacionada con la variable en estudio. * Trabajo presentado en el área de Estadística. ** Estudiante de la maestría en Matemáticas. Departamento de Matemáticas. Recinto de Río Piedras. Universidad de Puerto Rico. jairo.a.fuquene@uprrp.edu 1

2 2 JAIRO A. FÚQUENE P. Por otra parte, existen diseños muestrales con y sin reemplazamiento como el diseño con probabilidad de selección proporcional al tamaño (P.P.T) y el diseño con probabilidad de inclusión proporcional al tamaño (π-p.t), que representan alternativas de uso de la información auxiliar en la fase del diseño. De otro lado los estimadores de regresión mostrados en Särndal et al. (1992) ofrecen como posibilidad utilizar dicha información auxiliar en la fase de estimación. Por lo anterior es de interés estudiar las propiedades de los estimadores de regresión, de manera teórica y mediante simulación, para la estimación de totales y razones bajo el diseño de muestreo aleatorio simple (M.A.S) 1. En la segunda sección se muestran los estimadores de regresión para la estimación de un total bajo dos diferentes modelos. En la sección tres se encuentra el estimador de una razón construido por medio de dos estimadores de regresión mediante linealización de Taylor. En la sección cuatro, se muestra el procedimiento de una simulación de Monte Carlo para comparar las propiedades de los estimadores estudiados. En la quinta sección se muestran los resultados de la simulación mencionada y en la sexta y última sección se dan las conclusiones de este trabajo. 2. Estimador de regresión para la estimación de un total Para un universo conocido de antemano y conformado por N elementos, notado por U = {1, 2,..., N}, sea y la característica en estudio y por ende y k su valor en el k-ésimo elemento. El objetivo muestral es estimar mediante una muestra de tamaño m el total desconocido: t y = U y k (2.1) Cuando se observa la variable de interés y para la muestra y un vector de J-variables auxiliares para la población de estudio que para el k-ésimo 1 La principal razón de hacer un diseño M.A.S. se debe a que es un diseño sencillo que no utiliza información auxiliar.

3 ESTIMADORES DE REGRESIÓN DE RAZONES Y TOTALES 3 elemento se denota por: x k = (x 1k,..., x Jk ) (2.2) En el análisis de regresión es natural utilizar estimadores para los coeficientes de regresión denotados como ˆB 1, ˆB 2,..., ˆB J. En general el estimador de regresión para la estimación de un total, ˆt yr, es formalmete definido: ˆt yr = ˆt yπ + J j=1 ˆB j (t xj ˆt xjπ ) (2.3) donde ˆt yπ = m y k π k (2.4) en donde π k es la probabilidad de inclusión de primer orden del elemento k en la muestra, ˆt yπ es el estimador de Horvitz-Thompson para (2.1) y ˆt xjπ = m x jπ π k (2.5) es el π-estimador del total desconocido para la variable x j : t xj = U x j (2.6) y ˆB 1, ˆB 2,..., ˆB J son componentes del J - vector ˆB = ( ˆB 1, ˆB 2,..., ˆB J ) = ( m x k x k σk 2π ) 1 k m x k y k σ 2 k π k (2.7) la estimación en (2.7) es motivada por un modelo ξ que considera una completa enumeración de la población (censo) donde se observa y k y x k para todo k ɛ U. En este caso el estimador de mínimos cuadrados de: sobre el modelo ξ puede darse por: β = (β 1,..., β J ) (2.8) B = (B 1, B 2,..., B J ) = ( U x k x k σk 2 ) 1 ( U x k y k σk 2 ) 1 (2.9)

4 4 JAIRO A. FÚQUENE P. En notación más familiar frente al análisis de regresión: B = (XΣ 1 X ) 1 XΣ 1 Y (2.10) Se tienen los siguientes comentarios del papel del modelo ξ en un estimador de regresión para la estimación de un total: 1. No se requiere que el modelo ξ sea cierto en el sentido de que describa de manera correcta algún proceso real. 2. Las conclusiones sobre los parámetros de la población de estudio son independientes de los supuestos del modelo. 3. Sí los datos poblacionales pueden ser descritos por el modelo ξ, el estimador de regresión tiene por lo general una menor varianza en comparación al π - estimador. Es decir, la eficiencia del estimador de regresión en comparación con el π - estimador depende de la calidad del ajuste. 4. Por las razones anteriores se dice que el estimador de regresión es asistido por el modelo ξ pero no depende del modelo ξ. Para comparar los estimadores estudiados se sigue el trabajo realizado en Särndal et al. (1992) y Fúquene (2003) y por tanto se consideran los modelos: 1. Heterocedástico sin intercepto (J = 1) ξ 1 = En este caso se asumen (x 1,..., x N > 0) 2. Homocedástico con intercepto (J = 2) { E ξ1 (y k ) = β 1 x k V ξ1 (y k ) = σ 2 x k (2.11) ξ 2 = { E ξ2 (y k ) = β 1 + β 2 x k V ξ2 (y k ) = σ 2 (2.12)

5 ESTIMADORES DE REGRESIÓN DE RAZONES Y TOTALES 5 Para el modelo ξ 1 se tiene que el estimador del total es: ˆt yrc = U y k S π x k k S Para el modelo ξ 2 se tiene que el estimador del total es: x k (2.13) π k ˆt yr = N[ỹ s + ˆB 2 ( x U x s )] (2.14) Donde N es el total poblacional y N x U = U x k el total de las dos variables x (La primera variable x es constante e igual a la unidad). donde x m = x k y k m π k ˆN ; ỹ m π m = k ˆN ; 1 ˆN = (2.15) π m k 3. Estimación de una razón de totales En muchos estudios de tipo muestral el interés se centra en la estimación de la razón de totales, ejemplo típico es la cifra de Desempleo; que se obtiene como el cociente de los que buscan empleo sobre el tamaño de la población económicamente activa en la región. También es el caso de los resultados arrojados por las encuestas electorales, pues se trata de la razón entre quienes apoyan a un determinado candidato sobre la cantidad de quienes votarán en el comicio electoral. Estudios sobre la estimación de razones con variables categóricas se muestran en Fúquene (2005a), Fúquene (2005b) y Fúquene (2005). Por otra parte, la estimación de cuantiles mediante estimadores de regresión se da en Rao, Kovar & Mantel. (1990) y los resultados teóricos a nivel general de estimadores de regresión en la estimación de razones se encuentran en Fúquene (2003). El objetivo de este trabajo es mostrar un estudio teórico y de simulación para los estimadores de regresión en el caso particular de un diseño M.A.S y, además, la aplicabilidad del estimador de razón en la estimación de la tasa de favoritismo por un candidato en la elección presidencial en Colombia en el 2002.

6 6 JAIRO A. FÚQUENE P. En esta sección se muestra la aplicabilidad de dos estimadores de regresión bajo el modelo (2.11) en la estimación de una razón. Sean y y z las variables de interés que definen el parámetro: R = t y t z (3.1) y dos variables auxiliares x y w para y y z respectivamente. La estimación de la razón mediante dos estimadores Horvitz-Thompson se puede realizar, así: ˆR = ˆt yπ ˆt zπ (3.2) La aproximación de la varianza de (3.2) se hace mediante linealización de Taylor y la variable û k conocida para la muestra es útil en la estimación de la varianza y se obtiene mediante: û k = 1 ˆt zπ (y k ˆRz k ) (3.3) que para el caso particular de un diseño M.A.S. dicha estimación de varianza tiene la siguiente expresión: ˆV MAS ( ˆR) = N 2 m ( 1 m ) Sum 2 (3.4) N donde S 2 um = 1 m 1 (û k û k ) (3.5) m 3.1. Estimador de una razón cuando se utilizan estimadores de regresión Los estimadores propuestos para estimar la razón para el denominador y el numerador son respectivamente: ( ) ( ) ˆt yπ ˆt zπ ˆt yrc = t x ; ˆt zrc = t w ˆt xπ ˆt wπ (3.6)

7 ESTIMADORES DE REGRESIÓN DE RAZONES Y TOTALES 7 El estimador ˆR es una función no lineal de π-estimadores ˆt yπ, ˆt wπ, ˆt zπ y ˆt xπ. ˆR = ˆt yrc ˆt zrc = t xˆt yπˆt wπ t wˆt zπˆt xπ = f(ˆt yπ, ˆt wπ, ˆt zπ, ˆt xπ ) (3.7) Para AV ( ˆR) se utiliza la aproximación lineal de Taylor, para aproximar la varianza se establecen las derivadas y se evaluan en ˆt yπ = t y ˆt wπ = t w, ˆt zπ = t z y ˆt xπ = t x, de la siguiente manera: a 1 = ˆR ˆt yπ = 1 t z ; a 4 = ˆR ˆt wπ = t y t w t z a 2 = ˆR = t y ; a 3 = ˆR = t y ; ˆt zπ ˆt xπ t z t x t 2 z En este caso se tiene que: 4 u k = a j y jk = a 1 y k + a 2 z k + a 3 x k + a 4 w k (3.8) j=1 De esta manera la variable (3.8) queda definida como: u k = 1 [( ) ( )] t y t z y k x k R z k w k t z t x t w (3.9) En particular para el diseño M.A.S. la aproximación de la varianza es: donde AV MAS ( ˆR) = N 2 m S 2 uu = 1 m 1 4. Estudio de simulación ( 1 m ) SuU 2 (3.10) N (û k û k ) (3.11) Para obtener la distribución exacta de un estimador dado se deben considerar todas las muestras S posibles de un diseño muestral fijo. Sin embargo U

8 8 JAIRO A. FÚQUENE P. en la práctica el número total de posibles muestras puede ser muy grande; por esta razón se realiza una simulación de Monte Carlo expuesta en Martín, Ríos. & Ríos. (2000) que se usa frecuentemente cuando es difícil de obtener la distribución muestral de un estimador dado. Por tanto se toman 5000 muestras de diferente tamaño de una población y se calcula lo siguiente: 1. ˆt = ˆt j (4.1) 5000 j=1 con ˆt j la estimación del total para la j-ésima muestra. Que es una estimación de E[ˆt]. 2. S 2ˆt = 5000 j=1 (ˆt j ˆt) que es una estimación de la varianza V (ˆt) (4.2) 3. ˆV = ˆV (ˆt) J (4.3) 5000 j=1 que es una estimación del valor esperado de la varianza del estimador E[ ˆV (ˆt)]. 4. Para cada muestra se calcula el intervalo de confianza de aproximadamente el 95 % ˆt ± 1,96[ ˆV (ˆt)] 1 2 (4.4) y se cuenta el número de intervalos M que contienen al verdadero valor del total t, es decir, M/5000 es una estimación del nivel de confianza. Para el caso de la estimación de la razón se calculan: 1. ˆ R MAS = ˆR j (4.5) 5000 j=1

9 ESTIMADORES DE REGRESIÓN DE RAZONES Y TOTALES 9 con ˆR j la estimación de la razón para la j-ésima muestra de tamaño m y ˆ R es una estimación de E[ ˆR]. 2. S 2ˆRMAS = 5000 j=1 ( ˆR j ˆRP P T ) (4.6) que es una estimación de la aproximación de la varianza de la razón, AV MAS ( ˆR). Para comparar los estimadores estudiados para la estimación de un total se pretende estimar el total de ingresos tributarios en Suecia 2 en el año 1985 con un diseño M.A.S. y se proponen los siguientes estimadores: 1. El π-estimador ˆt yπ. 2. El estimador de regresión ˆt yrc basado en un modelo univariado, heterocedástico sin intercepto con variable auxiliar x 1 la cantidad de concejales conservadores en el municipio. 3. El estimador de regresión ˆt yrc igual al anterior pero con variable x 2 la cantidad de concejales socialistas en el municipio. 4. El estimador de regresión ˆt yr basado en un modelo homocedástico con intercepto y variable auxiliar x El estimador de regresión ˆt yr igual al anterior pero con variable x 2. 2 Los datos son tomados de Särndal et al. (1992). Por razones administrativas Suecia en 1985 se encontraba dividida en 284 municipios. Los municipios variaban considerablemente en tamaño y otras características. Sin embargo, la variable de estudio (ingresos tributarios por municipio) tan sólo tiene cinco datos extremos y por tanto la población de estudio resulta ser homogénea y adecuada para utilizar un diseño M.A.S.

10 10 JAIRO A. FÚQUENE P. 6. El estimador de regresión ˆt yreg basado en un modelo con dos regresores (x 1, x 2 ) homocedástico con intercepto: ξ 3 = { E ξ3 (y k ) = β 1 + β 2 x 1k + β 3 x 2k V ξ3 (y k ) = σ 2 (4.7) Para comparar los estimadores para la estimación de una razón la solución práctica, aplicada en general y en particular en este trabajo es utilizar datos completos de períodos anteriores, como si ellos constituyeran los datos desconocidos del día de hoy. Para realizar estimaciones referentes al 2002 en Colombia se toman los datos de la elección presidencial de Se estima mediante dicha información la razón de personas que apoyaron al candidato Serpa 3 en el 2002 con los siguientes estimadores: 1. El estimador de razón ˆR con un π-estimador ˆt yπ en el numerador para la variable y (personas que apoyaron al candidato serpa por municipio en el 2002) y como denominador un π-estimador ˆt zπ para la variable z (personas que participaron en la votación por municipio en el 2002). 2. Un estimador de razón con un estimador de regresión en el numerador y denominador respectivamente bajo el modelo heterocedástico sin intercepto. La variable de interés para el numerador es y y la variable auxiliar es x 1 (personas que apoyaron al candidato serpa por municipio en 1998) y, para el denominador se tiene como variable de interés a z y como auxiliar a x 2 (personas que participaron por municipio en la votación en 1998). 3 Debido a que la información censal de Colombia contiene datos por sector, sección y manzana se deben realizar ajustes en RNEC (1998) y RNEC (2002) para llevar la información a nivel municipal. La base final de datos contiene información de 1081 municipios. Un dato importante que sugiere un patron de comportamiento electoral, es que el 78.6 % de los municipios en los que Serpa perdió en 1998 fue también perdedor de forma contundente en el 2002, es decir que existe una alta relación entre los datos 1998 y 2002 lo que indica que la información auxiliar es útil.

11 ESTIMADORES DE REGRESIÓN DE RAZONES Y TOTALES Estimadores mínimo cuadraticos poblacionales. Como se dispone de todos los valores para las variables x 1, x 2, y y z se puede entonces establecer los estimadores mínimo cuadráticos poblacionales de los modelos de regresión. Para los casos dos y tres (recordando que el diseño muestral es M.A.S.) se tiene que: B 1 = U y k (4.8) Para los casos cuatro y cinco: B 1 = ȳ U B 1 x U ; B 2 = U x k U (x k x U )(y k ȳ U ) U (x k x U ) 2 (4.9) Para el caso seis se debe trabajar con matrices: B [ ] 1 [ ] 1 B = B 2 = x k x k x k y k B 3 U U (4.10) donde: [ ] N x k x U x 1k U x 2k k = U x 1k U x2 1k U x 1kx 2k U U x 2k U x 1kx 2k U x2 2k (4.11) [ ] U y k x k y k = U y kx 1k U U y kx 2k (4.12) 4.2. Residuales poblacionales Los residuales correspondientes para los casos dos y tres son: E k = y k ŷ k = y k B 1 x k (4.13) para los casos cuatro y cinco se tiene: E k = y k ŷ k = y k (ȳ U B 2 x U ) B 2 x k (4.14)

12 12 JAIRO A. FÚQUENE P. Para el caso seis se calculan los residuales poblacionales mediante: E k = y k ŷ k = y k B 1 B 2 x 1k B 3 x 2k (4.15) Para el caso siete (la estimación de razón) la variable u k de la aproximación de la varianza se puede definir como: u k = 1 t z [E yk RE zk ] (4.16) en donde los residuales E yk y E zk están dados por: E yk = y k B y1 x 1k ; E zk = z k B z1 x 2k (4.17) Para determinar la calidad del ajuste de regresión se utilizan los residuales poblacionales E k, mediante la siguiente expresión: R 2 = 1 U E2 k (N 1)S 2 yu = 1 S2 EU S 2 yu (4.18) Finalmente y para cada caso se puede establecer la aproximación de la varianza mediante la formula: AV MAS = N 2 n ( 1 n ) SEU 2 (4.19) N para el caso de la razón S 2 EU es la varianza de la variable u k. En la siguiente tabla se muestran los resultados poblacionales: La tabla 1. muestra los resultados del análisis de regresión basado sobre todos los 281 datos. En dicha tabla se puede observar que, excepto para el caso 3 en el que el porcentaje es del 30 %, cada variable x 1 y x 2 explican aproximadamente el 40 % de la variación de la variable y. De otro lado, ambas variables explican un 74.7 % de la variación en y. Resulta natural suponer que puede resultar más eficiente el estimador que usa como información auxiliar las dos variables en comparación del que únicamente tiene en cuenta una variable auxiliar.

13 ESTIMADORES DE REGRESIÓN DE RAZONES Y TOTALES 13 Tabla 1: Estimadores mínimo cuadraticos, calidad del ajuste y varianza aproximada de los casos estudiados en la estimación de un total. Valores de B 1, B 2 y B 3 multiplicados por mil. Cálculo de AV para m=100. Caso Estimador B 1 B 2 B 3 R 2 AV 1 ˆt yπ.... 0,204 2 ˆt yrc (x 1 ). 2, ,121 3 ˆt yrc (x 2 ).. 0,86 30,5 0,142 4 ˆt yr (x 1 ) -6,44 2,84. 43,2 0,116 5 ˆt yr (x 2 ) -21,30. 1,82 42,3 0,117 6 ˆt yreg (x 1, x 2 ) -38,32 2,48 1,59 74,7 0, Estimaciones muestrales A continuación se muestran las estimaciones muestrales del total, la razón y la varianza para cada uno de los casos estudiados. Para el primer caso el estimador para el total es el siguiente: ˆt yπ = N n y k (4.20) Y la estimación de la varianza de (4.20) está definida por: ˆV MAS (ˆt yπ ) = N 2 n m ( 1 n ) Sym 2 (4.21) N Para los casos dos y tres el estimador del total bajo el diseno M.A.S está dado por: ˆt yrc = x k m y k U m x (4.22) k

14 14 JAIRO A. FÚQUENE P. En donde la estimación de la varianza de (4.22) es: Donde ˆV MAS (ˆt yrc ) = N 2 n e km = y k ˆB 1 x k ; ˆB1 = ( 1 n ) Sem 2 (4.23) N m y k m x k Para los casos cuatro y cinco el estimador de regresión para el total es: (4.24) ˆt yr = N[ỹ m + ˆB 2 ( x U x m )] (4.25) La varianza estimada de (4.25) se calcula como: Donde ˆV MAS (ˆt yr ) = N 2 e km = y k ŷ m ˆB 2 (x k x m ); ˆB2 = n ( 1 n ) Sem 2 (4.26) N m (x k x m )(y k ȳ m ) m (x k x m ) 2 (4.27) Para el caso seis es necesario trabajar con matrices y se obtiene que el estimador de regresión para el total es el siguiente: ˆt yreg = N[ȳ m + ˆB 2 ( x 1U x 1m ) + ˆB 3 ( x 2U x 2m )] (4.28) La estimación de la varianza para (4.28) se obtiene mediante: Donde Y ˆB O ˆB 1 ˆB 2 = ˆV MAS (ˆt reg ) = N 2 n e km = y k (1, x 1k, x 2k ) n m x 1k m x 2k m x 1k m x2 1k m x 1kx 2k ( 1 n ) Sem 2 (4.29) N m x 2k ˆB 0 ˆB 1 ˆB 2 m x 1kx 2k m x2 2k (4.30) m y k m y kx 1k m y kx 2k 1

15 ESTIMADORES DE REGRESIÓN DE RAZONES Y TOTALES 15 El caso siete, el estimador de una razón con π-estimadores, se mostró en la sección anterior. Para el caso ocho, la estimación de una razón con estimadores de regresión, se tiene que el estimador bajo el diseno M.A.S. es: ˆR = ˆt yr = t x( m y k)( s w k) ˆt zr t w ( m x k)( s z k) y la estimación de la varianza de (4.31) se calcula como: Donde ˆV MAS ( ˆR) = N 2 en donde los residuales e yk y e zk están dados por: n (4.31) ( 1 n ) Sum 2 (4.32) N û k = 1 ˆt zπ [e yk ˆRe zk ] (4.33) e yk = y k ˆB y1 x 1k ; e zk = z k ˆB z1 x 2k (4.34) y 5. Resultados ˆB y = ˆt yπ ˆt xπ ; ˆBy = ˆt zπ ˆt wπ (4.35) Para la tabla 2 se tienen los siguientes comentarios: 1. Los seis estimadores tienen un sesgo relativo siempre menor a 0.1, aún para un tamaño de muestra de m = La varianza del estimador ˆt yreg con dos regresores es casi la cuarta parte de la varianza del π - estimador, con cualquier tamaño de muestra. 3. La varianza del estimador ˆt yreg con dos regresores es la mitad de la varianza del estimador que considera sólo una variable auxiliar.

16 16 JAIRO A. FÚQUENE P. 4. El quinto estimador es un 15 % más eficiente que el tercero al considerar un modelo con intercepto. 5. S 2 (ˆt y ) y ˆV MAS son aproximadamente iguales. Es importante mencionar que S 2 (ˆt y ) estima la verdadera varianza con un grado de precisión de 5000 repeticiones y, por ende, la aproximación de la varianza AV MAS subestimó la varianza en un 15 % con m = 36, en un 4 % cuando m = 100 y se acerco bastante con m = La subestimación que hace el c.v.e. del verdadero C.V. es muy baja, aún para tamaños modestos de muestra (m = 36). 7. La tasa empirica de cobertura, T C, es cercana a la tasa nominal del 95 %, esta cercanía aumenta con el tamaño de muestra. 8. No hay diferencia de resultados si se realizan cinco mil o diez mil iteraciones. 9. Los resultados son estables a la realización de varias aplicaciones, cada una con 5000 replicas. De la tabla 3 se puede observar: 1. Cada una de las dos estimaciones es muy cercana al verdadero valor de la razón poblacional que es En los dos casos se tiene un sesgo del estimador que se puede considerar despreciable. 2. S 2 y AV MAS son cercanas ésto indica que AV MAS representa con precisión para un tamaño de muestra pequeño la verdadera varianza. 3. La varianza del estimador que considera un modelo heterocedástico sin intercepto es la mitad de la varianza de la estimación de la razón con π estimadores. Es decir, al considerar dos estimadores de regresión para la razón se obtiene una eficiencia relativa del 50 %.

17 ESTIMADORES DE REGRESIÓN DE RAZONES Y TOTALES 17 Tabla 2: Resultados de una simulación de 5000 muestras M.A.S. de m = 36, m = 100 y m = 140, el total poblacional es t y = 5,315. m Caso Estimador ˆt y S 2 (ˆt y ) ˆV AV MAS ( %)cves ( %)CV T C 36 1 ˆt yπ 5,30 0,784 0,759 0,766 16,4 16,7 90, ˆt yrc (x 1 ) 5,30 0,462 0,441 0,456 12,5 12,8 90, ˆt yrc (x 2 ) 5,28 0,539 0,519 0,533 13,6 13,9 90, ˆt yr (x 1 ) 5,28 0,463 0,404 0,435 12,0 12,9 89, ˆt yr (x 2 ) 5,24 0,473 0,415 0,442 12,3 13,1 89, ˆt yreg (x 1, x 2 ) 5,28 0,228 0,173 0,194 7,9 9,0 87, ˆt yπ 5,31 0,205 0,203 0,204 8,5 8,5 93, ˆt yrc (x 1 ) 5,31 0,122 0,120 0,121 6,5 6,6 93, ˆt yrc (x 2 ) 5,31 0,141 0,141 0,142 7,1 7,1 93, ˆt yr (x 1 ) 5,31 0,119 0,113 0,116 6,3 6,5 93, ˆt yr (x 2 ) 5,30 0,121 0,116 0,117 6,4 6,6 93, ˆt yreg (x 1, x 2 ) 5,30 0,054 0,050 0,052 4,2 4,4 92, ˆt yπ 5,33 0,117 0,114 0,113 6,3 6,4 93, ˆt yrc (x 1 ) 5,32 0,069 0,068 0,067 4,9 4,9 94, ˆt yrc (x 2 ) 5,32 0,081 0,079 0,079 5,3 5,4 93, ˆt yr (x 1 ) 5,32 0,067 0,064 0,064 4,8 4,9 93, ˆt yr (x 2 ) 5,31 0,068 0,065 0,065 4,8 4,9 93, ˆt yreg (x 1, x 2 ) 5,32 0,030 0,029 0,029 3,2 3,3 93,2 Tabla 3: Resultados de una simulación de 5000 muestras M.A.S. de m = 100 y la razón poblacional es R = 0, 365 Estimador Estimación S 2 AV MAS ˆR π 0,36 0,047 0,046 ˆR regξ1 0,37 0,024 0,025

18 18 JAIRO A. FÚQUENE P. 6. Conclusiones Como producto de los ejercicios desarrollados en este trabajo para la estimación de un total y una razón mediante estimadores de regresión se puede concluir: 1. El estimador de regresión para la estimación de un total tiene un sesgo relativo menor a 0.1, su eficiencia aumenta con la calidad del ajuste. 2. La aproximación de la varianza que se obtiene mediante linealización de Taylor para la estimación del total o de la razón es aproximadamente igual al verdadero valor de la varianza. 3. El uso de los estimadores de regresión es recomendable sólo en los casos en los que el sesgo relativo es inferior a 0.1, pues son estimadores aproximadamente insesgados de los parámetros poblacionales. Bibliografía Fúquene, J. (2003), La varianza del estimador de una razón cuando en el numerador y en el denominador se utilizan r-estimadores, in Simposio Nacional de Estadística, Universidad Nacional de Colombia. Fúquene, J. (2005a), Información auxiliar categórica en diseños muestrales de elementos para la estimación de una razón de totales de variables dicotomicas., in II Congreso Binacional de Estadística, Universidad de los Andes, Mérida (Venezuela). Fúquene, J. (2005b), Metodología para la estimación de dico-razones con el uso de información auxiliar en tablas de contingencia 3x3, Revista Colombiana de Estadística 28, Fúquene, J. (2005), Estratificación sesgo y eficiencia en la estimación de una proporción aplicando un diseño estratificado de muestreo, in Tercer Coloquio Regional de Estadística, Universidad Nacional de Colombia, Medellín.

19 ESTIMADORES DE REGRESIÓN DE RAZONES Y TOTALES 19 Martín, J., Ríos., D. & Ríos., S. (2000), Simulación, Métodos y Aplicaciones, Ra-Ma, Madrid. Rao, J. N. K., Kovar, J. G. & Mantel., H. J. (1990), On estimating distribution functions and quantiles from survey data using auxiliary information, Biometrika 77. RNEC (1998), Elecciones presidenciales de 1998 en Colombia, Registraduría Nacional del Estado Civil, Bogotá. RNEC (2002), Elecciones presidenciales de 2002 en Colombia, Registraduría Nacional del Estado Civil, Bogotá. Särndal, C.-E., Swensson, B. & Wretman, J. (1992), Model Assisted Survey Sampling, Springer Verlag, New York.