Capítulo IV: FUNCIONES RECURSIVAS

Transcripción

1 Capítulo IV: FUNCIONES RECURSIVAS IV.2: FUNCIONES PRIMITIVAS RECURSIVAS Mario de J. Pérez Jiménez Grupo de investigación en Computación Natural Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica Matemática Curso

2 Procedimientos de definición de funciones Composición de funciones Sean las funciones g : N k N, y h 1,.., h k : N p N. Diremos que f : N p N es la composición de g y h 1,..., h k, si para cada x = (x 1,..., x p) N p se verifica: f ( x) = g(h 1( x),..., h k ( x)). Notaremos f = C(g; h 1,..., h k ). (a) La composición de funciones totales es una función total. (b) La composición de funciones GOTO computables es una función GOTO computable. Es decir: GCOMP es cerrado bajo composición: El siguiente programa GOTO calcula f = C(g; h 1,..., h k ): Z 1 h 1(X 1,..., X p). Z k h k (X 1,..., X p) Y g(z 1,..., Z k ) 2 / 1

3 Recursión Primitiva (I): Sean g : N k N, h : N k+2 N. Diremos que f : N k+1 N está definida por recursión primitiva a partir de g y h si para cada x N k y cada y N se verifica: j f ( x, 0) = g( x) f ( x, y + 1) = h( x, y, f ( x, y)) Notaremos f = R(g, h). Esta definición se extiende al caso k = 0: j f (0) = c f (x + 1) = h(x, f (x)) donde c N. En este caso escribimos: f = R(c, h). 3 / 1

4 Recursión Primitiva (II): (a) Toda función definida por recursión primitiva a partir de funciones totales es una función total. (b) Toda función definida por recursión primitiva a partir de funciones GOTO computables es GOTO computable. Es decir, GCOMP es cerrado bajo recursión primitiva. Sean g : N k N, h : N k+2 N funciones GOTO computables. El siguiente programa calcula f = R(g; h): [A] Y g(x 1,..., X k ) IF X k+1 = 0 GOTO E Y h(x 1,..., X k, Z, Y ) Z Z + 1 X k+1 X k+1 1 GOTO A 4 / 1

5 Funciones básicas Llamaremos funciones básicas a las siguientes funciones: Siguiente: S(x) = x + 1, para cada x N. Idénticamente nula de aridad 1: O(x) = 0, para cada x N. Proyecciones: Q k j (x1,..., x k) = x j, para cada j, k N (1 j k) y cada (x 1,..., x k ) N. Todas las funciones básicas son GOTO computables: Un programa que calcula S es j X X + 1 Y X Un programa que calcula O es el Programa vacío, P. Un programa que calcula la proyección j ésima de aridad k, Q (k) j, es Y X j. 5 / 1

6 La clase de las Funciones Primitivas Recursivas Es la menor clase PR de funciones que verifican las condiciones siguientes: Toda función básica pertenece a PR. PR es cerrada bajo los procedimientos de composición y de recursión primitiva. Si C es una clase de funciones que: contiene a todas las funciones básicas; y es cerrada bajo los procedimientos de composición y de recursión primitiva, entonces PR C. Obviamente, toda función primitiva recursiva es total. 6 / 1

7 Inducción sobre la clase PR Cómo probar que toda función PR satisface una propiedad θ: Se considera la clase D de todas las funciones que verifican θ. Se prueba que D contiene a todas las funciones básicas. Se prueba que D es cerrada bajo composición y bajo recursión primitiva. Entonces se concluye que PR D. Toda función PR es GOTO computable. Existen funciones GOTO computables que no son PR (incluso funciones GOTO computables y totales: función de Ackermann). 7 / 1

8 Funciones primitivas recursivas relevantes (I) Las siguientes funciones son primitivas recursivas: La función identidad en N, I N : N N, definida por I N (x) = x, para cada x N. Las funciones constantes de aridad k, Ca k : N k N, definida por Ca k (x 1,..., x k ) = a, para cada a, k N y k 1. La función predecesor, pr : N N, definida por j 0 si x = 0 pr(x) = x 1 si x > 0 La función diferencia reducida, : N 2 N, definida por j x 0 si x y y = x y e.c.o.c. La función signo: sg : N N, definida por j 0 si x = 0 sg(x) = 1 e.c.o.c. 8 / 1

9 Funciones primitivas recursivas relevantes (II) La función signo inverso, sg: N N, definida por sg (x) = 1 sg(x) La función suma, + : N 2 N, definida por +(x, y) = x + y La función producto, : N 2 N, definida por (x, y) = x y La función mínimo, min : N 2 N, definida por j x min(x, y) = y si x y e.c.o.c. La función máximo, max : N 2 N, definida por j x max(x, y) = y si x y e.c.o.c. 9 / 1

10 Funciones primitivas recursivas relevantes (III) La función distancia, : N 2 N, definida por j x y x y = y x si x y e.c.o.c. La función resto, rm : N 2 N, definida por rm(x, y) = z = x = q y + z, en donde 0 z < y. La función cociente, qt : N 2 N, definida por qt(x, y) = z = x = z y + rm(x, y). La función exponencial, exp : N 2 N, definida por j 1 si x = 0 y = 0 exp(x, y) = x y e.c.o.c. La función factorial, fact : N N, definida por 8 1 si x = 0 >< fact(x) = Y >: j e.c.o.c. 1 j x 10 / 1

11 Proposición: Sean k 2, n 1. Si f 1, f 2,..., f k PR (n) entonces f 1 + f f k PR (n) y f 1 f 2... f k PR (n) 11 / 1

12 Predicados y conjuntos primitivos recursivos Definición: La función característica de B A k es el predicado C B sobre A n : j 1 si x B C B ( x) = 0 si x / B La función característica de B A n, identifica el conjunto B con un predicado (precisamente, C B ). Si θ es un predicado n ario sobre A y B = S θ entonces C B = θ. Definición: Un predicado sobre N es primitivo recursivosi la función que lo define es primitiva recursiva. Definición: Un conjunto B N k es primitivo recursivo si la función C B es primitivo recursivo. Notaremos B 0. Ejemplos: Los conjuntos y N k, para cada k N, son primitivos recursivos. Los predicados: θ 1(x, y) x = y; θ 2(x, y) x y; θ 3(x, y) x < y son primitivos recursivos. Si f : N k N es una función primitiva recursiva, entonces los siguientes predicados (k + 1)-arios son primitivos recursivos: θ( x, y) f ( x) = y; θ ( x, y) f ( x) y; θ ( x, y) f ( x) < y 12 / 1

13 Teorma del grafo: Sea f : N k+1 N una función PR. El grafo de f, G(f ) = {( x, y) N k+1 : f ( x) = y}, es un conjunto primitivo recursivo. Proposición. Sean θ, θ predicados PR sobre N, de aridad k. Entonces son PR los predicados: θ, θ θ, θ θ, θ θ y θ θ. Basta tener presente que: θ( x) = sg(θ( x)) (θ θ )( x) = θ( x) θ ( x) (θ θ )( x) = sg(θ( x) + θ ( x)) θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Corolario. Si A, B N k 0, entonces N k A; A B; A B 0. Basta tener presente que: C N k A = C A. C A B = C A C B. C A B = C A C B. 13 / 1

14 Teorma de definición por casos para funciones PR: Sean k 2 y f 1,..., f k : N p N funciones PR. Sea {A 1,..., A k } 0 una partición de N p. Entonces, la función g : N p N definida por 8 >< f 1( x) si x A 1 g( x) =... >: f k ( x) si x A k es PR. Basta tener presente que g = f 1 C A f k C Ak es GOTO-computable. Nota: La proposición anterior se puede expresar con predicados θ 1,..., θ k que sean PR, exhaustivos y excluyentes (es decir, tales que, para todo x N p : θ 1( x) θ k ( x) = 1) 14 / 1

15 Suma y producto acotados Definición: Si f : N k+1 N es total, se definen: La suma acotada de f es: P f ( x, y) = X z yf ( x, z) El producto acotado de f es: Q f ( x, y) = Y z yf ( x, z). Observaciones: En lugar de la última variable, se podría utilizar cualquiera otra como cota. Generalizamos para n = 0: P f (y) = X z yf (z), Qf (y) = Y f (z). Proposición: Si f PR (k+1) entonces P f, Q f PR (k+1) Demostración para la suma acotada: P a) f ( x, 0) = g( x) P b) f ( x, y + 1) = h( x, y, P f ( x, y)) Donde: g( x) = f ( x, 0) y h( x, y, z) = z + f ( x, y + 1) Por tanto, P f = R(g, h) PR pues g y h son PR. z y 15 / 1

16 Cuantificación acotada de predicados Proposición: Sea θ un predicado (k+1)-ario y PR. Los predicados siguientes son PR: θ 1( x, y) z y θ( x, z) θ 2( x, y) z y θ( x, z) Basta tener pesente que θ 1( x, y) = Y θ( x, z); θ 2( x, y) = sg( X z)). z y z yθ( x, Ejemplos. O bien que: θ 1( x, y) = sg(y + 1 µt y(θ( x, t))) θ 2( x, y) = sg(y + 1 µt y( θ( x, t))) El predicado de divisibilidad, x y, es GOTO computable: θ(x, y) z y(y = z x) El predicado ser primo es GOTO computable: primo(x) (x > 1) t x((t x) (t = 1 t = x)) 16 / 1

17 Minimización acotada de predicados Definición. Sea θ( x, y) un predicado (k + 1) ario. Definimos la función total θµ : N k+1 N, así: j θµ( x, min{z y : θ( x, z)} y) = y + 1 si existe tal mínimo e.c.o.c. Usualmente escribiremos µz y (θ( x, z)) y diremos que la función θ µ se obtiene del predicado θ por minimización acotada. Proposición. Si θ PR (k+1) entonces θµ PR (k+1). Basta tener presente que: θµ( x, y) = X ( Y z)) t y z t θ( x, 17 / 1

18 Minimización acotada de funciones Definición. Sea f ( x, y) una función (k + 1) aria y total. Definimos la función de aridad k + 1, f µ, así: f µ ( x, y) = µz y (f ( x, z) = 0) Diremos que la función fµ acotada. se obtiene de la función f por minimización Proposición: Si f PR (k+1), entonces f µ PR (k+1). Ejemplos. Es PR la función cociente definida por j 0 si y = 0 qt(x, y) = µt x (x < (t + 1) y) e.o.c. Es PR la función resto definida por ( rm(x, y) = x (y qt(x, y)) si y 0 0 si y = 0 18 / 1

19 La sucesión de números primos Consideremos la siguiente función p : N N definida así: j 0 si n = 0 p(n) = el n ésimo primo si n 1 La función p proporciona la sucesión de números primos (para n 1). Notaremos p(n) = p n. Proposición. La función p es primitiva recursiva. Para demostrar este resultado hay que usar el siguiente lema de Euclides: Lema. n (p n p n!). Entonces basta describir la función p como sigue: j p(0) = 0 p(n + 1) = µy (1 + p(n)!) (primo(y) y > p(n)) 19 / 1