Logística y distribución comercial: modelos de gestión de inventarios con patrón de demanda potencial

Transcripción

1 Curso 0/3 HUMANIDADE Y CIENCIA OCIALE/3 I..B.N.: MANUEL GONZÁLEZ DE LA ROA Logística y distribució comercial: modelos de gestió de ivetarios co patró de demada potecial Directores JOAQUÍN ICILIA RODRÍGUEZ IABEL MONERO MURADA OPORE AUDIOVIUALE E INFORMÁICO erie esis Doctorales

2 A mis hijos, Eduardo y Gabriel A todos mis sobrios 7

3 AGRADECIMIENO o muchas las persoas a las que debo agradecer su esfuerzo y apoyo, si las cuales o habría podido hacer realidad este trabajo de ivestigació. E primer lugar, quiero expresar mi más sicero agradecimieto a mis directores de tesis, Dr. D. Joaquí icilia Rodríguez y Dra. Dña. Isabel Motero Muradas, por el tiempo que me ha dedicado, su compromiso y costate etrega. Valoraré toda mi vida el que haya estado a mi lado, orietádome y ayudádome a realizar esta ivestigació, así como su estímulo para hacerme disfrutar de la materia objeto de estudio. ambié, les doy las gracias por la cofiaza depositada e mí, el áimo que me ha dado e los mometos difíciles y su colaboració e la resolució de los problemas co los que me he ecotrado. Por supuesto, trasmito mi gratitud a mis compañeros de Departameto por haberme acompañado, acosejado y motivado cotiuamete. Además, a mis amigos por todo lo que aporta a mi vida y a aquellos que me ha dado su apoyo icodicioal durate estos años. Fialmete, agradezco a mi familia su paciecia, cariño y compañía permaete. u profuda compresió ha sido decisiva para avazar y cocetrar todos mis esfuerzos e el desarrollo y la culmiació del trabajo. A todos, muchas gracias 9

4 ÍNDICE GENERAL

5 ÍNDICE GENERAL INRODUCCIÓN.- PLANEAMIENO DE LA INVEIGACIÓN... 7 i Itroducció al tema objeto de ivestigació... 9 ii Importacia e iterés del problema a aalizar... iii Metodología, fases del proceso aalítico e hipótesis de partida... 3 iv Objetivos y alcace del estudio... 6 v Coteido y estructura del trabajo de ivestigació... 8 CAPÍULO.- LOGÍICA EMPREARIAL Y GEIÓN DE OCK Itroducció: la logística y la distribució comercial e las orgaizacioes La actividad logística y su evolució coceptual La logística y la geeració de vetajas competitivas El marketig, la distribució comercial y el servicio al cliete Modelizació matemática e la Ecoomía de la Empresa La Ivestigació Operativa y su aplicació a la logística empresarial La gestió y el cotrol de ivetarios e el marco de la Ivestigació Operativa y la Ecoomía de la Empresa CAPÍULO.- LO MODELO DE GEIÓN DE INVENARIO Itroducció La demada y la gestió de stocks Costes que iterviee e la gestió de stocks Fudametos de los modelos de gestió de ivetarios Modelos básicos e la gestió de ivetarios Revisió de la literatura sobre modelos de ivetarios determiistas Modelos de ivetario determiistas co demada variable e el tiempo Modelos de ivetario determiistas co deterioro Modelos de ivetario determiistas co patró de demada potecial

6 CAPÍULO 3.- IEMA DE INVENARIO DEERMINIA CON PARÓN DE DEMANDA POENCIAL Itroducció Notació geeral empleada Hipótesis de los modelos istema de ivetario co patró de demada potecial, si roturas permitidas istema de ivetario co patró de demada potecial y roturas recuperables Política óptima de ivetario Costo míimo istema de ivetario co patró de demada potecial, dode las roturas so vetas perdidas Política óptima cuado > Política óptima cuado 0 < < Política óptima cuado = Ejemplos uméricos istema si roturas y co ídice de patró de demada = istema si roturas co ídice de patró de demada = / istema co roturas recuperables e ídice de patró de demada = istema co roturas recuperables e ídice de patró de demada = / istema co pérdida de vetas e ídice de patró de demada = istema co pérdida de vetas e ídice de patró de demada = /... CAPÍULO 4.- IEMA DE INVENARIO DEERMINIA CON PARÓN DE DEMANDA POENCIAL Y DEERIORO Itroducció Notació geeral empleada Hipótesis de los modelos istema de ivetario co patró de demada potecial y deterioro, si admitir roturas Política óptima de ivetario Ua aproximació algorítmica Caso particular: demada uiforme Ejemplos uméricos istema de ivetario co patró de demada potecial, deterioro y roturas recuperables Política óptima de ivetario Ejemplos uméricos

7 CAPÍULO 5.- POLÍICA ÓPIMA DE INVENARIO PARA IEMA CON PARÓN DE DEMANDA POENCIAL Y REPOICIÓN NO INANÁNEA Itroducció Notació geeral empleada Hipótesis de los modelos istema de ivetario co patró de demada potecial y reposició uiforme, si permitir roturas Política óptima de ivetario istema de ivetario co ídice de patró de demada istema de ivetario co ídice de patró de demada > Caso especial: la reposició istatáea Ejemplos uméricos istema de ivetario de tamaño del lote y puto de pedido co patró de demada potecial, roturas recuperables y tasa de producció depediete de la tasa de demada Política óptima de ivetario Procedimieto algorítmico Casos especiales Demada uiforme asa de producció ifiita Ejemplos uméricos CONCLUIONE Coclusioes derivadas del estudio Futuras líeas de ivestigació BIBLIOGRAFÍA ANEXO DE FIGURA, GRÁFICO Y ABLA

8 INRODUCCIÓN PLANEAMIENO DE LA INVEIGACIÓN 7

9 INRODUCCIÓN PLANEAMIENO DE LA INVEIGACIÓN i Itroducció al tema objeto de ivestigació E el cotexto actual de profuda crisis, la globalizació de la ecoomía y el fuerte icremeto de la competecia obliga a las empresas a optimizar los recursos de los cuales dispoe, co el objetivo de geerar vetajas competitivas que les permita obteer igresos y beeficios, propiciado su viabilidad ecoómica y su crecimieto. Por ello, la gestió adecuada de las operacioes empresariales y el cotrol de los gastos, so aspectos vitales para la subsistecia de las orgaizacioes. Es precisamete ahí dode la Ecoomía de la Empresa y la Ivestigació Operativa juega u papel relevate como disciplias cietíficas que facilita y favorece la adopció de decisioes, proporcioado u cojuto de modelos y técicas de resolució que permite afrotar ua amplia variedad de problemas reales. De esa maera, recurriedo a sus metodologías y procedimietos se iteta ivestigar la forma más eficaz y eficiete de maejar, operar o hacer uso de los escasos recursos dispoibles para alcazar los mejores resultados posibles, a través de la costrucció de modelos y la utilizació de técicas de optimizació que permita elegir la mejor alterativa de las dispoibles. E cocreto, de etre todos esos modelos destaca aquellos relativos a la gestió empresarial y, e particular, los referidos a los problemas relacioados co el mateimieto y la reposició de materiales y biees a lo largo de la cadea de sumiistro. i duda algua, ua de las actividades empresariales e la que la reducció de gastos puede ser determiate se materializa e la cadea logística y el circuito de la distribució comercial, mediate el cotrol de los iveles de artículos depositados e los almacees de las empresas, es decir, por medio de la gestió de stocks. Desde esa perspectiva, la eoría de Ivetarios proporcioa ua metodología y u cuerpo de coocimietos que permite aalizar y cotrolar las operacioes relativas al mateimieto y gestió de los productos. E el marco de esta disciplia ocupa u lugar preferete el diseño, la formulació y el estudio de modelos de gestió de stocks destiados a especificar y caracterizar las variables de decisió que permite cuatificar los gastos de mateimieto y de reposició de los artículos. De ahí que, mediate el empleo de los mismos, se pueda determiar las políticas de gestió más eficietes que permita reducir costes y como cosecuecia, icremetar los beeficios derivados del adecuado almaceamieto de las existecias. 9

10 Coviee precisar que, tato e los putos de veta como e las uidades de producció, se hace ecesario mateer artículos e stock co la fialidad de satisfacer la demada futura de los clietes. Ello origia que, desde el puto de vista ecoómico, se geere ua situació, poco deseable, de icertidumbre, debido a que se hace ecesario ivertir fodos e imovilizado para posteriormete, co su veta, itetarlos recuperar y obteer, tambié, u marge de beeficio. Otra cuestió a cosiderar es que, lógicamete, la actividad del almaceamieto requiere u maejo que podría dañar los artículos mateidos e ivetario, los cuales, por cosiguiete, o podría vederse y obligaría a cosiderar costos adicioales derivados del mateimieto de los stocks. E ese setido, por ua parte, poseer biees almaceados puede geerar u icremeto de los costes de mateimieto y de comercializació pero, por otra, los stocks so sumamete idispesables para hacer frete a evetos iesperados como demadas imprevistas, averías e la maquiaria que iterviee e los procesos productivos, tiempos de servicio aleatorios, así como problemas de calidad. La resolució de u problema de ivetario cosiste e adoptar las decisioes adecuadas para garatizar la buea gestió de stocks. Esas decisioes va ecamiadas a cotrolar los costes relativos a su mateimieto y reposició. Auque dichas decisioes afecta directamete a los costos que iterviee e los sistemas de ivetarios, o es usual que se tome e térmios de coste sio, más bie, e fució del tiempo y la catidad. Por ello, esos elemetos cofigura las variables determiates que cotrola el sistema de ivetario e icide e los costes relacioados co la admiistració y mateimieto de los stocks. E defiitiva, co respecto a los diferetes modelos de gestió de stocks, se debe estudiar la forma de respoder a las cuestioes plateadas relativas a cuádo y cómo repoer el ivetario para determiar la política más adecuada a la hora de admiistrarlo, gestioarlo y optimizar su coste total. 0

11 ii Importacia e iterés del problema a aalizar La gestió de stocks, e el ámbito de la logística y la distribució comercial, es ua materia trascedetal para el correcto fucioamieto de las operacioes empresariales llevadas a cabo e todos los sectores de la actividad ecoómica. Por ello, su estudio y aálisis ha despertado el iterés de muchos ivestigadores: Carrallo 978, Ballou 99, Prida y Gutiérrez 995, oret Los atos 999, Cuatrecasas 999, Zermati 004, García abater et al. 005, Parra Guerrero 005, Aaya ejero 0, etre otros. Ua de las preocupacioes fudametales del ser humao, e u mudo de recursos limitados, es el diseño de formas eficietes de producció, gestió o admiistració de productos para lograr alcazar ciertas metas, impuestas a priori, que se cosidera ideales para la colectividad. Esa forma de diseñar o admiistrar colleva, implícitamete, la optimizació de ua serie de objetivos que se cosidera relevates e el cotexto de las diferetes situacioes plateadas. Hasta tiempo relativamete reciete, la empresa se ha efretado a mercados co perfiles defiidos, predecibles e idetificables, coformados por clietes a los que ha satisfecho, ofertado productos y servicios cocretos. E la actualidad, si embargo, el progresivo proceso de apertura de los mercados, ha covertido al etoro empresarial e u medio diámico y cambiate, caracterizado por la alta competitividad, e el cual o existe putos de referecia estables y dode la evolució de los acotecimietos ecoómicos codicioa la toma de decisioes. e hace preciso, pues, o sólo asumir los cambios sio, e la medida de lo posible, adelatarse a ellos, de maera proactiva, mediate ua flexible y cotiua adaptació de las estructuras, los sistemas y los procedimietos empresariales. radicioalmete, para asegurar u bue ivel de servicio al cliete, las compañías solía mateer altos iveles de ivetario. Hoy e día, e ua situació de crisis geeralizada que afecta a, prácticamete, todos los sectores de actividad, las empresas se ha dado cueta que los costes se puede reducir cosiderablemete co u bue cotrol de los stocks a lo largo de la cadea de sumiistro. Detro de ese ámbito de actuació, la misió de la logística cosiste e plaificar y coordiar las actividades ecesarias para coseguir iveles aceptables de servicio y calidad, co la fialidad de satisfacer las ecesidades de los clietes al meor coste posible, coectado al mercado co la empresa y llevado a cabo actividades que va, desde la gestió de las materias primas hasta la etrega de los productos termiados Díez de Castro, 99; Castá et al., 000; Pau y Navascués, 00; Ballou, 004.

12 El estudio de los modelos de gestió de ivetarios mejora la eficacia de las operacioes empresariales relacioadas co la cadea de sumiistro y la distribució de los productos, geerado propuestas y alterativas que permite icremetar la eficiecia y competitividad de las orgaizacioes. Mediate las técicas adecuadas de optimizació, se puede desarrollar herramietas de ayuda a la toma de decisioes, que permita a las empresas adaptarse a las demadas actuales del mercado, provocadas por la ecesidad de difereciació y diversificació de los artículos ofertados. De esa maera, auque las empresas puede haber ivertido mucho e tecología de fabricació, distribució y almaceamieto, aumetado e gra medida su capacidad productiva y logística, la gra catidad y variedad de productos que debe fabricar, co ciclos de vida muy cortos y cada vez más persoalizados o adaptados a las ecesidades de los clietes, requiere de complejas operacioes logísticas e las cuales se debe ivertir mucho tiempo y diero. Partiedo de ese esceario, la Ivestigació Operativa, que es la referecia que adoptamos para la realizació de uestro aálisis a lo largo del presete trabajo de ivestigació, se orieta al estudio de problemas reales de optimizació y cotrol, bajo la suposició de que éstos se puede modelar y resolver aplicado el método cietífico. Mediate este método cietífico utilizamos estructuras matemáticas para describir relacioes etre parámetros y variables que caracteriza las propiedades de los sistemas. E ese cotexto, establecemos determiados objetivos que so abordados usado las técicas apropiadas co el fi de determiar, para cada situació plateada, su solució óptima. E los últimos años se ha prestado u otable iterés al estudio de los Modelos de Gestió de Ivetarios, co el fi pricipal de determiar los iveles de stock idóeos para satisfacer la demada de los clietes y aalizar posibles estrategias de miimizació de los costes de mateimieto y reposició de los biees, así como de los costes de rotura y deterioro. Como resultado de esas ivestigacioes, hoy e día, dispoemos, e la literatura, de u gra úmero de modelos que aborda esta materia. i embargo, como los sistemas de ivetario y la comercializació de los productos evolucioa costatemete y so cada día más complejos, es preciso realizar u esfuerzo cotiuo para diseñar y aalizar uevos y más completos modelos, que permita seguir mateiedo u cotrol adecuado de las variables de decisió que cotrola y optimiza el fucioamieto de los sistemas productivos, comerciales, logísticos y de distribució, presetes a lo largo de la cadea de sumiistro de cualquier artículo. De ahí que uestro estudio sobre modelos de gestió de ivetarios, tega la fialidad de facilitar decisioes estratégicas que cotribuya a mejorar la productividad y competitividad de las empresas, emarcádose e u campo cietífico amplio, complejo y multidiscipliar e el que es ecesario profudizar de cara a despejar iterrogates e itetar realizar uevas aportacioes.

13 iii Metodología, fases del proceso aalítico e hipótesis de partida La metodología que seguimos cosiste, primero, e determiar las propiedades que caracteriza el problema de gestió de ivetarios a estudiar para, seguidamete, formalizar u modelo que recoja dichas propiedades y represete adecuadamete al sistema real. Ua vez determiadas las variables de decisió que ifluye e los costos relativos al sistema de ivetario, itetamos determiar las estrategias o políticas de decisió más eficaces y eficietes, utilizado técicas de optimizació y herramietas matemáticas que os ayude a caracterizar el cojuto de solucioes óptimas. E cuato al pla de trabajo, e u pricipio, hacemos ua recopilació de la bibliografía existete más relevate sobre los temas ateriormete citados, cometado las pricipales referecias relacioadas co la materia objeto de estudio. A partir de ahí, seguimos u proceso progresivo de profudizació e materia de cotrol y gestió de ivetarios, estudiado, e primer lugar, los problemas de stocks más secillos, para a cotiuació abordar otros modelos más complejos. Fialmete, itetamos diseñar u procedimieto eficiete que determie la política óptima de ivetario para cada uo de los sistemas aalizados. Las fases pricipales de uestro estudio comprede, por tato, la defiició del problema de ivetario, la costrucció del modelo matemático que lo estructure y formalice, la determiació de su solució, esto es, la mejor política de ivetario que debe cosiderarse, así como su validació práctica y la implemetació de esa solució. Co la defiició del problema, tratamos de determiar su alcace, idetificado, por ua parte, la descripció de las alterativas de decisió, y por otra estableciedo, de maera clara, el objeto de estudio y la especificació de las hipótesis, limitacioes o restriccioes bajo las cuales fucioa el sistema modelado. Este paso iicial es primordial para el desarrollo de uestro aálisis cuatitativo ya que debemos reflejar, de maera explícita, ua represetació segura del comportamieto global del sistema de ivetario co la fialidad de adoptar decisioes que afecte a su cotrol y gestió. A cotiuació, la costrucció del modelo implica traducir la defiició del problema a relacioes matemáticas que represete la evolució del ivetario, lo cual depede de las diferetes variables que ifluye e el sistema y su grado de complejidad. Así, el modelo deberá teer ua solució que sea realista, aplicable y fácil de eteder. 3

14 Por su parte, mediate el aálisis cuatitativo buscamos obteer la solució óptima, es decir, la mejor solució matemática que miimice el coste total relacioado co la gestió del ivetario. Esa solució del modelo colleva el uso de técicas y algoritmos de optimizació bie defiidos. E ese setido, es coveiete reseñar que los modelos de gestió de stocks ha de ser probados, tato para determiar su validez itera, lo cual implica que las represetacioes matemáticas ha de teer setido, como su validez extera, co la fialidad de que los resultados obteidos sea coheretes cuado se compara co la realidad de la situació que estamos estudiado. La validació del modelo de ivetario permite comprobar si éste represeta y explica e forma adecuada el comportamieto del sistema objeto de estudio, así como si la solució tiee aplicabilidad. La iterpretació de los resultados colleva examiarlos a la luz de los objetivos propuestos, debiedo determiar las implicacioes de su desarrollo y aplicació. Además, como el modelo es ua aproximació de la realidad, debe aalizarse la sesibilidad de su solució, estudiado la política óptima de ivetario ate los cambios que ocurra e los isumos o parámetros de etrada del sistema. Fialmete, la implemetació de la solució del modelo validado tiee como objeto traducir los resultados obteidos e detalladas istruccioes de operacioes para la gestió del ivetario. égase e cueta que la solució óptima de u modelo matemático o es siempre la política que debe ser implemetada por la empresa, ya que la decisió fial la debe tomar el ser humao utilizado el setido comú y cosiderado los codicioates del etoro, juto co las posibilidades o recursos físicos y ecoómicos de las orgaizacioes. i bie, el cotrol de las operacioes propias de u almacé de mercacías e dode hay que decidir qué catidad de u determiado tipo de artículo hay que repoer y e qué istate hay que solicitar ese pedido es el pricipal objetivo de los modelos de gestió de stocks, dichos modelos abarca diferetes situacioes prácticas, que debe recoger ua variedad de características o hipótesis, las cuales permite cofigurar la actividad a realizar e relació co el ivetario. Las hipótesis de partida de los sistemas de gestió de stocks se ecauza hacia las propiedades que cofigura los sistemas de ivetario. Dichas propiedades tiee que ver co sus cuatro compoetes fudametales: la demada de los clietes, las reposicioes que debe especificar los vededores, los costos relacioados directamete co la gestió de los stocks y por último, las restriccioes físicas, ecoómicas y ambietales que ifluye y codicioa la evolució de las otras compoetes. Por tato, segú sea el comportamieto de la demada, segú sea la decisió tomada por el empresario e itermediario e los 4

15 caales de distribució e relació co las reposicioes, así como la posibilidad o o de asumir rotura de stocks, se cofigura ua serie de hipótesis de partida que caracteriza el sistema de ivetario a estudiar. Etre las hipótesis de partida, os podemos ecotrar co sistemas de ivetarios e los que o se permita rotura; sistemas dode la demada de los clietes puede cosiderarse costate, o bie variable y depediete del tiempo; ivetarios e los cuáles la pérdida de vetas sea relevate, etc. E ese setido, debe teerse e cueta que cuado hay roturas de stocks, existe la posibilidad de gestioar ivetarios co pérdida de vetas, o bie, co demada e espera, lo cual se traduce e que si o hay existecia de los artículos solicitados por los clietes, éstos estaría dispuestos a esperar a la llegada de ueva mercacía para satisfacer sus ecesidades. ambié, puede darse que la reposició sea istatáea o que ésta requiera u periodo de tiempo durate el cual se produciría el aprovisioamieto, e cuyo caso, la razó de reposició podría ser fija o variable co el tiempo. Además, se podría cosiderar la existecia o o de u posible deterioro de los artículos, lo cual icidiría e la dismiució del ivel del ivetario. Así, cosiderado esas hipótesis, cualquier mejora operacioal e la cadea de plaificació, localizació, producció, ivetario y distribució, supodría u ahorro otable de costos y la cosiguiete mejora de los beeficios empresariales. ambié, es preciso reseñar que, a pesar de que, desde hace varias décadas, la literatura cietífica ha aportado u amplio úmero de modelos teóricos, éstos o siempre permite resolver todos los problemas reales, debido a su amplia complejidad y a la aparició de uevos retos iheretes al crecimieto y desarrollo de la sociedad. Para estas situacioes, desafortuadamete, las técicas coocidas puede o ser adecuadas, ecesitádose geerar procedimietos y algoritmos eficietes que cotemple sus requerimietos e toda su amplitud, complejidad y diversidad de situacioes. E cosecuecia, es preciso diseñar uevos modelos y métodos que aborde la plaificació estratégica de las actividades relacioadas co la gestió y almaceamieto de stocks, aportado solucioes específicas que icorpore las hipótesis y los aspectos más relevates de los sistemas, de cara a la determiació de políticas óptimas de ivetario que sitúe a las empresas e las mejores codicioes de competitividad. Por ello, e cada uo de los capítulos del presete trabajo de ivestigació, se irá especificado las hipótesis de partida y los aspectos más determiates para cada uo de los modelos que so objeto de aálisis. 5

16 iv Objetivos y alcace del estudio E líea co las ideas señaladas e los apartados ateriores, dode se ha cometado la metodología empleada e los modelos de ivetarios que vamos a aalizar, así como el marco geeral de las hipótesis de partida, los objetivos que pretedemos coseguir co el desarrollo del presete trabajo so los siguietes: Objetivo : Estudio de modelos de catidad ecoómica de pedido co demada variable e el tiempo y patró potecial. Nos propoemos aalizar modelos de gestió de stock dode la demada o es costate, sio que la misma puede depeder del tiempo. E cocreto, aalizaremos sistemas e los cuales la demada pueda ser lieal, o bie potecialmete creciete o decreciete, plateado diferetes situacioes, e fució de si es permitida o o la existecia de roturas e el ivetario. E caso de admitir la falta de stock para cubrir la demada, abordaremos, por ua parte, el supuesto e el cual los clietes está dispuestos a esperar al sumiistro de ueva mercacía y por otra, el caso e el que se geera ua pérdida de vetas derivada de la o espera por parte de los clietes a la llegada de la siguiete reposició. E todos los supuestos, formularemos la fució de coste total, que egloba los costes relacioados co el mateimieto, la rotura y la reposició del ivetario, determiado cuádo se deberá repoer el stock juto co la catidad óptima que miimiza su coste total de gestió. Objetivo : Aálisis de modelos de tamaño del lote co deterioro. Pretedemos estudiar uevos modelos de ivetario que, además de admitir demada depediete del tiempo y patró potecial permita, tambié, cosiderar la existecia de ua fracció de artículos o productos e stock que puede sufrir deterioro. Por tato, se deberá teer e cueta, aparte del coste de mateimieto y reposició, el coste origiado por el deterioro de los artículos. E cocreto, aalizaremos, e primer lugar, el modelo de ivetario para biees co posibilidad de presetar deterioro, asumiedo la iexistecia de roturas y, a cotiuació, la situació e la cual se produce roturas de stocks y éstas so recuperables, es decir, los clietes está dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició para satisfacer sus ecesidades. Desde la perspectiva de la miimizació de los costes que iterviee e el pedido y e el mateimieto de los productos almaceados, buscaremos determiar la política óptima de ivetario. 6

17 Objetivo 3: Estudio de modelos de catidad ecoómica de producció co demada depediete del tiempo y periodo de reposició o istatáeo. Aalizaremos sistemas de ivetario e los cuales la demada de los clietes sigue u patró potecial y existe u período de tiempo durate el cual se añade stock al ivetario, mediate ua tasa de reposició de la mercacía. E estos modelos deberemos teer e cueta que durate ua parte del ciclo del ivetario existirá iteracció etre demada y reposició, esto es, se atederá la demada al mismo tiempo que se repodrá la mercacía. Ello hace que se complique los cálculos relativos a las catidades dispoibles e stock y a los costos de mateimieto. E ese setido, aalizaremos la evolució del ivetario y determiaremos el lote óptimo de producció que miimice la suma de los costes de mateimieto y reposició, cosiderado, e primer lugar, ua tasa de reposició uiforme y, a cotiuació, permitiedo que dicha tasa varíe co el tiempo y sea proporcioal a la razó de demada. E defiitiva, el objetivo geeral de este trabajo de ivestigació cosistirá e cotribuir a la mejora de alguos modelos de ivetario determiistas e la líea de las extesioes previamete cometadas, aalizado y estudiado las operacioes empresariales relacioadas co la gestió de stocks para mejorar los resultados, la eficiecia y la competitividad de las empresas. Para ello, tras cosiderar ua serie de hipótesis de partida, trataremos de desarrollar las metodologías de optimizació ecesarias y, e su caso, diseñar los algoritmos específicos orietados hacia la resolució de dichos modelos. 7

18 v Coteido y estructura del trabajo de ivestigació El trabajo se estructura de la siguiete maera: E esta itroducció hemos recogido los pricipales plateamietos de uestra ivestigació, delimitado el tema a tratar, destacado la importacia e iterés estratégico de uestro estudio, defiiedo la metodología empleada, es decir, el procedimieto geeral llevado a cabo e las diferetes fases del proceso de modelizació, cosiderado las hipótesis geerales de partida, así como plasmado co detalle los objetivos que pretedemos coseguir. E el capítulo, ofrecemos ua visió geeral de los aspectos eseciales relativos al tema objeto de estudio, pretediedo idetificar, de maera resumida, su problemática y las características pricipales que lo cofigura. Desde esa perspectiva, se adopta como referecia del aálisis el papel de la logística, el marketig y la distribució comercial para llevar a cabo ua adecuada gestió de stocks y geerar vetajas competitivas e la cadea de sumiistro de las orgaizacioes. Reflejamos la importacia del aálisis de los modelos de gestió de stocks, e el marco de la Ecoomía de la Empresa y Ivestigació Operativa, co la fialidad de ayudar a la adopció de decisioes que se pueda aplicar a y la resolució de problemas reales de optimizació de costes y cotrol de ivetarios. E el capítulo, aalizamos los factores que, de ua forma u otra, ifluye e la gestió de los stocks, cosiderado las pricipales características y variables de decisió que permite estudiar a los sistemas de ivetario. Asimismo, se defie las variables y parámetros más relevates juto co sus relacioes itrísecas. Cabe aclarar que e este capítulo o se pretede llevar a cabo u aálisis profudo de los diversos aspectos abordados, ya que ello está bie documetado e la literatura existete. i embargo, su efoque busca destacar los elemetos eseciales que, e materia de gestió de stocks, sirve como preámbulo para desarrollar diferetes modelos determiistas orietados a determiar la política óptima, cotemplado diferetes escearios caracterizados por diversas hipótesis sobre la demada y la evolució de los ivetarios. A cotiuació, ua vez expuestos los modelos básicos de gestió de stocks, realizamos ua exhaustiva revisió de la literatura relativa a los modelos determiistas co demada variable e el tiempo, a modelos que cotempla u patró de demada potecial, así como de aquellos modelos que icorpora 8

19 deterioro, la cual sirve de base y fudameto teórico para la elaboració de uestro trabajo. E el capítulo 3, presetamos u aálisis detallado de los sistemas de ivetario determiistas co patró de demada potecial, e los cuales el período de programació o está fijado previamete, co la fialidad de obteer ua solució úica para el ivel de stock iicial y el ciclo de programació óptimos. E cocreto, aalizamos tres escearios diferetes: e primer lugar, admitimos la ausecia de roturas e el sistema; posteriormete, estudiamos la situació e que se permite roturas y la demada es diferida e el tiempo, es decir, los clietes o atedidos estará dispuestos a esperar a la llegada del siguiete pedido para satisfacer su demada; por último, cotemplamos el caso e el que las roturas se traduce e pérdida de vetas. Además, desarrollamos varios ejemplos uméricos que ilustra la política eficiete y el coste míimo para cada sistema de ivetario aalizado. E el capítulo 4, estudiamos la política de reposició óptima para u sistema de catidad ecoómica de pedido, cosiderado artículos co deterioro y patró de demada potecial, dode el ciclo de reposició o es fijo y el costo total promedio depede de esa variable de decisió. Así, plateamos la correspodiete modelizació matemática y su procedimieto de resolució, proporcioado alguos ejemplos uméricos que muestra las relacioes etre los diferetes parámetros. ambié, abordamos el estudio de u sistema de ivetario co deterioro cuado se permite rotura de stocks y éstas so recuperables. eguidamete, presetamos alguos resultados uméricos que muestra el efecto de ua variació del parámetro de deterioro sobre la política de ivetario óptima. E el capítulo 5, realizamos u aálisis de los sistemas de ivetario de tamaño de lote, e los cuáles existe u periodo de reposició del stock y la demada sigue u patró potecial. Estudiamos la catidad de producció ecoómica que miimiza el costo total de ivetario por uidad de tiempo, admitiedo, e primer lugar, ua tasa de reposició uiforme y, posteriormete, permitiedo que esa tasa varíe co el tiempo y sea proporcioal a la razó de demada. A cotiuació, ilustramos los resultados obteidos co alguos ejemplos uméricos. Fialmete, presetamos u resume de los resultados obteidos, aportado las pricipales coclusioes e implicacioes derivadas del trabajo llevado a cabo, así como las futuras líeas de ivestigació a desarrollar. 9

20 CAPÍULO LOGÍICA EMPREARIAL Y GEIÓN DE OCK 3

21 CAPÍULO LOGÍICA EMPREARIAL Y GEIÓN DE OCK..- Itroducció: la logística y la distribució comercial e las orgaizacioes La ecoomía mudial se ecuetra imersa e u acelerado proceso de trasformació que está geerado profudos efectos e las operacioes comerciales y empresariales. Como cosecuecia de ello, las orgaizacioes de las sociedades del siglo XXI se efreta a la urgete ecesidad de adaptarse al uevo esceario iteracioal. La etapa que se desarrolla e la actualidad, cuyos límites, lógicamete, aú o está bie defiidos, se caracteriza por la ecesidad de afrotar umerosos desafíos e materia de gestió empresarial. A grades rasgos, alguas de las uevas tedecias que se está cofigurado e el ámbito de la logística y la distribució comercial so las siguietes: Cocetració e itegració de la distribució comercial Díez de Castro, 997; De Jua Vigaray, 005; reorgaizació de los caales de comercializació Ferádez et al., 007 y desceso de la cuota de mercado de los comercios idepedietes Casares et al., 990, debido a la progresiva implatació de uevos sistemas de veta y formatos comerciales Rebollo, 993; aiz de Vicuña, 996a; Kotler et al., 000; atesmases, 0. Icremeto del movimieto asociativo e defesa de itereses comues Flaviá et al., 997; aparició de fórmulas comerciales ligadas al ocio y tiempo libre Motero y Oreja, 998, así como coexistecia de u sector tradicioal, pero moderizado, co grades superficies de autoservicio Díez de Castro, 997; Casares y Rebollo, 005. Diversificació de tipos de tieda y orgaizacioes Rebollo, 998, co ua demada cada vez más fragmetada como cosecuecia de los patroes de cosumo; creciete segmetació del mercado Ferádez et al., 008, diversidad de estrategias Bello et al., 993 y especializació Vázquez y respalacios,

22 Cosolidació de pricipios basados e los efoques de marketig atesmases, 99; Cruz Roche, 99; Kotler et al., 995, marketig social, marketig de relacioes o gestió de la calidad total Kotler et al., 000; afiazamieto de las codicioes de libre competecia Libro Verde del Comercio, 997; Libro Blaco del Comercio, 999, así como cambios e su aturaleza Parra Guerrero, 005. Grades progresos e los sistemas de gestió de la iformació Park y Kig, 007; icremeto de los uevos métodos de veta como cosecuecia de los avaces tecológicos e comuicació Díez de Castro y Ferádez, 993; Kotler y Amstrog 003; Casares y Rebollo, 005; Ferádez et al, 008; Miquel Peris et al., 008, y ofertas de propuestas iovadoras ate las exigecias de los clietes Dawso y Frasquet, 006. Variacioes sustaciales e el etoro y, particularmete, e el cosumidor, e lo relativo a sus características socioecoómicas, hábitos, estilos de vida, valores, formació y educació Casares y Martí, 003. Esos cambios de plasma e la trasformació de los gustos y ecesidades de la sociedad modera que se ha multiplicado e cuato a complejidad, catidad y variabilidad Casares, 003; Parra Guerrero, 005; Kotler et al., 006 y que afecta directa o idirectamete a la gestió empresarial. Fortalecimieto, de maera determiate, del protagoismo de los aspectos fiacieros y de los costes empresariales e el seo de las orgaizacioes, así como desarrollo de uevos métodos y modelos de gestió e el marco de la logística Carrallo, 978; Díez de Castro, 99; Lambert et al., 998; Ballou, 004; Martíez y Maraver, 009; Aaya ejero, 0 y la distribució comercial aiz de Vicuña, 996b; Díez de Castro, 997; Casares y Rebollo, 005; Miquel Peris, 008; Roux, 009, orietados a proporcioar eficacia y eficiecia para la cosecució de los objetivos, así como ua mejor asigació de los recursos Parra Guerrero, 005. Como respuesta a todo ello, la logística empresarial y la distribució comercial se erige como áreas de gestió que tiee ua icidecia decisiva e la adaptació de las orgaizacioes a los cambios tecológicos, productivos y sociales. No cabe igua duda de que, hoy e día, facilitar el acceso de los clietes a los productos, hace que se icremete su demada y, por cosiguiete, los igresos de las empresas. Por ello, la gestió adecuada del movimieto de las materias primas y de los biees elaborados represeta ua de las preocupacioes fudametales de los resposables de las orgaizacioes implicadas e la logística y la distribució de artículos para el cosumo. E los siguietes apartados hablaremos de estas materias, cetrádoos e su evolució y la importacia que tiee e la geeració de vetajas competitivas detro del ámbito de la gestió empresarial. 34

23 ...- La actividad logística y su evolució coceptual Los procesos de cambio acaecidos e el mudo ecoómico colleva ua adaptació costate y permaete que tiee cosecuecias determiates para las orgaizacioes. Desde esa perspectiva, la logística es ua disciplia que ha evolucioado a lo largo del tiempo, cojutamete co las trasformacioes de la sociedad. La palabra logística, e su orige, se refería a la parte de la ciecia militar que calculaba, preparaba y realizaba todo lo relativo a los movimietos y las ecesidades de las tropas e campaña a fi de coseguir la máxima eficacia de ua operació Castá et al., 000. Como señala Ballou 99, la logística ace como u campo ovedoso e comparació co el resto de áreas más tradicioales de la empresa, tratádose de u proceso relacioado co la admiistració del flujo de biees y servicios, cuya pricipal fialidad cosiste e ofrecer ua respuesta eficaz y eficiete a ua demada cambiate y cada vez más exigete. A pricipios del siglo XX, la logística se ecotraba poco desarrollada detro del ámbito de la gestió empresarial y la preocupació pricipal de las orgaizacioes se cetraba, fudametalmete, e la fució de producció, ya que se podía veder fácilmete lo que se fabricaba Rufí, 00. Bajo esa óptica, la logística estaba costituida por actividades que era ecesarias pero o icorporaba valor Casares y Rebollo, 003. E esas etapas iiciales, e el ámbito académico, comezaro a aparecer las primeras aproximacioes al estudio de la fució logística, desde el campo de la ecoomía y el marketig ervera, 00. Es, aproximadamete, durate los años veite, cuado surgió el marketig como ueva disciplia cietífica cuyo objetivo fudametal, e sus primeras fases, cosistía e estimular la demada para absorber toda la producció dispoible Rufí, 00. Así, hasta los años cicueta, se produjo u predomiio de las fucioes de vetas y producció sobre las actividades logísticas que quedaro sileciadas debido a mercados que se ecotraba e permaete crecimieto y proporcioaba grades beeficios Ballou, 99. E esos primeros mometos, la fució logística se asociaba básicamete a las actividades de distribució física, e especial al trasporte y almaceamieto de productos Rufi, 00. Durate el trascurso de la seguda guerra mudial, cobró ua importacia otoria el movimieto de las tropas, el trasporte de material bélico y el sumiistro de mercacías, comezado a valorarse la ecesidad de articular ua logística eficiete que permitiera cubrir las ecesidades de los ejércitos Castá et al., 000. ermiada la cotieda bélica, la década de los años cicueta, geeró u clima adecuado para la 35

24 puesta e marcha de actividades de logística empresarial como cosecuecia de los cambios que se produjero e el cosumo, la presió de los costes e los balaces de las empresas y el progreso de la tecología, geerádose u clima adecuado para el desarrollo de modelos matemáticos y estadísticos orietados a abordar problemas logísticos reales que, etre otras fialidades, se ha ido aplicado a la gestió y al cotrol de ivetarios Wager y Whiti, 958; Colerus, 97; Vetsel, 983; Mathur y olow, 996; Hillier y Lieberma, 006; igh et al., 009. Es a partir de los años seseta cuado la logística, siguiedo los postulados del marketig, adquirió ua visió orietada hacia el cliete que se materializó e ofrecer u servicio ajustado a la satisfacció de sus ecesidades. Desde ese mometo, la fució logística e la empresa empezó a ser tratada como ua actividad de carácter estratégico geeradora de vetajas competitivas, ampliádose su ámbito de aplicació ervera, 00. Más adelate, la crisis de los años seteta obligó a reefocar las accioes de marketig pasado del estimulo de la demada hacia la mejora de la eficacia y eficiecia e la gestió de los recursos. Ello dio lugar a que las empresas optara por reducir sus ivetarios si dismiuir el servicio prestado a los clietes, surgiedo, de ahí, la ecesidad de plaificar y gestioar de forma itegrada la distribució, la producció y el aprovisioamieto Ballou, 99, defiiédose el cocepto de logística itegral Ket y Flit, 997; Casaovas y Cuatrecasas, 00; Ballou, 004. Efectivamete, las empresas comprediero que la optimizació de los costes sería mayor si gestioaba de forma ítegra y uificada todas las actividades logísticas Casares y Rebollo, 005. E los años ocheta, la fució logística comieza a ser cosiderada u elemeto clave para la difereciació de la empresa Ballou, 99, lo cual supoe idetificarla como ua variable básica de su estrategia, costatádose que permite obteer vetajas competitivas sosteibles, tato por la vía de la difereciació, como por la vía de la reducció de costes Metzer et al., 004. A partir de ahí, e los años oveta, la fució logística adquiere ua relevacia máxima detro de la gestió empresarial, cosiderádose ua variable estratégica para la difereciació respecto a la competecia, capaz de geerar valor para el cliete, aumetado su satisfacció y lealtad Metzer et al., 004. Por tato, como señala Castá et al. 000, se puede afirmar que ha sido ua de las áreas de la fució empresarial que ha evolucioado más rápidamete y de maera más sigificativa a lo largo de las últimas décadas, debido, fudametalmete, a la posibilidad de obteer vetajas competitivas a través de ella Porter, 00. E ese setido, la revisió de las publicacioes de los últimos años permite idetificar u 36

25 creciete iterés e el estudio de la itegració de la fució logística a lo largo de todo el caal de sumiistro co la fialidad de ofrecer u mayor valor al cliete fial ervera, 00. Desde ua perspectiva complemetaria, e lo que se refiere a su proceso evolutivo, la producció y el marketig se ha cocebido durate mucho tiempo como actividades separadas que ha coexistido detro de la orgaizació. La ecesidad de resolver esa falta de coordiació, que se ha traducido e la aparició de problemas para las orgaizacioes, ha geerado el surgimieto de uevos coceptos aplicados a la logística, que cosidera el exo etre la demada del mercado y las actividades de producció Pau y Navascués, 00. Figura.: Logística, producció y marketig Empresa Fuete: Elaboració propia ervera 00 señala que, recietemete, alguos autores ha plateado claras diferecias etre los térmios de distribució física y logística, ya que el primero abarca la gestió del flujo de productos termiados, mietras que el segudo comprede la gestió del flujo de mercacías, que comprede desde la fase del aprovisioamieto hasta la etrega de los productos termiados al cliete, siedo, por tato, la distribució física ua parte de la fució logística. Esa defiició amplia de la fució logística implica que o puede ser cosiderada meramete como u elemeto de la variable distribució del marketig mix, debido a que su dimesió itera y extera le permite alcazar u ivel superior e el orgaigrama fucioal de la orgaizació Gutierrez y Prida, 998; Ballou,

26 De esa maera, se cosidera que la logística aborda el estudio del cojuto de actividades que se desarrolla sobre los flujos materiales, iformativos, fiacieros y de retoro, desde u orige hasta u destio, co el objetivo de proporcioar a los clietes de la orgaizació u servicio de calidad, e el lugar y mometo oportuos, co u míimo de gastos Magee et al., 973; Bowersox, 974; Ballou, 99; Arboes, 99; Chase y Aquilao, 994; Prida y Gutierréz, 995; Levy, 997; Gómez y Acevedo, 000; Pau y Navascués, 00; Aaya ejero, 0. Para Cuatrecasas 000, la logística empresarial comprede la plaificació, la orgaizació y el cotrol de todas las actividades relacioadas co la obteció, el traslado y el almaceamieto de materiales y productos, desde la adquisició hasta el cosumo, a través de la orgaizació y como u sistema itegrado, icluyedo tambié todo lo referete a los flujos de iformació implicados, co el objetivo de satisfacer las ecesidades y los requerimietos de la demada, de la maera más eficaz y co el míimo coste posible. E cocreto, siguiedo al Coucil of Logistics Maagemet 998, la logística es la parte del proceso de gestió de la cadea de sumiistro ecargada de plaificar, implatar y cotrolar, de forma eficiete y efectiva, el almaceaje y flujo de los biees, servicios y toda la iformació relacioada co éstos, etre el puto de orige y el puto de de cosumo, co el propósito de cumplir co las expectativas del cosumidor o cliete. E ese setido, la cadea de sumiistro supply chai hace referecia al cojuto de empresas e itermediarios a través de los cuales el producto se mueve desde las fuetes de materias primas, pasado por los procesos de producció y llegado al cosumidor fial a través de la distribució Levy, 997; Hopp, 004. Por tato, como señala Porter 00, la gestió de la cadea de sumiistro supply chai maagemet es la estrategia a través de la cual se gestioa todas esas actividades de la cadea. Figura.: La cadea de sumiistro. Fuete: Ballou 004. Elaboració propia 38

27 Ballou 99, platea la clasificació de las tareas logísticas e dos grades áreas. Por ua parte, la que se refiere al sumiistro de las materias primas para la producció, que icluye actividades de trasporte, procesamieto de pedidos, compras, almaceaje, mateimieto y gestió de ivetarios y, por otra parte, la relativa a la distribució, situada etre las fábricas y los cosumidores, e la cual las actividades logísticas que se lleva a cabo so las mismas pero orietadas hacia los clietes de la orgaizació. Asimismo, Ballou 004 sostiee que el sistema logístico comprede el subsistema de logística de abastecimieto que agrupa las fucioes de compras, recepció, almaceamieto y admiistració de ivetario; el subsistema de logística de plata que abarca las actividades de mateimieto, seguridad idustrial y cuidado del medio ambiete; así como el subsistema de logística de distribució que comprede las actividades de expedició y distribució de los productos termiados hacía los diferetes mercados, costituyedo el exo etre las fucioes de producció y las de comercializació. Figura.3: El proceso logístico Fuete: Elaboració propia 39

28 egú Martiez y Maraver 009, ua estrategia logística tiee como objetivos la reducció de los costes asociados al trasporte y el almaceamieto de la mercacía, la miimizació del ivel de iversió e el sistema y las mejoras e los servicios prestados a los clietes. odo ello, cofigura ua actividad compleja, ya que es muy difícil compagiar esos tres objetivos de maera simultáea. De esa maera, se puede afirmar que la logística, como área detro de la empresa, surge co dos motivacioes claras pero atagóicas. Por ua parte, aumetar la calidad del servicio al cliete, garatizado las etregas a tiempo y e perfectas codicioes de los artículos y, por otra, reducir los elevados costes derivados del mateimieto y la gestió de los ivetarios Martíez y Maraver, 009. Además, la logística ofrece a los egocios reglas que permite a la direcció seguir, valorar, priorizar y cotrolar los distitos elemetos relacioados co el aprovisioamieto y la distribució que icide e la satisfacció del cliete, e los costes y e los beeficios Pau y Navascués, 00. La gestió logística e la empresa abarca el aálisis de la demada y su predicció, el aprovisioamieto, la gestió de almacees, la gestió de stocks y de pedidos, e icluso la logística iversa Cristopher, 994. E ese setido, existe u coseso geeralizado para muchos autores a la hora de afirmar que las fucioes del sistema logístico se puede agrupar e cico áreas pricipales de decisió: iveles de servicio al cliete, gestió del aprovisioamieto, gestió de almacees, gestió del trasporte y gestió de ivetarios. Desde esa perspectiva, se hace especial éfasis e la gestió de stocks como ua de las actividades clave de la logística que es esecial para el desarrollo del proceso de comercializació Carrallo, 978; Cuatrecasas, 999; Ballou, 004; Zermati, 004; Parra Guerrero,

29 ...- La logística y la geeració de vetajas competitivas E el cotexto actual, la globalizació de los mercados y la orietació de la empresa hacía la actividad productiva, a sus egocios básicos y al cliete, ha sido factores determiates para que la logística sea ua de las áreas de la gestió empresarial que más se ha desarrollado e los últimos tiempos y cuyo crecimieto será sosteido e el futuro Castá et al., 000. Ello se debe a que esta disciplia se está covirtiedo e uo de los factores clave del éxito de las empresas, siedo u elemeto determiate de su vetaja competitiva Porter, 00, al coseguir optimizar el flujo de materiales y su coste de maipulació, asegurado u ivel adecuado de servicio al cliete. Como señala Castá et al. 000, las empresas orietadas al cliete, co visió de egocio, debe buscar que toda la cadea de producció e su cojuto sea competitiva a través de añadir valor y reducir costes a lo largo de la misma. E ese setido, el valor añadido, que es u cocepto de carácter ecoómico, surge como cosecuecia de cambiar la forma, situació o dispoibilidad de u producto o servicio para que sea percibido e el lugar, forma y maera deseados por quie es su destiatario y, por tato, la geeració del mismo o tiee que fudametarse ecesariamete e los rasgos tagibles del producto, sio a través del servicio. Hoy e día, resulta difícil, para las orgaizacioes, mateer la vetaja competitiva úicamete co el producto, ya que los clietes tiee cada vez más posibilidades de obteer otros biees sustitutivos. Por ello, el potecial del servicio al cliete, como medio para obteer ua clara difereciació, ha ido cobrado u mayor protagoismo. De ahí que, para satisfacer la ecesidad del cliete sea preciso realizar diferetes actividades que comieza co la recepció de sus pedidos, cotiúa co la etrega del producto y sigue después de que éste haya sido sumiistrado Aaya ejero, 0; atesmases, 0. Desde esa perspectiva, la logística se coforma como ua herramieta que permite obteer vetajas competitivas, realizado servicios de valor añadido que icremeta la retabilidad de las orgaizacioes Christopher, 994; Porter, 00. Autores como atesmases 99, Lambi 993 y Kotler et al. 995, defie el valor añadido como la atribució o asigació de valor adicioal que hace el cosumidor o usuario, e reacció a la presecia, detro de la oferta, de elemetos de satisfacció que o está directamete relacioados co el producto e sí. Así, como sostiee Levy 997, el valor añadido que icorpora la logística e cada uo de los eslaboes del sistema logístico costituye u arma competitiva decisiva, que se maifiesta e la excelecia e el servicio de etrega, el liderazgo e la difereciació del producto, la gestió co u míimo de costo o el 4

30 servicio al cliete sobre la base de ua eficiete gestió de los ivetarios. Las empresas que utiliza la logística de maera estratégica busca explotar sus competecias características co la fialidad de alcazar, mateer y poteciar sus vetajas competitivas. El desarrollo de esas vetajas adquiere mayor relevacia cuado las orgaizacioes se efreta a mercados altamete competitivos. E ese setido, Porter 00 sostiee que se debe cosiderar a la vetaja competitiva, valorado la iteracció etre las diversas disciplias o áreas que iteractúa detro de la orgaizació, es decir, desde ua perspectiva holística o itegral de la empresa. Por tato, señala que la vetaja competitiva tiee su orige, fudametalmete, e el valor que ua empresa logra crear para su cliete, defiiedo el cocepto de valor como la suma de los beeficios percibidos por éste meos los costos percibidos al adquirir y usar u producto o servicio. Así, ua empresa obtiee vetaja competitiva haciedo sus actividades estratégicamete importates mejor que sus competidores o a u coste meor. Partiedo de las defiicioes expresadas e el epígrafe aterior, la logística está costituida por el proceso de plaificar, desarrollar y cotrolar el movimieto y almaceamieto, tato de flujos físicos como de iformació, a lo largo de la cadea de valor, es decir, el proceso que cosigue poer a disposició de los clietes los productos y servicios procedetes de las empresas e codicioes de máxima eficacia y míimos costes Aaya ejero, 0. De esa maera, la fució logística se emarca detro del cojuto de actividades primarias que compoe la cadea de valor de ua empresa. Por ello, como se cometó previamete, la logística se cosidera ua herramieta estratégica que permite obteer vetajas competitivas, realizado servicios de valor añadido que reduda e el icremeto de la retabilidad de las empresas, permitiedo coseguir ua cadea de sumiistro más eficaz y eficiete co respecto a la competecia Bowersox et al., 006. Así, se puede decir que la cadea de valor logística está costituida por ua serie de procesos que crea valor mediate la etrega de productos y servicios a los clietes y su objetivo cosiste e, ua vez determiado el ivel de servicio que se quiere ofrecer al cliete, hacerlo de la maera más ecoómica posible Gaesha y Harriso, 995; Ballou, 004. Desde ese puto de vista, la iquietud por ofrecer u bue servicio al cosumidor y la creciete competitividad que se exige hoy e día a las empresas, ha icremetado la importacia de la logística y el marketig e las orgaizacioes Parra Guerrero, 005. Las actividades que compoe la cadea de valor logística, so la suma de diferetes tareas o actividades, tales como la gestió de los aprovisioamietos, la gestió de las órdees de compra, la distribució, las operacioes de veta y el servicio postveta ofrecido por la empresa. De todo ello, se 4

31 desprede que la gestió de la cadea de sumiistro, cosiste e la itegració de los procesos eseciales de egocio, desde los proveedores iiciales al cosumidor fial, proporcioado productos, servicios e iformació que icorpore valor para los clietes y el cojuto de los participates, lo cual supoe ua itegració e la direcció y e los procesos a lo largo de la cadea de sumiistro Lambert et al., 998. Gráfico.: Geeració de valor añadido a lo largo de la cadea de sumiistro Valor añadido Aprovisioamieto Almaceamieto Fabricació rasporte Almaceamieto Distribució Fuete: Aaya ejero 0. Elaboració propia Por su parte, Bowersox et al. 000, platea el cocepto de valor como ua combiació de eficiecia, efectividad y relevacia. Así, diferecia etre la geeració de valor ecoómico, que busca la cosecució de ecoomías de coste para operar y geerar eficiecia e el mercado; el valor de mercado, que se costruye desde la efectividad de la relació co los caales de distribució y se basa e la dispoibilidad de ua gama amplia de productos; y el valor relevate que se fudameta e realizar u esfuerzo e difereciar el producto o servicio, de tal maera que sea úico para los clietes de la orgaizació. Como sostiee Kotler et al. 000, la clave del éxito de las orgaizacioes e el mercado descasa e sus habilidades para atraer y reteer a sus clietes, mediate la creació de valor, satisfaciedo sus ecesidades y, desde esa perspectiva, ua logística itegrada, tato itera como exteramete, cotribuye a geerar ese icremeto de valor Bowersox, et al., 006. iguiedo a Metzer et al. 00, la excelecia logística es ua fuete de vetajas competitivas que permite mejorar, de maera sigificativa, la estrategia competitiva de las orgaizacioes, proporcioado ua mayor eficiecia, lo cual se traduce e costes más 43

32 bajos, co los cosiguietes icremetos de participació e el mercado o de retabilidad, así como e ua mejora del servicio al cosumidor, co ciclos de pedidos más cortos y mayor dispoibilidad de stocks. Casaovas y Cuatrecasas 00, argumeta que la cosideració estratégica de la actividad logística se basa e la capacidad de itegrar las fucioes de producció y de marketig e u primer mometo y, progresivamete, al resto de actividades de valor de la empresa. Por su parte, como sostiee Aaya ejero 0, la logística itegral se basa e ua filosofía cocreta para el cotrol del flujo de materiales. e podría decir que es ua especial cultura de la direcció de la empresa, ate u etoro competitivo, e el cual los coceptos de oportuidad y rapidez e el sumiistro de productos, así como los de servicio y calidad total, costituye u complemeto imprescidible a las clásicas variables de calidad del producto y precio competitivo que exige el mercado. De esa maera, hoy e día se puede afirmar que el cocepto de logística itegral a largo plazo es el úico camio para mateer ua competitividad cotiuada e el mercado, dismiuyedo, a su vez, de forma drástica la iversió global e stocks, co el cosiguiete aumeto de la retabilidad de las diferetes uidades operativas de la orgaizació. 44

33 ..3.- El marketig, la distribució comercial y el servicio al cliete La relació etre las actividades de marketig co la logística y la distribució comercial es ítima e itesa, hasta el puto de que, depediedo del efoque aplicado a su aálisis, es complejo establecer sus respectivos límites y diferecias. El acimieto de la logística al amparo del marketig, como disciplia cietífica, hace que posea ua historia y coteidos claramete compartidos. La mayor parte de los autores coicide al cocebir el marketig como u sistema total de actividades, que icluye u cojuto de procesos mediate los cuales se idetifica las ecesidades y deseos de los cosumidores para satisfacerlas de la mejor maera posible, promoviedo el itercambio de productos y/o servicios de valor co ellos, a cambio de ua utilidad o beeficio para la empresa u orgaizació Cruz Roche, 99; Marti Armario, 993; Lambi, 993; Miquel Peris et al., 995; Vázquez y respalacios, 00; Kotler et al., 006; Esteba alaya et al., 008; Rufi, 00. Por su parte, la America Marketig Associatio A.M.A., 985, lo defie como el proceso de plaificar y ejecutar el cocepto, precio, promoció y distribució de ideas, biees y servicios para crear itercambios que satisface los objetivos de cosumidores, empresas y orgaizacioes. Figura.4: Elemetos cetrales del marketig Fuete: Kotler et al Elaboració propia 45

34 Para tato 985 el marketig cosiste e u sistema total de actividades empresariales ecamiadas a plaificar, fijar precios, promover y distribuir productos y servicios que satisface las ecesidades de los cosumidores actuales y poteciales. egú atesmases 99, es u modo de cocebir y ejecutar la relació de itercambio, co la fialidad de que sea satisfactoria a las partes que iterviee y a la sociedad, mediate el desarrollo, distribució y promoció, por ua de las partes, de los biees, servicios o ideas que la otra parte ecesita. Kotler et al. 000 añade que es ua actividad humaa dirigida a satisfacer las ecesidades y los deseos mediate procesos de itercambio, de maera más eficaz y eficiete que los competidores. La ueva revisió de su defiició A.M.A., 008 describe al marketig como ua fució de las orgaizacioes y u cojuto de procesos orietados a crear, comuicar y etregar valor a los cosumidores, clietes, socios y a la sociedad e geeral. De ahí que la gestió del marketig sea el arte y la ciecia de elegir mercados y lograr mateer y aumetar el úmero de cosumidores mediate la creació, etrega y comuicació de u valor añadido superior para el cliete atesmases, 0. Por su parte, la distribució comercial es ua de las materias que mayor tratamieto ha recibido e la literatura de la gestió empresarial y el marketig, como cosecuecia de su importacia capital e la eficacia y eficiecia de cualquier sistema ecoómico Díez de Castro, 997. La separació geográfica etre comprador y vededor, y la imposibilidad de situar el cetro de fabricació frete al cosumidor, hace ecesario el traslado de los biees y servicios desde su lugar de producció hasta el cliete. De ahí, que la mayor parte de los autores coicida e eteder por distribució comercial al cojuto de operacioes llevadas a cabo para que el producto recorra el camio que dista desde su puto de producció hasta el de cosumo, satisfaciedo al máximo la demada del mercado e las diferetes vertietes de plazo, coste, calidad y oportuidad Miquel Peris et al., 995; De Jua Vigaray, 005; Casares y Rebollo, 005. Lógicamete, los esfuerzos de marketig realizados por las orgaizacioes resulta ieficaces si, e última istacia, el producto o se ecuetra e el puto de veta dode el cosumidor pueda adquirirlo Kotler et al., 000. De ahí que, la distribució, como istrumeto que relacioa la producció co el cosumo, tega como misió pricipal poer el producto a disposició del cosumidor fial e la catidad demadada, e el mometo e que lo ecesite, e el lugar que desee o pueda adquirirlo Cruz Roche, 99; Díez de Castro, 997; De Jua Vigaray, 005; Miquel Peris, 008, y todo ello co el míimo coste posible. Es preciso resaltar que la distribució comercial se cofigura como ua posible fuete de vetaja competitiva, e la medida e que ayuda a que las empresas asegure ua mejor posició e el mercado de maera sosteible. Como aspectos básicos de esta disciplia hay que destacar que su epicetro, al igual que e el marketig, es el itercambio. Además, como istrumeto de marketig, requiere de ua adecuada 46

35 plaificació y cotrol, así como de u diseño estratégico Kotler, et al., 000. A ello hay que añadir que debido a los costates cambios producidos e la oferta y la demada, tiee u carácter diámico y, debidamete gestioada, costituye ua fuete de vetaja competitiva al servicio de la orgaizació Díez de Castro, 997. Efectivamete, para la mayoría de los autores, la distribució comercial es u área de decisió caracterizada por su aturaleza estratégica, co icidecia e el largo plazo, dada su complejidad, ya que se debe adoptar decisioes sobre múltiples aspectos relacioados etre sí, así como por la estrecha relació que tiee co otras áreas de decisió y co los objetivos geerales de la empresa. Asimismo, desde la perspectiva del aálisis estratégico de la empresa, la distribució comercial se cofigura como ua de las disciplias del marketig que puede cotribuir a la difereciació competitiva, y a ua mayor eficacia y eficiecia e la gestió comercial Díez de Castro, 997; Vázquez y respalacios, 006. Ua de las características de la evolució ecoómica actual es el costate aumeto de los costes de distribució y las elevadas cifras que éstos alcaza Díez de Castro y Ferádez, 993. El coste total de la distribució comercial se podría defiir como el total de gastos e que se icurre a lo largo del proceso de itermediació, para hacer dispoibles, temporal y espacialmete, los productos a los cosumidores. Más exactamete, se trata de los costes derivados de las actividades mayoristas y mioristas, así como de las fucioes de trasporte, almaceamieto, fraccioamieto, trasmisió de la propiedad, fiaciació, iformació y asució de riesgos Díez de Castro, 997. Por ello, las empresas trata de equilibrar la mayor exigecia de servicios comerciales por parte de los clietes, co la geeració de costes que estos implica Ferádez et al., 007. La distribució comercial se puede aalizar desde el puto de vista de los fabricates y el de los itermediarios. Desde el puto de vista de los fabricates, al igual que el resto de variables cotrolables por la empresa, forma parte de la oferta del mercado, y su orgaizació, ejecució y cotrol ha de plaificarse co el máximo cuidado. Desde el puto de vista de los distribuidores o itermediarios, hace referecia a la actividad fial, así como a los pasos ecesarios para hacer llegar u producto, o facilitar servicios, a los cosumidores Díez de Castro, 997. Por lo tato, el papel que juega la distribució comercial e los sistemas ecoómicos desarrollados cosiste e posibilitar que los dos ejes fudametales que los susteta, la producció y el cosumo, fucioe de maera adecuada, precisa y armoizada Díez de Castro y Ferádez, 993. De ahí que el sistema comercial haga de puete etre el mometo iicial y fial del ciclo de los productos, covirtiédose 47

36 e u istrumeto cada vez más relevate a medida que se icremeta los itercambios, el desarrollo del cojuto de actividades y el ivel de exigecia de los cosumidores, creádoles utilidad de lugar, de tiempo, de forma y de posesió Vázquez y respalacios, 997. La utilidad de forma se refiere a la trasformació e volume y composició de la mercacía, haciédola más adecuada y dispoible al cosumo fial; la utilidad de tiempo poe el producto a disposició del cosumidor e el mometo que éste lo precisa; la utilidad de lugar se geera mediate el establecimieto de suficietes putos de veta e lugares próximos a los lugares e los que el cosumidor ecesite el producto; y la utilidad de posesió se produce co la etrega del producto para su cosumo o disfrute. Estas utilidades creadas para los cosumidores, tiee ua relació directa co los servicios que a su vez geera a los productores, que so los de trasporte, almaceamieto, fraccioamieto del producto, iformació, fiaciació y asució de riesgos Díez de Castro, 997; Vázquez y respalacios, 006. Uo de los primeros pasos de la plaificació estratégica, para la comercializació de los productos, cosiste e ecotrar las asigacioes de demada que produzca el meor coste, así como fijar o determiar el servicio a ofrecer al cosumidor Díez de Castro, 997. Gráfico.: Relació etre ivel de ivetario y el servicio al cliete ervicio al cliete Nivel de ivetario Fuete: García abater et al Elaboració propia 48

37 Así, como señala García abater et al.005, el servicio al cliete tiee ua relació asitótica co el ivel de ivetario dispoible o existete ya que cuato mejor es el ivel de servicio ofrecido, mayor es la ecesidad de ivetario adicioal para mejorarlo. La fució del decisor cosistirá e modificar los parámetros para ofrecer u mejor servicio al cliete co meor ivetario. Por tato, co la fialidad de realizar ua eficiete plaificació e el almacé, es ecesario establecer los iveles de stock adecuados para satisfacer la demada de los clietes, y para determiar los iveles óptimos de servicio es ecesario establecer la relació etre las vetas y el servicio logístico a proporcioar al cosumidor, así como la relació etre los costes del servicio y el ivel a ofertar del mismo. E todo caso, la política de servicio que se establezca ha de guardar u equilibrio etre el servicio óptimo que desearía los cosumidores y el coste que éste supoe Parra Guerrero, 005. A medida que se icremeta los iveles de servicio al cliete para satisfacer mayores demadas del mismo, los costes aumeta progresivamete. Dado que existe u puto e la curva dode se maximiza los beeficios, éste será el ivel de servicio ideal o meta a platearse por el sistema logístico Aaya ejero, 0. 49

38 ..- Modelizació matemática e la Ecoomía de la Empresa La Ecoomía de la Empresa es ua ciecia que se ha ido cofigurado mediate la itegració permaete de diferetes materias de coocimieto y áreas de ivestigació, recogiedo coteidos que pueda ser de utilidad para la toma de decisioes ecoómicas e la orgaizació empresarial oldevilla, 986. u fialidad específica cosiste e el logro de la eficacia y la eficiecia e la direcció y admiistració de las empresas para alcazar sus objetivos, lo cual diferecia y determia su coteido cietífico García Echevarría, 975. Así, costituye, por ua parte, u sistema objetivo y uiversal que pretede explicar feómeos e u campo exteso de la realidad y, por otra, u sistema idividualizador, referido a problemas cocretos surgidos e el ámbito de la actividad empresarial oldevilla, 995. ambié, es importate resaltar que la Ecoomía de la Empresa es ua disciplia que respode a los plateamietos de las ciecias básicas, auque es ecesario complemetarla co u marco de referecia histórico oldevilla, 987a. De esa maera, como ciecia básica ha de ser iterpretada a la luz de las matemáticas, para coseguir ua racioalizació lo más exacta y precisa posible de la realidad, iterpretado las relacioes que se da etre los diversos feómeos empresariales a los que tiee acceso la acció directiva, para costituir u cuerpo sistematizado de relacioes formales explicativas del acotecer empresarial oldevilla, 986. Autores como Bueo et al. 996 sostiee que el equilibrio ecoómico de la empresa se susteta e las codicioes de racioalidad establecidas co u fi optimizador. No obstate, debido a la complejidad de la orgaizació empresarial y a la dificultad para cuatificar todos los aspectos de la realidad, suele resultar difícil alcazar codicioes óptimas, lo que coduce a plateamietos de equilibrio del tipo de suboptimizació o satisfacció de los agetes implicados Rodríguez Castellaos et al., 005. Como señala Guteberg 973, la Ecoomía de la Empresa se susteta e el pricipio de ecoomicidad o racioalidad ecoómica de la actividad empresarial, para la búsqueda de la solució más favorable; el pricipio de productividad de los recursos o eficiecia, que compara los productos obteidos y los medios empleados; así como el pricipio de retabilidad del capital o eficiecia ecoómica, obteida de la aplicació de los recursos a la actividad de la orgaizació. E la Ecoomía de la Empresa, el método debe aportar ua visió de la realidad que respoda a ua iterpretació verdadera y ofrecer u sistema operativo capaz de aportar solucioes a los problemas reales 50

39 plateados mediate el uso de procedimietos matemáticos Ferádez Pirla, 98. E cocreto, el método matemático se basa e las relacioes que puede establecerse etre los elemetos defiidos e el sistema de axiomas, postulados y reglas propias de la ciecia matemática, estableciedo procedimietos covecioales para poder cuatificar la realidad oldevilla, 995 e icorporado los imperativos matemáticos de simplicidad, geeralidad y rigor Debreu, 99. Así, esta disciplia, al poseer, e parte, las características de ciecia básica mecioadas ateriormete, puede aplicar la matemática a su objeto de estudio, siempre que los problemas tratados ivolucre variables cuatificables que refleje el comportamieto del sistema a estudiar. La cocepció de la empresa como u sistema, costituido por partes o subsistemas que iteractúa etre sí e iteraccioa co su etoro, evolucioado hacía uos fies u objetivos que se supoe bie defiidos, es la aceptació de lo complejo arabia, 996. El problema es que, a medida que se percibe la complejidad y la especializació de ua orgaizació o sistema, se hace más difícil la adopció de decisioes correctas relativas a la asigació de los diferetes recursos dispoibles, e orde a coseguir la mayor eficacia de la orgaizació, cocebida como u sistema global. La itegració de coocimietos procedetes de muy diversos ámbitos ha llevado a la Ecoomía de la Empresa a su actual cofiguració multidiscipliar. No obstate, como elemeto uclear de la misma, sigue teiedo como objeto material a la empresa y las relacioes co su etoro, desde el puto de vista de la admiistració y la gestió de los recursos dispoibles, y teiedo e cueta pricipios como la eficacia, la eficiecia y la adaptació competitiva, etre otros Rodríguez et al, 005. E la actualidad, la modelizació matemática es esecial para el progreso de la ecoomía, tato desde u puto de vista teórico como para la adopció de decisioes empresariales. Como señala Oreja 993, las matemáticas so de gra utilidad e muchos campos del saber, ya que obliga al teórico a delimitar los problemas, proporcioado u campo de aálisis para su resolució, o la reducció a iveles más simples de aquellos que alcaza u alto grado de complejidad. La ecesidad de proporcioar u soporte riguroso a la toma de decisioes ha poteciado que se desarrollara espectacularmete, juto co la Ecoomía de la Empresa, la ciecia de la Ivestigació Operativa, cuyo pricipal objetivo cosiste e ayudar cietíficamete a resolver problemas reales. De esa maera, se puede afirmar que las solucioes que aporta, cojutamete co el bue juicio, la experiecia y el discerimieto, so herramietas clave e el proceso de gestió empresarial Mathur y olow,

40 .3.- La Ivestigació Operativa y su aplicació a la logística empresarial Como materia básica y fudametal e la toma de decisioes, la Ivestigació Operativa es ua ciecia y u arte. Es ua ciecia por las técicas matemáticas co las que trabaja, y es u arte porque el éxito de todas las fases que atecede y sigue a la resolució del modelo matemático depede mucho del proceso de modelizació realizado por el factor humao Mathur y olow, 996; Hillier y Lieberma, 006. Las primeras actividades formales de la ciecia de la Ivestigació Operativa se diero e Iglaterra durate la eguda Guerra Mudial, cuado se ecomedó a u equipo de cietíficos adoptar decisioes acerca de la mejor utilizació de los materiales bélicos dispoibles. Al térmio de la guerra, las ideas formuladas e operacioes militares fuero adaptadas para mejorar la eficiecia y la productividad e el sector civil Colerus, 97, resurgiedo el iterés por los modelos matemáticos, así como desarrollado y mejorado uevas herramietas cuatitativas para la toma de decisioes. Durate las siguietes décadas cotiuó el auge de estas técicas y e los últimos tiempos, los avaces e las uevas tecologías de la iformació y la comuicació, ha cotribuido a relazar aú co más fuerza el iterés por estos modelos. E térmios geerales, podemos decir que la Ivestigació Operativa recoge ua filosofía de actuació del ser humao ate los diferetes problemas co los que se efreta e la vida real. E ese setido, existe diferecias a la hora de eteder y delimitar las atribucioes y el campo de acció de esta disciplia, lo que lleva a o teer ua úica defiició cocisa y clara arabia, 996; Hillier y Lieberma, 006. Para uos autores, es u cuerpo de materias formado por problemas y técicas de solució que surge, fudametalmete, e los campos de la gestió empresarial, e la plaificació logística y e la distribució comercial. Para otros, es ua actividad itelectual más amplia que requiere u compedio de coocimietos y que, por su propia aturaleza, permite su aplicació e la resolució de muchos problemas dode se busca optimizar uos objetivos. Miller y tarr 960 defie la Ivestigació Operativa como la aplicació de la teoría de la decisió, recurriedo a cualquier medio cietífico, matemático o lógico, para tratar de cotrolar los problemas a los que se efreta la direcció, cuado iteta aplicar la racioalidad e el tratamieto de los problemas de toma de decisioes. E la mayoría de las ocasioes, a la hora de describirla, se cita las defiicioes propuestas por las dos sociedades de referecia a ivel mudial como so la Operatioal Research ociety of Uited Kigdom OR y la Operatios Research ociety of America ORA. Ambas destaca que la Ivestigació Operativa se caracteriza por su validez para tomar decisioes detro de los sistemas u orgaizacioes, el uso de modelos como su esecia, el empleo del efoque cietífico mediate el 5

41 aálisis cuatitativo, así como su casi ilimitada amplitud de aplicacioes. Ua defiició que sitetiza y resalta las características fudametales de esta disciplia establece que es aquel cojuto de modelos, desarrollos teóricos y procedimietos algorítmicos que permite abordar la solució de problemas reales, itetado optimizar cierta medida de eficiecia o fució objetivo Vetsel, 983; Rios, 995; Mathur y olow, 996. Desde esa perspectiva, es imprescidible destacar que u elemeto esecial de esta materia es su capacidad de abstracció para realizar la modelizació matemática de los problemas reales Ackoff y asiei, 97; hambli y teves, 975; chroeder, 99; Moks, 994; Eppe y Gould, 000; aha, 004; Hillier y Lieberma, 006. Para la resolució de los problemas e los sistemas u orgaizacioes, se utiliza ua metodología que se apoya e el proceso de modelizació Rios, 995, como represetació simplificada de algú sistema real Prawda, 99, de forma que se pueda trabajar e u marco apropiado que permita buscar las mejores solucioes posibles a los problemas plateados. Auque sea meos completo que el sistema al cual sustituye, y a pesar de las dificultades que se puede origiar al represetar problemas reales a través del recurso a los modelos, existe múltiples razoes positivas para su utilizació e la ivestigació, e lugar de trabajar directamete sobre la realidad Rios, 995. Etre las pricipales razoes se ecuetra el ahorro de diero, tiempo u otro bie de valor, el evitar riesgos de daños al sistema real cuado se está solucioado el problema, así como eteder mejor las codicioes y el etoro que rodea al sistema cuado éste es muy complicado. E todo caso, es preciso destacar que, e la actualidad, la complejidad de los problemas y la imprecisió de las situacioes ha hecho ecesario itroducir esquemas matemáticos más flexibles y adecuados al etoro empresarial cotemporáeo arabia, 996. Además, e todo proceso de decisió va implícito u cierto ivel de riesgo, ya que existe elemetos, o cotrolables por parte del decisor, que puede modificar su eficacia, por lo cual u aálisis sistemático de las variables que ifluye e el proceso decisor puede hacer dismiuir, de maera cosiderable, ese ivel de riesgo Mirada et al., 005. E ese setido, auque la solució del modelo matemático establece ua base para tomar ua decisió, se debe teer e cueta factores itagibles o o cuatificables, como por ejemplo, el comportamieto humao para llegar a ua decisió fial aha, 004; Hillier y Lieberma, 006. Efectivamete, e la toma de decisioes el aálisis puede tomar dos formas: cualitativo y cuatitativo. El aálisis cualitativo se basa pricipalmete e el juicio y experiecia del decisor y es más u arte que ua ciecia, mietras que el aálisis cuatitativo se cocetra e hechos medibles o datos asociados co los problemas, y desarrolla expresioes matemáticas que describe las relacioes existetes e ellos, 53

42 obteiedo resultados co los que se hace recomedacioes basadas e los aspectos cuatitativos del problema Hillier y Lieberma, 006. De ahí que, e alguas situacioes, cuado el problema, el modelo y los isumos permaece iguales, el aálisis puede llevar a adoptar ua decisió automática co los resultados obteidos al usar los métodos cuatitativos adecuados. Evidetemete, e otros casos, el aálisis cuatitativo es sólo ua ayuda para tomar la decisió y sus resultados debe ser apoyados co iformació de carácter cualitativa. Los modelos matemáticos utilizados e el marco de la Ivestigació Operativa so la base del aálisis cuatitativo y represeta sistemas del mudo real, cuatificado sus variables y combiádolas e expresioes y fórmulas matemáticas. Así, éstos permite capturar características selectas de u sistema, proceso o realidad, combiádolas e ua represetació abstracta del origial Mathur y olow, 996. Por tato, como señala Eppe y Gould 000, se trata de idealizacioes de problemas de la vida real basadas e supuestos claves, relacioado variables de decisió co parámetros o coeficietes fijos que, frecuetemete, busca maximizar o miimizar ua fució objetivo sujeta a restriccioes. La Ivestigació Operativa, al ser u campo cietífico dedicado al estudio y resolució de problemas reales, itegra como parte esecial el aálisis de los problemas de optimizació y cotrol Moks, 994. E muchos de los problemas a aalizar se desea optimizar, e geeral, u cojuto de fucioes e u cotexto de restriccioes represetadas, e la mayoría de los casos, por otras fucioes que defie u cojuto de posibilidades para elegir la correspodiete solució óptima. La programació matemática se ocupa etoces de edificar ua estructura de coceptos, propiedades, algoritmos, etc., co los que se pretede resolver problemas de optimizació formulados matemáticamete chroeder, 99. i bie, la programació matemática proporcioa u cojuto de técicas y procedimietos geerales para la optimizació de fucioes objetivo, existe u cojuto de métodos específicos que estudia problemas reales e diversas materias recogidas e la Ivestigació Operativa, como puede ser la plaificació y secueciació de tareas o actividades, la programació de proyectos, la teoría de colas, el aálisis de redes, la localizació de servicios y la gestió de los ivetarios. Esta última tiee u eorme iterés empresarial, así como ua importate icidecia estratégica e los resultados de las orgaizacioes, debido a su aplicació a los sectores productivo y comercial de la ecoomía. 54

43 .4.- La gestió y el cotrol de ivetarios e el marco de la Ivestigació Operativa y la Ecoomía de la Empresa E el ámbito de la Ecoomía de la Empresa y de la Ivestigació Operativa, el cotrol de los ivetarios es, por excelecia, ua de las disciplias más estudiada por parte de los académicos, para la adopció de decisioes empresariales. La cosideració del ivetario como ua imovilizació fiaciera lo covierte e u valor ecoómico determiate para las orgaizacioes, ya que esas iversioes represeta ua gra proporció de sus activos ersie, 988. De ahí que su eficiete admiistració se haya covertido e u factor crítico de la cadea de sumiistro para lograr los objetivos de gestió de la orgaizació. Figura.5: La adopció de decisioes empresariales Ecoomía de la Empresa Adopció de decisioes Ivestigació Operativa Fuete: Elaboració propia El almaceamieto de stocks es ua actividad ecoómica que tiee como objetivo la satisfacció de las ecesidades humaas co medios materiales escasos, apropiados y susceptibles de usos alterativos. Castañeda 979 etiede como la utilidad de u bie su capacidad para satisfacer ua ecesidad, etedida e el setido de deseabilidad. Por tato, la utilidad es la cualidad que posee los biees para satisfacer los deseos y tiee u carácter objetivo y subjetivo a la vez, siedo ua medida del beeficio o satisfacció que el idividuo recibe por la posesió de diversas catidades de distitos biees y servicios. De ahí que, si se cosidera a los stocks como biees ecoómicos, éstos tiee su razó de ser e la utilidad que reporta, pues permite dispoer de u artículo atediedo a los requerimietos del cliete Parra Guerrero,

44 El térmio stock es u cocepto estático que idica depósito de mercacías, materias primas u otro objeto cualquiera, mietras que la expresió gestió de stock, tiee ua cootació totalmete diámica, como cualquier aspecto de la gestió empresarial Parra Guerrero, 005. La mayor parte de las defiicioes del cocepto de ivetario so coicidetes al afirmar que este térmio se refiere a acumulacioes de materias primas que espera ser utilizadas e la producció de artículos, compoetes, productos semitermiados o productos almaceados temporalmete durate el proceso de producció y productos termiados que iterviee e diferetes putos a lo largo del caal logístico de la empresa Zermati, 004; Parra Guerrero, 005. ambié, puede cocebirse como la catidad de artículos, mercacías y otros recursos ecoómicos que so almaceados o se matiee iactivos durate u determiado período, variado e catidad co el tiempo, e respuesta al proceso de demada que los reduce y el proceso de abastecimieto que los eleva. Figura.6: Ciclo de ivetario e la cadea de sumiistro Fuete: Elaboració propia 56

45 Al hablar de existecias e almacé o ivetarios, hay que cosiderar el stock activo o cíclico que se costituye para hacer frete a las exigecias ormales del proceso productivo o de los clietes. Éste alcaza su valor máximo cuado llega u pedido al almacé, cosumiédose progresivamete e el trascurso del tiempo hasta que fialmete se agota totalmete, recuperado su valor máximo cuado llega u uevo pedido al almacé y reiterado este proceso de maera sucesiva Waters, 99. Por otra parte, ha de teerse e cueta el stock de seguridad que complemeta al stock activo y se costituye para hacer frete a las demoras e el plazo de etrega de los proveedores o a ua demada extera o esperada, o siedo ecesario cuado la demada es coocida. La adecuada gestió y cotrol de los ivetarios ha sido siempre u capítulo estratégico de gra relevacia e la ciecia empresarial, ya que la mayor parte de los autores coicide e que es ua de las áreas que ofrece mayores posibilidades para coseguir ua reducció de los costes Atier, 969; Carrallo, 978; Waters, 99; Cuatrecasas, 999; Ballou, 004; Parra Guerrero, 005. E esa líea, es preciso destacar que los costes derivados del almaceamieto de los productos tiee u protagoismo esecial detro de los costes empresariales. Desde esa perspectiva, como sostiee Parra Guerrero 005, ahora más que uca, se ha de procurar la protecció del beeficio empresarial mediate mecaismos distitos del icremeto de las vetas y de los igresos. al es así, que es probable que la palabra clave hoy e la gestió empresarial sea la productividad más que el crecimieto, cofigurádose el cotrol de stocks como ua de las parcelas de actividad de la empresa que ofrece mayores posibilidades de reducció e los costes, si merma e la eficacia. La depedecia de las áreas orgaizativas de la empresa co respecto a la gestió de stocks, o iterdepedecia de la gestió de los stocks co respecto a los diferetes subsistemas de la empresa es sumamete relevate Ballou, 004. Así, se puede afirmar que cualquier departameto o área orgaizativa de la empresa depede directa o idirectamete de los stocks y de su gestió. Por ello, frecuetemete, hay que estimar como u todo el sistema costituido por el cojuto de la red de distribució comercial, los cetros de expedició, las actividades de producció, los almacees y el departameto de aprovisioamieto. Por su parte, el cotrol de los stocks está tambié elazado co la previsió de las vetas, la plaificació de la producció y la política de reposició. El o compreder hasta qué puto estas áreas so iterdepedietes, puede coducir a la empresa a tomar decisioes que icremete sus costes y reduzca su retabilidad. Efectivamete, la gestió, admiistració y cotrol de los ivetarios se deriva de la importacia que tiee las existecias para la empresa, siedo esta actividad u elemeto básico e la cadea de abastecimieto, y costituyedo uo de los aspectos logísticos más complejos para cualquier orgaizació de 57

46 cualquier sector ecoómico Cuatrecasas, 999. Esta fució está destiada a optimizar el cojuto de elemetos almaceados por la empresa, coordiado las ecesidades físicas del proceso productivo co sus ecesidades fiacieras. El objetivo fudametal cosiste e mateer u ivel de ivetario que permita, a u míimo costo, proporcioar u máximo ivel de satisfacció a los clietes, asegurado la disposició de los materiales e las mejores codicioes ecoómicas para cubrir sus ecesidades y las del proceso productivo Zermati, 004; Aaya ejero, 0. Por tato, las técicas de gestió de stocks tiee etre sus pricipales fies cociliar la miimizació de los costes de almaceamieto de los productos, co hacerlos llegar al cliete, si que éste tega que icurrir e tiempos de espera, o logrado que este tiempo sea el míimo posible, permitiedo maximizar las vetas y los beeficios Christopher, 994; Domíguez Machuca et al., 995; Lambert et al., 998; Cuatrecasas, 999; Aaya ejero, 0. De acuerdo co García abater et al. 005, el objetivo pricipal de la gestió de ivetarios ha sido el de maximizar la retabilidad de la compañía, miimizado el costo de capital imovilizado e el ivetario y al mismo tiempo satisfaciedo los requerimietos de servicio al cliete. Gráfico.3: Optimizació del servicio Costes Costes de vetas perdidas Costes de posesió de stocks Nivel óptimo de ivetario Nivel de servicio 00% Fuete: Aaya ejero 0. Elaboració propia 58

47 Los elemetos críticos que debe cosiderarse para la toma de decisioes e los procesos de gestió de ivetarios tiee que ver co su distribució, el tipo de producto, la demada, así como los sistemas de proóstico que sirve para determiar su evolució e base a las ecesidades de los cosumidores Parra Guerrero, 005. Por ello, el problema fudametal de la gestió de stocks se cetra e determiar cuál debe ser la catidad que se debe mateer e el almacé para evitar la ruptura del proceso productivo, así como el establecimieto de la iversió máxima e existecias, cosiderado que cuato mayor sea la catidad de elemetos almaceados, meor será el riesgo de ruptura de stocks y mayores será los costes e los que se icurrirá Norbert, 98; Aaya ejero, 0, icluyedo el coste de oportuidad derivado de la imovilizació de recursos fiacieros materializados e existecias. E relació co la gestió de stocks, Roux 00 distigue etre la adopció de decisioes estratégicas y tácticas. Las decisioes estratégicas pretede determiar qué artículos hay que teer e almacé y e qué catidad, así como seleccioar las formas de aprovisioamieto. Por su parte, las decisioes tácticas u operativas comprede el cotrol de las etradas y salidas de artículos del almacé, el coocimieto de su estado, la vigilacia costate de su ivel, la comprobació de su procedecia, la admiistració de las etregas, la elecció de las fuetes de abastecimieto, así como la realizació de los pedidos. La gestió del ivetario ha de implemetar las políticas operativas para mateer y cotrolar los biees que se va almacear Chase y Aquilao, 994. De ahí que mateer iveles adecuados de stocks, permita a la orgaizació mateer ua mayor idepedecia e las operacioes, ajustarse a las variacioes de la demada, flexibilizar la programació de la producció, proporcioar marge de tiempo para la etrega de los productos, sacar u mejor redimieto al tamaño del pedido de compra y ofrecer u mejor servicio al cliete Aaya ejero, 0. El ivel míimo de existecias e almacé ha de reovarse al ritmo codicioado por la demada del proceso productivo y de los clietes, lo cual determia su ídice de rotació, cosiderado que el objetivo de u sistema de reposició de ivetario supoe llevar a cabo u balace etre el coste de mateer los iveles de stock y el servicio que se presta a los clietes Rustho y Oxley, 989; García abater et al., 005. La decisió que se debe adoptar se cetra e decidir etre teer altos iveles de stock, que proporcioará altos iveles de servicio a los clietes, o teer bajos iveles de stock, que geerará meores costes Zipki, 000; Zermati, 004. E ese setido, las desvetajas de poseer bajos iveles de stocks se traduce e que los pedidos o puede satisfacerse de maera ítegra, lo cual podría llevar a ua pérdida, tato de clietes reales como poteciales. Por su parte, mateer elevados iveles de ivetario puede supoer importates 59

48 desvetajas debido a que el capital almaceado podría estar ivertido e otros activos más productivos, a lo que habría que añadir el riesgo de deterioro de los productos, de obsolescecia o de caducidad. Los sistemas de reposició de ivetarios se diseña para miimizar los efectos de las vetajas o desvetajas derivadas de poseer diferetes iveles de stocks. Existe ua gra variedad de sistemas de reposició, pero los más utilizados por las orgaizacioes so el sistema de revisió periódica del ivel de stock y el sistema de pedido e puto fijo. Los sistemas de revisió periódica se fudameta e revisar el ivel de stock de productos a itervalos regulares de tiempo, de tal forma que e el mometo de su recepció, el stock recupere el ivel deseado, mietras que los sistemas de pedido e puto fijo, determia el ivel de stock y la catidad a pedir cuado se alcaza el puto de pedido o ivel de reaprovisioamieto. El problema que surge etoces es cuáto pedir y la respuesta a ese iterrogate o es fácil de cotestar, ya que hay diferetes respuestas posibles Naddor, 966; Waters, 99; Rambaux, 998; Zipki, 000; Zermati, 004. Para calcular la catidad adecuada que se debería solicitar habría que determiar el tamaño del lote óptimo, aalizado los costes relacioados co el ivetario. ambié, debería especificarse el mometo idóeo para ejecutar las órdees de reposició. La repercusió de esas decisioes sobre los costes de mateimieto supodrá que a mayor pedido de cierto artículo, mayores será dichos costes. Por otro lado, realizar u gra úmero de pedidos e pequeñas catidades geerará u volume medio más bajo de stocks, pero uos costes de reposició y etrega mayores. Desde ua perspectiva complemetaria, e u etoro ecoómico turbuleto como el actual, caracterizado por u exceso de oferta sobre la demada, e el que las exigecias de los cosumidores so cada vez mayores, el mudo empresarial está destiado u gra úmero de recursos y esfuerzos para atraer, reteer y fidelizar al cliete co el fi de mateer relacioes positivas a largo plazo Kotler et al., 000, ya que es mucho más fácil coservarlo que gaar uevos clietes. E ese setido, cuado hay rotura de stocks o escasez es complicado que los clietes espere por la llegada de la siguiete reposició, ya que alguos de ellos adquirirá sus productos a la competecia, siedo probable que la empresa los pierda como clietes, afectado, además, egativamete a su image. De ahí que, los ivetarios actúe como reguladores etre los ritmos de salida de productos e uas fases y los de etrada a las siguietes Ballou, 004, siedo frecuete que los proveedores etregue materiales periódicamete y que las empresas los precise de forma prácticamete cotiua. De la misma maera, el ritmo de vetas o suele coicidir co el de geeració de productos, por lo cual se hace precisa la utilizació de ivetarios de productos termiados. i los aprovisioamietos fuera istatáeos, 60

49 adquiriedo el bie o artículo e el mometo y lugar e el que surge la ecesidad, co la calidad especificada, catidad deseada y al precio míimo, el acumular existecias para su posterior utilizació o tedría setido, pero llegar a esa perfecta sicroizació es muy complejo. Co la fialidad de seguir profudizado e uestro aálisis, e el siguiete capítulo presetamos los fudametos y coceptos básicos relacioados co la gestió y el cotrol de los stocks e las orgaizacioes, juto co ua revisió teórica de los modelos de ivetarios determiistas que icorpora demada variable e el tiempo. 6

50 CAPÍULO LO MODELO DE GEIÓN DE INVENARIO 63

51 CAPÍULO LO MODELO DE GEIÓN DE INVENARIO..- Itroducció E la actualidad, la ecoomía mudial se ecuetra imersa e ua profuda crisis ecoómica que está geerado u decrecimieto de la producció de las empresas debido a la cotracció de la demada, co sus cosiguietes cosecuecias e la dismiució de las vetas y los beeficios. Ello obliga a las orgaizacioes a teer que ahorrar e todo lo que se refiere a los costes asociados co la admiistració y gestió de los egocios empresariales, co la fialidad de compesar sus pérdidas de igresos y la posible mioració de los beeficios. La creciete competitividad e los egocios requiere reducir el costo de las operacioes de las compañías para itetar sobrevivir y o perder la posició actual que matiee e su sector de actividad Parra Guerrero, 005. Ua de las compoetes más importates del costo de las operacioes empresariales está viculada al capital cautivo que matiee, como cosecuecia de las iversioes e stocks ecesarias para ofrecer el servicio que el mercado requiere. Así, ua de las pricipales decisioes de gestió, e la cual es factible la reducció de costos, se cetra e la regulació de los iveles de productos almaceados por las empresas, es decir, e la gestió y cotrol de stocks. De esa maera, auque los ivetarios almacea valor, so cosiderados, e alguos casos, como pérdidas, cuado o se les logra dar salida, ya que absorbe capital que podría estar dispoible para usos alterativos orietados a mejorar la productividad o la competitividad. Por tato, la reducció de los costes de ivetario o es u hecho aislado, sio que se emarca detro de la tedecia geeral orietada a la reducció de costes que caracteriza a la empresa modera. E esta área de coocimieto, el objetivo que se ha de cetrar e el aálisis de modelos de gestió de ivetarios efocados a la cuatificació de variables de decisió que permita miimizar los costos, e la medida de lo posible, e icremetar así los beeficios de las empresas. La gestió de ivetarios, fudametalmete, trata de dar respuesta a las pregutas relativas a cuádo se debe realizar u pedido y cuál ha de ser el tamaño del lote de reaprovisioamieto Naddor, 966; Mirada, 005. De ahí que, u modelo de gestió de stocks sirva para establecer ua política óptima co el propósito de adoptar decisioes ecamiadas a miimizar el coste total del ivetario, alcazado u 65

52 equilibrio etre la calidad de servicio ofrecido a los clietes y el coste ecoómico e el que se ha de icurrir Rambaux, 988; Lambert et al., 998; Zermati, 004; García abater el al., 005. Como señala Parra Guerrero 005, a la hora de gestioar los stocks se ha de cosiderar ua serie de factores básicos y variables de decisió que ifluye e los ivetarios. E térmios geerales y absolutos, o se puede hablar de factores cotrolables y o cotrolables puesto que la icidecia de ua variable sobre la gestió de stocks depede de cada sistema cocreto, ya que, e ocasioes, u mismo factor puede ser cotrolable, e uos casos, y limitativo e otros. Los factores cotrolables o variables de decisió suele ser la catidad a pedir, el puto de pedido, el ivel de stock iicial y el plazo de aprovisioamieto o periodo de programació o gestió, ya que está sujetos a decisioes que se adopta e el ámbito de la empresa y, por lo tato, forma parte de su gestió y política estratégica. Por su parte, etre los factores que o suele ser cotrolables se ecuetra la demada, que puede ser determiista o aleatoria; alguos de los costes de gestió, e los que se icluye los de adquisició, de pedido, de mateimieto y de rotura; el plazo de reposició o etrega de la mercacía solicitada para repoer el ivetario, tambié deomiado periodo de retardo, que puede ser ulo, positivo, coocido o aleatorio; el posible deterioro o la caducidad de los biees; el espacio e almacé; así como la fiaciació ecesaria que puede ser propia, ajea, de los proveedores o proveiete de otras fuetes. A lo largo de este capítulo hablaremos de aquellos factores que, de ua forma u otra, ifluye e la gestió de los stocks, describiedo las pricipales características y variables de decisió que permite aalizar los sistemas de ivetario. Posteriormete, presetaremos ua revisió de trabajos relacioados co la gestió y el cotrol de los ivetarios, e los cuales la demada de los clietes se expresa como ua fució depediete del tiempo. 66

53 ..- La demada y la gestió de stocks E térmios geerales, la demada puede defiirse como el volume físico o moetario de u producto o servicio que los clietes o compradores está dispuestos a solicitar y adquirir e u lugar y período de tiempo dado, bajo determiadas codicioes. De esta defiició se desprede que la demada o tiee u carácter absoluto, sio relativo, cuyas codicioes se ha de precisar para delimitar su amplitud. Desde ua perspectiva orietada al cliete, autores como Kotler et al. 000 defie la demada como el deseo que se tiee de u determiado producto pero que está respaldado por ua capacidad de pago. La mayor parte de las descripcioes que icorpora ua visió efocada al marketig revela que la estructura de la demada está coformada por u cojuto de partes: la catidad de biees o servicios, los compradores o cosumidores que adquiere determiados productos para satisfacer sus ecesidades o deseos, la disposició a adquirir el producto o servicio, la capacidad de pago y el precio, dado que es la expresió de valor expresado atesmases, 0. Además, la fució de demada es la ecuació matemática que expresa la ifluecia simultáea de las diferetes variables que afecta a la evolució de las catidades demadadas por los cosumidores de u determiado producto o servicio Rufi, 00. E cocreto, detro del ámbito de la gestió de stocks, podemos defiir la demada como las ecesidades de salida de mercacía del almacé que se va a producir durate u cierto período de tiempo. E la cadea de sumiistro se establece ua demada e cada uo de sus eslaboes Ballou, 004. La demada fial es la ocasioada e el último eslabó de la cadea de producció y distribució, es decir, la demada de los cosumidores. Por su parte, la demada derivada es aquélla que se origia como cosecuecia de las actividades de producció de ua determiada idustria u orgaizació. Los determiates de la demada so aquellos elemetos o factores que puede ejercer ua ifluecia e su evolució Parra Guerrero, 005. Por ua parte, está los factores cotrolables, que so aquellos sobre los que la empresa puede actuar para ifluir e la demada de acuerdo co sus objetivos. Estos so, etre otros, el precio, la promoció, la publicidad, la distribució, el úmero de vededores, la calidad del producto, el ivel de existecias, los plazos de etrega del artículo demadado y el servicio postveta. Por otra parte, está los factores o cotrolables, que so aquellos sobre los que la empresa o ejerce igua capacidad de decisió y, por lo tato, o puede ser utilizados por ésta para ifluir e la demada. Etre ellos destaca los factores de etoro, los factores relativos a la competecia y los factores iheretes a las 67

54 características del cosumidor. La cadea de producció y distribució que sigue el producto, desde su puto de orige hasta que es utilizado por el cosumidor, está coformada por u úmero variable de eslaboes, cada uo de los cuales represeta ua fase de trasformació o distribució e la que éste ecesita ser almaceado Díez de Castro, 997; Ballou, 004. E u extremo de la cadea logística se ecuetra los almacees que cotiee productos que sirve de sumiistro para el siguiete eslabó de la cadea y la demada que recibe depederá de las ecesidades del proceso productivo. El distribuidor tambié ejercerá ua demada sobre el productor y así sucesivamete, hasta llegar al último eslabó, e el cual los almacees del distribuidor estará dirigidos a satisfacer la demada de los cosumidores. E este último eslabó es dode tiee su orige el proceso de demada real que depede, e exclusiva, del cosumo fial. Por tato, para la adopció de decisioes el directivo debe coocer la cuatía de la demada real, las salidas de productos del almacé y el tamaño de su demada efectiva, referidas a u determiado período de tiempo, que se correspode co la demada satisfecha. La demada efectiva es lo que se ha demadado al almacé durate u período de tiempo, mietras que la demada real es ua previsió que se efectúa tras aalizar las peticioes de los clietes, o las peticioes realizadas a los proveedores para cualquier aálisis que icluya ua producció plaificada. De ahí que las decisioes relativas a cuato producir o a la catidad de artículos que se ha de almacear, debe basarse e iformació sobre la demada real, la cual puede ser diferete de la efectiva. Ballou 004 hace especial éfasis e la ecesidad de prever y proosticar los iveles de demada, co la fialidad de obteer iformació relevate para la plaificació y cotrol de todas las áreas fucioales de la empresa, relacioádose los proósticos e logística co su aturaleza espacial y temporal, su grado de variabilidad y aleatoriedad. El autor señala que la previsió de la demada es ua de las actividades geerales de mayor importacia para cualquier empresa, ya que proporcioa los datos básicos de etrada para la plaificació y el cotrol de todas las áreas fucioales, icluida la logística, comercializació, producció y fiazas. E efecto, la importacia de teer iformació sobre la previsió de vetas para la empresa detro del campo de la logística, se debe a que está relacioada co la gestió de aprovisioamietos, la programació del trasporte, la plaificació de la producció, la gestió de stocks y almacees y otras áreas de la orgaizació. Por todo ello, debe cosiderarse el aálisis de la demada como u factor fudametal para el éxito de la empresa co grades cosecuecias e el área logística. 68

55 De acuerdo co Ballou 004, se dispoe de varios métodos de proóstico estadarizados: cualitativos, de proyecció histórica, y causales. Cada método difiere e térmios de la precisió relativa e el proóstico sobre el largo plazo y el corto plazo, e el ivel de sofisticació cuatitativa utilizada, así como e la base lógica de la que se deriva el proóstico. Las suposicioes que se hace respecto a la demada so las más importates, ya que suele ser las que determia la complejidad de los modelos de gestió de ivetarios Naddor, 966. E ese setido, el comportamieto de la demada juega u papel esecial a la hora de establecer u modelo de gestió, pudiedo ser cotiua o discreta, determiista o aleatoria, así como de aturaleza idepediete, depediete o mixta Díez de Castro, 997; Parra Guerrero, 005. Geeralmete, los modelos de ivetario se clasifica de acuerdo a si se cooce la demada e u período determiado, llamádose e este caso determiistas, o por el cotrario, si la demada es descoocida y debe ser estimada, e cuyo caso se trabaja co catidades posibles o probables, deomiádose aleatorios o estocásticos Rios et al., 004. Además, hay modelos determiistas que asume ua demada costate y coocida, lo cual sigifica que o cambia y puede ser fija o estimada a priori. ambié, existe modelos que cotempla ua demada determiista variable e el tiempo, e los cuales la catidad demadada o es costate. La variació de esa demada e el tiempo es producto del icremeto o dismiució de los ídices de vetas, la variació estacioal del patró de demada, así como de las variacioes globales ocasioadas por factores diversos Naddor, 966. Por otra parte, la demada se puede clasificar como idepediete, cuado o se relacioa co la demada de otros artículos producidos e la empresa, y depediete, cuado está relacioada co la demada de otros artículos y o está determiada por el mercado Mirada, 005. ea como fuere la aturaleza de la demada, es decir, determiista o aleatoria, idepediete o depediete de la demada de otros productos, se ha de aalizar y estudiar cómo ifluye su evolució e la gestió y cotrol de los materiales almaceados. Esa ifluecia se cuatifica mediate la determiació de los costes relacioados co la gestió de los ivetarios. 69

56 .3.- Costes que iterviee e la gestió de stocks El aálisis de los ivetarios implica el cotrol de sus iveles y la adopció de decisioes relativas a la reposició de los mismos, mateiedo el equilibrio etre fuerzas de setido cotrario que cotribuye a determiar el volume de las existecias almaceadas Parra Guerrero, 005. Por ua parte, la empresa debe asegurar la cotiuidad de su ritmo de producció y la satisfacció de la demada de sus clietes pero, por otra parte, la teecia de existecias le hace icurrir e costes que se icremeta al aumetar el ivel de stocks. E ese setido, teer demasiado ivetario etraña u riesgo, ya que podría provocar serias pérdidas de beeficios, geerado costos adicioales iecesarios, etre los que está los de deterioro u obsolescecia de los artículos almaceados. Por su parte, dispoer de pocos biees podría geerar roturas o falta de existecias, lo cual se traduciría e la geeració de costos por la falta de artículos e el mometo de ser demadados, pérdidas de beeficios, así como deterioro de la image comercial de la empresa. De esa maera, cuado se produce rotura y o se puede ateder satisfactoriamete a u cliete, es probable que éste decida adquirir los productos a la competecia, lo cual implica para la empresa la pérdida de los beeficios derivados de esa veta y, si se repite esa rotura co frecuecia, puede ocasioar la posible pérdida del cliete a corto o a largo plazo. A ello hay que añadir que puede trasmitirse la experiecia fallida a otros clietes y que los mismos se pierda tambié, proporcioado ua oportuidad a la competecia. Dado que el objetivo, ormalmete, cosiste e miimizar los costes totales de ivetario, las hipótesis que se hace sobre la estructura de dichos costes tambié ifluye e la complejidad de los modelos. E geeral, por la importacia que reviste, es ecesario hacer u aálisis detallado de los distitos tipos de costos que puede iterveir e cualquier problema de ivetario, pudiedo ser agrupados de la siguiete forma: Coste de compra o adquisició, cuya importacia a la hora de comprar es decisiva y se origia por la adquisició de las existecias, siedo, e geeral, igual al producto del precio uitario del bie por el úmero de uidades que se compra. E alguos modelos se supoe que el precio por uidad de artículo es idepediete del tamaño del pedido, y por eso o se suele icluir, pero cuado el precio por uidad de producto depede de la catidad pedida, el coste de compra se covierte e u factor determiate. égase e cueta que e muchos modelos de ivetario se icorpora el costo de compra o adquisició como u elemeto más detro del costo de reposició, el cual cometaremos a cotiuació. 70

57 Coste de reposició, que está asociado co los pedidos y comprede todos los gastos ocasioados por la tramitació y el sumiistro de los artículos solicitados. Por tato, icluye los salarios de los agetes de los servicios de aprovisioamieto, los trámites admiistrativos de lazamieto del pedido, impuestos, seguros, etc. Además, cada pedido lleva icorporado su coste de recepció y, e ocasioes, los costes de trasporte y cotrol de calidad del lote recibido, cuado estos va a cargo del comprador. La hipótesis más simple cosiste e supoer que hay u coste fijo por reposició que es idepediete de la catidad solicitada. ambié, se puede admitir que este coste sea lieal, es decir, u coste de reposició proporcioal a la catidad pedida. i embargo, otra posibilidad cosiste e asumir que dicho coste está formado por dos compoetes, uo fijo y otro variable que depede del tamaño de la reposició. Coste de mateimieto o almaceamieto que es iherete a la existecia misma del stock y se subdivide e costes fiacieros y costes de almaceaje. Los costes de mateimieto de tipo fiaciero, a su vez, se clasifica e itereses, costes de oportuidad del diero comprometido e ivetario, el cual se podría haber ivertido de otra maera, así como otros costes fiacieros. Por su parte, los costes de almaceamieto está costituidos por los costes de fucioamieto del almacé, gastos del local, eergía eléctrica, agua, teléfoo, seguros, los costes de obsolescecia, las pérdidas, los robos y las mermas e los productos. El coste de mateimieto se cuatifica a partir del stock medio existete e el almacé durate cada período de tiempo y se puede calcular e porcetaje sobre el valor moetario de las existecias medias por uidad de tiempo, e uidades moetarias por uidad de artículo e stock, o ua parte como cuota fija y otra como proporcioal al volume de existecias. Coste de rotura, el cual se deriva de la carecia de stocks para satisfacer la demada e el lugar y el mometo e que se ecesita los productos por parte de los clietes. Está asociado co la demora a la hora de satisfacer la demada o co la icapacidad de servir la orde de pedido e el mometo e que se solicita. E geeral, la estimació de este costo tiee u importate compoete subjetivo, ya que a veces es muy difícil estimar la pérdida ocasioada por la o llegada de u pedido e el mometo e que se carece de existecias. E el ámbito de la logística empresarial, la carecia de los stocks puede ocasioar diferetes grados de perjuicio, provocado diversos efectos segú sea las características del artículo y la importacia de su utilidad. i la fialidad de los stocks cosiste e abastecer u proceso productivo, su rotura geerará pérdidas a la orgaizació. Por su parte, si los stocks perteece a ua empresa comercial y su utilidad cosiste e dispoer del artículo e el lugar y tiempo e que el cliete lo ecesita, se puede dar situacioes diferetes. 7

58 E primer lugar, podría suceder que el cliete esté dispuesto a esperar por la llegada de uevos artículos, co lo que el coste derivado de la rotura sería pequeño y, úicamete, supodría u retraso e el cobro del importe de la veta. No obstate, o dispoer del importe ecoómico derivado de la veta collevará la o recepció de los correspodietes itereses moetarios. Además, debe subrayarse que si los clietes tuviese que soportar esta situació de forma cotiuada se correría el peligro de pérdida de vetas y se vería afectada la image de la empresa. E segudo lugar, podría suceder que el cliete trate de abastecerse putualmete e otro lugar, pero permaeciedo siedo fiel a la empresa, e cuyo caso los costes vedría defiidos por la pérdida o la o obteció del beeficio derivado de la compra o atedida. E tercer lugar, podría ocurrir que se pierda al cliete, de tal maera que los costes de rotura sería iguales a la pérdida del beeficio que habría geerado esa compra, juto co todos los beeficios futuros que podría haber proporcioado dicho cliete. Gráfico.. Represetació de costos relacioados co la gestió de los ivetarios Coste Coste total de ivetario Coste de almaceamieto Coste de pedido Q* amaño del pedido Fuete: Elaboració propia Ua vez cometados los costos pricipales que iterviee e la gestió de los ivetarios, e la siguiete secció abordaremos los fudametos básicos que permite estudiar y aalizar los modelos de gestió de stocks. 7

59 .4.- Fudametos de los modelos de gestió de ivetarios E geeral, cualquier sistema de ivetario debe icluir las siguietes características que ifluye y delimita la formalizació del problema de ivetario: Ua demada de ciertos artículos que se expresa e fució del tiempo y que puede ser determiista o aleatoria. La existecia de u ivetario de artículos orietados a satisfacer la demada, el cual debe ser reaprovisioado o reovado de maera cotiua, periódica o a itervalos cualesquiera. Costos asociados a las operacioes de compra o adquisició, mateimieto o almaceamieto y a la reposició, icluyedo los relacioados co la rotura, que juega u papel esecial e alguos problemas. Objetivos a alcazar y restriccioes que iterviee e razó de la aturaleza misma del problema. A su vez, para ua mejor cocreció y delimitació del problema a aalizar, se requiere cosiderar ciertos coceptos básicos relacioados co los modelos de gestió de stocks: Periodo de retardo o plazo de etrega, el cual se defie como el tiempo que trascurre desde que se realiza el pedido hasta que se recibe el producto o la mercacía e el almacé. Represeta ua medida del tiempo de respuesta del proveedor. La suposició más simple cosiste e admitir que su valor es cero, auque esto o es frecuete e la práctica. Dicha hipótesis tiee setido cuado el tiempo requerido para sumiistrar las reposicioes es pequeño y despreciable e comparació co el tiempo etre reposicioes. De ahí que, lo más comú sea supoer que el periodo de retardo es ua costate fija. ambié, se podría platear el supuesto de que el periodo de retardo sea ua variable aleatoria, pudiedo suceder que los pedidos o llegue e el mismo orde e el que fuero solicitados. Roturas, que se defie como la falta de existecias para satisfacer la demada. E ese setido, se debe realizar suposicioes acerca de cómo reaccioa el sistema cuado la demada excede al stock existete. E ese caso, se puede asumir que todo el exceso de demada es rotura, lo que implica u ivel de ivetario egativo, auque es posible que o se pierda las vetas, ya que los clietes estaría dispuestos a esperar a la llegada del siguiete pedido para satisfacer sus ecesidades. ambié se puede supoer que todo el exceso de demada se traduce e pérdida de vetas, lo cual sigifica que las roturas o so recuperables. 73

60 Proceso de revisió, referido a la maera e la que se realiza la revisió del ivetario, que puede ser cotiua o periódica. i la revisió es cotiua, e todo mometo se cooce, exactamete, el ivel de ivetario, mietras que si la revisió es periódica, sólo se cooce e determiados putos, cuado se realiza la revisió. Lo más comú es supoer que la revisió es periódica, auque a veces tambié se realiza aproximacioes a la revisió cotiua. Lógicamete, e los sistemas e los que se asume revisió cotiua, las reposicioes puede realizarse e cualquier istate, mietras que cuado se asume revisió periódica, las reposicioes tiee lugar al pricipio de los periodos de reposició. Puto de pedido o reposició, el cual es aquel ivel de ivetario que señala cuado debe solicitarse u uevo pedido para repoer el ivetario. Ciclo de ivetario o período de gestió, que es el tiempo que trascurre etre dos reposicioes cosecutivas del ivetario. Modo de reaprovisioamieto, referido a cómo se recibe los pedidos, que puede ser mediate ua etrega úica o ua etrega paulatia. amaño de la reposició, que equivale a la catidad solicitada o producida para repoer el ivetario. ambié se deomia tamaño del lote. Nivel de ivetario: es ua fució depediete del tiempo, que represeta la catidad que hay e el ivetario e u mometo determiado. Nivel de ivetario iicial: es la catidad e el ivetario e el mometo de iiciar u uevo ciclo. Nivel máximo y ivel míimo de ivetario: se correspode co el puto más alto y más bajo, respectivamete, que puede alcazar el ivetario. amaño o ivel de demada: catidad total de cierto artículo solicitada por los clietes durate u determiado periodo de tiempo. Periodo de reposició: tiempo que trascurre desde que se recibe la mercacía hasta que ésta está dispoible para su veta. 74

61 .5.- Modelos básicos e la gestió de ivetarios Ua vez expuestos, e el apartado aterior, los fudametos de los sistemas de gestió de stocks, a cotiuació, e esta secció, describimos dos modelos básicos que aborda determiados problemas clásicos de ivetario. Uo de los primeros aálisis cietíficos existetes sobre la admiistració y gestió de los ivetarios cosistió e el estudio y desarrollo del modelo de tamaño del lote ecoómico realizado por Harris e 93, quie desarrolló ua fórmula matemática para decidir la catidad de stock a pedir e fució de los costes de mateimieto y reposició. A partir de ahí, ha sido umerosos los autores que se ha dedicado a la tarea de resolver múltiples problemas relacioados co la gestió de stocks, plateado modelos orietados a la resolució de los mismos e itetado determiar la política de abastecimieto óptima, esto es, la catidad a pedir y el período de programació adecuado para lograr el costo míimo de gestió del ivetario Wager y Whiti, 958; ilver y Meal, 973; hambli y teves, 975; Vetsel, 983; Bose et al., 995; Mathur y olow, 996; Waters, 00; Ghosh y Chaudhuri, 005; igh et al., 009; Hug, 0 y otros. El efoque clásico e la modelizació de ivetarios determiistas se basa e el supuesto de la existecia de ua tasa de demada uiforme, y tiee como pricipal objetivo establecer la catidad que se debe solicitar para repoer el stock, de forma que se miimice su costo total. i embargo, muchos ivestigadores ha estudiado otras formas de la demada para profudizar e el aálisis, haciédolo más práctico y completo, co la fialidad de afrotar ua mayor variedad de problemas reales. Como hemos cometado, el modelo más básico y coocido es el modelo de catidad ecoómica de pedido, deotado por EOQ Ecoomic Order Quatity, el cual recoge las pricipales características o compoetes que determia la estructura de u sistema de ivetario co demada determiista costate, costituyedo la base de todos los modelos de cotrol de ivetarios desarrollados posteriormete. Las hipótesis del modelo EOQ so las siguietes: - La demada es coocida y costate, solicitádose cierta catidad de artículos por uidad de tiempo. - La catidad a pedir puede ser u úmero o etero y o hay restriccioes sobre su tamaño. 75

62 - Los costes so costates y o varía co el tiempo. Existe u coste de reposició fijo por pedido, así como u coste de mateimieto costate por uidad mateida a lo largo del tiempo. - Los costes de reposició de los artículos o depede de la catidad a repoer, es decir, o hay descuetos depediedo del tamaño del lote. - Las reposicioes so istatáeas, es decir, el periodo de reposició es cero. odo el pedido se etrega al mismo tiempo. - No se permite roturas, es decir, o existe la posibilidad de que haya isuficiecia de artículos e el almacé para satisfacer la demada. - El horizote de plaificació es ifiito o muy largo, es decir, se asume que los parámetros toma el mismo valor durate u exteso periodo de tiempo. Como el periodo de retardo es cero y la demada es coocida, es evidete que sólo se debe realizar u pedido cuado el ivel de ivetario llega a cero. E el gráfico. se muestra ua figura que refleja el ivel de ivetario a lo largo del tiempo. Gráfico.: Nivel de ivetario e el modelo EOQ Fuete: Elaboració propia 76

63 i cosideramos que r es la razó de demada por uidad de tiempo, A es el coste fijo de reposició y h es el coste uitario de mateimieto por uidad de tiempo, la fució de coste del modelo EOQ es modelo es C Q r Q Q h A. Derivado e igualado a cero, se deduce fácilmete que la catidad de reposició óptima para este Q ra h. Esta expresió es coocida como la fórmula de Harris 93a, 93b o de Wilso 934, ya que estos autores fuero los primeros que la recogiero e sus respectivos trabajos. dado por El costo míimo para este sistema de ivetario tambié depede de los mismos parámetros y viee C rah.3 Veamos ahora u segudo modelo básico de gestió de stocks. Ua extesió atural del modelo EOQ es el modelo de catidad de producció ecoómica, deotado por EPQ Ecoomic Productio Quatity. E el modelo EOQ, toda la catidad pedida se añade al ivetario e el mismo istate de tiempo ya que la reposició es istatáea. i embargo, e este modelo la reposició se produce a ua razó fiita de p uidades por uidad de tiempo, dode p > r. De esa maera, el gráfico del ivel de ivetario para este sistema se recoge e la Figura.3. Nivel de ivetario Gráfico.3: Nivel de ivetario e el modelo EPQ Q -r/p Fuete: Elaboració propia iempo 77

64 La fució de coste e el modelo EPQ es C Q r r p Q Q h A.4 Derivado e igualado a cero, se obtiee que la catidad ecoómica de producció o tamaño del lote, viee expresada por Q ra h r p.5 El costo míimo asociado co la gestió del ivetario e este sistema es C rah r / p.6 ato e el modelo EOQ como e el EPQ, la demada es coocida y costate a lo largo del tiempo. Esa hipótesis puede modificarse, cosiderado que la demada varíe co el tiempo. E este trabajo de ivestigació estudiamos modelos de ivetario cuya razó de demada depede del tiempo por lo cual, e la siguiete secció, abordamos ua revisió de diferetes trabajos que estudia modelos de gestió de stocks que tiee esa característica. 78

65 .6.- Revisió de la literatura sobre modelos de ivetarios determiistas.6..- Modelos de ivetario determiistas co demada variable e el tiempo Existe u coseso geeralizado a la hora de cosiderar que las propiedades de la demada represeta las características más importates y determiates de u sistema de ivetario. E geeral, los modelos que se diseña co la fialidad de adoptar decisioes ecamiadas a realizar ua adecuada gestió y cotrol de stocks se orieta a satisfacer las ecesidades de los clietes, y se caracteriza porque la demada, tal como se ha cometado, puede ser costate o variable e el tiempo, determiista o aleatoria, predecible o impredecible. E ese setido, hemos visto e la secció aterior como e los modelos clásicos EOQ y EPQ la demada es determiista y se cosidera costate. Posteriormete, co el trascurso del tiempo, se ha itroducido y aalizado uevos modelos e los que los patroes de la demada, durate el ciclo de ivetario, depede del tiempo. Estos modelos, caracterizados por permitir variabilidad de la demada, ha atraído la ateció de los ivestigadores, los cuales ha aportado uevas cotribucioes a esta materia. E los modelos de ivetarios determiistas co demada depediete del tiempo se asume que ésta es coocida y varía co el tiempo, cotrariamete a los modelos EOQ y EPQ. Por ello, el aálisis del sistema de ivetario se hace más complejo, ya que el ivel de stock o varía de forma lieal. E la literatura sobre modelos de ivetario podemos ecotrar diversos trabajos e los cuales la demada depede del tiempo. Uo de esos primeros trabajos fue el desarrollado por Wager y Whiti 958, los cuales estudiaro ua versió diámica del problema de catidad de pedido ecoómico, supoiedo variabilidad de la demada. Posteriormete, ilver y Meal 973 aalizaro u procedimieto de solució aproximada para el caso geeral de u patró de demada determiista variable e el tiempo. Autores, como Resh et al. 976 propusiero u algoritmo co la fialidad de ecotrar la política óptima de reposició para ua demada proporcioal al tiempo co patró liealmete creciete. Más adelate, Doaldso 977 resolvió la política de ivetario clásica, si roturas, para ua demada co tedecia lieal y otros autores, como Barbosa y Friedma 978, profudizaro e el cálculo de solucioes para modelos de ivetario de tamaño del lote co demada depediete del tiempo. 79

66 Más tarde, Ritchie 984 estudió la solució exacta para u modelo EOQ co demada lieal creciete, y Mitra et al. 984 aalizaro el modelo EOQ para patroes de demada co tedecia lieal creciete o decreciete. Por su parte, Deb y Chaudhuri 987 ampliaro el problema de ivetario de tamaño del lote co demada lieal creciete, pero admitiedo roturas e el sistema y plateado u método heurístico para determiar la política óptima de reposició. Dave 989 propuso ua política de reposició para u sistema si roturas co demada lieal. Además, Goswami y Chaudhuri 99 desarrollaro u modelo EOQ cosiderado tedecia lieal de la demada, roturas y ua tasa fiita de reposició. Datta y Pal 99 aalizaro u modelo de ivetario para demada lieal, permitiedo roturas y asumiedo que los itervalos de reposició sigue ua progresió aritmética. A su vez, Goyal et al. 99 estudiaro u modelo de reposició de ivetario cosiderado roturas y demada depediete del tiempo. Por su parte, eg et al. 997 ivestigaro u método iterativo óptimo para varios modelos de reposició de ivetarios co demada creciete y asumiedo roturas. Posteriormete, eg y Ya 004 trabajaro co modelos determiistas de ivetario, cosiderado roturas y dode la demada y los costos fluctúa co el tiempo. ambié, eg et al. 005 platearo modelos determiistas de catidad ecoómica de producció co demada y costo variable e el tiempo. Asimismo, Li y Li 006 propusiero u modelo de compra para artículos co demada variable e el tiempo, cosiderado iflació y descueto e el tiempo. Por su parte, aa 00 desarrolló u modelo de producció-ivetario e u proceso de producció imperfecta co demada variable e el tiempo y Jeog 0 propuso u modelo diámico para la plaificació de la producció-ivetario e la cadea de sumiistro. Desde ua perspectiva complemetaria, muchos ivestigadores y profesioales de marketig ha recoocido que la demada de muchos artículos de veta al por meor tambié puede depeder de la catidad de ivetario exhibida o expuesta e los putos de veta por lo que, recietemete, se ha estudiado uevos modelos de cotrol de ivetario que refleja dicha relació. E estos modelos la tasa de demada de u producto es, o bie ua fució del ivel de ivetario iicial o es depediete del ivel de ivetario istatáeo véase, por ejemplo, Baker y Urba 988a, 988b, Datta y Pal 990, Khmelitsky y Gerchak 00, Chug 003, Urba 005, Dye y Ouyag 005, Chag et al. 006, Jolai et al. 006, Wu et al. 006, Dye et al. 008, Chag et al. 00 y Yag et al

67 E los modelos mecioados, se supoe que la presecia de ivetario e los putos de veta mioristas tiee u efecto motivador e los cosumidores, predispoiédoles a adquirir los productos. Por ello, alguos establecimietos comerciales y almacees exhibe grades catidades de artículos específicos para estimular las vetas. E cosecuecia, se podría cocluir que la política de ivetario del resposable de adoptar decisioes puede ifluir e la tasa de demada. E esos últimos modelos, se supoe que la demada de u determiado artículo o es ua variable exógea, como ocurre co los modelos clásicos de ivetario, sio que es cosiderada como edógea a la empresa y como ua fució propia de la política de ivetario. El posible efecto de esa depedecia es que el miorista podría teer u icetivo para ordear tamaños del lote más grades o para mateer mayores iveles de ivetario, a pesar del icremeto de los costos de reposició o de los costos de mateimieto, ya que la aplicació de dicha política se traduciría e vetas adicioales, mayores tasas de utilizació y beeficios potecialmete mayores. Detro de los modelos de ivetario co demada depediete del tiempo, existe u cojuto de los mismos que cosidera ua forma, secuecia o maera especial de solicitar los productos, por parte de los clietes, coocida como patró potecial de demada. E lo que sigue mostraremos diferetes situacioes que refleja ese comportamieto de la demada y cometaremos los pricipales trabajos relacioados co dicho patró Modelos de ivetario determiistas co deterioro Por lo geeral, los ivetarios puede sufrir daño, decadecia, obsolescecia y pérdida de valor a lo largo de tiempo, lo cual se traduce e ua dismiució de su utilidad y fucioamieto. E efecto, el deterioro y la obsolescecia de los biees so feómeos comues que aparece co frecuecia e muchos sistemas de gestió de stocks. La obsolescecia se refiere a los ivetarios que se descompoe co el paso del tiempo debido a los cambios e la tecología o a la itroducció y distribució e el mercado de u producto uevo que ofrece mejores prestacioes a u precio más bajo. E ese setido, hay artículos tales como ordeadores, chips, teléfoos móviles, artículos de moda y de temporada, etc., que pierde valor a través del tiempo, como cosecuecia de la aparició de uevas tecologías o la itroducció de sustitutivos alterativos. Por su parte, el deterioro se refiere a los productos que se ha dañado, caducado, se ha evaporado, aulado o se ha devaluado a través del tiempo, como las verduras, frutas, flores, pescado, 8

68 care, medicias, películas fotográficas, baterías, etc. Además, los productos como el alcohol, gasolia, lubricates, pegametos, pituras, sustacias químicas y otros de características similares, so cosiderados biees que puede descompoerse fácilmete co el tiempo. égase e cueta que la edad de los ivetarios tiee u impacto egativo e la demada debido a la pérdida de cofiaza, por parte del cosumidor, e la calidad de dichos productos y a la pérdida física que sufre los materiales debido a su deterioro. Por otra parte, es preciso aclarar que la asució de ua tasa de demada costate o siempre es aplicable a muchos artículos como puede ser los productos electróicos, los ordeadores, la ropa de moda, etc. ya que la demada de esos productos puede dismiuir debido a la itroducció de otros más atractivos. Esos feómeos ha llevado a los ivestigadores a estudiar los modelos de ivetario que icorpora ua tasa de deterioro. Uo de los primeros estudios sobre la gestió de ivetario para artículos deteriorados fue realizado por Withi 957, quie aalizó el deterioro que sufre ciertos artículos de moda al fial del período de almaceamieto. Posteriormete, Ghare y chrader 963 estudiaro u modelo para u sistema de ivetario co demada costate, pero que se deteriora expoecialmete. Más tarde, Misra 975 desarrolló u modelo de tamaño de lote de producció para u sistema de ivetario co productos deteriorados. eguidamete, hah y Jaiswal 977 presetaro u modelo de ivel de ivetario para artículos deteriorados co ua tasa costate de deterioro, y Aggarwal 978 desarrolló u modelo de ivetario mediate la correcció y la modificació del costo de ivetario promedio de mateimieto propuesto por hah y Jaiswal. Más adelate, Dave y Patel 98 presetaro u modelo de ivetario para artículos deteriorados co demada proporcioal e el tiempo, reposició istatáea y si roturas permitidas. Además, Hollier y Mak 983 aalizaro u modelo de ivetario co decrecimieto expoecial de la demada, e los que las uidades se va deteriorado a u ritmo costate y otros autores, como Roychowdhury y Chaudhuri 983, estudiaro u modelo de ivetario para productos co deterioro, cosiderado tasas fiitas de reposició y permitiedo roturas. Bahari-Kashai 989 discutió u programa de reposició de artículos deteriorados co demada proporcioal al tiempo. Por su parte, Raafat 99 realizó ua revisió exhaustiva de la literatura sobre modelos de ivetario para artículos deteriorados y Bose et al. 995 platearo u modelo de catidad ecoómica de pedido para biees deteriorados co tedecia lieal de la demada, asumiedo que las roturas de ivetario, so posteriormete cubiertas co la llegada del siguiete pedido. ambié, Giri et al

69 realizaro otras aportacioes, aalizado u modelo EOQ para productos deteriorados dóde la demada y los costes de mateimieto varía co el tiempo. Adicioalmete, Chag y Dye 999 profudizaro e el aálisis de u modelo EOQ para artículos deteriorados co demada variable e el tiempo. E la primera década de este siglo se ha seguido realizado uevas e iteresates aportacioes a esta materia. Así, Goyal y Giri 00 hiciero ua revisió detallada de las ivestigacioes sobre modelos de ivetario co deterioro. Wu 00 estudió u modelo EOQ co demada variable e el tiempo, asumiedo deterioro y roturas. Asimismo, Mehta y hah 003 aalizaro u sistema de ivetario para productos co posibilidad de deterioro, demada expoecialmete creciete, permitiedo que la rotura sea atedida posteriormete, co la llegada de la ueva reposició, así como cosiderado descueto. Por su parte, Lee y Wu 004 estudiaro u modelo de ivetario co deterioro expoecial, roturas y demada variable e el tiempo. amata y Roy 004 presetaro u modelo de ivetario determiista de productos deteriorados co dos tasas de producció y permitiedo roturas. ambié, Balkhi y Bekherouf 004 aalizaro u modelo de ivetario para artículos deteriorados co tasa de demada variable e el tiempo y depediete del stock, cosiderado u horizote temporal de plaificació fiita. Ghosh y Chaudhuri 005 estudiaro u modelo EOQ para artículos deteriorados co demada variable e el tiempo y roturas, bajo el supuesto de que éstas so totalmete recuperables. Es decir, los clietes está totalmete dispuestos a esperar a la llegada de uevos productos. ambié, Moo, Giri y Ko 005 aalizaro modelos de catidad ecoómica de pedido para ítems deteriorados co demada e fució del tiempo y teiedo e cueta la iflació. E los últimos años, se ha publicado uevos artículos e revistas cietíficas sobre modelos de ivetario co demada variable e el tiempo. E ese setido, Deg et al 006 realizaro aportacioes respecto a u modelo de ivetario co deterioro, demada expoecial variable e el tiempo, rotura y demada parcialmete diferida, mediate la cual ua parte de los clietes estaría dispuestos a esperar por la siguiete reposició. Como cotribucioes complemetarias, Jaggi, Aggarwal y Goel 006 estudiaro la política óptima de pedido para artículos deteriorados, co demada variable e el tiempo iducida por la iflació. Además, Li et al. 006 determiaro el ciclo de producció para u problema de plaificació del lote ecoómico co deterioro e los artículos. Asimismo, Deg et al. 007 desarrollaro modelos de ivetario para artículos deteriorados co ua tasa de demada escaloada. 83

70 Posteriormete, Cher et al. 008 estudiaro u modelo de tamaño del lote para biees deteriorados, dode la fució de demada fluctúa e el tiempo y la tasa de demada diferida e el tiempo hasta la llegada del siguiete pedido es ua fució decreciete del tiempo de espera. Balkhi y adj 008 estudiaro u modelo geeralizado de catidad ecoómica de pedido para elemetos deteriorados co demada variable e el tiempo y Hsu et al. 009 calcularo el tamaño óptimo del lote para artículos deteriorados co demada e forma de triágulo y tiempo de espera icierto. Ivestigacioes como la de hah 009 permitiero resolver la política óptima para u sistema de ivetario co deterioro, demada expoecial decreciete e el tiempo y parcialmete pediete del uevo sumiistro de stocks. A su vez, igh et al. 009 aalizaro u modelo EOQ para productos perecederos, dode la demada varía co el tiempo, e el cual ua parte de los clietes está dispuestos a esperar a la llegada del siguiete pedido. Autores como kouri et al. 009 estudiaro modelos de ivetario para artículos deteriorados dode la demada sigue ua fució tipo escaloada y el deterioro tiee ua distribució de Weibull. Otros documetos iteresates aaliza la ifluecia del deterioro e los stocks y cosidera la posibilidad de arreglo o recuperació de los artículos reworkig. E ese setido, los trabajos de Cárdeas-Barró 008, 009a, 009b sigue ese efoque e los sistemas de producció de ua sola etapa y de múltiples etapas. Recietemete, Li et al. 00 presetaro ua revisió de los trabajos relacioados co artículos que icorpora la posibilidad de deterioro. Además, autores como Liao y Huag 00 itrodujero u modelo de ivetario determiista para ítems deteriorados, cosiderado crédito comercial fiaciero y restriccioes de capacidad. E u uevo estudio, Hug 0 trabajó e u modelo de ivetario co demada variable e el tiempo, deterioro y roturas que so satisfechas co la llegada de la siguiete reposició y eg et al. 0 aalizaro u modelo de catidad ecoómica de pedido para artículos co deterioro, clietes parcialmete dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició, así como demada cuadrática e el tiempo. Por su parte, autores como Abdul y Murata 0 estudiaro u modelo de ivetario para artículos co deterioro, demada variable e el tiempo y horizote de tiempo descoocido. ambié, Ya et al. 0 desarrollaro u modelo itegrado de producció y distribució para artículos deteriorados y Widyadaa et al. 0 aalizaro la catidad ecoómica de pedido para ítems deteriorados co ivel plaeado de roturas. Además, Maihami y Kamalabadi 0 platearo u modelo de ivetario para ítems deteriorados o 84

71 istatáeamete, co ua parte de los clietes dispuestos a esperar a la llegada del siguiete pedido y cosiderado el precio depediete de la demada. A cotiuació, e los siguietes capítulos, procederemos a presetar y desarrollar el aálisis de diferetes modelos de ivetario que icorpora alguas de las características presetadas e la revisió bibliográfica, co la fialidad de realizar uevas aportacioes e esta materia. E cocreto, para comezar el estudio, e el próximo capítulo formalizaremos el patró de demada potecial y especificaremos la expresió matemática que represeta la tasa de demada para estudiar varios sistemas de ivetario determiistas co patró potecial, determiado su política de ivetario óptima Modelos de ivetario determiistas co patró de demada potecial E la gestió de los ivetarios es posible recoocer diferetes formas mediate las cuales la demada puede ser extraída del ivetario. E geeral, los modelos de ivetario aalizados cosidera co frecuecia que la demada se extrae del ivetario a ua tasa costate de artículos por uidad de tiempo. i embargo, hay otras maeras por las cuales las catidades puede ser retiradas a lo largo de todo el período de programació. E ese setido, Naddor 966 realizó ua iteresate aportació, idetificado varios compoetes de los sistemas de ivetario y justificado que las propiedades de la demada so las más relevates de los sistemas. ambié, itrodujo el patró de demada potecial como ua fució útil para modelar la demada de los cosumidores, asumiedo que la misma depede del período del ciclo de pedido y varía co el tiempo. De esa maera, este patró recoge o solo la posibilidad de que la tasa de demada sea costate durate el ciclo de ivetario, sio tambié permite reflejar situacioes e las cuales las uidades de artículos solicitados por los clietes puede ser retiradas, pricipalmete, al comiezo del período, o situacioes dode ua mayor parte de la demada se produce al fial del período de gestió. Por lo tato, dicho patró de demada recooce y modela diferetes formas o maeras de extraer las catidades del ivetario. A la hora de hacer referecia a la aplicabilidad práctica de la itroducció del patró potecial e los aálisis de los modelos de gestió de ivetarios, podríamos platear la siguiete cuestió: es posible idetificar e la vida real demadas de productos que refleja estos supuestos, es decir, podemos idetificar artículos cuyo comportamieto se aproxime al reflejado e este tipo de demada?. 85

72 Efectivamete, hay situacioes dode la demada es mayor al comiezo del período de gestió, como puede ser el caso de los productos cociados o preparados, tales como paes, pasteles, helados, dulces, comidas preparadas, etc., ya que los cosumidores quiere adquirir productos alimeticios que esté recié hechos. Este tipo de demada tambié se puede dar co respecto a productos perecederos como el pescado, la care fresca, las frutas, las verduras, los yogures, etc., porque las vetas se reduce cuado se acerca su fecha de caducidad. Además, la demada de uevos productos co u alto compoete tecológico es mayor al pricipio que al fial del período. Por ejemplo, los biees tales como computadoras, ordeadores portátiles, teléfoos móviles, cosolas y videojuegos, etc. so más demadados cuado aparece e el mercado por primera vez, debido a la iovació que represeta y a las uevas aplicacioes, utilidades y servicios que ofrece. i embargo, al cotrario, hay productos dode la demada es mayor al fial del ciclo de ivetario. Esta situació se da para artículos como la gasolia o el gasoil, cuya demada se icremeta cuado el producto escasea. ambié, hay biees idispesables para el hogar que puede etrar detro de esta categoría, tales como el aceite, la haria, el café, el azúcar, el agua, la leche, etc. Así, los aumetos e su demada se produce cuado la catidad e ivetario exhibida e los putos de veta comieza a dismiuir debido a su uso diario. Otros ejemplos icluye la demada de etradas e los teatros, cies, espectáculos musicales, evetos deportivos, etc., la cual suele ser más alta al fial del período, esto es, cuado el eveto está a puto de teer lugar. Por último, hay otros productos para los cuales la demada se matiee más o meos estable a ua tasa uiforme a lo largo del período de programació. Los artículos que puede reflejar ese comportamieto puede ser, por ejemplo, los aparatos eléctricos, los materiales de costrucció y sumiistros, los artículos vedidos e ferreterías, los productos de decoració, muebles, artículos para el hogar, productos de limpieza, utesilios de cocia y electrodomésticos, bisutería, complemetos, etc. E geeral, la demada de estos biees suele ser costate y o depede de ua parte específica del período de programació del ivetario. E la literatura sobre modelos de ivetario, existe varios trabajos e los cuales la demada varía co el tiempo y sigue u patró potecial. Así, Goel y Aggarwal 98 formularo u sistema de ivetario co patró de demada potecial para artículos que tiee u determiado porcetaje de deterioro. Más adelate, Datta y Pal 988 presetaro u modelo de ivetario co patró de demada potecial, pero cosiderado tasa variable de deterioro. 86

73 ambié, Lee y Wu 00 estudiaro u modelo de ivetario para artículos co patró de demada potecial, posibilidad de deterioro y permitiedo la existecia de roturas. eguidamete, Dye 004 amplió el modelo de Lee y Wu, cotemplado u porcetaje de roturas que se satisface co retraso, el cual es proporcioal al tiempo. Recietemete, Rajeswari y Vajikkodi 0 estudiaro u modelo de ivetario co patró de demada potecial, asumiedo deterioro y permitiedo que la rotura o satisfecha se cubra, parcialmete, e fució del tiempo de espera. E la siguiete secció, cometaremos los pricipales trabajos de gestió de stocks relacioados co la posibilidad de permitir u cierto porcetaje de deterioro de los artículos almaceados. Los mismos os ha servido de base para abordar el estudio de alguos de los modelos de gestió de ivetarios que expodremos a lo largo de la presete memoria. 87

74 CAPÍULO 3 IEMA DE INVENARIO DEERMINIA CON PARÓN DE DEMANDA POENCIAL 89

75 CAPÍULO 3 IEMA DE INVENARIO DEERMINIA CON PARÓN DE DEMANDA POENCIAL 3..- Itroducció E este capítulo presetamos u detallado aálisis de los sistemas determiistas de ivetario co patró de demada potecial, e los cuales el período de programació es variable e el tiempo y o está fijado previamete. Estos sistemas represeta ua buea aproximació para modelar el comportamieto de la demada de determiados artículos, cuado dicha demada o se reparte uiformemete a lo largo del ciclo del ivetario sio que puede haber ua mayor cocetració de la misma al pricipio o al fial del periodo de gestió. E cocreto, aalizamos tres escearios diferetes: e primer lugar, la ausecia de roturas e el sistema; a cotiuació, el caso e que se permite roturas y éstas so recuperables, es decir, la demada es diferida e el tiempo y, e tercer lugar, el supuesto e el que las roturas de stocks se traduce e pérdida de vetas. E el primer sistema cosiderado, la variable de decisió es el ivel de stock iicial y la fució de coste del ivetario recoge el costo de mateimieto y el de reposició. E los otros dos sistemas de ivetario plateados, e los cuales se admite roturas, las variables de decisió so el ivel de stock iicial y el período de programació, cosiderádose, e la fució a miimizar, los costos de rotura, así como el costo de mateimieto y de reposició. eiedo e cueta los supuestos del sistema de ivetario, uestro objetivo cosiste e obteer la expresió óptima para determiar el ivel de stock iicial, el período de programació y el coste míimo de gestió del ivetario. Existe varios trabajos sobre modelos de ivetario dode la demada sigue u patró potecial. Así, Goel y Aggarwal 98, Datta y Pal 988, Lee y Wu 00, Dye 004 y Rajeswari y Vajikkodi 0 ha estudiado modelos de ivetario para artículos co patró de demada potecial. E dichos trabajos el periodo de gestió está fijado previamete y se busca determiar la catidad ecoómica de pedido que miimiza el costo total relativo a la gestió del ivetario. 9

76 E esos trabajos, citados e la revisió bibliográfica del capítulo aterior, relativos a modelos de gestió de stocks e los cuales la demada varía co el tiempo y sigue u patró potecial, el período de programació o duració de cada ciclo de ivetario siempre se cosidera que es fijo. Al estar establecido dicho período, el costo total promedio por uidad de tiempo es ua fució depediete de ua sola variable: el ivel iicial de stock. i embargo, e la presete ivestigació, el ciclo de reposició o está determiado i preestablecido y el costo total de ivetario por uidad de tiempo, cuado se permite roturas, depede del ivel de stock iicial y el período de programació. Este capítulo está orgaizado de la siguiete maera. E la secció mostramos la otació geeral empleada para el desarrollo de los modelos. E la secció 3 plateamos las hipótesis de los sistemas de ivetario a estudiar. A cotiuació, e la secció 4, presetamos el modelo matemático y determiamos las políticas óptimas para u sistema de ivetario co patró de demada potecial y roturas o permitidas. E la secció 5, aalizamos u sistema de ivetario co patró de demada potecial y clietes dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició para satisfacer sus demadas de artículos. Posteriormete, e la secció 6, estudiamos u sistema de ivetario e el cual las roturas se traduce e pérdida de vetas. Fialmete, e la secció 7 proporcioamos alguos ejemplos uméricos que ayuda a eteder los resultados teóricos expuestos e las seccioes ateriores. 9

77 3..- Notació geeral empleada A lo largo del presete capítulo, e el cual presetamos sistemas de ivetario determiistas co patró de demada potecial, empleamos la siguiete otació: : duració del ciclo de ivetario, período de programació o de gestió. : ivel de stock iicial. s: puto de pedido. e refiere a ua catidad específica que idica que el ivetario debe ser repuesto. Q: tamaño del lote o tamaño de la reposició. h: costo uitario de mateimieto por uidad de tiempo. A: costo de pedido o costo de reposició. w: costo uitario de rotura por uidad de tiempo, cuado las roturas so recuperables. : costo uitario de rotura cuado las roturas se traduce e pérdida de vetas. d: demada total durate el período de programació. r: demada promedio por período de programació r = d/. Dt: demada acumulada hasta el mometo t 0 t. : ídice de patró de demada 0 < <. It: catidad o ivel de ivetario e el tiempo t 0 t. I : catidad promedio mateida e ivetario cuado o hay roturas. I : rotura promedio e ivetario cuado o hay roturas, que es igual a 0. R: úmero de reposicioes por uidad de tiempo cuado o hay roturas. C : costo de mateimieto por uidad de tiempo cuado o hay roturas. C 3 : costo de reposició por uidad de tiempo cuado o hay roturas. C: costo total por uidad de tiempo cuado o hay roturas. : período de tiempo dode hay stocks e el ivetario. : período de tiempo dode o hay stocks y las roturas so permitidas. I,: catidad promedio mateida e ivetario cuado las roturas so permitidas. I,: rotura promedio e el ivetario cuado hay posibilidad de roturas. R: úmero de reposicioes por uidad de tiempo cuado las roturas so permitidas. C,: costo de mateimieto por uidad de tiempo cuado el sistema admite roturas. C,: costo de rotura por uidad de tiempo. C 3 : costo de reposició por uidad de tiempo cuado las roturas so permitidas. C,: costo total por uidad de tiempo del sistema de ivetario, cuado se acepta las roturas. 93

78 3.3.- Hipótesis de los modelos supuestos: Los modelos de ivetario que estudiamos a cotiuació se desarrolla bajo los siguietes. El período de programació o gestió represeta la duració de cada ciclo de ivetario. e trata de ua variable de decisió del sistema.. El ivetario se repoe al iicio de cada período de programació hasta el ivel de stock iicial. Dicho ivel de stock, obteido después de la reposició, es otra variable de decisió del sistema. 3. El ivetario debe ser repuesto cuado el ivel de stock sea igual o iferior a s uidades s represeta el puto de pedido o de reposició. Cuado hay roturas, y si se admite la posibilidad de que la demada pediete sea totalmete atedida co la siguiete reposició, s puede ser ua catidad egativa y, e ese caso, -s represeta el úmero de uidades de demada a cubrir al fial del ciclo de ivetario. 4. El tamaño del lote Q represeta el tamaño de la reposició. i las roturas o está permitidas o cuado todas las roturas so pérdida de vetas, etoces Q =. E el caso e que haya demada diferida e el tiempo, esto es, cuado la rotura es recuperable y se satisface posteriormete, co la llegada de la siguiete reposició, ya que los clietes está dispuestos a esperar, Q es la suma del ivel iicial de stock más el úmero total de pedidos pedietes e el ciclo de ivetario Q = s. 5. La tasa de reposició es ifiita, es decir, la reposició es istatáea. 6. El tiempo de retardo es cero. 7. e supoe que el comportamieto del sistema durate el periodo se repite sucesivamete a lo largo del tiempo. 8. El costo uitario de mateimieto h es ua costate, cuya dimesió es diero / catidad tiempo. 9. El costo por pedido, que deotamos por A, es ua costate, cuya dimesió es diero. 0. Cuado las roturas so completamete atedidas co la siguiete reposició, el costo uitario de rotura w 94

79 es costate y su dimesió es diero / catidad tiempo.. Cuado las roturas se traduce e pérdida de vetas, el costo uitario de rotura es ua costate y su dimesió es diero / catidad. E este caso, el costo de la rotura depede úicamete de la catidad de roturas existete al fial del período de programació y o de la duració de las mismas.. ea d la demada total durate el tiempo de programació, y sea r la demada promedio por período, es decir, r = d/. La demada promedio por periodo es determiista, pero la forma mediate la cual las catidades de artículos so sacadas del ivetario depede del mometo e que éstos so retirados. Esa maera por la cual la demada se distribuye durate el período de gestió será coocida como el patró de demada. Así, la demada Dt hasta el mometo t 0 t varía co el tiempo y se supoe que es D t d t 3. dode es el ídice de patró de demada, co 0 < <. Por su parte, la tasa de demada e el tiempo t 0 t es dt r t 3. Este patró de la demada se cooce como patró de demada potecial ver Naddor 966, Datta y Pal 988, Lee y Wu 00. El gráfico 3. ilustra la catidad de ivetario durate el período de programació para diferetes patroes de demada potecial. represeta el periodo de programació, d es el tamaño de la demada durate dicho periodo, es el ivel iicial de stock y es el patró de demada potecial. E todos los patroes hay uidades e ivetario al comiezo del período. Cuado >, ua porció mayor de la demada se produce hacia el comiezo del período. Cuado =, la demada sigue u patró uiforme, de forma que está repartida, de maera costate, a lo largo del período. Fialmete, cuado <, se produce ua parte mayor de la demada al fial del período. 95

80 Gráfico 3.: Patroes de demada potecial Catidad e stock > = < - d Fuete: Elaboració propia iempo eiedo e cueta los supuestos del sistema de ivetario, la catidad de stock almaceada It e el tiempo t, para 0 t, viee dada por su ivel iicial meos la demada acumulada hasta el istate t, esto es, I t d t 3.3 El ivel de ivetario It es ua fució decreciete, cotiua y difereciable e el itervalo [0,. Al comiezo del período de programació hay I0 = uidades e stock y, posteriormete, el ivel de stock se va reduciedo co el tiempo. Al fial del período, el ivetario es repuesto istatáeamete hasta el ivel y, por tato, comieza otra vez u uevo ciclo de ivetario. E los apartados siguietes estudiaremos las políticas óptimas de ivetario, tato para el sistema e el cual o se admite la existecia de roturas, como para otros sistemas de ivetario e los cuales las roturas está permitidas. 96

81 3.4.- istema de ivetario co patró de demada potecial, si roturas permitidas Comezamos aalizado el sistema de ivetario co patró de demada potecial cuado o se permite roturas. E este caso, el ivel iicial de stock al comiezo del ciclo de ivetario debe cubrir la demada total d durate ese periodo. Por lo tato, = d y la catidad media I mateida e ivetario es I I t dt t dt Por su parte, la rotura promedio e ivetario I es igual a 0 porque o existe roturas. Además, como el ivel de stock iicial debe ser igual a la demada total d, y dicha demada es igual a r durate el período de programació, etoces teemos que = /r. Así, el úmero de reposicioes por uidad de tiempo es R = / = r/. El costo de mateimieto por uidad de tiempo es C = hi, el costo de rotura es cero y el costo de reposició por uidad de tiempo es C 3 = AR = Ar/. Así, el costo total C por uidad de tiempo es la suma de estos costos y viee dado por la expresió r C h A 3.5 Para determiar el ivel óptimo que miimiza la fució de coste C, calculamos la derivada de dicha fució: h Ar C' 3.6 óptimo es Resolviedo la ecuació C = 0, ecotramos la solució óptima 0. Por tato, el ivel de stock 0 Ar h

82 y el periodo de gestió óptimo es 0 r 0 A rh 3.8 ustituyedo 0 e C podemos obteer el costo míimo total por uidad de tiempo, el cual es C 0 4hAr 3.9 Nótese que el ivel de existecias 0 es u puto míimo, ya que la seguda derivada de C es siempre positiva Ar C '' E el caso particular de que = patró de demada uiforme, la política ya mecioada coicide co la clásica catidad ecoómica de pedido EOQ. Además, cuado el ídice del patró de la demada es mayor que, el costo míimo de la política óptima es siempre meor que el costo har / de la política EOQ. i embargo, si <, etoces el costo míimo de la política óptima es mayor que el costo de la política EOQ, ya que la demada se cocetra más al fial del periodo y hay mayor coste de mateimieto. 98

83 3.5.- istema de ivetario co patró de demada potecial y roturas recuperables Cuado se permite la existecia de roturas e el sistema, la variació del ivel de ivetario depederá del valor relativo del ivel iicial de stock frete a la demada total d = r. Hay tres situacioes posibles. i 0, sólo hay roturas; si 0 r, al pricipio hay stock e el sistema y luego se da situacioes de rotura; y si r, o hay roturas y, úicamete hay stock e el ivetario. ato la catidad promedio mateida e ivetario I,, como la rotura promedio I, depede de las variables que represeta el ivel de stock iicial y el período de programació. égase e cueta que cuado 0, o hay stocks y, por tato, I, = 0. i r, etoces siempre hay ivetario e todo el periodo de programació y la catidad promedio mateida e el ivetario es r I, I t dt r t dt Cuado 0 r, hay stocks e la primera parte del ciclo del ivetario y e la otra se preseta las roturas. Ahora, sea el período de tiempo dode hay stocks e ivetario, y sea el período de tiempo dode o hay stocks y aparece las roturas. Lógicamete, el período de programació es igual a la suma de y. El periodo de tiempo durate el cual existe ivetario, se puede calcular, ya que e ese istate el ivel de stock debe ser cero, esto es Por lo tato I d / 0 3. / d / r / r 3.3 Ahora, podemos hallar la catidad promedio mateida e ivetario cuado 0 r. Esa catidad está dada por la expresió 99

84 00 3.4, 0 / 0 r r dt t r dt t I I Así, e cojuto, la catidad promedio mateida e ivetario e el sistema viee dada por 3.5 si, 0 si, 0 si 0,, r r r r I De maera similar, si r, etoces o hay roturas e el sistema y, por tato, I, = 0. Por su parte, cuado 0, sólo hay roturas e todo el ciclo de ivetario y la rotura promedio durate el periodo viee dada por 3.6, 0 0 r dt t r dt t I I i 0 r, existe stock durate y hay solamete roturas durate. De esa maera, la catidad promedio de rotura durate el período de programació es 3.7, / r r dt t r dt t I I r E cosecuecia, la rotura promedio e el sistema de ivetario es 3.8 si 0, 0 si, 0 si,, r r r r r I

85 0 Además, teemos que el úmero de reposicioes por uidad de tiempo para todas las diferetes situacioes posibles que se puede dar e el sistema de ivetario es siempre R = /. Ahora debemos calcular los tres tipos fudametales de costos que iterviee e el sistema de ivetario: el costo de mateimieto, el costo de rotura y el costo de reposició. El costo de mateimieto por uidad de tiempo es C, = hi,, el costo de rotura por uidad de tiempo es C, = wi,, y el costo derivado de la reposició de la mercacía por uidad de tiempo es C 3 = AR. El costo total por uidad de tiempo del ivetario C, es la suma de estos tres costos. Así, el costo total del sistema de ivetario es 3.9 si, 0 si, 0 si,, r A r h r A r r w r h A r w C La fució C, es lieal co respecto a cuado 0 y cuado r, y es o lieal co respecto a cuado 0 r. Vamos ahora a demostrar que el míimo debe caer detro del itervalo 0 r. El míimo o puede estar e la regió < 0, ya que el costo C = 0, es siempre meor que el costo C,. Del mismo modo, el míimo o puede estar e la otra regió e la cual > r ya que, e este caso, C = r, es siempre meor que el costo C,. E cosecuecia, para ecotrar la solució del sistema de ivetario, teemos que buscar el míimo de la fució C, detro del rago 0 r, es decir, teemos que miimizar 3.0, A r r w r h C sujeta a 0 r.

86 Política óptima de ivetario La solució óptima puede ecotrarse calculado las derivadas parciales de la fució de coste citada ateriormete. Las derivada parcial de C, co respecto a es C, h w r w 3. y la derivada parcial de C, co respecto a es C, r h wr r w A 3. Igualado ambas derivadas parciales a cero, podemos ecotrar la solució óptima, del sistema de ivetario co patró de demada potecial y roturas recuperables o totalmete cubiertas co la siguiete reposició. Las ecuacioes resultates so: r w h w 3.3 h w wr A r 3.4 Al resolver el sistema determiado por ambas ecuacioes, teemos que el periodo de gestió es y el ivel de stock iicial es wr A w/ h w 3.5 r w h w w A r w/ h w w h w 3.6 0

87 03 La catidad óptima de reposició Q se obtiee de, dode Q = r. égase e cueta que 0 r y por lo tato, está siempre detro de la regió caracterizada por 0 r. Las segudas derivadas parciales de C, so 3.7, r w h C 3.8, 3 A r w h C 3.9,, r w h C C eiedo e cueta que las primeras dos derivadas so siempre positivas y el Hessiao H tambié es positivo, es decir, ,,, 3 r w h A C C C H se puede cocluir que el puto, es u puto míimo de la fució C,. Por tato, la política óptima para el sistema de ivetario co roturas recuperables y completamete satisfechas co la llegada del siguiete pedido, viee dada por esas fórmulas, es decir, *,* =,.

88 Costo míimo El costo míimo C puede ser calculado mediate la sustitució de los valores de y e la fució de coste C,. Así, teemos que co C / w/ h w, r 3.3 C, C r A por w w h w / 3.3 Usado la expresió de previamete determiada e 3.5, el valor del costo míimo viee dado C 4wAr w/ h w 3.33 E el caso particular de que = patró de demada uiforme, la solució óptima y el coste míimo se reduce a la política óptima del sistema de ivetario clásico co roturas posteriormete atedidas véase, por ejemplo, Hadley y Whiti 963, Naddor 966, Waters 99 y Zipki 000, es decir, el periodo de programació es * A h w hwr 3.34 y el stock iicial es * Arw h h w 3.35 E este caso, el coste míimo total por uidad de tiempo viee dado por Arhw C* 3.36 h w Como cosecuecia, el sistema de ivetario co patró de demada potecial y roturas totalmete recuperables, es decir, atedidas co la llegada de la siguiete reposició, geeraliza al modelo clásico co patró de demada uiforme EOQ. 04

89 3.6.- istema de ivetario co patró de demada potecial, dode las roturas so vetas perdidas A cotiuació, presetamos el estudio de u sistema de ivetario e el cual todas las roturas se traduce e pérdida de vetas. E este modelo, el tamaño de la reposició Q es igual al ivel de stock. E cosecuecia, la variable o puede ser egativa y, por tato, debe ser mayor o igual a 0. Las catidades promedio I,, mateidas e ivetario e el sistema cuado 0 r y r, so las mismas que e el caso aterior ver secció 3.5 y, por ello, o es ecesario volver a calcularlas. i embargo, e el sistema co pérdida de vetas, el costo de rotura depede úicamete de la catidad de roturas existete al fial del periodo de programació y o de la duració de las mismas. Por lo tato, debemos determiar el úmero de estas uidades. égase e cueta que, si r, etoces o hay roturas e el sistema, mietras que e la situació defiida por 0 r, hay r - roturas al fial del ciclo de ivetario. El cociete etre el úmero de roturas y el período de programació represeta la rotura media I,. Esa rotura media puede ser expresada como I r,, 0, si 0 r si r 3.37 R = /. ambié, e este sistema de ivetario, el úmero de reposicioes por uidad de tiempo es Además, cuado el costo de rotura se determia por el costo de la pérdida de vetas, el costo uitario de rotura represeta la suma del beeficio perdido por uidad de rotura y cualesquiera otros costos relacioados co la pérdida de vetas. eiedo e cueta lo cometado, el costo de almaceamieto de ivetario por uidad de tiempo sigue siedo C, = hi,, mietras que el costo de rotura por uidad de tiempo es, e esta ueva situació, C, = I,. Por su parte, el costo de reposició por uidad de tiempo para el sistema aalizado es C 3 = AR = A/. Por tato, el costo total por uidad de tiempo C, del sistema de 05

90 06 ivetario co patró de demada potecial y pérdida de vetas es la suma de los costos citados ateriormete, y dicho costo viee dado por la siguiete fució 3.38 si, 0 si,, r A r h r A r r h C égase e cueta que la política óptima tambié debe ecotrarse detro de la regió caracterizada por 0 r. El míimo o puede estar e r, debido a que e esa regió el costo C = r, es siempre meor que el costo C,. De esa maera, para ecotrar la solució del sistema de ivetario co u patró de demada potecial y pérdida de vetas, teemos que miimizar la fució C, e el rago 0 r. Eso es, miimizar la fució de coste 3.39, A r r h C sujeta a la restricció 0 r. Para determiar la solució óptima e el sistema co pérdida de vetas, comezamos calculado las derivadas parciales del costo total por uidad de tiempo. Así, calculado la derivada parcial de C, co respecto a, teemos 3.40, r h C y haciedo la derivada parcial de C, co respecto a, teemos 3.4, A r h C

91 Igualado ambas derivadas parciales a cero, podemos ecotrar u puto,, que podría ser la solució óptima del sistema de ivetario. Las ecuacioes resultates so: r h 3.4 h A r 3.43 De la primera ecuació, teemos h r 3.44 y sustituyedo - e la seguda ecuació aterior obteemos la expresió +-A = olucioado esta ecuació, llegamos a la fórmula A 3.46 Ahora, teiedo e cueta que h r r 3.47 y sustituyedo e la ecuació aterior, determiamos el período de programació, esto es A r ha r

92 08 Las segudas derivadas parciales de C, so , r h C 3.50, 3 A r h C 3.5,, r h C C Los valores de estas derivadas e el puto, so 3.5 0, 3 ha r A r A C 3.53, h A r A r A C 3.54,, 4 3 A h r A r C C y el Hessiao viee dado por 3.55,,,, ha r A r C C C H

93 égase e cueta que la seguda derivada parcial de C, co respecto a es siempre positiva. Además, el sigo del Hessiao H está determiado por el ídice del patró de demada. De esa maera, H es positivo si >, y egativo si <. Así, podemos cocluir que el puto, es u puto míimo de la fució C, si > y 0 r. i embargo, si <, el puto, es u puto de silla y o es i míimo i máximo. ambié, teemos que comprobar si el puto, está icluido detro de la regió 0 r. Desafortuadamete, la restricció 0 r o siempre es cierta ya que depederá del valor de, y de los valores de r y ha+. eiedo e cueta los cometarios ateriores, ecesitamos aalizar diferetes casos para determiar la política óptima de ivetario de acuerdo co el valor del ídice de patró de demada potecial Política óptima cuado > Cuado >, etoces r si, y sólo si, ha+ r. Por ello, cuado estas dos codicioes se cumple, la política óptima para el sistema de ivetario co patró de demada potecial y pérdida de vetas está dada por *,* =,. El míimo coste C se puede calcular mediate la sustitució de los valores óptimos de y e la fució de coste C,. Así, teemos que r C* C C, h r A 3.56 Después de realizar alguas operacioes, obteemos r r C* C r ha 3.57 i embargo, cuado > y ha+ r, etoces el puto, se ecuetra e la regió caracterizada por r. E esa regió la solució óptima debe estar e la frotera = r debido a que C, C,=/r para r. Por lo tato, cuado la restricció r o es cierta y los parámetros de etrada del sistema o satisface la restricció adecuada, la solució óptima será el valor del ivel de 09

94 existecias que miimiza C C, / r h r A 3.58 Ese valor es el mismo ivel de stock óptimo obteido para el sistema si roturas, que es 0 Ar h 3.59 E cosecuecia, * = 0 y * = 0 /r será la solució óptima para este sistema y el costo míimo correspodiete vedrá dado por C * C0 4hAr 3.60 Además, tégase e cueta que cuado ha+ = r teemos A Ar h Así, e este caso, ambas solucioes so las mismas Política óptima cuado 0 < < Cuado 0 < <, el puto, es u puto de silla y o puede represetar la política óptima. Por lo tato, igualar ambas derivadas parciales a cero, o dará lugar a u puto que sea la solució óptima del sistema. Para buscar posibles putos que se correspoda co la política óptima de ivetario e el iterior de la regió 0 r, podemos cosiderar las direccioes o los rayos que so determiados por r = m, co m. 0

95 Así, la fució de coste queda expresada de la forma siguiete C, C, m h m m r r A m m h m r m m Ar m 3.6 E primer lugar, cosideremos que m sea fijo. La derivada parcial de C,m co respecto a es C, m h m Ar m 3.63 Igualado esa derivada parcial a cero, teemos que u puto crítico 3 m viee dado por Ar 3 m hm 3.64 Como la seguda derivada parcial es positiva, es decir, C, m Ar 3 m teemos que 3 m es u puto míimo de la fució C,m, cosiderado m fija. El período de programació puede calcularse por m 3 m r m 3 A m rh 3.66 y el costo es C 3 Arh C 3, 3 C m m r m m 3.67 Ese valor Cm depede de m, y represeta el costo míimo de C, cuado, varía e la líea recta o direcció r = m.

96 La primera derivada de Cm es ' Arh r C m 3 / m m 3.68 puto Haciedo la derivada igual a cero, teemos que el puto crítico de la fució Cm se obtiee e el m r Ah / Ese valor es u puto máximo, ya que e este caso teemos que 0 < < y, además, la seguda derivada de Cm es egativa, es decir r r C' ' m 3 3/ m0 r Ah Por lo tato, la fució Cm es creciete e el itervalo [0,m 0 y decreciete e el itervalo m 0,. Luego, teemos dos posibles situacioes de acuerdo co el valor m 0. a i m 0 <, es decir, Ah+ > r, etoces la fució Cm es decreciete e [, y por lo tato el coste míimo se obtiee cuado m =. E este caso, la política óptima es ua solució degeerada co * = 0, * = y costo míimo C* = r. b i m 0, es decir, Ah+ r, etoces Cm es creciete e el itervalo,m 0 y decreciete e m 0,. Por lo tato, el míimo posible debe estar e uo de los extremos m = o m =. égase e cueta que los valores de Cm e los extremos so C m Arh 3.7

97 y C m lim m C m r 3.7 De esa maera, al comparar los valores podemos idetificar el puto míimo de la fució Cm, co m variado de a. Así, es posible determiar el valor míimo de la fució C, e la regió determiada por 0 r. De esa maera, teemos los dos casos siguietes: i i 0 < <, Ah+ r, y se satisface la siguiete codició 4Ah r 3.73 etoces el costo míimo de la fució C, e la regió 0 r se obtiee cuado m =. Por lo tato, la política óptima es 0 r 0 Ar h 3.74 y el costo míimo es C 0 4hAr 3.75 ii Por el cotrario, cuado 0 < <, Ah+ r, y 4Ah r 3.76 etoces, la política óptima se logra cuado m tiede a ifiito. La política óptima e este caso lleva a ua solució degeerada para el sistema, co * = 0, * = y C* = r. Esto implica que icurrir e el costo de pérdida de vetas todo el tiempo es más barato que el fucioamieto de u sistema de ivetario, dode la pérdida de vetas uca se produzca. E la práctica, o debería existir igú sistema real de ivetario que permita pérdida de vetas permaete, durate todo el ciclo de programació. 3

98 Política óptima cuado =. Fialmete, e el caso particular de que el ídice de patró de demada sea = patró de demada uiforme, teemos que miimizar la fució de coste r C, h A r 3.77 sujeta a 0 r. E este caso, es imposible ecotrar la solució óptima mediate la derivació parcial. De este modo, la política óptima o se puede determiar mediate el uso de las derivadas parciales co respecto a y, debido a que el sistema de ecuacioes obteido calculado las derivadas e igualádolas a 0 o puede ser resuelto. Por ello, plateamos el siguiete efoque que coducirá a la obteció de la solució. La búsqueda de la política óptima e el iterior de la regió 0 r debe teer e cueta ua ueva variable defiida por y = /r. égase e cueta que la regió 0 r es equivalete a 0 y. Por lo tato, la fució de coste a miimizar es etoces ry C y, h r y A 3.78 sujeta a la restricció 0 y. Para ua y fija, teemos C y, hy r A 3.79 Igualado a cero esta derivada parcial, se obtiee el periodo de gestió y A hr y

99 y sustituyedo y e la fució de coste, teemos r y y C y, y h r y A y hy Ar r y y rha r r 3.8 co 0 y. eiedo e cueta que Cy,y es ua fució lieal co respecto a la variable y, ello implica que el costo míimo se ecuetra ya sea e y = 0 o e y =, depediedo de si la pediete es positiva o o. Así, teemos que la solució óptima puede ser y* = 0 y por lo tato * = si se cumple que rha / - r > 0, o bie y* = y por lo tato * = [A/rh] / si rha / - r 0. De ahí que la política óptima para el sistema de ivetario co pérdida de vetas depeda de si la restricció ha r es satisfecha o o. Por lo tato, si = y ha r, la solució óptima *,* se correspode co la fórmula clásica del sistema de tamaño del lote si roturas, esto es * Ar h 3.8 * A rh 3.83 y el coste míimo se reduce a C* Ahr 3.84 i embargo, cuado = y ha > r, la política óptima *,* se trata de ua solució degeerada, co * = 0, * = y el costo míimo C* = r. Esto implica que o se realiza la reposició del ivetario, y es más retable icurrir e pérdidas de vetas todo el tiempo porque el costo uitario de rotura es relativamete pequeño. Este caso o es muy realista y o se ajusta adecuadamete a u sistema de ivetario. Los resultados obteidos ateriormete para el sistema de pérdida de vetas co patró de demada uiforme = so coicidetes co los presetados por otros autores ver Hadley y Withi 963, Naddor 966, Petico y Drake 009 y a José et al

100 La abla 3. ilustra y resume los resultados ateriores. Las codicioes idicadas e la seguda columa de la abla 3. so las mismas codicioes que ya se ha cometado, pero ha sido modificadas co el fi de simplificar la adopció de decisioes e la gestió del ivetario. De esa maera, si =, el costo óptimo de utilizar el modelo básico si roturas puede compararse co el costo de o almacear stocks y teer todas las vetas perdidas. Cuado < o >, tambié es posible comparar u factor del costo básico óptimo co el costo debido a teer pérdida de vetas todo el tiempo. abla 3. Política óptima y coste míimo para el sistema de ivetario co patró de demada potecial y pérdida de vetas Ídice Codicioes Política Óptima Costo Míimo Ah+r / >πr *= 0 *= C*= πr 0 < < Ah+r / πr y 4Ahr/+ / πr *= 0 *= 0 /r C*= C 0 Ah+r / πr y 4Ahr/+ / > πr *= 0 *= C*= πr = Ahr / πr Ahr / > πr *= Ar/h / *= A/rh / C*= Arh / *= 0 *= C*= πr > +Ahr / πr +Ahr / > πr *= 0 *= 0 /r C*= C 0 * = * = C*= C Fuete: Elaboració propia E la siguiete secció presetamos varios ejemplos uméricos para ilustrar los resultados que hemos obteido. 6

101 3.7.- Ejemplos uméricos E este apartado cosideramos u sistema de ivetario que tiee las mismas hipótesis y características descritas e la secció 3.3, asumiedo los siguietes parámetros: - La demada promedio es de r =.000 uidades/año. E el quito y sexto ejemplo vamos a modificar los valores de esta demada promedio para estudiar los diferetes casos obteidos e el aálisis del sistema de pérdida de vetas. - La demada sigue u patró potecial co u ídice de = para el primero, tercero y quito ejemplos y = / para el resto de ejemplos. - El costo uitario de mateimieto es h = 4 euros por uidad y año. - El costo uitario de reposició o costo de pedido es A = 400 euros por reposició. E el sexto ejemplo vamos a cambiar el valor de este costo co la fialidad de mostrar los resultados para uo de los casos obteidos e el estudio del sistema co pérdida de vetas. - El costo uitario de rotura recuperable y atedida posteriormete es w = 5 euros por uidad y año. - El coste uitario de rotura debido a vetas perdidas es = 0 euros por uidad. A cotiuació, vamos a determiar la solució óptima para cada sistema de ivetario, teiedo e cueta las diferetes situacioes previamete aalizadas. 7

102 istema si roturas co ídice de patró de demada = i e el sistema de ivetario o se permite las roturas, de acuerdo co el sub-apartado 3.4., la política óptima cosiste e cosiderar el ivel de stock iicial y el período de gestió Ar h ,73 uidades 0 547,73 0 0,54773 años 99,99 días r 000 El costo míimo para este sistema es C 4hAr ,594 euros/año istema si roturas co ídice de patró de demada = / Cuado el ídice del patró de demada es = / y o se admite situacioes de rotura de stocks, el ivel óptimo de ivetario es Ar h y el período de programació es ,98 uidades 0 387,98 0 0,38798 años 4,364 días r 000 El costo míimo para este sistema es C 4hAr ,334 euros/año 8

103 istema co roturas recuperables e ídice de patró de demada = A cotiuació, cosideramos que las roturas está permitidas y so satisfechas posteriormete, co la ueva reposició de artículos. E este caso la política óptima se caracteriza por el periodo de gestió A 400 0, años 50,563 días wr w/ h w /4 5 y el ivel de stock iicial w A r w/ h w w h w / ,667 uidades Por lo tato, las roturas pedietes de ateder so -s = r = 74,807 uidades. Por otra parte, el costo míimo es C 4wAr w/ h w /4 5.65,376 euros/año istema co roturas recuperables e ídice de patró de demada = / Vamos ahora a cosiderar, al igual que e el ejemplo aterior, que los clietes está dispuestos a esperar para satisfacer sus ecesidades y, por tato, las roturas so completamete atedidas co la llegada del siguiete pedido. Para esta situació aalizada, supoemos que el ídice de patró de demada es meor que la uidad = /. E este caso, el periodo de gestió óptimo es 400 A 0,58988 años 5,054 días / 5000 wr w h w

104 y el ivel de ivetario óptimo viee dado por w w/ h w A r w h w ,848 uidades Por tato, las roturas que debe satisfacer posteriormete so -s = r = 407,340 uidades. El costo míimo asociado a, es C 4wAr w/ h w 5/4 5 4/ istema co pérdida de vetas e ídice de patró de demada =.357,800 euros/año Aalizamos ahora el sistema e el cual todas las roturas se traduce e pérdida de vetas. E este caso, como el valor del ídice del patró de la demada es =, la solució óptima depede de si la restricció ha+ r se satisface o o. eiedo e cueta los valores de los parámetros, la codició aterior se cumple, porque ha+ = = r = = Por tato, la solució óptima es la misma que la política óptima para el sistema si roturas, es decir, Ar h 0 547,73 uidades y el costo míimo es A 0 0,54773 años 99,99 días rh C 4hAr 0.460,593 euros/año 0

105 égase e cueta que e el sistema de pérdida de vetas co u ídice >, cuado ha+ r, la política óptima del sistema de ivetario cosiste e o permitir uca roturas. Ahora, cosidérese la posibilidad de cambiar el valor de la tasa de demada a r = 40 uidades por año, mietras se matiee al resto de parámetros costates. E este caso, la codició ha+ r o se satisface porque ha+ = = > r = 0040 = gestió Por lo tato, la solució óptima para el sistema co pérdida de vetas se caracteriza por el periodo de A ha ,6 años.34 días r r y el ivel de stock iicial A uidades Dode la diferecia r = represeta el úmero de uidades de vetas perdidas al fial del período de programació. Además, el costo míimo es r r C r ,889 ha 4400 euros/año istema co pérdida de vetas e ídice de patró de demada = / Por último, teemos el sistema e el cual se supoe que todas las roturas so pérdida de vetas y <. La solució óptima depede del ídice de patró de demada = / y de si, además, se cumple ciertas restriccioes a cosiderar. E primer lugar, teemos que comprobar si la codició r Ah+ es verdadera o falsa.

106 Esa codició es verdadera, porque r = = > Ah+ = 40043/ =.400 A cotiuació, teemos que aalizar si la restricció dada por 4Ah + r se satisface o o. Co los parámetros actuales, la codició aterior se cumple porque 4Ah = = r = 3/0 000 = Por lo tato, la política óptima para el sistema co pérdida de vetas es la misma que la solució óptima para el sistema si roturas, es decir, Ar h 3/ ,98 uidades A 0 0,38798 años 4,364 días rh y el costo míimo es C 4hAr ,334 euros/año Ahora, vamos a modificar el valor de la tasa de demada a r = 40 uidades por año, dejado el resto de parámetros si cambios. E esta ueva situació, la restricció r Ah+ sigue siedo cierta, porque r = 0 40 = > Ah+ = 40043/ =.400 i embargo, la codició 4Ah + r o se satisface porque 4Ah = = > 3/0 40 = 6.000

107 Por lo tato, la solució óptima del sistema de ivetario es u caso degeerado co * = 0, * =, y el costo míimo C* = r = 400 euros/año. A cotiuació, cosideramos la misma tasa de demada r = 40 uidades por año y vamos a cambiar el costo de pedido que hemos recogido e los ejemplos ateriores. Así, supoemos u uevo costo de pedido A = 800 euros por reposició, dejado los mismos valores para el resto de parámetros. E este caso, teemos r = 0 40 = < Ah+ = 80043/ = y la política óptima es de uevo ua solució degeerada co * = 0, * =, así como u costo míimo de ivetario C* = r = 400 euros / año. Por último, teiedo e cueta los resultados ateriores y como resume fial, hemos visto que la expresió de la solució óptima es úica e los sistemas si roturas permitidas y e los sistemas co roturas recuperables o co pedidos pedietes de satisfacer e la próxima reposició. i embargo, la estructura de la solució óptima para el sistema co pérdida de vetas o es úica y depede del ídice del patró de demada y de los valores de los parámetros. Estos resultados se muestra claramete e los ejemplos expuestos ateriormete. E el siguiete capítulo, estudiaremos sistemas de ivetario co patró de demada potecial, pero admitiedo que los artículos sufre u proceso de deterioro que afecta a los costos relacioados co la gestió de los ivetarios. 3

108 CAPÍULO 4 IEMA DE INVENARIO DEERMINIA CON PARÓN DE DEMANDA POENCIAL Y DEERIORO 5

109 CAPÍULO 4 IEMA DE INVENARIO DEERMINIA CON PARÓN DE DEMANDA POENCIAL Y DEERIORO 4..- Itroducció E el presete capítulo estudiamos sistemas de ivetario para productos co patró de demada potecial, cosiderado que el stock se va agotado a lo largo del ciclo o período de gestió, pero o úicamete como cosecuecia de la demada de los clietes sio tambié por el proceso de deterioro que sufre los artículos. E cocreto, desarrollamos diferetes modelos matemáticos co la fialidad de estudiar la política de reposició óptima para u sistema de catidad ecoómica de pedido, cosiderado artículos co deterioro, dode la demada varía e fució del tiempo y sigue u patró potecial. El sistema opera a través de u horizote de plaificació ifiito, la reposició es istatáea y el período de retardo es ulo o isigificate. Nuestro objetivo cosiste e miimizar el coste total medio de ivetario por uidad de tiempo y, para ello, propoemos procedimietos que permita determiar la política más eficiete, así como el costo míimo de gestió de stocks. Como hemos señalado, e los modelos plateados por alguos autores que cotempla u patró de demada potecial, la logitud del ciclo de ivetario está fijada. Dicha codició limita la formulació matemática del problema de ivetario y restrige la búsqueda de ua solució óptima. E el capítulo aterior, estudiamos el problema de ivetario co patró de demada potecial cosiderado al ciclo o período de programació como ua variable y determiado las mejores políticas y los costos míimos para los diferetes modelos de gestió de stocks. E igú caso, se cotempló la posibilidad de que hubiera deterioro e los artículos. Ahora, e este capítulo, aalizamos dos escearios diferetes: e primer lugar, el problema de ivetario para artículos co deterioro y ausecia de roturas e el sistema, dode el ciclo de reposició o se cosidera fijo y el costo total promedio depede de esa variable de decisió. E ese caso, teiedo e cueta los supuestos del sistema, formulamos el costo total promedio por uidad de tiempo y calculamos la duració del ciclo óptimo, así como el costo míimo de ivetario. E segudo lugar, cosiderado tambié ua tasa costate de deterioro, supoemos que las roturas está permitidas y so recuperables, es decir, todos los 7

110 clietes está dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició para satisfacer sus ecesidades. Aquí, el costo total de ivetario icluye el costo de realizació del pedido, el costo de almaceamieto, el costo de rotura recuperable, así como el costo de las uidades deterioradas. E ese setido, plateamos u procedimieto para calcular la catidad ecoómica de pedido, la duració óptima del ciclo de ivetario y el costo míimo de ivetario. Este capítulo está estructurado de la siguiete maera. E la secció mostramos la otació utilizada para el estudio de los modelos. A cotiuació, e la secció 3 recogemos las hipótesis que rige los sistemas de ivetario que vamos a aalizar. eguidamete, e la secció 4, desarrollamos el modelo, si permitir roturas, determiado la política óptima para el sistema de ivetario co deterioro y patró de demada potecial. Abordamos el caso particular e que la demada sigue u patró uiforme y proporcioamos alguos ejemplos uméricos que sirve para ilustrar el modelo propuesto. E la secció 5, ivestigamos u modelo de catidad ecoómica de pedido, cosiderado la existecia de u patró de demada potecial, admitiedo deterioro y asumiedo roturas recuperables. Formulamos el modelo matemático que represeta y describe el problema de la gestió de ivetarios y aportamos u método para resolverlo, determiado la política óptima. Fialmete, presetamos alguos ejemplos uméricos que ayuda a compreder el modelo propuesto y a refredar los resultados teóricos obteidos. 8

111 4..- Notació geeral empleada : duració del ciclo de ivetario, período de programació o de gestió. : ivel de stock iicial. s: puto de pedido. Q: tamaño del lote o tamaño de la reposició. h: costo uitario de mateimieto por uidad de tiempo. A: costo de pedido o costo de reposició. w: costo uitario de rotura por uidad de tiempo, cuado los clietes está dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició. θ: tasa o fracció costate de deterioro por uidad de tiempo, co 0 < θ <. v: costo uitario de deterioro. d: demada total durate el período de programació. r: demada promedio por período de programació r = d/. Dt: demada acumulada hasta el mometo t 0 t. : ídice de patró de demada 0 < <. : Mometo e que el ivel de ivetario llega a cero. It: catidad o ivel de ivetario e el tiempo t 0 t. I : catidad promedio e ivetario cuado o hay roturas. U: catidad total de uidades deterioradas cuado el sistema o admite existecia de roturas. C : costo de mateimieto por uidad de tiempo cuado o hay roturas.. C 3 : costo de reposició o pedido por uidad de tiempo. C 4 : costo de uidades deterioradas por uidad de tiempo cuado o hay roturas. C: costo total del sistema de ivetario por uidad de tiempo cuado o hay roturas. I,: catidad promedio mateida e ivetario cuado el sistema admite existecia de roturas. I,: rotura promedio e ivetario. R: Número de reposicioes por uidad de tiempo. U,: catidad total de uidades deterioradas cuado el sistema admite existecia de roturas. C,: costo de mateimieto por uidad de tiempo cuado se permite la existecia de roturas. C,: costo de rotura por uidad de tiempo co roturas recuperables. C 4,: costo de uidades deterioradas por uidad de tiempo cuado el sistema admite roturas. C,: costo total del sistema de ivetario por uidad de tiempo cuado se admite roturas e el modelo. 9

112 4.3.- Hipótesis de los modelos Los modelos de ivetario propuestos se desarrolla bajo las siguietes hipótesis o supuestos:. El horizote de plaificació es ifiito.. e cosidera u solo artículo e el sistema de ivetario. 3. Las reposicioes se realiza cada vez que el ivetario alcaza el ivel cero. El tamaño de la reposició o el tamaño del lote Q es costate e idetermiado. 4. La reposició es istatáea, esto es, la tasa de reposició es ifiita. El ivetario es repuesto al comiezo de cada período de programació co u tamaño de Q uidades. 5. El periodo de retardo es cero o isigificate. 6. La tasa de deterioro es costate, es decir, los artículos se deteriora a ua fracció costate θ por uidad de tiempo, co 0 < θ <. 7. El período de programació, es decir, la duració de cada ciclo de ivetario, es costate e idetermiada. 8. e supoe que el comportamieto del sistema durate el periodo se repite cotiuamete. 9. El costo uitario de mateimieto h por uidad de tiempo es ua costate. 0. El costo uitario de reposició A o costo de pedido es ua costate.. El costo de cada uidad deteriorada es v.. La demada sigue u patró potecial, tal y como hemos cosiderado e el capítulo aterior. Por tato, la tasa de demada sigue la fórmula

113 E el siguiete apartado estudiaremos las políticas óptimas de ivetario para el sistema de catidad ecoómica de pedido co artículos deteriorados y patró de demada potecial, e el cual las roturas o está permitidas. Posteriormete, aalizaremos el sistema de ivetario co patró de demada potecial, artículos deteriorados, así como roturas permitidas y recuperables co clietes dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició para satisfacer su demada. 3

114 4.4.- istema de ivetario co patró de demada potecial y deterioro, si admitir roturas Comezamos aalizado el sistema de ivetario co patró de demada potecial y deterioro, e el cual o se permite la existecia de roturas. ea It el ivel de ivetario e cualquier istate t, co 0 t. El agotamieto del ivetario que es causado debido a la satisfacció de la demada de los clietes y al deterioro de los artículos, se producirá de forma simultáea. La ecuació diferecial que describe la evolució del ivel de ivetario It e 0, viee dada por di t dt I t dt, 0 t 4. La solució de la ecuació diferecial aterior es I t Qe t t d t t e e t dt, 0 t 0 4. siedo el ivetario iicial igual al tamaño de la reposició, esto es, I0 = Q. eiedo e cueta que e t = se agota el stock, etoces I = 0 y obteemos Q d r t θt e t dt e t dt ustituyedo el valor aterior de Q e 4., teemos I t r t t e e t dt, 0 t t 4.4 3

115 Ahora vamos a calcular los costos que iterviee e la gestió del sistema de ivetario. El costo total por ciclo de ivetario será la suma del costo de mateimieto del ivetario, el costo de pedido y el costo de las uidades deterioradas. Así, el costo de mateimieto del ivetario o costo de almaceamieto por uidad de tiempo es C hi hr h 0 hr I t dt 0 e z z dz 0 e hr θ t t e z z dz dt 4.5 Además, el costo de pedido C 3 es A/. La catidad total de uidades deterioradas durate el ciclo del ivetario es d U Q t dt Q r De esa maera, el costo de las uidades deterioradas por uidad de tiempo es C v Q r r t 4 v e t dt r Por tato, el costo total promedio por uidad de tiempo viee dado por h r t A h C v e t dt r v promedio C. Nuestro problema cosiste e determiar el periodo de gestió * que miimice el coste total 33

116 Política óptima de ivetario A la hora de calcular el ciclo de ivetario óptimo debemos determiar el míimo de la fució de coste C. Para calcular ese míimo, la codició ecesaria es que su derivada sea cero, esto es, C' = 0. u resultado es r t r A θ e t dt e siedo h v 4.0 eiedo e cueta que la serie de Maclauri para la fució expoecial es e i0 i i! i 4. obteemos 0 e t t dt i0 i i i!i 4. ustituyedo 4. y 4. e 4.9 y haciedo alguas operacioes, teemos la codició ecesaria r i0 i i i i!i A

117 Así, simplificado la expresió aterior, obteemos la ueva codició que debe verificar la política óptima de ivetario i i -!i i i A r 4.4 Además, sustituyedo la fórmula 4. e 4.8, la fució de coste C viee dada por r C i i i i!i A 4.5 Ahora, la seguda derivada de C es i A i r i i C 3 i i!i 4.6 la cual es siempre es positiva. Por tato, el valor * tal que cumpla la codició 4.4 es el ciclo de ivetario óptimo. Además, a partir de 4.3, el tamaño óptimo del lote Q* viee dado por la expresió Q* r * / * 0 e t t dt r i0 i * i i!i 4.7 y el coste míimo C* = C* se calcula mediate la fórmula 4.5. Nótese que de 4.5 y 4.7 se verifica la siguiete relació etre Q* y C* Q* r * * C * A

118 Ua aproximació algorítmica Cosideremos la siguiete fució defiida sobre los reales positivos f i i i i -!i 4.9 Dicha fució es creciete y cotiua e 0,. Podemos calcular el ciclo de ivetario óptimo * utilizado el método umérico de la bisecció, el cual es muy simple y robusto. Este efoque cosiste e recurrir a u procedimieto que posibilita determiar solucioes de ua ecuació, bisecado u itervalo de maera repetida, así como seleccioado u sub-itervalo e el que debe ecotrarse ua raíz para su posterior procesamieto. El método de bisecció requiere dos putos iiciales 0 y tales que A f f r La fució creciete y cotiua debe teer u puto e el itervalo 0, tal que sea raíz de la ecuació = A/r. Comezamos calculado el puto medio del itervalo = / 0 + y comprobado si A/r es meor, igual o mayor que. De esa maera, el método os permite dividir el itervalo e dos. eguidamete, procedemos a seleccioar el sub-itervalo e el cual se verifique que 0 < A/r < o bie < A/r <, y le aplicamos el mismo paso de bisecció, a meos que ese puto medio e sí sea ua raíz, lo cual es posible pero muy improbable. De este modo, el itervalo que podría coteer el valor óptimo * se reduce e achura u 50 por cieto e cada paso del algoritmo, cotiuado hasta que tegamos u soporte suficietemete pequeño y * sea fácilmete determiada. Para lograr uestros propósitos, elegimos los valores de 0 = 0 y A r 4. 36

119 porque se puede comprobar fácilmete que f A r f i i i θ i!i 4. eiedo e cueta que la fracció del ivetario que se deteriora por uidad de tiempo es u valor que está compredido etre 0 y, etoces la potecia co i tiede a cero cuado i se icremeta. Por tato, es posible calcular la serie dada e 4.9 mediate el uso de u poliomio aproximado, es decir, por medio del poliomio k i i i i -!i 4.3 siedo k u úmero etero adecuado. 37

120 Caso particular: demada uiforme E esta secció, aalizamos el caso particular obteido cuado la demada sigue u patró uiforme, es decir, =. E esa situació, la codició ecesaria 4.3 se reduce a r i0 i i i A 4.4 i!i eiedo e cueta que i i! i i! i! 4.5 la formula 4.4 es equivalete a i0 i i i i i! i0 i! A r 4.6 y coduce a la ecuació e e A 4.7 r Así, cuado la demada sigue u patró uiforme, el ciclo de ivetario óptimo puede ser determiado procediedo a resolver la ecuació aterior. Lógicamete, la resolució de esta ecuació requiere la aplicació de u método umérico como, por ejemplo, el método de Newto - Rapso. Además, a partir de 4.8 y 4.0, cuado =, el costo total medio por uidad de tiempo se reduce a h r C v e 0 t dt A h r v r e A r 4.8 Ahora, sustituyedo la codició ecesaria de la optimalidad 4.7 e 4.8, teemos la expresió del míimo coste total medio C r e 4.9 y ese costo es ua fució expoecial del ciclo de ivetario óptimo. 38

121 Ejemplos uméricos A cotiuació presetamos alguos ejemplos uméricos que sirve para ilustrar el modelo de ivetario propuesto. Vamos a cosiderar u modelo de ivetario co las hipótesis asumidas e el tercer epígrafe de este capítulo. Los valores de los parámetros del sistema so: r = 00 uidades al año. h = 3 euros por uidad y año. A = 40 euros por pedido. v = 0 euros por uidad. Además, elegimos los siguietes valores para la fracció de deterioro: = 0., 0.3, 0.5, 0.7 y 0.9. y cosideramos cico valores para el ídice de patró de demada potecial, es decir: = 0., 0.5,, y 0. eiedo e cueta la ecuació 4., la fórmula 4.3 co k = 0, y aplicado el método de la bisecció, se obtiee la logitud óptima del ciclo * para cada par,. A cotiuació, mediate la fució 4.5 se calcula el costo míimo C * = C * para cada combiació,. E la abla 4. se muestra los resultados obteidos. eiedo e cueta u ídice, estos resultados idica que el costo total óptimo por uidad de tiempo C * aumeta a medida que la fracció de deterioro aumeta. Por su parte, * dismiuye al aumetar dicha fracció. Además, dada ua fracció de deterioro, el ciclo de ivetario óptimo * aumeta a medida que el ídice de patró de demada crece; si embargo, el costo míimo C * decrece a medida que aumeta el ídice. 39

122 E la abla 4., el costo míimo por uidad de tiempo se alcaza cuado = 0 y = 0,. Ello se debe a dos circustacias: por ua parte, a que el costo de almaceamieto dismiuye cuado crece y, por otra, a que el coste de las uidades deterioradas por uidad de tiempo dismiuye cuado la proporció de deterioro tiede a cero. Nótese que si se calcula la derivada de la fució de coste dada e 4.5 co respecto a, ésta es siempre egativa y, por lo tato, la fució de coste es ua fució decreciete co respecto al ídice de patró de demada potecial. Además, si se calcula la derivada de C co respecto al parámetro, teemos que dicha derivada es siempre positiva. Por lo tato, el costo total por uidad de tiempo aumeta a medida que aumeta la proporció de deterioro. abla 4. Fuete: Elaboració propia 40

123 A cotiuació, e la abla 4., se aaliza la política óptima cuado el ídice del patró de demada potecial y el costo de pedido varía adoptado diferetes valores, mietras que el resto de los parámetros se matiee costates. El costo míimo por uidad de tiempo se cosigue cuado = 0 y A = 0. Ello es debido a que el costo de mateer el ivetario dismiuye cuado aumeta y el costo de pedido dismiuye a medida que A decrece. Nótese que la fució de coste total C es ua fució decreciete co respecto al ídice de patró de demada y la derivada de C co respecto al parámetro A es siempre positiva. Por tato, el costo total por uidad de tiempo dismiuye a medida que dismiuye el costo uitario de reposició A. abla 4. Fuete: Elaboració propia 4

124 Por otra parte, puede ser aalizada la sesibilidad de la política óptima de ivetario co respecto al coste de mateimieto cosiderado los resultados mostrados e la abla 4.3. El mejor resultado se obtiee cuado el ídice de patró de demada potecial = 0 y el costo de almaceamieto es h =. Esto es debido a que la derivada de la fució de costo C, dada e 4.5, co respecto a h es positiva siempre y, por lo tato, el coste total C es ua fució creciete co respecto al coste uitario de mateimieto h. Así, el valor de C aumeta a medida que aumeta h, y dismiuye cuado crece. abla 4.3 Fuete: Elaboració propia 4

125 Ahora, calculamos la política óptima cuado varía el ídice de patró de demada potecial y el costo v de cada uidad deteriorada, mateiedo costates los demás parámetros. Para ello, hemos itroducido e la abla 4.4 los resultados computacioales obteidos. Así, se puede comprobar que el costo total C aumeta a medida que v aumeta debido a que la derivada parcial de C co respecto a v es estrictamete positiva. Además, se comprueba que C es ua fució decreciete co respecto a y, por lo tato, el costo míimo por uidad de tiempo se produce cuado = 0 y v = 0. Nótese que, e ese caso, el ciclo de ivetario es el más largo de los ciclos mostrados e la abla 4.4. abla 4.4 Fuete: Elaboració propia 43

126 Por último, e el cuadro 4.5, presetamos la evolució del coste total míimo y el ciclo óptimo de ivetario cuado hacemos variar el ídice del patró de demada potecial y la tasa de demada r, dejado el resto de los parámetros costates. La derivada del coste total C co respecto a la tasa de demada tambié es positiva y, por tato, el mejor resultado se obtiee cuado = 0 y r = 0. e puede comprobar que el coste total aumeta a medida que la tasa de demada crece. i embargo, si el ídice del patró de demada aumeta, etoces decrece el coste del ivetario. abla 4.5 Fuete: Elaboració propia Hasta aquí hemos aalizado u sistema de ivetario co patró de demada potecial, e el cual los artículos sufre u proceso de deterioro y dode las roturas o está permitidas. A cotiuació, estudiaremos otro sistema de ivetario co demada potecial y permitiedo el deterioro de los artículos, pero admitiedo la posibilidad de que haya roturas e el sistema y que éstas sea recuperables, es decir, que sea atedidas posteriormete cuado se realice ua ueva reposició de mercacía. 44

127 4.5.- istema de ivetario co patró de demada potecial, deterioro y roturas recuperables E esta secció, aalizamos u sistema de ivetario co patró de demada potecial, deterioro y roturas permitidas, dode los clietes está dispuestos a esperar a la siguiete reposició de artículos para satisfacer su demada. Las hipótesis que rige este sistema so las mismas que las expuestas e la secció 4.3, teiedo e cueta que ahora se admite la existecia de roturas. Bajo estos supuestos o hipótesis, las ecuacioes difereciales que describe la evolució del sistema de ivetario viee dadas por di t rt I t, 0 t dt 4.30 di t dt rt, t 4.3 Las codicioes de cotoro o frotera so I0 =, Iτ = 0 e I = s. Así, al comiezo del periodo de programació, el stock eto iicial es uidades. Ese ivel de stock dismiuye debido a la demada y al deterioro de los artículos hasta el istate t = τ, que es cuado éste alcaza u ivel cero. Durate el itervalo [τ,], se produce roturas e el sistema de ivetario. La catidad demadada por los clietes, a lo largo de ese período, se satisface al fial del mismo co la llegada de la siguiete reposició. E t =, el ivetario es repuesto y se iicia u uevo ciclo. Las solucioes de las ecuacioes difereciales ateriores 4.30 y 4.3 so I t e t t t re z, 0 e z dz t 0 r I t t, t

128 es Después de ajustar e 4.3 la codició de frotera Iτ = 0, obteemos que el ivel de stock iicial r z e z dz Por tato, el ivel de ivetario It e el itervalo [0,τ] viee dado por I t t re z z [ e z dz e z dz] 0 0 t 4.35 ustituyedo la codició I = s e 4.33, podemos determiar el puto de reposició ó pedido por medio de la expresió s r [ - ] 4.36 E el istate t = 0, se añade al stock ua catidad o tamaño del lote Q para repoer el ivetario, es decir, el ivel de stock sube hasta s + Q = uidades. Por tato, a partir de 4.34 y 4.36, el tamaño del lote es Q s r 0 e z z dz r [ ] 4.37 Nótese que Q depede de τ y, al igual que de s. La catidad promedio e ivetario durate el período de gestió depede de las variables τ y. 47

129 48 Ésta viee dada por 4.38 r dz - r ] [, z t z t z e dt dz z e re dt t I I Del mismo modo, la rotura media a lo largo del ciclo de ivetario es 4.39 ] - [ r ] [, dt t r dt t I I Además, el úmero medio de reposicioes es R = /. Fialmete, la catidad total de uidades deterioradas es la diferecia etre la catidad pedida para repoer el ivetario y la demada total a lo largo del ciclo de ivetario, es decir, 4.40, 0 r Q dt rt Q U A cotiuació, e los siguietes párrafos, vamos a determiar los costos sujetos a cotrol e el sistema de ivetario. El costo total del ivetario por uidad de tiempo se compoe de los siguietes elemetos: costo de mateimieto, costo de rotura co clietes dispuestos a esperar a la siguiete reposició, costo de pedido y costo de uidades deterioradas. Por ua parte, el costo de almaceamieto por uidad de tiempo es 4.4 hr dz - hr, 0 z z e C

130 49 Por otra parte, el costo de rotura, co clietes dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició para satisfacer sus demadas de artículos, es 4.4 ] - [ wr, C Además, el costo de pedido por uidad de tiempo viee dado por A C A ello hay que añadir que el costo de uidades deterioradas por uidad de tiempo es 4.44, 0 4 z vr dz z e vr r Q v C De esa maera, el costo total de ivetario por uidad de tiempo es la suma de los costos mecioados ateriormete. Por tato, ese coste total viee dado por 4.45 ] - [ wr h, 0 A r v h dz z e r v C z Nótese que si τ =, etoces el costo total de ivetario por uidad de tiempo se reduce a 4.46 h 0 A r v h dz z e r v C z y esa fució de coste es, precisamete, el coste del sistema de ivetario co patró de demada potecial, deterioro y roturas o permitidas, que se ha aalizado previamete e este capítulo.

131 Política óptima de ivetario Para miimizar el costo total de ivetario por uidad de tiempo 4.45, debemos calcular las derivadas parciales de Cτ, co respecto a τ y. Estas derivadas parciales so , - rτ ] [τ wrτ e r C 4.48 wr- wr - wr A - r, 0 z dz z e r C dode es ua costate dada por 4.0, esto es, = h/θ + v Igualado ambas derivadas parciales a cero, obteemos las ecuacioes e w y wr - wr - A - 0 wr r dz z e r z

132 5 De 4.49, sustituyedo e 4.50 obteemos la ecuació o lieal wr - w wr w A e w wr e e r dz z e r z Por su parte, resolviedo la ecuació aterior mediate el uso de algú método umérico, podemos obteer u valor positivo τ dode el ivel de ivetario sea cero. A cotiuació, sustituyedo ese valor e 4.49, determiamos el período de programació. iempre que estos valores de τ y satisfaga las codicioes 4.5 0, -,, C y 0, 0,, C C C C el par τ, sería la política óptima de ivetario. A cotiuació, ua vez idetificados los valores de τ y, de 4.36, 4.37 y 4.45 podemos calcular el puto de pedido, el tamaño del lote y el costo de ivetario, respectivamete. eguidamete, e la siguiete secció presetamos alguos resultados uméricos que se ajusta a las situacioes que hemos plateado, co la fialidad de ilustrar el modelo propuesto.

133 Ejemplos uméricos Cosideremos u sistema de ivetario co patró de demada potecial, deterioro y roturas. A partir de ahí, asumiremos los siguietes valores de los parámetros co sus correspodietes uidades: r = 00 uidades por año. h = euros por uidad y año. A = 50 euros por pedido. w = 4 euros por uidad y año. v = euros por uidad. = /. θ = 0,. Para esos valores uméricos, a partir de 4.5, debemos resolver la ecuació o lieal ezzdz e e e Resolviedo esta ecuació, obteemos que el tiempo e que el ivel de ivetario se iguala a cero equivale a τ = 0,40307 uidades de tiempo. Por su parte, de 4.49, el período óptimo de programació viee dado por = 0,735 años. De 4.34, el stock iicial es =, uidades. Además, de 4.36, teemos que el puto de pedido es s = - 5,0046 uidades y, a partir de la formula 4.37, el tamaño del lote o catidad de reposició es Q = 73,8694 uidades. Por último, teiedo como referecia 4.45, el costo total de ivetario es Cτ, = 36,87934 euros. 5

134 Fialmete, examiamos los efectos del cambio e el parámetro de deterioro sobre el período óptimo de programació, el tamaño del lote ecoómico y el costo míimo de ivetario. Para ello, e la abla 4.6, mostramos los resultados obteidos variado el parámetro de deterioro etre 0, y. e puede observar que, el aumeto del parámetro de deterioro coduce a ua dismiució del período de programació y de la catidad de pedido. i embargo, como aumeta el valor de θ, el costo total de ivetario por uidad de tiempo se icremeta. Ello es debido a que el coste de pedido y el costo de las uidades deterioradas aumeta e mayor medida que la dismiució de los otros costes. abla 4.6 Fuete: Elaboració propia Hasta ahora, e los capítulos 3 y 4 de la presete memoria, hemos estudiado las políticas óptimas de sistemas de ivetario co patró de demada potecial teiedo e cueta que la reposició es istatáea, tato si cosiderar el deterioro como permitiedo que los artículos se deteriore a lo largo del tiempo. E el siguiete capítulo, aalizamos sistemas de ivetario co patró de demada potecial, e los cuales la reposició o es istatáea, sio que existe u periodo de reposició durate el cual se añade artículos al ivetario. 53

135 CAPÍULO 5 POLÍICA ÓPIMA DE INVENARIO PARA IEMA CON PARÓN DE DEMANDA POENCIAL Y REPOICIÓN NO INÁNANEA. 54

136 CAPÍULO 5 POLÍICA ÓPIMA DE INVENARIO PARA IEMA CON PARÓN DE DEMANDA POENCIAL Y REPOICIÓN NO INÁNANEA 5..- Itroducció Desde la perspectiva de o restrigir el periodo de gestió, e el capítulo 3, estudiamos el problema de ivetario co patró de demada potecial, cosiderado el ciclo de ivetario como ua variable y determiado las políticas óptimas y los costes míimos para diferetes modelos. Por su parte, e el capítulo 4 icorporamos el deterioro de los artículos co la fialidad de determiar la política óptima, plateado distitos escearios. Además, e ambos capítulos cosideramos que la reposició se realiza de maera istatáea, es decir, el ivetario se repoe al comiezo de cada período de gestió. i embargo, e el presete capítulo, aalizamos el problema de ivetario co patró de demada potecial, dóde el ciclo de ivetario o es fijo y cosiderado que la reposició o es istatáea. Ello supoe itroducir ua tasa de reposició o producció, a lo largo de u período de aprovisioamieto, que permita reovar o restituir el ivetario. E la primera parte del presete capítulo desarrollamos u aálisis de los sistemas de ivetario de tamaño del lote, e los cuáles la tasa de reposició es uiforme y la demada sigue u patró potecial. Además, o se permite roturas, por lo que los costos cosiderados e el cotrol del sistema so el costo de almaceamieto y el costo de reposició. Nuestro objetivo persigue ecotrar la catidad de producció ecoómica que miimiza el costo total de ivetario por uidad de tiempo. Dado que la catidad promedio e ivetario, durate el período de programació, depede del valor del ídice del patró de demada, la política óptima será diferete segú sea el valor de dicho ídice. E la seguda parte del capítulo 5, estudiamos la gestió de sistemas de ivetario co patró de demada potecial variable e el tiempo, cosiderado que hay u período de reposició durate el cual la tasa de producció que va siedo añadida al ivetario es mayor y, a la vez, proporcioal a la tasa de demada. upoemos, e este caso, que se permite roturas y que éstas so recuperables, es decir, que los clietes está dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició para satisfacer su demada. Los costos cosiderados e el sistema de ivetario so el costo de mateimieto, el costo de rotura y el costo 56

137 de pedido. Nuestro objetivo cosiste e miimizar el coste total medio asociado a la gestió de stocks, desarrollado ua aproximació eficaz para obteer el tamaño óptimo del lote y el puto eficiete de pedido, así como determiado el costo míimo por uidad de tiempo. Este capítulo está orgaizado de la siguiete maera. E la secció itroducimos la otació utilizada e el desarrollo de los modelos. E la secció 3 presetamos las hipótesis o supuestos que guía los modelos de gestió de ivetarios que so objeto de estudio. E la secció 4 aalizamos el modelo matemático y determiamos las políticas óptimas para u sistema de ivetario co patró de demada potecial y tasa de reposició uiforme, si roturas permitidas. Abordamos, además, algú caso particular y proporcioamos diferetes ejemplos ilustrativos. E la secció 5 estudiamos u sistema de revisió cotiua del ivetario sobre u horizote ifiito, co demada determiista variable e el tiempo y dode la razó de producció, orietada a realizar las reposicioes, es proporcioal al ratio de la demada. Además, e este modelo se permite la existecia de roturas recuperables, co clietes dispuestos a esperar a la llegada del siguiete pedido. Fialmete, aportamos ejemplos uméricos que sirve para refredar los resultados teóricos obteidos e el modelo estudiado. 57

138 5..- Notació geeral empleada La otació empleada e el aálisis de los sistemas co patró de demada potecial y reposició o istatáea, es la siguiete: : duració del ciclo de ivetario, período de programació o de gestió. s: puto de pedido. Q: tamaño del lote o tamaño de la reposició. t': período de reposició. Este es el período de tiempo que se ecesita para añadir el tamaño del lote al ivetario, dode 0 t'. h: costo uitario de mateimieto por uidad de tiempo. w: costo uitario de rotura por uidad de tiempo, cuado las roturas so recuperables A: costo de pedido o costo de reposició. d: demada total durate el período de programació. r: demada promedio por período de programació r = d/. Dt: demada acumulada hasta el mometo t 0 t. : ídice de patró de demada 0 < <. It: catidad o ivel de ivetario e el tiempo t 0 t. p: tasa de reposició costate o catidad fija de producció por uidad de tiempo p > r. I Q: catidad promedio mateida e ivetario cuado o hay existecia de roturas. RQ: úmero de reposicioes por uidad de tiempo. C Q: costo de mateimieto por uidad de tiempo cuado o hay roturas. C 3 Q: costo de reposició por uidad de tiempo. CQ: coste total del sistema de ivetario por uidad de tiempo cuado o hay roturas e el sistema. Pt: tasa de producció e el tiempo t 0 t t' que es proporcioal a la tasa de demada, es decir, Pt = λ Dt co λ >. I s,q: catidad promedio e ivetario cuado se admite roturas e el modelo. I s,q: Rotura promedio e el ivetario. C s,q: costo de mateimieto por uidad de tiempo cuado el sistema admite existecia de roturas. C s,q: costo de rotura por uidad de tiempo. Cs,Q: costo total por uidad de tiempo del sistema de ivetario cuado se admite roturas e el modelo. 58

139 5.3.- Hipótesis de los modelos Los modelos de ivetario estudiados e este trabajo se desarrolla bajo los siguietes supuestos:. El artículo cosiderado es u úico producto co demada idepediete.. El ivetario se revisa cotiuamete. 3. El período de programació es la logitud de cada ciclo de ivetario. 4. El horizote de plaificació es ifiito. e supoe que el comportamieto del sistema durate el período se repite cotiuamete. 5. E el sistema, el ivetario debe ser repuesto cuado su ivel es igual o iferior a s uidades s represeta el puto de pedido. Ese ivel idica que debe comezar la reposició del ivetario. 6. El plazo de ejecució o tiempo de etrega es cero o isigificate. 7. El tamaño del lote Q represeta el tamaño total de la reposició. Es la variable de decisió del sistema. 8. La reposició o es istatáea, existiedo u periodo de tiempo t` durate el cual se irá repoiedo el ivetario hasta completar el tamaño total de la reposició. 9. La uidad del costo de mateimieto o almaceamieto h es ua costate, cuya dimesió es diero por catidad y tiempo. 0. El costo de pedido A es ua costate, cuya dimesió so uidades moetarias. Dicho costo es fijo, idepedietemete del tamaño del lote.. La demada sigue u patró potecial, siguiedo los supuestos plateados e los capítulos ateriores. Así, la tasa de demada e el tiempo t sigue u patró potecial y se expresa como Dt = rt -/ / -/, co 0 t. Por tato, la demada hasta el istate t 0 t se asume como dt/ /, dode d es el tamaño de la demada durate el periodo de programació y es el ídice del patró de demada, co 0 < <. 59

140 E este capítulo formulamos modelos matemáticos de gestió de ivetarios para estudiar las políticas óptimas de reposició. E el siguiete apartado estudiamos el sistema de ivetario co tasa de reposició uiforme p y patró de demada potecial, dode las roturas o está permitidas. E cocreto, aalizamos la evolució del ivel de ivetario y las políticas de gestió óptimas que se obtiee segú sea el ídice del patró de demada cosiderado. Nuestro objetivo cosiste e determiar el tamaño óptimo de la reposició o la catidad de producció ecoómica EPQ, que optimiza la gestió del sistema de ivetario descrito bajo las hipótesis ateriores, siedo las variables de decisió el tamaño del lote Q y el puto de pedido s. Posteriormete, aalizamos las políticas óptimas de ivetario para u modelo de tamaño del lote y puto de pedido co patró de demada potecial, roturas recuperables y tasa de producció depediete de la tasa de demada. E dicho estudio, cosideramos que la tasa de producció o reposició de stocks es mayor que la tasa de demada e cualquier mometo durate el período de reposició, y que esa tasa de producció Pt e cualquier istate t depede de la tasa de demada, viiedo dada esa relació por Pt = Dt, co >. Además, se permite roturas y los clietes está dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició para satisfacer su demada. 60

141 5.4.- istema de ivetario co reposició uiforme y patró de demada potecial, si permitir roturas E esta secció vamos a aalizar el problema de determiar la catidad de producció ecoómica bajo patró de demada potecial, tasa de reposició costate y si admitir la existecia de roturas. Para ello, comezamos cosiderado u período de programació de logitud, dode dicha variable o está predetermiada y depede del tamaño del lote Q, así como de la demada de los clietes. El período de reposició t' es la logitud de tiempo durate la cual se realiza la reposició de stocks. La tasa media de reposició p es la relació etre el tamaño del lote y el período de reposició, es decir, p = Q/t'. El ivetario debe ser repuesto cuado la catidad e stock es igual o iferior a s uidades. Dado que o está permitidas las roturas e este sistema de ivetario, se etiede que el puto de pedido debe verificar s 0. La demada que se produce durate el período de programació es d y la demada promedio por periodo es r = d/. Al comiezo del período se iicia la reposició co ua tasa uiforme de p uidades por uidad de tiempo y ésta tiee ua duració de t' uidades de tiempo. E ese periodo de tiempo se añade al ivetario ua reposició de tamaño Q. égase e cueta que la catidad solicitada por los clietes debe ser cubierta co la catidad ordeada y, por lo tato, el tamaño de la reposició debe ser igual a la demada efectuada durate el período de programació, es decir, Q = d e cada ciclo de ivetario. A lo largo del período de reposició se produce dos situacioes claramete difereciadas. Durate ua parte de dicho período, las catidades e ivetario ha de ser determiadas, teiedo e cueta que la demada y la reposició ocurre de maera simultáea, mietras que e el resto del período de gestió la catidad e ivetario sólo depederá de la demada de los correspodietes clietes. eiedo e cueta el patró de demada potecial, la catidad e ivetario It e el tiempo t, para 0 t, viee dada por s I t s pt d pt' d t t s pt Q s Q Q t t,, si si 0 t t' t' t 5. 6

142 E los siguietes párrafos vamos a estudiar cómo es la represetació gráfica de la fució It e el período de gestió. Esta fució It es ua fució cotiua e todo el ciclo de ivetario y tambié es difereciable e los itervalos [0,t y t,]. ea t 0 el puto e el itervalo 0,, dode la pediete de la fució de ivel de ivetario es igual a cero. La evolució gráfica de It depederá de la posició relativa de los putos t 0 y t' período de reposició. De esa maera, cuado > las fluctuacioes de ivetario so descritas e el siguiete resultado. Lema 5.. i el ídice de patró de demada es mayor que uo, etoces la fució It es ua fució decreciete e el itervalo [0,t 0, es creciete e [t 0,t y es decreciete e [t,. Además, la fució It es ua fució covexa e 0,t' y e t',. Demostració. De 5., la fució It es difereciable e el itervalo 0,t y t,. La derivada de la fució I t está dada por Q p t I' t Q t,, si si 0 t t' t' t 5. Bajo la hipótesis de que el ídice de patró de demada sea mayor que uo, ua porció mayor de la demada se produce al pricipio del período. Así, al comiezo del ciclo de ivetario la fució It es decreciete debido a que la reposició es meor que la demada. Por lo tato, teemos que I t < 0 e el itervalo 0,t 0, siedo t 0 el puto e el que I t = 0. eiedo e cueta que Q = d = r, y resolviedo la ecuació I't 0 = 0, e el itervalo 0,t, obteemos t 0 p Q p r r p Q r 5.3 E el período 0,t ese valor t 0 demadada sería meor que la reposició del ivetario. represeta el istate de tiempo a partir del cual la catidad 6

143 Ahora, tégase e cueta que t 0 < t, si y sólo si, p r 5.4 y la desigualdad aterior siempre es cierta cuado >. Por lo tato, la fució It es decreciete e 0,t 0 y es creciete e t 0,t. Por otra parte I't < 0 e el itervalo t,. Así, It es siempre ua fució decreciete e t,. Además, la seguda derivada de It es Q I'' t t 5.5 Como > la fució de I t es siempre positiva. Por lo tato, si > la fució It es ua fució covexa e 0,t' y e t,, pero o es covexa e el itervalo total 0,. Gráfico 5.: Nivel de stock It cuado el ídice de patró de demada > Nivel de stock I t t 0 t iempo Fuete: Elaboració propia F 63

144 A cotiuació, vamos a aalizar el comportamieto del ivel de stock It cuado <. Lema 5.. It es ua fució cócava e los itervalos 0,t y t, cuado el ídice de patró de demada es meor que uo <. Además, a i p r, etoces It es ua fució creciete e 0,t' y es decreciete e t',. b i p < r, etoces It es ua fució creciete e 0,t 0 y es decreciete e t 0,t y t',. Demostració. De 5.5 la seguda derivada de It es egativa cuado <. Por lo tato, It es ua fució cócava e el itervalo 0,t y t,. Además, de 5., I 't < 0 si t 0 > t', y por lo tato, It es siempre ua fució decreciete e t',. Ahora, estudiamos cómo es la fució It e el itervalo 0,t '. E primer lugar, comprobamos si t 0 < t. La desigualdad aterior es equivalete a la codició dada e 5.4 y como por la hipótesis aterior hemos asumido que <, etoces 5.4 se reduce a la codició p < r. De lo cotrario, cuado < y p r, etoces debe ser t 0 t. De 5.3, teemos t 0 t, si y sólo si, p Q t Por lo tato, cuado < y p r, teemos t 0 t' y, a partir de 5. y 5.6, I't > 0 e el itervalo 0,t 0 e It es ua fució creciete e el itervalo 0,t'. égase e cueta que si < y p < r, etoces t 0 < t. Por lo tato, de 5., teemos que I t > 0 si t < t 0, e I t < 0 si t 0 < t < t. Por lo tato, It es ua fució creciete e 0,t 0 y es decreciete e t 0,t. Las figuras 5. y 5.3 ilustra los gráficos del ivel de stock It cuado <. E cocreto, la figura 5. muestra las fluctuacioes e el ivetario cuado p r e este caso t 0 t y la figura 5.3 represeta el ivel de stock cuado p < r es decir, t 0 < t. 64

145 Nivel de stock Gráfico 5.: Nivel de stock It cuado < y p r t 0 t It s=0 t t 0 iempo Fuete: Elaboració propia Gráfico 5.3: Nivel de stock It cuado < y p < r t 0 < t Nivel de stock It s=0 t 0 t iempo Fuete: Elaboració propia 65

146 Por lo tato, asumiedo ua reposició uiforme, las figuras 5., 5. y 5.3 ilustra la catidad e el ivetario It durate el período de programació para diferetes ídices de patró de demada potecial. E todos los casos hay s uidades e el ivetario al iicio del ciclo de ivetario y la demada total durate el período de programació es d uidades. Además, la tasa de demada sigue u patró potecial y el tamaño de reposició Q es la catidad programada para la reposició. Esta catidad se añade al ivetario a ua tasa de p uidades por uidad de tiempo a lo largo del período de reposició t'. E el período t',, o hay reposició y se reduce el ivel de stock. Al fial del período de programació, el ivetario se repoe cuado el stock está al ivel s y así se iicia otra vez u uevo ciclo de ivetario. 66

147 Política óptima de ivetario A cotiuació, vamos a estudiar qué codicioes debe satisfacer la política óptima de ivetario para u modelo co reposició uiforme y patró de demada potecial, e el que o se permite situacioes de rotura de stocks, lo cual depederá del ídice de dicho patró de demada. Lema 5.3. i el ídice de patró de demada es meor o igual a uo, etoces el puto de pedido óptimo debe ser cero. Demostració. Nos propoemos demostrar que, para establecer ua política óptima, el puto de pedido s debe ser cero. i supoemos que o lo es, etoces s debe ser ua catidad positiva, ya que e este sistema de ivetario las roturas o está permitidas. upogamos que la catidad promedio mateida e el ivetario para ese puto de pedido s es I,s > 0. Ahora, supogamos que dismiuye el puto de pedido a s = 0. Obviamete, e cualquier istate t, el ivel de ivetario será meor que la catidad e stock cuado se cosidere s > 0. Así, el promedio de la catidad mateida e el ivetario tambié será meor I,s = 0 < I,s > 0, y el coste de mateimieto se reducirá. i embargo, el costo de reposició seguirá siedo el mismo, dado que es idepediete del puto de pedido, es decir, la dismiució del puto de pedido o geerará costes adicioales de reposició. Por tato, el costo total será meor si se realiza la orde para repoer el ivetario e el puto de pedido s = 0. De esa maera, para determiar ua política óptima o podemos cosiderar que el puto de pedido sea positivo. Lema 5.4. i el ídice de patró de la demada es mayor que uo >, etoces el puto óptimo de pedido viee dado por la siguiete fórmula Q r s p 5.7 Demostració. Cuado >, el ivel de stock míimo ver Figura 5. se alcaza e el puto t 0 dado e 5.3. E ese puto, el ivel de ivetario debe ser cero, es decir, It 0 = 0. upoiedo que ello o fuera cierto, etoces It 0 debe ser ua catidad positiva. i se tratase de ua catidad egativa, etoces existiría roturas y éstas o está permitidas e este sistema de ivetario. Ahora, si It 0 > 0, etoces el ivel de ivetario It e cualquier istate t será mayor que la catidad It e stock e el tiempo t cuado 67

148 It 0 = 0. Así, la catidad promedio de ivetario tambié se icremetará y por tato, aumetará el coste de mateimieto, mietras que el costo de reposició será igual e ambas situacioes. Cosecuetemete, el coste total será mayor si asumimos que It 0 > 0 y, por tato, la mejor política de ivetario requiere que It 0 = 0. De esa maera, sustituyedo 5.3 e 5. y asumiedo la codició It 0 = 0, obteemos s Q p r Q p r 5.8 que es idética a la dada e el puto de pedido 5.7. Por lo tato, la política óptima para u sistema co ídice de patró de demada mayor que uo debe cosistir e repoer el ivetario cuado el ivel de stock alcaza el puto de pedido ateriormete reseñado istema de ivetario co ídice de patró de demada E los gráficos mostrados e las Figuras 5. y 5.3 se describe la catidad e ivetario It e el tiempo t si <. La fució It es ua fució creciete al comiezo del ciclo de ivetario y, a cotiuació, la fució dismiuye e el resto del período de programació. El siguiete resultado os da la política óptima de ivetario, cuado. eorema 5.. Cosidérese u sistema de ivetario co reposició uiforme y patró de demada potecial. i el ídice de patró de demada es meor o igual que uo etoces la catidad de producció ecoómica es Q 0 Ar r h p 5.9 y el costo míimo por uidad de tiempo viee dado por C har r p

149 Demostració. La catidad promedio e ivetario es t' I Q I t dt I t 0 t' dt t ' s pt Q t / dt s Q Q 0 t' t / dt Qr Q s p 5. Del Lema 5.3, el puto de pedido óptimo debe ser s = 0 y por tato, Qr Q I Q p 5. Como el tamaño del lote Q debe ser igual a la demada total d = r durate el período de gestió, etoces teemos que = Q/r. De ese modo, se tiee que el úmero de reposicioes por uidad de tiempo es RQ = / = r/q. El costo de mateimieto por uidad de tiempo es C Q = hi Q, y el costo de reposició por uidad de tiempo es C 3 Q = ARQ = Ar/Q. Por tato, el costo total CQ por uidad de tiempo es la suma de ambos costos y viee dado por la expresió Qr Q r C Q h h A p Q 5.3 eguidamete, para determiar el tamaño del lote óptimo que miimiza la fució de costes CQ, se calcula la derivada de CQ hr h Ar C' Q p Q 5.4 Resolviedo la ecuació C Q = 0, ecotramos la solució óptima Q 0 dada e 5.9. ustituyedo Q 0 e CQ se obtiee el míimo costo total por uidad de tiempo dado e 5.0. Nótese que el ivel de stock Q 0 es u puto míimo porque la seguda derivada de CQ es siempre positiva 69

150 Ar C '' Q 0 Q Corolario 5.. Dado u sistema de ivetario co reposició uiforme y patró de demada potecial co u ídice meor o igual que uo, etoces el ciclo de ivetario óptimo es 0 Ap rh[ p r ] 5.6 Demostració. La catidad solicitada durate el ciclo de ivetario debe ser satisfecha por la catidad pedida. Así, el tamaño de la reposició Q debe ser igual a la demada total r e dicho ciclo de ivetario. Por tato, = Q/r y sustituyedo 5.9, se obtiee el ciclo de ivetario óptimo dado e 5.6. Obsérvese que si se cosidera el caso particular de ua tasa de demada uiforme =, etoces el tamaño óptimo del lote Q 0 dado e 5.9 es igual a la fórmula clásica de la catidad de producció ecoómica EPQ, esto es Q * Ar h r p 5.7 y, a partir de 5.0, el costo míimo es r C * har p 5.8 Así, podemos afirmar que este sistema de ivetario represeta ua geeralizació del modelo clásico EPQ véase, por ejemplo, ilver et al. 998, Zipki 000, o Hillier y Lieberma

151 istema de ivetario co ídice de patró de demada > E la Figura 5. ilustramos as fluctuacioes de ivetario e el sistema co >. El siguiete resultado proporcioa la solució óptima para el sistema cuado el patró de demada >. eorema 5.. upogamos u sistema de ivetario co reposició uiforme y patró de demada potecial. i el ídice de patró de demada es mayor que uo > etoces la catidad de producció ecoómica viee dada por Q 0 h Ar r r p p 5.9 y el costo míimo por uidad de tiempo es r r 0 har p p C 5.0 Demostració. Como >, del Lema 5.4, el puto de pedido óptimo está dado por la fórmula 5.7. Etoces, la catidad promedio e ivetario es t' I Q I t dt I t 0 t' dt Q r p Qr Q p 5. eiedo e cueta que el costo de mateimieto de ivetario por uidad de tiempo viee dado por C Q = hi Q, y el costo de reposició por uidad de tiempo es C 3 Q = Ar/Q, el costo total CQ por uidad de tiempo es la suma de ambos costos y es C Q h Q r p Qr h p Q h r A Q 5. 7

152 Para ecotrar el tamaño óptimo del lote derivamos CQ co respecto a Q, obteiedo ' h r C Q p hr h Ar p Q 5.3 Por tato, para ecotrar el tamaño óptimo del lote Q 0, es ecesario que se verifique h r p hr h Ar p Q Resolviedo la ecuació aterior se obtiee la catidad de producció ecoómica dada e 5.9. Además, la ecuació 5.4 es tambié ua codició suficiete ya que la derivada seguda Ar C' ' Q 3 Q 5.5 es siempre positiva para cualquier tamaño de reposició. ustituyedo el tamaño óptimo del lote 5.9 e la ecuació de costo total 5., se obtiee el costo míimo 5.0 del sistema de ivetario. Corolario 5.. upogamos u sistema de ivetario co reposició uiforme e ídice de patró de demada potecial mayor que uo >, etoces el puto óptimo de pedido y el ciclo de ivetario óptimo so, respectivamete, s 0 r p h r p Ar r p 5.6 y 0 rh r p A r p 5.7 7

153 Demostració. eiedo como referecia el Lema 4, el puto de pedido óptimo se da e 5.7. ustituyedo la catidad de producció ecoómica 5.9 e 5.7 se obtiee la fórmula 5.6 para el puto óptimo de pedido. Además, cosiderado que el tamaño del lote Q debe ser igual a la demada total r durate el ciclo de ivetario, el ciclo óptimo de ivetario 5.7 se deduce fácilmete. Los resultados dados e las ecuacioes 5.9, 5.0, 5.6 y 5.7 costituye, pues, la solució óptima del sistema de tamaño del lote, si roturas permitidas, co reposició uiforme e ídice de patró de demada mayor que uo. Fialmete, es iteresate observar que si la tasa de demada es costate =, etoces el tamaño óptimo del lote dado e 5.9 coicide tambié co el tamaño del lote Q* mostrado e 5.7. Además, si =, el costo míimo 5.0 se reduce a 5.8. La tabla 5. resume las diferetes solucioes óptimas obteidas para los sistemas de ivetario co ua tasa de reposició uiforme y patró de demada potecial, si roturas permitidas. e puede observar que la solució óptima o es ecesariamete úica, ya que depede del valor del ídice del patró de demada. abla 5. Políticas óptimas para sistemas de ivetario co patró de demada potecial y razó de reposició uiforme Ídice del Patró olució Óptima amaño del Lote Óptimo Coste otal Míimo < Q 0 Ar h r p C 0 har r p = Q 0 Ar h r p C0 har r p > Q 0 h r p Ar r p C 0 har r p r p Fuete: Elaboració propia 73

154 Caso especial: la reposició istatáea Cometemos brevemete el caso especial e el cual el período de reposició es isigificate, es decir, cuado la tasa de reposició es ifiita p =. Aquí, asumimos por tato que la reposició es istatáea. Ahora, cosideramos que y sustituyedo p = e 5.9 y 5.0 se obtiee la política óptima Q Ar h 5.8 y C 4hAr 5.9 Por otro lado, si supoemos que > y la reposició es istatáea, sustituyedo p = e las fórmulas 5.9 y 5.0, obteemos el mismo tamaño óptimo del lote y el costo míimo dado e 5.8 y 5.9, respectivamete. Nótese que la solució óptima asociada co 5.8 y 5.9 es igual a la política óptima propuesta e el capítulo 3 para el sistema de ivetario co patró de demada potecial y roturas o permitidas. Así, el modelo de ivetario que aquí se estudia extiede y geeraliza al modelo de ivetario co patró de demada potecial si roturas permitidas. 74

155 Ejemplos uméricos Co la fialidad de ilustrar los resultados teóricos obteidos e el apartado aterior, procedemos a presetar, a cotiuació, alguos ejemplos uméricos que cosidera diferetes patroes de demada. Ejemplo 5.. upogamos u sistema de ivetario determiista co patró de demada potecial y tasa de reposició uiforme, dode el ídice de patró de demada es = /. La tasa de demada promedio es de r = uidades por año y la tasa de reposició es p = uidades por año. El costo de mateimieto es h = 4 euros por uidad y año. El costo de pedido es A = 50 euros por reposició. eiedo e cueta los resultados ateriormete expuestos, el tamaño del lote óptimo debe ser Q Ar r h p / ,67 uidades y el costo míimo total C r har p ,65 euros/año El período de reposició o ciclo de ivetario viee dado por Q0 45,67 0 0, años 7,5 días r 6000 Ejemplo 5.. Cosideremos los mismos parámetros del aterior ejemplo, pero modificado el ídice de patró de demada potecial a =. E este caso > y siguiedo el eorema 5., el tamaño del lote óptimo es Q r h Ar r p p 639,60 uidades 75

156 El costo total míimo viee dado por har r r p p C0 938,083 euros/año y el período de reposició es Q0 639,60 0 0,06600 años 38,909 días r 6000 Ejemplo 5.3. Fialmete, vamos a modificar el ídice de patró de demada potecial para el valor =, mateiedo el resto de parámetros iguales al ejemplo aterior. E este caso, el tamaño del lote óptimo es Q Ar h r p 6,37 uidades y el coste míimo es r 6 C 0 har ,795 p 0 euros/año Además, el período de programació es Q0 6, ,006 años 37,5 días r 6000 Como se puede comprobar e los ejemplos ateriores, las políticas óptimas depede del ídice de patró de demada potecial. Ello puede llevar a cofusió porque, como la ecuació de demada potecial es úica, parece que la política óptima a seguir debería ser tambié úica e idepediete del ídice de patró de demada. Así, podemos cocluir que cuado se utiliza u patró de demada potecial co la fialidad de modelar la demada de los clietes para u producto, e primer lugar, deberá idicarse claramete el ídice de patró de demada que mejor se ajuste a la demada de los clietes y, a cotiuació, aplicar la política óptima de ivetario para ese ídice de patró de demada. 76

157 Hasta aquí hemos aalizado el sistema de reposició uiforme co patró de demada potecial, si permitir roturas de stocks. E la próxima secció, estudiamos u sistema de ivetario co patró de demada potecial, admitiedo la posibilidad de roturas recuperables, dode la tasa de reposició depede del comportamieto de la razó de demada a lo largo del periodo de reposició. 77

158 5.5.- istema de ivetario de tamaño del lote y puto de pedido co patró de demada potecial, roturas recuperables y tasa de producció depediete de la tasa de demada Para el desarrollo de este uevo modelo, vamos a cosiderar u sistema de revisió cotiua del ivetario e u horizote ifiito, co demada determiista variable e el tiempo, e el cual se permite roturas y dode los clietes está dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició. Al comiezo del periodo de gestió, el stock eto iicial es s uidades y el período de reposició t' es el tiempo durate el cual se va añadiedo el tamaño de la reposició al ivetario. La reposició del ivetario, a través de la producció, comieza justo e el istate t = 0 y cotiua hasta t = t', cuado el stock alcaza u máximo ivel It'. Nótese que se cosidera que e cualquier istate t, co 0 t t ', la tasa de reposició Pt debe ser mayor que la tasa de demada Dt. Así, durate el período [0,t'], el ivetario habría aumetado a ua tasa de Pt - Dt = - rt -/ / -/. A cotiuació, cuado se detiee la reposició del ivetario a través de la producció, el ivel de stock empieza a dismiuir, debido al efecto de la demada, hasta t =. E ese mometo se iicia u uevo ciclo y se repite uevamete los mismos movimietos e el ivetario. Bajo los supuestos ateriores, las ecuacioes difereciales ordiarias que rige el sistema so di t dt rt, 0 t t' 5.30 di t dt rt, t' t 5.3 Las codicioes de frotera o cotoro de las ecuacioes so I0 = I = s puto de pedido. Por tato, las solucioes de las ecuacioes difereciales viee determiadas por las formulas siguietes I t s r t /, 0 t t'

159 t' I t s r / r t /, t' t 5.33 El ivel de stock eto, It, es ua fució - periódica y cotiua defiida e el itervalo [0,. Además, It es ua fució creciete e [0,t' y decreciete e t',]. La catidad total demadada e [0,] está dada por / r t D t dt 0 0 r 5.34 Al fial del ciclo de ivetario habrá sido icorporada al stock ua reposició de tamaño total Q. Ese tamaño del lote es t' t' / r t Q P t dt 0 0 t ' r / 5.35 La catidad programada Q para ser repuesta debe cubrir la demada total r a lo largo del ciclo de ivetario. Por tato, igualado 5.34 a 5.35, el período de reposició viee dado por t ' 5.36 La catidad máxima e ivetario se obtiee cuado la reposició es completamete añadida al stock. Así, la catidad máxima e el ivetario es I t ' t' s r / -Q s 5.37 Como las roturas está permitidas y so recuperables, es decir, los clietes está totalmete dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició para satisfacer su demada, la variació del ivetario del sistema depederá de los valores relativos del puto de pedido s y de la catidad máxima e ivetario. 79

160 E ese setido, se puede dar tres situacioes posibles: si s 0, o hay roturas y solo se matiee ivetarios; si --Q/ s 0, se matiee alguos ivetarios y, tambié, se produce situacioes de roturas; y si --Q/ s, hay, úicamete, roturas. ato la catidad promedio e ivetario I s,q como la rotura media I s,q, depede de las variables puto de pedido y tamaño del lote. Calcularemos dichas catidades depediedo de las diferetes posibles situacioes. A i s 0, etoces o hay roturas y, úicamete, se matiee stocks. La catidad promedio mateida e el ivetario es t' I s, Q r / / [ s t ] dt [ s Q t ] dt 0 t' r s Q Q - r r -Q s 5.38 Como, e este caso, o se produce roturas I s,q = 0. Además, el úmero promedio de reposicioes por uidad de tiempo es RQ = / = r/q. Asimismo, teiedo e cueta cada uo de los costos euciados ateriormete, el costo total por uidad de tiempo es Cs,Q = C s,q + C s,q + C 3 Q = hi s,q + wi s,q +ARQ. Por tato, ese costo viee dado por Q Cs,Q hs r A Q 5.39 B Cuado --Q/ s, o se matiee ivetarios e stock y, por tato, I, = 0. i embargo, la rotura promedio durate el período viee dada por t' I s, Q r / / [ s t ] dt [ s Q t ] dt 0 t' r 80

161 Q s Q - r r Q - s 5.40 E este caso, el coste total por uidad de tiempo es Q r Cs,Q w s A Q 5.4 C Por último, si --Q/ s 0, etoces se matiee alguos ivetarios y se produce alguas situacioes de rotura de stocks. Ahora, sea t el mometo e el cual el ivel de ivetario alcaza el ivel cero durate todo el período de reposició, y sea t el mometo e que el ivel de ivetario es igual a cero durate el período si reposició. Como It = 0, de 5.3, teemos t s [ r] -s Q r Q 5.4 De maera similar, It = 0 y, partiedo de 5.33 y 5.36, se obtiee t s r r s Q rq 5.43 E este caso, la catidad promedio mateida e el ivetario viee dada por la expresió t' r / r I s, Q [ s t ] dt [ s Q t t t' t / ] dt eiedo e cueta 5.36, 5.4 y 5.43 y resolviedo las itegrales ateriores, se obtiee I s Q s, Q Q Q -s - - Q

162 Ahora, teemos que calcular la rotura promedio durate el ciclo de ivetario. Ésta viee dada por I s, Q t / [ s t ] dt [ s Q 0 r t r t / ] dt Cosiderado 5.4 y 5.43, y resolviedo las itegrales ateriores, teemos I -s s, Q - Q 5.45 Por tato, el coste total por uidad de tiempo del sistema es s Q C s, Q h Q s Q w Q -s - -s - Q Q Q s Q -s- Q Q -s Q - r A Q 5.46 Ahora, probaremos que el míimo de la fució Cs,Q, debe caer detro de la regió que se caracteriza por la codició --Q/ s 0. Así, el míimo o puede estar e s 0, ya que el coste Cs,Q es siempre mayor que el coste Cs = 0,Q. De maera similar, el míimo o puede estar e la regió dode --Q/ s ya que Cs = --Q/,Q es siempre meor que el costo Cs,Q. Por tato, para obteer la solució del sistema de ivetario, teemos que ecotrar el míimo de la fució de costo Cs,Q dada por 5.46 detro del rago determiado por --Q/ s 0. 8

163 Política óptima de ivetario La solució óptima puede ser ecotrada obteiedo las derivadas parciales de la aterior fució de costos recogida e La derivada parcial de Cs,Q co respecto a s es s, w - Q Q Q s w h s Q s C y la derivada parcial de Cs,Q co respecto a Q es s, Q Ar w h Q Q s Q Q s w h Q Q s C Igualado ambas derivadas parciales a cero, podemos ecotrar la solució óptima s*,q* del sistema de ivetario co patró de demada potecial y roturas totalmete cubiertas co la siguiete reposició. Por lo tato, para obteer la política óptima de ivetario teemos que resolver las ecuacioes s w - Q Q Q s w h s Q Ar w h Q Q s Q Q s w h

164 Ahora bie, cosideremos ua ueva variable x defiida por el cociete o relació etre la catidad de pedidos pedietes y el tamaño del lote, es decir, x s Q 5.5 Nótese que la regió e la que estamos buscado obteer la política óptima es --Q/ s 0, la cual es equivalete a la codició 0 x -/. Por tato, la ueva variable x debe variar detro del itervalo [0,-/]. eiedo e cueta la ueva variable x, la ecuació 5.49 es equivalete a x x w h w 5.5 El siguiete eorema os garatiza que podemos ecotrar ua solució úica de esa ecuació que está compredida etre 0 y -/. eorema 5.3. La ecuació x w x 0 h w 5.53 tiee ua úica solució real e el itervalo [0,-/]. Demostració. ea yx ua fució real defiida e el itervalo [0,] dada por y x x x w h w 5.54 Esa fució es cotiua, derivable y estrictamete decreciete e el itervalo 0, ya que su derivada es siempre egativa, esto es, y' x x x

165 Además, y0 = h/h+w > 0 y tambié w y / 0 h w 5.56 Por lo tato, aplicado el eorema de Bolzao, existe u puto x* e el itervalo [0,-/] dode yx* = 0. Ese puto es úico porque la fució es decreciete e 0,. Podemos ecotrar esa solució utilizado algú método umérico como, puede ser, el método de la bisecció o el método de Newto - Raphso véase, por ejemplo, toer y Bulirsch 00. Ahora, ótese que 5.50 es equivalete a h w x h w Ar Q h w x x y de 5.5, teemos x w x h w 5.58 ustituyedo la expresió aterior e 5.57 se obtiee la ecuació h w w x x h w Ar Q Ahora, resolviedo la ecuació 5.5 y sustituyedo la solució obteida x* e 5.59, podemos obteer el tamaño del lote ecoómico de reposició Q*. Ese tamaño del lote viee dado por la fórmula 85

166 * * w h Ar * w h x w x Q De 5.5, el puto de pedido óptimo es s* = -x*q* y el costo míimo por uidad de tiempo del sistema de ivetario se obtiee sustituyedo los valores x* y Q* e la ecuació Por último, el siguiete eorema demuestra que el puto s*,q* es la política óptima del sistema de ivetario. eorema 5.4. La solució s*,q*, obteida resolviedo las ecuacioes 5.5, 5.60 y 5.5, es la política óptima del sistema de ivetario. Demostració. Cosideremos las segudas derivadas parciales de Cs,Q, las cuales so 5.6, Q s Q Q s w h s Q s C 5.6 Ar, 3 Q Q s Q Q s s w h Q Q s C 5.63, Q s Q Q s s w h Q s Q s C ea H el Hessiao de la fució Cs,Q. Este viee dado por ,,,, 3 Q Ar Q s Q Q s w h Q s Q s C Q Q s C s Q s C Q s H

167 eiedo e cueta que las derivadas parciales 5.6 y 5.6 so siempre positivas y que el Hessiao H es tambié positivo, llegamos a la coclusió de que el puto s*,q* es u puto míimo de la fució Cs,Q y, por tato, es la política óptima del sistema de ivetario Procedimieto algorítmico Co el objeto de sitetizar los resultados ateriores, a cotiuació describimos u algoritmo que os permite ecotrar la política óptima de ivetario: Paso 0. Itroducir los parámetros de etrada del sistema de ivetario. Paso. Calcular la solució úica x* e el itervalo [0,-/] de la ecuació 5.5 mediate el uso de algú método umérico. Paso. Determiar el tamaño ecoómico de la reposició Q* recurriedo a la fórmula Paso 3. Calcular el puto de pedido óptimo dado por la fórmula s* = -x*q* Paso 4. Determiar el costo míimo C* = Cs*,Q* del sistema de ivetario mediate la fórmula 87

168 Casos especiales Abordaremos, a cotiuació, dos casos particulares que tiee su orige e el aálisis desarrollado previamete. Primero, estudiaremos la política óptima que se obtiee si el patró de demada es uiforme =. eguidamete, aalizaremos la situació derivada de cosiderar ua tasa de producció ifiita Demada uiforme E el caso especial de que el ídice del patró de demada sea =, a partir de 5.5, teemos que resolver ua ecuació lieal simple, cuya solució es h x* h w 5.65 ustituyedo ese valor de x e 5.60, teemos el tamaño de la reposició Q* Ar h w wh 5.66 como i deotamos por p al producto r, esto es, p = r, etoces la expresió aterior se puede escribir Q* Ar h w r / p wh 5.67 La fórmula 5.67 es la catidad ecoómica de producció EPQ para el sistema de ivetario determiísta co tasa de producció uiforme, roturas permitidas, y clietes totalmete dispuestos a esperar a la siguiete reposició para satisfacer su demada ver Naddor 966, ilver et al. 998 y Zipki 000. Así, el modelo que se aaliza aquí, extiede y geeraliza al sistema de ivetario citado ateriormete. 88

169 asa de producció ifiita E este apartado vamos a estudiar el comportamieto del sistema de ivetario cuado la tasa de reposició o es ecesariamete fiita, tal como se ha supuesto e las seccioes ateriores. i cosideramos que tiede a. la ecuació 5.5 se reduce a x w h w 5.68 y la solució es x* w h w 5.69 ustituyedo ese valor de x e 5.60, teemos el tamaño del lote óptimo Q * Ar w w h w 5.70 Esa fórmula es igual a la catidad ecoómica de pedido EOQ de u sistema de ivetario co patró de demada potecial, reposició istatáea y roturas recuperables, dode los clietes está dispuestos a esperar a la siguiete reposició, como la que hemos plateado e el capítulo 3 del presete trabajo. 89

170 Ejemplos uméricos Ejemplo 5.4. Cosideremos u sistema de ivetario e el cual se permite roturas, co las mismas características descritas e este capítulo y asumiedo los siguietes valores de los parámetros: A = 00 euros por pedido. h = 4 euros por uidad y año. w = 6 euros por uidad y año. r =.00 uidades por año. =.. =. De 5.5, teemos que resolver la ecuació x 5x Utilizado el método de Newto - Rapso, la solució úica de la ecuació aterior detro del itervalo 0 x -/ = /6 es x* = 0, De 5.60, obteemos el tamaño de la reposició ecoómica que es Q* = 80, uidades. 6 0 De 5.5, el puto de pedido óptimo es s* = - x*q* = - 75,45309 uidades. De 5.46, el costo míimo es C* = euros/año. El período de programació es * = Q* /r = 0, años = 44,7065 días. días. Además, a partir de 5.36, el período de reposició es t' = */ = 0, años = 69,

171 Ejemplo 5.5. Ahora, cosideramos los mismos parámetros de etrada pero cambiado, úicamete, el patró de demada = por = /. Así, la ecuació 5.5 es x x Resolviedo la ecuació aterior, obteemos el valor de x* = 0, De 5.60, el tamaño ecoómico de la reposició es Q* = 790, uidades. El puto de pedido óptimo es s* = -3, uidades y, a partir de 5.46, el costo míimo viee dado por C* = euros/año. El período de programació es * = Q*/r = 0, años = 40, días, y teiedo e cueta 5.36, el período de reposició es t'= */ / = 0, años = 9, días. Ejemplo 5.6. Vamos a cosiderar los mismos parámetros de etrada del primer ejemplo, pero modificado el ídice de patró de demada por = /5 y el costo de mateimieto por h = 6. De la ecuació 5. teemos 5 x 5 x 0. Recurriedo al método de Newto - Raphso, la solució de la aterior ecuació es x* = ambié, de 5.60, obteemos el tamaño ecoómico de la reposició Q* = uidades. Además, el puto óptimo de pedido es s* = - x*q* = uidades y, de 5.46, el costo míimo es C* = euros/año. El periodo de programació es * = Q*/r = años = días. De 5.36, el periodo de reposició es t' = */ /5 = años = días. 9

172 E las ablas 5. y 5.3 presetamos alguos resultados adicioales. E la abla 5., cosideramos el ídice de patró de demada = 3 y los parámetros r =.00 uidades por año, A = 00 euros por cada reposició, y h = 4 euros por uidad y tiempo. Elegimos para el parámetro de la tasa de producció los siguietes valores =.,.3,.5,.7 y.9. Cosideramos cico valores para el coste de rotura w, es decir, w = 0., 0.5, y 5. abla 5. Fuete: Elaboració propia Nótese que el tamaño del lote ecoómico decrece a medida que se icremeta el parámetro de producció. i embargo, o ocurre lo mismo, respecto al tamaño del lote, cuado el coste de rotura se icremeta. 9

173 E la abla 5.3 mostramos el costo total míimo de ivetario para la política óptima expuesta e la abla 5.. e puede comprobar que el costo total míimo aumeta cuado se icremeta el coste de rotura w o el parámetro de la tasa de producció. Fialmete, el ciclo óptimo de ivetario o periodo de programació dismiuye a medida que se icremeta el parámetro de la tasa de producció. abla 5.3 Puto óptimo de pedido s y tamaño ecoómico de lote Q para sistemas de patró de demada potecial co = 3, r = 00 uidades por año, A = 00 euros por pedido, h = 4 euros por uidad y tiempo, asumiedo diferetes valores para los parámetros λ y w Parámetro tasa de producció Costo uitario de Rotura por uidad de tiempo w = 0. w = 0.5 w = w = 5 Cs,Q Cs,Q Cs,Q Cs,Q λ = λ = λ = λ = λ = Fuete: Elaboració propia 93

174 CONCLUIONE 94

175 CONCLUIONE Coclusioes derivadas del estudio E el aálisis desarrollado e este trabajo hemos profudizado e el diseño de diferetes modelos de gestió de stocks orietados a determiar políticas óptimas, co el propósito de adoptar decisioes ecamiadas a miimizar los costes totales del ivetario y proporcioar u adecuado ivel de satisfacció a los clietes, asegurado la disposició de biees o materiales e las mejores codicioes para cubrir sus ecesidades y las del proceso productivo. Ello os ha permitido abordar los problemas plateados y calcular los valores de las pricipales variables, presetado u resume de los resultados obteidos e las presetes coclusioes. Co la fialidad de completar el marco teórico e el que se ha fudametado uestra ivestigació, hemos realizado ua revisió bibliográfica de los trabajos relacioados co la gestió y el cotrol de los ivetarios, e los cuales la demada se expresa como ua fució depediete del tiempo. E cocreto, hemos recogido ua sítesis de la literatura más relevate relativa a los modelos de gestió de stocks que icorpora u patró de demada potecial, cosiderado o o la posibilidad de deterioro e los artículos, la cual ha servido de base para la elaboració del estudio y la realizació de uevas aportacioes. Adicioalmete, ates de especificar las hipótesis que rige estos sistemas de ivetario y determiar las políticas óptimas de gestió de stocks, hemos presetado diferetes cotextos y situacioes reales, e las cuales se puede aplicar el modelo de demada potecial, ofreciedo ua perspectiva práctica del procedimieto propuesto para la determiació de la política eficiete. E todos los modelos hemos supuesto ua demada de artículos determiista y depediete del tiempo, co la existecia de u ivetario de productos orietados a satisfacerla, el cual debe ser reaprovisioado. Además, hemos cosiderado los costos asociados a las operacioes de mateimieto o almaceamieto y a la reposició, icluyedo tambié los relacioados co la rotura; así como los objetivos a alcazar y las hipótesis o restriccioes que iterviee e razó de la aturaleza misma de cada uo de los problemas plateados. 96

176 E uestra ivestigació, hemos modificado alguas de las hipótesis de los modelos clásicos EOQ y EPQ, desarrollado u cojuto de siete sistemas determiistas de ivetario co demada variable e el tiempo y asumiedo u patró potecial, el cual iteta reflejar la cocetració temporal de la demada de los clietes a lo largo del ciclo de ivetario. E ese setido, e u primer esceario, hemos determiado la política óptima del sistema de ivetario co demada potecial si permitir la existecia de roturas, obteiedo el ivel óptimo de stock y el período de gestió óptimo. Hemos costatado que e el caso particular e que el patró de demada es uiforme, la política óptima coicide co la clásica catidad ecoómica de pedido EOQ. Además, cuado el ídice del patró de la demada es mayor que uo, el costo míimo de la política óptima es siempre meor que el costo de la política EOQ. i embargo, si el patró de demada es meor que uo, etoces el costo míimo de la política óptima es mayor que el costo de la política EOQ, ya que la demada se cocetra más al fial del periodo y hay mayor coste de mateimieto. ambié, hemos estudiado dos sistemas diferetes de gestió de stocks co presecia de roturas. Por ua parte, el sistema de ivetario co roturas recuperables, dode los clietes está dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició para satisfacer sus demadas de artículos y, por otra, el sistema de ivetario e el que la existecia de roturas se traduce e pérdida de vetas. Los resultados obteidos os ha permitido determiar las fórmulas que caracteriza las políticas óptimas y los costes míimos totales por uidad de tiempo para ambos sistemas. e puede comprobar que la solució óptima obteida para el sistema co roturas recuperables es absolutamete diferete de la obteida para el caso de pérdida de vetas, la cual es especialmete sigular. Ello es debido a que e el caso de vetas pérdidas se cosidera ua ueva forma o dimesió para el costo uitario de rotura. Ese cambio de dimesió coduce a la obteció de uos resultados distitos para las variables óptimas, viédose, además, afectada la estructura de la solució. Así, hemos observado que e el sistema de ivetario co pérdida de vetas la expresió de la solució óptima o es uiforme, ya que depede del valor del ídice de patró de demada y, tambié, de si se cumple o o ciertas codicioes. De esa maera, hemos obteido siete posibles situacioes, determiado para cada ua de las mismas su propia política óptima y su coste míimo. Es preciso resaltar que cada solució óptima ofrece resultados claramete difereciados co respecto a las solucioes obteidas e el sistema de ivetario e el cual o se permite roturas, así como e relació al sistema dode hay existecia de roturas recuperables. 97

177 Además, el aálisis realizado os idica que, cuado el ídice del patró de la demada tiee u valor compredido etre cero y uo, la estructura de la solució es la siguiete: o bie o se permite la rotura, si se verifica las correspodietes restriccioes, o bie o se matiee igú ivetario y es meos costoso icurrir e pérdidas de vetas todo el tiempo. e produce ua situació co estructura similar cuado el patró de demada potecial es uiforme. E ese caso, o o se permite roturas y el sistema se reduce al del tamaño del lote EOQ co su correspodiete política óptima, o o se matiee ivetario i se realiza reposicioes. E cocreto, cuado los valores del costo uitario de mateimieto y del costo de reposició so mayores que el costo uitario de la pérdida de vetas y la tasa de demada, os ecotramos co ua solució degeerada y, por tato, o debería existir igú sistema real de ivetario. i embargo, cuado el patró de demada potecial es mayor que uo, la solució óptima o puede ser uca ua solució degeerada. E esta situació, la política óptima cosiste, o bie e o permitir roturas o bie e añadir u determiado úmero de uidades al comiezo del período y o volver a repoer el ivetario hasta que se haya cotabilizado u úmero fiito de pérdida de vetas. Co los resultados obteidos e los tres primeros sistemas de ivetarios mecioados, podemos afirmar que los modelos estudiados geeraliza alguos modelos aalizados por otros autores. Así, el modelo clásico de catidad ecoómica de pedido es u caso particular del modelo si rotura ver Hadley y Whiti 963 y Naddor 966. Por otro lado, cuado se permite las roturas y las demadas so diferidas e el tiempo, la solució óptima geeraliza a la política óptima del sistema de ivetario clásico, e la cual la demada pediete se satisface totalmete co la llegada del siguiete pedido ver Waters 99 y Zipki 000. Además, los resultados obteidos para el sistema de pérdida de vetas co patró de demada potecial tambié extiede alguas políticas presetadas por otros autores cuado la demada sigue u patró uiforme véase Petico y Drake 009 y a José et al 009. E los ejemplos uméricos que ha servido para ilustrar cada uo de los tres primeros modelos aalizados, hemos asumido diversos valores para los parámetros de etrada del sistema, lo cual os ha permitido calcular los diferetes resultados óptimos que determia las políticas de gestió de stocks más eficaces y eficietes e la adopció de decisioes empresariales. Los mismos cofirma que las decisioes a adoptar so sigificativamete diferetes e cada caso. 98

178 A cotiuació, hemos estudiado dos modelos de gestió de ivetarios co patró de demada potecial, cosiderado que el stock se va agotado a lo largo del ciclo de ivetario, o sólo como cosecuecia de la demada de los clietes, sio tambié por el proceso de deterioro que sufre los artículos. La icorporació de deterioro e los modelos ha aumetado la complejidad e la resolució del problema de gestió de stocks. Hemos formulado, por ua parte, u modelo orietado a determiar el ciclo de ivetario óptimo y el míimo coste total medio por uidad de tiempo para sistemas de ivetario determiistas, co patró de demada potecial y cosiderado la posibilidad de cierto porcetaje de deterioro de los biees almaceados, pero si admitir la existecia de roturas. E ese setido, hemos demostrado que esa fució de costo total promedio es siempre covexa cualquiera que sea el ídice de patró de demada potecial cosiderado. Asimismo, hemos propuesto ua codició ecesaria y suficiete que posibilita la caracterizació del ciclo óptimo de ivetario, y se ha proporcioado u procedimieto iterativo para resolver el problema de gestió de stocks. Ese efoque os ha permitido calcular, de maera rápida y eficiete, el período de reposició óptimo mediate el empleo del método umérico de la bisecció. La aplicació de dicho procedimieto os ha aportado, directamete, el costo total medio míimo y el tamaño óptimo del lote. ambié, hemos aalizado el sistema de ivetario permitiedo deterioro para el caso particular e que la demada sigue u patró uiforme, es decir, preseta ua tasa costate. La resolució de la correspodiete ecuació, que caracteriza la solució óptima, ha requerido utilizar u método umérico, el cual os ha permitido obteer el míimo coste total medio, siedo éste ua fució expoecial del ciclo de ivetario óptimo. Hemos ilustrado el método teórico co diferetes resultados obteidos del correspodiete cálculo aplicado a diversos ejemplos, itroduciedo ua discusió sobre el aálisis de sesibilidad del modelo, que ha sido objeto de estudio, co respecto a los parámetros de etrada. eiedo e cueta u ídice de patró de demada potecial, los resultados idica que el costo total óptimo por uidad de tiempo aumeta a medida que la fracció de deterioro aumeta. Por su parte, se observa que el periodo óptimo de gestió dismiuye al aumetar dicha fracció. Además, dada ua fracció de deterioro, el ciclo de ivetario óptimo aumeta a medida que el ídice de patró de demada crece; si embargo, el costo míimo decrece a medida que aumeta dicho ídice. 99

179 Lo aterior se debe a dos circustacias: por ua parte, a que el costo de almaceamieto dismiuye cuado el ídice de patró de demada crece y, por otra, a que el coste de las uidades deterioradas por uidad de tiempo dismiuye cuado la proporció de deterioro tiede a cero. Hemos comprobado tambié que la fució de coste es decreciete co respecto al ídice de patró de demada potecial y que el costo total por uidad de tiempo aumeta a medida que aumeta la proporció de deterioro. A cotiuació, hemos formulado la política óptima cuado el ídice del patró de demada potecial y el costo de pedido varía, adoptado diferetes valores, mietras que el resto de los parámetros se matiee costates. Hemos demostrado que el costo de mateer el ivetario dismiuye cuado aumeta el patró de demada potecial y el costo de pedido dismiuye a medida que su costo uitario decrece. Asimismo, se costata que el costo total por uidad de tiempo se reduce a medida que decrece el costo uitario de reposició. Por otra parte, hemos aalizado la sesibilidad de la política óptima de ivetario co respecto al coste de mateimieto, comprobado que el valor del coste total aumeta a medida que se icremeta el coste uitario de mateimieto y dismiuye cuado el ídice de patró de demada potecial crece. Además, calculamos la política óptima cuado varía el costo de cada uidad deteriorada, mateiedo costates los demás parámetros. Así, se cofirma que el costo total crece a medida que aumeta el costo uitario de deterioro. ambié, se verifica que el costo total es ua fució decreciete co respecto al ídice de patró de demada potecial. Por lo tato, el costo míimo por uidad de tiempo se produce cuado el ídice del patró y el costo uitario de deterioro alcaza su valor máximo. A su vez, e ese caso, el ciclo de ivetario óptimo es el más largo de los ciclos aalizados para los diferetes valores de esos parámetros. E cuato a la evolució del coste total míimo y el ciclo óptimo de ivetario cuado hacemos variar la tasa de demada, dejado el resto de los parámetros costates, hemos cofirmado que el coste total aumeta a medida que dicha tasa de demada se icremeta. eguidamete, hemos estudiado el sistema de ivetario co patró de demada potecial, cosiderado ua tasa costate de deterioro, existecia de roturas y clietes dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició. Aquí, el costo total de ivetario icluye el costo de realizació del pedido, el costo de almaceamieto, el costo de rotura co demada diferida e el tiempo, así como el costo de las uidades deterioradas. 00

180 E este caso, hemos comprobado que o existe ua fórmula explícita para determiar las variables óptimas y poder obteer, de esa maera, la solució deseada. E su lugar, se ha de resolver ua ecuació o lieal mediate el uso de algú método umérico, lo cual os ha permitido calcular la catidad ecoómica de pedido, la duració óptima del ciclo de ivetario y el costo míimo de gestió de stocks. E ese setido, hemos presetado alguos ejemplos que refleja la variació de la política óptima cuado se modifica el porcetaje de deterioro de los artículos. Del exame de los efectos del cambio e el parámetro de deterioro sobre el período óptimo de programació, el tamaño del lote ecoómico y el costo míimo de ivetario, se puede observar que, el aumeto de dicho parámetro de deterioro coduce a ua dismiució e el período de programació y e la catidad de pedido o tamaño del lote. i embargo, cuado aumeta el valor del parámetro de deterioro, el costo total de ivetario por uidad de tiempo se icremeta. Ello es debido a que el coste de pedido y el costo de las uidades deterioradas aumeta e mayor medida que lo que dismiuye los otros costes. Posteriormete, hemos calculado las políticas óptimas de ivetario para dos sistemas determiistas co patró de demada potecial y reposició o istatáea. E primer lugar, hemos aalizado u sistema de ivetario de tamaño del lote co tasa de reposició uiforme y patró de demada potecial, e el cual las roturas o está permitidas. eiedo e cueta el valor del ídice de patró de demada potecial, se ha obteido diferetes solucioes óptimas. Ello os ha permitido ecotrar la catidad de producció ecoómica EPQ que miimiza el costo total de ivetario, siedo las variables de decisió el tamaño del lote y el puto de pedido. Podemos afirmar que esas solucioes óptimas obteidas extiede y geeraliza a la fórmula clásica de la catidad de producció ecoómica EPQ cuado la demada es cotate véase ilver et al. 998, Zipki 000 o Hillier y Lieberma 00. Hemos observado que, cuado el ídice de patró de demada es meor que la uidad, el tamaño del lote óptimo es meor que la catidad de producció ecoómica asociada al sistema de ivetario co patró de demada uiforme. i embargo, e ese caso, el coste míimo correspodiete es mayor que el míimo coste asociado al sistema de ivetario co tasa de demada uiforme. Por su parte, si el ídice de patró de demada es mayor que uo, etoces la solució óptima puede ser mayor, igual o meor que la catidad de producció ecoómica clásica para el sistema co patró uiforme. Ello depede de los valores de los siguietes parámetros: tasa de reposició, tasa promedio de la 0

181 demada e ídice de patró de demada potecial. De ahí que, si se satisface cierta codició sobre esos parámetros, etoces el tamaño óptimo del lote es mayor o igual a la catidad ecoómica de producció clásica para la tasa de demada uiforme. No obstate, e ese caso, el coste míimo para el sistema de ivetario es meor que el míimo coste asociado al sistema de ivetario co demada uiforme. Por otro lado, si el ídice de patró de demada es mayor que uo y la restricció cometada sobre los parámetros o se satisface, etoces el tamaño del lote óptimo sería iferior a la catidad ecoómica de producció clásica para ua tasa de demada uiforme. Además, el costo míimo para el sistema de ivetario sería mayor o igual que el míimo coste asociado al sistema de ivetario co demada uiforme. ambié, se ha aalizado el caso especial e el cual la reposició es istatáea, demostrado que la solució óptima obteida es igual a la política óptima propuesta para el sistema de ivetario co patró de demada potecial y roturas o permitidas, co lo cual se extiede y geeraliza dicho modelo. E segudo lugar, hemos estudiado u sistema de ivetario de tamaño del lote y puto de pedido, dode la demada de los clietes sigue u patró potecial y la tasa de producció es depediete de la tasa de demada. Hemos cosiderado que se admite roturas y que éstas so recuperables. ambié, hemos asumido que la tasa de producció dirigida a repoer el stock es proporcioal a la tasa de demada, por lo cual, si aumetase la demada, etoces, el ratio de producció tambié debería aumetar. Por lo tato, siempre se añade cierta catidad eta al ivetario durate el período de reposició. Cuado ese período fializa, comieza a dismiuir el ivel de existecias e el ivetario, debido a los efectos de la demada, hasta que se completa el período de programació o gestió. Para resolver el problema de ivetario hemos propuesto u efoque algorítmico que os ha permitido calcular la política óptima. De esa maera, a partir de la fórmula óptima de tamaño del lote ecoómico y el costo de ivetario míimo, se deduce fácilmete que si el costo del pedido o la tasa de demada aumeta, etoces el tamaño ecoómico de la reposició dismiuye, mietras que se icremeta el costo míimo de ivetario. ambié, a partir de los resultados experimetales obteidos, se puede observar que si el parámetro de la tasa de producció aumeta, etoces, el tamaño ecoómico de la reposició dismiuye, mietras que el coste míimo de ivetario se icremeta. Además, e este modelo hemos trabajado dos casos especiales: por ua parte, hemos plateado u patró de demada uiforme cuyo resultado os ha permitido exteder y geeralizar al sistema de ivetario determiista co tasa de producció uiforme y roturas recuperables ver Naddor 966, ilver et al

182 y Zipki 000; por otra parte, hemos supuesto ua tasa de producció o reposició ifiita, que os lleva a exteder y geeralizar al sistema de ivetario co patró de demada potecial, reposició istatáea y roturas recuperables. Al fializar la presetació de cada uo de esos dos últimos modelos estudiados, hemos ilustrado los resultados obteidos a través de ejemplos que icorpora diferetes valores de los parámetros. E cada caso, hemos recogido la política óptima que debería aplicarse y el costo míimo correspodiete. Por último, e lo referete a las implicacioes empresariales, e este trabajo de ivestigació se ha propuesto uevos modelos de ivetarios que, bajo determiadas hipótesis y restriccioes, permite ua mejor aproximació a la realidad e materia de gestió de stocks, pudiedo ayudar a las orgaizacioes, de maera sigificativa, e la adopció de decisioes e los campos de la logística, el marketig y la distribució comercial. Los resultados obteidos os ha permitido realizar alguas aportacioes que cotribuye a determiar las políticas óptimas de gestió de stocks, proporcioado ua mayor eficacia y eficiecia e las operacioes empresariales, así como u mejor servicio al cliete. 03

183 Futuras líeas de ivestigació Coscietes de las limitacioes impuestas por los diferetes supuestos o hipótesis cotempladas e los sistemas de ivetario estudiados, así como las oportuidades ecotradas e uestro aálisis, vemos coveiete sugerir uevas líeas de ivestigació que permita exteder el trabajo realizado. Así, destacamos como futuras ivestigacioes las propuestas que plateamos a cotiuació: - Estudio de modelos de ivetario co patró de demada potecial, e los cuales se cosidere que solo u porcetaje de los clietes está dispuestos a esperar a la llegada de la siguiete reposició para satisfacer sus ecesidades. De esa forma, se recuperaría ua parte de la demada, mietras que la otra se traduciría e pérdida de vetas. - Aálisis de sistemas de ivetario de catidad ecoómica de pedido co patró de demada potecial y deterioro, cuado las roturas so permitidas y asumiedo que éstas se traducirá e pérdida de vetas. - Determiació de la política óptima para sistemas de ivetario dode se suprime la restricció de la tasa de deterioro costate de los artículos, permitiedo que dicha tasa de deterioro sea ua fució depediete del tiempo. - Desarrollo de modelos de ivetario co reposició uiforme y patró de demada potecial, pero asumiedo que las roturas está permitidas. - Formulació de sistemas de catidad ecoómica de producció EPQ e los que se asuma ua tasa de deterioro para los artículos. - Estudio de modelos de ivetario de catidad ecoómica de producció EPQ co patró de demada potecial y ratio de producció proporcioal a la tasa de demada, asumiedo roturas y dode las mismas se traduce e pérdida de vetas. - Obteció de la política óptima de ivetario co patró de demada potecial cuado esté permitidos los descuetos por volume de compras. ambié, otra posible alterativa sería exteder los modelos de gestió de ivetarios propuestos, cosiderado la posibilidad de permitir retraso e los pagos. 04

184 - Desarrollo de los modelos de catidad ecoómica de producció co patró de demada potecial, cosiderado que la producció geera u porcetaje de artículos defectuosos, los cuales debería ser desechados o reparados ates de ser icluidos e el ivetario. - Estudio y resolució de sistemas de catidad ecoómica de pedido, icluyedo costos de formació y cosiderado u patró potecial de demada, teiedo e cueta que la formació de los operarios ecargados de la maipulació de los artículos e el ivetario, así como de los empleados dedicados a la gestió de los pedidos y la reposició de los artículos, hace que dismiuya los costes de mateimieto y reposició de los biees. - Aálisis de modelos de tamaño del lote óptimo, cosiderado costos derivados de la aplicació de técicas de marketig. Ello colleva que la demada potecial de artículos aumetaría como cosecuecia del gasto dirigido a la aplicació de los diferetes istrumetos operativos del marketig como, por ejemplo, el gasto derivado de la publicidad. Por tato, e la fució de demada habría de icluirse ua variable que especifique el gasto ecoómico dedicado a la realizació de las políticas de marketig orietadas a la comercializació de los productos de la orgaizació. Fialmete, teiedo e cueta la importacia de la ivestigació aplicada y la trasferecia de coocimieto, os gustaría cometar que, mediate el uso y la aplicació de estos modelos de gestió de ivetarios, se podría efectuar diferetes aálisis dirigidos a la obteció de resultados empresariales cuatitativos cocretos, los cuales podría permitiros comparar las políticas actuales de gestió implemetadas por las orgaizacioes co las políticas óptimas propuestas e los modelos plateados. De esa maera se facilitaría la adopció de las decisioes empresariales, ecesarias para la mejora de la eficacia y la eficiecia e la gestió comercial operativa de las orgaizacioes cosideradas. 05

185 BIBLIOGRAFÍA 06

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203 ANEXO DE FIGURA, GRÁFICO Y ABLA 6