Modelos Matemáticos para la optimización y reposición de maquinarias: Caso la Empresa Eléctrica de Milagro

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1 Modlos Matmáticos para la optimización y rposición d maquinarias: Caso la Emprsa Eléctrica d Milagro Edwin Lón Plúas, Csar Gurrro Loor 2 Ingniro n Estadística Informática, Dirctor d Tsis, Matmático, Escula Politécnica Nacional, Quito Postrado Brasil, Mstr n Matmática. Instituto d Matmática Pura Aplicada, Río d Janiro, RESUMEN El prsnt trabajo trata d hallar un política optima d mantniminto o rmplazo d transformadors n una mprsa léctrica. Para llo s considro dos modlos d control optimo. Para la dtrminación d las variabls d los modlos s contó con los datos históricos dntro d un priodo d 2 años. En conscuncia, uno d los objtivos dl Trabajo s ayudar a ntndr cómo s pud aplicar los modlos matmáticos para analizar fnómnos y problmas, y tomar dcisions sobr llos, s dcir vidnciar l papl d la optimización n los procsos d toma d dcisions. INTRODUCCIÓN La rposición d maquinarias léctricas s important dbido a no xist un studio qu indiqu l intrvalo d timpo qu tin qu transcurrir para qu un transformador s l dé mantniminto o s lo sustituya. D acurdo a la ncsidad d aplicar un modlo para optimización d maquinarias spcíficamnt d transformadors.

2 Los modlos matmáticos prmitn aproximars al análisis y valuación dl rndiminto d sistmas ants d qu san construidos, convirtiéndos así n una hrraminta clav d disño, n cualquira d sus fass, o para stimar a priori l impacto d los cambios propustos n sistma ya xistnts. I. DESCRIPCIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS Para la rposición d maquinarias s utilizan los modlos d control optimo d Trborgh y Thompson, stos modlos al aplicarlos a los transformadors ayudaran a la toma d dcisions d rposición. A continuación s dtallaran las caractrísticas d stos modlos: TERBORGH: S trata d un modlo continuo n l qu intrvin la capacidad productiva d la maquinas n un timpo t, tasa d gastos d mantniminto n un timpo t, función d ingrsos ntos. Dond l objtivo d st modlo s l dtrminar una política d mantniminto la cual stará dada n función d su capacidad productiva y ficincia d las máquinas qu componn un sistma. En st modlo s ha tomado n considración las siguints hipótsis: Las hipótsis qu s tinn qu cumplir n st modlo son las siguints: Modlo Continuo La capacidad productiva d una máquina x(t) (cada una d las d la cadna scuncial d máquinas) s pud mdir n unidads montarias. La tasa d cambio d la capacidad productiva d la máquina dpnd d la difrncia ntr la tasa d gastos d mantniminto g(t) y un término qu rprsnta la rducción d capacidad si no xistiran gastos d mantniminto. La función d ingrsos ntos R[x(t)] s cóncava y crcint. El valor rsidual d la máquina s función únicamnt d su capacidad productiva. La función valor rsidual S[g(t)] s cóncava y crcint.

3 Los gastos d mantniminto G(T) n cada instant no pudn xcdr d un cirto valor prstablcido y constant. No xist cambio tcnológico. La tasa d dscunto α s constant Exist stabilidad montaria S dsa maximizar l valor actual d los bnficios ntos. S cumpln todas cuantas hipótsis adicionals rquira la aplicación dl principio continuo dl máximo. Las variabls siguints no stán implícitas n las hipótsis. l Costs d la nuva máquina r Tasa constant d dscunto. G Cota suprior d gastos d mantniminto. En st modlo s considra a la función F, qu s l funcional. La solución analítica d st modlo dtrmina qu: F T -r.t ( R [ x( t )] g ( )) τ. t.. dt.t - t + r 0 S[x(T)]. I dond s calculo T, qu s l timpo optimo qu db d dars mantniminto l transformador. THOMPSON: S trata d un modlo también continuo n l qu intrvin la capacidad productiva d la maquinas n un timpo t, tasa d gastos d mantniminto n un timpo t, función d ingrsos ntos. Dond l objtivo d st modlo s l dtrminar una política d mantniminto la cual stará dada n función d su valor rsidual d la maquina n l timpo, función d obsolscncia, función d ingrsos brutos, tasa d producción n l timpo, y la tasa constant d dscunto. Las hipótsis qu s tinn qu cumplir n st modlo son las siguints: Modlo Continuo

4 La capacidad productiva X(t) d una máquina s pud mdir n unidads montarias La G(t) tasa d cambio dl valor rsidual dpnd d la tasa d obsolscncia y dl producto d la tasa d mantniminto, s dcir, s una función dl dtrioro d la máquina y d la política d mantniminto. La tasa d obsolscncia s no dcrcint La tasa d mantniminto fctivo s no crcint La función valor rsidual s no crcint S considra una sola máquina La tasa d producción d la máquina s constant La tasa d dscunto s constant Podmos considrar l flujo d ingrsos y l valor rsidual como las variabls d stado mintras qu los costs d mantniminto constituyn la variabl d control. El funcional qu rsulv l problma adoptará la forma siguint: F S(T) - r. T + 0 T r. T [ p. S ( t ) m ( t )]. dt lo qu maximizando F, s dmustra qu la política d mantniminto óptima s dl tipo bang-bang, s dcir, To dado xist τ ε [0, To], tal qu s aplica l gasto d mantniminto máximo hasta τ para lugo csar los gastos d sta naturalza, la solución d s da rsolvindo la siguint cuación: f ( t ) p ( p r r ). 0 - r(t t ) II. APLICACIÓN AL CASO DE ESTUDIO. Para la aplicación d st modlo s utilizaron los datos o lcturas d un quipo para dtrminar cuanto d nrgía pasaba por un transformador n un priodo

5 dtrminado. S calculo mdiant un análisis d ajust xponncial las funcions d X(t) Capacidad Productiva y G(t) Función d Gastos. Con sto iniciamos la aplicación d stos modlos. TERBORGH: Con la numración d las hipótsis y sus variabls, dond x(t) 9.4 xp(-0. t) y g(t) 4. xp(-0.22 t) y su notación s procdió a rsolvr con los datos proporcionados por la EEMCA con lo cual obtnmos las siguints funcions qu nos ayudarán a plantar l modlo: Dond F srá: F T 0 0 ( 9.4 x g ()) t t. dt + ( ) 25. -τ.t Por sr l l valor d la máquina una constant, si opramos suponindo qu TT o stá fijado, bastará maximizar l funcional. Para l qu s llga a las condicions ncsarias y suficints d optimalidad qu s dan a continuación: ' λ + ( α + r) λ k 0 Dond rsolvindo sta cuación difrncial nos das como rsultado qu la constant d la cuación difrncial s: C (k 2 D dond k α + r podmos T ( α + r ) llgar a qu la solución s : λ (T) T - ln( ( ε α + r - k + r )k 2 α + r k ) Dond r 7% K α 9.4 /25 y ntocs k

6 En introducindo stos dados n λ (T) vamos a ncontrar qu l rsultado srá un mantniminto continuo d aproximadamnt 4 años 0 mss y csando st mantniminto durant 2 mss para continuar con su ciclo d mantniminto EL MODELO DE THOMPSON El plantaminto d st modlo rsulta d obtnr f(t), la misma qu s la obtin ajustando los valors qu s obtuviron d prguntar a prsonas qu trabajan con l mantniminto d los transformadors llgamos a la siguint función d ajust: f ( t ) t Entoncs como p la tasa d producción n t, ntoncs hacindo un ajust con los datos d la producción d los transformadors s llga a: p( t ) t Y l único valor qu nos falta s r 7 % qu s un valor constant. Aplicando Métodos Numéricos para obtnr una solución d la cuación nos da como rsultado: 7,87 años. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Modlo d Trborgh Est modlo prsnta limitacions n l sntido qu solo mustra una política d mantniminto simpl qu s tin qu dar n ciclos d aproximadamnt 5 años, con sto l transformador no podrá optar por sr rmplazado al fin d stos ciclos porqu tin qu cumplir todo su ciclo d vida, y con sto alcanzara un valor rsidual d cro. Modlo d Thompson

7 El modlo d Thompson s mas complto porqu la política d mantniminto qu llga s l da al transformador durant aproximadamnt 7 años un mantniminto continuo y dspués d st priodo la mprsa pud optar por cambiarlo o sguir con l mantniminto, con sto l transformador pud sr rmplazado n la trcra tapa d su vida útil y sto garantizara l rmplazaminto optimo d los transformadors. Comparación d modlos El modlo d Thompson s difrnt al d Trborgh porqu st utiliza la tasa d ficacia dl mantniminto sobr la bas d mantnimintos antriors, y con llo obtnindo un rsultado mas aproximado a las Estándars Intrnacionals. Dicho n otras palabras, l modlo d Thompson da una mjor política d mantniminto qu la d Trborgh porqu sus rsultados dan una mjor aproximación a los Estándars Intrnacionals, s dcir qu un transformador solo st funcionando por l lapso d 7 años y d ahí tin qu sr rmplazado. Conclusión Gnral La dtrminación d las caractrísticas d los modlos a usars s complja dbido a la dtrminación d las funcions d gastos y capacidad productiva, y d las hipótsis. Los modlos dtrminan políticas d mantniminto n ciclos d 5 a 7 años. Est trabajo s ha basado n acoplar los dos modlos para qu la Emprsa Eléctrica tnga un inform adicional n la toma d dcisions. RECOMENDACIONES. Las mprsas léctricas dbn jcutar prmanntmnt plans para la valuación, d los transformadors, para lo cual s dbn cumplir con mtas a corto, mdiano y largo plazo. 2. Es important difundir l uso d stos modlos dntro d las prsonas rsponsabls dl mantniminto, a fin d qu stos conozcan los bnficios d implantar una política d optimización d maquinarias.

8 3. Crar la Unidad d Estadísticas n cada mprsa con los quipos ncsarios así como d softwar y hardwar para qu pudan cumplir ficazmnt sus funcions. BIBLIOGRAFIA. M.B. Vidal, Toría dl Control Óptimo(Hispano Europa, S.A.985), pp Follto dl Instituto Ecuatoriano d Elctrificación INECEL- Transformadors d Furza y d Distribución. Subdircción d Dsarrollo d Rcursos Humanos 993, pp M. William, W. Dnnos, S. Richard L Estadística Matmática con Aplicacions.( 2da. Edición, Grupo Editorial Ibroamérica S.A., 984), pp W. SANCHEZ, K. MORALES IDENTIFICACION Y CONTROL DE PERDIDAS DE ENERGIA EN EL SISTEMA DE DISTRIBUCION SECUNDARIA (Tsis, Facultad d Ingniría Eléctrica y Computación, Escula Suprior Politécnica dl Litoral, 2000)

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