PROBLEMAS CAMPO GRAVITATORIO

Transcripción

1 PROBLEMAS CAMPO GRAVITATORIO 1. a) Desde la supeficie de la Tiea se lanza veticalmente hacia aiba un objeto con una velocidad v. Si se despecia el ozamiento, calcule el valo de v necesaio paa que el objeto alcance una altua igual al adio de la Tiea. Si se lanza el objeto desde la supeficie de la Tiea con una velocidad doble a la calculada en el apatado anteio, escapaá o no del campo gavitatoio teeste? Datos: Masa de la Tiea: M T 5, kg. Radio de la Tiea: R T 6370 km. Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg Llamando g 0 y V 0 a la intensidad de campo gavitatoio y al potencial gavitatoio en la supeficie teeste espectivamente, detemine en función del adio de la Tiea: a) La altua sobe la supeficie teeste a la cual la intensidad de campo gavitatoio es g 0 /2. La altua sobe la supeficie teeste a la cual el potencial gavitatoio es V 0 /2. 3. Un satélite atificial descibe una óbita cicula alededo de la Tiea. En esta óbita la enegía mecánica del satélite es 4, J y su velocidad es 7610 m s 1. Calcule: a) El módulo del momento lineal del satélite y el módulo del momento angula del satélite especto al cento de la Tiea. El peiodo de la óbita y la altua a la que se encuenta el satélite. Datos: Constante de Gavitación Univesal G 6, N.m 2.kg 2 Masa de la Tiea M T 5, kg Radio de la Tiea R T 6370 km 4. Un objeto de 5 kg de masa posee una enegía potencial gavitatoia Ep 2x10 8 J cuando se encuenta a cieta distancia de la Tiea. a) Si el objeto a esa distancia estuviea descibiendo una óbita cicula, cuál seía su velocidad? Si la velocidad del objeto a esa distancia fuese de 9 km/s, cuál seía su enegía mecánica? Podía el objeto esta descibiendo una óbita elíptica en este caso?

2 6. Fobos es un satélite de Mate que gia en una óbita cicula de 9380 km de adio, especto al cento del planeta, con un peiodo de evolución de 7,65 hoas. Oto satélite de Mate, 5. Sabiendo que la aceleación de la gavedad en un movimiento de caída libe en la supeficie de la Luna es un sexto de la aceleación de la gavedad en la supeficie de la Tiea y que el adio de la Luna es apoximadamente 0,27 R T (siendo R T el adio teeste), calcule: a) la elación ente las densidades medias Luna / Tiea ; la elación ente las velocidades de escape de un objeto desde sus espectivas supefi- cies (Ve) Luna / (Ve) Tiea. Deimos, gia en una óbita de km de adio. Detemine: a) La masa de Mate. El peíodo de evolución del satélite Deimos. c) La enegía mecánica del satélite Deimos. d) El módulo del momento angula de Deimos especto al cento de Mate. Datos: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg 2 Masa de Fobos 1, kg; Masa de Deimos 2, kg 7. a) Cuál es la aceleación de la gavedad en la supeficie de un planeta esféico cuyo adio es la mitad del de la Tiea y posee la misma densidad media? Cuál seía el peíodo de la óbita cicula de un satélite situado a una altua de 400 km especto a la supeficie del planeta? Datos: Radio de la Tiea R T 6371 km Aceleación de la gavedad en la supeficie de la Tiea g 9,8 m s 2 8. Un satélite de masa 20 kg se coloca en óbita cicula sobe el ecuado teeste de modo que su adio se ajusta paa que dé una vuelta a la Tiea cada 24 hoas. Así se consigue que siempe se encuente sobe el mismo punto especto a la Tiea (satélite geoestacionaio). a) Cuál debe se el adio de su óbita? Cuánta enegía es necesaia paa situalo en dicha óbita? Datos: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg 2 Masa de la Tiea: M T 5, kg Radio de la Tiea: R T 6370 km 9. Cuato masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vétices de un cuadado de lado igual a 2 m. Calcule: a) El campo gavitatoio que cean las cuato masas en el cento de cada lado del cuadado. El potencial gavitatoio ceado po las cuato masas en el cento del cuadado, tomando el infinito como oigen de potenciales. Dato: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg 2

3 10. Un satélite atificial de 200 kg descibe una óbita cicula alededo de la Tiea. La velocidad de escape a la atacción teeste desde esa óbita es la mitad que la velocidad de escape desde la supeficie teeste. a) Calcule la fueza de atacción ente la Tiea y el satélite. Calcule el potencial gavitatoio en la óbita del satélite. c) Calcule la enegía mecánica del satélite en la óbita. d) Se tata de un satélite geoestacionaio? Justifique la espuesta. Datos: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg 2; Masa de la Tiea: M T 5, kg; Radio medio teeste: R T 6370 km 11. Una masa de kg se encuenta situada en el punto A ( 1,0) y ota masa de kg en el punto B (1,0), las coodenadas están en metos. Calcule: a) El campo gavitatoio en el punto C (0,1) El campo gavitatoio en el punto medio del segmento AC c) El punto donde se anula el campo gavitatoio Datos: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg a) Enuncie la tecea ley de Keple y demuéstela paa el caso de óbitas ciculaes. Aplique dicha ley paa calcula la masa del Sol suponiendo que la óbita de la Tiea alededo del Sol es cicula con un adio medio de 1,49 l0 8 km. Dato: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg Calcule el módulo del momento angula de un objeto de 1000 kg especto al cento de la Tiea en los siguientes casos: a) Se lanza desde el polo note pependiculamente a la supeficie de la Tiea con una velocidad de 10 km/s. Realiza una óbita cicula alededo de la Tiea en el plano ecuatoial a una distancia de 600 km de su supeficie. Datos: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg 2. Masa de la Tiea: M T 5, kg. Radio medio teeste: R T 6, m 14. Un satélite atificial de 100 kg se mueve en una óbita cicula alededo de la Tiea con una velocidad de 7,5 km/s. Calcule: a) El adio de la óbita. La enegía potencial del satélite. c) La enegía mecánica del satélite. d) La enegía que había que suminista al satélite paa que desciba una óbita cicula con adio doble que el de la óbita anteio. Datos: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg 2. Masa de la Tiea: M T 5, kg. Radio medio teeste: R T 6, m

4 15. Una sonda de masa 5000 kg se encuenta en una óbita cicula a una altua sobe la supeficie teeste de 1,5 R T. Detemine: a) el momento angula de la sonda en esa óbita especto al cento de la Tiea; la enegía que hay que comunica a la sonda paa que escape del campo gavitatoio te- este desde esa óbita. Datos: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg 2. Masa de la Tiea: M T 5, kg. Radio medio teeste: R T 6370 km 16. a) Cuál es el peiodo de un satélite atificial que gia alededo de la Tiea en una óbita cicula cuyo adio es un cuato del adio de la óbita luna? Cuál es la elación ente la velocidad del satélite y la velocidad de Luna en sus espectivas óbitas? Dato: Peiodo de la óbita luna T L 27,32 días 17. Un satélite atificial de 500 kg que descibe una óbita cicula alededo de la Tiea se mueve con una velocidad de 6,5 km/s. Calcule: a) La enegía mecánica del satélite. La altua sobe la supeficie de la Tiea a la que se encuenta. Datos: Constante de Gavitación Univesal G 6, N.m 2.kg 2 Masa de la Tiea M T 5, kg Radio de la Tiea R T 6370 km 18. Desde un punto de la supeficie teeste se lanza veticalmente hacia aiba un objeto de 100 kg que llega hasta una altua de 300 km. Detemine: a) La velocidad de lanzamiento. La enegía potencial del objeto a esa altua. Si estando situado a la altua de 300 km, queemos conveti el objeto en satélite de foma que se ponga en óbita cicula alededo de la Tiea, c) Qué enegía adicional habá que comunicale? d) Cuál seá la velocidad y el peiodo del satélite en esa óbita? Datos: Constante de Gavitación G 6, N.m 2.kg 2 Masa de la Tiea M T 5, kg; Radio de la Tiea R T 6370 km 19. Suponiendo que los planetas Venus y la Tiea desciben óbitas ciculaes alededo del Sol, calcule: a) El peiodo de evolución de Venus. Las velocidades obitales de Venus y de la Tiea. Datos: Distancia de la Tiea al Sol: 1,49x10 11 m Distancia de Venus al Sol: 1,08x10 11 m Peiodo de evolución de la Tiea: 365 días 20. Razone si son vedadeas o falsas las siguientes afimaciones: a) El valo de la velocidad de escape de un objeto lanzado desde la supeficie de la Tiea depende del valo de la masa del objeto. En el movimiento elíptico de un planeta en tono al Sol la velocidad del planeta en el peihelio (posición más póxima al Sol) es mayo que la velocidad en el afelio (posición más alejada del Sol).

5 21. Un satélite de 1000 kg de masa descibe una óbita cicula de km de adio alededo de la Tiea. Calcule: a) El módulo del momento lineal y el módulo del momento angula del satélite especto al cento de la Tiea. Cambian las diecciones de estos vectoes al cambia la posición del satélite en su óbita? El peiodo y la enegía mecánica del satélite en la óbita. Datos: Masa de la Tiea: M T 5, kg. Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg a) Deduzca la expesión de la enegía cinética de un satélite en óbita cicula alededo de un planeta en función del adio de la óbita y de las masas del satélite y del planeta, De-mueste que la enegía mecánica del satélite es la mitad de su enegía potencial. 23. Io, un satélite de Júpite, tiene una masa de 8, kg, un peiodo obital de 1,77 días, y un adio medio obital de 4,22 l0 8 m. Consideando que la óbita es cicula con este adio, detemine: a) La masa de Júpite. La intensidad de campo gavitatoio, debida a Júpite, en los puntos de la óbita de Io. c) La enegía cinética de Io en su óbita. d) El módulo del momento angula de Io especto al cento de su óbita. Dato: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg a) Enuncie la 2 a ley de Keple. Explique en qué posiciones de la óbita elíptica la velocidad del planeta es máxima y dónde es mínima. Enuncie la 3 a ley de Keple. Deduzca la expesión de la constante de esta ley en el caso de óbitas ciculaes. 25. Consideando que la óbita de la Luna alededo de la Tiea es una óbita cicula, deduzca: a) La elación ente la enegía potencial gavitatoia y la enegía cinética de la Luna en su óbita. La elación ente el peiodo obital y el adio de la óbita descita po la Luna. 26. Un satélite atificial de 100 kg se mueve en una óbita cicula alededo de la Tiea con una velocidad de 7,5 km/s. Calcule: a) El adio de la óbita. La enegía potencial del satélite. c) La enegía mecánica del satélite. d) La enegía que había que suminista a este satélite paa que cambiaa su óbita a ota con el doble de adio. Datos: Constante de Gavitación: G 6, N.m 2.kg 2. Masa de la Tiea: M T 5, kg. Radio de la Tiea: R T 6370 km. 27. Un asteoide está situado en una óbita cicula alededo de una estella y tiene una enegía total de J. Detemine: a) La elación que existe ente las enegías potencial y cinética del asteoide. Los valoes de ambas enegías potencial y cinética.

6 28. Un cometa se mueve en una óbita elíptica alededo del Sol. Explique en qué punto de su óbita, afelio (punto más alejado del Sol) o peihelio (punto más cecano al Sol) tiene mayo valo: a) La velocidad. La enegía mecánica. 29. Un planeta obita alededo de una estella de masa M. La masa del planeta es m kg y su óbita es cicula de adio 10 8 km y peiodo T 3 años teestes. Detemine: a) La masa M de la estella. La enegía mecánica del planeta. c) El módulo del momento angula del planeta especto al cento de la estella. d) La velocidad angula de un segundo planeta que descibiese una óbita cicula de a- dio igual a 2 alededo de la estella. Datos: Constante de Gavitación Univesal G 6, N.m 2.kg 2 Considee 1 año teeste 365 días 30. Una sonda espacial de masa m 1000 kg se encuenta situada en una óbita cicula alededo de la Tiea de adio 2,26 R T, siendo R T el adio de la Tiea. a) Calcule la velocidad de la sonda en esa óbita. Cuánto vale su enegía potencial? c) Cuánto vale su enegía mecánica? d) Qué enegía hay que comunica a la sonda paa alejala desde dicha óbita hasta el in- finito? Datos: Masa de la Tiea M T 5,98 l0 24 kg. Radio de la Tiea R T 6, m. Constante de Gavitación Univesal G 6, N.m 2.kg Un satélite atificial de masa 200 kg se mueve alededo de la Tiea en una óbita elíptica definida po una distancia al peigeo (posición más póxima al cento de la Tiea) de 7, m y una distancia al apogeo (posición más alejada al cento de la Tiea) de 10, m. Si en el peigeo el módulo de la velocidad es 8, m/s a) Cuál es el módulo de la velocidad en el apogeo? Detemine el módulo y diección del momento angula del satélite. c) Detemine la velocidad aeola del satélite. d) Detemine la enegía mecánica del satélite. Datos: Constante de Gavitación Univesal G 6, N.m 2.kg -2 ; masa de la Tiea 5, kg.

7 Soluciones 1. a) Aplicamos el teoema de consevación de la enegía mecánica h ; h 6, , , / Calculamos la velocidad mínima necesaia paa que un objeto escape a la atacción gavitatoia: 2 2 6, , , / Como la velocidad de lanzamiento v m/s, compobamos que es mayo que la velocidad mínima de escape y po tanto el objeto sí que escapaá del campo gavitatoio teeste. a) ; 2 ; dividimos una po ota: ( + h) 2 ( + h) ; 2 + h R ; 2 + h 2 + h ; h ; h ( 2 1) ; dividimos una po ota: 3. a) í ; mv ; GM v 6, , , ; 2 4, , , ,4 5,98 10 p m v 155, kg m/s L m v sen 90 p 6, ,14 10 kg m /s 2 2 6, ; ,58 h 7610 h 6, , a) ; / ,5 10 Como E>0, el objeto estaá descibiendo una hipébola.

8 5. a) ; ; : ,27 ; 0, , ,617 0,27 0, ,27 0, a) í, 4 (7, ) 4 6,67 10 (9,38 10 ) ; 6,44 10 ; 7, ; 30,2 h c) 2 6, , , ,19 10 d) / 30, , ,63 10 / 7. a) ; 1 2 ; ; 9,8 4,9 / ; , ,68 h 4,

9 8. a) í, ( ) Δ , ,9810 ; 4, , , , , , a) m 1 m 2 é 6, l 2 m 8, g g a) c) d) m 3 g 3 ó , ,43 10 / ; , ,13 10 / 1 2 ; , , , ,9810 1,57 10 / , , , í, , , ,3 h No es geoestacionaio T 24 h. g 4 m 4

10 11. a) A g 1 D g T g 2 P 1 g 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 m -1 1 g 1 g 2 m 2-0,5 0 0,5 1-0,1 C g T g 2 En el punto C (0,1): (0 + 1) + (1 0) + ; , ,716 4,716 (0 1) + (1 0) + ; ( 1) , ,149 14, ,43 18,9 / En el punto D ( 0,5;0,5): ( 0,5 + 1) + (0,5 0) 0,5 + 0,5 ; 0,5 + 0,5 0, ,5 + 0,5 6, ,87 18,87 0,5 0,7071 ( 0,5 1) + (0,5 0) 1,5 + 0,5 ; ( 1,5) + 0,5 1, ,5 + 0,5 6, ,19 5,06 2,5 1, ,68 23,9 / c) El campo se anulaá en un punto P (x,0) ente A y B, donde los módulos de los dos campos sean iguales. Hallamos la coodenada x de dicho punto: ; 6 10 ( 1) 3; 2 10 ( + 1) ; ; 0,268 De las dos soluciones escogemos la que coesponde al punto que está ente A y B. 12. a) La tecea ley de Keple dice: El cuadado del peiodo de cualquie planeta es popocional al cubo de la distancia media al Sol (T 2 3 ). En una óbita cicula: í ; mv GM ; v 4π T 4π GM B 4 4 (1,49 10 ) 6,67 10 (365, ) 1, , el módulo valdá: L mv sen a) Como vale ceo el momento angula valdá ceo. Ahoa vale 90, po lo que el módulo valdá: Lmv, ( es el adio de la óbita). La elación ente el adio de una óbita cicula y su velocidad se obtiene, po ejemplo de:

11 í ; mv m/s L , Kg m 2 s 1. ; v GM 6, , , a) La elación ente velocidad y adio de una óbita cicula se puede obtene de: í ; mv ; GM v 6, , , m c) 6, , , ,6 10 J 6, , , ,8 10 J 2 d) La enegía mecánica en la óbita de adio doble seá: 2(2) 6, , , ,4 10 J E E E 1, ( 2, ) 1, J hay que suminista 15. a) 2,5 6, , , ,5 6, ,98 10 / Paa que escape su enegía total ha de vale ceo: + 0 ; 0 2 6, , ,5 6, , a) Aplicamos la tecea ley de Keple,. é é ( /4) 1 4 ; é ; é 27,32 8 3,415 í 2 ; é 2 é é é 1 2 é a) ; 6, , ,44 10

12 6, , , , h; h 9, , ,07 10 m 3070 km 18. a) Aplicamos el teoema de consevación de la enegía mecánica h ; 1 2 c) h + h 1 2 6, , , , / ó 2 d) a) Aplicamos la tecea ley de Keple: ; 6, , , ,98 10 ó 2 2 5, , , , / ; 2 6, , , ,5 h ; 225 í 2 1, ,49 10 / 2 1, ,97 10 / 1 2 0; 2 2, a) Falso. Un objeto escapa del campo gavitatoio cuando su enegía mecánica es mayo o igual que ceo: Po lo tanto la velocidad de escape depende de la masa de la Tiea peo no de la del objeto.

13 Vedadeo: En un campo de fuezas centales el momento angula se conseva. (90) (90) Como a > p, entonces v a < v p 21. a) í ; v GM mv 6, , m/s , / (90) , , / La diección de es tangente a la tayectoia cicula po lo tanto cambiaá con la posición. La diección de es pependicula al plano de la óbita del satélite y no cambiaá con la posición, se conseva poque la fueza gavitatoia es cental ,63 h , , ,66 10 ; 22. a) M masa del planeta, m masa del satélite, adio de la óbita. 23. a) c) í ; í ; 4 g v 2π T 2 mv ; v GM 1 2 mv ; v 2π T ; 4 (4,22 10 ) 6,67 10 (1, ) 1,9 10 6, ,9 10 (4,22 10 ) 0,712 N/kg 2π 4, m/s 1, , ,34 10 d) 90 4, , , a) 2 a ley de Keple: El adio vecto que une el planeta y el Sol bae áeas iguales en tiempos iguales.

14 La velocidad es máxima en el peihelio (punto más póximo al Sol) poque el adio vecto es más coto y ha de movese más depisa paa bae la misma áea en el mismo tiempo. Po la misma azón la velocidad mínima se da en el afelio (punto más lejano del Sol) donde el adio vecto es más lago. 3 a ley de Keple: Paa cualquie planeta, el cuadado de su peiodo obital (tiempo que tada en da una vuelta alededo del Sol) es diectamente popocional al cubo de la distancia media al Sol: T 2 C 3. Supongamos un planeta de masa m en óbita cicula de adio, alededo del Sol (masa M): í ; mv ; GM v 2 4 4π GM 25. a) M masa de la Tiea, m masa de la Luna, adio de la óbita. í ; mv ; v GM a) M masa de la Tiea, m masa del satélite, adio de la óbita. í ; 6, , , , , , ,63 10

15 c) d) 2 6, , , ,81 10 Δ , a) M masa de la estella, m masa del asteoide, adio de la óbita. í ; mv ; v GM ; ; a) La fueza gavitatoia es cental y po tanto su momento con especto al Sol es nulo y el momento angula se conseva: (90) (90) ; < > La velocidad en el peihelio es mayo. Δ ; como el tabajo no consevativo es nulo, la enegía mecánica se conseva, es igual en el peihelio y en el afelio. 29. a) T , s c) d) í ; mv 2 4 ; GM v 4π GT 4 (10 ) 6,67 10 (9,46 10 ) 6, , , , , , / , ; , , ,35 10 /

16 30. a) í ; mv ; v c) v 6, , ,26 6, / 6, , ,26 6, , , , d) En el infinito la enegía es ceo: Δ 0 ( 1,39 10 ) 1, a) El momento angula se conseva: é (90) é (90) 7, , ,3 10 ; 5,60 10 / é (90) 7, ,22 10 c) d) 1,15 10 / 1, , / + 7, ,3 10 8, , , , ,6 10 También se puede calcula sumando la enegía cinética y potencial en el peigeo (o en el apogeo): (8,22 10 ) 6, , , ,61 10