Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 6: Teoremas

Transcripción

1 ontrol Eléctrico y Accionamintos Toría d ircuitos I nidad 6: Tormas Índic d tmas d la nidad Torma d máxima transfrncia d potncia Torma d Thévnin.Torma d Norton Torma d Millman Torma d rciprocidad Torma d compnsación Torma d sustitución Torma d máxima transfrncia d potncia El torma d máxima transfrncia d potncia stalc las condicions para las qu la potncia activa ntrgada a una dada carga por una funt ( d tnsión o corrint ) dtrminada,sa máxima. Sa una funt d tnsión continua d valor E con una rsistncia intrna, conctada a una rsistncia d carga.la potncia consumida por la carga vin dada por : E P I ( + ) La condición para qu la potncia sa máxima s : dp d 0 dsarrollando otnmos : dp d E ( + ) ( + ) 4 ( + ) E 0 rordnando términos, rsulta : d dond surg qu, para qu la potncia transfrida por la funt sa máxima. El torma d máxima transfrncia d potncia pud nunciars d la siguint manra :.- la condición para la qu la potncia transfrida por una funt d tnsión ( o corrint ) continua a una dada rsistncia d carga sa máxima s qu l valor d la rsistncia d carga sa igual al d la rsistncia intrna d la funt. Hoja d 0

2 ontrol Eléctrico y Accionamintos Toría d ircuitos I nidad 6: Tormas En condicions d máxima transfrncia d potncia l rndiminto s dl 50% dido a qu la potncia ntrgada por la funt s rpart n parts iguals ntr su rsistncia intrna y la rsistncia d carga.en fcto : η [ %] P P 00 I E I 00 I E 00 ( + ) E 00 E [ %] onsidrmos ahora una funt d tnsión altrna snoidal d valor ficaz,, cuya impdancia Z vin dada por Z + j X a la qu s l concta una impdancia d carga Z, dada por : Z + j X La potncia activa ntrgada por la funt a la carga vin dada por : P I ( + ) + ( X + X ) ( ) Para qu la potncia activa transfrida a la carga sa máxima s condición ncsaria qu l dnominador d la xprsión ( ) sa lo más pquño posil.en particular si s cumpl qu X - X, la cuación ( ) s rduc a : P I ( + ) La cuación ( ) s similar a la analizada n l caso qu la funt ra d tnsión continua y para qu su valor sa máximo d cumplirs qu :. En conscuncia, la potncia activa transfrida a la carga por la funt d tnsión altrna snoidal srá máxima cuando s vrifiqu qu la impdancia d carga sa igual a la conjugada d la impdancia d la funt.en símolos : ( ) y X X val dcir Z Z : uando la impdancia d carga conctada a la funt d tnsión altrna snoidal s sólo una rsistncia, la potncia consumida n ésta vin dada por : P I ( + ) + X ( 3 ) La potncia disipada n la rsistncia d carga,, srá máxima cuando s vrifiqu : dp d 0 Hoja d 0

3 ontrol Eléctrico y Accionamintos Toría d ircuitos I nidad 6: Tormas drivando ntoncs la cuación ( 3 ) rspcto d, otnmos : dp d [( + ) + X ] ( + ) ( + ) + X [ ] 0 ( 4 ) Para qu la cuación ( 4 ) sa igual a cro, l numrador d ésta d sr nulo, n conscuncia : ( X ) + X 0 Por lo tanto, para qu la potncia transfrida por la funt d tnsión altrna snoidal a la rsistncia d carga sa máxima, la rsistncia d carga d sr igual al módulo d la impdancia d la funt.en símolos : c 0 + X n caso particular s da cuando sólo s pud modificar la part ral d la impdancia d carga consrvándos constant la part imaginaria val dcir : varial ; X constant.basta con incorporar la ractancia d la carga a la impdancia d la funt para rducir ést caso al d la rsistncia conctada a la funt d tnsión altrna snoidal.la condición para otnr máxima disipación n la rsistncia d carga srá : ( X X ) Torma d Thévnin.Torma d Norton En muchos casos prácticos intrsa valuar los camios d intnsidad d corrint n una dada rama d una rd múltipl al modificars los lmntos prtncints a dicha rama.si s limina la rama n custión, la rd qudará airta, convirtindo l par d nodos a los qu staa conctada la rama, n un par d trminals. Vista dsd dicho par d trminals, la rd pud rducirs a una funt ral d tnsión o a una funt ral d corrint. Si la rd múltipl vista dsd un par d trminals cualsquira ( otnidos liminando la rama a analizar ) s rmplaza por una funt ral d tnsión, la misma tin qu star constituída por una funt idal d tnsión, E, conctada n sri a una impdancia, Z. El torma d Thévnin stalc qu la tnsión d la funt idal ( dnominada tnsión d Thévnin, E Th ) s igual a la difrncia d potncial mdida ntr l par d trminals considrado, sin ningún lmnto conctado ntr los mismos ( tnsión a circuito airto ) y, qu la impdancia n sri ( dnominada impdancia d Thévnin, Z Th ) s igual a la qu s mid ntr l par d trminals con la rd pasivada ( todas las funts d tnsión liminadas y rmplazadas por un cortocircuito ; todas las funts d corrint cortocircuitadas y dsconctadas d la rama dond stán insrtadas ). La funt idal d tnsión E Th, n sri con la impdancia Z Th, rci l nomr d quivalnt Thévnin d la rd linal, activa, considrada.el circuito quivalnt Thévnin pud mplars para calcular la rspusta d cualquir circuito xtrno conctado al par d trminals considrado pro no rinda información alguna acrca d la rd a la qu rprsnta, s dcir qu sólo s podrá dtrminar l flujo d nrgía n l cicuito xtrior. Para dmostrar l torma d Thévnin pud considrars una rd linal, activa, cualquira n la qu primramnt s rmplacn todas las funts d corrint por sus quivalnts d tnsión ( aplicando l principio d dualidad ).A continuación, s d aplicar l torma d sustitución ( vr apartado ) a todas las ramas Hoja 3 d 0

4 ontrol Eléctrico y Accionamintos Toría d ircuitos I nidad 6: Tormas pasivas d la rd para convrtirlas n ramas activas quivalnts.inalmnt s componn todas las funts d tnsión considrando un dado par d nodos como salida d la rd.el rsultado srá qu la rd s rmplazará por una funt d tnsión idal n sri con una impdancia.entoncs, l valor d tnsión mdido ntr los trminals considrados, n vacío, srá igual a la tnsión d la funt idal y la impdancia mdida ntr los trminals con la rd pasivada srá igual a la impdancia d la funt quivalnt, tal como stalc l Torma d Thévnin. Si la rd múltipl vista dsd un par d trminals cualsquira ( otnidos liminando la rama a analizar ) s rmplaza por una funt ral d corrint, la misma tin qu star constituída por una funt idal d corrint, I, conctada n parallo a una admitancia, Y. El torma d Norton stalc qu la intnsidad d la funt idal d corrint ( dnominada corrint d Norton, I N ) s igual a la intnsidad d corrint qu circula ntr l par d trminals considrado, stando los mismos cortocircuitados ( val dcir unidos por una rama pasiva d impdancia nula ) y, qu la admitancia n parallo ( dnominada admitancia d Norton, Y N ) s igual a la qu s mid dsd l par d trminals con la rd pasivada ( todas las funts d tnsión liminadas y rmplazadas por un cortocircuito ; todas las funts d corrint cortocircuitadas y dsconctadas d la rama dond stán insrtadas ). La funt idal d corrint I N, n parallo con la admitancia Y N, rci l nomr d quivalnt Norton d la rd linal, activa, considrada. El circuito quivalnt Norton s l dual dl quivalnt Thévnin, sindo las rlacions ntr amos las siguints N Z Th Y ETh I N Z Th cuacions qu prmitn rmplazar l quivalnt Thévnin por l quivalnt Norton ( y vicvrsa ) d una rd linal, activa, vista dsd un dado par d trminals. Evidntmnt, para l circuito quivalnt Norton rign las mismas limitacions qu para l quivalnt Thévnin n cuanto a qu sólo s pud calcular l flujo d nrgía n l circuito xtrno.el torma d Norton quda dmostrado simplmnt por aplicación dl principio d dualidad al circuito quivalnt Thévnin Torma d Millman El torma d Millman stalc qu un dado númro d funts rals d tnsión conctadas n parallo pud sr rmplazado por una funt ral d tnsión quivalnt tal qu su impdancia intrna sa igual a la invrsa d la suma d las admitancias intrnas d cada una d las funts y, cuya tnsión sa igual a : q Y Y n Y + + Κ + n Z q Y + Y + Κ + Y n Y + Y + Κ + Y n dond parallo. Y, Y, Κ, Y n son las admitancias intrnas d cada una d las funts d tnsión conctadas n Para dmostrar l torma d Millman asta considrar trs funts d tnsión conctadas n parallo como s mustra n la siguint figura, a la izquirda.s rmplaza cada funt d tnsión por su quivalnt d corrint otniéndos l circuito mostrado n la figura, a la drcha. Hoja 4 d 0

5 ontrol Eléctrico y Accionamintos Toría d ircuitos I nidad 6: Tormas El grupo d las trs funts d corrint n parallo pud sr rmplazado por una única funt d valor : I q I + I + I 3 Y + Y + 3 Y 3 cuya admitancia vin dada por : Y q Y + Y + Y3.Dicha funt d corrint s pud rmplazar por una funt d tnsión quivalnt tal qu : Y + Y + 3 Y 3 I q q Y q d dond otnmos q Y + Y + Y 3 xprsions qu coincidn con las postuladas por l torma d Millman. con Z q Y q Hoja 5 d 0

6 ontrol Eléctrico y Accionamintos Toría d ircuitos I nidad 6: Tormas Es posil nunciar l torma d Millman, aplicando l principio d dualidad, al caso d un dado númro d funts d corrint conctadas n sri pro, dado qu la conxión n sri d funts d corrint carc d intrés práctico l torma rsulta d poca utilidad Torma d rciprocidad El torma d rciprocidad stalc qu : dada una funt d tnsión ( t ) conctada a un par cualquira d trminals ( m-n ) d una rd linal, pasiva,ilatral, tal qu produc la circulación d una intnsidad d corrint i ( t ), ntr otro par cualquira d trminals ( p-q ) d la rd, si dicha funt s traslada y concta a los trminals ( p-q ), ntr los trminals ( m- n ) circulará la corrint i ( t ).En la siguint figura s da un jmplo d ést nunciado : Aplicando l principio d dualidad, l torma d rciprocidad tamién pud nunciars d la siguint manra : dada una funt d corrint i ( t ) conctada a un par cualquira d trminals ( m-n ) d una rd linal, pasiva, ilatral, tal qu produc una tnsión u ( t ) ntr dos trminals cualsquira ( p-q ) d la rd, si la funt d corrint s traslada y concta ntr los trminals ( p-q ), ntr los trminals ( m-n ) s stalcrá la tnsión u ( t ). En la siguint figura s da un jmplo d ést nunciado : El torma d rciprocidad stalc la rlación ntr la xcitación ( por tnsión o intnsidad d corrint ) aplicada a un par d trminals d una rd linal, ilatral y pasiva, con la rspusta ( intnsidad d corrint o tnsión ) qu s otin ntr otro par d trminals d la misma rd. El cocint dado por la tnsión aplicada, dividido por la intnsidad d corrint I producida, s dnomina impdancia d transfrncia, cuya xprsión s :. z, I Hoja 6 d 0

7 ontrol Eléctrico y Accionamintos Toría d ircuitos I nidad 6: Tormas El cocint dado por la intnsidad d corrint aplicada I, dividido por la tnsión producida, s dnomina admitancia d transfrncia, y vin dado por :. y, Al sr la rd dl tipo linal, ilatral y pasiva, la inmitancia ( impdancia o admitancia ) d transfrncia ntr los pars d trminals considrados, tin un valor único y, n conscuncia, pudn intrcamiars la ntrada ( xcitación ) con la salida ( rspusta ) consrvándos l valor d la rspusta d salida ( intnsidad d corrint o tnsión ) para una dada xcitación d ntrada ( tnsión o intnsidad d corrint ). Es important sñalar qu l torma d rciprocidad s válido únicamnt para las ramas d la rd dond s hallan los trminals considrados como ntrada y/o salida y, no s pud aplicar al cálculo d intnsidad d corrint ( o tnsión ) n las ramas rstants.tampoco s pud aplicar l torma d rciprocidad ntr dos tnsions ( o corrints ). omo jmplo d aplicación considérs la rd linal, pasiva, ilatral, mostrada n la siguint figura : I Los valors d las impdancias d la rd tomada como jmplo son : [ Ω] Z 4 j [ Ω] Z 3 + j 3 [ Ω] Z 4 + j 4 [ Ω] Z 3 [ Ω] Z 3 + j 5 j Hoja 7 d 0

8 ontrol Eléctrico y Accionamintos Toría d ircuitos I nidad 6: Tormas En la mitad suprior d la figura s mustra qu al conctar una funt d tnsión altrna snoidal d valor ficaz 00 [ V ], a los trminals a-, l punt ntr los trminals c-d s rcorrido por una corrint d intnsidad I. En la mitad infrior d la figura s mustra la configuración cuando s traslada la funtr d tnsión a los trminals c-d y s unn los trminals a-. La impdancia quivalnt vista dsd los trminals a- d la funt vin dada por la conxión sri d Z con l parallo d las ramas formadas por Z y la impdancia quivalnt d la conxión n sri d Z3 con l parallo d Z4 y Z5, val dcir : j 63º,43 j 7º,57 j 8º,4 Z 4 Z 5 4,47 3,63 4,4 j 6º,57 Z 4,5 4, 47 j 8º,43 Z j 3,63 4 Z 5 [ Ω] Z 3,4,5 Z 3 + Z 4,5 088 j 9º,46 ( + j 3 ) + ( 4 j ) 6 + j 6, [ Ω] Z a, Z Z Z 3,4,5 + Z + Z 3,4,5 3 + j +,7068 ( 3 + j ) j º,40 4,47 + 5, j,4650 6,088 0 j j 6º,57 j 9º, j + j 4º,53 [ Ω ] 5,840 [ Ω ] 7,09 0,0499 j 7º, j º5º,7 La tnsión aplicada a la impdancia Z, vin dada por : Z, a, 00 a, Z a, j 0º j 0º 00 Z 3,6056 5,840 j 33º,69 j4º,53 00 j9º,6 ( 0,674 ) j 5º,9 ( 0,468 j 0,06 ) 4,68 j 0,6 [ V ] 46,343 [ V ] j 0º La tnsión aplicada a la impdancia Z4, vin dada por : Z,4 Z, Z, Z 3,4,5 46,343 Z j5º,9 j 5º,9 3 46,343 3,6056 6,088 j56º,3 j 9º,46 j 6º,95 ( 0,5946 j 0,435 ) 34,074 [ V ] 46,343 j5º,9 j 46º,85 ( 0,598 ) d dond, la intnsidad d corrint a través d la impdancia Z4 val : j 6º,95,4 34,074 I 7, 6 j 63º,43 Z 4,47 4 Z j5º, 38 Si ahora s coloca un punt ntr los trminals a- dl circuito dado y la funt d tnsión s intrcala ntr los trminals c-d, como s mustra n la part infrior d la figura, la intnsidad d corrint n la impdancia Z, d acurdo al torma d rciprocidad, d rsultar igual a la intnsidad calculada para la rama d impdancia Z4 stando la funt aplicada a los trminals a-. [ A ] Hoja 8 d 0

9 ontrol Eléctrico y Accionamintos Toría d ircuitos I nidad 6: Tormas La impdancia vista dsd los trminals c-d d la funt s la quivalnt a la sri d la impdancia Z4 con l parallo d dos ramas formado por la impdancia Z5 y la impdancia quivalnt a la sri d la impdancia Z3 con l parallo d Z y Z, por consiguint : Z,,3 Z Z Z 3 + Z + Z 4,857 + j 3,855 3,6056 j 33º,69 4, j 0 ( + j 3 ) + ( + j 3 ) j 37º,47 [ Ω ] 5,400 [ Ω ] j 6º,57 +,3035 j 7º, Z c, d Z,,3 Z Z,,3 + Z 5 Z + j 4 + 3,6 ( + j 4 ) + ( + j 4 ) j 37º,9 4,57 + j37º,47 5,400 3,63 5,857 + j 0,855 j,05 j 7º,57 j 4º,6 [ Ω ] 5,0087 [ Ω ] + 7,077 5,934 j 34º,0 j 3º,09 La tnsión aplicada a la impdancia Z5, vin dada por : Z,5 c, d c, d Z c, d 30,874 j 0º 4 00 Z j 56,584 4,47 5,0087 j 63º,43 j 4º,6 00 j 6º,35 [ V ] 64,404 [ V ] j 0º j 39º,7 ( 0,899 ) La tnsión aplicada a la impdancia Z, vin dada por : Z, Z,5 Z,5 Z,,3 64,404 Z 3 j 6º,35 64,404 j 6º,35 3,6056 5,400 j 9º,7 ( 0,368 j 0,56 ) 7,473 [ V ] j 56º,3 j 37º,47 64,404 La intnsidad d corrint a través d la impdancia Z s otin hacindo : j 9º,7,5 7,473 I 7, 6 j 33º,69 Z 3,6056 Z j5º, 40 rsultado qu vrifica l torma d rciprocidad para la rd pasiva considrada. [ A ] j 6º,35 j8º,84 ( 0,6677 ) Torma d compnsación El torma d compnsación prmit calcular l incrmnto d intnsidad d corrint qu tin lugar n una rama d una rd linal, cuando s modifica la impdancia d dicha rama. Sa la rama a- d una rd activa, linal cuya impdancia Za,, s modifica n un valor Za, ( positivo o ngativo ). omo conscuncia, la intnsidad d corrint Ia, qu circulaa por dicha rama ants d modificar la Hoja 9 d 0

10 ontrol Eléctrico y Accionamintos Toría d ircuitos I nidad 6: Tormas impdancia, s incrmntará n un valor Ia,, ngativo si l incrmnto d impdancia fu positivo y positivo si l incrmnto d impdancia fu ngativo. Para calcular l incrmnto d corrint Ia, n la rama a- considrada, d acurdo al torma d compnsación, s d pasivar la rd ( rmplazando todas las funts d tnsión por un cortocircuito y cortocircuitando todas las funts d corrint para lugo dsconctarlas d la rama dond stán insrtadas ) insrtar una funt d tnsión d valor Ia, Za,, n la rama a- modificada ( cuya impdacia actual s Za, + Za, ).sulta ntoncs : I a, I a, Z a, Z a, + Z a, + Z Th a, Z Th a, dond s la impdancia d Thévnin d la rd pasivada vista dsd los trminals a y d la rama cuya impdancia ha sido modificada. El torma d compnsación s pud dmostrar considrando n primr lugar qu al modificar la impdancia Za,, incrmntándola n l valor Za,, s insrta n la rama a- una funt d tnsión d valor Ia, Za,, d modo d compnsar la caída d tnsión dida a Za,, consrvando así, constant la intnsidad d corrint n la rama a-. Lugo s insrta n la rama una sgunda funt d tnsión d valor Ia, Za,, d forma tal d anular l fcto d consrvación d la intnsidad d corrint dido a la primr funt d tnsión insrtada.en éstas condicions, la intnsidad d corrint n la rama a- srá igual a : Ia, + Ia,. sulta vidnt qu l incrmnto d intnsidad d corrint Ia, n la rama a- d impdancia Za, + Za, s d xclusivamnt a la acción d la funt d tnsión Ia, Za,. Para calcular Ia,, aplicando l torma d suprposición, srá ncsario pasivar la rd ( d modo d anular Ia,) rmplazándola por su quivalnt d Thévnin visto dsd los trminals d la rama a-.en ésas condicions otndrmos un lazo simpl alimntado por la funt d tnsión Ia, Za,,qu suministra nrgía a las impdancias Za, + Za, y Z Th a, d cálculo s la propusta por l torma d compnsación Torma d sustitución conctadas n sri qu son rcorridas por la corrint I, a, cuya xprsión El torma d sustitución postula qu una rama ( a- ) cualquira d una rd, linal, a través d la qu circula una dada corrint d intnsidad Ia,, sindo a, l a tnsión ntr los nodos uicados n los xtrmos d la rama pud sr rmplazada por una funt d tnsión ( ) d impdancia intrna Z, tal qu al ntrgar una corrint d intnsidad Ia, ocasion una tnsión a, ntr los nodos uicados n los xtrmos d la rama considrada, sin qu rsultn altradas las tnsions y corrints n las ramas rstants. En fcto, la tnsión n una rama cualquira d una rd pud xprsars como : a, I a Z dond los valors d y Z,pudn lgirs aritrariamnt d modo d vrificar la igualdad. Aplicando l principio d dualidad pud rmplazars la funt d tnsión por una d corrint vrificándos d igual manra l torma d sustitución. Hoja 0 d 0