Sucesiones. Liceo Nº 35 - IAVA

Transcripción

1 Liceo Nº 35 - IAVA Como ya lo hemos hablado e clase, este material NO sutituye el estudio e los libros recomedados NI es el teórico del curso, simplemete es u ordeamieto de alguos coceptos y teoremas que te permitirá ecotrarlos e forma rápida para su uso. Verás tambié que e muchos teoremas o está la demostració sio que se pide que la hagas tu y e otros casos te recomiedo algú libro como el Spivak para que la estudies ahí y e otros la demostració se hizo e clase o se pidió que la hicieras e algú ejercicio de algú repartido, por lo que o debes ver este material despredido de las hojas del práctico. reales Coteidos relevates: moótoas y acotadas. Covergecia. Álgebra de límites. Codició de Cauchy. Defiició: Ua sucesió e R es ua fució a : N R. Nota: Por ua cuestió de tradició represetaremos las imágees de cada atural como a e lugar de escribir a() y le llamaremos térmio ésimo de la sucesió. La otació que utilizaremos para referiros a la sucesió a : N R será (a ) N. Defiició: Ua sucesió (a ) N se dice acotada sii existe u etoro E(u, r) de forma que el cojuto image de la sucesió está icluido e él. Es decir que se cumple que para algú u R y para algú r R + etoces {a : N} E(u, r). Defiició: Diremos que ua sucesió (a ) N es i) moótoa creciete (decreciete) cuado a a + (a a + ) para todo N. ii) estictamete creciete (decreciete) cuado a < a + (a > a + ) para todo N. Nuestro iterés estará cetrado e ivestigar cómo se comporta los térmios de la sucesió para valores grades de. Defiició: Diremos que la sucesió (a ) N coverge a a sii para todo real positivo ɛ existe u 0 N de forma que a E(a, ɛ) para todo 0. E símbolos, si: ɛ R +, 0 N : a a < ɛ 0. Si la sucesió (a ) N coverge a a podremos: a a o lím a = a. E ese caso diremos que el límite de la sucesió (a ) N es a y que la sucesió es covergete. Ua sucesió que o es covergete se llama divergete.

2 Ejemplo Ivestiguemos el comportamieto de la sucesió (a ) N tal que a =. observa que e la figura aterior hemos graficado la sucesió dada y ello os permite observar que prefijado u ɛ R + cualquiera, es posible ecotrar u atural 0 a partir del cual todos los térmios de la sucesió cuyos subídices lo supere, perteecerá al etoro de cetro 0 y radio ɛ, es decir que gráficamete visualizamos que lím = 0. Probemos ahora la coclusió aterior utilizado la defiició. Queremos probar que los térmios de la sucesió está ta cerca de 0 como querramos a codició de cosiderar los subídices suficietemete grades, es decir: 0 = = < ɛ > ɛ Observemos que lo aterior o prueba que el límite sea 0 ya que lógicamete o es correcto porque hemos partido de lo que queremos probar, e cambio si las deduccioes que hacemos so del tipo si y solo si, 0 = = < ɛ > ɛ etoces la prueba de que el límite es cero es la que correspode a la lectura de derecha a izquierda, previamete eligiedo 0 E( ) + (esto es posible porque R es Arquimediao): ɛ > E( ɛ ) + > ɛ < ɛ < ɛ 0 < ɛ resumiedo, ɛ R +, 0 = E( ɛ ) + N : 0 < ɛ 0 lím = 0 es decir que hemos represetado e el plao Cartesiao el cojuto de putos de coordeadas (, a)

3 Ejemplo 2 Cosideremos ahora la sucesió (b ) N tal que b =. Esta sucesió es claramete divergete ya que si supoemos que u cierto real b es su límite, etoces si se os atojara tomar ɛ = debería existir u atural 0 de forma que para todo mayor o igual que 0, b o sea debería perteecer al etoro E(b, ), pero esto implicaría que los aturales está acotados, cosa que sabemos que o ocurre. Aprovechemos el ejemplo aterior para escribir la egació de la defiició dada arriba: lím a a ɛ R +, 0 N : 0 para el que a a ɛ Los siguietes teoremas trata sobre sucesioes covergetes. Si (a ) N covere a a y coverge a b etoces a = b. Sugerecia: iteta probarlo supoiedo que a b. Este teorema os permite asegurar que si ua sucesió tiee límite, etoces es úico. Si (a ) N es covergete, etoces está acotada. Sugerecia: trata de acotar primero el cojuto de los térmios de la sucesió a partir de u cierto atural utilizado la defiició de límite y luego observa que los térmios de la sucesió que o has utilizado forma u cojuto fiito. Defiició: Diremos que la sucesió (a ) N tiee límite + (o que tiede a + ) si dado cualquier k R existe 0 N de forma que para todo atural mayor o igual que 0 se tiee que a > k. E este caso podremos: a + o lím a = +. De forma similar defiimos a o lím a =. Ejercicio : El teorema aterior es muy útil a los efectos prácticos ya que os permite asegurar que si ua sucesió o está acotada etoces o coverge. Veamos el siguiete ejemplo: sea la sucesió (x ) N defiida como estudiemos los térmios de la forma x = i= i=2 i= i = + ( ) ( ) + ( ) 2 + ( ) ( ( ) ) = i= i

4 lo que sigifica que los térmios de la forma i=2 i= supera a cualquier real positivo prefijado, i co lo que la sucesió origial o está acotada por lo que diverge. Fialmete e clase veremos cómo se relacioa los límites de sucesioes co las operacioes defiidas e R: Supogamos que(x ) N e (y ) N so sucesioes para las que se verifica que lím x = x y lím y = y (x, y R). Etoces i) lím (x + y ) = x + y. ii) Para c R, lím (cx ) = cx. iii) lím (x y ) = xy. iv) lím( x y ) = x y si,y 0; y 0 para todo N E el puto iii) del teorema aterior las dos sucesioes ivolucradas deber ser covergetes, pero qué pasaría si ua de ellas estuviera acotada y la otra fuese covergete a cero? Nuestra ituició os dice que tambié la sucesió producto covergería a cero. Demostrémoslo. H) Sea las sucesioes (a ) N y (b ) N de forma que (a ) N está acotada y lím b = 0. T ) lím a.b = 0. Escribamos primero lo que sabemos y luego lo que queremos demostrar. (a ) N acotada a < K R + para todo N sabemos: lím b = 0 ɛ R + 0 N : N 0, b E(0, ɛ ) queremos probar: { lím b = 0 ɛ R + 0 N : N 0, a.b E(0, ɛ) Recordemos que pedir que a.b E(0, ɛ) es equivalete a pedir que los elemetos a.b diste del cetro del etoro meos que ɛ (este ɛ lo elige el eemigo!!!) por lo que pedir que a.b E(0, ɛ) es equivalete a pedir todo lo que sigue e la siguiete cadea a.b E(0, ɛ) a.b 0 < ɛ a.b < ɛ a. b < ɛ a. b 0 < ɛ pero por hipótesis sabemos que a }{{} < K N. b 0 }{{} < ɛ 0 la cuestió es etoces ver si es posible determiar ɛ (recuerda que este puedo elegirlo yo 2 ) de maera que la última desigualdad se cumpla a partir de cierto 0. Etoces parecería que eligiedo < ɛ 2 por qué?

5 ɛ = ɛ K debe existir u 0 de forma que si 0 se tiee que b < ɛ K 0 se cumple que a. b 0 < K. ɛ K < ɛ etoces para todo atural es decir que uestra jugada será tomar 0 = 0. Veamos u resume de lo aterior para ver cómo fucioa la relació ɛ, 0. ) Como siempre el eemigo elige u ɛ. 2) Tomamos ese ɛ y o vamos a uestro laboratorio (el de Dexter), allí utilizado la primera hipótesis hallamos u K R + que sea cota de la sucesió (a ) N ; de la seguda hipótesis como sabemos que lím b = 0, tomado ɛ = ɛ K y teemos la certeza de que debe existir u 0 de forma que N 0, b E(0, ɛ K ). Este 0 es el que etregamos e la mesa de juego como e 0. Nota: Eteder el fucioamieto de la relació ɛ, 0 es parte de la demostració. Cotiuamos co resultados correspodietes a sucesioes. La demostració del siguiete teorema -basada e la defiició de límite- se deja como ejercicio para el estudiate 3. H) Sea las sucesioes (a ) N, (b ) N y (c ) N de forma que para todo N co 0 se cumple que a b c. Además lím a = lím c = α R. T ) lím b = α Ejercicio 2: Como aplicació del teorema aterior podrías demostrar que lím = eligiedo dos sucesioes coveietes (a ) N, (c ) N de forma que a c co lím a = lím c = La demostració del siguiete teorema fue hecha e clase. Toda sucesió moótoa tiee límite, e particular si está acotada es covergete y se cumple a) que si la sucesió (a ) N es moótoa creciete y está acotada superiormete etoces lím a = sup {a : N} b) que si la sucesió (a ) N es moótoa decreciete y está acotada iferiormete etoces lím a = if {a : N} 3 o tal vez se hará e clase

6 Número e U ejercicio iteresate es probar que el úmero e o es racioal. Sea la sucesió S = + + 2! + 3! + 4! + +! probemos primero que S es creciete, para ello debemos probar que S < S o sea, probar que + + 2! + 3! + 4! + + ( )! < + + 2! + 3! + 4! + +, pero esto es evidete porque! 0 <!. Probemos ahora que S está acotada: 0 < S < 2+ 2! + 3! + 4! + + ( + )! < }{{}. = 3 2 < 3 por tato utilizado el teo. aterior cuya demostració fue hecha e el repartido 3 ejercicio 3, como S es creciete y acotada superiormete, tiee límite. A partir de lo aterior es que estamos e codicioes de defiir: Defiició: Llamaremos úmero e al límite de la sucesió S por lo visto ateriormete podemos asegurar que 2 < e 3. Probemos ahora que el úmero e que acabamos de defiir o es u racioal. comecemos evaluado la diferecia etre e y ua aproximació de él para u cierto atural, es decir e S. Para ello sea m u atural tal que m >, etoces: S m S = ( + )! + ( + 2)! + + m! =! ( ( + ) + ( + )( + 2) + + ( + )( + 2)... m ) <! ( ( + ) + ( + ) ( + ) m ) =! ( ( + ) m ) <! es decir que 0 < S m S <!, si ahora pasamos al límite e m obteemos: 0 < e S <!. E particular de la desigualdad aterior para = 2 resultaría que 2, 5 < e 2, 75, que juto co la acotació primera os permite escribir: 2 < e 2, 75 < 3. Por el absurdo si supoemos que e = p co q 0 y D(p, q) =, debe cumplirse que q 2 q ya que 2 < e < 3 y o puede ser u etero. Se cumplirá etoces que S q < e = p q < S q + q!q multiplicado ahora por q! queda: q!s q < q! p q = (q )!p < q!s q + q < q!s q +.

7 Pero esto es ua cotradicció porque q!s q es u atural y etoces el atural (q )!p estaría compredido etre dos aturales cosecutivos. Defiició (sucesió parcial o subsucesió) Sea ua sucesió (a ) N real y ( k ) k N ua sucesió de aturales estrictamete creciete. Llamaremos subsucesió de (a ) N a la sucesió (a k ) k N. Lo aterior e los hechos es lo mismo que elimiar térmios de la sucesió origial 4 (a ) N si volver atrás, para obteer ua ueva sucesió (a k ) k N que cosiste claro está e térmios de la primera e el mismo orde pero o ecesariamete e la posició que teía e la sucesió origial. Por ejemplo dada la sucesió (a ) N podemos obteer a partir de ella la ueva sucesió a 2, a 4, a 6,......, a 2,... Claro que o es la úica subsucesió que podemos obteer, (a 4 ) N, (a 3t ) t N, etc. tambié lo so 5. E cambio,, 0, 3, 0, 5 subsucesió de la sucesió ( ) N. + ( )+, 0,......,,... o es ua 2 H) Sea la sucesió (a ) N, tal que a a. T ) Cualquier sucesió parcial coverge al mismo límite. Sea (a k ) k N ua subsucesió cualquiera de la sucesió (a ) N y sea ɛ R +. Como a a se cumple que para el ɛ elegido, podemos ecotrar ua marca 0 N de forma que si el subídice de algú térmio de la sucesió es mayor o igual a 0 etoces ese térmio estará ecesariamete e el etoro de cetro a y radio ɛ; e particular como k es ua sucesió estrictamete creciete, debe ser 0 0, etoces a k E(a, ɛ) para todo k 0, lo que sigifica que a k a, que era lo que queríamos probar. Ua aplicació imediata del teorema aterior es para probar la divergecia de ua sucesió, ya que si somos capaces de ecotrar dos sucesioes parciales que tega diferete límite 6, etoces la sucesió origial o puede ser covergete. Si revisas uevamete el Ejercicio verás que e realidad lo que hicimos allí fue determiar ua subsucesió (x 2 ) N divergete. 4 o todos por supuesto 5 e la defiició de subsucesió e igú lugar se hace referecia a la existecia de ua fórmula para determiarla. 6 o que ua de ellas sea divergete

8 Lema: Toda sucesió tiee ua subsucesió moótoa. La demostració puedes ecotrarla por ejemplo e el libro de Michael Spivak Cálculo Ifiitesimal (Bolzao-Weierstrass para sucesioes) Toda sucesió acotada tiee al meos ua subsucesió covergete. Supogamos que (a ) N es ua sucesió acotada. Por el lema aterior es posible extraer de ella ua subsucesió moótoa, pero dicha sucesió parcial tambié estará acotada, etoces estamos e presecia de ua sucesió moótoa y acotada, por el teorema correspodiete ya visto, se deduce que dicha sucesió coverge, lo que completa la prueba. Defiició (sucesioes de Cauchy) Diremos que ua sucesió (a ) N es de Cauchy sii ɛ R + 0 N de forma que a m a < ɛ m, N, m, 0. Lema: H) Sea (a ) N ua sucesioes covergete. T ) (a ) N es de Cauchy. Supogamos que a a. La idea es que como los térmios de a está ta cerca como se quiera de a para valores de grades, etoces debe estar tambié muy cerca etre sí. Etoces para poder ivestigar esa posibilidad, es que plateamos: a m a = a m a + a a a m a + a a y utilizado la hipótesis, sabemos que dado ɛ R + existe 0 N tal que para todo p N co p 0 se cumple que a p a < ɛ, por tato si elegimos m y mayores o iguales que 0 se verifica: a m a < ɛ a a < ɛ pero etoces volviedo a la desigualdad iicial, se tiee que a m a < 2ɛ para todo par de aturales m, 0 lo que sigifica que la sucesió (a ) N es de Cauchy. Lema: Si ua sucesió es de Cauchy, etoces está acotada. La demostració es similar a la efectuada para probar que ua suceció covergete está acotada. Como (a ) N es de Cauchy etoces fijado ɛ = debe existir u atural 0 de forma que

9 a m a < m, N, m, 0, o sea que tambié debe verificarse que a a 0 < 0 de dode se deduce que a < a 0 + 0, etoces alcaza co elegir M = Máx { a 0 +, a, a 2,......, a 0 } para asegurar que a < M para todo 0. El próximo teorema es u istrumeto muy útil para decidir sobre la covergecia de ua sucesió si coocer su límite. Ua sucesió es covergete sii es de Cauchy. La codició ecesaria ya la probamos ateriormete. Supogamos ahora que (a ) N es de Cauchy y probemos que es covergete. De acuerdo co el lema aterior, (a ) N está acotada y por el teo. de Bolzao-Werstrass debe existir u úmero real a y ua sucesió parcial (a k ) k N de forma que (a k ) k N a, lo que sigifica que ɛ R + 0 N de forma que a k a < ɛ k N, k 0. Por otro lado como (a ) N es de Cauchy se cumple que ɛ R + 0 N de forma que a m a < ɛ m, N, m, 0. Elijamos 0 = mí { 0, 0}, etoces como k es estrictamete creciete si k 0 etoces k 0. Estamos e codicioes ahora de probar que (a ) N tambié coverge a a: a p a = a p a p + a p a lo que prueba que a a. a p a p + }{{} <ɛ si p 0 a p a }{{} <ɛ si p 0 < 2ɛ para todo p 0 Ejercicio 3: Utilizado la idea empleada e el Ejercicio para probar que la sucesió (x ) N co x = /i es divergete, puedes probar que dicha sucesió o es de Cauchy. Alguas pregutas E los teoremas ateriores juega u papel fudametal el axioma de completitud dóde? Existirá algú cuerpo (o R por supuesto) e el que haya sucesioes de Cauchy que o sea covergetes? Puede existir ua sucesió (a ) N acotada para la que valga para todo m? a a m 0 00