Actividad 6. Sistemas Numéricos Conversiones entre los sistemas numéricos de notación posicional 6%

Transcripción

1 Actividad 6 La entrega de este documento es el día correspondiente a él examen de medio curso y antes de presentarlo. El propósito de esta actividad contar con una guía de estudios que te permitan prepárate para próximo examen. Temas y ponderación del examen de medio termino Sistemas Numéricos Conversiones entre los sistemas numéricos de notación posicional 6% Álgebra Booleana Operadores (And, Or, Not, Nand, Nor, Exor y Exnor) Símbolo, característica, expresión matemática, Tabla de verdad Propiedades Distributiva, Asociativa y Conmutativa e Identidades Circuito, Ecuación, Tabla de verdad y Diagrama de tiempos Teorema de D Morgan Minitermino forma SOP (And/Or) Maxitermino forma POS (Or/And) Ocho Formas estándar Minimización de Funciones Booleanas Manipulación Algebraica Mapas de Karnaugh POS y SOP Planteamiento del problema y Tabla de verdad 20 Índice Pag. Lista de verificación (checklist)... 2 Calendario Sistemas numéricos Resumen conceptual... 4 Horizontal... 5 Vertical Identidades Operadores Lógicos Operaciones Booleanas Representación gráfica de las ecuaciones Identificación de funciones Booleanas Manipulación algebraica Mapas de Karnaugh Las ocho formas estándar Problema propuesto Conclusiones de la actividad Formulario % 34% 1

2 Lista de verificación (checklist) No Tema Respuestas Cotejado Portada 1 Sistemas Numéricos a b c d e Pag. 3 2 Crucigrama 53 Pag. 4 3 Identidades Pag. 6 4 Operadores Lógicos a b c d Pag. 7 5 Operaciones Booleanas a b c Pag. 7 6 Representación gráfica de las ecuaciones A S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 B Pag. 8 7 Identificación de Funciones Booleanas a b c Pag. 9 8 Manipulación Algebraica Mapas de Karnaugh F1 F2 F3 F Formas estándar Pag. 19 Tabla de verdad Pag Problema propuesto Ecuaciones mínimas SOP y POS por K Map (cuatro) Pag. 22 Diagramas Pag.23 Forma And/Nor Pag. 24 Conclusiones Pag. 25 Calendario Lunes Martes Miercoles Jueves Viernes Sábado Domingo M3 M1 M4 26 M

3 1.- Sistemas numéricos a) Selecciona el valor en decimal del siguiente número en hexadecimal 19D (16) A B C D b) Selecciona el valor en octal del siguiente número en decimal 452 (10) A B C D c) Selecciona el valor en binario del siguiente número en hexadecimal 19F (16) A B C C d) Convierte los siguientes números a decimal y ordénalos de mayor a menor a) (2) b) 636 (8) c) 18F (16) d) 444 (5) Mayor Menor e) Efectué las siguientes conversiones sin importar el orden. 4A (11) = N (2) = N (5) = N (7) = N (16) N 11 N 2 N 5 N 7 N 16 4A 3

4 2 Resumen conceptual Con el propósito de recordar las definiciones de los términos y conceptos utilizados en el curso resuelva el siguiente crucigrama. 4

5 Horizontal 1. Términos que tienen la misma parte literal, o dicho de otra forma aquellos que tengan las mismas letras y con igual exponente. 7. Propiedad del algebra booleana en donde A+BC = (A+B)(A+C). 9. Circuito integrado o también llamado?. 13. Joint Electron Device Engineering Council (inic.). 15. Opción entre dos cosas, una, otra o ambas. 17. Es la forma de identificar una operación booleana en un diagrama esquemático. 18. Extensión del archivo JEDEC con el cual programamos el dispositivo. 20. Operación booleana en donde la salida es uno cundo un número impar de variables de entrada es igual a uno. 21. Dibujo de la distribución de las terminales de un dispositivo electrónico (siglas en inglés). 23. Conjunto de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a determinado objeto 26. Operación booleana en donde su salida es cero cuando cualquier entrada es uno. 29. Representación tabular del comportamiento de un sistema digital binario tabla de?. 30. Situación o circunstancia para que un evento ocurra. 31. Procedimiento gráfico para la simplificación de funciones algebraicas de un número de variables relativamente pequeño mapa de. 32. Diodo Emisor de Luz (siglas en inglés). 34. Siglas de Zero Insertion Force 35. Extensión del archivo de texto para efectuar la simulación. 37. Forma matemática en donde se expresan varios maxiterminos Productos de Suma. 39. Matriz Lógica Genérica (inic. en inglés). 40. Dicho de un sistema de numeración: Que tiene como base el número Reducir la ecuación Booleana lo más posible para reducir así la complejidad del circuito a implementar. 45. Es un modo de escritura numérica en el cual, cada dígito posee un valor diferente que depende de su posición relativa. Notación?. 47. Lenguaje de Descripción de Hardware (siglas en inglés). 48. Nombre del creador del teorema de D Morgan. 50. Nombre del creador del algebra booleana 51. Distribución de las terminales en un circuito integrado DUAL IN PACK (siglas). 52. Nombre del sistema numérico posicional de base diez. 53. Es una operación Booleana de una sola entrada y su propósito es negar. Vertical 1. Forma matemática en donde se expresan varios miniterminos Suma de Productos. 2. Termino producto (AND) que contiene todas las variables de la función ya sea en su forma normal (afirmada) o complementada (negada). 3. Propiedad del algebra booleana en donde A(B C) = (A B) C. 4. Considerado como el creador de la era digital Claude E.? 5. Nombre de proceso en donde se enlazan la captura esquemática con el dispositivo seleccionado en el programa Isp de Lattice. 6. Era de Electrónica, Informática y las Telecomunicaciones?. 8. Sistema Numérico compuesto de solo dos elementos, unidades o guarismos. 10. Dicho de un sistema de numeración Posicional: Que tiene como base el número ocho 11. Propiedad del algebra booleana en donde A+B = B+A 12. Operador que equivale al negado de EXOR. 14. Teorema que establece que AB+A C+BC = AB+A C. 16. Estudio y aplicación del comportamiento de los electrones en diversos medios 19. Es una técnica de simplificación matemática, que consiste la descomposición de una expresión en forma de factores. 22. Operación booleana en donde su salida es uno cuando cualquier entrada es cero. 24. Lenguaje Avanzado de expresiones Booleanas (inic en inglés). 25. Nombre de la terminal de un circuito integrado en inglés. 27. Extensión usada en los archivos de captura esquemática. 28. Nombre del programa con el que se realiza la captura esquemática. 33. La salida es cero cuando cualquiera de sus entradas es cero. 36. Comando para obtener la simulación de un diseño test_?. 38. Recurso para comprobar el buen funcionamiento de un diseño antes de implementarlo físicamente. 41. Tipo de un instrumento de medida, que utiliza como indicador de medición una aguja o columna de mercurio. 42. Terminal negativa o tierra o (siglas en inglés). 43. Voltaje de corriente continua (siglas). 46. la salida es cero solamente cuando todas sus entradas son cero 49. Dispositivo Lógico programable (siglas en inglés). 5

6 3.- Identidades Obtenga la Ecuación y el Valor de la salida para las siguientes identidades Ecuación Valor de salida Ejemplo A + B + A 1 1 (A + B + C + 0 )

7 4.- Operadores Lógicos Considerando las operaciones And, Or, Nand, Nor y Exor todas ellas de tres entradas resuelva lo siguiente: a) Si las entradas son A=0, B=0 y C=0. Que operadores tendrán la salida igual a uno: A b c d Nand y OR And y Nor Nor y Nand Nand y Exor b) Si solo una de las tres entradas A, B o C toma el valor de uno: A b c d Nor, Or y Exor And, Nor y Exor Nand, Or y Exor Nand, And y Exor c) Si dos de las tres entradas A, B o C toma el valor de uno: A b c d Or y Exor And y Exor Nand, y Or And y Or d) Si las tres entradas A, B o C toman el valor de uno A=1, B=1 y C=1: A b c d Or y Exor, Nand And, Exor y Or Nand, Or y Exor And y Or y Nor 5.- Operaciones Booleanas. Identifique la operación y dibuje el símbolo correspondiente a cada una de las siguientes aseveraciones: Símbolo a La Salida es Alta solamente cuando sus tres entradas son Bajas. B La Salida es Baja cuando cualquiera de sus cuatro entradas es Baja c La Salida es Alta solamente cuando sus dos entradas son diferentes 7

8 6.- Representación gráfica de las ecuaciones Considere en los siguientes diagramas de tiempos las entradas A, B y C y S1, S2, S3, y S4 como salidas, determine a que función booleana corresponde cada una de las salidas mencionadas, tome en cuenta que las entradas no están en orden numérico. Ejemplo: S1 = A + B + C S2 = A B C S3= A B C o ( A+B+C) S4 = A B C + A BC + AB C+ ABC o C S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 8

9 7 Identificación de funciones Booleanas Seleccione la respuesta correcta de las siguientes proposiciones: a) La función booleana F(x,y,z) = m (0, 2, 3, 7) puede ser expresada por: x y z + x yz + x yz x y z + x yz + xyz x z + yz x z + yz b).- La función F(X,Y) = X + X Y es igual a: Y + X Y Y + X Y X + X Y X + X Y c).- La función F(A, B,C) = (A+B)(A +C)(B+C) es igual a: (A+B)(A+C ) (A+B)(A +C) (A+B)(A +C ) (A+B )(A +C) 9

10 8. - Manipulación algebraica Recursos para la minimización de funciones Booleanas Por medio de la manipulación algebraica se puede simplificar una Función Booleana y obtener su mínima expresión, para reducir así la complejidad del circuito a implementar, los recursos disponibles de este método algebraico se listan a continuación: a) Identidades de los operadores. b) Factorización para la minimización. c) Duplicando un término ya existente d) Propiedad Distributiva. e) Teorema del Consenso. f) Teorema de D Morgan. g) Equivalencias de Exor y Exnor en la forma AON (And, Or y Not). b).- Factorización para la minimización, se efectúa entre dos términos semejantes y cuando solo cambia una variable y esta variable se elimina. B A + B A = B (A+A )= B c).- Propiedad Distributiva X+YZ = (X+Y) (X+Z) X(Y+Z)= X Y + X Z e).-teorema de D Morgan And AB = (A +B ) And por Nor negando las entradas Nor (A+B) = A B Nor por And negando las entradas Or A+B = (A B ) Or por Nand negando las entradas Nand (AB) = A + B Nand por Or negando las entradas f).- Equivalencias del Exor y Exnor A B = A B + A B (A B) = A B + A B 10

11 Obtenga la mínima expresión de los siguientes problemas por medio de manipulación algebraica y compruebe el resultado con la solución propuesta. 1 Resultado Procedimiento: A + B + C + D 2 Resultado F (A, B, C, D) = (A +B+C +D )(A+B+C)(A+C+D )(C D ) A C D+ B C + C D +A C Procedimiento 11

12 3 Solución A B C+(A+B+C ) +A B C D A B (C + D) Procedimiento 4 Solución F (X,Y,Z) = X Y Z + X Y Z+ X Y Z + X Y Z +X Y Z X + Y Z Procedimiento 12

13 5 Solución Z= XY +X Y Q = Y (X+Q) Procedimiento 6 Solución a b c + a c d + b d a c + b d Procedimiento 13

14 9.- Mapas de Karnaugh Simplifique las siguientes funciones por mapas de Karnaugh obteniendo la mínima expresión en las en las formas SOP (agrupando unos) y POS (agrupando ceros) y compruebe sus resultados por medio del software LogicAid. F 1 (A,B,C,D) = m ( 2, 5, 7, 13, 15) 14

15 F 2 (A,B,C,D) = m ( 2, 3, 7, 11, 15) 15

16 F3 (A,B,C,D) =A B + B C D + A C D + A C 16

17 F 4 (A,B,C,D) = (B + D ) ( A +B +C )( A +B +C)( B +D) I 17

18 Identifique los resultados de los Mapas anteriormente resueltos F? Resultados SOP y POS A C D + A'B D + A' B' C D' B D' + B'D + A B' + B'C' A C + A D + B'C'D' + A'B A'B D + A C D + A' B' C D' A B' + B C + B D + A'C'D' B C + A'B B D' + B'D + A D' + C'D' (A'+C)(A'+D)(B'+D)(A+B+D')(C+D) (B'+ D') (A + B + C'+ D) (A'+B'+C+D)(A+B+C')(A+B+D') (B+C)(A'+C)(A'+D)(B'+D)(A+B+D') (A+B+D') (A'+B'+C+D)(A+B+C') C D + A' B'C B D' + B'D + A B' + B'C' B (A'+ C ) C (A'+ D ) (B'+ D ) B D' + B'D + A D' + C'D' (A + B + C'+ D) (B'+ D') 18

19 10 Las ocho formas estándar Actividad: Obtenga las ecuaciones mínimas y el diagrama en las formas estándar And/Or, Or/And y And/Nor de la siguiente función: a).- FX (A, B, C) = (A +C) (C + B) (A + B) Forma Ecuación Mínima Diagrama And/Or Or/And And/Nor 19

20 11.- Problema propuesto En una competencia de tiro con arco y flecha el objetivo es una diana que está formada por 8 bandas concéntricas asignándosele a la banda central el valor 10 y en orden decreciente hasta el valor 3 la exterior. Diseñe un sistema electrónico digital que proporcione información codificada en binario (A3, A2, A1, A0) de en qué banda (3 al 10) se produjo el impacto, para ello se cuenta con 4 sensores dentro de la diana (P, N, A, B), dichos sensores determinan en que banda se realizó el impacto como se muestra en las siguientes tablas. P N Significado A B Banda 0 0 No impacto o Impacto en banda Impar Impacto en banda Par Impacto en medio de dos bandas o o o 10 En caso de que el impacto este en medio de dos bandas (P=1, N=1) se tomará el valor mayor. En el caso que no se detecte Impacto (P=0, N=0) y A o B tengan un valor diferente de cero se tomara el valor menor. Ejemplo si el impacto produce los siguientes valores en los sensores: P=0, N=1, A= 1 y B=0 entonces el impacto está en una banda impar y entre 7 y 8 por lo que el resultado debe indicar el número 7 en código binar rio como se muestra en la siguiente tabla (A3, A2, A1, A0). Entradas Salidas m P N A B A3 A2 A1 A0 N (10)

21 Diagrama de bloques Para este diseño obtenga: 1.- La tabla de verdad. Entradas Salidas m P N A B A3 A2 A1 A0 N (10)

22 2.- Para cada una de las cuatro salidas obtenga las ecuaciones mínimas SOP y POS utilizando mapas de Karnaugh. 22

23 3.- Dibuje el diagrama esquemático de los dos resultados mínimos obtenidos. 23

24 4.- Obtenga las ecuaciones y dibuje los Diagramas de la forma estándar And/Nor partiendo de los resultados mínimos SOP y POS. 24

25 12.- Conclusiones de la actividad 25

26 Formulario 1.- Sistemas numéricos Métodos: N (x) N (10) Multiplicar por la Base y Sumar (para números enteros) N (x) N (10) Fórmula General (preferentemente para números con decimales) N (10) N (X) Residuos (para números enteros) N (10) N (X) Extracción de potencias (preferentemente para números con decimales) N (2) N (8) O N (2) N (16) Múltiplo 2.- Algebra Booleana a).- Identidades AND OR A A=A A+ A=A A 0 =0 A +0 =A A 1 =A A +1 =1 A A =0 A + A =1 b).- Factorización para la minimización Se efectúa entre dos términos semejantes y cuando cambia solo una variable y esta variable se elimina: A B C D+ A B C D= B C D (A +A )= B C D c).- Duplicando un término ya existente A+A=A, AB + AB + AB = AB d).- Propiedad Distributiva X+YZ = (X+Y) (X+Z) X(Y+Z)= XY+XZ d).-teorema del consenso And/Or AB+A C+BC = AB + A C Or/And (A+B)(A +C)(B+C)= (A+B)(A +C) 26

27 f).-teorema de D Morgan And AB = (A + B ) And por Nor negando las entradas Or A+B = (A B ) Or por Nand negando las entradas Nor (A+B) = A B Nor por And negando las entradas Nand (A B) = A + B Nand por Or negando las entradas g).- Igualdades del Exor y Exnor A B = A B + A B (A B) = A B + A B 27

28 h) Mapas de Karnaugh Reglas para el uso del Kmap 1.- Formar el menor número de grupos 2.- Cada grupo lo más grande posible 3.- Todos los unos deberán de ser agrupados 4.- Un solo uno puede formar un grupo 5.- Casillas de un grupo pueden formar parte de otro grupo Grupo = Unos adyacentes enlazados (paralelogramos) en una cantidad igual a una potencia entera de dos, eje. (1, 2, 4, 8, ). Dos Variables Tres Variables Cuatro Variables 28

29 4.- Las ocho formas estándar Minitérminos (SOP) And/Or Nand/Nand Or/Nand Nor/Or Maxitérminos (POS) Or/And Nor/Nor And/Nor Nand/And 29