Modelo de Ising para sistema de spin 1

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1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Física Modelo de Ising para sistema de spin 1 Proyecto 1 Física computacional Ignacio Alvizú Fiedler (iealvizu@uc.cl) Índice 1. Introducción 1 2. Interacción entre spines Modelo de Ising Simulación computacional del sistema Algoritmo de Metrópolis Ejecución de los códigos Resultados Conclusiones Referencias Introducción En este informe se presentará un arreglo de spines S = 1 interactuantes por medio del modelo de Ising en diferentes dimensiones (1D, 2D y 3D). Se simulará el sistema con el método Monte Carlo utilizando el algoritmo Metrópolis. Se estudiarán cambios en las propiedades del sistema, como la energía media, la magnetización, el calor específico o la susceptibilidad magnética en función de la temperatura y en función de un campo magnético externo. 2. Interacción entre spines Consideremos un sólido constituido por N átomos idénticos dispuestos en un arreglo particular. Cada átomo tiene un espín electrónico neto S y asociado un momento magnético m. Ambos se relacionan de la siguiente manera: m = gµ 0 S (1) donde µ 0 es el magnetón de Bohr y g es el denominado g-factor. Si consideramos además la presencia de un campo magnético externo h en la dirección z, el Hamiltoniano que representa la interacción de los átomos con el campo externo aplicado es: H 0 = gµ 0 N j=1 S j h = gµ 0 h Sz j (2) Adiocionalmente, consideraremos la interacción de cada átomo con los átomos vecinos que lo rodeen. Esta interacción es consecuencia del principio de exclusión de Pauli. Como dos electrones no pueden ocupar el mismo estado, dos electrones de átomos adyacentes que tengan un spin paralelo no podrán acercarse demasiado. Por otro lado, si estos electrones poseen spin antiparalelo se encuentran en diferentes estados, j=1 1

2 luego el principio de exclusión no será una restricción para la cercanía entre ambos átomos [1]. Para dos átomos j y k el Hamiltoniano asociada a esta interacción puede ser escrito como: H j,k int = JSj S k (3) donde J es un parámetro que mide la magnitud de la interacción entre spines y depende de la separación entre los átomos [1]. Si J > 0 la energía asociada a H j,k int es menor cuando los spines están alineados paralelamente. Luego el estado de menor energía será aquel que favorezca una orientación paralela entre los spines de los átomos, o en otras palabras, uno que tienda a producir ferromagnetismo. Podemos simplificar la forma de la ecuación (3) considerando únicamente: H j,k int = JSj zs k z (4) Esta aproximación recibe el nombre de modelo de Ising y consiste en despreciar el caracter vectorial de la ecuación (3) y considerar solamente la componente z del vector de spin S Modelo de Ising Si consideramos ahora todos los átomos que constituyen el sólido, la interacción entre los spines toma la forma: H int = 1 N 2 J n SzS j z k J S i S j (5) j=1 k=1 donde en la primera igualdad el índice n refiere a los átomos vecinos y el factor 1 2 aparece para evitar contar dos veces. En la equivalencia hemos simplificado la escritura. El símbolo < ij > quiere decir que la suma se realiza sólo sobre primeros vecinos y además hemos dejado de escribir la componente z del operador de spin y asumimos que nos referimos siempre a él. También hemos cambiado de superíndice a subíndice la rotulación de cada spin de los átomos del sólido. El Hamiltoniano total que dará cuenta de todas las interacciones que hemos mencionado será entonces: <ij> H = H 0 + H int = J S i S j h <ij> S i (6) i En este trabajo estamos interesados en un sistema que posea S = 1. Esto quiere decir que el conjunto de valores posibles que puede obtener S i,j es {0, ±1}. La diferencia energética debido a un cambio en el valor de spin será: H = JS i S j hs i JS i S j hs i (7) j j = J j S j h (S i S i ) (8) = J j S j + h S i (9) donde S i := S i S i (10) Dado los valores posibles de S i,j, la diferencia S i puede adquirir diferentes valores para diferentes transiciones. Estos valores están expresados en el cuadro (1). Concluimos entonces que existen seis posibles valores energéticos para el cambio de un valor de spin en el sistema. Para conocer los valores de, por ejemplo, energía media o magnetización media en mecánica estadística a una temperatura dada, necesitamos distribución de probabilidad: P i (β) = e βei Z (11) 2

3 S i S i S i Cuadro 1: Posibles valores para S i donde β = 1/k B T, k B es la constante de Boltzmann, E i es la energía del estado i y Z es la función partición de un ensemble canónico definida por: Z = e βei (12) N i=1 donde la suma se extiende a todos los estados N. De este modo, P i es la probabilidad de encontrar el sistema en una configuración i dada. La energia E i es simplemente la obtenida en la ecuación (6) para una configuración dada. De este modo la energia media del sistema puede ser caculada como: E = E i P i (β) = 1 Z i=1 E i e βei (13) i=1 En esta misma línea, podemos calcular también la varianza asociada y con ella el calor específico en un volumen constante [2]: C v = 1 ) ( E 2 k B T 2 E 2 = k B β 2 σe 2 (14) Por otro lado podemos preguntarnos acerca de la magnetización del sistema: M i = S j (15) donde j recorre todos los spines en una configuración i dada. El valor medio de la magnetización es entonces: M = M i P i (β) = 1 M i e βei (16) Z i=1 Con esto podemos calcular también la susceptabilidad magnética [2]: χ = 1 ) ( M 2 M 2 = βσm 2 (17) k B T 3. Simulación computacional del sistema 3.1. Algoritmo de Metrópolis Para la simulación computacional del sistema presentado en el capítulo anterior se ha utilizado el método de Monte Carlo con el algoritmo de Metrópolis [3]. Nuevas configuraciones del sistema son generadas por las anteriores utilizando una probabilidad de transición que depende de la diferencia energética, ecuación (9), entre un estado anterior y uno posterior. La probabilidad de encontrar el estado i-ésimo es la mostrada en la ecuación (11). Esto sin embargo es difícil de calcular ya que la suma en el denominador se extiende a todos los N estados posibles del sistema. Esto dependerá de las dimensiones del arreglo de spines que se tenga y, en particular para S = 1, el número de configuraciones será de 3 N dode N es j=1 i 3

4 el número de spines. Por ejemplo para tres dimensiones se tendrá que N = L L L para un arreglo de longitud L. He aquí la ventaja del algoritmo de Metrópolis, el cual sólo considera razones entre probabilidades [2]; luego no es necesario calcular la función partición Z en la ecuación (11). Como hemos visto en clases, el algoritmo de Metropolis consiste en realizar los siguientes pasos: 1 Se elije un estado inicial del sistema. 2 Se elije un sitio i particular y se intenta un cambio. 3 Se calcula el H generada por realizar este cambio. 4 Si H 0 se acepta el nuevo estado y se calculan las propiedades termodinámicas. 5 Si H > 0 se calcula el valor w = e β H. 6 Se genera un número aleatorio r [0, 1] y se compara con w. Si r w se acepta la nueva configuración y en caso contrario se mantiene la configuración actual. 7 Se calculan las cantidades termodinámicas. 8 Se repiten los pasos Finalmente se dividen los valores de expectación calculados por el número total de pasos de Monte Carlo. En particular para el código que he escrito y para el sistema presentado en el capítulo anterior, se ha realizado lo siguiente: 1 El sistema inicial generado corresponde a un arreglo de spines donde S i = +1 i. Es decir, se genera una alineación ferromagnética. 2 Se incorporan las condiciones de borde periódicas. Esto quiere decir que: S i+1 = S 1 (i + 1) > N donde N : numero de spines por dimensión 3 Se calcula la energía H (ecuación (6)) y la magnetización M (ecuación (15)) para el sistema inicial. 4 Se crea un vector de largo seis que da cuenta de la diferencia energética de la ecuación (9) para todos los valores de S i (ver cuadro 1) posibles. 5 Se ejecuta el algoritmo de Metrópolis para una cantidad n eq de pasos. Esta cantidad corresponde a los necesarios para equilibrar el sistema y dependerá del problema general. 6 Una vez equilibrado el sistema se ejecuta el algoritmo de Metrópolis y se calculan las cantidades físicas relevantes. En este trabajo se ha calculado E, M, C v y χ. Es importante destacar que para los pasos 5 y 6, es decir el algoritmo de Metrópolis, la diferencia energética dependerá del estado anterior en que se encontraba el spin, puesto que si miramos el cuadro 1, los valores de S i dependerán de una transición particular. Por ejemplo, si el spin S k poseía el valor +1 originalmente, éste puede realizar una transición al valor 0 ó 1. Para dar cuenta de esto se ha considerado que la probabilidad de efectuar una u otra transición es la misma. En el algoritmo se ha introducido esta condición mediante un número aleatorio r de modo que si r 0,5 se efectua una transición y en caso contrario se realiza la transición restante. Una vez definida la transición que se realizará, se calcula la diferencia energética de acuerdo a esta transición particular. Por esta razón se ha implementado en el código el vector mencionado en el paso Ejecución de los códigos Adjunto a este informe, se deberian encontrar los siguientes códigos y archivos: MonteCarlo Ising.f90 ising1d subrutina.f90 (genera el archivo fort.61) ising2d subrutina.f90 (genera el archivo fort.62) ising3d subrutina.f90 (genera el archivo fort.63) ising1dfinal.f90 (genera el archivo fort.51) 4

5 ising2dfinal.f90 (genera el archivo fort.52) ising3dfinal.f90 (genera el archivo fort.53) ran2.f90 in ising 1D sub in ising 1D in ising 2D sub in ising 2D in ising 3D sub in ising 3D El programa MonteCarlo Ising.f90 llama a las subrutinas ising1d subrutina.f90, ising2d subrutina.f90 y ising3d subrutina.f90 y ejecuta para cada temperatura en un rango determinado el algoritmo de Metrópolis. Para ello cada subrutina encuentra los parámetros del sistema en los archivos in ising 1D sub, in ising 2D sub y in ising 3D sub respectivamente. Por otro lado los programas ising1dfinal.f90, ising2dfinal.f90 y ising3dfinal.f90 ejecutan el algoritmo de Metrópolis para una temperatura particular. Éste y los demás parámetros se hallan en los archivos in ising 1D, in ising 2D y in ising 3D respectivamente. En todos los programas es necesaria la subrutina ran2.f90, que es utilizada para la generación de número aleatorios Resultados En los resultados que se expondrán a continuación se han utilizado los siguientes parámetros para todas las simulaciones (salvo cuando se señale lo contrario): Un arreglo de largo L = 50. Pasos para equilibrar el sistema n eq = Pasos de Monte Carlo para promediar MCS = Campo magnético externo h = 0. Constante de acoplamiento J = 1. Consante de Boltzmann k B = 1. En la figura 1 podemos ver la energía para el caso de 2 dimensiones en función de los pasos de Monte Carlo. Para la generación de esta figura hemos utilizado MCS = 10 6 pasos de Monte Carlo y T = 2 en unidades de energía. Notamos que la energía se encuentra en equilibrio mucho antes de completar los 10 6 pasos. En la figura 2 vemos el mismo gráfico anterior, pero para un rango más acotado de pasos de Monte Carlo. Nos percatamos de como la energía comienza en un valor y rápidamente escala hasta una energía constante. Aquí notamos que basta con realizar 1000 pasos de Monte Carlo para eliminar las fluctuaciones de energía que afectarían a los resultados finales. En la figura 3 podemos ver la energía media en función de la temperatura en unidades de energía para diferentes dimensiones del arreglo. Notamos que para cada dimensión la energía comienza en un valor distinto. Esto se debe a que incialmente el sistema es ferromagnético, es decir todos los spines S i se encuentran en el estado +1. Como hemos escogido J = 1 > 0, la mínima energía se dará para la configuración inicial. Notamos así una correspondencia entre el valor mínimo de energía y las dimensiones del arreglo, es decir que la mínica energía para el sistema en X-dimensiones corresponderá al valor X. Vemos también que inicialmente, y en todos los casos, la energía se mantiene constante hasta una cierta temperatura, donde comenza a subir hasta encontrar otro plateau cercano a 0. Esto es un primer indicio a que existe una temperatura crítica T C en donde el sistema presentará un cambio de fase. En la figura 4 notamos que para todas las dimensiones la magnetización media M comienza en el valor 1 y luego, para una cierta temperatura, decae a 0. Esto quiere decir que para T < T C, el sistema presenta una magnetización espontánea M = 0. Para T > T C la magnetización media es 0. En otras 5

6 Figura 1: Energía en función de pasos de Monte Carlo MCS en arreglo de 2 dimensiones en T = 2 en unidades de energía. Figura 2: Energía en función de pasos de Monte Carlo MCS en arreglo de 2 dimensiones en T = 2 en unidades de energía. 6

7 Figura 3: Energía media en función de la temperatura para arreglos de diferentes dimensiones. Figura 4: Magnetización media en función de la temperatura para arreglos de diferentes dimensiones. 7

8 Figura 5: Calor específico en función de la temperatura para arreglos de diferentes dimensiones. Figura 6: Susceptabilidad magnética en función de la temperatura para arreglos de diferentes dimensiones. 8

9 Figura 7: Energía media en función de la temperatura para diferentes valores del campo magnético externo h en un arreglo de dos dimensiones. palabras pasamos de una fase con M 0 a una fase M = 0 para una temperatura crítica particular T C, que dependerá de las dimensiones del arreglo. En las figuras 5 y 6 tenemos el calor específico C v y la susceptabilidad magnética χ en función de la temperatura, respectivamente. De acuerdo a la literatura [1, 2], el calor específico y la suscpetabilidad magnética divergen en la temperatura crítica T C en el límite termodinámico (esto es para un arreglo de largo infinito). En las figuras 5 y 6 vemos que esto no es así, y esto se debe precisamente a que no estamos en el límite termodinámico; de hecho bastante lejos pues en estas simulaciones L = 50. Notamos también que comparando las figuras 3, 4, 5 y 6 el valor de T C de acuerdo a cada dimensión es aproximádamente el mismo. Mirando los gráficos podemos estimar que: T 1D C 0,4J T 2D C 1,7J T 3D C 2,9J En las últimas figuras (figura 7, 8, 9 y 10) se ha graficado la energía media, la magnetización media, el calor específico y la susceptabilidad magnéntica para un arreglo bidimensional para diferentes campos magnéticos externos h. En las figuras 7 y 8 notamos que no existe un cambio tan abrupto en los valores de la energía media y la magnetización para valores h 0. Esto se debe a que el sistema, en presencia de un campo magnetico externo, es menos permicible a un cambio a medida que aumenta el campo externo. Por ejemplo en la figura 9 no queda explícita la temperatura crítica T C, luego vemos un cambio gradual para el calor específico. Por último en la figura 10, la susceptibilidad magnética se mantiene en el valor 0 para h 0. 9

10 Figura 8: Magnetización media en función de la temperatura para diferentes valores del campo magnético externo h en un arreglo de 2 dimensiones. Figura 9: Calor específico en función de la temperatura para diferentes valores del campo magnético externo h en un arreglo de 2 dimensiones. 10

11 Figura 10: Susceptabilidad magnética en función de la temperatura para diferentes valores del campo magnético externo h en un arreglo de 2 dimensiones Conclusiones Se ha simulado, utilizando el algoritmo de Metrópolis, un sistema de spin 1 por medio del modelo de Ising con interacción de primeros vecinos. Se ha determinado la cantidad de pasos de Monte Carlo necesarios para obtener fluctuaciones de energía que no entorpezcan los resultados obtenidos. Notamos esencialmente que si el sistema se encuentra en ausencia de un campo magnético externo, existe una temperatura crítica T C asociada a la dimensión del arreglo. Esta temperatura crítica nos habla acerca de un cambio de fase, donde para T < T C el sistema posee una magnetización espóntanea. Para valores T > T C la magnetización media es nula, es decir que los spines del arreglo se hayan totalmente desordenados los unos con los otros. Referencias [1] Fundamentals of statistical and thermal physics. Reif, F. McGraw-Hill Book Company [2] Computational physics. Hjorth-Jensen, M. University of Oslo [3] Equations of state calculations by fast computing machines. Metropolis, N. Rosenbluth, A. Rosenbluth M. Teller, A. The Journal of Chemical Physics. V21 N6. June,