Artículo de XXXXXXX. Recibido en agosto 6 de Aceptado para publicación en XXXXXXXX. 2
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- Alejandra Peralta Montes
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1 MODELO LOG-NORMAL PARA LA PREDICCIÓN DE LOS VALORES DE LAS ACCIONES DEL SECTOR BANCARIO QUE COTIZAN EN EL ÍNDICE GENERAL DE LA BOLSA DE VALORES DE COLOMBIA (IGBC) 1 LOG-NORMAL MODEL FOR PREDICTING THE VALUES OF THE BANKING SECTOR STOCKS LISTED IN THE GENERAL INDEX OF THE STOCK EXCHANGE OF COLOMBIA (IGBC). Comentado [NSL1]: Existen bastantes artículo similares, se pueden utilizar como soportes. Aclarar si el artículo es de investigación o de reflexión. Si es de investigación, en la ficha adjunta debe consignarse fuente de financiamiento, etc. Edder Parody Camargo 2 Arturo Charris Fontanilla 3 Rafael García Luna 4 FORMA DE CITACIÓN Parody, E., Charris, A., y García, R Modelo log-normal para la predicción de los valores de las acciones del sector bancario que cotizan en el índice general de la bolsa de valores de Colombia (IGBC). Revista Dimensión Empresarial, vol. 12, núm. 1, pp. XXXXX RESUMEN. El objetivo de este artículo de investigación es la predicción de las cotizaciones de las acciones del sector bancario que cotizaron en el índice general de la bolsa de valores de Colombia (IGBC) durante el periodo Para tal efecto, metodológicamente se hizo uso del modelo Log-normal complementado con simulaciones de Monte-Carlo a fin de determinar pruebas de bondad de ajuste del modelo mediante la raíz del error métrico cuadrado (RMSE). Los resultados encontrados indican que si bien es cierto el modelo sirve para tener una aproximación a los posibles valores mínimos y máximos que puede tomar las acciones, sus resultados carecen de la suficiente precisión para inducir la 1 Artículo de XXXXXXX. Recibido en agosto 6 de Aceptado para publicación en XXXXXXXX. 2 Magister en Desarrollo Empresarial y Docente Tiempo completo ocasional de la Universidad del Magdalena en Santa Marta, Colombia. Correo electrónico: arturocharris@hotmail.com. 3 Magister en Finanzas de la Universidad del Norte y Docente Tiempo completo ocasional de la Universidad del Magdalena en Santa Marta, Colombia. Correo electrónico: edderparody@gmail.com. 4 Magister en Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Colombia y Decano de la Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables de la Universidad Autónoma del Caribe, Barranquilla, Colombia. Correo. rgarcialuna@gmail.com
2 compra certera de este tipo de activo financiero, razón por la cual se recomienda en próximas investigaciones la aplicación de modelos con promedios móviles de suavizamiento exponencial y modelos de la familia Arch y Garch que generan mayor capacidad de predicción. Palabras Clave: Modelo log-normal, acciones, media, volatilidad, simulación de Monte- Carlo, raíz del error cuadrático medio. ABSTRAC. The objective of this research is the prediction of stock prices in the banking sector who contributed to the overall index of the stock exchange of Colombia (IGBC) during the period To this end, use was made methodologically Log-Normal model complemented with Monte-Carlo simulations to determine goodness of fit test of the model by the square root of the error metric (RMSE). The results indicate that although the model used to be an approximation to the minimum and maximum possible values that can take action, the results lack sufficient precision to induce the purchase of such accurate financial asset, and therefore which further research is recommended in the application of models with moving averages and exponential smoothing models Arch and Garch family that generate greater predictability. Key words: log-normal model, actions, average, volatility, Monte-Carlo simulation, the root mean square error. INTRODUCCIÓN El estudio del comportamiento de los activos financieros siempre ha sido de gran interés para los jugadores del mercado y la academia, dada la dinámica de la inversión en este tipo de activos y su incidencia en la economía nacional. En ese orden, históricamente, se han destacado dos técnicas para invertir en este tipo de activos. La primera, consiste en un análisis fundamental basado en información del mercado, que se basa principalmente en la intuición. La segunda, consiste en un análisis técnico, soportado en la racionalidad limitada, que parte del supuesto de que lo sucedido en el pasado sucederá en el futuro.
3 Precisamente en el marco de esta segunda técnica, diferentes autores e investigadores se han enfocado en el estudio de los pronósticos de los valores futuros, teniendo como insumo el comportamiento pasado de estos activos, utilizando para ello herramientas estadísticas y metodologías obteniendo resultados útiles, en la mayoría de los casos. Al respecto Lamberton (1996) afirma que el volumen de negociación de estos activos financieros es tan importante, que se han desarrollado diferentes modelos matemáticos con el fin de poder predecir el valor de una acción. Aclara, además, que dado que estos valores están influenciados, entre otras, variables económicas, sociales y políticas, resulta más razonable establecer el valor que pueda tener la acción en un instante determinado, no como una magnitud determinística sino como una variable aleatoria, siendo entonces más adecuado considerar la trayectoria temporal del valor de la acción como una realización de un proceso estocástico. Por su parte Cortes, Debón y Moreno (2007), a partir de los precios históricos de la acción del banco Sadabel, predijeron exitosamente su valor aplicando el modelo log-normal y el método de simulación de Monte-Carlo, realizando un análisis mediante pruebas de bondad de ajuste y análisis gráfico. De la misma manera, Navarro (2012) replicó el índice bursátil IBEX35 con la utilización de un número reducido de títulos, los cuales permitieron realizar predicciones y construir carteras de inversión basadas en este índice. Dentro de las distintas metodologías aplicadas empleó la Log-normal y la simulación de Monte-Carlo para el pronóstico y análisis de medidas de bondad de ajustes para series temporales, primordiales para aceptar el modelo como válido. En ese orden de ideas, el objetivo de este trabajo es determinar a partir del modelo Log.Normal un pronóstico del valor de cotización de las acciones del sector bancario que cotizan en el IGBC, aplicando el método de simulación de Monte-Carlo para el periodo comprendido entre 01 de enero de 2008 hasta el 31 de diciembre de 2012 y luego determinar la robustez del modelo para la predicción de este tipo de activos, mediante la medida estadística del RMSE. Justifica la realización de esta investigación el aporte que hace al acervo de conocimiento que posibilita optimizar las decisiones concernientes a la compra o venta de activos financieros que usualmente implican el uso de análisis y técnicas de medición y control de riesgos, con el fin de minimizar el impacto de posibles inesperados eventos futuros como lo son la volatilidad y la incertidumbre a la que se encuentra expuesto el comprador
4 al momento de invertir, dado las fluctuaciones que presentan los precios de los activos financieros, requiriéndose así del cálculo de diferentes medidas de riesgo y de pronósticos de las series, para el diseño de estrategias financieras y de construcción de portafolios de inversiones. MODELO DE PRONÓSTICO A UTILIZAR Comentado [NSL2]: Se requiere bibliografía aquí para soporte del modelo El modelo log-normal. La distribución normal juega un papel muy importante en la medición de los riesgos financieros, debido a que constituye la distribución principal sobre la cual la mayoría de los modelos financieros se soportan. Debido a que el modelo log-normal es simple y fácil de usar, es altamente apropiado para intentar predecir y medir la volatilidad. Este modelo trabaja con los retornos logarítmicos de la serie financiera bajo estudio, y asume una distribución normal de los mismos. Primera diferencia y primera diferencia logarítmica. Uno de los requerimientos para la estimación de un modelo de pronóstico, es que la serie de datos utilizada sea estacionaria; es decir, que la media y la varianza sean constantes. Que la media sea constante es equivalente a decir que no hay tendencia en la serie de datos y una varianza constante implica que la volatilidad en distintos segmentos de la serie siempre es igual. Lo anterior plantea un problema en la estimación de modelos de pronósticos para las series financieras, dado que éstas generalmente presentan tendencia y variación en la volatilidad. La solución a este inconveniente generalmente se obtiene con la transformación de la serie financiera no estacionaria a través de la primera diferencia logarítmica: Yt = Ln(Xt) Ln(Xt-1) (1) Con formato: Inglés (Estados Unidos) Dónde: Yt, es el resultado de la transformación, y,
![MODELO DE PRONÓSTICO A UTILIZAR Comentado [NSL2]: Se requiere bibliografía aquí para soporte del modelo El modelo log-normal.](/docs-images/45/8860638/images/page_4.jpg "La distribución normal juega un papel muy importante en la medición de los riesgos financieros, debido a que constituye la distribución principal sobre la cual la mayoría de los modelos financieros")
5 Xt, es la serie original Esta transformación, aunque simple, generalmente produce una serie estacionaria, que es lo que se busca. La diferenciación elimina la tendencia, mientras que el Logaritmo Natural se encarga de la heterocedasticidad. Cuando la serie original tiene componentes muy pequeños, cercanos a cero como es el caso de las tasas de interés, basta con la diferenciación y no es necesario aplicar logaritmos. Una vez normalizada la serie, el valor esperado de los retornos y la volatilidad asociada se reduce al cálculo de los parámetros esenciales de una distribución normal, esto es, el promedio (µ) y la desviación estándar (σ). Después de calcular estos dos parámetros, 5 el valor esperado de los retornos se construye, a través de la expresión: E(Rt+1) = µt + Zα*σt 6 (2) Z corresponde al valor sobre el eje X o de las abscisas en la gráfica de una distribución Normal para un determinado nivel de confianza; para el desarrollo de este trabajo se utilizó NC=99% y del NC=95%, por lo que Z tomará valores en el intervalo [-2.33, 2.33] y [-1.96, 1.96] respectivamente. La rentabilidad se puede definir de acuerdo a la siguiente ecuación: Rt+1 = (Pt+1 Pt) / Pt (3) La cual se puede aproximar a: Dónde: Pt+1 es el precio o cotización a pronosticar E(Rt+1) = (Pt+1 Pt) / Pt (3.1) 5 Para calcular estos dos parámetros, es necesario usar un número predefinido de observaciones o datos históricos. Dependiendo de ésta selección, la simulación de Montecarlo puede entregar proyecciones relativamente distintas. 6 Modelos para el cálculo de volatilidad, documento investigativo de la firma Topa y Asociados
6 Pt es el último precio o cotización observada E(Rt+1) es la Esperanza de la Rentabilidad. Por medio de una operación de despeje en la ecuación anterior (3.1), es posible obtener el precio o cotización pronosticada, en función del último precio o cotización observada y de la Esperanza de la Rentabilidad: Pt+1 = Pt [1+ E (Rt+1)] = Pt [1+ (µt + Zα*σt)] (4) Con formato: Inglés (Estados Unidos) En esta instancia, es pertinente recordar que Zα tomará valores en el intervalo [-2.33, 2.33] y [-1.96, 1.96], por lo que existen infinitos valores para Pt+1, dado que la distribución Normal es continua. Frente al problema que plantea esta situación, la Simulación de Montecarlo ofrece una solución pertinente para obtener un único valor de Pt+1. Se trata de generar aleatoriamente N valores de Zα procurando que la distribución de los valores generados se ajuste a una Distribución Normal Estándar. Así las cosas, se puede obtener una cantidad N de valores para Pt+1, los que al promediarse producen el pronóstico único requerido. Adicionalmente, es posible obtener el Intervalo de confianza del pronóstico calculando Pt+1 cuando Zα toma los valores críticos de [-2.33,+2.33] y [-1.96, 1.96] Intervalo de confianza. Es la zona o intervalo donde se espera encontrar el precio estimado. Tiene un límite inferior o Mínimo y un límite superior o Máximo. Para una distribución Normal el Intervalo de Confianza será: [µ - σ*zα/2; µ + σ*zα/2] (5) Simulación Montecarlo.
![(4) Con formato: Inglés (Estados Unidos) En esta instancia, es pertinente recordar que Zα tomará valores en el intervalo [-2.33, 2.33] y [-1.96, 1.](/docs-images/45/8860638/images/page_6.jpg "96], por lo que existen infinitos valores para Pt+1, dado que la distribución Normal es continua.")
7 En el contexto de esta investigación la simulación de Montecarlo 7 se utiliza para proyectar o pronosticar los precios o cotizaciones de los activos objetos de estudio en múltiples escenarios mediante la generación de números aleatorios. Al revisar la ecuación 4, es evidente que el precio pronosticado depende del precio o cotización actual, de la volatilidad actual (σ), y del promedio de rentabilidad actual (µ). La clave del método Monte-Carlo consiste en crear un modelo matemático del sistema, proceso o actividad que se quiere analizar, identificando aquellas variables cuyo comportamiento aleatorio determina el comportamiento global del sistema. Una vez identificados las variables aleatorias, se lleva a cabo un experimento consistente, primero generar muestras aleatorias, es decir valores concretos para dichas variables y segundo analizar el comportamiento del sistema ante los valores generados. Tras repetir N veces este experimento, se dispondrá de N observaciones sobre el comportamiento del sistema, lo cual será de utilidad para entender el funcionamiento del mismo, Cortes, Debón y Moreno (2007). Comentado [NSL3]: No citen a pie de página con autores. Esto es solo para ampliar contenidos. Se puede decir: Montecarlo (Orben ) METODOLOGÍA Para la predicción de los valores de las acciones del sector bancario que cotizan en el índice general de la bolsa de valores de Colombia (IGBC), haciendo uso del Modelo Log- Normal, se hace necesario proceder de acuerdo a los siguientes seis (6) pasos: Paso 1: Se parte de los precios de cierre diario de las acciones objetos de estudio en el periodo de tiempo previamente indicado; es decir, a partir del 1 de enero de 2008 hasta el 31 de diciembre de Al respecto, se precisa que para este ejercicio se utilizan las acciones de Bancolombia, Banco de Bogotá y Occidente. Se tomaron estas acciones dado que son las acciones que reportan más información sobre los precios de cierres diarios en las fechas en que se realiza el estudio. También se accedió a las demás series, pero al momento de organizarla se identificó que tienen muchos días sin cotizar por lo que al momento de modelarlas puede arrojar datos sesgados dado su baja bursatilidad. 7 Orben G. Andersen, Hyung-Jin Chung, Bent E. Sørensen, Efficient method of moments estimation of a stochastic volatility model: A Monte Carlo study, Journal of Econometrics, Volume 91, Issue 1, July 1999, Pages 61-87, ISSN , /S (98)
8 Las series fueron tomadas de las página web y Una vez obtenida dicha serie, se procedió a organizarla teniendo en cuenta que en los días festivos no opera el mercado accionario Colombiano, para ello es necesario agregar en esos días de inactividad, los precios de cierre de día inmediatamente anterior de operación. Para el proceso de pronóstico se trabajó con la hoja de cálculo de Excel. Paso 2: Se aplica la primera diferencia logarítmica, para calcular los rendimientos diarios de los activos estudiados. Una vez realizada esta transformación la serie se torna estacionaria. La diferenciación elimina la tendencia, mientras que el Logaritmo Natural se encarga de la heterocedasticidad, por lo que las series objetos de estudios se encuentran lista para ser analizadas y pasar el siguiente pasó. Paso 3: Se calculan los parámetros del modelo, determinados por la µ y σ respectivamente. a) µ se calcula con la función PROMEDIO, se trabajarán por promedios móviles de la función en mención, para calcular los datos siguientes de la serie, se calcula a partir del año 2009 teniendo en cuenta los rendimientos del año 2008, dado que se pronosticarán los periodos 2009, 2010, 2011 y b) σ se calcula con la función DESVEST, se trabajara por promedios móviles de la función en mención, para calcular los datos siguientes de la serie, se calcula a partir del año Paso 4: Se definen los intervalos de confianza, se calcula un mínimo y un máximo, con un NC= 99% y del 95%. Paso 5: Pronostico a partir de las simulación de Monte-Carlo, con un nivel de confianza NC= 99% y 95%. Para ello es necesario generar diversos escenarios de simulación para la variable Zα, tomando valores de ocurrencias de manera aleatoria, pero teniendo en cuenta que estos tienen una distribución Normal Estándar. Este proceso contiene dos funciones en Excel ALEATORIO.ENTRE(Min,Max), y le está indicando al Excel que genere un número aleatorio entero entre 1 y 99 o 95 respectivamente. La otra función, a saber, DISTR.NORM.ESTAND.INV(P) le indica al Excel que se obtenga el valor Z correspondiente a la probabilidad generada aleatoriamente. Finalmente, el precio o valor proyectado, resulta de promediar los precios proyectados en las 1000 simulaciones realizadas.
9 Paso 6: Se procede a calcular la raíz error cuadrático medio RMSE (por sus siglas en inglés de Root Mean Square Error), que es una medida de las diferencias entre los valores pronosticados por un modelo y los valores realmente observados. La RMSE es considerada una buena medida de la precisión de un modelo de pronóstico. RMSE = (Y Y ) N, donde: Y, es el valor observado Y, es el valor estimado N, es el número de observaciones Es importante tener en cuenta que es posible obtener la RMSE para cada año de la serie de datos, y para la totalidad de la serie éste último RMSE es utilizado para la comparación con los distintos niveles de confianza. RESULTADOS Los resultados que arrojan los pronósticos realizados con el nivel de confianza del 99% y 95% de los activos objetos de estudios, se evidencian en la tabla que se muestran a continuación, la cual indica las raíces de los errores cuadráticos medios. Tabla 1. Resultados Raíz del Error Cuadrático Medio para los activos en estudio, con un Nivel de Confianza del 99% y 95%. Comentado [NSL4]: Esta tabla hay que hacerla no es aceptable así, cuando se imprime sale horrible porque hay que reducirla. Mejor en Word y copiar los resultados. Comentado [R5]: Este cuadro o tabla se recomienda que tenga título encima y fuente debajo; se recomienda que no se utilice una imagen, si no, una tabla texto Fuente:
10 La imagen anterior muestra los resultados de la medida de bondad de ajuste utilizada en esta investigación para los activos objeto de estudio, la raíz del error cuadrático medio RMSE. Dichos resultados muestran que los modelos con el NC del 95% arrojan una mejor modelo predictivo de acuerdo a la medida de bondad de ajuste analizada, sin embargo se puede apreciar que los resultados son muy altos en los periodos 2009, 2010, Para el periodo 2012 los resultados muestran que se genera una mayor capacidad predictiva de este modelo. Asimismo es de destacar que los resultados arrojados generan un mejor modelo de pronóstico para la acción de Bancolombia. A continuación se muestran los resultados gráficos de los activos objeto de estudio, esto es, Bancolombia, Banco de Bogotá y Banco de Occidente. Comentado [NSL6]: Tabla 1? Grafico 1: Comparaciones valor real y valores pronosticados con NC del 99% y 95% de la Acción de Bancolombia Fuente: Comentado [NSL7]: Se requiere comentar cada gráfica por separado y ajustar el comentario señalado adelante.
11 Grafico 2: Comparaciones valor real y valores pronosticados con NC del 99% y Fuente: 95% de la Acción Banco de Bogotá O Grafico 3: Comparaciones valor real y valores pronosticados con NC del 99% y 95% de la Acción Banco de Occidente. Fuente: En las gráficas 1, 2 y 3 se puede observar los valores reales, comparados con los valores pronosticados en cada uno de los periodos estudiados, y se puede evidenciar que los
12 valores pronosticados con un nivel de confianza del 95% generan mayor capacidad de predicción de los valores reales, es decir la línea azul (valor pronosticado con el NC= 99%) se aleja más de la línea verde (valor real), mientras que la línea roja (valor pronosticado con el NC= 95%) se ajusta mejor a la línea del valor real; confirmando los resultados arrojados por el indicador RSME. Comentado [NSL8]: Esto no aparece en el gráfico (líneas azuil y roja) CONCLUSIONES Es posible construir modelos de pronóstico de activos financieros bajo el modelo lognormal utilizando parámetros estadísticos para su estimación, realizando simulaciones para los valores pronosticados a partir de los valores de series periódicas, como lo son las series diarias de las acciones de las entidades financieras objeto de estudio. No obstante lo anterior, es importante destacar que dicho modelo no genera pronósticos altamente certeros para estas series financieras, debido a que los resultados de la medida de bondad de ajuste (RMSE) generan valores muy altos. Esta incapacidad predictiva del modelo, para este tipo de activos financieros, está asociada al uso de parámetros como la media (µ) y la desviación estándar (σ), parámetros que por defecto- asignan igual importancia a todos los datos de la serie usada para su cálculo (en este caso, la serie de rentabilidad). Es decir, que si se calcula la rentabilidad de estas acciones usando los últimos 100 datos, el modelo aporta igual relevancia al dato de t-100 que el de t-1 sin importar si en el momento t-1 la volatilidad es muy baja y en el t-100 ha sido muy alta. Así las cosas, se precisa que si bien es cierto el modelo sirve de insumo para tener una aproximación a los posibles valores mínimos y máximos que puede tomar el activo financiero, sus resultados carecen de la suficiente precisión para inducir la compra certera de este tipo de activo financiero. Consecuencia de lo anterior, se recomienda para próximas investigaciones la aplicación de modelos con promedios móviles de suavizamiento exponencial y modelos de la familia Arch y Garch que generan mayor capacidad de predicción dado que permiten mejor modelamiento de su volatilidad. 1. BIBLIOGRAFIA
![Comentado [NSL8]: Esto no aparece en el gráfico (líneas azuil y roja) CONCLUSIONES Es posible construir modelos de pronóstico de activos financieros bajo el modelo lognormal utilizando parámetros](/docs-images/45/8860638/images/page_12.jpg "estadísticos para su estimación, realizando simulaciones para los valores pronosticados a partir de los valores de series periódicas, como lo son las series diarias de las acciones de las entidades")
13 Anderson, Sweeney, Willians (2008). Estadisticas para administración y economía. Cengage Learning, Decima edición Carla Moreno Navarro (2012) composición de cartera réplica para la predicción del índice bursátil español ibex 35, Universidad Politécnica de Valencia. De Lara Haro, A. (2008). Medición y control de riesgos financieros (tercera ed.). Mexico: LIMUSA, S.A. de C.V. Feria Dominguez Jose Manuel. El Riesgo de mercado su medición y Control, Delta Publicaciones. Gilks.W.K.. Richardson. S. and Spiegelhalter, D.J. (eds) (1996). Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman and Hall Hanke, J. E., & Wichern, D. W. (2006). Pronósticos en los negocios. Mexico: Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. J.C. Cortes, A. Debón y C.Moreno (2007), Aplicación del modelo log-normal para la predicción de activos del banco sadabel. José M. Marín, Gonzalo Rubio (2011). Economia Financiera. Antoni Bosh Editor, S.A. España. Llinás Solano, H., & Rojas Alvarez, C. (2009). Medidas de dispersión o de variabilidad. En H. Llinás Solano, & C. Rojas Alvarez, Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad (págs ). Barranquilla: EDICIONES UNINORTE. Llinás Solano, H., & Rojas Alvarez, C. (2009). Medidas de tendencia central o de centralización. En H. Llinás Solano, & C. Rojas Alvarez, Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad (págs ). Barranquilla: EDICIONES UNINORTE. Pedro Juez Martel, Francisco Javier Díez Vegas (1997).Probabilidad y estadística matemática: aplicaciones en la práctica clínica. Ediciones Díaz de Santos, S.A. España. Topa & Asociados. (02 de 01 de 2009). Topa & Asociados. Recuperado el 05 de 03 de 2012, de Comentado [NSL9]: Corregir citas a norma APA
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