SIMULACIÓN DE MONTE CARLO EN INGENIERÍA GEOTÉCNICA, Y SU APLICACIÓN EN EL ANÁLISIS DE RIESGOS

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1 SIMULCIÓ DE MOTE CRLO E IGEIERÍ GEOTÉCIC, Y SU PLICCIÓ E EL ÁLISIS DE RIESGOS Fernando Gome Ledema 1, Gabriel Rodrigue Roca 2, Fernando rturo Ledema Peria 1 Deartamento de Ingeniería Civil, Facultad de Ciencias y Tecnología, Universidad Mayor de San Simón, Maestrante en la Universidad Jorge Mason-US 2 Docente Titular Deartamento de Ingeniería Civil, Facultad de Ciencias y Tecnología, Universidad Mayor de San Simón Docente Investigador Deartamento de Ingeniería Civil, Facultad de Ciencias y Tecnología, Universidad Mayor de San Simón RESUME La alicación de las robabilidades y la estadística en ingeniería geotécnica, han logrado resolver roblemas de incertidumbre y riesgo asociado a determinados tios de falla, sin embargo en una simulación estadística es difícil reresentar todas las variables asociadas. En este trabajo realia una simulación emleando el método de Monte Carlo, como una herramienta muy útil cuando se desea determinar la robabilidad de falla de un sistema geotécnico, asecto que sería imosible efectuar sin una simulación estadística or todas las variables aleatorias que intervienen en un roblema de análisis y diseño geotécnico. Palabras Clave nálisis de Riesgos, Método de Montecarlo, Parámetros Geotécnicos 1. ITRODUCCIÓ La alicación de las robabilidades y la estadística en ingeniería geotécnica, han logrado resolver el roblema de la incertidumbre y el riesgo asociado a determinados tios de falla (en cierto grado). Su alcance y alicabilidad es demasiado basta. Una de sus articularidades más exitosas es la de estimación, y su desemeño en las consideraciones de variabilidades de sistemas geotécnicos la hacen una herramienta efica. l ser muchos los arámetros geomecánicos que son determinados mediante asectos cualitativos; la incertidumbre que acomaña a estos es inevitable. Generalmente el royectista considera solo el valor romedio o reresentativo de cada arámetro geomecánico; cuando en realidad estos valores son aleatorios en diferentes grados, ellos constan de una determinada distribución de robabilidad. Consecuentemente, éstas ueden ser modeladas robabilísticamente. Es necesario tomar en cuenta la variabilidad de estos arámetros, orque su incidencia en el diseño es considerable (Hoek, 1998) 2. L SIMULCIÓ ESTDÍSTIC Los métodos de simulación son necesarios cuando se requiere realiar un análisis robabilístico de una función de estado límite con muchas variables aleatorias imlícitas. Para esto es necesario conocer las roiedades estadísticas de cada una de las

2 variables, sus medidas de tendencia central así como sus varianas, y si es osible su tercer y cuarto momento ara determinar a cuál distribución de robabilidad mejor se ajusta. ctualmente se cuenta con mucho material de esta naturalea, distintos autores resentan variabilidades y romedios de diferentes arámetros geomecánicos (Gordon, 1997) (Chow, 1994) (Isaaks & Sivastaba, 1989) (Sánche, 2007) (Hoek, 2006) ( Bauá Castelló, 200) Función de estado límite. En geotecnia la función de estado límite, muchas veces, es la que define el factor de seguridad y ésta uede ser exresada or: FR Fs (1) F Donde FR es la sumatoria de todas las fueras resistentes del sistema, y F es la sumatoria de las fueras que actúan sobre el sistema (solicitaciones). Entonces; la robabilidad de falla asociada al factor de seguridad, nuestra función de estado límite, uede ser definida como: f F R 1 F (2) Se uede notar claramente en (2) que la falla ocurre cuando el factor de seguridad es menor que uno. se obtiene un conjunto de valores del factor de seguridad. Con esta serie de valores el factor de seguridad uede ser analiado estadísticamente y extraerse información sobre arámetros estadísticos del mismo, ara determinar la robabilidad de falla del sistema geotécnico en consideración. La exresión matemática que muestra este criterio, es la siguiente: f 1 1 I g x 0 I Fs 1 () i1 i1 Esta exresión es la definición del rimer momento, lo cual indica que la robabilidad de falla es la eserana matemática ó valor eserado de la función indicador I. En otras alabras, la idea básica del método de Monte Carlo consiste en escribir la integral requerida como el valor eserado de alguna función con resecto a alguna distribución de robabilidad, lo cual sugiere una solución estadística al roblema de integración.. PROCEDIMIETO Para motivar la discusión se considera el roblema de estabilidad de talud en Hong Kong (Sau Mau Ping) con los datos de (Hoek, 2006) 20 m b b max w Método de Monte Carlo. 60 m Fisura de tracción El método de Monte Carlo consiste en evaluar la integral de falla corresondiente a la función de estado límite. Esto se logra simulando, según su resectiva distribución de robabilidad, una gran cantidad de realiaciones de todas las variables que intervienen en ella y evaluando el factor de seguridad ara cada una de las realiaciones de los arámetros considerados como aleatorios. Una ve concluida la simulación, Fig. 1 Talud Sau Mau Ping en Hong Kong. Parámetros constantes: ltura del H 60m talud

3 ngulo f 50 equivalente ngulo del 5 lano de falla Inclinación Horiontal del talud suerior Distancia b max f 4 máxima del banco suerior Peso unitario de 26 K r m la roca Peso K 10 unitario del m agua Tabla 1: Valores considerados constantes en el análisis. H cot cot 5. m nal Tabla 2: Valores aleatorios con sus resectivas distribuciones de robabilidad. La función de estado límite que define nuestro sistema es: c W cos V sin U W sin Fs W sin V cos W cos (4) H c W W U b V b max w tan Parámetros aleatorios: Parámetr Valor o medio ngulo de fricción Cohesión Profundida d de la fisura de tracción Distancia de la cresta a la fisura de tracción Profundida d de agua en la fisura de tracción Relación sismoaceleració n gravitacio Desviaci ón estándar 5 5 K c 100 m m b w Mín=0, máx= Mín=0, Max=2α Distribuci ón ormal ormal ormal ormal Exonenci al Exonenci al Fig. 2 Fueras resultantes que actúan en el Talud. El número de simulaciones efectuadas al factor de seguridad fue el mismo ara cada realiación de las variables aleatorias, doscientas mil, dándonos la siguiente información estadística Descrición Estadística del factor de seguridad % Confidence Interval for Mu % Confidence Interval for Median 2.65 Fig. Descrición estadística del factor de seguridad Squared: P-Value: Mean StDev Variance Skewness Kurtosis Minimum 1st Quartile Median rd Quartile Maximum Variable: Fs nderson-darling ormality Test 95% Confidence Interval for Mu E E % Confidence Interval for Sigma % Confidence Interval for Median

4 La robabilidad de falla del talud es de 0.089, que significa el área sombreada de la figura. El índice de confiabilidad de nuestro sistema uede ser determinado de la siguiente manera: (5) El índice de confiabilidad es de 1.8. modo de hacer una comaración; en estructuras de acero las combinaciones de carga son mayoradas con factores que satisfagan un índice de confiabilidad igual a cuando la combinación contiene cargas gravitatorias, y un valor de 1.75 cuando la combinación considera sismos (merican Institute of Steel Construction, 2005). Mientras más alto el índice de confiabilidad más seguro es el sistema. Valores de satisfactorios (Sánche, 2007). mayores a 1 son La simulación de Monte Carlo uede ser evidenciada en la figura 4. La figura también muestra la función de estado límite, como la frontera de la región segura (arte inferior derecha) y la región de falla (Parte suerior iquierda). Esta figura es una herramienta visual muy imortante, cuando se desea tomar decisiones en cuanto a diseño; ues ésta muestra los eventos aislados del sistema geotécnico. Los untos que tienen mayor distancia a la función de estado límite hacia la iquierda, y aquellos que tienen mayor distancia a la función de estado límite hacia la derecha, muestran factores de seguridad muy bajos y muy altos resectivamente. Solamente deben ser considerados aquellos que cuentan con un factor de seguridad muy bajo. Fuera actuante en dirección del deslaamiento (K) Fuera resistente al deslaamiento (K) Fig. 4 Simulación de Monte Carlo ara el talud Sau Mau Ping 4. COCLUSIOES Simulación de Monte Carlo Función de estado límite Función de estado límite Los modelos robabilísticos resuelven el roblema de riesgo y confiabilidad en sistemas geotécnicos, reresentan mejor la aleatoriedad intrínseca de los arámetros geomecánicos, y or ende del factor de seguridad. Un análisis de confiabilidad no uede ser realiado mediante rocedimientos determinísticos, los cuales no muestran la incidencia de la variabilidad en los arámetros geomecánicos. El método de Monte Carlo es una herramienta muy útil cuando se desea determinar la robabilidad de falla de un sistema geotécnico, asecto que sería imosible efectuar sin una simulación estadística or todas las variables aleatorias que intervienen en un roblema de análisis y diseño geotécnico.

5 5. REFERECIS Bauá Castelló Juan Diego ORMTIV, CÁLCULO Y SEGURIDD E L GEOTECI (EL EUROCÓDIGO) [Conferencia] // Curso de Geotecnia ara Infraestructuras. - Málaga : Eurocódigo, 200. merican Institute of Steel Construction MUL OF STEEL COSTRUCTIO [Libro]. - Chicago, Illinois : ISC, Vol. I. Chow V. HIDROLOGÍ PLICD [Libro]. - Massachuset : McGraw-Hill, Gordon. PROBBILLISTIC METHODS I GEOTECHICL EGIEERIG [Libro]. - Virginia : SCE, Hoek Evert PRCTICL ROCK EGIEERIG [Publicación eriódica] // Elsiever Science Hoek Evert RELIBILITY OF HOEK- BROW ESTIMTES OF ROCK MSS PROPERTIES [Publicación eriódica] // Elsiever Science Isaaks & Sivastaba GEOSTTISTIC PPLIED [Libro]. - Chicago : Mc-Grawhill, ág Sánche Mauricio COFIBILIDD Y EVLUCIÓ DE RIESGOS E IGEIERI [Libro]. - Bogotá : Universidad de los ndes, 2007.

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