CAPÍTULO 5 VALIDACIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN: CONTRASTES DE ESPEFICIACIÓN INCORRECTA Y CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN

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1 Fichero: capiulo 5 CAPÍTULO 5 VALIDACIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN: CONTRASTES DE ESPEFICIACIÓN INCORRECTA Y CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN. INTRODUCCION. TIPOS DE PRUEBAS DE VALIDACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN MCO DEL MODELO DE REGRESIÓN Después de la esimación de los parámeros conviene efecuar un conjuno de pruebas de validación de los resulados obenidos. Esableceremos dos ipos de pruebas. Las primeras consisen en la realización de comprobaciones de la calidad de la información muesral uilizada, del ajuse de dicha información al modelo eórico subyacene y la esabilidad de los daos frene a la esrucura que debió generarlos en relación con el modelo especificado. Asimismo, es conveniene señalar las posibles divergencias, si las hubiere, en relación con las hipóesis manenidas y que definieron lo que hemos venido en calificar como modelo de regresión esándar. Si exisen discrepancias en el resulado de esas pruebas con respeco a las hipóesis iniciales endremos indicios de una especificación incorreca del modelo. En consecuencia, se procederá a revisar su consrucción formal, los daos uilizados para la inferencia o, acaso, los procedimienos de esimación y conrase de las hipóesis. Ese proceso cíclico de revisión, re-especificación y nueva validación concluye en el puno en el que convenimos que el modelo especificado esá corroborado por los daos. El segundo ipo de pruebas de validación consisen en la comparación del modelo Manual de Economería. Capíulo 5, página Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

2 esimado con oros posibles modelos. Esos modelos alernaivos pueden incluir más, o menos, variables explicaivas que las uilizadas hasa el momeno. También cabe la posibilidad de realizar comparaciones con modelos diferenes ano por la forma funcional especificada como por las variables uilizadas como predeerminadas. En cualquier caso se raa de señalar las pauas que nos permian aproximarnos, en la medida de lo posible, a inferencias que garanicen la adecuación de los daos al modelo subyacene desconocido. Siguiendo la erminología habiual nos referiremos al primer ipo de pruebas como pruebas de especificación errónea del modelo, mienras que las segundas las reconoceremos sencillamene como pruebas de especificación enre modelos alernaivos. Para esablecer una ciera sisemáica en la aplicación de esas pruebas ahora las presenaremos en forma de una baería ordenada. En la prácica, esa eapa de validación se realiza de manera mucho más auomáica y simulánea. Sin embargo, con objeo de presenar separadamene los concepos e hipóesis que se cuesionan juno con las pruebas aconsejadas, reseñaremos, en lo que sigue, dichas pruebas de manera ordenada clasificadas según la hipóesis nula esablecida. La página siguiene coniene un esquema de las pruebas y conrases de validación y especificación del modelo. Manual de Economería. Capíulo 5, página Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

3 ESQUEMA DE VALIDACIÓN DEL MODELOS: CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN INCORRECTA CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN INCORRECTA Y CALIDAD DE LOS DATOS CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN ENTRE MODELOS ALTERNATIVOS ( Qué variables?, Qué forma funcional? Y CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN Significado de los parámeros Concuerdan el signo y el valor con lo esperado, según la eoría? Significación esadísica de la ecuación y de los parámeros Conrases de significación individual () Conrases de significación de subconjunos de parámeros (F) Conrases de resricciones lineales sobre los parámeros (F) Conrase de significación global del ajuse (F) Mulicolinealidad? Ouliers? Mariz de correlaciones de X Gráficos de los residuos Oros (ver capíulo específico) Auocorrelación enre los Gráfico de los residuos errores? Conrase Durbin-Wason (DW) Oros (ver capíulo específico) Heerocedasicidad? Gráficos Conrase de Breusch y Pagan (BP) Oros conrases (ver capíulo específico) Errores normales? Hisograma de los residuos Conrase Jarque y Bera (JB) Oros (ver capíulo específico) Pruebas de linealidad de la relación (especificación de la Gráficos Conrase RESET de Ramsey forma funcional) Análisis de Esabilidad Conrase de Chow Conrase de Hansen Conrases basados en la esimación recursiva: CUSUM, CUSUMQ Conrases anidados Conrases de la F de significación de subconjunos de parámeros Conrases no anidados Conrase J de Davidson y MacKinnon (993) Conrases de abarcamieno ( Encompassing ) Conrase PE ( Modelo lineal o modelo log-lineal? Manual de Economería. Capíulo 5, página 3 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

4 . PRUEBAS DE ESPECIFICACIÓN ERRÓNEA Y DE CALIDAD DE LOS DATOS. El ipo de pruebas que vamos ahora a proponer iene por objeo diagnosicar la calidad de la especificación realizada y de la información muesral uilizada. Las hipóesis H y H4 esablecían como supuesos de parida que el modelo economérico elegido era correco. Cualquier discrepancia acerca de dicho supueso repercue en los resulados de la esimación por MCO, así como en la poencia de los conrases esadísicos propuesos, al como endremos ocasión de analizar con mayor dealle en próximos capíulos. Por el momeno nos basa con disponer de insrumenos de diagnósico de la evidencia empírica disponible para esar en favor, o en conra, del manenimieno de los supuesos. De la misma forma, hemos realizado la inferencia por MCO con la confianza de que la base de daos de la muesra uilizada era suficiene como para garanizar el manenimieno de las propiedades de los esimadores y de los conrases propuesos. También analizaremos los resulados de la esimación por MCO para obener apoyo en favor del manenimieno de ese ipo de supuesos. Presenamos a coninuación un conjuno de pruebas a realizar con los resulados de la esimación mínimocuadráica de los parámeros del modelo de regresión. Esas pruebas nos permiirán disponer de evidencia suficiene para creer que las hipóesis esablecidas al comienzo del esudio son válidas o, por el conrario, si se apunan graves divergencias que aconsejen la reformulación del modelo o de los procedimienos inferenciales uilizados hasa el momeno... Significado de los parámeros En el modelo economérico especificado habremos señalado previamene los signos, y en ocasiones los valores, esperados de odos o algunos de sus coeficienes. Por ejemplo, si se raa de una ecuación represenaiva del comporamieno de los consumidores y como variable explicaiva aparece la rena y los precios, esperamos un signo posiivo para el coeficiene que acompaña a la rena y signo negaivo para el coeficiene de la variable precio. Si la relación es enre los logarimos de las variables Manual de Economería. Capíulo 5, página 4 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

5 indicadas, los coeficienes en la regresión son, respecivamene, las elasicidades del consumo respeco de la rena y el precio. Si el bien es un bien normal, esperamos que la elasicidad rena sea mayor que la unidad. La primera de las pruebas propuesas consise sencillamene en la comprobación de que los signos, o valores, de las esimaciones de los parámeros del modelo especificado coinciden con los signos, o valores, esperados de los parámeros. Se raa, en definiiva, de un mecanismo elemenal de inerpreación del significado económico de los resulados más que de una prueba esadísica... Significación esadísica de la ecuación esimada y de los parámeros del modelo Ese segundo insrumeno de validación del modelo consise en la realización de pruebas de hipóesis esadísicas. La primera de ellas sirve para señalar la significación esadísica del modelo economérico en su conjuno. Formalmene se raa de efecuar una prueba de significación conjuna del modelo, es decir de los parámeros que acompañan a las variables explicaivas (excluyendo la consane): siendo el conrase propueso el indicado en (3.5), es decir: ( e 0 e0 e a ea ) /( K ) ( SCE0 SCEa ) /( K ) = ~ F e e /( n K) SCE /( n K) a a H o : β = β =...= β = 0 a 3 K K ; n K en el que e o y e a indican, respecivamene, los errores del modelo bajo la hipóesis nula (o sea, Y i =ß +u i ) y el modelo que coniene odos los parámeros. Si el esadísico de prueba proporciona valores mayores que el valor abulado de F con K- y n-k grados de liberad, enonces se rechaza la hipóesis nula. En ese caso decimos que la regresión globalmene considerada explica las variaciones inramuesrales de la variable endógena. Manual de Economería. Capíulo 5, página 5 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

6 Además de esa prueba global deben esablecerse las pruebas de significación individual de cada uno de los parámeros del modelo de regresión, así como pruebas de significación de subconjunos paraméricos y de relaciones enre los parámeros. El planeamieno de esas pruebas de relación enre parámeros esá inspirado en el significado económico de los mismos. En una ecuación que represene una función de producción ipo Cobb-Douglas eseremos ineresados, por ejemplo, en conrasar que exisen rendimienos consanes de escala. Eso equivale a decir, si la ecuación es una relación enre los logarimos del produco como variable explicada y de los inpus capial y rabajo como explicaivas, que la suma de los coeficienes de las dos explicaivas es igual a la unidad. El conrase de significación individual se realiza mediane el esadísico definido en (3.): ˆ β es ( ˆ β ) k ~ El esadísico de prueba de q resricciones lineales independienes sobre los parámeros, que incluye como caso paricular la significación conjuna de q coeficienes de regresión, es el siguiene: ( SCE o - SCE a ) /q SCE a /(n - K) k (n - K) ~ F(q;n - K) En ambos casos, si los esadísicos de prueba superan los valores abulados se rechazan las hipóesis nulas planeadas. En el caso del conrase de significación individual de un parámero eso cuesionaría la presencia de la variable explicaiva correspondiene en la regresión. Si se rechaza la hipóesis nula de significación esadísica de alguna relación lineal enre parámeros, esablecida en base a la información eórica a priori, enonces esamos cuesionando la exisencia de alguna Manual de Economería. Capíulo 5, página 6 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

7 relación con significado económico..3. Calidad de la información muesral La información muesral uilizada debe ser homogénea o, dicho de oro modo, no debe conener elemenos exraños. Un elemeno aípico (oulier en la erminología anglosajona) es una observación para la que resula forzado creer que se generó por la misma esrucura que la resane información muesral. Ora debilidad, habiual por lo demás, de la información muesral es la que resula del hecho de que las variables explicaivas presenen enre sí correlaciones lineales alas, lo que resa precisión a los esimadores minimocuadráicos. Esa cuesión será analizada poseriormene con mayor dealle en el ámbio de lo que en la lieraura economérica se conoce como el problema de la mulicolinealidad. Por el momeno, efecuaremos las siguienes pruebas. En primer lugar analizaremos la mariz de correlaciones enre las variables explicaivas. Si esa mariz presena valores elevados, digamos que correlaciones enre pares de variables con valores superiores a 0.7, hay una elevada correlación enre las variables explicaivas que disminuirá la precisión de las esimaciones efecuadas. En consecuencia, al aumenar la varianza de los esimadores será más probable no rechazar la hipóesis nula de significación individual de los parámeros de regresión (al aumenar la varianza, aumena el denominador en (.3) y por lo ano disminuye el valor del esadísico de prueba y es más difícil rechazar la hipóesis nula). El análisis de exisencia de valores aípicos se puede efecuar de disinas formas. Por una pare, obendremos una represenación gráfica de los residuos de la esimación MCO. Los residuos que esén siuados más allá de desviaciones esándar (s e ) de la disribución de los errores son, en principio, candidaos a señalar para la observación a la que correspondan la exisencia de un valor aípico. Sin embargo, hemos de precisar que si se rabaja con un nivel de confianza del 95%, enonces es Manual de Economería. Capíulo 5, página 7 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

8 correco esperar que, aproximadamene, el 5% de los residuos esén siuados fuera de las bandas de dos desviaciones esándar. El gráfico de la izquierda en la figura 5. muesra un ejemplo con daos simulados de la disribución de los residuos. La disribución no presena ninguna esrucura deerminada (no son sisemáicamene crecienes o decrecienes, no esán dispuesos en forma de V o V inverida, ec.) lo que no indica la exisencia de errores sisemáicos en la especificación del modelo. Por ora pare aparecen algunos residuos fuera de las bandas de confianza, pero no suficienemene alejados de las mismas como para sospechar que se rae de algún dao exraño. El gráfico de la derecha muesra una disribución de los errores en el que aparecen dos valores muy alejados de la media. Los valores siuados más allá de 3 desviaciones esándar deben considerarse valores anormalmene diferenes en la disribución y posiblemene asociados con algún dao aípico. Figura 5. Ejemplo de residuos con ouliers Residuos esandariazados Residuos esandariazados Manual de Economería. Capíulo 5, página 8 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

9 .4. Pruebas relaivas a la perinencia de las hipóesis manenidas sobre el érmino de perurbación aleaoria (homoscedasicidad, ausencia de auocorrelación y normalidad) Las hipóesis relaivas a las caracerísicas de la disribución de probabilidad de las variables aleaorias que consiuyen los érminos de perurbación aleaoria del modelo de regresión, pueden ser revisadas mediane dos enfoques disinos. Por una pare, con el recurso de ilusraciones gráficas del comporamieno de los residuos de la esimación MCO y, por ora, con pruebas esadísicas específicamene diseñadas para esos objeivos. Ya hemos viso cómo la disribución del vecor de residuos se asemeja, en el límie, a la disribución del vecor de perurbaciones aleaorias incluidas en el modelo de regresión. Ese es el fundameno sobre el que se consruyen los conrases para calibrar la validez de las hipóesis sobre U, así como las pruebas gráficas que ayudan de una manera más sencilla, aunque más elemenal y menos precisa, a valorar el manenimieno de dichos supuesos. Ausencia de auocorrelación Para analizar la independencia en la disribución de los disinos érminos de perurbación aleaoria en la regresión, podemos empezar observando la represenación gráfica de los residuos MCO de la esimación. Ya hemos comenado repeidamene que esa hipóesis es especialmene imporane en inferencias realizadas con modelos que uilizan daos emporales. Los residuos se ordenarán de acuerdo con la secuencia emporal de los daos en la muesra. Si observamos cualquier parón de comporamieno sisemáico en la disribución en el iempo de los residuos, enonces esamos en condiciones de dudar de la conveniencia de manener la hipóesis H6 de no auocorrelación en la disribución de los érminos de perurbación aleaoria. La figura 5. muesra dos siuaciones disinas de la disribución de residuos de dos esimaciones realizadas por MCO. En la primera de Manual de Economería. Capíulo 5, página 9 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

10 ellas no hay sospechas de violación de la hipóesis de no auocorrelación de los érminos de perurbación aleaoria (la disribución de los residuos parece generada de manera aleaoria), mienras que en el segundo la esrucura observada (a cada residuo con valor negaivo le sigue oro con valor posiivo) señala que no puede sosenerse la hipóesis aludida. Figura 5. Disribución de residuos MCO de dos modelos de regresión 3 Ejemplo de residuos no auocorrelacionados 3 Ejemplo de residuos auocorrelacionados Residuos esandarizados Residuos esandariazados Las pruebas relaivas a la disribución del érmino de perurbación aleaoria sirven para deecar problemas de especificación del modelo. Teniendo presene que su jusificación analíica y su deducción formal debe hacerse en el ámbio del análisis de las consecuencias de la aleración de las hipóesis relaivas al comporamieno del érmino de perurbación de la regresión, indicaremos ahora la mecánica de esos conrases. Los resulados del rechazo de la hipóesis nula, que sosienen las hipóesis manenidas en el modelo de regresión esándar, deberán inerprearse por el momeno como pruebas de incorreca especificación. Un resulado así es indicaivo de que hay algo mal consruido en la relación y que deben revisarse los supuesos esablecidos. Sin embargo, enunciaremos ahora una prueba elemenal de ausencia de correlación Manual de Economería. Capíulo 5, página 0 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

11 serial en el érmino de perurbación. Ese conrase lo proporciona la prueba propuesa por Durbin y Wason (950, 95) que definen el siguiene esadísico: d = i=n i= ( ei - e i=n i= que iene una disribución abulada por esos mismos auores. Para que la aplicación de ese conrase enga senido es preciso que las observaciones muesrales esén ordenadas. Un crierio de ordenación inmediao es el proporcionado por el argumeno emporal. Si los daos provienen de series en el iempo enonces las observaciones muesrales las ordenamos según su aparición en el iempo. Cuando los daos son de core ransversal una ordenación lógica no siempre es posible con lo que el conrase, y en general odos los conrases de auocorrelación, no endrán inerpreación y no serán insrumenos úiles a esos efecos. El esadísico d oma valores en el rango comprendido enre 0 y 4. Las ablas proporcionan los valores de los límies inferior (d l ) y superior (d u ) del conrase. La hipóesis nula de ausencia de auocorrelación se rechaza cuando: ei i- 0 < d < d l, si 0 < d < 4 - d u < d < 4, si < d < 4 ) Es un conrase de una cola. La hipóesis alernaiva es, o bien que hay auocorrelación de primer orden enre las perurbaciones posiiva, o bien que hay auocorrelación negaiva. Por el momeno basará con inerprear ese conrase como una prueba de especificación errónea. Por ello diremos que nuesra hipóesis nula es la correca especificación de modelo. El rechazo de la hipóesis nula señalará algún error en la consrucción del modelo. Esos errores pueden deberse, enre oras causas, a la mala especificación de la forma funcional, es decir de la linealidad, y a la omisión de Manual de Economería. Capíulo 5, página Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

12 variables explicaivas imporanes. Cuando abordemos el ema de la auocorrelación enconraremos mayor explicación del funcionamieno del conrase y mejores pisas para su inerpreación. Dejamos para enonces el análisis más deallado del conrase. Heerocedasicidad Con respeco a la hipóesis de varianza consane apunaremos ahora, como en el caso del raamieno de la no auocorrelación, dos insrumenos de nauraleza disina: en primer lugar, un conjuno de gráficos para analizar la forma de la disribución de los residuos y, en segundo lugar, un conrase esadísico de fácil consrucción. Los gráficos que insinúan el comporamieno de la varianza del érmino de perurbación aleaoria son de dos ipos. El primero de ellos compara los valores de los residuos de la esimación MCO con los valores ajusados de la variable dependiene. El segundo ipo de gráfico describe la disribución de los residuos en comparación con los de cada variable explicaiva. Si se observan variaciones sisemáicas de la dispersión de los residuos cuando varian los valores de la variable dependiene y/o alguna de las explicaivas, enonces podemos dudar de la validez de la hipóesis H7 de homoscedasicidad, es decir de varianza consane en el érmino de perurbación. En los gráficos que aparecen en la figura 5.3 se represenan disinas siuaciones que evidencian en unos casos el manenimieno de la hipóesis de homoscedasicidad, cuando la disribución de los residuos no varía sisemáicamene al hacerlo Yˆ, o la variable explicaiva X, y en oros la duda sobre el cumplimieno de dicha hipóesis. Obsérvese que cuando el érmino de perurbación deja de ser homoscedásico, los residuos ienden a comporarse con una variación disina según cuales sean los valores de Yˆ, o de alguna de las variables explicaivas en el modelo de regresión. Figura 5.3 Manual de Economería. Capíulo 5, página Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

13 Valor absoluo de los residuos MCO 8 Ejemplo de homocedasicidad Valores ajusados de Y Valor absoluo de los residuos MCO 3000 Ejemplo de heerocedasicidad Xj Para conrasar la homoscedasicidad uilizaremos el conrase de Breusch y Pagan (979), que definen el siguiene esadísico: en el que SCR es la suma de cuadrados explicada en la regresión cuya variable dependiene es ei e i n SCR LM = ~ χ q donde e son los residuos MCO de la regresión original, cuya homocedasicidad queremos conrasar. Las variables explicaivas de la regresión auxiliar del conrase son un conjuno de q variables explicaivas que, además de un érmino consane, recojan los posibles argumenos de variación de la varianza del érmino de Manual de Economería. Capíulo 5, página 3 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

14 perurbación. Al igual que en el caso del conrase relaivo a la auocorrelación, la prueba de Breusch y Pagan debe conemplarse en ese conexo como un conrase para poder rechazar, si ese es el caso, la hipóesis de especificación correca. Si el esadísico de prueba es mayor que el valor en ablas de la χ, enonces se rechaza la buena especificación del modelo y deben revisarse las eapas de su consrucción. Es posible que el rechazo de la hipóesis nula que proporciona el conrase de Breusch y Pagan esé asociado con problemas de homogeneidad de los daos o, sencillamene, con siuaciones en las que resula muy forzado el supueso de consancia en la varianza de la disribución de los disinos érminos de perurbación aleaoria en la ecuación de regresión. Normalidad Finalmene, para el supueso de normalidad en la disribución de las u's, señalaremos la exisencia de un conrase, además de ora represenación gráfica de los residuos. En una primera insancia uilizaremos el gráfico de la disribución de las frecuencias (hisograma) de los valores de los residuos. La comparación de la forma de esa disribución con la que eóricamene presena la disribución normal (unimodal, simérica y acampanada) señala las similiudes, o discrepancias, con respeco al supueso de normalidad en la disribución de las perurbaciones, al como señalan los gráficos de la figura 5.4 Figura 5.4 El conjuno de variables explicaivas en esa regresión puede coincidir con las variables explicaivas de la ecuación que esemos evaluando. En ese caso q=k-. Cuando uilizemos ese conrase como prueba efeciva de homoscedasicidad conemplaremos oras posibilidades para esa regresión auxiliar. Manual de Economería. Capíulo 5, página 4 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

15 Hisograma de los residuos: Ejemplo de residuos normales Series: Residuals Sample 00 Observaions 00 Mean -9.99E-7 Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy Hisograma de los residuos Ejemplo de residuos no normales Series: Residuals Sample 00 Observaions 00 Mean -.6E-6 Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy El conrase propueso por Jarque y Bera (980) esá consruido a parir de los momenos de ercer y cuaro orden o, expresado de ora forma, de los coeficienes de asimería y curosis de los residuos de la regresión. Esos auores demuesran que el esadísico: µ µ 3 µ µ µ 4 3 n[ + ( - 3 ) ] + n[ - ] ~ 3 6 µ 4 µ µ µ 3 χ () siendo, Manual de Economería. Capíulo 5, página 5 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

16 i=n ei µ s = i= s =,... n y, por lo ano, se rechaza la hipóesis nula de normalidad en la disribución de los errores en la regresión cuando el esadísico de prueba supera el valor abulado según una ley χ con grados de liberad. s.5. Pruebas relaivas a la linealidad de la relación Una forma sencilla de analizar la exisencia de relación lineal enre las variables en el modelo especificado consise en la observación del gráfico resulane de represenar sobre un plano los valores de los errores de la regresión con los valores ajusados de la endógena. También se uilizan en ocasiones los gráficos de los errores con cada una de las variables explicaivas. Si en cualquiera de esos gráficos se aprecia un comporamieno sisemáico, podemos sospechar que la especificación lineal no es la más adecuada. La figuras 5.5 sirve de ejemplo de represenación gráfica de un modelo en el que cabe sospechar que se incumple la linealidad formulada como hipóesis. Figura 5.5 Manual de Economería. Capíulo 5, página 6 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

17 0 Ejemplo de sospecha de relación no lineal 0 Residuos MCO Y ajusada Un conrase esadísico, debido a Ramsey, y conocido como conrase RESET, es el siguiene. Se esima la ecuación de regresión y se guardan los valores ajusados de la endógena. Se esima a coninuación la misma ecuación, añadiendo como variable explicaiva la endógena ajusada elevada al cuadrado y se conrasa la significación individual de ésa, con el conrase habiual. Si el coeficiene de esa nueva variable es significaivamene disino de cero enonces se rechaza la linealidad de la relación. Expresado formalmene ese conrase, se esima la regresión auxiliar: Y i = β + β X i β X Ki + αyˆ +u ; K i =,...n y, a coninuación, se hace el conrase de hipóesis nula sobre el parámero α, en la forma acosumbrada: i i Manual de Economería. Capíulo 5, página 7 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

18 H o : α = 0 H a : α 0 ˆ α es ( ˆ α ) ~ (n - K - ) Nóese que los grados de liberad en la disribución de son n-k- pueso que en la regresión efecuada hemos añadido un regresor y el número oal de parámeros es K+. Se pueden incluir en la ecuación auxiliar varias poencias de los valores ajusados de Y, empezando por el cuadrado. En ese caso, se emplea el conrase F habiual de significación de un subconjuno de parámeros: Y i = β + β X H o H i β : α = α =... = α = 0 a : α 0 o... α 0 3 h h K X Ki + α Y ˆ h + Yˆ 3 α α Yˆ + i 3 i h i u ; i =,...n i.6. Análisis de la esabilidad La hipóesis de relación esable debe ambién analizarse. El diagnósico de la exisencia de indicios en conra de ese supueso se realiza ano a nivel inra-muesral como exra-muesral. La esabilidad denro de la muesra, esabilidad inra-muesral, se refiere a la información uilizada para la inferencia. Cuando los daos corresponden a observaciones en un core ransversal y se dispone de muesra suficiene, es aconsejable realizar una prueba de validación cruzada. Esa prueba consise en lo siguiene. Se divide la muesra disponible en dos pares no necesariamene iguales Manual de Economería. Capíulo 5, página 8 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

19 (se puede uilizar, por ejemplo, dos ercios de la muesra para la primera submuesra y el ercio resane para la segunda submuesra). Con los daos que configuran la primera submuesra se efecúa la esimación del modelo de regresión propueso. Esa inferencia permie efecuar predicciones para la segunda submuesra. Para ello omamos como conocidos los valores de las variables explicaivas y obenemos los predicores uilizando (3.8). Los valores predichos se comparan con los observados que hemos reservado en la segunda submuesra. Se raa, en definiiva, de evaluar el resulado de esa comparación enre pronósicos y observaciones reales. Si la información uilizada es del ipo de serie emporal enonces esa prueba de validación se reduce a la subdivisión de la muesra en subperiodos. Se esima el modelo propueso para cada subperiodo y se comparan los resulados alcanzados. Si no exise evidencia suficiene de cambios decimos que la muesra es esable y puede realizarse la esimación definiiva con odos los daos disponibles. Las pruebas de esabilidad pos-muesral funcionan de manera similar, con la salvedad que la información uilizada para la comparación es información exerna a la muesra. En senido esrico debemos obener daos nuevos para elemenos disinos, en el caso de información en un core ransversal, o dejar ranscurrir el iempo con objeo de disponer de una serie emporal más larga, y esar en condiciones de efecuar la comparación sugerida, en el caso de modelos para daos de serie emporal..6.. El conrase de Chow Es uno de los más uilizados para probar la esabilidad de la esrucura que ha generado los daos. El consrase se refiere a la consancia de los parámeros en las dos submuesras. Para ello habremos dividido la muesra oal en dos submuesras de amaño igual, respecivamene, a n y n : Manual de Economería. Capíulo 5, página 9 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

20 Y i = β () + β () X β () K X Ki +u () i i =,...n Y i = β () + β () X i β () K X Ki +u () i i = n+,n+...n Y i = β + β X i β K X Ki +ui i =,...n Recordemos que la hipóesis a conrasar se formula de la forma siguiene: H o () () : β = β = β () () β = β = β () () β = β = β K siendo la hipóesis alernaiva que al menos una de esas igualdades no sea ciera. El esadísico de prueba es:... K K [ SCET - ( SCE+ SCE )] /K ( SCE+ SCE ) /(n - K) ~ F(K;n - K) en donde SCE, SCE y SCE T son, respecivamene, las sumas de los cuadrados de los errores en la esimación de las submuesras primera, segunda y oal. Si el esadísico de prueba es mayor que el valor en ablas, rechazaremos la hipóesis nula planeada (la esabilidad de la muesra oal)..6.. El conrase de Hansen Un inconveniene del conrase de Chow es que su resulado es sensible a la parición de la muesra. Parece razonable aplicarlo cuando sospechamos un cambio esrucural deerminado, con submuesras bien definidas. En caso de daos emporales, cuando Manual de Economería. Capíulo 5, página 0 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

21 en un deerminado período ocurrió un suceso (cambio de legislación, por ejemplo) que podría ser el causane del cambio de esrucura. Si nuesros daos son ransversales, cuando hay dos o más submuesras bien definidas que podrían comporarse de manera disina (por ejemplo, familias rurales y urbanas). Pero muchas veces enemos que conrasar a ciegas. El conrase de Hansen (99) salva esa dificulad. Sea el modelo de regresión con K variables explicaivas, incluyendo una consane (X), que se esima por MCO con daos de una muesra de T elemenos (=,,...T). Definimos f f i i ˆ σ = X = e T i e e = = T i =,..., K ˆ σ i = K + donde e es el residuo MCO de la observación. El ajuse de MCO garaniza, como del lecor puede comprobar, que T = f i = 0; i =,... K + El conrase de Hansen se basa en los sumaorios acumulados de f. Permie conrasar la esabilidad de cada parámero individualmene, y ambién la esabilidad conjuna de odos los parámeros del modelo. El esadísico de prueba para conrasar la esabilidad individual del parámero i es el siguiene: L i = TV T S = i ; i =,... K + ; S i = f ; T j ij i = = T V = f Su disribución asinóica bajo la hipóesis nula (el parámero i es esable) fue esudiada por Hansen. Los valores críicos asinóicos esán abulados. El valor críico del conrase de inesabilidad individual,al 5% de significación, es Si nuesro esadísico de prueba oma un valor mayor que 0.47 rechazaremos la hipóesis nula, i Para una exposición más deallada, véase Johnson y Dinardo (00), pp Manual de Economería. Capíulo 5, página Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

22 decidiendo, por ano, que el parámero en cuesión es inesable. Para conrasar la esabilidad conjuna de los K+ parámeros (los K coeficienes de la regresión y la varianza de la perurbación), se emplea el esadísico de prueba siguiene: L s c T = s V T = T V = f = = { f = { S f f s f S K +, K +, } } En las ablas correspondienes pueden consularse los valores críicos asinóicos de ese conrase, que dependen del número de parámeros cuya esabilidad se somee a prueba Los conrases basados en la esimación recursiva: el CUSUM y el CUSUMQ Cuando los daos de la muesra esán ordenados (si son de serie emporal lo esán. Si los daos son ransversales, habría que ordenar la muesra previamene por una variable represenaiva del amaño ), para evaluar la esabilidad de los coeficienes a lo largo del iempo se pueden hacer esimaciones recursivas del modelo. La idea es esimar el modelo secuencialmene, añadiendo cada vez una nueva observación muesral, desde K+ hasa T, y ver cómo cambian los coeficienes y demás resulados. Empezamos ajusando el modelo a las primeras K observaciones (K es el número de variables explicaivas, incluyendo la consane). El ajuse es perfeco, y el vecor de esimadores lo noamos por b K. Reesimamos el modelo, añadiendo la observación K+, así obenemos el vecor de esimadores b K+. Y así sucesivamene, Manual de Economería. Capíulo 5, página Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

23 hasa erminar esimando el modelo con la muesra oal (=,...T). Ese proceso de esimación genera, por ano, una secuencia de vecores de esimaciones MCO: b = ( X X ) X Y donde indica que la esimación emplea los daos de los primeros elemenos de la muesra (=K,K+,...T). Una simple inspección visual de los K gráficos (uno por coeficiene), y sus errores esándar, nos indica si los coeficienes se manienen o no esables a lo largo de la muesra. Para hacer la esimación recursiva, y calcular los inervalos de confianza correspondienes a cada vecor de esimadores MCO, no es preciso realizar odos los cálculos con las fórmulas habiuales. En los manuales de economería pueden consularse las fórmulas de cálculo recursivo, que acualizan los valores de los esimadores, y sus errores esándar, a parir de los obenidos con la muesra previa y de los daos del período. Esas fórmulas de acualización son las que, de hecho, emplean los paquees economéricos al uso. Los conrases CUSUM y CUSUMQ Ambos se deben a Brown y oros (975) y paren de la esimación recursiva del modelo. Definen los residuos recursivos reescalados (w ) de la siguiene forma: v w = = K +,... T + x ( X X ) x = donde v y x b es el error de predicción un paso adelane (diferencia enre el valor real de y en el periodo y su valor predicho por el modelo esimado con la información muesral hasa -). X es el vecor de daos de las variables explicaivas en el periodo, y X - es la mariz de daos de los regresores hasa el periodo -. Si las perurbaciones son ruído blanco y no hay cambio esrucural, los residuos recursivos reescalados w siguen una disribución Normal con media cero, varianza consane y no esán auocorrelacionados: Manual de Economería. Capíulo 5, página 3 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

24 w ~ N(0, σ ); E( w w ) = 0, =,... T Conrase CUSUM El esadísico de prueba del conrase CUSUM es: W = j= K + wj ; ˆ σ = K +,... T; ˆ σ = e e T T K Cuando los parámeros son consanes, la esperanza de W es cero. Se calculan los límies de confianza mediane las expresiones siguienes: Limie inf erior : ( K, ± a Limie superior : ( T, ± 3a T K ) T K ) donde a es un parámero que depende del nivel de significación que se use en el conrase: Conrase CUSUM. Correspondencia enre el nivel de significación y el valor de a Nivel de significación Valor de a Conrase CUSUMQ Se basa en los sumaorios acumulados de los cuadrados de los residuos recursivos reescalados. Su esadísico de prueba es: CUSUMQ = j= K + T j= K + w w j j ; = K +,... T Manual de Economería. Capíulo 5, página 4 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

25 Bajo la hipóesis nula, el valor esperado del esadísico de prueba es, como el lecor puese consaar fácilmene, K E( S ) = T K Los valores críicos para calcular las bandas de confianza esán abulados y se recogen en los paquees economéricos al uso. Hansen muesra la equivalencia del conrase CUSUM con el L (esabilidad del érmino independiene) y del CUSUMQ con el conrase L K+ de esabilidad de la varianza del error. Un Ejemplo de conrase de esabilidad de los coeficienes CUSUM y CUSUMQ, para daos emporales: Tes CUSUM CUSUM 5% Significance Tes CUSUMQ Manual de Economería. Capíulo 5, página 5 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

26 CUSUM of Squares 5% Significance Error de predicción a un período One-Sep Probabiliy Recursive Residuals Manual de Economería. Capíulo 5, página 6 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

27 Esabilidad del coeficiene de una de las variables explicaivas del modelo Recursive C() Esimaes ± S.E. 3. PRUEBAS DE ESPECIFICACIÓN ENTRE MODELOS ALTERNATIVOS Con ciera frecuencia, hay varios modelos compaibles con la eoría que difieren en sus variables explicaivas. El proceso de búsqueda de especificación, o conjuno de procedimienos para pasar de una especificación inicial a ora final que nos reconcilie con los daos incluye herramienas esadísicas capaces de ayudarnos a omar la decisión adecuada sobre qué regresores inroducir. No es ésa, como sabemos desde el capíulo anerior, una cuesión baladí ya que los errores de especificación se pagan. Hay un precio de omiir variables relevanes (sesgo) y oro por añadir variables irrelevanes (pérdida de eficiencia). Diferenciaremos enre los conrases de modelos anidados y los de modelos no anidados. En ambos, se raa de conrasrar, para una muesra dada de amaño n, dos modelos, M y M que se diferencian en las columnas de la mariz X. Si uno de los modelos (digamos M) coniene odos los regresores del oro y algunos más, se dice Manual de Economería. Capíulo 5, página 7 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

28 que los modelos son anidados. Una definición más precisa es la siguiene: dos modelos esán anidados cuando las variables de uno de ellos se pueden expresar como combinación lineal de las del oro. Si eso ocurre, una de las hipóesis a conrasar es un caso paricular o versión resringida de la ora. En caso conrario, esamos frene a un conrase de familias de hipóesis separadas. 3.. CONTRASTES DE ESPECIFICACION DE MODELOS ANIDADOS Los conrases anidados son casos pariculares de empleo del esadísico F de subconjunos paraméricos o de combinaciones lineales de parámeros. La hipóesis nula es el modelo resringido (M) que sólo iene los K regresores X. La hipóesis alernaiva es M que coniene, además de X, el subconjuno Z formado por K regresores. Ambas marices se suponen de rango pleno y las perurbaciones bien comporadas: (M) H 0 : Y = Xβ +U ; U _ N(0, σ ) (M) H :Y = Xβ + Zγ +U ; U _ N(0, ω ) El conrase de inclusión de los regresores Z se basa en el conocido esadísico F que compua cuáno se reduce la suma de cuadrados de los errores si se añaden las variables Z al modelo resringido que solo iene los regresores X: F( K,n - K - K (e e - e e )/ K )= e e /(n - K - K ) donde, como siempre, e y e se refieren a los vecores nx de residuos minimocuadráicos de las regresiones de M y M respecivamene. El conrase de omisión de Z iene como hipóesis nula M y se emplea para decidir si vale la pena manener al subconjuno Z de regresores en el modelo esimado. Su esadísico de prueba evalúa cuáno se pierde de la explicación de Y (cuáno empeora Manual de Economería. Capíulo 5, página 8 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

29 el ajuse) si se omien las variables conenidas en Z. Casos pariculares de los conrases de significación y de omisión de subconjunos de parámeros son aquellos en que K =, evaluándose la perinencia de añadir o de eliminar una variable explicaiva. Exise como sabemos una versión de Suden equivalene del esadísico F. Los procedimienos paso a paso (sepwise) auomáicos de selección de variables en regresión, que ofrecen los paquees de sofware esadísico en uso, se basan en una baería de conrases secuenciales para decidir sobre los regresores, uno por uno. Los procedimienos hacia adelane (forward) ejecuan auomáicamene conrases de inclusión. A parir del modelo que solo coniene la consane, se decide cuál de las posibles variables explicaivas conribuye más a explicar la variabilidad de Y, obeniendo un modelo de regresión simple. En cada paso del proceso ieraivo una nueva variable enra en el modelo, aquella que mayor coeficiene de correlación parcial posee, siempre que al nivel de significación prefijado conribuya significaivamene a mejorar el ajuse (es decir, que el coeficiene de correlación parcial ha de ser significaivamene disino de cero). El procedimieno opueso se denomina hacia arás (backward), y consise en ejecuar secuencialmene una baería de conrases de omisión de variables, cada uno de ellos resringiendo el modelo en la hipóesis nula de forma que se omie uno de los regresores en cada paso. La mayor pare de paquees esadísicos y varios economéricos ofrecen ruinas de selección auomáica de regresores sepwise que deben ser uilizadas con precaución o, mejor odavía, no uilizadas. Enre sus limiaciones apunamos que prescinden por compleo de la eoría, que debe ser la base de la especificación de cualquier modelo economérico, dejando 'hablar' demasiado a los daos. Es en definiiva la búsqueda de la especificación que mejor ajuse presena para la muesra. Si las variables candidaas a ser regresores esán muy correlacionadas, es posible que la especificación obenida sea muy poco robusa en el senido de que cambiando Manual de Economería. Capíulo 5, página 9 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

30 mínimamene la muesra, eliminando unos pocos individuos, por ejemplo, se modifique susencialmene la selección de variables. Además, cuando se realiza una baería de conrases secuencialmene, los es sucesivos no son independienes de forma que sus niveles de significación no son los aparenes porque las decisiones sobre qué escribir como hipóesis nula y alernaiva dependen de los resulados de los conrases previos y en úlimo érmino del nivel de significación que se haya fijado para hacerlos. 3.. CONTRASTES DE ESPECIFICACION DE MODELOS NO ANIDADOS Los conrases de familias separadas de hipóesis se planean cuando nos enconramos con eorías compeiivas que susenan posibles especificaciones del modelo con diferenes conjunos de regresores, X y Z, sin que ninguna de esas dos marices esé conenida en la ora. Puede ocurrir que enfrenemos dos formas funcionales diferenes (conrase enre un modelo lineal y oro doble log), o ransformación diferene de las variables (méodos de deflacación de las series de precios, por ejemplo) o bien definiciones alernaivas de un mismo consruco absraco (diferenes escalas de liker para medir aciudes, moivaciones o influencia). Son ésos ejemplos de siuaciones que en la prácica enconraremos con relaiva frecuencia. Se suele diferenciar enre los conrases emparejados y los múliples. En los primeros se enfrenan dos modelos, el de la H 0 y el de la H. Su hipóesis alernaiva, un solo modelo, es simple. En los conrases múliples el modelo de la hipóesis nula se enfrena a varios modelos alernaivos candidaos. Nos limiaremos al primer caso 3, cuyo planeamieno genérico es el siguiene: Dudamos enre los modelos M y M que conienen K y K regresores, X y Z respecivamene, no anidados: 3 Para una revisión de los conrases de especificación no anidados, incluyendo los múliples, M.McAleer (995). "Sherlock Holmes and he Search for Truh: A Diagnosic Tale", en L. Oxley, D.A.George, C.J. Robers y S.Sayer (comp.) Surveys in Economerics. Basil Blackwell, cap.5 (pp. 9-38) Manual de Economería. Capíulo 5, página 30 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

31 (M) H 0 : Y = X β +U U _ N(0, σ ) (M) H :Y = Z β +U U _ N(0, σ ) El conrase J de Davidson y MacKinnon (98, 993) enre M y M, consise en seguir los siguienes pasos:. Esimar el modelo M por MCO, y guardar los valores ajusados de Y. Esimar M añadiendo como explicaiva la variable que coniene los valores ajusados de Y resulanes de M, guardados en el paso previo 3. Conrasar la significación individual del coeficiene de la variable añadida. Si es significaiva, rechazamos M La regresión auxiliar es, por ano: donde βˆ es el vecor de esimadores MCO de M. El esadísico de prueba es el raio de λ (coeficiene esimado por MCO dividido enre su error esándar). Bajo la hipóesis nula, es decir, si el modelo correco es M, se disribuye asinóicamene como una Normal esandar. Si el raio es mayor que el valor críico de la N(0,), rechazamos H0 (M). Y = X β + λ(z ˆ β )+U Oros conrases se basan en el anidamieno arificial de un modelo en el oro y reciben el nombre genérico de abarcamieno (encompassing). Se hace la regresión combinada, incluyendo como regresores X y las p columnas de Z linealmene independienes de X (es decir, las K variables X y las p variables conenidas en Z que no se pueden expresar como combinación lineal de las de X): donde Z * Y = Xβ + Z es la mariz nxp de variables en Z linealmene independienes de las variables en X. El esadísico de prueba es el clásico del conrase F para el * δ +U Manual de Economería. Capíulo 5, página 3 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

32 subconjuno de parámeros añadidos en la regresión auxiliar: Llamando e * al vecor de residuos MCO de la regresión conjuna y e al de la regresión M, el esadísico de prueba se calcula mediane: que es la expresión habiual del esadísico F para el conrase de significación de los p coeficienes de Z independienes de X. Observe que los grados de liberad del numerador (p) son el número de resricciones de nulidad que se imponen y los del denominador son los que corresponden a los errores del modelo conjuno (número de observaciones efecivas, igual a amaño de la muesra menos número de parámeros esimados). F(p,n - K H 0 : δ = 0 (e e - e e )/p - p)= * * e * e* /(n - K - p) Además de ésos, exisen oros conrases no anidados. Pero ninguno de ellos es siempre mejor que los demás y la elección enre ellos no es una cuesión fácil. Para muesras grandes parece preferible el es J, mienras que el conrase F iene claramene menos poencia asinóica local. Con muesras pequeñas, sin embargo, ocurre lo conrario. El conrase J iene, según esudios de simulación Mone Carlo, probabilidades de error de ipo I muy grandes pero, por ora pare, el es F puede ener poencias menores que el J cuando la hipóesis nula es falsa. Nauralmene, deben formularse y probarse versiones de los conrases no anidados en las que M es la hipóesis nula y M la alernaiva, sin más que reformular adecuadamene las expresiones aneriores. Los paquees economéricos suelen ofrecer ambas versiones de cada conrase. Si en ambos casos se rechaza la hipóesis nula, debemos considerar que ninguno de los modelos considerados se ajusa acepablemene a la realidad que esudiamos. Manual de Economería. Capíulo 5, página 3 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

33 Un conrase para decidir enre la especificación lineal y la log-lineal: el conrase PE Con frecuencia dudamos enre un modelo lineal, donde X explican a Y, y un modelo log-lineal, en el que odas las variables esán en logarimos, y se supone elasicidades consanes. Un conrase específico enre ambos es el PE, que generaliza el conrase J que se presenó en el epígrafe anerior. No es an poene como los conrases de RV, Wald o ML (ver aparado siguiene), pero es muy sencillo y da buenos resulados en la prácica. La hipóesis nula es el modelo lineal de Y conra X, y la alernaiva es el modelo doblelog: H : y = Xβ + u 0 H : lny = ln( X ) γ + v Se esima una regresión auxiliar, que es el modelo lineal (H0) al que se añade como regresor la diferencia enre las predicciones del logarimo de Y obenidas de la esimación de M y el logarimo de las predicciones de Y obenidas de esimar M: Y = Xβ + α{(lnˆ Y ) ln( X ˆ β )} + ε El esadísico de prueba es el raio del coeficiene (α) de la variable añadida. Su valor se compara con el de la N(0,). Si es mayor, se rechaza la hipóesis nula, es decir, el modelo lineal. Debe hacerse la prueba en los dos senidos, es decir, poniendo como hipóesis nula el modelo lineal primero y el log-lineal después. H H 0 lny : Y = ln( X ) γ + v = Xβ + u LnY = Ln( X ) γ + α{ Yˆ e ln( X ˆ β } + ε Manual de Economería. Capíulo 5, página 33 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

34 PRINCIPIOS GENERALES DE CONTRASTACIÓN ESTADÍSTICA Hay res principios de conrasación esadísica que pueden aplicarse a los conrases de hipóesis anidados. La hipóesis nula es el modelo resringido, y la alernaiva, el modelo general no resringido. Son los principios de Razón de Verosimiliudes (RV), Wald (W) y Muliplicadores de Lagrange (ML). Ilusramos gráficamene los res principios en la siguiene figura: LnL LnL R RV dlnl(θ)d θ LnL(θ) C(θ) 0 ML θ^r θ MV Wald θ El conrase de razón de verosimiliudes se basa en la esimación de ambos modelos, el resringido (H0) y el no resringido (H), y calcular el cociene enre las verosimiliudes maximizadas en ambos casos, o lo que es lo mismo, la diferencia enre los logarimos de ambas funciones de verosimiliud maximizadas. Si la diferencia es pequeña, se acepa la resricción (H0). Bajo condiciones de regularidad, el esadísico de prueba se disribuye, cuando se cumple la H0, así: Manual de Economería. Capíulo 5, página 34 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

35 L L R Ln( ) ~ q H χ donde q es el número de resricciones impuesas por el modelo resringido (H). El conrase de Wald se basa en los resulados de esimar el modelo no resringido, es decir, bajo la hipóesis alernaiva. El esadísico de prueba del conrase de k resricciones es: H H 0 : c( θ ) = q : c( θ ) q W = {( c( ˆ) θ q) } Var{ c( ˆ θ q) }{ c( ˆ θ q)} ~ χ h El principio de muliplicadores de Lagrange requiere esimar el modelo bajo la hipóesis nula, y medir la disancia enre los esimadores resringidos y los valores que hipoeizan las resricciones. El esadísico de prueba es: δlnl( ˆ θ ) R LM = ( ) ( I( ˆ θ ) R δθˆ R δlnl( ˆ θ ) R ( ) δθˆ R que, bajo la hipóesis nula, se disribuye asinóicamene como una Ji-Cuadrado con anos grados de liberad como resricciones se imponen en la hipóesis nula. Los res principios con asinóicamene equivalenes, aunque en muesras pequeñas pueden dar resulados conradicorios Manual de Economería. Capíulo 5, página 35 Carlos Murillo For y Beariz González López-Valcárcel (000)

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