INCERTIDUMBRE EN LA VOLATILIDAD. UNA APLICACIÓN A LA VALORACIÓN DE OPCIONES CON BARRERA

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1 INCERTIDUMBRE EN LA VOLATILIDAD. UNA APLICACIÓN A LA VALORACIÓN DE OPCIONES CON BARRERA Jacino Marabel-Romo 1 y José Luis Crespo-Esper Absrac: Some barrier opions, such as he down-and-ou pus, exhibi a gamma ha changes sign. In his aricle we price his kind of opions assuming ha here is uncerainy regarding volailiy bu i is assumed o lie wihin a cerain range. We presen he parial differenial equaion corresponding o he derivaive and solve i numerically using he finie difference mehod. The resuls show ha barrier opion prices are quie sensiive o he exisence of uncerainy abou volailiy. We also show ha he prices obained using he uncerain volailiy model are consisen wih he prices generaed under a sochasic volailiy framework. Keywords: uncerain volailiy, barrier opions, gamma, implied volailiy, sochasic volailiy. 1. Inroducción En los mercados financieros los precios de las opciones se suelen coizar uilizando volailidades implícias obenidas a parir del modelo de Black- Scholes (1973). La volailidad implícia Σ, expresada como función del vencimieno T y del precio de eercicio o srike de las opciones K, consiuye la superficie de volailidad implícia en el insane, denoada por Σ ( KT, ). Los supuesos del modelo de Black-Scholes (1973) implican que la superficie de volailidad implícia debería ser plana y esáica en el iempo. Pero desde la caída de la bolsa en ocubre de 1987, los mercados de opciones de rena variable se han caracerizado por la exisencia de una dependencia negaiva de la volailidad implícia con respeco al precio de eercicio. Esa 1 Gesor de Derivados de Rena Variable BBVA. Vía de los Poblados s/n, 8033, Madrid. acino.marabel@grupobbva.com El conenido de ese arículo represena la opinión personal del auor y no reflea la visión de BBVA. Profesor Tiular de Economía Financiera y Conabilidad. Insiuo Universiario de Análisis Económico y Social y Deparameno de Ciencias Empresariales Universidad de Alcalá (UAH) Plaza de la Vicoria, 880, Alcalá de Henares (Madrid). oseluis.crespo@uah.es Ese arículo ha sido recibido en versión revisada el 6 de ocubre de

2 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / dependencia negaiva se conoce como skew de volailidad y ha sido ampliamene documenada en la lieraura. Algunos eemplos son Heynen (1993), Derman y Kani (1994), Dupire (1994), Rubinsein (1994), Dumas, Fleming y Whaley (1997), Das y Sundaram (1999) y Derman (003). Por oro lado, la evidencia empírica muesra que la superficie de volailidad implícia, leos de permanecer esáica en el iempo, evoluciona de forma aleaoria. Algunos eemplos de ese hecho pueden enconrarse en Franks y Schwarz (1991), Derman (1999), Bakshi, Cao y Chen (000), Con y da Fonseca (001), Con y da Fonseca (00) y Daglish, Hull y Suo (007). Por lo anerior, han surgido disinos modelos de valoración de opciones, que abandonan el supueso de volailidad insanánea consane del modelo de Black-Scholes (1973) y que raan de capurar las caracerísicas de la superficie de volailidad implícia, observadas en los mercados financieros. En ese senido, exisen res grandes grupos de modelos que permien valorar producos de ipo europeo, así como dependienes de la rayecoria seguida por el acivo subyacene de una forma consisene con el skew de volailidad de mercado. Esos grupos se corresponden con los modelos de volailidad esocásica, modelos de salos y volailidad local. Los modelos de volailidad esocásica abandonan el supueso de volailidad consane del modelo de Black-Scholes (1973) y suponen que la volailidad sigue un proceso esocásico posiblemene correlacionado con el proceso para el precio del acivo subyacene. El modelo de Hull y Whie (1987), así como el modelo de Sein y Sein (1991) y el modelo Heson (1993) se encuadran denro de ese grupo. Esos modelos capuran la exisencia de volailidad en la volailidad, la cual puede ser especialmene relevane en la valoración de cieras opciones, como las opciones con barrera. El principal problema con ese ipo de modelos es que puede resular complicado ausar oda la superficie de volailidad implícia de mercado con la especificación paramérica del modelo. Meron (1976), enre oros, incorpora la posibilidad de salos en el proceso esocásico para el precio del acivo. Esa caracerísica es consisene con el comporamieno de los acivos financieros y permie generar skew en la superficie de volailidad implícia. El problema de ese ipo de modelos es que cuando los amaños de los salos se consideran esocásicos se necesia una opción disina por cada amaño de salo para consruir una carera réplica para el precio del acivo derivado. Si la disribución correspondiene a la ampliud del salo es coninua, se necesiarían infinias opciones para poder consruir la carera réplica, de al manera que el modelo es incompleo desde el puno de visa de la replicación. 16

3 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / Denro de la clase de modelos de volailidad local se incluyen, enre oros, los rabaos de Derman y Kani (1994), Dupire (1994), Rubinsein (1994), Derman e al. (1995), Derman e al. (1996a), Derman e al. (1996b), Andersen y Broheron-Racliffe (1998), Dempser y Richard (1999) y Brown y Randall (1999). Al igual que el grupo de modelos de volailidad esocásica, los modelos de volailidad local abandonan el supueso de volailidad consane del modelo de Black-Scholes (1973). Dichos modelos posulan que la volailidad insanánea correspondiene al proceso para el precio del acivo subyacene, es una función deerminisa del iempo y del precio del acivo. Al considerar que la volailidad es una función deerminisa del iempo y del precio del acivo subyacene, los modelos de volailidad local no recogen adecuadamene la exisencia de volailidad en la volailidad, lo cual puede ser especialmene relevane para la correca valoración de producos sensibles a esa caracerísica. En ese senido Hull y Suo (00) muesran que el modelo de volailidad local no es capaz de replicar los precios de opciones con barrera generados a parir de un modelo de volailidad esocásica. Además, como planea Derman (003), la clase de modelos de volailidad local genera unos skews de volailidad fuuros más planos que los acuales, lo que conradice la eerna presencia del skew en las superficies de volailidad implícia correspondienes a los acivos de rena variable. Los modelos aneriores se uilizan profusamene por los bancos de inversión inernacionales, así como por las esorerías de los bancos comerciales para valorar sus producos derivados. Pero exise oro enfoque ineresane, aunque menos exendido, para valorar y cubrir los riesgos de los acivos derivados cuando los parámeros que influyen en la valoración se consideran incieros. Avellaneda e al. (1995) y Lyons (1995) inrodueron ese enfoque para valorar opciones cuando la volailidad se considera inciera pero se supone que cae denro de dos valores exremos. Esos auores mosraron que los precios, libres de arbirae, correspondienes a las opciones se pueden describir por una ecuación diferencial esocásica en derivadas parciales no lineal. En esa ecuación la volailidad se elige, de enre sus valores exremos, de acuerdo con la convexidad de la opción. Como pone de manifieso Wilmo (006), el cual vuelve a poner de acualidad algunas ideas que abordaba Knigh (191), la inceridumbre debe enenderse de una forma diferene a la aleaoriedad. Inceridumbre hace referencia a que no es posible predecir un resulado, al igual que en el caso de la aleaoriedad, pero ampoco exise una descripción probabilísica de lo que puede ocurrir. El principal supueso es que los parámeros caen denro de cieros rangos predeerminados. Esos rangos pueden deerminarse 163

4 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / uilizando realizaciones hisóricas o valores implícios para los parámeros o mediane una mezcla de ambos méodos. En un mundo como el de las finanzas, en el que los resulados dependen de una manera crucial del comporamieno humano, el enfoque de inceridumbre en los parámeros se presena como un méodo naural para realizar la valoración de opciones. Además, ese enfoque iene aplicaciones muy úiles desde el puno de visa de la gesión de los riesgos inherenes a los producos derivados. En paricular, puede usarse para realizar la valoración de opciones en escenarios desfavorables. En ese senido, Avellaneda y Buff (1999) aplican ese modelo a la valoración de careras formadas por una combinación de opciones europeas simples y con barrera. Por oro lado, Wilmo (00) uiliza el modelo de volailidad inciera para valorar opciones clique. Dicho auor muesra que, para ese ipo de opciones, la vega puede ser relaivamene pequeña precisamene en los punos en los que la sensibilidad de la opción a la volailidad es muy ala. En ese arículo se uiliza el modelo de inceridumbre en la volailidad para valorar pus europeas con barrera down-and-ou. Esas opciones son como las pus europeas simples, pero si el precio del acivo subyacene alcanza la barrera durane la vida de la opción, enonces la opción se desaciva y pasa a valer cero. Como se muesra más adelane, la gamma correspondiene a ese ipo de opciones cambia de signo dependiendo de la evolución del acivo subyacene, lo cual complica susancialmene la valoración de las mismas y las hace especialmene sensibles a la exisencia de inceridumbre en la volailidad. En ese senido, la aporación de ese arículo con respeco al rabao de Avellaneda y Buff (1999) consise en invesigar si los resulados obenidos bao el enfoque de inceridumbre en la volailidad son compaibles con los precios generados en un enorno de volailidad esocásica. En concreo, se muesra que los precios obenidos con el modelo de inceridumbre en la volailidad son compaibles con los precios generados a parir del modelo de Heson (1993) de volailidad esocásica. Ese hecho da sopore a la robusez del enfoque de valoración basado en la inceridumbre en los parámeros. Nóese que las pus con barrera down-and-ou pueden ener gran uilidad como un mecanismo de coberura frene a caídas en el valor de un deerminado acivo. En paricular, considérese una enidad exporadora que iene una exposición posiiva a la evolución del ipo de cambio enre dos divisas. Dicha enidad quiere cubrirse de la posibilidad de caídas en el ipo de cambio pero considera que ese no va a esar por debao de un deerminado nivel H. En ese caso, puede resularle aracivo comprar una 164

5 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / pu down-and-ou con barrera H. Ésa es una forma de comprar proección con un cose menor al de una pu europea simple o al de un pu spread. Sea DOP K, H el precio en el insane de una pu europea down-and-ou T ( ) con srike K, barrera H ( H K) (, ) DIPT < y vencimieno en el insane =T y sea K H el precio correspondiene a una pu europea down-and-in con las mismas caracerísicas, la cual se conviere en una pu europea simple cuando el acivo subyacene oca la barrera. Enonces, es fácil comprobar que ambas opciones saisfacen la siguiene ecuación: donde P ( ) T ( ) (, ) (, ) P K = DOP K H + DIP K H (1) T T T K represena el precio correspondiene a una pu europea corriene con precio de eercicio K, de al manera que resula inmediao obener el precio de la opción down-and-in conocido el precio de la opción down-and-ou. El reso del arículo se organiza de la siguiene forma. La sección presena el modelo de inceridumbre en la volailidad con aplicación a la valoración de pus europeas con barrera down-and-ou. En concreo, se planea la ecuación diferencial correspondiene al acivo derivado, la cual se resuelve por el méodo de diferencias finias. Dicho méodo permie calcular de una manera relaivamene sencilla el precio, así como las sensibilidades de las opciones para disinos niveles de evolución del precio del acivo subyacene, lo cual es fundamenal para la correca gesión de los riesgos derivados del produco. La sección 3 muesra los resulados de la comparación de los precios obenidos con el modelo de inceridumbre en los parámeros con los que se obienen en un enorno de volailidad esocásica. Finalmene, la sección 4 ofrece las conclusiones obenidas, así como reflexiones sobre la exensión de la meodología presenada en ese arículo a la valoración de acivos derivados sobre acivos no admiidos a negociación.. Inceridumbre en la volailidad. Aplicación a la valoración de pus con barrera down-and-ou En esa sección se uilizan argumenos de replicación para mosrar la ecuación diferencial no lineal correspondiene a un acivo derivado bao el modelo de inceridumbre en la volailidad. Se planea un análisis de escenarios en la valoración de las opciones, lo cual es de gran relevancia 165

6 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / para las enidades que gesionan los riesgos de ese ipo de opciones, ya que permie obener una valoración en el escenario más desfavorable posible..1 Ecuación diferencial del acivo derivado bao el enfoque de inceridumbre en la volailidad En esa sección se aplica el enfoque inroducido por Avellaneda e al. (1995) y Lyons (1995) a la valoración de pus con barrera down-and-ou cuando exise inceridumbre sobre la volailidad. Para ello, se supone que la volailidad insanánea del proceso para el precio del acivo subyacene σ, cae denro del inervalo deerminado por dos valores exremos, que se consideran consanes: + σ < σ < σ Esos valores exremos pueden deerminarse uilizando realizaciones de volailidad hisórica, o uilizando volailidades implícias obenidas del mercado o mediane una mezcla de ambos enfoques. Sea un acivo de rena variable cuyo precio en el insane viene dado por S. Por simplicidad se supone que ano el ipo de inerés libre de riesgo r, como la asa de dividendos correspondiene al acivo subyacene q son consanes. De al manera que la evolución del precio del acivo subyacene bao la medida de probabilidad neural al riesgo Q, bao la cual los acivos expresados en unidades de la cuena corriene son maringala, viene deerminada por la siguiene ecuación diferencial esocásica 3 : ds Q = ( r q) d + σdw S donde W es un proceso de Wiener bao Q. Como se ha dicho previamene, Q el modelo de inceridumbre en los parámeros permie realizar análisis de escenarios en la valoración de producos derivados. Supóngase que se iene comprada una pu europea con barrera down-and-ou con vencimieno en el H < K, cuyo precio en el insane =T, precio de eercicio K y barrera H ( ) insane se denoa por: (, ) = (, ) DOP K H DOP S T 3 Si el acivo subyacene es un ipo de cambio, la deriva vendría dada por la diferencia enre los ipos de inerés correspondienes a las dos divisas. 166

7 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / A coninuación se presena la ecuación diferencial que sigue el acivo derivado en el escenario más desfavorable posible, es decir, cuando la opción alcanza el valor más bao posible en cada insane de iempo. Para ello, se considera una carera Π formada por una posición en el acivo subyacene α y en la cuena corriene, denoada por β, al que su valor en cada insane de iempo coincida con el valor de la opción: Π α S + β = DOP El cambio en el valor de la carera viene dado por: dπ = α ds + α qsd+ rβ d () Por oro lado, el cambio en el valor de la opción es: 1 ddop =Θ d +Δ ds + Γ σ Sd (3) DOP DOP donde Θ= es la hea, Δ= recoge la dela y S represena la gamma de la opción. DOP Γ= S Incluso cuando la volailidad insanánea es inciera, la elección de α =Δ elimina el riesgo asociado a la evolución del acivo subyacene. Pero dado que no se conoce el valor de la volailidad, se supone que dicha variable es al que el valor de la carera que replica la opción en cada momeno, es el más bao posible. Nóese que dado que se supone una posición larga en la opción, ese será el peor escenario. Combinando las ecuaciones () y (3) se iene: 1 min qs σ S r ( DOP S) + Θ Δ + Γ = Δ σ < σ< σ Nóese que el valor de la volailidad insanánea que genera el menor valor para la opción, dependerá del signo de la gamma. De al manera que cuando la gamma es posiiva, se elige σ = σ mienras que cuando la gamma es negaiva, se elige σ = σ +. Por ano, se iene la siguiene ecuación diferencial esocásica en derivadas parciales correspondiene al mínimo 167

8 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / DOP, bao el enfoque de inceridumbre en la valor de la opción volailidad: 1 Θ + ( r q) Δ S + Γ σ ( Γ ) S = rdop σ 0 Γ > σ ( Γ ) = + σ Γ < 0 El resulado de la ecuación (4) es basane inuiivo. Si se maniene una carera dela neural y con gamma posiiva, lo peor que puede pasar es que el acivo subyacene se mueva poco, de al manera que la volailidad sea baa. Por el conrario, si se maniene una carera dela neural pero con gamma negaiva, lo peor que puede suceder es que el acivo se mueva mucho, es decir que la volailidad sea ala. Nóese que usando el argumeno previo, es sencillo obener la ecuación diferencial correspondiene al mayor valor para la opción DOP +. (4). Cálculo del precio de la opción mediane el méodo de diferencias finias La ecuación (4) es, por lo general, una ecuación no lineal por lo que iene que resolverse de forma numérica. Para ello, en ese arículo se uiliza el méodo de diferencias finias, inroducido por Brenann y Schwarz (1977) y Brenann y Schwarz (1978), el cual se presena como un procedimieno naural para calcular el precio, así como las sensibilidades de los acivos derivados que saisfacen la ecuación diferencial no lineal. Se considera el méodo explício de diferencias finias para discreizar la ecuación (4). A al efeco, se inroduce la siguiene noación: S = ids 0 i I = T d 0 J donde se considera que ano el incremeno en el precio del acivo ds, como el paso emporal d son consanes. Dado que la ecuación diferencial (4) se resuelve para 0 S, el érmino IdS es la aproximación del infinio usada en ese rabao. Además, se verifica que T = Jd. Teniendo en cuena lo anerior, se puede escribir el valor del acivo derivado como: (, ) (, ) DOP S = DOP ids T d = DOP i 168

9 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / donde para simplificar la noación, se omie el superíndice correspondiene al mínimo valor posible para el precio de la opción. En ese caso, el subíndice hace referencia al acivo y el superíndice hace referencia al iempo. Nóese que a medida que se incremena, nos movemos hacia arás en el iempo. El méodo explício de diferencias finias aproxima la ecuación (4) de la siguiene forma: + 1 DOPi DOPi DOPi+ 1 DOPi 1 + ( r q) ids rdopi d + ds 1 DOP DOP + DOP σ ds i+ 1 i i 1 ( Γ )( ids) = O ( d, ds ) (5) donde se ha aproximado la dela de la opción uilizando una diferencia cenrada y donde la gamma Γ, se aproxima por: El érmino de error O( d, ds ) DOP DOP + DOP Γ= ds i+ 1 i i 1 se denomina error de runcamieno local. La ecuación anerior sólo se verifica para punos ineriores en el precio del acivo subyacene, es decir para i = 1, I 1, de al manera que se ienen I 1 ecuaciones para las I + 1 incógnias recogidas por DOP i. Las dos ecuaciones resanes se obienen de las condiciones de conorno para i = I y para i = H / ds, donde se elige ds de al manera que i = H / ds sea un número enero. Cuando S = H, la condición de conorno viene dada por: H DOPH = 0 i ds ds Por oro lado, como planea Wilmo (006), en el caso de opciones cuyo payoff es casi lineal para valores alos del precio del acivo subyacene, como sucede en el caso de las pus europeas con barrera down-and-ou, es posible uilizar la siguiene condición de conorno: (, ) DOP S lim = 0 S S cuya represenación discrea viene dada por: 169

10 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / DOP = DOP DOP I I 1 I Si se conoce el valor de permie obener el valor de viene dado por: DOP i para odos los valores de i, la ecuación (5) 1 DOP + i. El payoff de la opción a vencimieno ( ) 1( ids H ) 0 DOPi = K ids + > donde 1( ids> H ) es la función escalón que oma el valor uno si ids > H y cero 1 en el reso. Por ano, se puede calcular DOP i, que represena el valor de la opción cuando queda un paso de iempo para el vencimieno, de al manera que es posible obener el valor de la opción yendo hacia arás en el iempo. 1 Dado que esa aproximación esablece una relación enre DOPi y DOP + i, se denomina méodo explício de diferencias finias. En cuano a la convergencia del méodo explício de diferencias finias, la esabilidad del mismo requiere que se verifique la siguiene relación enre el paso emporal y el incremeno en el precio del acivo subyacene: 1 ds d σ Γ S ( ) Pueso que el paso emporal d es independiene del valor del acivo subyacene, así como de su varianza insanánea, la desigualdad será más resriciva para valores alos de S y de σ. Por ano, la resricción anerior pasa a ser: 1 d σ + I ( ) Cabe desacar que exisen oros méodos en diferencias finias, como el méodo de Crank y Nicolson (1947), que no ienen esa resricción en érminos del paso emporal, pero cuya implemenación es mucho menos inuiiva. 170

11 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / Volailidad consane frene a volailidad inciera Supóngase inicialmene que la volailidad insanánea correspondiene al proceso para el precio del acivo subyacene σ, es consane e igual a un 30% anual. Las figuras 1, y 3 muesran respecivamene el precio, la dela y la gamma de una pu europea con vencimieno denro de seis meses, srike a-he-money y barrera down-and-ou igual al 70% del nivel a-he-money, que se obienen a parir del méodo de diferencias finias 4. Se supone que el ipo de inerés libre de riesgo es igual a un % anual, mienras que la asa de dividendos correspondiene al acivo subyacene es igual a un 1% anual. 7% 6% 5% Prima 4% 3% % 1% 0% 0% 0% 40% 60% 80% 100% 10% 140% 160% 180% 00% Precio del acivo Figura 1. Prima de una pu europea con vencimieno denro de seis meses, srike a-he-money y barrera down-and-ou igual al 70% del nivel a-he-money, obenida con el méodo de diferencias finias. Se supone que la volailidad insanánea para el proceso correspondiene al precio del acivo subyacene es igual a un 30% anual, el ipo de inerés libre de riesgo es igual a un % anual y la asa de dividendos del acivo es igual aun 1% anual. Se ha uilizado S= como máximo nivel para el precio del acivo subyacene y se han considerado 100 pasos para la evolución de dicho precio. 4 Los algorimos numéricos correspondienes al méodo de diferencias finias, así como al méodo de Monecarlo uilizado en la sección 3, se han implemenado en Visual Basic. 171

12 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / Dela 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0-0,1-0, -0,3 0% 0% 40% 60% 80% 100% 10% 140% 160% 180% 00% Precio del acivo Figura. Dela de una pu europea con vencimieno denro de seis meses, srike a-he-money y barrera down-and-ou igual al 70% del nivel a-he-money, obenida con el méodo de diferencias finias. Se supone que la volailidad insanánea para el proceso correspondiene al precio del acivo subyacene es igual a un 30% anual, el ipo de inerés libre de riesgo es igual a un % anual y la asa de dividendos del acivo es igual a un 1% anual. Se ha uilizado S= como máximo nivel para el precio del acivo subyacene y se han considerado 100 pasos para la evolución de dicho precio. La figura muesra que a diferencia de lo que sucede con las pus europeas corrienes, las cuales siempre ienen dela negaiva, la dela de la pu con barrera down-and-ou es considerablemene posiiva en el enorno de la barrea. De al manera que una enidad que enga comprada la opción deberá, en eoría, vender íulos para cubrirse en el caso de que el acivo oque la barrera y por ano la opción se desacive. Gamma 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5 -,0 -,5-3,0-3,5-4,0 0% 0% 40% 60% 80% 100% 10% 140% 160% 180% 00% Precio del acivo Figura 3. Gamma de una pu europea con vencimieno denro de seis meses, srike a-he-money y barrera down-and-ou igual al 70% del nivel a-he-money, obenida con el méodo de diferencias finias. Se supone que la volailidad insanánea para el proceso correspondiene al precio del acivo subyacene es igual a un 30% anual, el ipo de inerés libre de riesgo es igual a un % anual y la asa de dividendos del acivo es igual a un 1% anual. Se ha uilizado S= como máximo nivel para el precio del acivo subyacene y se han considerado 100 pasos para la evolución de dicho precio. 17

13 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / La figura 3 muesra que la gamma de la pu con barrera down-and-ou pasa de ser posiiva a negaiva, a medida que el acivo subyacene se acerca al nivel de la barrera. Es en esos casos, en los que la gamma cambia de signo, oma especial relevancia la exisencia de inceridumbre en la volailidad. Para ilusrar ese hecho, la figura 4 compara las primas de las pus con barrera down-and-ou obenidas bao el supueso de volailidad insanánea consane, con la prima que genera el modelo de volailidad inciera. Se supone, al igual que en caso anerior, que el ipo de inerés libre de riesgo es igual a un % anual, mienras que la asa de dividendos del acivo subyacene es igual a un 1% anual. Se considera el precio de una pu europea con vencimieno denro de seis meses, srike a-he-money y barrera downand-ou igual al 60% del nivel a-he-money. La línea Prima Vol min muesra el precio obenido cuando se supone una volailidad insanánea consane igual a un 36,45% anual. La línea Prima Vol max represena la prima bao el supueso de volailidad insanánea consane igual a un 47,50% anual. Finalmene, la línea Prima Incer. muesra los precios generados por el modelo de inceridumbre en la volailidad cuando se consideran los siguienes valores exremos para la volailidad insanánea correspondiene al proceso para el precio del acivo subyacene: + σ = 36,45%, σ = 47,50%. 1% 10% 8% 6% 4% % 0% 0% 0% 40% 60% 80% 100% 10% 140% 160% 180% 00% 0% Prima Incer. Prima Vol_min Prima Vol_max Figura 4. Precios de una pu europea con vencimieno denro de seis meses, srike a-he-money y barrera down-and-ou igual al 60% del nivel a-he-money, obenida con el méodo de diferencias finias. Se supone que el ipo de inerés libre de riesgo es igual a un % anual y la asa de dividendos del acivo es igual a un 1% anual. Se ha uilizado S= como máximo nivel para el precio del acivo subyacene y se han considerado 100 pasos para la evolución de dicho precio. La línea Prima Vol min muesra el precio obenido suponiendo una volailidad insanánea igual a un 36,45% anual, la línea Prima Vol max represena la prima obenida cuando la volailidad insanánea es igual a un 47,50% anual. Finalmene, la línea Prima Incer. recoge el precio obenido bao el modelo de volailidad inciera con σ + = 47,50% y con σ = 36,45%. 173

14 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / En un enorno de volailidad insanánea consane, cuano menor sea ésa, menor será la probabilidad de que la barrera sea ocada y, por ano, mayor será el valor de la opción. Lo conrario pasa cuando la volailidad insanánea es ala. En ese caso, la probabilidad de que la opción se desacive es más elevada lo que lleva a una prima más baa. Pero dado que la gamma cambia de signo en el enorno de la barrera, el modelo de inceridumbre en la volailidad de la ecuación (4) muesra un precio odavía más bao para la opción, que el que se consigue suponiendo una volailidad consane igual al exremo superior para la volailidad insanánea. Ese eemplo muesra el peligro que conlleva la uilización de una volailidad insanánea consane para la correca valoración y gesión de los riesgos inherenes a producos financieros derivados, para los que la gamma cambia de signo en función de la evolución del acivo subyacene. En esos casos, el modelo de inceridumbre en la volailidad se presena como un méodo naural y robuso para llevar a cabo una adecuada gesión de los riesgos. 3. Inceridumbre en la volailidad y volailidad esocásica Como se dio en la inroducción de ese arículo, los modelos de volailidad esocásica permien ener en cuena la exisencia de volailidad en la volailidad, la cual es de especial relevancia en la valoración de deerminadas opciones, como las opciones con barrera. Uno de los modelos más uilizados denro de la clase de modelos de volailidad esocásica es el modelo de Heson (1993). El moivo principal es que bao dicho modelo, es posible obener soluciones semi-analíicas, en el senido de que es preciso resolver inegrales en la pare real de números compleos, para los precios de las opciones europeas. Ese hecho es imporane para la calibración de los parámeros del modelo a los daos de mercado. Para comprobar la robusez de los precios generados a parir del modelo de inceridumbre en la volailidad, en esa sección se invesiga si los mismos son consisenes con los obenidos bao el modelo de Heson (1993) de volailidad esocásica. A al efeco, a coninuación se presenan las principales caracerísicas del modelo de Heson (1993). Poseriormene, se uiliza una especificación paramérica correspondiene a dicho modelo para calcular los precios de pus europeas con barrera down-and-ou, los cuales se comparan con los precios obenidos con el modelo de inceridumbre en la volailidad. 174

15 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / Especificación paramérica para el modelo de Heson El modelo de Heson (1993) posula los siguienes procesos para el precio del acivo subyacene 5 S, así como para su varianza insanánea v, bao la medida de probabilidad neural al riesgo Q: ds Q ( r q) d vdws, S = + (6) Q ( ) η, dv = κ θ v d + v dw (7) v Donde θ represena el nivel medio correspondiene a la varianza de largo plazo, κ recoge la velocidad de reversión a la media y η es la volailidad de Q Q la varianza insanánea. Los procesos W S, y W v, son dos procesos de Wiener bao la medida de probabilidad neural al riesgo Q. Ambos procesos esán correlacionados, de al manera que: dw dw Q Q S, v, = ρd Hay dos parámeros que afecan de forma deerminane a los precios de las opciones, en érminos de la disribución correspondiene al acivo subyacene. El parámero de correlación ρ, afeca a la asimería de la disribución y, por ano, permie generar skew de volailidad. Un valor negaivo para la correlación implica que la varianza es mayor ane caídas en el valor del acivo subyacene, lo que lleva a colas más anchas en la pare izquierda de la disribución del acivo y a mayores precios para las pus fuera de dinero. La volailidad de la varianza η, por su pare, afeca a la curosis de la disribución. Cuano mayor es η, más anchas son las colas de la disribución. Ese efeco incremena los precios de las calls y las pus fuera de dinero, ya que hace más probable que dichas opciones venzan in-hemoney. Considérese una call europea con precio de eercicio K y vencimieno en el insane =T. Es inmediao comprobar que su payoff a vencimieno puede expresarse como: S K + = S K 1 ( T ) ( T ) ( S > K ) T 5 Aunque en el arículo original de Heson (1993), no se consideraba el pago de dividendos, aquí se presena el modelo considerando una asa de dividendos coninua q, para el acivo subyacene. 175

16 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / De al manera que el precio de la opción europea bao la medida de probabilidad neural al riesgo vendrá dado por: donde P( 0, T) e rt ( ) T T ( 0, ) 1( ) 1 S > K ( S > K) C0KT = P T EQ ST KE Q S C = e S E 1 P 0, T KE 1 qt T 0KT 0 Q Q F0, T qt 0KT = 0 1 ( 0, ) C e S P P T KP ( S ) ( ) T> K ( ST> K) = represena el precio, en el insane = 0, de un bono cupón cero que paga una unidad monearia en el insane T E. (8) = y [ ] hace referencia al valor esperado bao la medida de probabilidad neural al riesgo Q. Nóese que la expresión para el valor de la call europea de la ecuación anerior es análoga a la fórmula de Black-Scholes (1973). Heson (1993) demosró que las funciones P para = 1,, pueden obenerse a parir de la ransformación inversa de Fourier: iz ln( K ) 1 1 e f P = + Re dz π iz (9) 0 donde i = 1 y f para = 1,, son las funciones caracerísicas correspondienes a P y oman la siguiene forma: f = e C + D v + izln( S ) 0 0 κθ 1 ge C = ( r q) izt + ( b ρηiz+ d ) T ln η 1 g Td b ρηiz+ d 1 e D = Td η 1 ge b ρηiz+ d g = b ρηiz d 1 ( ρη ) η ( ) d = iz b uiz z Td Q 176

17 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / siendo u 1 =, u =, b1 = κ ρη y b = κ. Por ano, para calcular el precio de una opción europea uilizando la fórmula de la ecuación (8), es necesario evaluar numéricamene las dos inegrales en la pare real de números compleos de la ecuación (9). Para ello, siguiendo a Rouah y Vainberg (007), se uiliza la regla de inegración rapezoidal correspondiene a la familia de inegración de Newon-Coes. Dicha regla consise en formar un segmeno para unir la función de inegración al final de cada subinervalo, produciendo un rapecio. Dado que las inegrales de la ecuación (9) convergen rápidamene, uilizamos como inervalo de inegración [ 0,100 ] con un paso de 0,1. El modelo de Heson (1993) permie generar disinos parones para la superficie de volailidad implícia en función de los valores correspondienes a los parámeros del modelo. La abla 1 muesra la especificación que se uiliza en ese arículo para generar los precios de las opciones europeas bao el modelo de Heson (1993). Los valores de los parámeros son del mismo orden de magniud que los esimados por Gaheral (006) uilizando volailidades implícias de mercado para el índice de rena variable Sandard and Poor's 500. Tabla 1. Especificación de los parámeros del modelo de Heson Parámero: κ θ η ρ v 0 Valor: 1,7000 0,1500 0,5000 0,9500 0,1444 La figura 5 muesra la superficie de volailidad implícia generada a parir de la especificación de la abla 1. Para obenerla, se ha uilizado el méodo ieraivo de Newon-Raphson. La superficie presena un skew de volailidad basane pronunciado en el coro plazo, el cual se va aplanando a medida que los vencimienos de las opciones se van haciendo más leanos. Ese parón de comporamieno ha sido ampliamene observado en los acivos de rena variable. Algunos eemplos son Derman e al. (1996a), Derman e al. (1995) o Gaheral (006). 177

18 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / % 50% 45% 40% 35% Volailidad implícia 30% Precio de eercicio 50% 70% 90% 110% 130% 150% 1 5% 0% 15% 4 3 Vencimieno (años) Figura 5. Superficie de volailidad implícia generada con el modelo de Heson (1993). Se supone que la asa de dividendos del acivo subyacene es igual a un 1% anual, mienras que el ipo de inerés libre de riesgo es igual a un % anual y se uiliza la especificación de la abla 1. Los precios de eercicio esán expresados como porcenae del precio correspondiene al acivo subyacene. 3. Valoración de pus con barrera down-and-ou A diferencia de lo que sucede con las opciones europeas corrienes, por lo general, no es posible obener soluciones analíicas para los producos derivados bao el modelo de Heson (1993). Por ano, se hace necesario recurrir a méodos de solución numéricos, ales como el méodo de diferencias finias o el méodo de simulación de Monecarlo. Pueso que en la sección anerior se ha presenado el méodo de diferencias finias, en esa ocasión se va a uilizar el méodo de Monecarlo para calcular el precio de las opciones con barrera bao el modelo de Heson (1993) de volailidad esocásica. Aplicando el lema de Io a Ln ( S ) en la ecuación (6) e inegrando en el inervalo ( 0,T ), se llega a la siguiene expresión para el precio del acivo subyacene en el insane = T : ST = S r q T vd+ v dw T T 1 Q 0 exp ( ), S

19 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / Por oro lado, inegrando la ecuación (7) en el inervalo ( 0,T ) se obiene: Sea [ = < < < = T] T T Q T = 0 + κ( θ ) + η v, 0 0 v v v d v dw M, una parición de un inervalo de iempo en M segmenos iguales de ampliud Δ, de al manera que = T / M para cada = 0,1,, M. Para aproximar las disinas rayecorias que puede seguir el precio del acivo subyacene, así como su varianza insanánea bao el modelo de Heson (1993), se uilizan las siguienes discreizaciones: M M 1 M M S = S exp ( ) r q v 1 v 1 ε Δ + Δ 1 1 ( ) M M η M η v = κ θ v Δ + v 1 + Δε 1 4 ε ρε ρ ε = (10) (11) M M donde S y v represenan respecivamene, el valor del acivo y el de su varianza insanánea en el insane, cuando se uilizan M pasos de iempo, ε1 y ε son variables independiene e idénicamene disribuidas según una disribución normal esándar. Además, ε1 y ε son independienes. Para discreizar el proceso correspondiene a la varianza insanánea se ha uilizado el esquema de Milsein. De la ecuación (11) se desprende que si M M v = 0, enonces v vendrá dado por: 1 El mínimo valor para M η η v = κθ ε Δ + Δ 4 4 M v se alcanza cuando ε = 0. En ese caso 4κθ omará siempre valores posiivos si > 1. Nóese que esa desigualdad η se verifica para la especificación paramérica de la abla 1. No obsane, v M 179

20 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / como planea Gaheral (006), con el esquema de Milsein se reduce susancialmene la frecuencia de valores negaivos para la varianza insanánea comparaivamene con el esquema de Euler, incluso en los casos 4κθ para los que 1 η. A parir de las discreizaciones correspondienes a las ecuaciones (10) y (11), es posible calcular el valor de las opciones con barrera bao el modelo de Heson (1993) mediane la realización de N simulaciones de Monecarlo independienes. En concreo, es posible expresar el valor de una pu europea down-and-ou en el insane =0, con precio de eercicio K, barrera H y vencimieno en el insane =T, bao la medida de probabilidad neural al riesgo Q, de la siguiene manera: (, ) = ( 0, T) E + ( K S ) 1 ( T > ) ( ) H DOP K H P 0T Q T N H N = min S K T 0 T De al manera, que se iene el siguiene esimador de Monecarlo para el valor de la pu europea con barrera down-and-ou, realizando N simulaciones independienes: N 1 + ˆ ( ) ( ) ( ˆ M DOP0 T K, H = P 0, T K ST, i) 1 ( NT, i> H N ) i= 1 (1), min ( ˆ M T NTi= S, ); ; 0,1,..., 0 i = = M T M ˆ M donde S Ti, represena el valor simulado del acivo subyacene en el insane = T, obenido en la simulación i-ésima, uilizando M pasos de iempo. Considérese una pu europea con srike a-he-money, vencimieno denro de seis meses y barrera down-and-ou igual al 60% del nivel a-he-money. La abla compara el precio, expresado como porcenae del precio del acivo subyacene, obenido con el modelo de Heson (1993), con los que se obienen bao el supueso de volailidad insanánea consane, así como con el modelo de inceridumbre en la volailidad. En el caso del modelo de 180

21 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / Heson (1993), se realizan simulaciones de Monecarlo 6 uilizando el esimador de la ecuación (1) uno con la especificación paramérica de la abla 1. En el caso del modelo de inceridumbre en la volailidad, se consideran los siguienes valores exremos correspondienes a la volailidad insanánea del acivo subyacene: + σ = 36,58% σ = 47,50% El límie inferior se ha elegido para que coincida con la volailidad implícia a-he-money para las opciones con vencimieno denro de seis meses, generada por la especificación paramérica para el modelo de Heson (1993) de la abla 1. Por oro lado, el exremo superior de volailidad inciera se corresponde prácicamene con el nivel de volailidad implícia a seis meses para un precio de eercicio igual al 54% del nivel a-he-money. En paricular, el valor concreo para esa volailidad implícia es 47,41%. La abla ambién muesra los precios de la opción con barrera obenidos uilizando el supueso de volailidad insanánea consane para cada uno de los dos valores exremos considerados. Tabla. Precios de una pu europea con srike a-he-money, vencimieno seis meses y barrera igual al 60% del nivel a-he-money Modelo σ = 36,58% σ = 47,50% Inceridumbre Heson Precio 7,58% 6,61% 5,41% 5,36% Noas. Las dos primeras columnas de la abla recogen respecivamene, el precio obenido cuando se supone una volailidad insanánea consane igual a 36,58% y 47,50%. La ercera columna muesra el precio correspondiene al modelo de inceridumbre en la volailidad, cuando se uilizan como valores exremos los dos niveles de volailidad aneriores. Finalmene, la úlima columna recoge el precio obenido con la especificación paramérica de la abla 1 para el modelo de Heson (1993). Los resulados de la abla muesran que los precios obenidos bao el supueso de volailidad insanánea consane, esán basane aleados del precio generado a parir del modelo de Heson (1993) incluso en el caso en el que, en lugar de usar la volailidad a-he-money, se considera un nivel de volailidad mayor, correspondiene a las pus fuera de dinero próximas al nivel de barrera. Por oro lado, el precio que se obiene con el modelo de inceridumbre en la volailidad uilizando como valores exremos los niveles de volailidad implícia generados por el propio modelo de Heson (1993) 6 Uilizando ese número de simulaciones se consigue un error de Monecarlo inferior a 0,10%, expresado en porcenae del precio del acivo subyacene. En paricular, el error de Monecarlo o desviación esándar del esimador es de 0,08% 181

22 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / correspondienes al nivel a-he-money y a un enorno de la barrera, es compleamene consisene con el precio generado a parir del modelo de Heson (1993) de volailidad esocásica 7. Ese resulado muesra que el enfoque basado en la inceridumbre en la volailidad, permie generar precios para las opciones con barrera compaibles con uno de los modelos de volailidad esocásica más uilizados. Ese hecho ofrece evidencia a favor de las buenas propiedades del modelo de inceridumbre en la volailidad, que se presena como un méodo naural para valorar y gesionar los riesgos asociados a los producos derivados, de una forma consisene con la información que aporan las volailidades implícias. Ora venaa de ese enfoque, reside en el hecho de que es posible realizar análisis de escenarios desfavorables, lo que permie a las enidades poder realizar esimaciones de los resulados que obendrían en siuaciones adversas. 4. Conclusiones En ese arículo se ha abordado la valoración de opciones con barrera uilizando el enfoque de inceridumbre en la volailidad, el cual considera que la volailidad insanánea del proceso para el precio del acivo subyacene σ, cae denro del inervalo deerminado por dos valores exremos, que se consideran consanes. En un mundo como el de las finanzas someido a resulados incieros, el modelo de inceridumbre en la volailidad se presena como un mecanismo naural para gesionar y valorar los producos derivados. Dicho enfoque es aplicable a odo ipo de opciones, pero en ese arículo se ha paricularizado en el caso de las pus europeas con barrera down-and-ou, porque son un caso paradigmáico de opciones cuya gamma cambia de signo en función de la evolución del acivo subyacene, lo cual las hace especialmene sensibles a la exisencia de inceridumbre sobre el nivel de volailidad. En ese arículo se ha invesigado si el modelo de inceridumbre en la volailidad es capaz de generar precios consisenes con las superficies de volailidad implícias generadas a parir del modelo de Heson (1993) de volailidad esocásica. Ese hecho es de especial relevancia ya que los modelos de volailidad esocásica y, en paricular el modelo de Heson (1993), permien capurar facores como la exisencia de volailidad en volailidad, que afecan de forma deerminane al precio de las opciones con barrera. Los resulados muesran que el enfoque de inceridumbre en la 7 Nóese que el error de Monecarlo asociado al precio obenido bao el modelo de Heson (1993) es de 0,08%. 18

23 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / volailidad es capaz de generar precios para las pus con barrera down-andou consisenes con los obenidos bao el modelo de Heson (1993). Ese resulado corrobora la validez del enfoque de inceridumbre en la volailidad como mecanismo adecuado para la valoración y gesión de los riesgos inherenes a los producos derivados exóicos cuya gamma cambia de signo en función del comporamieno del acivo subyacene, ales como las opciones con barrera. Además, el modelo permie la realización de análisis de escenarios en siuaciones adversas, lo cual es de gran relevancia para la deerminación de los riesgos a los que se enfrenan las enidades que gesionan ese ipo de producos derivados. Por oro lado, como se dio en la inroducción de ese arículo, es fácil obener el precio de una pu con barrera down-and-in a parir del precio de una pu con barrera down-and-ou y de una pu europea simple. Las pus con barrera down-and-in esán esrechamene relacionadas con los Equiy defaul swaps (EDS), en los cuales el comprador de la esrucura recibe una canidad monearia si el valor de la acción subyacene alcanza un deerminado nivel de barrera inferior al nivel a-he-money exisene al inicio del produco. Como planean Albanese y Chen (004), dada la magniud de la caída en el valor del acivo subyacene necesaria para alcanzar la barrera, es muy probable que ésa ocurra uno con un deerioro en la calidad crediicia de la compañía, generando grandes cambios en la esrucura de capial de la empresa. Ese hecho puede conducir a cambios imporanes en la volailidad implícia e incluso a una modificación del proceso correspondiene a la misma. En ese senido, el enfoque de inceridumbre en la volailidad se presena nuevamene como un mecanismo adecuado para valorar ese ipo de producos. No obsane, cabe ener en cuena que en esas circunsancias es muy probable que se reduzca considerablemene la capacidad de la compañía para reparir dividendos, por lo que podría ser adecuado incluir la exisencia de inceridumbre en la asa de dividendos del acivo subyacene. No obsane, cabe desacar que pese a lo razonable del planeamieno en el que se basa y a las buenas propiedades que presena el modelo de inceridumbre en la volailidad, el mismo ha enido menos éxio aplicado enre las insiuciones financieras que paricipan en los mercados de acivos derivados que oros modelos ales como el modelo de volailidad local o los modelos de volailidad esocásica. Un de las posibles causas puede ener que ver con el hecho de que los parámeros de esos modelos, se pueden calibrar de forma obeiva uilizando los precios de las opciones europeas coizadas en el mercado. Pero en el caso del modelo de inceridumbre en la volailidad, puede exisir ciera subeividad en la deerminación de las 183

24 Inceridumbre en la volailidad. Una aplicación a Anales 010 / bandas superior e inferior correspondienes a la volailidad insanánea del acivo subyacene. Finalmene, merece la pena ener en cuena que los mecanismos de valoración presenados en ese arículo, descansan en el supueso de que el acivo subyacene coiza en algún mercado, de al manera que es posible realizar una esraegia que permia replicar el valor del acivo derivado en cada insane de iempo. En ausencia de oporunidades de arbirae, el valor del acivo derivado viene dado por el precio de la esraegia réplica. Pero exisen producos derivados sobre acivos que no coizan en ningún mercado, como por eemplo los derivados sobre el iempo. En ese caso, la valoración no puede hacerse por replicación y como planea Wang (00), se hace necesario acudir a argumenos de equilibrio general. Referencias Albanese, C. y O. Chen (004). Pricing Equiy Defaul Swaps. Imperial College, Mahemaical Finance Division, Working Paper. Andersen, L. y R. Broheron-Racliffe (1998). The Equiy Opion Volailiy Smile: An Implici Finie-Difference Approach. Journal of Compuaional Finance 1, Avellaneda, M. y R. Buff (1999). Combinaorial Implicaions of Nonlinear Uncerain Volailiy Models: he Case of Barrier Opions. Applied Mahemaical Finance, 6, Avellaneda, M., A. Levy y A. Parás (1995). Pricing and Hedging Derivaive Securiies in Markes wih Uncerain Volailiies. Applied Mahemaical Finance, Bakshi, G., C. Cao y Z. Chen (000). Do Call Prices and he Underlying Sock Always Move in he Same Direcion?. Review of Financial Sudies 13, Black, F. y M.S. Scholes (1973). The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies. Journal of Poliical Economy 81, Brenann, M.J. y E.S. Schwarz (1977). The Valuaion of American Pu Opions. Journal of Finance 3, Brenann, M.J. y E.S. Schwarz (1978). Finie Difference Mehods and Jump Processes Arising in he Pricing of Coningen Claims: A Synhesis. Journal of Financial and Quaniaive Analysis 13, Brown, G. y C. Randall (1999). If he Skew Fis. Risk, April,

25 Jacino Marabel-Romo y José Luis Crespo-Esper Anales 010 / Con, R. y J. da Fonseca (001). Deformaion of Implied Volailiy Surfaces: an Empirical Analysis. Empirical Approaches o Financial Flucuaions. Tokyo: Springer. Con, R. y J. da Fonseca (00). Dynamics of Implied Volailiy Surfaces. Quaniaive Finance, Crank, J. y P. Nicolson (1947). A Pracical Mehod for Numerical Evaluaion of Soluions of Parial Differenial Equaions of he Hea Conducion Type. Proceedings of he Cambridge Philosophical Sociey 43, Daglish, T., J. Hull y W. Suo (007). Volailiy Surfaces: Theory, Rules of Thumb, and Empirical Evidence. Quaniaive Finance 7, Das, S. R. y R. K. Sundaram (1999). Of Smiles and Smirks: a Term Srucure Perspecive. Journal of Financial and Quaniaive Analysis 34, Dempser, M.A.H. y D.G. Richard (1999). Pricing Exoic American Opions Fiing he Volailiy Smile. Working Paper 17/99, Judge Insiue of Managemen Sudies, Universiy of Cambridge. Derman, E. (1999). Regimes of volailiy. Quaniaive Sraegies Research Noes. Goldman Sachs. Derman, E. (003). Laugher in he Dark - The Problem of he Volailiy Smile. Working paper, Universiy of Amserdam. Derman, E., M. Kamal e I. Kani (1996a). Trading and Hedging Local Volailiy. Quaniaive Sraegies Research Noes. Goldman Sachs. Derman, E. e I. Kani (1994). The Volailiy Smile and is Implied Tree. Quaniaive Sraegies Research Noes. Goldman Sachs. Derman, E., I. Kani y N. Chriss (1996b). Implied Trinomial Trees of he Volailiy Smile. Journal of Derivaives 4, 7-. Derman, E., I. Kani y J.Z. Zou (1995). The Local Volailiy Surface: Unlocking he Informaion in Index Opion Prices. Quaniaive Sraegies Research Noes. Goldman Sachs. Dumas, B., J. Fleming y R.E. Whaley (1997). Implied Volailiy Funcions: Empirical Tess. Journal of Finance 53, Dupire, B. (1994). Pricing wih a Smile. Risk 7, Franks, J. R. y E.J. Schwarz (1991). The Sochasic Behavior of Marke Variance Implied in he Price of Index Opions. The Economic Journal 101, Gaheral, J. (006). The Volailiy Surface A Praciioner's Guide. John Wiley & Sons. New Jersey. (Unied Saes of America). Heson, S. L. (1993). A Closed-Form Soluion for Opions wih Sochasic Volailiy wih Applicaions o Bond and Currency Opions. Review of Financial Sudies 6,

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