Colección de problemas de formulación de modelos de Programación Lineal

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1 Colección de problemas de formulación de modelos de Programación Lineal Álvaro García Sánchez, Miguel Ortega Mier 3 de marzo de

2 Índice Enunciado Resolución Enunciado Resolución Enunciado Resolución Enunciado Resolución Enunciado Enunciado Resolución Enunciado Resolución Enunciado Resolución Enunciado Resolución Enunciado Resolución Enunciado Resolución Enunciado Resolución Enunciado Resolución

3 Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio MME-1213-ENE Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución

4 28.Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio MME-1213-ENE Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Ejercicio Enunciado Resolución Enunciado Resolución Enunciado MME-1213-ENE Resolución Ejercicio Enunciado Resolución

5 40.Ejercicio Enunciado Resolución

6 ÍNDICE Índice 6

7 Enunciado Un fabricante de refrescos FR produce tres modalidades (A, B y C), cada una en su propio formato: de 3 litros, 2 litros y 1 litro, respectivamente. Este fabricante está comprometido a entregar a un gran distribuidor GD (su único cliente) exactamente litros diarios de refrescos. Dispone de gramos diarios de un saborizante del que cada modalidad consume por botella: la botella de 3 litros, 2 gramos; la de 2 litros, 3 g; y la de un litro, 4 g. Conocidos los datos económicos de A, B y C, y siendo x j los miles de botellas de la modalidad j a envasar diariamente, FR ha planteado el siguiente modelo de programación lineal (c y b están expresados en miles): max z = 5x 1 +6x 2 +8x 3 s.a. 2x 1 +3x 2 +4x x 1 +2x 2 +1x 3 =20 x 1,x 2,x 3 0 (1) 1. Obtener el plan óptimo de envasado de FR. 2. Determinar el significado de los multiplicadores del simplex de las dos restricciones. 3. A FR le preocupa la posibilidad de que su proveedor de tapones (iguales para las tres modalidades) restrinja su suministro a un máximo de 6000 tapones diarios. Como ejercicio de postoptimización, introducir esta nueva restricción y determinar su repercusión. 4. Mediante el correspondiente análisis de sensibilidad, determinar la repercusión en el mix de envasado de posibles cambios en los precios de venta de las dos modalidades de menor capacidad, B y C (x 2 y x 3 ). 5. Determinar la validez del mix de producción ante posibles variaciones en la demanda total de refrescos, que se traducirían en un mayor o menor volumen a entregar diariamente a GD, utilizando el análisis de sensibilidad. 6. El formato de 3 litros (modalidad A, x 1 ) puede estar especialmente afectado por los cambios en los mercados de refrescos y materias primas. Mediante la programación paramétrica, analizar el conjunto de diferentes planes de envasado y sus resultados en función de cualquier valor no negativo de la contribución unitaria al beneficio del producto A. 7. El gran distribuidor GD exige que las entregas diarias sean múltiplos exactos de mil para cada modalidad. A partir de la resolución del apartado a) de la pregunta anterior, plantear un plano secante de correspondiente al algoritmo de Gomory y, sin realizar ninguna iteración, introducir la restrcción correspondiente en la tabla de la solución óptima hasta el momento Resolución max z = 5x 1 +6x 2 +8x 3 s.a. 2x 1 +3x 2 +4x x 1 +2x 2 +1x 3 =20 x 1,x 2,x 3 0 (2)

8 1 8 El problema se puede reformular de la siguiente manera, convirtiendo las desigualdades en igualdades (idéntido al problema anterior en términos del sistema que representa): max z = 5x 1 +6x 2 +8x 3 s.a. 2x 1 +3x 2 +4x 3 + h 1 =25 3x 1 +2x 2 +1x 3 =20 x 1,x 2,x 3 0 (3) No existe solución básica factible inmediata, por lo que es necesario utilizar el método de las dos fases odelam grande. En el primer caso, se construye el siguiente problema auxiliar P : max z = a s.a. 2x 1 +3x 2 +4x 3 + h 1 =25 3x 1 +2x 2 +1x 3 + a =20 x 1,x 2,x 3,a 0 (4) Apartado 1. Para el problema P es posible encontrar una solución básica factible de partida con las actividades básicas h 1 y a, con valores h 1 =20ya = 20. Al aplicar el método del Simplex, en su variante de la matriz completa, para esa solución básica se obtiene la siguiente tabla: x 1 x 2 x 3 h 1 a (V B fase 1) (V B fase 2) h a Introduciendo en la base x 1 y sacando a, se obtiene: x 1 x 2 x 3 h 1 a (V B fase 1) -100/3 0 8/3 19/3 0-5/3 (V B fase 2) h 1 35/3 0 5/3 10/3 1-2/3 x 1 20/3 1 2/3 1/3 0 1/3 La tabla anterior corresponde a una solución del problema P donde a = 0, por lo que es una solución básica factible del problema original, pero no óptima, porque no cumple V B 0. Introduciendo en la base x 3 y sacando h 1, se obtiene: x 1 x 2 x 3 h 1 a (V B fase 1) -111/2 0-1/2 0-19/10-2/5 (V B fase 2) x 3 7/2 0 1/2 1 3/10-1/5 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 2/5 La tabla anterior corresponde a la solución óptima del problema original (V B producción óptimo consiste en: Producir 5500 refrescos de 1/3l, ningún refresco de 1/2l y 3500 de 1l. 0). El programa de Se consumen todo el material disponible para producir las botellas (h 1 =0)

9 1Apartado 2. Los multiplicadores del simplex (π B = c B B 1 ) se pueden calcular, a partir de la tabla, 9 de la siguiente manera: π B 1 = V B h 1 =19/10 π2 B = V a B =2/5 La interpretación de los mismos es la siguiente: π1 B =19/10. Si Δb 1 =1 Δz =19/10. La empresa estaría dispuesta a pagar hasta 1900 unidades monetarias para disponer de 1 kg más diariamente. Igualmente, estaría dispuesta a vender 1 kg si recibiera por ello cualquier cantidad superior a 1900 unidades monetarias. π2 B =2/5. Si Δb 1 =1 Δz =2/5. La empresa podriá obtener un beneficio mayor (4/5) si el compromiso fuera entrgar botellas y no 20000, por lo que este compromiso está actuando como una limitación. FR estaría dispuesta a renegociar el compromiso para pasar a botellas, siempre y cuando esto no representara un coste para ella superior a 400 unidades monetarias. Apartado 3. En términos del planteamiento del modelo, la posibilidad descrita se traduciría en la siguiente restricción: x 1 + x 2 + x 3 6 x 1 + x 2 + x 3 + h 3 =6 Tras introducir la nueva restricción y modificarla convenientemente para que x 1, x 3 y h 3 sean las variables básicas, se obtiene la solución correspondiente a la siguiente tabla, que es una solución que cumple el criterio de optimalidad pero no es factible. Aplicando Lemke (sacando h 3 e introduciendo h 1 ) se obtiene la siguiente tabla. x 1 x 2 x 3 h 1 h 3-111/2 0-1/2 0-19/10 0 x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 0 x 1 11/2 1 1/2 0-1/ /2 0 1/2 1 1/10 1 h / /2 0-1/2 0-19/10 0 x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 0 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 0 h / / /2 x / /2 x / /2 h La última tabla corresponde a una solución no factible (x 3 0) y no existe ninguna tasa de sustitución de esa variable con respecto a las no básicas que sea negativa. Al introducir la nueva restricción el problema no tiene solución factible. Si el proveedor de tapones hiciera como se dice, no sería posible obtener un programa de producción que cumpliera con todas las restricciones. Apartado 4. El rango de valores para c 2 y c 3 dentro del cual la composición del mix de producción es el mismo que el obtenido se obtiene calculando los nuevos criterios del Simplex en función de dichos variables. En el caso de c 2,comox 2 no es una variable básica, si c 2 se modifica, sólo se modifica V2 B.En particular: ( ) V2 B = c 2 c B B 1 A 2 = c 2 π B 3 = c /2 (5)

10 1 10 El mix sigue siendo el mismo si c 2 13/2 0, es decir, si c 2 13/2 El el caso de que cambie c 3,comox 3 es una variable básica, cambian los criterios del Simplex de todas las variables (menos los de las básicas, que son 0). En particular: V B = c c B B 1 A = c c B p = ( 5 6 c 3 0 ) ( c 3 5 ) ( ) 0 1/2 1 3/10 = 1 1/2 0 1/10 = ( 5 6 c 3 0 ) ( ) ( ) 5 = 0 7 c3 0 c 3+5 3c 2 c Es decir, el mix es el mismo si se cumple simultáneamente: 3c (6) 7 c 3 0 3c c 3 7 c 3 5/3 c 3 7 (7) El mix es el mismo, siempre y cuando la contribución unitaria al beneficio de cada botella de litro sea igual o superior a 7 unidades monetarias. Apartado 5. La demanda de refrescos quedar reflejada en la segunda restricción. Si cambia b 2,la solución podría dejar de ser factible y, por lo tanto, dejar de ser óptima. ( )( ) ) u B = B 1 3/10 1/5 25 b = = 0 b 2 75/2 (8) 1/10 2/5 b 2 b 2 25/4 ( 75 2b b 2 10 Es decir, el mix es el mismo se 25/4 b 2 75/2, es decir, si la demanda supera los 6250 botellas y si no supera los Apartado 6. T 0 x 1 x 2 x 3 h 1-111/2 0-1/2 0-19/10 x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 Sea c 1 = λ, con0 λ.siλ =5,T,0eslatablacorrespondientealasolución óptima. Si λ modifica su valor, se modificará el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando V B (λ) 0 las actividades básicas serán x 1 y x 3, con los niveles de realización de la tabla T 0. El criterio del Simplex V B (λ) es: V B (λ) =c c B B 1 A = c c B p = ( λ ) ( 8 λ ) ( ) 0 1/2 1 3/10 = 1 1/2 0 1/10 ( ) 0 4 λ λ (9) Las variables básicas son x 1 y x 3 siempre y cuando V B (λ). Es decir: 4 λ 0 4 λ 24 (10) λ 24 0 Si 4 λ 24, la tabla corresondiente a la solución óptima es T 0 (λ): T 0 (λ) x 1 x 2 x 3 h 1 4 λ λ λ/ x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10

11 1 11 Si λ = 4, la tabla se convierte en T 1, correspondiente a un óptimo múltiple. Introduciendo x 2 y sacando x 3 se obtiene una nueva solución a la que le corresponde la tabla T 2 T 1 x 1 x 2 x 3 h x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 T 2 x 1 x 2 x 3 h x /5 x /5 Si λ modifica su valor, se modificará el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando V B (λ) 0 las actividades básicas serán x 1 y x 2, con los niveles de realización de la tabla T 2. El criterio del Simplex V B (λ) es: V B (λ) =c c B B 1 A = c c B p = ( λ ) ( 6 λ ) ( ) /5 = /5 ( ) 0 0 λ 4 2λ 18 5 El criterio del Simplex de la tabla T 2 nunca se anula para valores de λ tales que 0 λ 4 Volviendo a la tabla T 0 (λ), si λ = 24, la tabla se convierte en la tabla T 3, correspondiente a un óptimo múltiple. Introduciendo h 1 sacando x 3 se obtiene la tabla T 4 correspondiente a la solución óptima alternativa: T 3 x 1 x 2 x 3 h x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 T 4 x 1 x 2 x 3 h h 3 35/3 0 5/3 10/3 1 x 1 20/3 1 2/3 1/3 0 De nuevo, Si λ modifica su valor, se modificará el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando V B (λ) 0 las actividades básicas serán x 1 y h 1, con los niveles de realización de la tabla T 4.El criterio del Simplex V B (λ) es: (11) V B (λ) =c c B B 1 A = c c B p = ( λ ) ( 0 λ ) ( ) 0 5/3 10/3 1 = 1 2/3 1/3 0 ( 0 6 2λ 24 λ 3 3 0) ) (12) El criterio del Sipmlex no se hace positivo para ningún valor de λ tal que λ>24 En resumen: Variables básicas: x 1 =2yx 2 =7si0 λ 4conz =42+2λ Variables básicas: x 1 =11/2 yx 3 =7/2 si4 λ 24 con z =28+11λ/2 Variables básicas: x 1 =20/3 yh 1 =35/3 si24 λ con z =20λ/3

12 Apartado 1 6. Los dos posibles plano de Gomory de la forma: f f i x i 0serían, en este caso, dos, uno por cada variable: 1/2+1/2x 2 +3/10h 1 0 1/2x 2 +3/10h 1 h 3 =1/2 1/2+1/2x 2 +9/10h 1 0 1/2x 2 +9/10h 1 h 4 =1/2 Si se introduce y modifica el primer plano secante, la tabla resultante sería la siguiente: x 1 x 2 x 3 h 1 h 3-111/2 0-1/2 0-19/10 0 x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 0 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 0 1/2 0 1/2 0 3/10-1 h 3-1/2 0 1/2 0-3/10 1 La tabla final es la siguiente, correspondiente a una solución no factible que cumple el criterio de optimalidad, por lo que se podría aplicar el método de Lemke. x 1 x 2 x 3 h 1 h 3-111/2 0-1/2 0-19/10 0 x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 0 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 0 h 3-1/2 0 1/2 0-3/10 1

13 Enunciado Un fabricante de refrescos FR produce tres modalidades (A, B y C), cada una en su propio formato: de 3 litros, 2 litros y 1 litro, respectivamente. Este fabricante está comprometido a entregar a un gran distribuidor GD (su único cliente) exactamente litros diarios de refrescos. Dispone de gramos diarios de un saborizante del que cada modalidad consume por botella: la botella de 3 litros, 2 gramos; la de 2 litros, 3 g; y la de un litro, 4 g. Conocidos los datos económicos de A, B y C, y siendo x j los miles de botellas de la modalidad j a envasar diariamente, FR ha planteado el siguiente modelo de programación lineal (c y b están expresados en miles): max z = 5x 1 +6x 2 +8x 3 s.a. 2x 1 +3x 2 +4x x 1 +2x 2 +1x 3 =20 x 1,x 2,x 3 0 (13) 1. Obtener el plan óptimo de envasado de FR. 2. Determinar el significado de los multiplicadores del simplex de las dos restricciones. 3. A FR le preocupa la posibilidad de que su proveedor de tapones (iguales para las tres modalidades) restrinja su suministro a un máximo de 6000 tapones diarios. Como ejercicio de postoptimización, introducir esta nueva restricción y determinar su repercusión. 4. Mediante el correspondiente análisis de sensibilidad, determinar la repercusión en el mix de envasado de posibles cambios en los precios de venta de las dos modalidades de menor capacidad, B y C (x 2 y x 3 ). 5. Determinar la validez del mix de producción ante posibles variaciones en la demanda total de refrescos, que se traducirían en un mayor o menor volumen a entregar diariamente a GD, utilizando el análisis de sensibilidad. 6. El formato de 3 litros (modalidad A, x 1 ) puede estar especialmente afectado por los cambios en los mercados de refrescos y materias primas. Mediante la programación paramétrica, analizar el conjunto de diferentes planes de envasado y sus resultados en función de cualquier valor no negativo de la contribución unitaria al beneficio del producto A. 7. El gran distribuidor GD exige que las entregas diarias sean múltiplos exactos de mil para cada modalidad. A partir de la resolución del apartado a) de la pregunta anterior, plantear un plano secante de correspondiente al algoritmo de Gomory y, sin realizar ninguna iteración, introducir la restrcción correspondiente en la tabla de la solución óptima hasta el momento Resolución max z = 5x 1 +6x 2 +8x 3 s.a. 2x 1 +3x 2 +4x x 1 +2x 2 +1x 3 =20 x 1,x 2,x 3 0 (14)

14 2 14 El problema se puede reformular de la siguiente manera, convirtiendo las desigualdades en igualdades (idéntido al problema anterior en términos del sistema que representa): max z = 5x 1 +6x 2 +8x 3 s.a. 2x 1 +3x 2 +4x 3 + h 1 =25 3x 1 +2x 2 +1x 3 =20 x 1,x 2,x 3 0 (15) No existe solución básica factible inmediata, por lo que es necesario utilizar el método de las dos fases odelam grande. En el primer caso, se construye el siguiente problema auxiliar P : max z = a s.a. 2x 1 +3x 2 +4x 3 + h 1 =25 3x 1 +2x 2 +1x 3 + a =20 x 1,x 2,x 3,a 0 (16) Apartado 1. Para el problema P es posible encontrar una solución básica factible de partida con las actividades básicas h 1 y a, con valores h 1 =20ya = 20. Al aplicar el método del Simplex, en su variante de la matriz completa, para esa solución básica se obtiene la siguiente tabla: x 1 x 2 x 3 h 1 a (V B fase 1) (V B fase 2) h a Introduciendo en la base x 1 y sacando a, se obtiene: x 1 x 2 x 3 h 1 a (V B fase 1) -100/3 0 8/3 19/3 0-5/3 (V B fase 2) h 1 35/3 0 5/3 10/3 1-2/3 x 1 20/3 1 2/3 1/3 0 1/3 La tabla anterior corresponde a una solución del problema P donde a = 0, por lo que es una solución básica factible del problema original, pero no óptima, porque no cumple V B 0. Introduciendo en la base x 3 y sacando h 1, se obtiene: x 1 x 2 x 3 h 1 a (V B fase 1) -111/2 0-1/2 0-19/10-2/5 (V B fase 2) x 3 7/2 0 1/2 1 3/10-1/5 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 2/5 La tabla anterior corresponde a la solución óptima del problema original (V B producción óptimo consiste en: Producir 5500 refrescos de 1/3l, ningún refresco de 1/2l y 3500 de 1l. 0). El programa de Se consumen todo el material disponible para producir las botellas (h 1 =0)

15 Apartado 2 2. Los multiplicadores del simplex (π B = c B B 1 ) se pueden calcular, a partir de la tabla, 15 de la siguiente manera: π B 1 = V B h 1 =19/10 π2 B = V a B =2/5 La interpretación de los mismos es la siguiente: π1 B =19/10. Si Δb 1 =1 Δz =19/10. La empresa estaría dispuesta a pagar hasta 1900 unidades monetarias para disponer de 1 kg más diariamente. Igualmente, estaría dispuesta a vender 1 kg si recibiera por ello cualquier cantidad superior a 1900 unidades monetarias. π2 B =2/5. Si Δb 1 =1 Δz =2/5. La empresa podriá obtener un beneficio mayor (4/5) si el compromiso fuera entrgar botellas y no 20000, por lo que este compromiso está actuando como una limitación. FR estaría dispuesta a renegociar el compromiso para pasar a botellas, siempre y cuando esto no representara un coste para ella superior a 400 unidades monetarias. Apartado 3. En términos del planteamiento del modelo, la posibilidad descrita se traduciría en la siguiente restricción: x 1 + x 2 + x 3 6 x 1 + x 2 + x 3 + h 3 =6 Tras introducir la nueva restricción y modificarla convenientemente para que x 1, x 3 y h 3 sean las variables básicas, se obtiene la solución correspondiente a la siguiente tabla, que es una solución que cumple el criterio de optimalidad pero no es factible. Aplicando Lemke (sacando h 3 e introduciendo h 1 ) se obtiene la siguiente tabla. x 1 x 2 x 3 h 1 h 3-111/2 0-1/2 0-19/10 0 x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 0 x 1 11/2 1 1/2 0-1/ /2 0 1/2 1 1/10 1 h / /2 0-1/2 0-19/10 0 x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 0 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 0 h / / /2 x / /2 x / /2 h La última tabla corresponde a una solución no factible (x 3 0) y no existe ninguna tasa de sustitución de esa variable con respecto a las no básicas que sea negativa. Al introducir la nueva restricción el problema no tiene solución factible. Si el proveedor de tapones hiciera como se dice, no sería posible obtener un programa de producción que cumpliera con todas las restricciones. Apartado 4. El rango de valores para c 2 y c 3 dentro del cual la composición del mix de producción es el mismo que el obtenido se obtiene calculando los nuevos criterios del Simplex en función de dichos variables. En el caso de c 2,comox 2 no es una variable básica, si c 2 se modifica, sólo se modifica V2 B.En particular: ( ) V2 B = c 2 c B B 1 A 2 = c 2 π B 3 = c /2 (17)

16 2 16 El mix sigue siendo el mismo si c 2 13/2 0, es decir, si c 2 13/2 El el caso de que cambie c 3,comox 3 es una variable básica, cambian los criterios del Simplex de todas las variables (menos los de las básicas, que son 0). En particular: V B = c c B B 1 A = c c B p = ( 5 6 c 3 0 ) ( c 3 5 ) ( ) 0 1/2 1 3/10 = 1 1/2 0 1/10 = ( 5 6 c 3 0 ) ( ) ( ) 5 = 0 7 c3 0 c 3+5 3c 2 c Es decir, el mix es el mismo si se cumple simultáneamente: 3c (18) 7 c 3 0 3c c 3 7 c 3 5/3 c 3 7 (19) El mix es el mismo, siempre y cuando la contribución unitaria al beneficio de cada botella de litro sea igual o superior a 7 unidades monetarias. Apartado 5. La demanda de refrescos quedar reflejada en la segunda restricción. Si cambia b 2,la solución podría dejar de ser factible y, por lo tanto, dejar de ser óptima. ( )( ) ) u B = B 1 3/10 1/5 25 b = = 0 b 2 75/2 (20) 1/10 2/5 b 2 b 2 25/4 ( 75 2b b 2 10 Es decir, el mix es el mismo se 25/4 b 2 75/2, es decir, si la demanda supera los 6250 botellas y si no supera los Apartado 6. T 0 x 1 x 2 x 3 h 1-111/2 0-1/2 0-19/10 x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 Sea c 1 = λ, con0 λ.siλ =5,T,0eslatablacorrespondientealasolución óptima. Si λ modifica su valor, se modificará el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando V B (λ) 0 las actividades básicas serán x 1 y x 3, con los niveles de realización de la tabla T 0. El criterio del Simplex V B (λ) es: V B (λ) =c c B B 1 A = c c B p = ( λ ) ( 8 λ ) ( ) 0 1/2 1 3/10 = 1 1/2 0 1/10 ( ) 0 4 λ λ (21) Las variables básicas son x 1 y x 3 siempre y cuando V B (λ). Es decir: 4 λ 0 4 λ 24 (22) λ 24 0 Si 4 λ 24, la tabla corresondiente a la solución óptima es T 0 (λ): T 0 (λ) x 1 x 2 x 3 h 1 4 λ λ λ/ x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10

17 2 17 Si λ = 4, la tabla se convierte en T 1, correspondiente a un óptimo múltiple. Introduciendo x 2 y sacando x 3 se obtiene una nueva solución a la que le corresponde la tabla T 2 T 1 x 1 x 2 x 3 h x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 T 2 x 1 x 2 x 3 h x /5 x /5 Si λ modifica su valor, se modificará el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando V B (λ) 0 las actividades básicas serán x 1 y x 2, con los niveles de realización de la tabla T 2. El criterio del Simplex V B (λ) es: V B (λ) =c c B B 1 A = c c B p = ( λ ) ( 6 λ ) ( ) /5 = /5 ( ) 0 0 λ 4 2λ 18 5 El criterio del Simplex de la tabla T 2 nunca se anula para valores de λ tales que 0 λ 4 Volviendo a la tabla T 0 (λ), si λ = 24, la tabla se convierte en la tabla T 3, correspondiente a un óptimo múltiple. Introduciendo h 1 sacando x 3 se obtiene la tabla T 4 correspondiente a la solución óptima alternativa: T 3 x 1 x 2 x 3 h x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 T 4 x 1 x 2 x 3 h h 3 35/3 0 5/3 10/3 1 x 1 20/3 1 2/3 1/3 0 De nuevo, Si λ modifica su valor, se modificará el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando V B (λ) 0 las actividades básicas serán x 1 y h 1, con los niveles de realización de la tabla T 4.El criterio del Simplex V B (λ) es: (23) V B (λ) =c c B B 1 A = c c B p = ( λ ) ( 0 λ ) ( ) 0 5/3 10/3 1 = 1 2/3 1/3 0 ( 0 6 2λ 24 λ 3 3 0) ) (24) El criterio del Sipmlex no se hace positivo para ningún valor de λ tal que λ>24 En resumen: Variables básicas: x 1 =2yx 2 =7si0 λ 4conz =42+2λ Variables básicas: x 1 =11/2 yx 3 =7/2 si4 λ 24 con z =28+11λ/2 Variables básicas: x 1 =20/3 yh 1 =35/3 si24 λ con z =20λ/3

18 Apartado 2 6. Los dos posibles plano de Gomory de la forma: f f i x i 0serían, en este caso, dos, uno por cada variable: 1/2+1/2x 2 +3/10h 1 0 1/2x 2 +3/10h 1 h 3 =1/2 1/2+1/2x 2 +9/10h 1 0 1/2x 2 +9/10h 1 h 4 =1/2 Si se introduce y modifica el primer plano secante, la tabla resultante sería la siguiente: x 1 x 2 x 3 h 1 h 3-111/2 0-1/2 0-19/10 0 x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 0 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 0 1/2 0 1/2 0 3/10-1 h 3-1/2 0 1/2 0-3/10 1 La tabla final es la siguiente, correspondiente a una solución no factible que cumple el criterio de optimalidad, por lo que se podría aplicar el método de Lemke. x 1 x 2 x 3 h 1 h 3-111/2 0-1/2 0-19/10 0 x 3 7/2 0 1/2 1 3/10 0 x 1 11/2 1 1/2 0-1/10 0 h 3-1/2 0 1/2 0-3/10 1

19 Enunciado La empresa San Guemil fabrica dos tipos de cerveza, una lager y una pilsen, para lo cual necesita disponer de malta, lúpulo y levadura. Cada metro cúbico de lager requiere 50 kg de malta, 20 de lúpulo y 2 de levadura. Cada metro cúbico de pilsen necesita 60 kg de malta, 25 de lúpulo y 2 de levadura. El beneficio que obtiene la empresa con cada metro cúbico de lager es de 140 um, mientras que con cada metro cúbico de pilsen obtiene 150 um. San Guemil dipone de una tonelada de malta por semana, 250 kg de lúpulo y 22 kg de levadura también por semana. El modelo de programación lineal que permite obtener la producción óptima para cada semana queda descrito por: max z = 140x x 2 s.a. : 50x 1 +60x x 1 +25x x 1 +2x 2 22 x 1,x 2 0 (25) donde x 1 y x 2 representan, respectivamente, los volúmenes de producción semanales (en m 3 ) de lager y de pilsen. La tabla del simplex correspondiente a la solución óptima del modelo anterior y, por lo tanto, al plan de producción óptimo de San Guemil, es: x 1 x 2 h 1 h 2 h h x /5-2 x /5 5/2 donde h 1, h 2 y h 3 son, respectivamente, las holguras correspondientes a las tres restricciones del modelo lineal. Se pide: 1. Indicar qué uso se hace de cada una de las tres materias primas, así comocuál es el precio máximo que estaría dispuesta a pagar San Guemil por disponer de 1 kg más a la semana de cada una de las tres materias primas. 2. Indicar, para el caso del lúpulo, cuántos kg adicionales estaría dispuesta a adquirir y cuántos kg de su disponibilidad de lúpulo estaría dispuesta a vender semanalmente tomando como referencia el precio indicado en el apartado anterior. 3. San Guemil está valorando la posibilidad de producir un nuevo tipo de cerveza, que tiene una doble fermentación. Esta nueva cerveza consume, por cada metro cúbico producido, 70 kg de malta, 30 de lúpulo y 4 kg de levadura. Indicar el beneficio unitario mínimo que haría rentable la producción y comercialización de esta nueva cerveza. 4. San Guemil ha firmado un contrato de suministro con sus actuales clientes, por el cuál se compromete a servir, conjuntamente entre lager y pilsen, un mínimo de 40 m 3 al mes (considérese que un mes tiene cuatro semanas). Indicar cuál es el nuevo plan de producción óptimo. 5. Si una determinada semana se decide reservar 10 kg de lúpulo sin utilizar (h 2 = 10), cómo se modifica el plan óptimo de producción? cómo se modifica el valor de la función objetivo?

20 Resolución Apartado 1. La utilización que se hace de los recursos es la siguiente: de los 1000 kg de malta, queda 390 sin utilizar; se consumen por completo los 250 kg de lúpulo; se consumen por completo los 22 kg de levadura; El valor de una unidad adicional de cada recurso viene dado por el precio sombra de la restricción corresonpondiente. El vector de multiplicadores del simplex (precios sombra) es πi B = Vh B i,debidoa que todas las restricciones son de tipo menor o igual, por lo que π B =(0, 2, 50). Por lo tanto: San Guemil no está dispuesta a pagarnada por adquirirun kgadicional de malta (y estaríadispuesto a vender un kg de malta a cualquier precio); San Guemil está dispuesta a comprar un kg adicional de lúpulo si el precio de ese kg es inferior a 2um(estaría dispuesta a vender un kg a un precio superior a 2 um); igualmente, estaría dispuesta a comprar un kg adicional de levadura a un precio inferior a 50 um/kg (y a vender uno de sus 22 kg disponibles a un precio superior a 50 um/kg); Apartado 2. Al adquirir lúpulo adicional a los 250 kg se modifica el vector de disponibilidad de los recursos b = (1000, 250, 22) T. Por un lado: el precio sombra de ese recurso (segunda componente de π B = c B B 1 ) cambiará sicambialabase (B); la base se modifica, porque, al modificarse b, la solución básica hasta ahora óptima puede dejar de ser factible (u B = B 1 b). El rango de valores dentro del cual el precio al cual San Guemil está dispuestaacomprarunkgde lúpulo adicional a un máximo de 6um/kg es aquel para el cual u B 0: u B = B 1 b = / /5 5/ b b b b b b b b (26) Por lo tanto, San Guemil está dispuesta a comprar hasta 25 kg de lúpulo a un precio inferior a 2 um/kg (75 = ) o a vender hasta 30 kg a un precio superior a 2 um/kg (30= ). Apartado 3. La nueva variedad resultará un producto rentable si el criterio del simplex de la variable correspondiente (x 3 ) es positivo. Es decir: V3 B = c 3 c B B 1 A 3 = c 3 π B A 3 = c 3 (0, 2, 50) = c c (27) 4 Por lo que si el precio es superior a los 260 um/m 3,será interesante su producción y comercialización. Apartado 4. San Guemil está produciendo en la actualidad 11 m 3, por lo que en la actualidad ya está cumpiendo el compromiso de producir al menos 10 m 3. La restricción que tendría la forma x 1 +x 2 10 no modifica el plan óptimo de producción, de manera que el plan óptimo de producción sería el mismo.

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