Capítulo 13 Modelación jerárquica en las finanzas públicas

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1 67 Capítulo 13 Modlación jrárquica n las finanzas públicas Mario Ojda & Frnando Vlasco M.Ojda & F.Vlasco Bnmérita Univrsidad Autónoma d Publa. 3 Orint 4 sur no. 104, Col Cntro., Cntro Histórico, 7000, Publa.Univrsidad Vracruzana. Muso 133, Unidad Magistrial, Xalapa, Vracruz. mojda@uv.mx M.Ramos, F.Miranda (ds.) Optimización-Estocástica-Rcursiva-Cohrnt-Sistémica y sus variants (probabilidad, conomtría y stadística aplicada), Tmas Slctos d Optimización- ECORFAN-Santiago d Compostla, España, 01.

2 68 Abstract Hirarchical linar modls ar a gnral class of modls that allow modling in a varity of situations in which thr ar data that hav a hirarchical structur. Th hirarchical data structur occur frquntly in studis of public financs, which ar commonly analyzd variabls masurd on ntitis (stats or provincs), which in turn ar composd of sub-ntitis (towns or municipalitis). It also prsnts th cas of ntitis that ar studid ovr a priod of svral yars, so w hav a sampl of yars nstd ntitis. This papr provids an introduction to hirarchical linar modls and illustrats its application to problms of public financs. Th documnt is dividd into thr sctions: th first provids a charactrization of th data with hirarchical structur, in th scond hirarchical linar modls ar dvlopd in particular-that xprinc of th authors ar th most application-, and finally in th third sction it is prsntd two xampls of application to public financs. 13 Introducción Una d las taras fundamntals d un cintífico d la conomía y las finanzas públicas s la d ncontrar patrons d asociación ntr variabls qu l prmitan probar hipótsis, dsarrollar dscripcions d fnómnos conómicos n l spacio y n l timpo. Por sta razón la modlación stadística ha ncontrado n sta ára dl conociminto tanto la inspiración para l dsarrollo d torías y mtodologías como l spacio para la aplicación d las mismas. La rtroalimntación s una constant n l dsarrollo d tanto d la stadística tórica como d la conomía y las finanzas. En st contxto, la conomtría n particular los modlos d rgrsión aplicados a la conomía y las finanzas- ha tnido un dsarrollo vrtiginoso dspués d la década d los novnta dl siglo pasado. S abrió una important vrtint d dsarrollo con la aparición d los métodos d stimación basados n principios baysianos y algoritmos computacionals qu aplican mínimos cuadrados itrativos (Raudnbush y Bryk, 00)- para modlos linals gnrals (qu prmitn la postulación d modlos más ralistas a las situacions d studios spacials, tmporals, spaciotmporals). Es así qu, las contribucions qu ofrc hoy n día la toría y hrramintas computacionals asociadas a los modlos linals gnrals prmitn qu s cunt con una amplia gama d mtodologías d modlación qu hacn qu los studios n stas áras d aplicación pudan abordar con mayor ralismo y ficincia las taras d modlación stadística. Aunqu s cunta con una varidad d libros d txto y monografías sobr la modlación linal multinivl qu también s dnominada modlación linal jrárquica- s rquir aún d la promoción d stas mtodologías ntr los profsionals, técnicos y cintíficos d las disciplinas particulars, lo qu s posibl lograr a través d trabajos suscintos, d nivl introductorio, autocontnidos, y qu a la vz mustrn con ilustracions n problmas concrtos l potncial d stas hrramintas para la invstigación. En st scrito s ncontrará una introducción a la modlación linal jrárquica nfatizando su aplicación n problmas rlacionados a las finanzas públicas. S prsntará brvmnt una caractrización d los datos con structura jrárquica, s dscribirán algunos d los modlos linals jrárquicos particulars d mayor uso y s prsntará la ilustración d su aplicación con dos jmplos d finanzas públicas. El contnido s structura n trs sccions, admás d una introducción y las conclusions. En la primra scción 13.1 s sintan las bass d la modlación jrárquica; l objtivo s introducir al lctor n los concptos básicos d la modlación jrárquica. En la scción 13., s prsntan dos casos particulars d los modlos linals jrárquicos: l modlo intrcpto alatorio y l modlo d pndints alatorias.

3 Finalmnt n la scción 13.3, s prsntan dos aplicacions d sta mtodología a problmas d finanzas públicas: n l primro d llos s analiza la volución dl Gasto Público n Salud (GPS) y dl Producto Intrno Bruto (PIB), por ntidad fdrativa n la Rpública Mxicana, n un priodo d timpo. En l sgundo jmplo s analiza la rlación qu xist ntr los ingrsos dl sctor léctrico y dl sctor ptrolro n rlación con l sctor primario dsd 003 hasta 008, n las 3 ntidads fdrativas qu conforman a México. 69 En las finanzas públicas modrnas stán involucradas varias disciplinas, qu van dsd la sociología dl stado pasando por la mtodología d la invstigación, hasta llgar a las tcnologías d la informática y las comunicacions. Una d stas disciplinas s la stadística, qu s una hrraminta fundamntal para la ralización d procsos d invstigación n las cincias factuals qu utilizan la invstigación cuantitativa. S db d considrar qu la mtodología stadística comprnd trs grands pasos n l dsarrollo d una invstigación; 1) l disño adcuado para la obtnción d datos; ) l análisis d éstos; y 3) la intrprtación y prsntación d los rsultados n forma apropiada. Rspcto al análisis d datos s d gran utilidad conocr admás d las técnicas xploratorias univariadas y multivariadas, las técnicas d modlación stadística. La más conocida d éstas s la rgrsión linal, qu cunta con una amplia promoción ntr los conomistas y spcialistas n finanzas públicas (Gujarati, 003; Montgomry, Pck y Vining. 004). Cab hacr notar qu los modlos d rgrsión simpl, múltipl, multivariant, para datos n sris d timpo, tc. pudn ncontrar divrsas situacions n las qu los supustos s violan por la structura d los datos (anidados o d clasificación cruzada), lo qu hac qu los rsultados d la modlación no s corrspondan con lo qu dicta la toría y hasta a vcs l sntido común (Wooldridg, 009). Por tal razón podmos dcir qu n divrsas ocasions las mustras o poblacions d studio prsntan una structura jrárquica o d datos structurados n varios nivls d anidaminto. Los datos con structura jrárquica son bastant comuns n difrnts áras d las cincias socials, como n ducación (los studiants aparcn agrupados n sculas, sculas n zonas, tc.), n salud (pacints, hospitals, rgions, tc.) y n conomía (studios longitudinals, d grupos anidados d mprsas, conomía comparada d paíss, tc. Esta situación s prsnta particularmnt n los studios qu abordan las finanzas públicas, dond s analizan comúnmnt variabls qu s midn sobr las ntidads fdrativas, las cuals a su vz stán formadas (y los datos s dsagrgan) por los municipalidads, y a vcs s ncsario llgar hasta l nivl d áras gostadísticas básicas (AGEB s). Cuando l caso s l d las ntidads fdrativas (stados o provincias) qu s studian n un priodo d varios años, s tin un conjunto d sris d timpo (una para cada ntidad), lo cual constituy una mustra anidada (años n ntidads). En fin, qu las structuras d datos y poblacions d rfrncia ordnadas jrárquicamnt son muy frcunts, con lo qu los problmas llamados multinivl- plantan la ncsidad dl uso d mtodologías d modlación stadística adcuadas. Para tratar st tipo d problmas la mtodología stadística cunta con una sri d técnicas, métodos y modlos qu n la actualidad stán bin dfinidos y s ncuntran disponibls junto con l softwar qu prmit su adcuada aplicación para plantar y rsolvr problmas d st tipo, a través d la postulación, ajust y utilización d modlos para la intrprtación d los fnómnos bajo studio Modlación jrárquica Los modlos linals jrárquicos forman una clas gnral d modlos qu prmitn la modlación n una gran varidad d situacions n las cuals s tinn datos qu prsntan una structura jrárquica.

4 Estos modlos tinn una gran varidad d aplicacions n divrsas áras, tals como: invstigación ducativa (fctividad d sculas, logro scolar), biología (curvas d crciminto, studios gnéticos), invstigación social (análisis d ncustas, studios d mrcado), psicología (análisis d conducta), mdicina (mdidas rptidas), ntr otras. Los modlos linals jrárquicos tinn una gran historia, pro han rcibido spcial atnción dsd finals d la década d los ochnta, aunqu sus orígns s rmontan varios años atrás. Rcints dsarrollos n cómputo han prmitido qu s incrmnt l uso d modlos linals jrárquicos n l análisis d datos con structura jrárquica. Los Modlos linals jrárquicos, son también conocidos bajo una gran varidad d nombrs: Modlos d componnts d la varianza (Sarl t al., 199), Modlos d coficints alatorios (Longford 1995), Modlos multinivl (Goldstin, 1995) o como Modlos d fctos mixtos (Laird y War, 198; Littll, Millikn, Stroup y Wolfingr, 1996). Los datos con structura jrárquica surgn n una gran varidad d situacions. Rcordmos qu la part fundamntal d un análisis d datos son las unidads d studio. Éstas s dfinn como l conjunto d obsrvacions d las cuals obtnmos información y a través d las cuals los valors mdidos variarán. Las unidads pudn sr d varios tipos d acurdo al contxto dl problma. Sin mbargo, n l caso d la modlación jrárquica tinn una caractrística fundamntal y ésta s qu s ncuntran anidadas, structuradas o agrupadas n un cirto númro d nivls o clasificacions. Por jmplo: invstigacions ducativas frcuntmnt stán rlacionadas con problmas d invstigación d rlacions xistnts ntr alumnos y l grupo d clas n l qu éstos s dsnvulvn. El concpto gnral s qu l alumno intractúa con l grupo d clas al cual ést prtnc. Gnralmnt los alumnos y l grupo d clas s concptualizan como un sistma con structura jrárquica, dond los alumnos y los grupos d clas son dfinidos n nivls sparados d sta structura jrárquica. En gnral supóngas qu s tinn datos con structura jrárquica; s dcir, s tinn J grupos con n unidads n l j-ésimo grupo, j 1,..., J. A cada grupo s l dnomina unidad d nivl ; así s tinn J unidads d nivl, y a cada unidad las unidads n cada grupo s l dnomina unidad d nivl n j 1; con lo qu s tinn n j unidads d nivl 1 n la j-ésima unidad d nivl. El númro n j d unidads d nivl 1 no tin qu sr ncsariamnt igual n cada unidad d nivl. Así también n invstigacions socials s tratan problmas rlacionados con la intracción ntr los individuos n su contxto social, significando qu las prsonas son influidas por los grupos socials a los cuals prtncn; gnralmnt los individuos y los grupos s concptualizan como un sistma con structura jrárquica, dond los individuos son las unidads d nivl 1 y los grupos socials las unidads d nivl. En studios socials los mimbros d una familia dntro d las familias son las unidads d nivl 1 y las familias las unidads d nivl ; n studios mprsarials los mplados dntro d compañías. Los datos longitudinals o d curvas d crciminto pudn rprsntars mdiant un sistma con structura jrárquica n la qu las obsrvacions d mdidas rptidas s concptualizan anidadas dntro d sujtos. También s prsntan sistmas qu tinn una structura jrárquica pro d trs nivls; por jmplo, n invstigacions ducativas admás d las rlacions xistnts ntr alumnos y l grupo d clas n l qu éstos s dsnvulvn, los grupos d clas stán anidados dntro d sculas, las cuals srian las unidads d nivl 3. En gnral n un sistma con structura jrárquica s pudn prsntar varios nivls. En un sistma d structura jrárquica pud sr d intrés studiar la rlación xistnt ntr una variabl rspusta, la cual s mid n las unidads d nivl 1, y variabls xplicatorias las cuals s pudn mdir n cada uno d los nivls d la structura jrárquica. 70 j

5 S tin qu para cada una d las nj unidads d nivl 1 n la j-ésima unidad d nivl s rgistraron mdicions sobr una variabl rspusta y, y sobr m variabls xplicatorias x 1,..., xm ; éstas s dnominan variabls xplicatorias a nivl 1. Admás s pud mdir otro conjunto d variabls xplicatorias w 1,...,wq n cada una d las unidads d nivl, las qu s dnominan variabls xplicatorias a nivl. Por jmplo, n studios d ducación s tinn studiants, qu stán anidados n grupos d clas, y pud sr d intrés la calificación n dtrminada asignatura, obtnida por l studiant al finalizar l curso; ésta sría la variabl rspusta. Una posibl variabl xplicatoria a nivl studiant podría sr las horas d studio ddicadas a tal asignatura por l studiant; una posibl variabl xplicatoria a nivl grupo d clas podría pnsars como los años d xprincia qu tinn l profsor qu impart la asignatura n cada gripo d clas. La importancia d los modlos linals jrárquicos radica n qu s pud tnr una mjor comprnsión d la variabilidad d los datos, pus prmit conocr la varianza ntr las unidads d nivl 1 y ntr las unidads d nivl. En l modlo linal jrárquico la varianza d la variabl rspusta pud sr dscompusta como la suma d las varianzas nivl 1, y nivl,. Esta lína d invstigación s muy potnt, pus otras técnicas d análisis stadístico no prmitn obtnr sta información. Rtomando l jmplo qu s ha prsntado, si s utiliza un modlo d dos nivls, s posibl llgar a conocr la variación qu xist ntr los grupos d clas y ntr los studiants n cada grupo. Por otro lado al ajustars un modlo d un solo nivl (Rgrsión ordinaria), s ignorarían los fctos d agrupaminto y por lo tanto, s obtndrían stimadors ssgados qu conducirían a infrncias rrónas. Las técnicas usuals no stán disñadas para dividir la variación d sta manra y sólo stiman un término para xplicar sta difrncia. En la modlación jrárquica sta variación prsnta una structura rlvant suscptibl d sr analizada y qu aporta mucha información al problma. Rspcto al númro d unidads qu dbn sr incluidas n cada nivl dl modlo, s una d las prguntas más frcunts cuando s utiliza st tipo d mtodología. La rspusta a sta intrrogant stará n función principalmnt d los intrss dl invstigador y d las unidads d studio. Por jmplo, si l objtivo s studiar la variación ntr las univrsidads dl país rspcto al timpo qu tardan sus studiants d doctorado n obtnr l grado, s ncsitará información d varias univrsidads con l objtivo d obtnr stimadors confiabls. Esto significa qu no s podría utilizar información sólo d dos univrsidads aunqu s tuviran datos d 500 studiants titulados n sa univrsidad. Goldstin (1995) rcominda qu dada la magnitud d los fctos qu s común ncontrar ntr las difrncias d las sculas, s rquir información d al mnos 5 cntros scolars para proporcionar un stimador prciso d la varianza ntr las sculas. Por su part, Sndrs y Boskr (1993) sñala qu la robusticidad d las prubas stadísticas usualmnt dpnd dl tamaño d la mustra y ha disñado un softwar spcializado, llamado PinT, d las siglas d Powr Analysis in Two Lvl Dsigns para la dtrminación dl tamaño d mustra óptimo n disños multinivl (Véas Sndrs, 005). 13. Algunos modlos linals jrárquicos En sta scción s prsntan dos casos particulars d los modlos linals jrárquicos, l modlo intrcpto alatorio y l modlo d pndints alatorias. Para analizar datos con structura jrárquica s tinn qu mplar técnicas stadísticas qu tomn n cunta dicha structura. 71

6 En sta situación, s razonabl postular un modlo d rgrsión qu considr una posibl difrncia ntr las unidads d nivl, s dcir, plantar un modlo d rgrsión tal qu, para cada unidad d nivl, s tngan difrnts coficints d rgrsión. Bajo sta situación l modlo linal jrárquico d dos nivls prmit simultánamnt hacr un studio d unidads d nivl 1 y un studio d unidads d nivl, tomando n cunta variabls xplicatorias para las unidads d nivl 1 y variabls xplicatorias para las unidads d nivl. En los modlos linals jrárquicos cada uno d los nivls d la structura jrárquica s rprsntado formalmnt con su propio submodlo. Un trataminto y abundants rfrncias acrca d stos modlos s pud ncontrar n Goldstin (1987, 1995), Longford, (1993, 1995), Krft y D Luw (1998), Sndrs y Boskr, (1999), Raudnbush y Bryk, (00), Hox, J. (00). En la actualidad xist softwar stadístico l cual prmit analizar datos con structura jrárquica d acurdo al modlo apropiado, MLwiN, (Rasbash t al., 009), S-PLUS (Pinhiro y Bats, 000), SAS (Littl, t al., 00, Singr, 1998). Una rvisión xhaustiva pud ncontrars n Krft y D Luw (1998). A continuación s dscribn algunos d los modlos linals jrárquicos Modlo intrcpto alatorio El caso más simpl d un modlo linal jrárquico s l dnominado modlo intrcpto alatorio, l cual no contin ni variabls xplicatorias a nivl 1, ni variabls xplicatorias a nivl. En st modlo solamnt s tin variabilidad ntr las unidads d nivl y dntro d las unidads d nivl. Est modlo pud sr xprsado como un modlo dond la variabl rspusta, y, s la suma d una mdia gnral dada por 00, un fcto alatorio a nivl dado por u 0 j, y un fcto alatorio a nivl 1 dado por ; El modlo para la i -ésima unidad d nivl 1, la cual s ncuntra n la j -ésima unidad d nivl, tin la forma: y u, 00 E 0, Var, ~ N0, E u 0, Var u., Dond N, 0 7 (13.1) dnota la distribución normas con mdia 0 y varianza. Los parámtros n l modlo (1) son trs: El coficint 00 y los componnts d la varianza y. En l modlo intrcpto alatorio la varianza d la variabl rspusta s dscompusta como la suma d las varianzas nivl 1, y nivl,, Var y. (13.) El modlo para l nivl 1 tin la forma: y 0 j,

7 73 Y l modlo para l nivl tin la forma:. 0 j 00 u El coficint d corrlación intraclas s unamdida dl porcntaj d la variabilidad d la variabl rspusta qu s atribuida a las unidads d nivl, ést stá dado por mdio d:. (13.3) 13.. Modlo intrcpto alatorio con una xplicatoria a nivl 1 En l modlo intrcpto alatorio l valor sprado d la variabl rspusta pud sr xplicado n términos d variabls xplicatorias a nivl 1. Así la siguint tapa s la inclusión d variabls xplicatorias a nivl 1, sto con l objtivo d tratar d xplicar l comportaminto d la variabl rspusta. Con una variabl xplicatoria a nivl 1 l modlo intrcpto alatorio tin la forma: y, 00 1 x u E 0, Var, ~ N0,, E u 0, Var u. (13.4) El modlo (4) s dnomina modlo intrcpto alatorio con una variabl xplicatoria a nivl 1. Los parámtros n l modlo (4) son cuatro: los coficints d rgrsión 00 y 1, y las varianzas y. En l modlo intrcpto alatorio con una variabl xplicatoria a nivl 1 la varianza d la variabl rspusta pud sr dscompusta como la suma d las varianzas nivl 1, y nivl,, d la siguint manra: y Var. (13.5) A los términos, s ls dnomina componnts d la varianza. El modlo para l nivl 1 tin la forma: y 1 x, Y l modlo para l nivl tin la forma:. 0 j 00 u

8 Modlo intrcpto alatorio con variabls xplicatorias a nivl 1 Al igual qu n l modlo d rgrsión múltipl, más d una variabl xplicatoria a nivl 1 pud sr usada n l modlo intrcpto alatorio. La gnralización dl modlo (4) para incluir más variabls xplicatorias a nivl 1; s dcir, l modlo intrcpto alatorio con varias variabls xplicatorias a nivl 1 tin la forma: y 00 1x1 x mxm u, E 0, Var, ~ N0, E u 0, Var u., (13.6) El modlo (6) s dnomina modlo intrcpto alatorio con varias variabls xplicatorias a nivl 1. Los parámtros dl modlo intrcpto alatorio con varias variabls xplicatorias a nivl 1 son m 3; los m 1 coficints d rgrsión 00, 1,,..., m y los componnts d la varianza y. En l modlo intrcpto alatorio con varias variabls xplicatorias a nivl 1 la varianza d la variabl rspusta pud sr dscompusta como la suma d las varianzas nivl 1, y nivl,, y Var. (13.7) El modlo para l nivl 1 tin la forma: y 0 j 1x1 x mxm, y l modlo para l nivl tin la forma:. 0 j 00 u Modlo d pndints alatorias En l modlo linal jrárquico intrcpto alatorio con variabls xplicatorias a nivl 1, solo l intrcpto s supon alatorio, mintras qu los dmás coficints d rgrsión s suponn fos para todas las unidads d nivl. En ocasions la rlación ntr las variabls xplicatorias y la variabl rspusta pud sr difrnt n las unidads d nivl. Lo antrior da surgiminto al modlo d pndints alatorias. En st modlo los coficints d algunas o d todas las variabls xplicatorias stán variando ntr las unidads d nivl, s dcir, la rlación xistnt ntr cada una d las variabls xplicatorias y la variabl rspusta no s la misma n todas las unidads d nivl. Como los coficints varían ntr las unidads d nivl s ls dnomina coficints alatorios. Para l caso d una variabl xplicatoria a nivl 1 lo antrior s xprsa n l siguint modlo:

9 75 y x u u1j x, E 0, Var, E u 0, Var u, E u 1j 0, u j Cov u, u1ju 01, Cov u k j, i j 0. Var, 1 u1 (13.8) El cual s dnomina modlo d pndints alatorias con una variabl xplicatoria a nivl 1. Los parámtros dl modlo d pndints alatorias con una variabl xplicatoria a nivl 1 son sis: los coficint d rgrsión 00 y 10, y los componnts d la varianza,, u1 y 1. En l modlo d pndints alatorias con una variabl xplicatoria a nivl 1 la varianza d la variabl rspusta s dscompon d la siguint forma: y x x Var. (13.9) u1 1 D la cuación (9) s tin qu n l modlo d pndints alatorias con una variabl xplicatoria a nivl 1 la varianza d la variabl rspusta dpnd d la variabl xplicatoria a nivl 1, x. El modlo para l nivl 1 tin la forma: y 1j x, y l modlo para l nivl tin la forma: 0 j 00 u, 1 j 10 u 1 j, Aquí s obsrva qu los coficints d rgrsión cambian d unidad d nivl a unidad d nivl., así como 1j son alatorios, s dcir Existn muchas variants d los modlos antriors, ya sa añadindo más variabls xplicatorias a nivl 1 o variabls xplicatorias a nivl, o más aún añadindo más nivls Prototipos En sta scción s mustran dos problmas d finanzas públicas n los qu s aplicó la modlación jrárquica, l primro d llos s analiza la volución dl Gasto Público n Salud (GPS) y dl Producto Intrno Bruto (PIB), por ntidad fdrativa d la Rpública Mxicana. Parallamnt, a través d una modlación jrárquica s dtrminó la rlación ntr GPS y l PIB, para analizar si hay variabilidad ntr sta rlación durant l priodo por ntidad fdrativa, tnindo como rsultado, qu sí xist una rlación dircta ntr l gasto n salud y l crciminto conómico, y qu sí hay variabilidad significativa ntr los años bajo studio y ntr las ntidads fdrativas.

10 En l sgundo jmplo s analiza la rlación qu xist ntr los ingrsos dl sctor léctrico y dl sctor ptrolro n rlación con l sctor primario; para la obtnción d la información s rcurr a una bas d datos dl Instituto Nacional d stadística Gografía Informática (INEGI) d México, rspcto a los ingrsos d ptrólo y d nrgía léctrica dsd 003 hasta 008, n las 3 ntidads fdrativas d México. S aplicaron una sri d modlos multinivl para analizar la influncia dl timpo, d los ingrsos dl sctor léctrico y d los ingrsos dl sctor ptrolro n l sctor primario y dtrminar si xist variabilidad ntr las ntidads fdrativas y los 6 años dl priodo d studio. Para mayor información sobr stos jmplos los autors ponn a disposición los trabajos más xtnsos dond s prsntan stas aplicacions (Ojda, t al., 011) 76 Ejmplo 1 Análisis dl gasto n salud y su rlación con l crciminto conómico d México n l priodo En st jmplo s analiza la rlación qu xist ntr l GPS y l PIB. Los datos utilizados para la ralización dl análisis furon tomados d la página lctrónica dl Sistma Nacional d Información n Salud (SINAIS), ntidad dpndint d la Scrtaría d Salud (SSA) d México, así como dl Instituto Nacional d INEGI, contando con una mustra d 88 obsrvacions, corrspondints a la información dl PIB y dl GPS, n l priodo , d cada ntidad fdrativa. Dado qu la información qu s obtuvo prsnta una structura d anidaminto, y s dsa modlar la rlación xistnt ntr l PIB d cada ntidad por año con l GPS d cada ntidad por año, s hizo uso d la modlación jrárquica, considrando un modlo d dos nivls (Goldstin, 1995; Raudnbush y Bryk, 00); como unidads d nivl 1 s tomaron los 9 años qu comprnd st studio y como unidads d nivl las 3 ntidads fdrativas (Figura 1). Figura 13.1 Diagramas d unidad para la structura jrárquica d los datos bajo studio. Entidad Fdrativa (3) Nivl Gasto n Año Nivl 1 salud PIB A través d la modlación jrárquica, s prtnd tnr una mjor comprnsión d la variabilidad dl PIB, pus prmit conocr la varianza ntr los años y las ntidads fdrativas rspcto al PIB, tomando n considración la posibl rlación con l timpo y l GPS. El modlo para ajustar la rlación stá dado por mdio d la cuación: PIB u ~ N 0 0 u, ~ N 0, TIEMPO GPS 1 i1,..., 9 j1,..., 3

11 Dond 0 dnota l intrcpto o la mdia global dl PIB para todas las ntidads fdrativas n todos los años; 1 y constituyn la pndint o l cambio n la mdia dl PIB, cuando hay un cambio unitario n cada variabl xplicatoria TIEMPO, y GPS, rspctivamnt, mantnindo las otras variabls constants, dnota l rror alatorio corrspondint a la i -ésima unidad d nivl 1 (año) n la j -ésima unidad d nivl (ntidad fdrativa) y dnota l j -ésimo rror alatorio a nivl. Con st modlo, lo qu intrsa s conocr si alguna variabl como l TIEMPO o l GPS influyn n l comportaminto dl PIB. Al rlacionar l PIB con los años dl priodo d studio para cada ntidad fdrativa, s aprcia n la Figura una primra aproximación d la rlación linal xistnt ntr ambas variabls. D la Figura, s obsrva una tndncia d crciminto a través d los años dl PIB, admás s obsrva qu hay una variabilidad ntr las ntidads rspcto al PIB la cual s mantin durant l priodo d studio Figura 13. Rlación ntr l PIB y l timpo para cada ntidad fdrativa. u 0 j 77 Para corroborar los factors qu contribuyn a xplicar por qué hay variación ntr los años y ntr las ntidads fdrativas rspcto al PIB, s ajustaron 3 modlos multinivl. Los rsultados d las stimacions s mustran n la tabla En l modlo (1), modlo intrcpto alatorio, n l qu no s considran las variabls xplicatorias, los rsultados dl ajust mustran qu s tin un PIB n promdio d millons d psos n cada ntidad fdrativa por año, admás d qu xist variación tanto ntr los años dl priodo d studio, así como s prsnta variación ntr las 3 ntidads fdrativas.

12 D acurdo al coficint d corrlación intraclas, l porcntaj d la variabilidad dl PIB atribuida a las ntidads fdrativas s d aproximadamnt l 95% y solo un 5% a los años, s dcir, la variabilidad dl PIB s atribuida n gran part a las ntidads fdrativas.en l modlo () s introdujo la variabl años como variabl xplicatoria, s mantuvo fa la pndint y l intrcpto alatorio, los rsultados dl ajust mustran qu la variabl TIEMPO sí rsulta significativa, s dcir, qu cada año l PIB d las ntidads fdrativas s incrmnta n promdio n millons d psos. También s obsrva qu la variación ntr los años y ntr las ntidads s significativa. Sin mbargo, la varianza ntr las ntidads s mantin alta (57.495), mintras la varianza dl PIB a nivl d los años disminuyo d a rspcto al modlo intrcpto alatorio. Tabla 13.1 Rsultados d las stimacions. Modlo intrcpto alatorio con l TIEMPO () Modlo intrcpto alatorio (1) Parámtros fos 0 (Intrcpto) (58.00) (58.) Modlo intrcpto alatorio con l TIEMPO y GPS (3) 59.9 (.3) 1 (TIEMPO) (1.303) (1.401) (GPS) 9.97 (1.49) Componnts d la varianza Nivl Nivl Dsviación En l modlo (3), s introdujo adicionalmnt l GPS y s modla como fa. En los rsultados mostrados n la Tabla 13.1, s obsrva qu l GPS s significativo, sto quir dcir, qu ant un cambio unitario n l GPS d cada ntidad, l PIB s incrmntan n 9.97 millons d psos, mantnindo la variabl TIEMPO fa, cab dstacar qu al introducir la variabl GPS al modlo, l TIEMPO influy d manra distinta, ahora cada año l PIB d cada ntidad fdrativa s incrmnta n promdio n 6.3 millons d psos. Al comparar los modlos () y (3), s aprcia qu la varianza a nivl ntidad disminuyó d a , y la varianza a nivl año también prsnta una rducción d a También hay una disminución n l valor d la dvianc d 339 a 903 s dcir una rducción d 46, qu al compararlo con una distribución con 1 grado d librtad, rsulta significativa. Lo qu indica qu l modlo (3) s más adcuado para l ajust d los datos. 78

13 79 Ejmplo Influncia dl sctor léctrico y ptrolro n la producción primaria En st jmplo s analiza la rlación qu xist ntr los ingrsos dl sctor léctrico y dl sctor ptrolro n rlación con l sctor primario; para la obtnción d la información s rcurr a una bas d datos dl INEGI, rspcto a los ingrsos d ptrólo y d nrgía léctrica dsd 003 hasta 008, n las 3 ntidads fdrativas.dntro d la planación conómica y política d los ingrsos públicos s pud hablar d rcursos provnints d la tributación qu aporta la población con l fin d cumplir sus funcions públicas, o bin, por l producto d los ingrsos qu l otorgan los nts statals qu aprovchan rcursos d la nación, como s l caso n México d Ptrólos Mxicanos (PEMEX) y Comisión Fdral d Elctricidad (CFE). La toría qu justifica st tipo d intrvnción dl Estado a través d una mprsa pública s la dl Estado d Binstar (Kyns, 1981), para podr stabilizar los impactos ngativos qu ha traído consigo l capitalismo mismo, no tanto d una manra prudnt sino ncsaria a las ncsidads d cada país, hacindo alusión a un análisis multi intrdisciplinario d todos los factors qu incidn n las finanzas públicas d dicho país, con lo qu s alina a la visión d las Finanzas Públicas Modrnas. Hoy n día, uno d los sctors qu más atnción rquirn por part dl Estado Mxicano s l sctor primario (SECPRIM), dado qu la dsigualdad rgional, la rápida libralización comrcial y la crcint gnración incorporación d innovacions tcnológicas, han arrasado con la producción agropcuaria nacional, ocasionándos un abultado déficit agropcuario xtrno d acurdo a la FAO (011) d aproximadamnt 3.5 millons d dólars anuals durant 000 a 003, lo cual rflja l stado d dpndncia alimntaria n qu s ha dsnvulto la conomía mxicana por más d dos décadas.dado qu la información qu s obtuvo prsnta una structura d anidaminto, y s dsa modlar la rlación xistnt ntr los ingrsos dl SECPRIM con los ingrsos dl sctor léctrico y dl sctor nrgético, s hizo uso d la modlación jrárquica, hacindo uso d un modlo d dos nivls. Como unidads d nivl 1 s tomaron los 6 años qu comprnd st studio y como unidads d nivl s tomaron a las 3 ntidads fdrativas (Figura 3). Figura 13.3 Diagramas d unidad para la structura jrárquica d los datos bajo studio. Entidad Fdrativa (3) Nivl Año Nivl 1 SECPRIM CFE PEMEX A través d la modlación jrárquica, s prtnd tnr una mjor comprnsión d la variabilidad d los ingrsos dl SECPRIM, pus prmit conocr la varianza ntr los años y las ntidads fdrativas rspcto a los ingrsos dl SECPRIM. El modlo propusto stá dado por la siguint cuación: SECPRIM u ~ N 0 0 u, ~ N 0, u TIEMPO 1 CFE i 1,..., 6 j 1,..., 3 PEMEX 3

14 Dond 0 dnota l intrcpto o la mdia global d los ingrsos dl sctor primario para todas las ntidads fdrativas n todos los años; 1, y 3 constituyn la pndint o l cambio n la mdia d los ingrsos dl SECPRIM, cuando hay un cambio unitario n cada variabl xplicatoria timpo (TIEMPO ), ingrsos d la CFE ingrsos d PEMEX, rspctivamnt, mantnindo las otras variabls constants, dnota l rror alatorio corrspondint a la i -ésima unidad d nivl 1 n la j -ésima unidad d nivl y u 0 j dnota l j -ésimo rror alatorio a nivl. Con st modlo, lo qu intrsa s conocr si alguna variabl como TIEMPO, los ingrsos d la CFE d la ntidad o los ingrsos d PEMEX, influyn n l comportaminto d los ingrsos d SECPRIM. Para validar los rsultados dl modlo, s comprobó l cumpliminto d los supustos d normalidad d los rrors n los dos nivls. Al rlacionar los ingrsos dl SECPRIM, con los años dl priodo d studio para cada ntidad fdrativa, s aprcia una primra aproximación d la rlación linal xistnt ntr SECPRIM y l timpo. D la Figura 4, s tin qu no s obsrva una tndncia a través d los años, pro s obsrva qu hay una variabilidad ntr las ntidads rspcto a los ingrsos dl SECPRIM la cual s mantin durant l priodo d studio. Figura 13.4 Rlación ntr los ingrsos dl SECPRIM y los años dl priodo d studio ( ). 80

15 Para corroborar los factors qu contribuyn a xplicar la posibl variación ntr los años y ntr las ntidads fdrativas rspcto a los ingrsos dl SECPRIM, s ajustaron 4 modlos multinivl. Los rsultados d las stimacions s mustran n la Tabla 13.. En modlo (1), modlo intrcpto alatorio, los rsultados dl ajust mustran qu s tin un ingrso promdio d 9,457 millons d psos n cada ntidad fdrativa por año, admás d qu xist variación tanto ntr los años como ntr las ntidads fdrativas, sindo aproximadamnt l 98% d la variación d los ingrsos atribuida a las ntidads fdrativas. En l modlo () s introdujo la variabl años como variabl xplicatoria, s mantuvo fa la pndint y l intrcpto alatorio, los rsultados dl ajust mustran qu la variabl TIEMPO sí rsulta significativa, s dcir, qu cada año los ingrsos dl SECPRIM s incrmnta n promdio n 0.54 mils d millons d psos. También s obsrva qu la variación ntr los años y ntr las ntidads s significativa. Sin mbargo, la varianza ntr las ntidads s mantin alta (57.495), mintras la varianza d los ingrsos dl SECPRIM a nivl d los años disminuyó d 0.93 a Tabla 13. Rsultados d las stimacions. Modlo intrcpto alatorio (1) Modlo intrcpto alatorio con l TIEMPO () Modlo intrcpto alatorio con l TIEMPO y la CFE (3) Parámtros fos 0 (Intrcpto) (1.393) 8.88 (1.304) (1.34) (1.81) 1 (TIEMPO ) 0.54 (0.036) (0.053) (0.377) (CFE ) 0.11 (0.056) (0.056) 4 ( PEMEX ) (0.50) Comp. d la varianza Nivl (14.634) (14.633) (13.97) (13.313) Nivl (0.078) (0.104) (0.0799) (0.077) Dsviación Modlo intrcpto alatorio con l TIEMPO, la CFE y PEMEX (4) 81 En l modlo (3), s introdujo adicionalmnt los ingrsos d la CFE y s modló como fa.

16 En los rsultados mostrados n la tabla 13.1, s obsrva qu la variabl CFE s significativa, sto quir dcir, qu ant un cambio unitario n los ingrsos d la CFE d cada ntidad, los ingrsos dl SECPRIM s incrmntan n 0.11 mils d millons d psos, mantnindo la variabl TIEMPO constant, cab dstacar qu al introducir la variabl CFE al modlo, l TIEMPO influy d manra distinta, ahora cada año los ingrsos dl SECPRIM s incrmnta n mils d millons d psos n promdio. Al comparar los modlos () y (3), s aprcia qu la varianza a nivl ntidad disminuyó d a 53.03, y la varianza a nivl año también prsnta una rducción d 0.71 a También hay una disminución n l valor d la dvianc d 678 a , s dcir una rducción d 7.006, qu al compararlo con una distribución con 1 grado d librtad, rsulta significativa. Lo qu indica qu l modlo (3) stá mjor ajustado a los datos. En l modlo (4) s introdujo adicionalmnt los ingrsos d PEMEX y s modla como fa. En los rsultados mostrados n la tabla 13.1, s obsrva qu la variabl PEMEX no s significativa. Al comparar los modlos (3) y (4) hay una disminución n l valor d la dvianc d a s dcir una rducción d 0.71, qu al compararlo con una distribución con 1 grado d librtad, rsulta no significativa. Lo qu indica qu los ingrsos dl sctor ptrolro no ayudan a xplicar l comportaminto d los ingrsos dl SECPRIM, n l priodo bajo studio Conclusions La modlación stadística prmit la construcción mpírica d modlos los modlos ajustados a los datos-, con lo qu s posibl dsarrollar dscripcions y xplicacions, y probar hipótsis rspcto al comportaminto d los fnómnos n muchas áras d la cincia y la técnica. La aplicación corrcta d la modlación implica la postulación ralista d cuacions qu stablcn rlacions causals para dscribir l fnómno bajo studio. Esta circunstancia nfrnta al modlador al rto d considrar variabls qu s midn a difrnts nivls d agrgación d las unidads d studio admás d qu s db considrar la structura d anidamintos y ntrlazamintos d la población d rfrncia o d la mustra d la qu s obtinn los datos. Esta problmática ha trazado una lína d dsarrollo para la modlación qu s xprsa n dos vrtints: (1) modlos cada vz más gnrals y más compljos, y () métodos d stimación y hrramintas d valuación para la slcción d los modlos más parsimoniosos adcuados a cada situación. Podmos concluir qu la modlación linal jrárquica o modlación linal multinivl- s un conjunto d mtodologías qu prmitn mayor ralismo y prtinncia d las invstigacions conómicas y d finanzas públicas. Así mismo, qu s ncsario dsarrollar habilidads spcials asociadas a la tara d postulación d modlos particulars asociados a situacions concrtas. Es ncsario xplotar corrctamnt las hrramintas xploratorias a fin d contar con suficints lmntos sobr la razonabilidad dl modlo y d los supustos subyacnts. En st sntido s stablc la rcomndación d intgrar quipos d trabajo dond s intgr un spcialista n stadística qu manj con solvncia las hrramintas xploratorias y los lmntos computacionals asociados a la stimación, diagnóstico y slcción d modlos n st contxto.

17 Las aplicacions concrtas rquirn no sólo dl conociminto d la toría dl fnómno bajo studio, sino así mismo d los principios y procdimintos d la modlación stadística. Cab dstacar qu, n la xprincia d los autors, la colaboración intr y multidisciplinaria s strictamnt ncsaria para hacr bunas aplicacions d la modlación multinivl n finanzas públicas. 83 Rfrncias Goldstin, H., Multilvl Modls n Educational and Social Rsarch, Griffin, London, Goldstin, H., Multilvl Statistical Modls, Scond Edition, Nw York, Halstd Prss, Gujarati, D., Economtría. Cuarta Edición, México, McGraw-Hill Intramricana, 003. Hox, J.J., Multilvl Analysis, Tchniqus and Applications. Lawrnc Erlbaum Associats, 00. Kyns, J. M., Toría d la Ocupación, l Intrés y l Dinro, México, Fondo d Cultura Económica, Krft, I. and D Luw, J., Introducing Multilvl Modling, Nwbury park Sag Publications, Laird, N. M., & War, J. H., (198), Random ffcts modls for longitudinal data. Biomtrics, 38, pp Littl,R. C., Stroup, W. W. and Frund, R. J., SAS for Linar Modls. Cary, NC: SAS Institut, Inc., 00. Longford, N.T., Random Cofficint Modls, Nw York, Oxford: Univrsity Prss, Longford, N., Random Cofficint Modls. In Armingr, G., Cogg, C. C., Sobl, M. E. (ds.), Handbook of Statistiscal Modling for th Social and Bhavioral Scincs, Nw York, Plnum Prss, Montgomry, D., Pck, E. y Vining, G., Introducción al Análisis d Rgrsión Linal. México, CECSA. Primra rimprsión, 004. Ojda, M.M., Vlasco, F., Cruz, C. y Tapia, P., Mtodología Estadística Aplicada a las Finanzas Públicas. Xalapa, México, 011. Pinhiro, J. C., & Bats, D. M., Mixd-Effcts Modls in S and S-plus. Nw York: Springr-Vrlag, 000. Raudnbush, S.W. and Bryk, A.S., Hirarchical Linar Modls: Applications and Data Analysis Mthods. Scond dition, Nwbury Park, CA: Sag, 00. Rasbash, J., Stl, F., Brown, W.J. y Goldstin, H., A Usr s Guid to Mlwin. Vrsion.10. Cntr for Multilvl Modlling. Univrsity of Bristol, 009.

18 Sarl, S.R., Caslla, G., McCulloch, C.E., Varianc Componnts, Nw York, Wily & Sons, 199. Singr, J. D. (1998), Using SAS PROC MIXED to fit multilvl modls, hirarchical modls, and individual growth modls. Journal of Educational and Bhavioral Statistics. 4(4), pp Sndrs, T.A.B., Powr and Sampl Siz in Multilvl Linar Modls; in B.S. Evritt and D.C. Howll (ds.), Encyclopdia of Statistics in Bhavioral Scinc. Chicstr. Wily (3), , 005. Sndrs, T.A.B. and Boskr, R.J. (1993), Standard rrors and simpl sizs for two-lvl rsarch, Journal of Educational Statistics, 18: Sndrs, T.A.B. and Boskr R. J., Multilvl Analysis. An Introduction to basic and Advancd Multilvl Modling, Nwbury Park/London/Nw Dlhi: Sag Publications, Wooldridg, J.M., Introducción a la Economtría: Un Enfoqu Modrno, Cuarta Edición, Cgag, Larning Editors,