QUADERN DE TREBALL. Economia domèstica. Graduat en Educació Secundària. Mòdul comú. Àmbit de les Matemàtiques, de la Ciència i de la Tecnologia

Transcripción

1 Graduat en Educació Secundària Mòdul comú 2 Economia domèstica Àmbit de les Matemàtiques, de la Ciència i de la Tecnologia Generalitat de Catalunya Departament d Educació QUADERN DE TREBALL

2 SUMARI ORGANITZACIÓ DELS MÒDULS I LES UNITATS 7 INTRODUCCIÓ 9 PUNT DE PARTIDA 11 UNITAT 1 DIVISIBILITAT QUÈ TREBALLARÀS? 15 CONTINGUTS 17 ACTIVITATS D APRENENTATGE 27 ACTIVITATS D AVALUACIÓ 33 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 35 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D AVALUACIÓ 43 QUÈ HAS TREBALLAT? 47 COM HO PORTO? 49 UNITAT 2 ELS RACIONALS QUÈ TREBALLARÀS? 53 CONTINGUTS 55 ACTIVITATS D APRENENTATGE 65 ACTIVITATS D AVALUACIÓ 69 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 71 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D AVALUACIÓ 75 QUÈ HAS TREBALLAT? 79 COM HO PORTO? 81 UNITAT 3 PROPORCIONALITAT QUÈ TREBALLARÀS? 85 CONTINGUTS 87 ACTIVITATS D APRENENTATGE 97 ACTIVITATS D AVALUACIÓ 101 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 103 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D AVALUACIÓ 107 QUÈ HAS TREBALLAT? COM HO PORTO? 113

3 UNITAT 4 EL MERCAT QUÈ TREBALLARÀS? 117 CONTINGUTS 119 ACTIVITATS D APRENENTATGE 127 ACTIVITATS D AVALUACIÓ 131 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 133 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D AVALUACIÓ 137 QUÈ HAS TREBALLAT? 139 COM HO PORTO? 141 PUNT D ARRIBADA 143 ACTIVITATS D AVALUACIÓ DEL MÒDUL 143 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D AVALUACIÓ DEL MÒDUL 147

4 ORGANITZACIÓ DELS MÒDULS I LES UNITATS 7 A l inici del mòdul hi trobaràs sempre dos apartats: Introducció del mòdul: És la presentació del mòdul. Ens situa en quin nivell es troba, si és comú o opcional i en quines unitats es divideix. Punt de partida: Fa reflexionar sobre els aspectes que es treballen en el mòdul. T ajudarà a situarte i a fer una avaluació inicial del que saps sobre el tema que es tractarà abans de començar les unitats. Cada unitat didàctica està estructurada en: Què treballaràs?: Presenta els objectius que es treballaran en la unitat i que al final hauràs d haver assolit. Bloc de continguts Bloc d activitats ACTIVITATS D APRENENTATGE: Inclou activitats per practicar i consolidar els conceptes que s expliquen en el bloc de continguts. ACTIVITATS D AVALUACIÓ: Contenen tots els aspectes que s han treballat en la unitat i permeten consolidar l assoliment dels objectius plantejats al principi de la unitat. Bloc de solucions SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE: Inclou les respostes de les activitats d aprenentatge. SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D AVALUACIÓ: Són les respostes de les activitats d avaluació. Què has treballat?: És una proposta d esquema o d un mapa conceptual que et relaciona o et resumeix els continguts treballats en la unitat. És una eina per facilitar-te la comprensió i estudi dels continguts de la unitat. Com ho porto?: Presenta un quadre d autoavaluació que facilita comprovar si s han assolit els objectius proposats a l inici de la unitat. Al final del mòdul hi trobaràs un últim apartat: Punt d arribada: Facilita l autoavaluació de tots els continguts treballats en el mòdul i l assoliment dels objectius. Conté: ACTIVITATS D AVALUACIÓ DEL MÒDUL: Inclou les activitats que permeten autoavaluar els continguts del mòdul. SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D AVALUACIÓ DEL MÒDUL: Són les respostes a les activitats d avaluació del mòdul. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA ORGANITZACIÓ DELS MÒDULS I LES UNITATS

5 INTRODUCCIÓ 9 El mòdul Economia domèstica es distribueix en quatre unitats didàctiques que són: Divisibilitat, Els racionals, Proporcionalitat i El mercat. Economia domèstica és un mòdul de continguts bàsicament procedimentals. Aquests continguts es presenten en diferents contextos de la vida quotidiana. Sovint, a la nostra vida, fem anar càlculs i estratègies matemàtiques d una manera tan natural com automàtica. Aquest mòdul ajuda a entendre el fonament i mecanisme d aquests càlculs i estratègies. En les activitats proposades en les diferents unitats es recomana no utilitzar la calculadora per tal d afavorir el càlcul mental o per tempteig. Tanmateix, hi ha activitats en què s indica la necessitat del seu ús. Situació del mòdul, «Economia domèstica», dins dels nivells de l àmbit de les matemàtiques, la ciència i la tecnologia. MÒDULS COMUNS 1. La temperatura Nivell 1 2. Economia domèstica 3. La salut 4. Recursos naturals 5. Transformacions d expressions algebraiques Nivell 2 6. El món invisible 7. Tecnologia i habitatge Nivell 3 8. Trigonometria 9. Genètica 10. Un món feliç? Els continguts del mòdul estan estructurats en quatre unitats. Unitat 1 Es treballa amb els múltiples i els divisors dels nombres i les seves propietats. Es presenten els nombres primers i les seves aplicacions com el càlcul dels divisors d un nombre, descomposició factorial i càlcul del màxim comú divisor i del mínim comú múltiple de nombres. Unitat 2 Es treballen les fraccions i els nombres decimals. Unitat 3 Es treballen les raons, les proporcions i les seves aplicacions, com l escala, la regla de tres i els percentatges. Unitat 4 Es treballen problemes i situacions de caràcter domèstic i econòmic que requereixen conceptes com la regla de tres i el tant per cent per a la seva resolució. També es dedica un petit apartat als drets dels consumidors. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA INTRODUCCIÓ

6 Posa la data d avui en la primera columna. Per respondre les preguntes posa un número de l 1 al 3 en funció del que sàpigues. 1. No en sé res. 2. En sé alguna cosa. 3. Ho sé bé. Quan acabis d estudiar el mòdul emplena la segona columna. Així podràs veure el que has après. Saps trobar un conjunt de números que multiplicats entre si donin l any del teu naixement? Saps quina diferència hi ha entre dos quarts d hora i mitja hora? Saps calcular quantes hores dura una cinta de vídeo de 210 minuts? Saps calcular les mides reals d un objecte a partir de la seva maqueta? Saps calcular el percentatge d homes que viuen en una ciutat si dels habitants que hi viuen són dones? Saps distingir en una nòmina quina part dels diners es destinen a pagar impostos??punt DE PARTIDA Data: Data: 11 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA PUNT DE PARTIDA

7 Unitat 1 13 DIVISIBILITAT Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 DIVISIBILITAT

8 14 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de: Identificar i determinar els múltiples i divisors d un nombre. Reconèixer les propietats dels múltiples i divisors. Reconèixer i utilitzar els criteris de divisibilitat dels nombres 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 i 11. Reconèixer els nombres primers. Calcular tots els divisors d un nombre. Calcular el mcd i el mcm d un nombre. Utilitzar els conceptes de mcd i mcm per resoldre problemes de la vida quotidiana.

9 1. Múltiples i divisors El disseny de les cares de la moneda de l euro depèn de cada país de la Unió Europea, però el que no varia és el valor d aquestes monedes. Que hi hagi monedes d 1 cèntim d, 2 cèntims d o 5 cèntims d, o bé monedes d 1, 2, o bitllets de 5, no és per què sí. De fet hi ha una explicació matemàtica. Es treballa amb l 1, el 2 i el 5 perquè així s aconsegueix sumar qualsevol quantitat de diners amb el mínim de monedes. Imagina que has de repartir 16 entre 5 persones. Si es fa la divisió que resol el problema es té que: Com que l euro també disposa de monedes de cèntim, a cada persona li correspondran 3,2 o, el que és el mateix, 3 i 20 cèntims. Però, què passaria si l euro no disposés de cèntims? En aquest cas, en la divisió anterior, no podríem utilitzar la coma ni tampoc els decimals. A cada persona li correspondrien 3 i sobraria 1 en el repartiment. Quan es dóna aquesta situació es diu que la divisió no és exacta. Perquè la divisió fos exacta la quantitat de diners a repartir entre les cinc persones hauria de ser o bé 5, o bé 10, o bé 15, o bé Que una divisió no sigui exacta és un problema que acostuma a passar amb els nombres naturals N = { 1, 2, 3, 4, 5,..., 10,..., 100,..., 1.000,... }. Només quan la divisió és exacta, el resultat de dividir dos nombres naturals és un altre nombre natural. Una divisió és exacta quan el seu residu val zero. Recorda que els elements de l operació divisió són: dividend, divisor, quocient i residu. Observa que dels exemples anteriors de divisions exactes tenim que: 5 = 5 x 1 10 = 5 x 2 15 = 5 x 3 20 = 5 x Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 DIVISIBILITAT

10 16 Fixa t que es compleix el següent: dividend = divisor x quocient. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 DIVISIBILITAT Quan es dóna aquesta situació es diu que: a és un múltiple de b a és divisible per b b és divisor de a Observa que els conceptes de múltiple i divisor són inversos l un de l altre. Imagina que tens dues guardioles. En una guardes només monedes de 2 i en l altra bitllets de 5. Trenquem la primera guardiola, la que guarda només monedes de 2. Comencem a comptar els diners que hi tenim: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,..., 58, 60. Totes les quantitats que anem comptant són múltiples de 2. Ara trenquem la segona guardiola i anem fent recompte dels diners que hi tenim: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,..., 55, 60. En aquest cas totes les quantitats que anem comptant són múltiples de 5. Observa que: Múltiples de 2: Múltiples de 5: 2 x 1 = 2 5 x 1 = 5 2 x 2 = 4 5 x 2 = 10 2 x 3 = 6 5 x 3 = x 10 = 20 5 x 10 = x 29 = 58 5 x 11 = 55 2 x 30 = 60 5 x 12 = 60 Els múltiples d un nombre s obtenen multiplicant aquest nombre per qualsevol nombre natural. També es considera múltiple d un nombre natural el zero. En conseqüència, el conjunt dels múltiples d un nombre és il limitat: Conjunt dels múltiples de 2 = {0, 2, 4, 6,..., 20,..., 200,..., 2.000,... } Conjunt dels múltiples de 5 = {0, 5, 10, 15,..., 50,..., 500,..., 5.000,... } Activitats d aprenentatge 1, 2, 3, 4 i 5

11 2. Propietats dels múltiples i dels divisors d un nombre Fixa t en el recompte de diners de les guardioles. Tant en una guardiola com en l altra hem començat el recompte pel valor de la moneda que hem guardat: 2 i 5. És, doncs, natural que 2 i 5 siguin múltiples d ells mateixos, és a dir, de 2 i de 5 respectivament. De la mateixa manera, en cas d existir monedes de 3, el recompte de la guardiola, sempre que no estigui buida, començaria per 3 i per tant el nombre 3 seria múltiple d ell mateix. Dit d una altra manera, qualsevol nombre natural és múltiple d ell mateix. Com que els conceptes de múltiple i divisor són inversos l un de l altre, és lògic pensar que: Si 2 és múltiple de 2, 3 és múltiple de 3, 5 és múltiple de 5, etc., aleshores 2 és divisor de 2, 3 és divisor de 3, 5 és divisor de 5, etc. En efecte, totes les divisions són exactes i en totes el quocient val 1. Imagina ara que tens una tercera guardiola on tens guardades monedes d 1. Fem el recompte de diners que hi tens: 1, 2, 3, 4, 5,... Totes les quantitats que anem comptant seran múltiples d 1. A més, si es pogués tenir infinites monedes a la guardiola, aniríem enumerant un a un tots els nombres naturals. Per tant, qualsevol nombre natural és múltiple d 1. I a la inversa, la unitat,1, és divisor de qualsevol nombre. 2, 4, 6, 8, 10,..., 56, 58, 60 són quantitats de diners que podem reunir amb monedes de 2. Per exemple: Per reunir 8 calen 4 monedes de 2 8 = 2 x 4 Per reunir 10 calen 5 monedes de 2 10 = 2 x Per reunir 58 calen 29 monedes de 2 58 = 2 x 29 Per reunir 60 calen 30 monedes de 2 60 = 2 x 30 Comprova que si sumes algunes d aquestes quantitats, el resultat és una quantitat de diners que també es pot reunir utilitzant només monedes de 2. Per exemple: = 70 Per reunir 70 ens caldran 35 monedes de 2 70 = 2 x Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 DIVISIBILITAT

12 18 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 DIVISIBILITAT El mateix passa amb els bitllets de 5. Per exemple: Per reunir 5 ens cal un bitllet de 5 5 = 5 x 1 Per reunir 10 ens calen 2 bitllets de 5 10 = 5 x Per reunir 30 ens calen 6 bitllets de 5 30 = 5 x Per reunir 55 ens calen 11 bitllets de 5 55 = 5 x 11 Per reunir 60 ens calen 12 bitllets de 5 60 = 5 x 12 Comprova que si sumes algunes d aquestes quantitats, el resultat torna a ser una quantitat de diners que es pot reunir amb només bitllets de 5. Per exemple: = 90 Per reunir 90 ens caldran 18 bitllets de 5 90 = 5 x 18 Observa que la suma de nombres múltiples de 2 torna a ser un nombre múltiple de 2 i que la suma de nombres múltiples de 5 torna a ser un nombre múltiple de 5. Fixa t que aquesta propietat sobre els múltiples d un nombre serà vàlida per a qualsevol altre nombre. Aquesta propietat es pot reescriure per a la resta de múltiples d un nombre. Pots comprovar com la suma de múltiples de 3 també és múltiple de 3 i que la resta de múltiples de 3 també és múltiple de 3. Hem vist que la suma de múltiples de 2 és un múltiple de 2, i que la suma de múltiples de 5 és un múltiple de 5. És 2 un divisor d aquesta suma? I 5? Quina propietat pots escriure sobre els divisors d un nombre? 3. Nombres compostos Tant en la guardiola de monedes de 2 com en la guardiola de bitllets de 5 hi ha reunits un total de 60. En una guardiola hi tenim 30 monedes de 2 i en l altra 12 bitllets de 5 : 60 = 2 x 30 i 60 = 5 x 12. Fixa t que 60 també els podem reunir amb 60 monedes d 1 : 60 = 1 x 60. O bé amb 6 bitllets de 10 : 60 = 6 x 10. O bé amb 3 bitllets de 20 : 60 = 3 x 20.

13 El nombre 60 es diu que és un nombre compost perquè es pot descompondre de més d una manera com a producte de dos factors = 1 x 60 2 x 30 3 x 20 4 x 15 5 x 12 6 x 10 Aquestes són totes les descomposicions possibles del nombre 60 com a producte de dos factors. Aquestes descomposicions permeten trobar tots els divi- sors d un nombre: cada factor és un divisor: Divisors de 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} 4. Nombres primers En canvi, hi ha nombres que només admeten una sola descomposició com a producte de dos factors. Aquests nombres s anomenen nombres primers. Per exemple: El nombre 2 només es pot descompondre com 2 = 1 x 2. El nombre 5 només es pot descompondre com 5 = 1 x 5. El nombre 17 només es pot descompondre com 17 = 1 x 17. ACTIVITAT Sabries dir si 3 és un nombre primer o no? I 13? Per què? Observa que en els exemples anteriors els únics divisors dels nombres primers són el propi nombre i la unitat. Divisors de 2 = {1, 2 } Divisors de 5 = {1, 5} Divisors de 17 = {1, 17} Deixant de banda l 1, un nombre és primer si només és divisible per ell mateix i per la unitat. L 1 es pot considerar nombre primer o no. Això dependrà de l autor, de les definicions... o fins i tot de la cultura, com és el cas, per exemple, dels antics grecs, els quals començaven els nombres pel dos, ja que per a ells l u representava únicament la unitat. De nombres primers n hi ha infinits. El garbell d Eratòstenes permet d una manera senzilla, encara que una mica lenta, aconseguir tots els nombres primers més petits que 100. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 DIVISIBILITAT

14 20 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 DIVISIBILITAT El garbell d Eratòstenes: Elimina el nombre 1, que no el considerarem primer en aquest mòdul. 2 és un nombre primer. Elimina tots els seus múltiples que, òbviament, no seran nombres primers ja que com a mínim seran divisibles per 2. 3 és el nombre primer que segueix. Com abans, elimina els seus múltiples. Fes el mateix amb els nombres primers que segueixen, és a dir, el 5 i el 7. Un cop hem acabat aquest procés, els nombres que no han estat eliminats són justament els nombres primers més petits que 100. Si anéssim més enllà del 100, continuaríem el procés amb els nombres 11, 13, 17, etc. Activitats d aprenentatge 6, 7, 8, 9 i Descomposició d un nombre en factors primers Per a molts matemàtics els nombres primers estan considerats els àtoms de la matemàtica. Això es deu al fet que qualsevol nombre enter es pot construir a partir dels nombres primers. Recorda que has pogut reunir 60 tant en monedes de 2 com en bitllets de 5. 2 i 5 són divisors de 60 i al mateix temps 2 i 5 són nombres primers. Fixa t que es pot construir el nombre 60 de la següent manera: 60 = 2 x 5 x 6 primer primer compost Al mateix temps, el nombre 6 es pot construir de la manera següent: 6 = 2 x 3 primer primer

15 Per tant: 60 = 2 x 5 x 2 x 3 21 O el que és el mateix: 60 = 2 x 2 x 3 x 5 Descompondre un nombre en factors primers significa expressar aquest nombre en forma de producte de potències de nombres primers. 60 = 2 2 x 3 x 5 Un mètode que permet descompondre un nombre en factors primers consisteix a dividir aquest nombre pel primer més petit pel qual és divisible. Es fa el mateix amb el resultat obtingut, i així successivament fins que obtenim un 1 en el quocient. La descomposició l escrivim en forma de producte de potències. Exemple: Descomposició en factors primers del nombre és el primer més petit que divideix el és el primer més petit que divideix el és el primer més petit que divideix el = 2 x 3 x 3 = 2 x 3 2 La descomposició d un nombre en factors primers permet trobar tots els divisors d aquest nombre. 18 és divisible per 18 és divisible per Per calcular tots els divisors del nombre 18 anem fent productes dels divisors anteriors: x 1 = 1 1 x x 2 = 1 = x x x 2 = 1 = 2 = Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 DIVISIBILITAT

16 22 Per tant, tots els divisors del nombre 18 són: Divisors de 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 DIVISIBILITAT Segur que ja t has adonat que a diferència del que passa amb el conjunt dels múltiples d un nombre, el conjunt dels seus divisors no és un conjunt il limitat. És més, pots trobar tots els divisors d un nombre, per exemple, a partir de la seva descomposició factorial en nombres primers. Activitats d aprenentatge 11, 12 i Criteris de divisibilitat Hi ha regles que ajuden a saber si un nombre és divisible per un altre. Això et pot anar molt bé quan hagis de descompondre un nombre en factors primers o quan hagis de trobar-li divisors a un nombre. Aquestes regles s anomenen criteris de divisibilitat. Aquí en tenim algunes: Divisibilitat per 2: Un nombre és divisible per dos si acaba en zero o en xifra parella. Divisibilitat per 3: Un nombre és divisible per tres si la suma de les seves xifres és múltiple de tres. Divisibilitat per 4: Un nombre és múltiple de quatre quan les seves dues últimes xifres o bé són dos zeros o bé formen un número múltiple de quatre. Divisibilitat per 5: Un nombre és múltiple de cinc quan acaba en zero o en cinc. Divisibilitat per 6: Un nombre és divisible per sis quan ho és per tres i per dos. Divisibilitat per 9: Un nombre és divisible per nou quan la suma de les seves xifres és múltiple de nou. Divisibilitat per 10: Un nombre és divisible per deu si acaba en zero. Anàlogament, si acaba en 00 serà divisible per 100, si acaba en 000 serà divisible per mil, etc. Divisibilitat per 11: Un nombre és divisible per onze quan la diferència entre la suma de les xifres que ocupen una posició parella i la suma de les xifres que ocupen una posició senar és múltiple d onze. Activitats d aprenentatge 14 i 15

17 7. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple Torna a mirar-te les dues guardioles del començament: la que conté monedes de 2 i la que conté bitllets de 5. Torna a fixar-te en el recompte de diners de cadascuna: Guardiola 2 1r 2n 3r 5è 10è 15è 20è 25è 30è Guardiola 5 1r 2n 3r 4t 5è 6è 8è 10è 12è En totes dues guardioles hi ha quantitats que es repeteixen: 10, 20, 30, 40, 50 i 60. Per tant, aquestes quantitats es poden reunir tant en monedes de 2 com en bitllets de 5. Dit d una altra manera, els nombres 10, 20, 30, 40, 50 i 60 són múltiples tant de 2 com de 5. Observa que d entre aquests múltiples comuns el més petit és el nombre 10. Es diu que 10 és el mínim comú múltiple dels nombres 2 i 5. mcm (2, 5) = 10. El mínim comú múltiple de dos o més nombres és el múltiple comú més petit de tots ells. Per calcular-lo es pot utilitzar la següent regla pràctica: a) descomponem els nombres en factors primers; b) agafem els factors comuns i no comuns dotats de l exponent més gran i fem el seu producte. Anàlogament es pot definir el màxim comú divisor de dos o més nombres. Imagina que has de reunir 20 per una banda i 40 per l altra. Tant en un cas com en l altre ho podries fer utilitzant només monedes d 1, o bé monedes de 2, o bé bitllets de 5, o bé de 10, o bé de 20. Ara bé, si es vol reunir totes dues quantitats amb la mateixa moneda i utilitzant el mínim de bitllets, és clar que s haurà de fer amb bitllets de 20 ja que només caldrà un bitllet per reunir la primera quantitat i 2 bitllets per reunir la segona. De fet, 20 és el màxim comú divisor dels nombres 20 i 40. mcd (20, 40) = 20. El màxim comú divisor de dos o més nombres és el més gran dels divisors comuns de tots ells. Per calcular-lo es pot utilitzar la següent regla pràctica: a) descomponem els nombres en factors primers; b) agafem els factors comuns dotats de l exponent més petit i calculem el seu producte. Activitats d aprenentatge 16, 17, 18, 19, 20, 21 i Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 DIVISIBILITAT

18 24 ACTIVITATS D APRENENTATGE Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 1 Completa els productes següents. a) 0 = 5 x... e) 10 = 5 x... b)... = 5 x 3 f) 25 =... x 5 c) 5 =... x 1 g) 55 = 5 x... d) 30 = 5 x... h) 40 =... x... Activitat 2 Escriu cinc múltiples de 7. Com ho fas per trobar-los? Activitat 3 Si un nombre és múltiple de 6, també ho és de 3? Per què? Activitat 4 Troba tots els divisors de 28 més petits que ell. Fes-ne la suma =... Què observes? Els nombres naturals que tenen aquesta propietat es diuen nombres perfectes. Fes el mateix amb el nombre 6.

19 Activitat 5 Digues com podríem saber, amb l ajut de la calculadora, si un nombre és múltiple d un altre. Determina si 440 i 896 són múltiples de 8. Activitat 6 Podem dir que 1 és múltiple de qualsevol nombre? Per què? I divisor? Per què? Activitat 7 Sense fer les operacions, digues si 3 és divisor de: a) b) c) d) Activitat 8 Escriu els divisors de 4, 6, 9 i 12. Ara fes el mateix amb els nombres 2, 3, 5, 7. Quina diferència observes amb els divisors del primer grup de nombres i els del segon grup de nombres? Quin nom reben els nombres del segon grup? 25 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 ACTIVITATS D APRENENTATGE

20 26 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 9 Construeix un garbell d Eratòstenes que contingui els nombres primers més petits que 100. Activitat 10 Hi ha algun nombre parell que sigui primer? Per què? Activitat 11 Descompon en factors primers els nombres 48 i 225. Activitat 12 Completa les següents descomposicions factorials en nombres primers i reescriu-les en forma de potències. Exemple: 24 = 2 x... x... x = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 3 x 3 45 = 3 x 5 x... =... x = 2 x 39 x... =... x = 5 x 5 x... = = 2 x... x... x... x 3 =... x...

21 Activitat 13 Troba tots els divisors del nombre Activitat 14 Aplica el criteri de divisibilitat per 3 per saber quins dels nombres següents són múltiples de Activitat 15 Digues quin valor ha de tenir «b» perquè els nombres que obtinguem siguin divisibles per b2 b3 1819b Activitat 16 Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres. a) 28 i 77 b) 54 i 105 Activitat 17 Escriu una parella de nombres que tingui com a mcd el 2. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 ACTIVITATS D APRENENTATGE

22 28 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 18 Escriu una parella de nombres primers i calcula n el mcd i el mcm. Què observes? Creus que passarà el mateix amb qualsevol parella de nombres primers? Activitat 19 Calcula: a) mcd (3, 17) b) mcd (13, 21) c) mcd (15, 14) Quan el màxim comú divisor de dos nombres és la unitat es diu que aquests nombres són primers entre ells. Activitat 20 Escriu el nombre més petit que en dividir-lo per 3, 15 i 18 dóna sempre 2 de residu. Activitat 21 Baixem al poble a visitar la família cada 2 setmanes i el nostre germà gran ho fa cada 3. Cada quants dies coincidirem? Activitat 22 En el comerç on treballem volem oferir cistelles de Nadal als nostres clients. Per muntar-les disposem de 92 ampolles de cava, 230 capses de neules i 138 pots d anxoves de l Escala. Quantes cistelles iguals podrem muntar sense que sobri cap producte? Quants productes de cada hi haurà en una cistella?

23 ACTIVITATS D AVALUACIÓ 29 Activitat 1 Troba un múltiple i un divisor de cadascun d aquests nombres. a) 3 b) 11 c) 20 d) 36 e) 52 Activitat 2 Escriu els set primers múltiples de 17. Quin serà el múltiple que fa 10? I el que fa 100? Activitat 3 Dels nombres següents, digues quins són divisors de vint-i-vuit. 4, 6, 8, 12, 14, 28 Activitat 4 Sense fer les operacions, digues si 5 és divisor de: Activitat 5 Dels nombres següents, digues quins són primers i per què. 13, 27, 56, 49, 17, 21, 97, 101, 3, 19, 23 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 ACTIVITATS D AVALUACIÓ

24 30 Activitat 6 Descompon en factors primers els nombres 6, 8 i 60. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 7 Troba tots els divisors del nombre 12. Activitat 8 Calcula quin ha de ser el valor de «x» en cada cas. a) x2 és divisible per 2 i per 3 b) 52x és divisible per 4 i per 5 c) x130 és divisible per 2, per 3 i per 5 Activitat 9 Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres. a) 16 i 32 b) 180 i 45 Activitat 10 El dia del nostre aniversari volem repartir uns anissos als companys de la feina. El cas és que no tenim gaire clar de quants anissos disposem, però sí que sabem que els podem repartir o bé en saquets de 12 anissos, o bé en saquets de 15 anissos o bé en saquets de 14 anissos. En qualsevol cas no tenim més de 500 anissos. Quants anissos tindrem per repartir?

25 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 31 Activitat 1 Completa els productes següents. a) 0 = 5 x... e) 10 = 5 x... b)... = 5 x 3 f) 25 =... x 5 c) 5 =... x 1 g) 55 = 5 x... d) 30 = 5 x... h) 40 =... x... a) 0 = 5 x 0 e) 10 = 5 x 2 b) 15 = 5 x 3 f) 25 = 5 x 5 c) 5 = 5 x 1 g) 55 = 5 x 11 d) 30 = 5 x 6 h) 40 = 5 x 8. Tanmateix, hi ha més solucions. Activitat 2 Escriu cinc múltiples de 7. Com ho fas per trobar-los? 7, 14, 21, 28, 35. Hem calculat els cinc primers múltiples de 7. Per calcular-los es multiplica el nombre 7 pels cinc primers nombres naturals. 7 x 1 = 7 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 5 = 35 Nota: En cas d haver començat multiplicant per zero els múltiples serien: 0, 7, 14, 21, 28. Activitat 3 Si un nombre és múltiple de 6, també ho és de 3? Per què? La resposta és que sí, perquè de fet 6 és un múltiple de 3, 6 = 3 x 2. Si calculem qualsevol múltiple de 6: 6 x 1 = 6 6 x 2 = 12 6 x 3 = 18 6 x 4 = obtenim el següent: 3 x 2 x 1 = 6 3 x 2 x 2 = 12 3 x 2 x 3 = 18 3 x 2 x 4 = x 2 = 6 3 x 4 = 12 3 x 6 = 18 3 x 8 = En efecte 6, 12, 18, 24..., també són múltiples de 3. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE

26 32 Activitat 4 Troba tots els divisors de 28 més petits que ell. Fes-ne la suma. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE =... Què observes? Els nombres naturals que tenen aquesta propietat es diuen nombres perfectes. Fes el mateix amb el nombre 6. Els divisors de 28 més petits que ell mateix són: 1, 2, 4, 7 i = S observa que la suma dels divisors de 28 més petits que ell mateix dóna el propi nombre. 28 és, doncs, un nombre perfecte. Els divisors de 6 més petits que ell mateix són: 1, 2 i = 6. El nombre 6 és també un nombre perfecte. Activitat 5 Digues com podríem saber, amb l ajut de la calculadora, si un nombre és múltiple d un altre. Determina si 440 i 896 són múltiples de 8. Per saber si un nombre és múltiple d un altre amb l ajut de la calculadora, només cal dividir el nombre més gran pel més petit i comprovar que la divisió sigui exacta, és a dir, en el resultat que ens doni la calculadora no ha de sortir cap xifra decimal. Per saber si 440 i 896 són múltiples de 8 amb l ajut de la calculadora farem els càlculs 440 : 8 i 896 : 8. El primer resultat és exacte: 55. El segon també: 112. Per tant, tots dos nombres, 440 i 896, són múltiples de 8. Activitat 6 Podem dir que 1 és múltiple de qualsevol nombre? Per què? I divisor? Per què? 1 no pot ser múltiple de qualsevol nombre perquè donat un nombre qualsevol, la manera d obtenir-ne un múltiple és multiplicant aquest nombre per qualsevol natural. Aquest producte mai ens donarà 1 llevat que multipliquem el nombre 1 per ell mateix. Per tant, com a molt podrem dir que 1 és múltiple d 1. En canvi, 1 sí que és divisor de qualsevol nombre ja que si dividim qualsevol nombre per 1, la divisió sempre serà exacta.

27 Activitat 7 Sense fer les operacions, digues si 3 és divisor de: a) b) c) d) Per resoldre l activitat utilitzarem les propietats dels múltiples i dels divisors. 21 és divisible per 3 (21 : 3 = 7). 54 és divisible per 3 (54 : 3 = 18). Aleshores la suma, , és divisible per és divisible per 3 (33 : 3 = 11). 12 és divisible per 3 (12 : 3 = 4 ). Aleshores la resta, 33 12, és divisible per 3. 9 és divisible per 3 (9 : 3 = 3 ). 6 és divisible per 3 (6 : 3 = 2). Aleshores la suma, 9 + 6, és divisible per és divisible per 3 (105 : 3 = 35). 72 és divisible per 3 (72 : 3 = 24). Aleshores la resta, és divisible per 3. Activitat 8 Escriu els divisors de 4, 6, 9 i 12. Ara fes el mateix amb els nombres 2, 3, 5, 7. Quina diferència observes amb els divisors del primer grup de nombres i els del segon grup de nombres? Quin nom reben els nombres del segon grup? Divisors de 4 = {1, 2, 4} Divisors de 6 = {1, 2, 3, 6} Divisors de 9 = {1, 3, 9} Divisors de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Divisors de 2 = {1, 2} Divisors de 3 = {1, 3} Divisors de 5 = {1, 5} Divisors de 7 = {1, 7} Els nombres del segon grup, a diferència dels del primer grup, només tenen dos divisors que són els trivials: la unitat i ells mateixos. Els nombres del segon grup s anomenen primers. Activitat 9 Construeix un garbell d Eratòstenes que contingui els nombres primers més petits que 100. Fet a la unitat didàctica. Activitat 10 Hi ha algun nombre parell que sigui primer? Per què? Sí, només n hi ha un i és el nombre 2. Tots els altres parells, en ser múltiples de 2, tindran com a divisor el nombre 2, a més d ells mateixos i de la unitat. Això ja fa un mínim de tres divisors. 33 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE

28 34 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 11 Descompon en factors primers els nombres 48 i = 2 4 x = 3 2 x 5 2 Activitat 12 Completa les següents descomposicions factorials en nombres primers i reescriu-les en forma de potències. Exemple: 24 = 2 x... x... x = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 3 x 3 45 = 3 x 5 x... =... x = 2 x 39 x... =... x = 5 x 5 x... = = 2 x... x... x... x 3 =... x = 3 x 5 x 3 = 3 2 x = 2 x 39 x 2 = 2 2 x = 5 x 5 x 5 = = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2 4 x 3 Activitat 13 Troba tots els divisors del nombre 56. Descomponem 56 factorialment = 2 3 x 7 56 és divisible per 56 és divisible per

29 Escrivim tots els productes: x 1 = 1 1 x 7 = 7 x 1 = 2 2 x 7 = 14 x 1 = 4 x 7 = x 1 = 8 x 7 = Divisors de 56 = { 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} Activitat 14 Aplica el criteri de divisibilitat per 3 per saber quins dels nombres següents són múltiples de = és múltiple de 3. Aleshores 576 és divisible per = és múltiple de 3. Aleshores 831 és divisible per = no és múltiple de 3. Aleshores 119 no és divisible per = 4. 4 no és múltiple de 3. Aleshores 13 no és divisible per = 9. 9 és múltiple de 3. Aleshores 216 és divisible per 3. Activitat 15 Digues quin valor ha de tenir «b» perquè els nombres que obtinguem siguin divisibles per b2 b3 1819b 21b2. b = 1 ja que (1+2) (2+1) = 3 3 = 0 que és múltiple d 11. Resultat: 2112 b3. b = 3 ja que 3 3 = 0 que és múltiple d 11. Resultat: b. b = 4 ja que (8+9) (1+1+4) = 17 6 = 11 que és múltiple d 11. Resultat: Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE

30 36 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 16 Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres. a) 28 i 77 b) 54 i = 2 2 x 7 77 = 7 x 11 mcd (28,77) = 7 mcm (28,77) = 2 2 x 7 x 11 = 308 b) = 2 x = 3 x 5 x 7 mcd (54,105) = 3 mcm (54, 105) = 2 x 3 3 x 5 x 7 = 1890 Activitat 17 Escriu una parella de nombres que tingui com a mcd el 2. Exemples de parelles: 4 i 6 14 i i i 12 etc. Activitat 18 Escriu una parella de nombres primers i calcula n el mcd i el mcm. Què observes? Creus que passarà el mateix amb qualsevol parella de nombres primers? Per exemple: 7 és primer i 13 també és primer. mcd (7,13) = 1 mcm (7,13) = 7 x 13 = 91 Observació: el mcd és 1 i el mcm és el producte de tos dos nombres. Això passarà sempre amb qualsevol parella de nombres primers pel fet de no tenir divisors comuns.

31 Activitat 19 Calcula: a) mcd (3, 17) b) mcd (13, 21) c) mcd (15, 14) Quan el màxim comú divisor de dos nombres és la unitat es diu que aquests nombres són primers entre ells. a) mcd (3, 17) = 1. 3 i 17 són nombres primers entre ells. b) mcd (13, 21) = i 21 són nombres primers entre ells. c) mcd (15, 14) = i 14 són nombres primers entre ells. Activitat 20 Escriu el nombre més petit que en dividir-lo per 3, 15 i 18 dóna sempre 2 de residu. Es calcula el mcm de 3, 15 i 18. A aquest resultat se li suma 2. D aquesta manera s aconsegueix que la divisió entre 3, 15 i 18 no sigui exacta i que a més doni 2 de residu. mcm (3, 15, 18) = 3 2 x 5 x 2 = = 92 Activitat 21 Baixem al poble a visitar la família cada 2 setmanes i el nostre germà gran ho fa cada 3. Cada quants dies coincidirem? És clar que anirem coincidint cada múltiple de 2 i de 3 setmanes a la vegada. Només cal calcular el múltiple comú més petit de 2 i de 3. mcm (2,3) = 6 Coincidirem amb el nostre germà cada 6 setmanes o, el que és el mateix, cada 42 dies. 37 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE

32 38 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 22 En el comerç on treballem volem oferir cistelles de Nadal als nostres clients. Per muntar-les disposem de 92 ampolles de cava, 230 capses de neules i 138 pots d anxoves de l Escala. Quantes cistelles iguals podrem muntar sense que sobri cap producte? Quants productes de cada hi haurà en una cistella? Tots aquests productes s han de repartir entre un nombre determinat de cistelles. Per tant, el nombre de cistelles haurà de ser un divisor comú a 92, 230 i 138. Calculem, doncs, el mcd. mcd (92, 230, 138) =? = 2 2 x = 2 x 5 x = 2 x 3 x 23 mcd (92, 230, 138) = 2 x 23 = 46 Podrem muntar sense que sobri cap producte 46 cistelles i en cada cistella hi haurà: 2 ampolles de cava ( 92 : 46 = 2 ) 5 capses de neules ( 230 : 46 = 5 ) 3 pots d anxoves de l Escala ( 138 : 46 = 3 ).

33 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D AVALUACIÓ 39 Activitat 1 Troba un múltiple i un divisor de cadascun d aquests nombres. a) 3 b) 11 c) 20 d) 36 e) 52 Nombre Múltiple Divisor Activitat 2 Escriu els set primers múltiples de 17. Quin serà el múltiple que fa 10? I el que fa 100? 17 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = 119 El múltiple de 17 que fa 10 serà: 17 x 10 = 170. El múltiple de 17 que fa 100 serà: 17 x 100 = Activitat 3 Dels nombres següents, digues quins són divisors de vint-i-vuit. 4, 6, 8, 12, 14, 28 Els nombres divisors de 28 són 4, 14 i 28. Comprovem que en efecte les divisions són exactes: 28 : 4 = 7 28 : 14 = 2 28 : 28 = 1 Activitat 4 Sense fer les operacions, digues si 5 és divisor de: és divisible per 5. 5 és divisible per 5. Aleshores la suma és divisible per és divisible per és divisible per 5. Aleshores la resta és divisible per és divisible per és divisible per 5. Aleshores la suma és divisible per és divisible per és divisible per 5. Aleshores la resta és divisible per 5. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D AVALUACIÓ

34 40 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D AVALUACIÓ Activitat 5 Dels nombres següents, digues quins són primers i per què. 13, 27, 56, 49, 17, 21, 97, 101, 3, 19, 23 13, 17, 97, 101, 3, 19 i 23 són nombres primers perquè tots ells tenen com a únics divisors ells mateixos i la unitat. Activitat 6 Descompon en factors primers els nombres 6, 8 i = 2 x 3 8 = = 2 2 x 3 x 5 Activitat 7 Troba tots els divisors del nombre 12. Descomponem el nombre 12 factorialment: = 2 2 x és divisible per és divisible per Escrivim tots els productes: x 1 = 1 1 x 3 = 3 x 1 = 2 2 x 3 = 6 x 1 = 4 x 3 = Divisors de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 1 3

35 Activitat 8 Calcula quin ha de ser el valor de «x» en cada cas. a) x2 és divisible per 2 i per 3 b) 52x és divisible per 4 i per 5 c) x130 és divisible per 2, per 3 i per 5 a) x = 1, x = 4, x = 7... b) x = 0 c) x = 2, x = 5, x = 8... Activitat 9 Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres. a) 16 i 32 b) 180 i 45 a) = = 2 5 mcd (16,32) = 2 4 = 16 mcm (16,32) = 2 5 = 32 b) = 2 2 x 3 2 x 5 45 = 3 2 x 5 mcd (180,45) = 3 2 x 5 = 45 mcm (180,45) = 2 2 x 3 2 x 5 = Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D AVALUACIÓ

36 42 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 SOLUCIONS ACTIVITATS D AVALUACIÓ Activitat 10 El dia del nostre aniversari volem repartir uns anissos als companys de la feina. El cas és que no tenim gaire clar de quants anissos disposem, però sí que sabem que els podem repartir o bé en saquets de 12 anissos, o bé en saquets de 15 anissos o bé en saquets de 14 anissos. En qualsevol cas no tenim més de 500 anissos. Quants anissos tenim per repartir? Si podem fer saquets d anissos de 12, 15 i 14 unitats sense que en sobri cap és perquè el nombre d anissos serà un múltiple comú de 12, 15 i 14. De múltiples comuns sabem calcular el més petit. Calculem-lo a veure què passa. 12 = 2 2 x 3 15 = 3 x 5 14 = 2 x 7 mcm (12, 15, 14) = 2 2 x 3 x 5 x 7 = és un resultat que ens va bé perquè és inferior a 500. Qualsevol altre múltiple comú ja estaria per sobre de 500 ja que pel nombre més petit que podem multiplicar 420 és 2 i el resultat, 840, supera 500. Tindrem, doncs, 420 anissos per repartir.

37 què has treballat? Múltiples i divisors Propietats Criteris de divisibilitat DIVISIBILITAT Nombres primers i nombres compostos Descomposició en factors primers Màxim comú divisor i mínim comú múltiple 43 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 QUÈ HAS TREBALLAT?

38 44 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 1 COM HO PORTO? com ho porto? Omple la graella següent posant una creu on correspongui. En acabar la unitat, sóc capaç de... Reconèixer i calcular múltiples i divisors d un nombre. Aplicar les propietats dels múltiples i divisors d un nombre. Distingir nombres compostos i nombres primers. Aplicar criteris de divisibilitat. Descompondre un nombre en factors primers. Resoldre problemes senzills mitjançant el càlcul del mcd i el mcm. Bé A mitges Malament

39 Unitat 2 45 ELS RACIONALS Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS

40 46 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de: Representar mitjançant les fraccions quantitats o relacions entre quantitats. Representar nombres racionals sobre la recta numèrica. Comparar i ordenar fraccions. Reconèixer i calcular fraccions equivalents. Operar amb fraccions. Operar amb nombres decimals. Aproximar nombres decimals per arrodoniment i per truncament. Conèixer l existència de nombres que no provenen de cap fracció.

41 1. Els nombres racionals. Concepte de fracció 47 Xarrup de llimona Ingredients (per a 6 persones) 1/4 quilo de sucre 1/2 litre d aigua 2/10 litres de suc de llimona Els nombres 1/4, 1/2 i 2/10 tenen tots tres la mateixa expressió: a/b. Aquests tipus de nombres s anomenen fraccions. La divisió dins del conjunt dels nombres enters només és possible quan la divisió és exacta. : ??? ? 1? 3 3? 1?? 2 2 1??? 1 1???? ???? 2 2 1??? 3 3? 1?? 4 4 2? 1? 5 5??? 1 Mitjançant les fraccions es troba la solució a aquestes divisions que no són exactes. : /2 5/3 5/ /3 1 4/ /2 1 3/4 3/ /3 2/4 2/ /2 1/3 1/4 1/ /2 1/3 1/4 1/ /3 2/4 2/ /2 1 3/4 3/ /3 1 4/ /2 5/3 5/4 1 El conjunt dels nombres racionals està format pels nombres enters i per les fraccions i es representa amb la lletra Q. Q= {..., 3/2,..., 1,..., 1/2,..., 0,..., 1/2,..., 1,..., 3/2,...} Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS

42 48 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS En el conjunt dels nombres racionals l operació divisió sempre té solució. El quocient de dos nombres racionals sempre és un altre nombre racional. En aquest sentit, una fracció pot representar simplement la divisió entre dos nombres enters. Però una fracció pot representar també una part de la unitat o una part del conjunt total. Imagina que el dia del teu aniversari et gastes 12 en un pastís que compartiràs amb els teus amics. Com que sou 6 persones en total, dividiràs el pastís en 6 trossos iguals, naturalment. El que passa és que dos dels teus amics no en volen, de pastís, per allò del règim. Fixa t que la fracció 4/6 representa els trossos de pastís que us menjareu, de 6 que n hi ha en total. En canvi, el gràfic següent representa la part de pastís que no es consumirà. Dit d una altra manera, aquest gràfic representa la fracció 2/6.

43 En termes econòmics hauràs malgastat 4 ja que hauràs de llençar dos trossos de pastís i fixa t que cada tros té un valor de Com que no es consumeixen 2/6 parts de pastís, es malgastaran 2/6 parts de 12. I acabem de veure que 2/6 parts de 12 són 4. 2/6 de 12 = 4 Una manera ràpida de fer aquests càlculs és: 2x12 2/6 de 12 = = 4 6 és a dir, es multiplica el numerador pel total, que en aquest cas és 12, i es divideix pel denominador. Sovint en les retransmissions dels partits de bàsquet per la televisió s ofereixen unes dades numèriques en forma de fracció que indiquen els encerts a cistella respecte dels intents d alguns jugadors. Per exemple: 10 de 16 cistelles de 2 punts vol dir que, del total d intents que ha fet el jugador, en aquest cas 16, n ha encertat només 10. És a dir, 16 és el total d intents i 10 una part d aquests intents. Aquesta informació es representa de la forma 10/16. 10/16 és una fracció que serveix per expressar la relació entre els encerts i els intents. En aquest sentit es pot dir que les fraccions són relacions entre nombres enters. Una fracció està formada pel numerador, el denominador i la barra que els separa. 10 numerador = 16 denominador El numerador i el denominador són nombres enters. Activitats d aprenentatge 1, 2, 3, 4 i 5 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS

44 50 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS 2. Comparació i ordenació de fraccions Compara els encerts d aquests dos jugadors de bàsquet: El jugador núm. 15 ha fet 7 cistelles de 10 intents. El jugador núm. 7 n ha fet 3 de 5. Quin dels dos jugadors ha fet més cistelles respecte dels intents? Per poder comparar les fraccions cal ordenar-les. L ordenació de fraccions no és tan immediata com la de nombres enters. 7/10 és més gran o més petit que 3/5? Per poder ordenar fraccions han de tenir el mateix denominador. És el que s anomena reduir les fraccions a deno- minador comú. Un cop s està en aquesta situació, només cal comparar els numeradors: el numerador més gran correspondrà a la fracció més gran i el numerador més petit correspondrà a la fracció més petita. Per reduir les fraccions a denominador comú se segueixen els passos següents: 1) Es calcula el mínim comú múltiple dels denominadors de les fraccions. Les fraccions que volem comparar són 7/10 i 3/5. Els denominadors de cadascuna de les fraccions són 10 i 5. Per tant, s ha de calcular el mcm (10,5). Si ho calcules veuràs que el mcm és serà el nou denominador en totes dues fraccions. 2) Es divideix el mcm pel denominador de cada fracció i es multiplica el quocient que s obté pel numerador. 7 10:10x7 7 = = :5x3 6 = = Per comparar 7/10 i 3/5 només cal comparar els numeradors de les fraccions reduïdes a denominador comú: 7/10 i 6/10. Com que 7 és més gran que 6 aleshores 7/10 és més gran que 6/10. Equivalentment 7/10 és més gran que 3/5. El jugador núm. 15 ha fet més cistelles respecte dels intents que el jugador núm /10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 1 Imagina que tens tres gots amb diferents quantitats d aigua: 1/4 de litre, 2/4 de litre i 3/4 de litre. 6/10 7/10 0 1/4 2/4 3/4 1 Fixa t que aquestes quantitats no superen la unitat que en aquest cas és 1 litre d aigua.

45 Observa que per les fraccions que has vist fins ara sembla que aquestes no hagin de superar mai la unitat. Però no sempre és així. Si agafem els tres gots d abans i els aboquem en una ampolla d'1 litre, aquesta vessarà, ja que si sumem un quart, més dos quarts, més tres quarts, ens donarà sis quarts, i això és més d un litre d aigua ja que un litre són quatre quarts de litre. Quan les fraccions tenen el numerador més gran que el denominador, llavors superen la unitat. Activitats d aprenentatge 6, 7 i 8 3. Operacions amb fraccions Per sumar les fraccions d abans, 1/4, 2/4 i 3/4, com que tenen el mateix denominador, només cal sumar els numeradors = = Segur que algun cop has comprovat que si a mig litre d aigua n hi afegeixes un quart, obtens 3/4 de litre d aigua. Si escrivim això en forma de fraccions es té: 1/2+1/4=3/4 Sabem el resultat, però aquesta vegada com s han fet els càlculs? Com que les fraccions 1/2 i 1/4 tenen diferent denominador, 2 i 4, el que fem és reduir-les a denominador comú. S ha de calcular el mcm (2,4). Pots comprovar que dóna 4. Per tant: 1 4:2x1 2 = = :4x1 1 = = = + = Si et beus 1/4 de litre de refresc de cola d una ampolla de litre et queden encara 3/4 de litre de refresc per consumir. Per expressar els càlculs corresponents es pot representar 1 litre de refresc de cola mitjançant la fracció 1/1, ja que si interpretem la fracció com el quocient entre dos nombres el resultat és el nombre sencer = = Com abans, sabem el resultat, però com s han fet els càlculs? 51 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS

46 52 Com en la suma, per restar fraccions de diferent denominador es redueixen a denominador comú. En aquest cas cal calcular el mcm (1,4) que és evident que dóna 4. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS 1 1 4:1x = = = El doble de 1/2 litre d aigua és un litre d aigua. La meitat de 1/2 litre d aigua és 1/4 de litre d aigua. 1 2 x 2 = 1 litre 1 1 : 2 = litre 2 4 Com es fan aquests càlculs? Per multiplicar fraccions només cal multiplicar els numeradors i multiplicar els denominadors. a c axc x = b d bxd En l exemple d abans, si escrivim 2 de la forma 2/1 es té que: 1 2 1x2 2 x = = =1 litre 2 1 2x1 2 Per dividir dues fraccions se li multiplica a la primera fracció la segona però amb el numerador i el denominador invertits: a c a d : = x b d b c En l exemple d abans, si escrivim 2 de la forma 2/1 es té que: : = x = litre Activitats d aprenentatge 9 i Fraccions equivalents Si en una ampolla d un litre d aigua buida s aboca primer 1/4 de litre d aigua i seguidament un altre 1/4 de litre d aigua s obté 1/2 litre d aigua. Si fem els càlculs corresponents es té que: = 4 4 4

47 Aleshores, perquè 2/4 de litre d aigua i 1/2 litre d aigua és el mateix? Fixa t en el gràfic que representa l ampolla plena amb 2/4 de litre d aigua. 53 Per comptes de dividir el litre en quatre quarts, el dividim en dues meitats. De fet, un litre també és dos mitjos litres. Observa que la part plena de l ampolla corresponent a 2/4 de litre coincideix amb una part de les dues que hem fet ara. 1/2 i 2/4 representen la mateixa part de la unitat o la mateixa part del total segons el cas. 1/2 i 2/4 es diu que són fraccions equivalents. Fixa t que: 2 1x2 = 4 2x2 Per trobar fraccions equivalents a una altra, només cal multiplicar-li el numerador i el denominador pel mateix nombre. En aquest cas hem multiplicat pel nombre x3 = 6 2x3 En aquest cas hem multiplicat pel nombre 3. Per tant, 1/2 i 3/6 també són fraccions equivalents. Una manera ràpida d identificar si una parella de fraccions són equivalents és multiplicant-les en creu. Si s obté el mateix producte és senyal que són equiva- lents: a c = b d són equivalents si: a x d = b x c Activitats d aprenentatge 11 i 12 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS

48 54 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS 5. Els nombres decimals Des de l arribada de l euro, els nombres decimals estan presents en la nostra vida. Els preus dels productes són de la forma: 12,23, 10,50, 4,05, etc. A no ser que el preu sigui exacte. En aquest cas 12,00 són directament 12. Les monedes de l euro han de permetre la construcció de qualsevol import amb una exactitud de dos decimals. Les monedes que permeten construir la part decimal dels imports són: 1 cèntim = 0,01 euros 2 cèntims = 0,02 euros 5 cèntims = 0,05 euros 10 cèntims = 0,1 euros 20 cèntims = 0,2 euros 50 cèntims = 0,5 euros El que es fa són parts de la unitat: l euro es divideix en cent parts. Cada una d aquestes parts s anomena cèntim. El valor d aquestes monedes es pot expressar amb fraccions: la unitat, 1 són 100 cèntims. Aleshores la moneda d 1 cèntim d euro es pot expressar com 1 cèntim entre 100 cèntims, la moneda de 2 cèntims es pot expressar com 2 entre 100, etc. 1 cèntim = 1/100 2 cèntims = 2/100 5 cèntims = 5/ cèntims = 10/ cèntims = 20/ cèntims = 50/100 Aquestes fraccions s anomenen fraccions decimals perquè tenen com a denominador la unitat seguida de zeros. Fixa t que els nombres decimals estan relacionats amb les fraccions. Les uni- tats decimals són: 1/10 = 0,1, què és la dècima 1/100 = 0,01, què és la centèsima i 1/1000 = 0,001, què és la mil lèsima. Així, el número: 0,386 té 3 dècimes, 8 centèsimes i 6 mil lèsimes. 0,386 es llegeix tres-centes vuitanta-sis mil lèsimes. Recorda que 1 equival a 166,386 pessetes. 6. Aproximacions de nombres decimals La conversió de pessetes a euros es fa per arrodoniment. Quan es divideix una quantitat de pessetes per 166,386 per saber quants euros són, de vegades surten quantitats amb una cua molt llarga de decimals. Però l euro només treballa amb dues xifres decimals. Per arrodonir una cua de decimals a les centèsimes, ens fixem en la xifra de les mil lèsimes. Si és més petita que 5 mantenim la xifra de les centèsimes, i si és igual que 5 o més gran augmentem una unitat la xifra de les centèsimes.

49 Per exemple: El preu d una entrada de cinema en pessetes són 700 pts. En euros són 4,21. Si fem els càlculs: 700 : 166,386 = 4, Com que la xifra de les mil lèsimes és un 7, que és més gran que 5, la xifra de les centèsimes, que és 0, augmenta en una unitat i passa a ser un 1. Per tant, 4, s arrodoneix a 4,21. Una altra tècnica d aproximació d un nombre decimal a les unitats que ens interessi és el truncament. Per exemple, per truncar el nombre 166,386 per les centèsimes s escriu el nombre fins a les centèsimes i se n eliminen les xifres de la dreta: 166,38. ACTIVITAT Com seria el nombre 166,386 arrodonit a les centèsimes? Solució 166,39 7. Suma i resta de nombres decimals El preu d una barra de pa és de 45 cèntims. Aquesta quantitat es pot pagar amb una moneda de 20 cèntims, dues monedes de 10 cèntims i finalment una moneda de 5 cèntims. Amb aquestes monedes s abona l import exacte. 20 cèntims + 10 cèntims + 10 cèntims + 5 cèntims = 45 cèntims. Dit d una altra manera: 0,20 + 0,10 + 0,10 + 0,05 = 0,45 0,45 és una altra manera de donar el preu de la barra de pa. Fixa t que per pagar la barra de pa s han de sumar nombres decimals. Si es paga la barra de pa amb una moneda d 1, el canvi serà de 55 cèntims ja que 1 equival a 100 cèntims i per tant: 100 cèntims 45 cèntims = 55 cèntims. Dit d una altra manera: 1 0,45 = 0,55. Fixa t que per tornar el canvi s han de restar nombres decimals. Activitats d aprenentatge 13 i Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS

50 56 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ELS RACIONALS 8. El nombre Si fem la divisió entre el numerador i el denominador d una fracció, la majoria de les vegades ens donarà un nombre decimal llevat que ens doni directament un nombre enter. En canvi, no tots els nombres decimals es poden posar en forma de fracció. El nombre Π és un d aquests nombres. L origen del nombre Π s ha de buscar en el càlcul de la longitud de la circumferència. Aquest càlcul fou una obsessió per a Arquimedes, màxima figura de la matemàtica grega. Des de feia força temps ja es va veure que la relació entre la longitud d una circumferència i el seu diàmetre donava sempre el mateix nombre. Aquesta relació es pot expressar en forma de fracció. En el numerador apareix la longitud de la circumferència i en el denominador el seu diàmetre: L/d. A aquest valor, se l va anomenar nombre d Arquimedes i resultava molt difícil de calcular perquè la divisió no era exacta. Avui dia sabem que el nombre Π no prové de cap fracció i que està format per una cua amb infinits decimals. Gràcies als ordinadors s han pogut trobar més de mil milions de xifres decimals d aquest nombre i es continua investigant. Π = 3,

51 ACTIVITATS D APRENENTATGE 57 Activitat 1 Representa en forma de fracció la part acolorida de les figures següents: Activitat 2 Reconstrueix la figura completa si la figura representa les 3/6 parts del total. Activitat 3 Mitja hora, quina fracció representa respecte d una hora? I tres quarts d hora? I 40 minuts? Activitat 4 Completa els espais en blanc: de... és 8 de... és de 10 és 5 de 10 és 5 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ACTIVITATS D APRENENTATGE

52 58 Activitat 5 Quants diners són 2/3 de 600? Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 6 Dibuixa una recta horitzontal. Marca el 1, el 0 i l 1. Després marca els nombres següents: 1/3 i 3/4. Activitat 7 Ordena de més petita a més gran les fraccions següents: a) 1/7, 9/7, 3/7 b) 2/5, 1/5 c) 1/2, 2/5, 1/3 Activitat 8 En un concurs de menjadors de calçots un participant s ha menjat 1/8 part dels calçots de què es disposava, mentre que un altre participant se n ha menjat 2/9 parts. Quin dels dos participants ha menjat més calçots? Si en total es disposava de 720 calçots per al concurs, quants calçots s ha menjat cada participant? Activitat 9 Calcula el doble de les fraccions següents: 1/2, 3/4, 1/12, 5/10.

53 Activitat 10 Completa les taules segons l operació que s indica: 59 3/2 2/3 1/4 + 1/2 1/3 3/4 Activitat 11 Completa la següent sèrie de fraccions equivalents: = = = Activitat 12 Digues quines de les següents parelles de fraccions són equivalents: i i i x 1/2 1/3 3/4 Activitat 13 Un menú de restaurant abans costava pessetes. Quin és actualment el preu d aquest menú en euros? Si paguem el menú amb un bitllet de 10, quants euros i quants cèntims ens tornaran en el canvi? (S ha d usar l aproximació per arrodoniment. Recorda que 1 = 166,386 pessetes. Pots utilitzar la calculadora.) 3/2 2/3 1/4 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ACTIVITATS D APRENENTATGE

54 60 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 14 Arrodoneix a les centèsimes els següents nombres decimals: 0,0056 = 166,386 = 4,012 =

55 ACTIVITATS D AVALUACIÓ 61 Activitat 1 Ordena de més petita a més gran les fraccions següents. Representa-les sobre la recta numèrica marcant prèviament els punts de referència 0 i 1. 3/4, 3/2, 1/4, 1/2. Activitat 2 D 1/2, quants quarts se n treuen? Activitat 3 Indica quina fracció d un bitllet de 10 representa: a) Una moneda d 1 b) Una moneda de 2 c) Un bitllet de 5 Activitat 4 Del nombre 36 escriu el que val: La meitat Un terç Un quart I una novena part Activitat 5 Les 3/5 parts d una garrafa de vi s emplenen amb vi del Priorat i les 2/7 parts amb vi de la Terra Alta. Quina fracció de la garrafa s ha emplenat amb aquesta mescla? Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ACTIVITATS D AVALUACIÓ

56 62 Activitat 6 Són equivalents les parelles de fraccions següents? Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 ACTIVITATS D AVALUACIÓ 2 2x5 7 7x3 i i 9 9x5 2 2x3 Quina propietat observes? Activitat 7 El preu d uns texans abans era de pessetes. Quin és actualment el seu preu en euros? Si es paguen els texans amb un bitllet de 50, quin serà el canvi? (S ha d usar l aproximació per arrodoniment. Recorda que 1 = 166,386 pessetes. Pots utilitzar la calculadora.)

57 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 63 Activitat 1 Representa en forma de fracció la part acolorida de les figures següents: a) b) c) a) 1 b) 2 c) Activitat 2 Reconstrueix la figura completa si la figura representa les 3/6 parts del total. Si es completa la figura anterior amb tres quadrats més s obté un rectangle dividit en sis parts iguals: En efecte la figura inicial representa les 3/6 parts del total del rectangle. Activitat 3 Mitja hora, quina fracció representa respecte d una hora? I tres quarts d hora? I 40 minuts? Mitja hora: 1/2 Tres quarts d hora: 3/4 40 minuts: 40/60. Recorda que una hora són 60 minuts. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE

58 64 Activitat 4 Completa els espais en blanc: Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE de 20 és 8 de 21 és 9 Activitat 5 Quants diners són 2/3 de 600? 2 2x de 600 = = = /3 de 600 són 400. Activitat 6 Dibuixa una recta horitzontal. Marca el 1, el 0 i l 1. Després marca els nombres següents: 1/3 i 3/4. Activitat 7 Ordena de més petita a més gran les fraccions següents. a) 1/7, 9/7, 3/7 b) 2/5, 1/5 c) 1/2, 2/5, 1/3 a) 1/7 < 3/7 < 9/7 b) 2/5 < 1/5 c) mcm (2,5,3) = = = = /30 < 12/30 < 15/30 Per tant: 1/3 < 2/5 < 1/ de 10 és 5 de 10 és /3 1/3 0 1/3 2/ /4 2/4 1/4 0 1/4 2/4 3/4 1

59 Activitat 8 En un concurs de menjadors de calçots un participant s ha menjat 1/8 part dels calçots de què es disposava, mentre que un altre participant se n ha menjat 2/9 parts. Quin dels dos participants ha menjat més calçots? Si en total es disposava de 720 calçots per al concurs, quants calçots s ha menjat cada participant? Per comparar 1/8 i 2/9 s han de reduir les fraccions a denominador comú. mcm (8,9) = = = /72 és més gran que 9/72. Per tant 2/9 és més gran que 1/8. 1 1x x720 de 720 = = 90 de 720 = = Els participants s han menjat 90 i 160 calçots respectivament. Activitat 9 Calcula el doble de les fraccions següents: 1/2, 3/4, 1/12, 5/ x = = 1 2x = Activitat 10 Completa les taules segons l operació que s indica: + 1/2 1/3 3/4 3/2 2 11/6 9/4 2/3 7/6 1 17/12 1/4 3/4 7/12 1 Activitat 11 Completa la següent sèrie de fraccions equivalents: 30 = 90 = 5 = x = 2x = = x 1/2 1/3 3/4 3/2 3/4 3/6 9/8 2/3 2/6 2/9 6/12 1/4 1/8 1/12 3/16 65 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE

60 66 Activitat 12 Digues quines de les següents parelles de fraccions són equivalents: Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE i i i Usarem la propietat a/b = c/d (són equivalents) vol dir a x d = b x d i x 15 = x 21 = /26 i 21/15 no són fraccions equivalents i x 65 = x 13 = /500 i 13/65 són fraccions equivalents i /12 i 5/6 són fraccions equivalents. 10 x 6 = x 5 = 60 Activitat 13 Un menú de restaurant abans costava pessetes. Quin és actualment el preu d aquest menú en euros? Si paguem el menú amb un bitllet de 10, quants euros i quants cèntims ens tornaran en el canvi? (s ha d usar l aproximació per arrodoniment. Recorda que 1 = 166,386 pessetes. (Pots utilitzar la calculadora). Per saber quants euros són pessetes hem de dividir: 1000 : 166,386 = 6, Si arrodonim a les centèsimes tenim que pts. = 6, ,01 = 3,99 Si paguem amb un bitllet de 10 el canvi serà de 3 i 99 cèntims. Activitat 14 Arrodoneix a les centèsimes els següents nombres decimals: a) 0,0056 = 0,01 b) 166,386 = 166,39 c) 4,012 = 4,01

61 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D AVALUACIÓ 67 Activitat 1 Ordena de més petita a més gran les fraccions següents. Representa-les sobre la recta numèrica marcant prèviament els punts de referència 0 i 1. 3/4, 3/2, 1/4, 1/2. mcm (2,4) = 4 Reduïm les fraccions a denominador comú: 3/4 3/2 = 6/4 1/4 1/2 = 2/4 Si ordenem de més petit a més gran fixant-nos en els numeradors tenim que: 1/4 < 2/4 < 3/4 < 6/4 Per tant: 1/4 < 1/2 < 3/4 < 3/2 Activitat 2 D 1/2, quants quarts se n treuen? D 1/2 es treuen dos quarts ja que si d un litre d aigua es treuen quatre quarts de litre, de mig litre d aigua es trauran dos quarts de litre. També es pot resoldre mitjançant una divisió: : = x = = /2 conté dos cops 1/4. 0 1/4 1/2 3/4 1 3/2 Activitat 3 Indica quina fracció d un bitllet de 10 representa: a) Una moneda d 1 a) 1/10 b) Una moneda de 2 b) 2/10 c) Un bitllet de 5 c) 5/10 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 SOLUCIONS ACTIVITATS D AVALUACIÓ

62 68 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 SOLUCIONS ACTIVITATS D AVALUACIÓ Activitat 4 Del nombre 36 escriu el que val: La meitat Un terç Un quart I una novena part La meitat de 36 Un terç de de 36 = = 18 de 36 = = Un quart de 36 Una novena part de de 36 = = 9 de 36 = = Activitat 5 Les 3/5 parts d una garrafa de vi s emplenen amb vi del Priorat i les 2/7 parts amb vi de la Terra Alta. Quina fracció de la garrafa s ha emplenat amb aquesta mescla? mcm (5,7) = = + = S han emplenat 31/35 parts de la garrafa amb aquesta mescla. Activitat 6 Són equivalents les parelles de fraccions següents? 2 2x5 7 7x3 i i 9 9x5 2 2x3 Quina propietat observes? 2 2x5 2x5 10 i = 9 9x5 9x5 45? 2/9 = 10/45 2 x 45 = 90 9 x 10 = 90 Per tant 2/9 = 10/ x3 7x3 21 i = 2 2x3 2x3 6? 7/2 = 21/6 7 x 6 = 42 2 x 21 = 42 Per tant 7/2 = 21/6.

63 La propietat que s observa és que en multiplicar el numerador i el denominador d una fracció pel mateix nombre s obté una altra fracció que és equivalent a la primera. 69 Activitat 7 El preu d uns texans abans era de pessetes. Quin és actualment el seu preu en euros? Si es paguen els texans amb un bitllet de 50, quin serà el canvi? (S ha d usar l aproximació per arrodoniment. Recorda que 1 = 166,386 pessetes. Pots utilitzar la calculadora.) : 166,386 = 36, Si arrodonim a les centèsimes pessetes. són 36, ,06 = 13,94 Si paguem amb un bitllet de 50 el canvi serà de 13 i 94 cèntims. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 SOLUCIONS ACTIVITATS D AVALUACIÓ

64 Expressió i representació què has treballat? FRACCIONS Comparació i ordenació NOMBRES RACIONALS Fraccions equivalents Expressió Operacions (+,, x, :) Operacions (+, ) DECIMALS Aproximació 71 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 QUÈ HAS TREBALLAT?

65 72 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 2 COM HO PORTO? com ho porto? Omple la graella següent posant una creu on correspongui. En acabar la unitat, sóc capaç de... Representar mitjançant les fraccions quantitats o relacions entre quantitats. Representar sobre la recta numèrica nombres racionals. Comparar i ordenar fraccions. Identificar i calcular fraccions equivalents. Operar amb fraccions. Operar amb decimals. Aproximar decimals per arrodoniment i per truncament. Bé A mitgesmalament

66 Unitat 3 73 PROPORCIONALITAT Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT

67 74 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de: Diferenciar entre raó de proporció i proporcionalitat. Calcular les mides reals a partir de representacions a escala. Calcular les mides a escala de distàncies reals per elaborar plànols, mapes, etc. Utilitzar la propietat fonamental de les proporcions. Trobar dades mitjançant la regla de tres. Calcular percentatges. Trobar dades reals en casos concrets a partir dels seus percentatges.

68 1. Raó i proporcions El Dry Martini és un còctel que es prepara barrejant ginebra amb una quantitat variable de vermut blanc i que s acostuma a adornar amb una oliva o un trosset de pell de llimona. Existeixen, doncs, moltes variants del Dry Martini. Una de les receptes podria ésser aquesta: Dry Martini 1 Part de vermut blanc 3 Parts de ginebra 1 Oliva Fixa t que per preparar el Dry Martini hauríem de barrejar, en una coctelera amb gel, 1 part de vermut blanc i tres de ginebra. Això ho podríem escriure en forma de fracció: Parts de vermut blanc 1 = Parts de ginebra 3 La relació entre les parts de ginebra i les parts de vermut blanc és el que anomenem raó i és un nombre que ens dóna una idea de la relació entre les parts de vermut i les parts de ginebra. En aquest cas la relació és d una a tres. Una raó és el quocient de dues quantitats comparables. La raó ens indica el nombre de vegades que el dividend conté el divisor. Segur que has estat temptat de dir que la proporció de ginebra i de vermut blanc en un Dry Martini és d un terç. De fet, en el llenguatge del carrer, quan parlem de raons les anomenem proporcions, però matemàticament una proporció és una altra cosa, com veuràs d aquí a uns moments. Imagina ara que vols preparar dos Dry Martini, la quantitat de ginebra i de vermut serà, lògicament, el doble. I per tant la raó entre les dues quantitats serà: Parts de vermut blanc 2 = Parts de ginebra 6 I si en volguéssim tres? Lògicament, hauríem de posar tres parts de vermut blanc i nou de ginebra. La raó entre les dues quantitats, en aquesta ocasió, seria de: Parts de vermut blanc 3 = Parts de ginebra 9 Fixa t que en tots els casos hi ha tres vegades més ginebra que vermut blanc. Això és així ja que 1/3, 2/6 i 3/9 representen la mateixa raó ja que: = = = 0, Una proporció és la igualtat entre dues raons. La raó de proporció és en aquest cas 0, Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT

69 76 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT ACTIVITAT Quan reveles un rodet de fotografies pots demanar que les còpies te les facin a diferents formats, 7x10, 10x15, 18x24, 20x30, etc. Aquests nombres ens indiquen les mides dels costats de les fotografies. Tenint en compte que la mida del negatiu és de 3,6 cm x 2,4 cm, digues quins formats són proporcionals a la mida del negatiu. Resolució La raó de proporció del negatiu és Per tant, els formats de fotografies que estan en proporció amb els negatius són aquells que tenen la mateixa raó de proporció: 10 cm 7x10 = = 1,43 7 cm 10x15 = 15 cm = 1,5 10 cm 24 cm 18x24 = = 1,33 18 cm 20x30 = 30 cm = 1,5 20 cm 3,6 cm = 1,5 2,4 cm Els formats de fotografies proporcionals als negatius són, per tant, el 10x15 i el 20x30, ja que tots tres tenen la mateixa raó de proporció. Fixa t en les figures següents: A primera vista ja es veu que un és més gran que l altre, però tenen la mateixa forma? És evident que no, el segon és més quadrat que el primer. És a dir, a més de ser de mides diferents, les seves proporcions són diferents.

70 ACTIVITAT Mesura amb un regle els costats dels quadrats anteriors i calcula les seves raons de proporció. Resolució Si mesures els quadrats veuràs que el primer fa 3 cm x 2,1 cm i el segon 5,4 cm x 4,4 cm. Les seves raons de proporció són: 2,1 cm 4,4 cm = 0,7 i = 0,81 3 cm 5,4 cm Ja hem vist que les mides dels seus costats no eren proporcionals; per tant, com és lògic, les seves raons de proporció són diferents. Fixa t ara en aquests dos rectangles: Torna a ésser evident que el segon és bastant més gran que el primer, però, i la forma? Són diferents o són iguals? És a dir, guarden la mateixa proporció? Aparentment sí, però no ho sabrem del cert si no calculem la raó de proporció de cadascun d ells i la comparem. Anem a fer-ho. ACTIVITAT Mesura amb un regle els costats dels rectangles anteriors i calcula la raó de proporció de cadascun d ells. Resolució Si mesures els rectangles veuràs que el primer fa 2,1 cm x 3 cm i el segon 4,2 cm x 6 cm. Les seves raons de proporció són: 2,1 cm 4,2 cm = 0,7 i = 0,7 3 cm 6 cm Efectivament, els dos rectangles són proporcionals ja que tots dos tenen la mateixa raó de proporció i per tant: 2,1 cm 4,2 cm = = 0,7 3 cm 6 cm Activitats d aprenentatge 1, 2 i 3 77 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT

71 78 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT 2. Escales: plànols, mapes i maquetes La proporcionalitat ens permet dibuixar figures de diferents mides, però amb la mateixa forma. Això ho utilitzem per dibuixar objectes que són massa grans per representar-los a mida real. Imagina que vas a visitar la Catedral de Girona i li fas una fotografia. Evidentment quan la revelis tindràs una imatge de la Catedral, amb la mateixa forma que la Catedral, però molt més petita. Com hem vist, si conserva la mateixa forma, és perquè totes les mesures tenen la mateixa proporció respecte a la Catedral. Quan fem un dibuix d una habitació o un plànol d una ciutat o d un país, totes les distàncies es redueixen seguint la mateixa raó de proporció. En aquest cas la raó s anomena escala. L escala d un plànol o d un mapa és la relació entre la distància sobre el paper i la distància real Escala = Distància sobre el paper Distància real Anem a calcular les mides reals d aquesta habitació. L escala és 1:100. Això ens diu que una unitat del plànol correspon a 100 unitats de la realitat. Fixa t que les escales no tenen unitats. Podem utilitzar les que vulguem, sempre que utilitzem les mateixes per al plànol o mapa i per a la distància real. L escala 1:100 pot significar: 1 cm sobre el paper correspon a 100 cm en la realitat, és a dir, a 1 m. 1 dm sobre el paper correspon a 100 dm en la realitat, és a dir, a 10 m. 1 mm sobre el paper correspon a 100 mm en la realitat, és a dir, a 0,1 m. Si mesurem l amplada de l habitació, veiem que sobre el mapa fa 3,5 cm, per tant: Amplada real de l habitació = 3,5 cm x 100 = 350 cm = 3,5 m ACTIVITAT 1: Calcula la llargada de l habitació. Resolució: Si mesurem sobre el plànol, trobem que la llargada de l habitació és de 4,2 cm.

72 Per tant: Llargada real de l habitació = 4,2 cm x 100 = 420 cm = 4,2 m 79 ACTIVITAT 2: Lleida Tarragona Calcula la distància real entre Manresa i Barcelona. Resolució L escala del mapa és 1: , és a dir: 1 cm en el mapa són cm en la vida real 1cm cm = 25 Km Per tant, cada centímetre damunt del mapa representa 25 quilòmetres en la vida real. La distància entre Manresa i Barcelona, en el mapa, és d 1,9 cm, i per tant en la vida real és de: 1,9 x 25 Km = 47,5 Km. Berga Manresa Barcelona Activitats d aprenentatge 4 i 5 Escala 1: km La Bisbal d Empordà Girona Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT

73 80 3. La raó de proporció ens permet buscar dades Pensa un moment en el que hem fet fins ara: Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT Les proporcions ens permeten representar, a escala, objectes i espais que en la realitat són massa grans per poder fer-ne representacions a la mateixa mida. Les proporcions ens permeten trobar dades que desconeixem a partir d altres dades. Quedem-nos aquí un moment, ja que això és més important del que sembla. Fixa t, sabem l escala del mapa, 1: , i sabem la distància entre dues ciutats damunt del paper i volem trobar la distància real entre les dues ciutats. No sabem aquesta distància, però sabem una cosa fonamental: la distància real és proporcional a les altres tres dades. Existeix una propietat anomenada propietat fonamental de les proporcions que ens permet trobar aquesta quarta dada i que és la base de la regla de tres. Tornem al cas de les fotografies. Dèiem que els formats 10x15 i 20x30 eren proporcionals entre ells: = Fixa t que això ho podem escriure d una altra manera: 15 : 10 = 30 : 20 La propietat fonamental de les proporcions diu: En una proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans Producte dels extrems: 15 x 20 = 300 Producte dels mitjans: 10 x 30 = 300 ACTIVITAT Busca el valor que falta en les proporcions següents: x x 4 x 10 a) = b) = c) = d) = 4 x Resolució a) 2 x = x = 12 x = 12 x = 6 2 Fixa t que per trobar el valor de la x, el nombre que l està multiplicant passa a l altre costat de l igual dividint.

74 b) 5 9 = 3 x 3 x = 45 x = 45 x = c) 6 x = x = 4 x = 4 x = 0,67 6 d) 5 x = x = 30 x = 30 x = 6 5 Hi ha dades que depenen d altres Un treballador cobra per hores segons la taula següent: Hores treballades cobrats Lògicament, aquestes dues magnituds depenen l una de l altra. Com més hores treballa més cobra, i a l inrevés, si cobra més és perquè treballa més. És a dir, quan una de les dues magnituds augmenta, l altra també ho fa i a l inrevés. A més, en aquest cas l augment és proporcional: = = = = Quan en augmentar una magnitud una altra també augmenta i, a més, ho fa de forma proporcional, diem que són dues magnituds directament proporcionals. Per trobar la quarta, la regla de tres Imagina que anem a comprar tomàquets. Comprem dos quilos i ens costen 4. En arribar a casa veiem que no en tenim prou i baixem a comprar-ne més. Quant ens costarà? És evident que això depèn de la quantitat de tomàquets que comprem. Com més tomàquets comprem més haurem de pagar. Fixa t que aquestes dues magnituds (quantitat de tomàquets i preu total) són directament proporcionals. Decidim comprar-ne 4 quilos. Quant ens constaran? Analitzem la situació: Tenim dues magnituds que són directament proporcionals Coneixem tres quantitats, dues de la quantitat de tomàquets i una del preu total Quantitat de tomàquets (kg) Preu total 2 4 4? Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT

75 82 De fet, atès que són magnituds proporcionals podem aplicar la propietat fonamental de les proporcions, la qual cosa ens permet trobar el valor que busquem Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT 2 4 = 4 x 2x = 4 4 x = 16 x = 8 2 Com és evident, si 2 quilos valen 4, el doble de quilos valdran el doble d euros: 8. Aquesta manera de resoldre els problemes és el que anomenem regla de tres i encara ho podem expressar d una altra manera: Si 2 Kg valen 4 Aleshores 4 Kg valen x ACTIVITAT Un grup d excursionistes caminen a una mitjana de 3 Km cada hora. Volen fer una travessia de 15 Km i volen saber quantes hores hi invertiran. Resolució Els quilòmetres recorreguts i el temps invertit són magnituds directament proporcionals, per la qual cosa podem aplicar la regla de tres. Si a fer 3 Km triguen 1 hora aleshores a fer 15 Km triguen x hores O el que és el mateix: Si fem les operacions: 3 1 = 15 x 3x = 15 1 x = 15 x = 5 3 Els excursionistes trigaran 5 hores. Raons per entendre les dades: el tant per cent Mira t la notícia següent apareguda a El Periódico el mes de juny de La troballa que més ha preocupat els autors de l estudi és l alt percentatge d adolescents un 22% de nois i un 9% de noies que han conduït intoxicats per alcohol o drogues. Un 40% ha pujat a un cotxe conduït per una persona èbria. «Una de les característiques de l adolescència és assumir riscos, i aquesta és una forma clara i conscient de fer-ho», afirma la investigadora. Només que obris qualsevol diari, veuràs moltes notícies que ens parlen de percentatges (un 22% de nois, un 9% de noies, un 40% d adolescents,...). Però, què és exactament un percentatge? Quan diem que un 40% d adolescents han

76 pujat en un cotxe conduït per una persona sota els efectes de l alcohol volem dir que de cada 100 adolescents 40 ho han fet. L enquesta a què fa referència la notícia es va realitzar a alumnes de Secundària i Batxillerat de Catalunya. D aquests, alumnes van reconèixer haver anat en un cotxe conduït per una persona èbria. Fixa t que si diguéssim de cada et seria molt difícil saber si són molts o pocs o fins i tot seria difícil comparar-ho amb d altres dades. És molt més fàcil fer-se una idea del valor d aquestes dades si parlem del 40% o fins i tot de 4 de cada deu. Per trobar el percentatge d unes dades hem de buscar una fracció proporcional en què el denominador sigui cent. ACTIVITAT En una classe de 30 persones 9 porten ulleres. Quin és el percentatge? Resolució Si de 30 persones duen ulleres 9 Aleshores de 100 persones en duran x 30 = 9 30x = x = 900 x = x 30 Un 30% dels alumnes de la classe porta ulleres. Ara ja sabem com calcular el tant per cent a partir d unes dades, però i al revés, sabries fer-ho? Anem a veure-ho. ACTIVITAT Calcula el 23% de Un tant per cent és en ell mateix una raó de proporció entre dos nombres (23/100) i recorda que dèiem que si són proporcionals ens calen tres nombres per trobar el quart (tenim 23, 100 i 5.000). No ens ha d ésser difícil, per tant, trobar la solució. Resolució 23 = x = x x = El 23% de és Dèiem que un percentatge és una raó de proporció i, per tant, també es pot expressar en forma decimal. Imagina que sabem que el 20% dels habitants d un país tenen els ulls blaus i volem saber quanta gent d una ciutat de habitants té els ulls blaus. Evidentment ho podríem fer com a l exemple anterior, però hi ha una manera més ràpida de fer-ho. Anem pas a pas. 20 = x = x Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT

77 84 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 PROPORCIONALITAT Aturem-nos un moment. Fixa t que per calcular el percentatge d una quantitat el que fem és multiplicar aquesta quantitat per la raó de proporció que representa el tant per cent: X = ,20 = persones tenen els ulls blaus. El tant per mil Tornem a la ciutat d abans. Imagina que dels habitants, fan més de dos metres d alçada. Si volguéssim saber quin percentatge representa això faríem: x = = x = x El 0,43% de la població mesura més de 2,00 metres d alçada. Una altra forma d expressar-ho seria respecte de cada habitants, enlloc de cada 100. x = = x = x Igualment podríem dir que els habitants que superen els dos metres són el 4,3 (és a dir, el 4,3 per mil). Activitats d aprenentatge 6, 7 i 8

78 ACTIVITATS D APRENENTATGE 85 Activitat 1 Indica si les quantitats següents són proporcionals: a) i b) i c) i Activitat 2 Emplena els espais buits de manera que representin la mateixa raó de proporció: 3 2,5 1,5 2,5 = = = = = 1,2 2 3 Activitat 3 Mesura els rectangles següents i digues si alguns d ells són proporcionals: Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 ACTIVITATS D APRENENTATGE

79 86 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 4 En un plànol una habitació mesura 4 cm x 6 cm. Si l escala del plànol és d 1:100, quina és l àrea de l habitació real? Nota: l àrea d una habitació es calcula multiplicant l amplada per la llargada. Activitat 5 Troba la distància aproximada entre Berga i la Bisbal d Empordà. Utilitza el mapa de Catalunya de l apartat 2. Activitat 6 Una habitació mesura 5 m x 6 m. Si volem fer-ne un plànol a escala 1:50, quan mesurarà cada costat en el plànol? Activitat 7 Un treballador d una empresa de repartiment cobra per paquet entregat. Si dilluns, en entregar-ne 15 va cobrar 45, dimarts, que en va entregar 12, quant va cobrar?

80 Activitat 8 L any 1999 van arribar a Catalunya immigrants. a) Si d aquests immigrants provenien d África, quin percentatge representen? b) Si sabem que el 30,61% d immigrants provenien d Amèrica, quin és el total d immigrants americans que van arribar? 87 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 ACTIVITATS D APRENENTATGE

81 88 ACTIVITATS D AVALUACIÓ Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 ACTIVITATS D AVALUACIÓ Activitat 1 Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses: a) Una raó és el quocient entre dues quantitats:... b) La relació entre la base i l alçada d un rectangle és la proporció del rectangle:... c) Dos triangles que mesuren 3 cm de base i 4 cm d altura i 6 cm de base i 8 cm d altura respectivament estan en proporció:... d) Una escala és una proporció:... e) L escala 1:5.000 ens diu que un centímetre del plànol representa 50 Km de la realitat:... f) L escala 1:5.000 ens diu que un centímetre del plànol representa 5 Km de la realitat:... g) En una proporció el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans:... h) Per aplicar una regla de tres les magnituds han d ésser directament proporcionals:... i) El 20% de 200 és 180:... j) El 50% de 500 és 25:... Activitat 2 Digues si les següents quantitats són proporcionals a) i b) i Activitat 3 Calcula el valor de les lletres en les igualtats següents: 2 a d 10 a) 3 = 4,5 b) 1 = b c) c = 3 d) 2 = 5

82 Activitat 4 Calcula el perímetre i l àrea de l habitació representada en el mapa. 89 Activitat 5 Tres litres de llet valen 2,5. Quant costaran 16 ampolles de litre i mig? Activitat 6 Una determinada marca de xocolata conté un 53% de cacau. Calcula quina quantitat de cacau hi ha en tres quilograms de xocolata. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 ACTIVITATS D AVALUACIÓ

83 90 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 1 Indica si les quantitats següents són proporcionals: 3 9 a) i = 0,6 i 9 = 0, Efectivament, són proporcionals. 3 9 = = 0, b) i = 0,29 i 5 = 0, No són proporcionals ja que: c) i = 1,5 i 6 = 1, /2 i 6/4 són proporcionals ja que: 3 6 = 2 4 Activitat 2 Emplena els espais buits de manera que representin la mateixa raó de proporció: 3 5 2,5 7,5 1,5 2,5 = = = = = 1, ,6

84 Activitat 3 Mesura els rectangles següents i digues si alguns d ells són proporcionals 91 El primer i el quart rectangles són proporcionals ja que 2 4 = 3 6 Activitat 4 En un plànol una habitació mesura 4 cm x 6 cm. Si l escala del plànol és d 1:100, quina és l àrea de l habitació real? Nota: l àrea d una habitació es calcula multiplicant l amplada per la llargada. Amplada 4 cm x 100 = 400 cm = 4 m La longitud de l amplada de l habitació és 400 cm, és a dir, 4 m. 6 cm x 100 = 600 cm = 6 m. La longitud de la llargada de l habitació és 600 cm, és a dir, 6m. L àrea de l habitació és 6 m x 4 m = 24 m 2. Activitat 5 Troba la distància aproximada entre Berga i la Bisbal d Empordà. Utilitza el mapa de Catalunya de l apartat 2. La distància entre Berga i la Bisbal d Empordà, en el mapa, és de 4 cm, per tant: 4 cm x = cm = 100 Km La distància real entre Berga i la Bisbal d Empordà és, aproximadament, de 100 Km. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE

85 92 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 SOLUCIONS ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 6 Una habitació mesura 5 m x 6 m. Si volem fer-ne un plànol a escala 1:50, quan mesurarà cada costat en el plànol? 1 = x 50x = 5 1 x = 5 = 0,1 m = 10 cm x 6 = 50x = 6 1 x = = 0,12 m = 12 cm L habitació en la representació del plànol és de 10 cm x 12 cm. Activitat 7 Un treballador d una empresa de repartiment cobra per paquets entregats. Si dilluns, en entregar-ne 15 va cobrar 45, dimarts, que en va entregar 12, quant va cobrar? Si per 15 paquets cobra 45 per 12 paquets cobra x = 15 x = x = = x 15 Activitat 8 L any 1999 van arribar a Catalunya immigrants. a) Si d aquests immigrants provenien d África, quin percentatge representen? Si de immigrants són africans de cada 100 immigrants x seran africans = x = x = = 38,87% 100 x Els immigrants arribats de l Àfrica representen el 38,87% del total d immigrants. b) Si sabem que el 30,61% d immigrants provenien d Amèrica, quin és el total d immigrants americans que van arribar? Si de cada 100 immigrants 30,61 són americans de immigrants x seran americans. 100 = 30,61 100x = 30, x = = x 100 En total van arribar immigrants d Amèrica.

86 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D AVALUACIÓ 93 Activitat 1 Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses: a) Una raó és el quocient entre dues quantitats. VERTADERA b) La relació entre la base i l alçada d un rectangle és la proporció del rectangle. FALSA c) Dos triangles que mesuren 3 cm de base i 4 cm d altura i 6 cm de base i 8 cm d altura respectivament estan en proporció. VERTADERA c) Una escala és una proporció. FALSA d) L escala 1:5000 ens diu que un centímetre del plànol representa 50 Km de la realitat. FALSA e) L escala 1:5000 ens diu que un centímetre del plànol representa 5 Km de la realitat. FALSA f) En una proporció el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans. VERTADERA g) Per aplicar una regla de tres les magnituds han d ésser directament proporcionals. VERTADERA h) El 20% de 200 és 180. FALSA i) El 50% de 500 és 25. VERTADERA Activitat 2 Digues si les següents quantitats són proporcionals a) i a) = 0,5 i = 1, No són proporcionals b) i b) = 0,5 i = 0, Efectivament, són proporcionals. 2 4 = = 0,5 4 8 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 SOLUCIONS ACTIVITATS D AVALUACIÓ

87 94 Activitat 3 Calcula el valor de les lletres en les igualtats següents: Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 SOLUCIONS ACTIVITATS D AVALUACIÓ 2 a 9 a) 3 = 4,5 a) 2 4,5 = 3a a = 3 = b) = b) 6b = 3 1 b = = 0,5 1 b c) = c) 10c = 5 3 c = = 1,5 c 3 10 d d) = d) 5d = 10 2 d = = Activitat 4 Calcula el perímetre i l àrea de l habitació representada en el mapa. L habitació en el plànol mesura 4 cm x 5 cm. Per tant, les mesures reals són: 4 cm x 100 = 400 cm = 4m 5 cm x 100 = 500 cm = 5m Càlcul del perímetre: = 18 m Càlcul de l àrea: 4 5 = 20 m 2 1:100

88 Activitat 5 Tres litres de llet valen 2,5. Quant costaran 16 ampolles de litre i mig. 16 ampolles de litre i mig són: 16 1,5 = 24 litres. 3 2,5 24 2,5 = x = = x 3 Activitat 6 Una determinada marca de xocolata conté un 53% de cacau. Calcula quina quantitat de cacau hi ha en tres quilograms de xocolata. Si en 100 Kg de xocolata hi ha 53 Kg de cacau en 3 Kg de xocolata hi ha x Kg de cacau = 100x = 53 3 x = 159 = 1,59 3 x 100 En tres quilograms de xocolata hi haurà 1,59 Kg de cacau. 95 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 SOLUCIONS ACTIVITATS D AVALUACIÓ

89 què has treballat? Raó de proporció PROPORCIONALITAT Escales Proporcions Propietat fonamental de les proporcions Regla de tres Tant per cent i tant per mil 97 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 QUÈ HAS TREBALLAT?

90 98 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 3 COM HO PORTO? com ho porto? Omple la graella següent posant una creu on correspongui. En acabar la unitat, sóc capaç de... Diferenciar entre raó de proporció i proporcionalitat. Calcular les mides reals a partir de representacions a escala. Calcular les mides a escala de distàncies reals per elaborar plànols, mapes, etc. Utilitzar la propietat fonamental de les proporcions. Trobar dades mitjançant la regla de tres. Calcular percentatges. Trobar dades reals en casos concrets a partir dels seus percentatges. Bé A mitges Malament

91 Unitat 4 99 EL MERCAT Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 EL MERCAT

92 100 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de: Diferenciar béns i serveis. Reconèixer la llei de l oferta i la demanda. Reconèixer les magnituds proporcionals presents en l economia. Calcular el tant per cent en comissions. Calcular el tant per cent en recàrrecs. Utilitzar el tant per cent per fer descomptes. Aplicar els percentatges dels impostos.

93 1. Oferta i demanda Comprar, vendre o intercanviar no és exclusiu de la nostra societat, ni tan sols del nostre temps. Des de les primeres civilitzacions l home ha tingut la necessitat d adquirir aquells productes que necessitava i que no podia produir. Així, la gent intercanviava els productes que li sobraven per aquells que necessitava. Posteriorment aparegué el diner i la compravenda es va simplificar. Actualment la utilització de les targetes de crèdit ha introduït en el mercat una forma diferent d intercanvi. La compra, tot i ésser un acte que cada dia realitzem diverses vegades, és una acció molt més important del que ens pensem. Cada vegada que comprem un producte no estem cobrint únicament una necessitat. El senzill fet de comprar un objecte, per petit que sigui, fa que indirectament estem decidint l estil de vida i el tipus de societat on volem viure. Imaginem que ha arribat l hora de dinar: podem triar entre menjar un entrepà en una multinacional de menjars ràpids o bé decidir-nos per un restaurant tradicional de menús casolans. D alguna manera, quan triem quin tipus de producte volem i en quin tipus d establiment l hem de comprar és com si votéssim a favor d aquella opció. Les necessitats que es poden cobrir mitjançant la compra poden ser de béns o de serveis. Els béns són tots aquells objectes físics que podem comprar; per exemple, un tros de carn, una peça de roba, un llapis, un cotxe, un llibre. En canvi, els serveis no són objectes que ens puguem endur a casa, són un conjunt d activitats de les quals podem gaudir. Per exemple una visita al metge, l escola, una hora de pàrking, un viatge, el dret a banyar-se en un piscina, poder veure una pel lícula, etc. Tots el béns i serveis tenen el seu preu; alguns els paguem directament de la nostra butxaca però n hi ha d altres que paguem mitjançant els impostos. D altra banda, per què l or i els diamants són tan cars i l aigua i la sorra, posem per cas, són tan barats? Qui fixa el preu dels productes? Els empresaris? L estat? Els compradors? En una societat com la nostra els preus dels productes, tant siguin béns com serveis, vénen fixats per la llei de l oferta i la demanda. L oferta és la quantitat d un producte que els fabricants poden produir i per tant vendre. La demanda és la quantitat de producte que els consumidors volen comprar. Així, segons la llei de l oferta i la demanda, si la demanda d un producte és més gran que l oferta, el producte puja de preu, però si l oferta és més gran que la demanda el producte baixa de preu. demanda + oferta = preu demanda + oferta = preu Tots sabem que quan hi ha un acte esportiu important, al voltant dels estadis es produeix la revenda d entrades. Els revenedors compren moltes entrades a les taquilles al preu estipulat i d aquesta manera provoquen que aquestes s esgotin, és a dir, que disminueixi l oferta. Qui vulgui una entrada no tindrà més remei que comprar-la a un revenedor. Com que l oferta és escassa els revenedors pugen els preus. 101 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 EL MERCAT

94 102 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 EL MERCAT Quan l acte esportiu no és important, la demanda d entrades baixa i a les taquilles hi ha suficient oferta de tal forma que les entrades no s exhaureixen. Un altre factor que afecta de manera molt important la compra de productes és la publicitat. La publicitat emet una informació que prové del fabricant interessat a vendre el seu producte. No es tracta d una informació objectiva i molt sovint el seu objecte és crear en el públic la necessitat de comprar allò que és anunciat. 2. Percentatges aplicats a l economia Comissions i recàrrecs Comissions En el cas dels revenedors d entrades, la seva comissió serien els diners que guanyen en la venda de cada entrada. Les comissions són els guanys que es cobren per cada producte que es ven. Normalment els representants de productes o d empreses acostumen a tenir una comissió, és a dir, guanyen un % sobre els articles que venen. Així, si un viatjant té una comissió del 25% vol dir que per cada 100 de venda guanya (El 25% = = 0,25 ) 100 Si un dia fa vendes per valor de 540 el 25% serà: 540 x 0,25 = 135. Haurà guanyat 135. Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria: 540 x 25 % 135 Activitat d aprenentatge 1 Recàrrec o augment Les empreses i les botigues, quan posen un article a la venda, li augmenten el preu de cost per obtenir els beneficis. Aquest augment el calculen aplicant el %. Per exemple, una botiga de calefaccions vol obtenir un benefici del 80% en la venda d un radiador que ha comprat a la fàbrica per 18,50. El preu de venda serà: el preu de cost + % de benefici = 18,5 + 80% de 18, Un recàrrec del 80% = = 0,8 100 Per tant, el 80% de 18,50 és: 18,50 x 0,8 = 14,80 són els guanys. El preu de venta del radiador serà: 18, ,80 = 33,30. Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria: 18,50 x 80 % + 33,30

95 Activitat d aprenentatge 2 Els productes van augmentant successivament de preu des que són fabricats fins que arriben a mans del consumidor. A mesura que un producte passa del fabricant al distribuïdor i d aquest a la botiga, se li apliquen successivament uns percentatges de benefici. Així, un frigorífic que a la fàbrica li costa 320 pot ser venut a un majorista un 40% més car. El majorista el ven a la botiga amb un 65% de recàrrec i el botiguer el posa a la venda aplicant-li el 70% sobre el preu que ha pagat. El preu de venda de la fàbrica serà: Preu de cost + 40% del preu de cost. El preu de venda del majorista serà: Preu de fàbrica + 65% del preu de fàbrica. El preu de venda de la botiga: Preu de majorista + 70% del preu del majorista. El preu de venda de la fàbrica serà: El 40% de 320 = 320 x 0,4 = = 448 El preu de venda del majorista serà: El 65% de 448 = 448 x 0,65 = 291, ,20 = 739,20 El preu de venda de la botiga serà: El 70% de 739,20 és: 739,20 x 0,70 = 517,44 739, ,44 = 1.256,64 Per tant, un frigorífic que a la fàbrica li costa 320 pot acabar valent 1.256,64 (sense tenir en compte els impostos) a causa dels percentatges que li han anat aplicant. Nota: El preu final no es pot calcular sumant els successius percentatges d augment. Activitat Comprova que el preu final del producte anterior no és el resultat d aplicar el percentatges successius. Solució Per fer la prova se sumen els %. 40% + 65% + 70% = 175 % S aplica el percentatge de 175% al preu inicial de % = = 1, x 1,75 = 560 El preu final seria = 880, que no correspon als 1.256,64 del resultat anterior. 103 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 EL MERCAT

96 104 Descomptes, rebaixes i liquidacions Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 EL MERCAT Descomptes Els productes a la venda estan subjectes a descomptes, rebaixes i liquidacions. Un descompte és la quantitat deduïda de l import d un producte. Rebaixes Et vols comprar uns pantalons esportius que valen 95 i decideixes anar a la botiga del teu amic que saps que et farà un descompte del 10%. Ja saps que un 10% vol dir que de cada 100 que has de pagar et trauran 10 i només pagaràs 90. Per calcular el preu dels pantalons hem de fer: 95-10% de Un descompte del 10% = = 0,1 100 El 10% de 95 és: 95 x 0,1 = 9,50 que t has estalviat. Els pantalons et costaran: 95 9,50 = 85,50 Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria: 95 x 10 % 85,50 Les rebaixes són descomptes generalitzats en els preus dels productes. Les rebaixes només es poden oferir durant uns determinats períodes de l any, els quals estan establerts per l administració competent. Les temporades de rebaixes són una de les èpoques de més vendes. Els botiguers volen eliminar els estocs que els han quedat i per això han de baixar els preus. És a dir, s han de rebaixar aquelles peces en què l oferta ha estat més gran que la demanda, per donar-los sortida, però hem d anar amb compte que no ens rebaixin alhora la qualitat. Els comerciants utilitzen diferents tècniques per tal de cridar l atenció dels clients. En època de rebaixes els productes tenen els típics descomptes d aquestes èpoques, un 10 %, un 25% i fins i tot un 50% en alguns articles. Però hi ha altres tècniques per cridar l atenció d un possible client, pensem en anuncis de 3x2. Pagues dos parells de sabates i te n duus tres. A les rebaixes, en una sabateria fan un descompte del 30 % en unes sabates que valen 105. Les mateixes sabates estan en una altra botiga que fan el 3x2. Com puc saber què em surt més a compte? Calculem el preu de les sabates a la primera botiga. Per calcular el preu de les sabates hem de fer: % de Un descompte del 30% = = 0,3 100 El 30% de 105 és: 105 x 0,3 = 31,50 que ens estalviem. Les sabates costaran: ,50 = 73,50.

97 Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria: 105 x 30 % 73, Liquidacions Calculem el preu d un parell de sabates a la botiga de 3x2. Comprem 2 parell a 105 cada u. Per tant paguem: 105 x 2 = 210. Si ens emportem 3 parells de sabates, cada parell ens costarà: 210:3 = 70. En aquest cas són més barates les sabates a la botiga de 3x2. Les liquidacions són vendes de caràcter extraordinari i amb gran rebaixa de preus que fan els establiments comercials per cessació, reforma o trasllat. Impostos A les liquidacions que fa una botiga de mobles per canvi d exposició comprem una taula per 480. Tenim curiositat per saber quant costava abans de fernos el 40% de descompte. Un descompte del 40% vol dir que de cada 100 ens han tret 40, per tant, hem pagat el 60%. És a dir, el 60% correspon als correspon a correspon a x Això escrit en forma de proporcionalitat: = 100 x x = = El preu inicial era de 800. Activitats d aprenentatges 3, 4 i 5 Com ja hem dit, la principal manera de cobrir les nostres necessitats és comprant i per tant pagant-les, però els pagaments poden ser directes o indirectes. Tots aquells serveis que són gratuïts: l assistència mèdica, les escoles, la policia, la neteja dels carrers, la construcció de carreteres i tantes altres coses, els paguem mitjançant els impostos. Els impostos són tributs o retencions econòmiques que rep el govern cada vegada que es fan actes de naturalesa econòmica com poden ser negocis, compres, etc. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 EL MERCAT

98 106 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 EL MERCAT Els impostos més coneguts són: L IRPF (l impost sobre la renda de les persones físiques) és un percentatge que grava els guanys obtinguts per cadascú de nosaltres en un període determinat; qui més guanya més paga. L impost sobre el valor afegit, conegut com a IVA, és un valor que s afegeix cada vegada que es compra un producte. Hi ha tres tipus de d IVA que s apliquen segons el producte. El tipus normal d IVA és del 16%, que s aplica a la majoria de productes, però també hi ha tipus d IVA reduïts com el de l alimentació, que és d un 7%, i d altres que tenen un 4% d IVA Activitats d aprenentatge 6, 7, 8 i 9.