Cambio de Variables en la Integral Múltiple

Transcripción

1 Capítulo 27 Cambio de Variables en la Integral Múltiple n la demostración del teorema del cambio de variable utilizaremos con frecuencia que el carácter medible de los conjuntos es una propiedad que se mantiene por aplicaciones de clase C 1. ste resultado es una consecuencia del hecho de que toda aplicación de clase C 1 en un abierto de R n es lipschitziana sobre cada compacto contenido en él: Transformación de conjuntos medibles por funciones de clase C 1 Lema 27.1 Sea T : U R n R n una aplicación de clase C 1. Supongamos en R n la norma y sea Q un cubo cerrado contenido en U, entonces (i) Si DT (u) α, para todo u Q, entonces m (T (Q)) α n m(q). (ii) T transforma conjuntos medibles en conjuntos medibles. Demostración. i) Sea u 0 el centro de Q y l el lado. Como Q es convexo, del teorema del valor medio se deduce que T (u) T (u 0 ) α u u 0, u Q lo que nos indica que T es lipschitziana sobre Q de constante α y por tanto i) se deduce del lema l apartado ii) se deduce de la proposición 20.7, sin más que tener en cuenta que toda aplicación de clase C 1 es localmente lipschitziana. 267

2 268 Cambio de Variables 27.2 Lema 27.2 Si L es una aplicación lineal de R n en R n, entonces (27.1) m (L()) = det L m (). Demostración. Si L es singular, L() está contenido en un subespacio de dimensión r < n. ste subespacio será por lo tanto isomorfo al subespacio vectorial, R r {0}... {0}, y como él será, según el resultado anterior, un conjunto de medida nula. Se deduce pues que L() es de medida nula y por tanto la fórmula (27.1) es válida en este caso. La demostración en el caso en que L sea no singular, se basa en la existencia de una descomposición de L en término de aplicaciones lineales elementales de uno de estos tres tipos: (L i,j ) Permutación de dos coordenadas. L i,j (u 1,..., u i,..., u j,..., u n ) = (u 1,..., u j,..., u i,..., u n ). (L ci ) Multiplicar una coordenada por un número real. L ci (u 1,..., u i,..., u n ) = (u 1,..., cu i,..., u n ). (L i+cj ) Sumar a una coordenada otra multiplicada por un número real. L i+cj (u 1,..., u n ) = (u 1,..., u i + cu j,..., u n ). (Para simplificar, denotaremos de la misma forma a una aplicación lineal y a su matriz asociada). s fácil ver que la matriz de L i,j se obtiene permutando las filas i y j en la matriz identidad, I. Si T es una aplicación lineal, la multiplicación L i,j T, produce una matriz en la que se han permutado las filas i y j de T. Análogamente, la matriz L ci se obtiene multiplicando por c la fila i de I. Y la matriz L i+cj sumándole a la fila i de esta matriz la j multiplicada por c. La multiplicación L ci T o L i+cj T, produce los efectos anteriores, pero sobre la matriz T en lugar de la I. Vamos a ver que mediante sucesivas transformaciones de los tres tipos anteriores se puede reducir la aplicación lineal L a la identidad. l procedimiento es como el utilizado para obtener ceros en un determinante Paso 1. Conseguir un 1 en el lugar (1,1) de L mediante:

3 27.2 Cambio de Variables 269 Transposición de dos filas de L, para conseguir un elemento no nulo (por ejemplo, igual a c) en posición (1,1). Multiplicación de la primera fila de la matriz obtenida por 1/c. Paso 2. Obtener ceros en la primera columna, sin más que restar a cada fila la primera multiplicada por el número que corresponda. Paso 3. Conseguir de forma análoga un 1 en el lugar (2,2) y un 0 en los demás términos de la segunda columna. Análogamente con las demás columnas. De esta forma, mediante un número finito de estas transformaciones, denotémoslas por ejemplo L 1, L 2,..., L p, hemos reducido (componiendo a la izquierda con L 1, L 2,..., L p ) la aplicación L a la identidad I, es decir L p L p 1... L 1 L = I Como L 1 i,j = L j,i, L 1 ci = L 1/c i, L 1 i+cj = L i cj, se deduce inmediatamente de lo anterior que L es una composición de aplicaciones elementales de los tipos descritos. Y puesto que el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes, la fórmula (27.1) sólo será preciso probarla para estas aplicaciones elementales. Supongamos primero que es un semintervalo, = n i=1 (a i, b i ], y observemos que det L i,j = 1, det L ci = c, det L i+cj = 1. ntonces, 1. L i,j () = (a 1, b 1 ]... (a j, b j ]... (a i, b i ]... (a n, b n ]. Luego m(l i,j ()) = m() = det L i,j m(). 2. L ci () = (a 1, b 1 ]... (ca i, cb i ]... (a n, b n ]. Luego m(l ci ()) = c m() = det L ci m(). 3. Veamos, por último, el caso de aplicaciones del tipo L i+cj. Para calcular m(l i+cj ()) vamos a utilizar el teorema de Fubini. Podemos suponer para concretar y simplificar que i = 2, j = 1. ntonces: F = L (2)+c(1) () = {(u 1, u 2 + cu 1, u 3,..., u n ): u i (a i, b i ]},

4 270 Cambio de Variables 27.2 luego m(f ) = = b1 a 1 = F dx 1 dx 2... dx n = n (b i a i ) i=3 B ( b2 +cx 2 ) a 2 +cx 1 dx 2 dx 1 = Se tiene pues que B dx 1 dx 2 = b1 ( ) dx 3 dx 4... dx 1 dx 2 F (x 1,x 2 ) ( (x 1 )dx 2 )dx 1 A B a 1 (b 2 a 2 )dx 1 = (b 2 a 2 )(b 1 a 1 ). m(l i+cj ()) = det L i+cj m(). Sea ahora un conjunto cualquiera y L una aplicación lineal de uno de los tipos descritos antes. ntonces, para ε > 0, tomemos {I k } una colección numerable de semintervalos tal que I k, m(ik ) m () + ε. entonces, utilizando la monotonía y la subaditividad de la medida exterior, se tiene: m (L()) m(l(i k )) = det L m(i k ) det L ( m () + ε ), lo que, debido al carácter arbitrario de ε, implica que m (L()) det L m (). Puesto que la aplicación L 1 es del mismo tipo que L, se obtiene la desigualdad contraria: m () = m (L 1 L()) det L 1 m (L()) = por tanto m (L()) = det L m (). l teorema del cambio de variables en la integración Lebesgue 1 det L m (L()), Teorema 27.3 (l teorema del cambio de variables (TCV) Sea T : U T (U) un difeomorfismo de clase C 1 entre los abiertos U y T (U) de

5 27.3 Cambio de Variables 271 R n y f una aplicación de T (U) en R. ntonces para cada conjunto medible U se tiene: f = (f T ) det DT T () (n el sentido de que la existencia de una de las integrales implica la existencia de la otra y la igualdad entre ambas). Obsérvese en primer lugar que por ser T un difeomorfismo, del lema 27.1 ii) se deduce que la función f es medible sobre T () si y sólo si f T es medible sobre, y por ser det DT continua y 0, si y sólo si (f T ) det DT es medible. Para la demostración del caso general consideraremos algunas reducciones. n primer lugar, puesto que f es medible si y sólo si f + y f lo son, bastará demostrar el teorema para funciones no negativas. Por otra parte, será suficiente con probar que (27.2) f (f T ) det DT (f 0), T () pues entonces, considerando el difeomorfismo T 1 y la función g = (f T ) det DT, al aplicar (27.2) resulta que g (g T 1 ) det DT 1 = f. T () T () s inmediato comprobar que para la validez de (27.2) sólo es preciso que ésta se satisfaga en el caso en que = U, es decir que (27.3) f (f T ) det DT (f 0), T (U) U y aún es posible reducir la demostración de (27.3) al caso particular en que f = X T (Q) donde Q es un semicubo de adherencia contenida en U, es decir a probar que (27.4) m(t (Q)) det DT. n efecto, (27.4) se extiende sin dificultad primero a los conjuntos abiertos. A continuación podemos extenderla a conjuntos medibles que sean subconjuntos de cubos abiertos de adherencia contenida en U: Sea Q un cubo abierto tal que Q U y Q. ntonces, por la regularidad de la medida Q

6 272 Cambio de Variables 27.3 y la continuidad absoluta de la integral, para cada ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 y un conjunto abierto O Q tales que (27.5) m(o \ ) < δ; det DT < ε. O\ De esto se deduce que m(t ()) m(t (O)) det DT O = det DT + det DT < det DT + ε, O\ de lo que resulta, debido al carácter arbitrario de ε, que m(t ()) det DT. Sea ahora medible contenido en U, y sea {Q i } una partición numerable de U por semicubos de adherencia contenida en U. Bastará probar que para cada uno de estos semicubos se tiene m(t ( Q i )) det DT. Q i n efecto, o m(t ( Q i )) = m(t ( Q i )) + m(t ( F r (Q i )) = m(t ( det DT = det DT. Q o i Q i o Q i )) Por la linealidad de la integral la fórmula (27.3) quedaría ya establecida para funciones simples. Con ello, y teniendo en cuenta que toda función medible no negativa, f, puede aproximarse por funciones simples, la desigualdad (27.3) se obtiene para f por el teorema de la convergencia monótona. l teorema del cambio de variable queda sólo pendiente de la demostración del lema: Lema 27.4 Supongamos que T : U T (U) es un difeomorfismo entre los abiertos U y T (U) y sea Q es un semicubo tal que Q U, entonces: i) Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si C es un semicubo de lado menor igual que δ, contenido en Q, m(t (C)) (1 + ε) n det DT (v) m(c), v C.

7 27.4 Cambio de Variables 273 ii) m(t (Q)) Q det DT. Demostración. (n R n trabajaremos con la norma ). i) Puesto que T es un difeomorfismo, es fácil comprobar que la aplicación, u DT (u) 1, es continua sobre U. Por tanto sup DT (v) 1 <. v Q Teniendo en cuenta ahora que DT es uniformemente continua sobre Q, dado ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal que u 1 u 2 δ, u 1, u 2 Q DT (u 1 ) DT (u 2 ) ε sup v Q DT (v) 1. Sea C Q un semicubo de lado menor que δ. Fijemos un punto v C cualquiera y consideremos el difeomorfismo T 1 = DT (v) 1 T. Utilizando los lemas 27.1 y 27.1, podemos escribir: m(t 1 (C)) = det DT (v) 1 m(t (C)) α n m(c), donde α = sup u Q DT 1 (u). Se deduce pues que y como se tiene ya, que m(t (C)) α n det DT (v) m(c), α = sup DT 1 (u) = sup DT (v) 1 DT (u) u Q u Q = sup I + DT (v) 1 (DT (u) DT (v)) u Q 1 + DT (v) 1 DT (u) DT (v) 1 + ε, m(t (C)) (1 + ε) n det DT (v) m(c), v C ii) Para cada número natural p tomemos δ p, asociado a ε = 1/p en i), tal que la sucesión {δ p } tienda a 0, y sea {C ip } una partición finita de Q mediante semicubos de lado menor o igual que δ p. Fijemos v ip C ip. Por i) sabemos que (27.6) m(t (C ip )) (1 + 1/p) n det DT (v ip ) m(c ip ).

8 274 Cambio de Variables 27.4 Consideremos entonces para cada p la función simple s p = det DT (v ip ) X Cip. De (27.6) se deduce fácilmente que 1 s p m(t (Q)). (1 + 1/p) n Por otra parte, la sucesión {s p } converge uniformemente (en Q) a la función det DT. n efecto, sea δ > 0 asociado a ε por la continuidad uniforme de la función det DT. ntonces, si u Q y C ip es el semicubo de la partición en el que está u (luego u v ip < δ p ), se tiene que sp (u) det DT (u) = det DT (vip ) det DT (u) < ε, si δp < δ. l teorema de la convergencia dominada nos permite deducir ya det DT = lim s p m(t (Q)). p Q jercicios 27A (a) Utilizar coordenadas polares para deducir la fórmula que da el área del círculo (b) Considerar la elipse de ecuación x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. Utilizar el cambio de coordenadas x = au; y = bv para demostrar que el área limitada por la esta elipse es igual a πab. 27B Sea z = f(y) una función de una variable, A = [a, b] y B = Ord A (f). (a) Probar que el volumen del sólido obtenido al girar B en torno al eje Y es V = π b a f 2 (y)dy. (b) Probar que el volumen del sólido obtenido a girar B en torno al eje Z es V = 2π b a yf(y)dy. indicación. Utilizar coordenadas cilíndricas. (c) Obtener el volumen del toro obtenido al girar el círculo z 2 + (y a) 2 R 2 en torno al eje Z (Sol: 2π 2 R 2 a).

9 27N Cambio de Variables C Obtener el volumen del recinto D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 9; x 2 + z 2 9}. 27D Obtener el área encerrada por la curva cuya ecuación en polares es r = sen θ. 27 Obtener el área de uno de los segmentos circulares en que divide el eje Y al círculo de ecuación (x 1) 2 + (y 1) F Calcular el área de uno de los bucles de la lemniscata (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2. 27G (a) Mediante el cambio a polares para calcular R 2 e (x2 +y 2) dxdy. (b) Utilizar (a) para calcular R e x2 dx 27H Calcular el área limitada por las curvas: x 2 + y 2 = 2x; x 2 + y 2 = 4x; y = x; y = 0. 27I Calcular B cos π 2 (x y ) dxdy, x + y donde B es el recinto limitado por los ejes y la recta x + y = 1 (Hacer el cambio x y = u; x + y = v). 27J Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 y el cilindro (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2 27K Calcular D xz 2 y dxdydz, siendo D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 1; 0 x y}. 27L Calcular D zdxdydz, siendo D = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 4; z 2 x 2 +y 2 ; 0 z 3} (Utilizar coordenadas esféricas). 27M Calcular el volumen del sólido que se encuentra fuera del cono de ecuación x 2 +y 2 = z 2 y dentro de la esfera de ecuación x 2 +y 2 +z 2 = 4z (utilizar coordenadas esféricas). 27N Determinar el volumen de la zona interior al cilindro de altura 4, x 2 +y 2 = 2y y al paraboloide z = x 2 + y 2.

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