Método de Sustitución

Transcripción

1 Método d Sustitución El cálculo d una intgral complicada rquir, n muchos casos, d algunos cambios d variabl qu transformn la intgral n otra más simpl, dond s puda idntificar rápidamnt una antidrivada. Esta s la ida básica qu soporta l método d sustitución, con l fin d comprndr mjor la ida supón qu quirs calcular la intgral I d Si dfinimos la función u tnmos d, d dond d La intgral s transforma, usando stos rsultados, n I u + C intgrando,. + C sustitundo u Con sto hmos ncontrado una antidrivada d la función original, para mostrar qu l cálculo s corrcto basta drivar la última prsión. En gnral, si F s una antidrivada d f, tnmos Fu ( ) fu ( ) + C Si admás u g( ) tnmos, d la dfinición d difrncial, qu g '( ) d ; n conscuncia, F( g( )) f( g( )) g'( ) d+ C Qu s prfctamnt cohrnt con la rgla d la cadna d drivadas. Est rsultado lo formalizamos con l siguint torma, qu nunciamos sin dmostración Torma. Cambio d variabl para intgrals indfinidas. Sa u g( ) una función drivabl n algún intrvalo n l qu la función f sa continua. Entoncs f g( ) g '( ) d f ( u) ( ) Para l caso d las intgrals dfinidas tnmos l torma quivalnt siguint. Torma. Cambio d variabl para intgrals dfinidas. Si g'( ) s continua n a b f ( ) s continua sobr la imagn d g, ( ) ntoncs b a ( ) g( b) f g( ) g '( ) d f ( u) Dmostración. Sa F( ) una antidrivada d f ( ), ntoncs: g( a)

2 b a ( ) b ( ) a F( g b ) F( g a ) f g( ) g'( ) d F g( ) por l torma d intgrals dfinidas, u g( b) u g( a) g( b) g( a) ( ) ( ) valuando, Fu ( ) tomando u u como límits d la variabl u, f( u) por la dfinición d antidrivada. T rcomndamos mplar l método d sustitución cuando aparzca una intgral complicada, a qu una primra simplificación pud audart a dcidir l siguint paso a ralizar. Sin mbargo, n algunos casos no basta con un primr cambio d variabl pud sr ncsario un sgundo o varios más. La práctica t prmitirá dtrminar cada vz con maor facilidad l cambio adcuado. Por otra part, istn dos rrors qu comúnmnt s comtn al utilizar l método d sustitución. El primro s no transformar adcuadamnt la intgral djar l intgrando n términos d las nuva vija variabls. El sgundo rror s transformar l intgrando pro no los límits d intgración. Rcurda simpr cambiar los límits rscribir l intgrando sólo n términos d la nuva variabl. Tomando n cuntas stas obsrvacions stablcmos l método d sustitución. Método d sustitución ) Propón un cambio d variabl u g( ) ) Si s ncsario posibl dspja, si no s posibl busca una función d apoo. ) Calcula g '( ) d 4) Obtén los límits d la variabl u considrando u ( a) ga ( ) u ( b) gb ( ) ) Rscrib la intgral n términos d la variabl u utilizando los rsultados antriors Ejmplos Ejmplo. Calcula las siguints intgrals a) I cos(+ ) d. b) I d + c) I sc ( d ) Para stas trs intgrals l cambio d variabl s inmdiato. a) En l primr caso proponmos l argumnto d la función como l cambio d variabl u +, difrnciando rsulta d, dspjando d obtnmos d. Así qu:

3 I cos( + ) d idntificando términos u cos( u) hacindo l cambio d variabl sn( u ) + C sacando constants d la intgral intgrando sn( + ) + C sustitindo u b) Ahora proponmos u +, d aquí tnmos d, dspjando d. Así qu: I d + u idntificando términos u hacindo l cambio d variabl ln u + C sacando constants d la intgral intgrando ln + + C sustitundo u c) Ahora proponmos u, d dond obtnmos d, dspjando d. Así qu: I sc ( ) d idntificando términos u sc ( u) hacindo l cambio d variabl tan( u ) + C sacando constants d la intgral intgrando tan( ) + C sustitundo u Ejmplo. Calcula la intgral + I d D ntrada, obsrva qu l término stá rlacionado con la drivada d. Si hacmos la sustitución u + tnmos qu su difrncial s d, d dond obtnmos d. Runindo stos rsultados podmos prsar la intgral n términos d la variabl u, obtnmos ntoncs

4 / / u ( + ) d u / / C u C / u Una antidrivada d u s + +. Así qu: / / u / I u + C u + C 9 Finalmnt, sustitundo l valor d u, obtnmos ( ) / I + + C 9 Ejmplo. 4 Calcula la intgral I cos( ) d. Obsrva qu cos( ) s una función compusta, d manra qu podmos ralizar la 4 sustitución u, d dond tnmos qu d. D sta forma la intgral I pud prsars, dspués d hacr l cambio d variabl intgrar, como: 4 I cos( )( ) cos( ) sn( ) d u u + C f ( u) Finalmnt, substitundo u obtnmos sn( I ) + C. Ejmplo 4. Calcula la intgral I ( ) d. Solución. En st caso la intgración rsulta casi inmdiata, a qu si dfinimos u, ntoncs ( ) d d manra qu, al sustituir intgrar rsulta: I ( ) d u u + C Eprsando st rsultado n términos d la variabl original obtnmos Ejmplo. I + C. Dtrmina l ára limitada por la curva. Solución. Para dtrminar l ára basta calcular la intgral arriba dl j, ntr las rctas I d. Como sta intgral s dfinida, cualquir cambio d variabl qu hagamos modificará los límits d intgración. El cambio qu proponmos s u, su difrncial s d, los límits d la variabl u son u ( ) u ( ) 4. El ára buscada l ára transformada por l cambio d variabl s mustra n la figura.

5 a) b) Figura. En a) s mustra l ára buscada n un sistma d js,. n b) s mustra l ára transformada mdiant l cambio d variabl. Ambas áras procn l mismo rsultado. v 4 u Runimos stos rsultados n la lína siguint: Cambio d variabl Difrncial Límits u d u ( ) u ( ) 4 D sta manra: / I ( ) d idntificando términos sustitundo u 4 / u 4 / / u u intgrando / / (4) valuando Ejmplo 6. Calcula l ára d la rgión sombrada d la siguint figura Figura. Cálculo dl ára d la rgión sombrada Solución. Para dtrminar l ára basta calcular la intgral: A d + + Proponmos u + como un primr cambio d variabl para simplificar la intgral, su difrncial los nuvos límits s mustran n las línas siguints. ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ + +

6 Cambio d variabl Difrncial Límits u + d u ( ) u ( ) + Con st cambio la intgral s transforma n: + A u + Ahora proponmos v u + como un sgundo cambio, obsrva qu para calcular ncsitamos dspjar u ants, l rsumn dl cambio s mustra n la lína d abajo. Así obtnmos A Cambio d variabl Difrncial Límits v u ( v ) u ( v ) dv v ( v ) dv vu ( ) + vu ( + ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) sustitundo + + dv v ln( v) intgrando + v ln ln + valuando.646 Ejmplo 7. Calcula l ára l valor promdio d las siguints funcions n l intrvalo [,] a) f( ) + b) g ( ) + c) h ( ) + a) Para dtrminar l ára sólo ncsitamos calcular la intgral d la función dado qu ésta s positiva n l intrvalo proporcionado. Usmos l cambio d variabl u +, la difrncial los límits d intgración s mustran n la lína d apoo siguint: Entoncs Cambio d variabl Difrncial Límits u + dspjando s tin u d u( ) + ; u() + +

7 + d ara( f ) sustitundo + u ln u ( + )/ + ( + )/ intgrando + ln( + ) ln valuando simplificando ln( ) Finalmnt, l valor promdio s obtin dividindo l ára ntr la longitud dl intrvalo. Es dcir: f [,] /. b) Hacmos actamnt l mismo cambio dl inciso antrior. Tnmos ahora u d d ara( g) idntificando términos + + u + + ( u ) simplificando u u ( + )/ ( + )/ + u ln u ( + )/ intgrando + + [ + ln( + ) ] ln v aluando.4 Nuvamnt l valor promdio s obtin dividindo l ára ntr la longitud dl intrvalo. Obtnmos ahora g[,].67. c) En st último caso, primro rscribimos l intgrando como sigu + ( + ) + Considrando tnmos El cambio d variabl La difrncial Los límits u d u( ) ; u () u u d ara( h) ara( f ) u u Dond idntificamos la intgral qu nos aparció n l cálculo dl ára d la función f. Finalmnt, l valor promdio s: h[,] /

8 Ecuacions difrncials Las cuacions difrncials son l lnguaj natural para dscribir fnómnos d divrsas áras d la cincia ingniría. Sin profundizar dmasiado, una cuación difrncial s una rlación qu involucra a una función a sus drivadas, l objtivo s dtrminar la función qu satisfac tal rlación. En sta búsquda jugan un papl vital los métodos d intgración. Sin mbargo, s tan amplio l campo d las cuacions difrncials qu sólo tratarmos aquí las llamadas cuacions difrncials sparabls d primr ordn. Ncsitamos para mpzar la siguint dfinición. Ecuación difrncial sparabl d primr ordn.. Una cuación difrncial s d variabls sparabls si s pud scribir como ' f( ) g( ). La prsión H(, ) s solución si al sustituir, ' n la cuación difrncial s proc una idntidad.. H(, ) s solución d la cuación difrncial con la condición inicial ( ) si s solución admás H(, ). Por jmplo, la cuación difrncial ' con la condición inicial () tin como solución. En fcto, como ' / obtnmos, al sustituir n la cuación difrncial, la idntidad. Admás l punto (,) stá n la rcta. Por otra part, para rsolvr una cuación d variabls sparabls, sólo tnmos qu rscribir la cuación con las variabls sparadas. Es dcir: ' f ( ) g( ) Dspués buscamos las antidrivadas d las funcions qu aparcn n cada trmo d la cuación. Estas antidrivadas difirn n una constant, Es dcir, si G ( ) F( ) ' son primitivas d g( ) f ( ) rspctivamnt, ntoncs G ( ) F ( ) + C. Si admás la cuación tin la condición inicial ( ) ntoncs G ( ) F ( ) + C, d dond C G( ) F( ). Así obtnmos G ( ) G ( ) F ( ) F ( ), como G F son antidrivadas, ntoncs por l torma fundamntal dl cálculo f( ) d F( ) F( ) G( ) G( ) g En rsumn, la solución d la cuación difrncial Error! No s ncuntra l orign d la rfrncia. con la condición inicial ( ) stá dada por la prsión. d f( ) d g( ) d ( )

9 Ejmplos Ejmplo 8. Rsulv la cuación difrncial d d Con la condición inicial (). Para rsolvr la cuación sólo sparamos las variabls d d La solución s obtin intgrando ambos lados d sta cuación. Si considramos la condición inicial obtnmos ln d d ln( ) Ejmplo 9. Carlos saca un vaso d agua fría dl rfrigrador la dja sobr una msa, l día s solado la tmpratura s d C. Al salir dl rfrigrador la tmpratura dl agua ra d C dspués d minutos subió a C. Dtrmina una cuación difrncial qu modl l cambio d la tmpratura n l timpo suponindo qu la razón a la qu cambia la tmpratura d la bbida s proporcional a) a la difrncia ntr su propia tmpratura la dl mdio qu lo roda. b) al cuadrado d la difrncia ntr su propia tmpratura la dl mdio qu lo roda. a) Establzcamos l modlo matmático d la situación, para llo obsrva qu: la fras razón a la qu cambia la tmpratura nos indica qu s stá hablando d la drivada d la tmpratura n l timpo dt dt. La fras proporcional a la difrncia d la tmpratura l mdio significa k( T). D tal surt qu la cuación difrncial qu buscamos s: dt k( T) dt Rsolvmos la cuación sparando las variabls usando T (), así obtnmos t T dt kdt T sparando variabls, kt ln( T ) + ln() intgrando, T kt ln simplificando. Tomando la ponncial a ambos lados dspjando T obtnmos

10 kt T kt T ( ) D las condicions dl problma, sabmos qu T (), ntoncs k ( ) D dond concluimos qu k.6947 Finalmnt la función d tmpratura n l timpo s.6947t T ( ) b) En st caso la cuación difrncial qu buscamos s: dt k( T) dt Nuvamnt usamos sparación d variabls T () para rsolvr la cuación, obtnmos ntoncs t T kdt dt ( T ) kt T Dspjando T rsulta 9kt T + kt Si usamos ahora T () obtnmos 9k + k D dond concluimos qu: k t Finalmnt la función d tmpratura n l timpo s: T + t Las gráficas d las dos funcions obtnidas s mustran n la figura 4, obsrva qu ambas curvas tinn concavidad hacia abajo cumpln las condicions dl problma, para dcidir cuál modla mjor s ncsario contar con un númro maor d datos primntals. 4 TH CL - 4 thminl - Figura 4. Las curvas d tmpratura n l timpo obtnidas con los modlos dl jmplo 8. En lína sólida s mustra l modlo a) n lína puntada l modlo b).

11 Ejmplo. Un tanqu contin litros d agua pura, cuando mpiza a ntrarl salmura (agua con sal) con concntración d gramos/litro a una vlocidad d 4 litros/sg. Bin mzclada sal la mzcla a la misma vlocidad. Dtrmina la cantidad d sal qu ha n l tanqu como función dl timpo Supón qu A() t s la cantidad d sal al timpo t, qu c c son las concntracions d ntrada salida qu v s la vlocidad d salida ntrada d la mzcla Entoncs n un intrvalo d timpo dt la cantidad d sal qu cambia s da. Por otra part la cantidad d sal qu ntra s cvdt la qu sal cvdt, así qu: da cvdt cvdt Obsrva qu l volumn V no cambia porqu las vlocidads d ntrada salida son iguals, ntoncs la concntración c s rlaciona con la cantidad d sal l volumn por mdio d A c. V Usando los dos últimos rsultados tnmos la cuación difrncial qu modla la situación. da A v c dt V Substitundo los datos d nustro problma considrando qu A () tnmos da A 4 6 dt Sparando variabls intgrando rsulta t A dt da 6 A t ( A) t A ln(6 A) A t t 6 ln 6 A Finalmnt, dspjamos la variabl A : / t A 6 6 gramos. Obsrva qu si l procso continúa indfinidamnt la cantidad d sal s acrcará a 6 gramos.