EXAMEN DE MATEMÁTICAS II

Transcripción

1 º Bachillerato CT EXAMEN DE MATEMÁTICAS II GEOMETRÍA. (Castilla y León, junio ). x z x y Se consideran las rectas r = y = y s = = z. 3 a) ( punto). Comprueba que las rectas r y s se cruzan. b) ( puntos). Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las rectas r y s.. (Castilla La Mancha, junio ). Sea r la recta determinada por el punto P(, 0, ) y el vector v = (,, 0). a) (,5 puntos). Calcula el punto de r más cercano al punto Q(0, 0, ). b) ( punto). Calcula el punto simétrico de Q respecto a r. 3. (Canarias, junio ). y z+ x+ 5 y 3 z+ 4 Dadas las rectas r x = = y r = =, se pide 4 3 a) ( punto). Demuestra que se encuentran en un mismo plano. b) ( punto). Halla la ecuación general del plano que determinan. 4. (Madrid, junio 0). Dados los puntos P (, 3, ), P (a,, 0), P 3 (, 5, 4) y P 4 (, 0, ), se pide: a) ( punto) Halla los valores de a para que el tetraedro con vértices en P, P, P 3, P 4 tenga volumen igual a 7. b) ( punto) Halla la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de P y de P (Aragón, junio ) a) (0,5 puntos). Si los vectores w y s verifican que w = s =, y el ángulo que forman w y s es 0 grados, determine: w ( w s ) b) (0,5 puntos) Si el producto escalar del vector u+ v por sí mismo es 5 y el producto escalar de u v por sí mismo es 9. Cuánto vale el producto escalar de u por v?

2 º Bachillerato CT Soluciones:. (Castilla y León, junio ). x z x y Se consideran las rectas r = y = y s = = z. 3 a) ( punto). Comprueba que las rectas r y s se cruzan. b) ( puntos). Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las rectas r y s. a) Hay que comprobar que los vectores v r, v s y AB son linealmente independientes. v r = (,, ), v s = (, 3, ) y AB = (0,, 0) (0, 0, ) = (0,, ), donde A = (0, 0, ) es un punto de r y B = (0,, 0) un punto de s. Como 3 = 8+ = 0, los vectores son linealmente independientes. En consecuencia, 0 las rectas r y s se cruzan. b) La recta pedida se obtiene por intersección de los planos π r, que contiene a r y pasa por el origen, y π s, que contiene a s y pasa por el origen. Plano π r : Determinado por O(0, 0, 0) y por los vectores OA = (0, 0, ) y v r = (,, ); el punto A(0, 0, ) pertenece a la recta r. Su ecuación es: x 0 π r : y 0 πr : x y z Plano π s : Determinado por O(0, 0, 0) y por los vectores OB = (0,, 0) y v s = (, 3, ); el punto B(0,, 0) pertenece a la recta s. Su ecuación es: x 0 π s : y 3 πs : x+ z z 0 x y Por tanto, t :. En paramétricas: x + z x = λ y = x/ t: t: y =λ. z = x/ z =λ

3 º Bachillerato CT 3 De otra forma: la recta buscada pasa por un punto de S s y otro punto P r alineados con O. Esto es, de manera que los vectores OS y OR tengan la misma dirección. El vector OR =,, h,+ 3 h, h. ( µµ + µ ), mientras que OS = ( ) Como sus coordenadas deben ser proporcionales: µ µ + µ = =. h + 3h h De µ µ = h = OS = (, /, / ) ; h + 3h de µ + µ = µ= OR = (,, ) (,, ). h h x = λ Luego, la recta pedida es t: y =λ z =λ. (Castilla La Mancha, junio ). Sea r la recta determinada por el punto P(, 0, ) y el vector v = (,, 0). a) (,5 puntos). Calcula el punto de r más cercano al punto Q(0, 0, ). b) ( punto). Calcula el punto simétrico de Q respecto a r. a) El punto pedido es el de corte de la recta r con del plano perpendicular a r por el punto Q. x= + t La recta es: r y = t. z = Como v = (,, 0), el plano perpendicular a r por el punto Q es: π x y+ d por contener a Q: π d d. Luego: π x y Corte de r con π: se sustituyen las ecuaciones de r ( t, t, ) π + t+ t t = / Para t = / se obtiene P = (/, /, ). b) Sea Q = (x 0, y 0, z 0 ) es punto simétrico de Q respecto de π Punto medio de Q y Q : x, y +, z Como P(/, /, ) = x, y +, z x0 y0 + z0 = x 0 = ; = y 0 = ; = z 0 = Por tanto, Q = (,, ). + en π, obteniéndose 3. (Canarias, junio ). y z+ x+ 5 y 3 z+ 4 Dadas las rectas r x = = y r = =, se pide 4 3 a) ( punto). Demuestra que se encuentran en un mismo plano. b) ( punto). Halla la ecuación general del plano que determinan.

4 º Bachillerato CT 4 a) Hay que estudiar la dependencia lineal de los vectores: v r = (,, ), v r = (4,, 3) y AB = ( 5, 3, 4) (,, ) = (,, ) donde A es un punto de r y B un punto de s. Como 4 3 = + 0 8, los vectores son linealmente dependientes. En consecuencia, están en el mismo plano. (Como no son paralelas, se cortarán). b) El plano pedido viene determinado por los vectores v r y v r y por cualquier punto de alguna de las rectas; por ejemplo A(,, ). Su ecuación será: x 4 ( ) ( ) π: y π: x + 5 y + z+ π : x+ 5y+ z = 0. z (Madrid, junio 0). Dados los puntos P (, 3, ), P (a,, 0), P 3 (, 5, 4) y P 4 (, 0, ), se pide: a) ( punto) Halla los valores de a para que el tetraedro con vértices en P, P, P 3, P 4 tenga volumen igual a 7. b) ( punto) Halla la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de P y de P 3. a) ( punto) El volumen del tetraedro es un sexto del producto mixto de los vectores P P, P P 3 y P P 4, que son: P P = (a,, 0) (, 3, ) = (a,, ); P P 3 = (, 5, 4) (, 3, ) = (0,, 5) P P 4 = (, 0, ) (, 3, ) = (, 3, 3). a V = [ P P, P P, P P4 ] 5 = a 7 = a 8 = Dos soluciones: ( a 8) = = = 3 a a ; o bien, ( + 8) = 7 4 a = = b) ( punto) Se trata del plano mediador: pasa por el punto medio del segmento P P 3 y es perpendicular al vector P P Como P P 3 = (0,, 5) y el punto M =,, = (, 4, 3/), el plano pedido será: π : y + 5z + d 8 + 5/ + d d = 3/ π : 4y + 0z 3 De otra forma: Si X = (x, y, z) es un punto genérico de ese plano, como d(x, P ) = d(x, P 3 ), debe cumplirse que: ( ) + ( y 3) + ( z + ) = ( x ) + ( y 5) + ( z 4 ) x π : 4y + 0z 3. 3

5 º Bachillerato CT 5 5. (Aragón, junio ) a) (0,5 puntos). Si los vectores w y s verifican que w = s =, y el ángulo que forman w y s es 0 grados, determine: w ( w s ) b) (0,5 puntos) Si el producto escalar del vector u+ v por sí mismo es 5 y el producto escalar de u v por sí mismo es 9. Cuánto vale el producto escalar de u por v? La expresión del producto escalar de los vectores u por v es: uv = u v cos u, v. a) Como w ( w s) = ww w s w ( w s ) = 4 4 cos 0º = 4 4 =. b) Si ( u + v ) ( u + v ) = 5 u + v + u v = 5 ; si ( u v ) ( u v ) = 9 u + v u v = 9. Restando ambas expresiones: 4 u v = u v = 4. ( )