INECUACIONES: solución y representación Parte 1: Desigualdades y sus propiedades

Transcripción

1 Proyecto Alinz de Mtemátics y Ciencis del Turo (AMCT) INECUACIONES: solución y representción Prte 1: Desigulddes y sus propieddes Mrlio Predes, Ph.D. 14 de noviemre de 2009 Año cdémico, Este Proyecto es sufrgdo con fondos del Progrm Título II-B, No Child Left Behind, Mth nd Science Prtnership del Deprtmento de Educción.

2 Ojetivos: Aprender mnejr correctmente ls propieddes de orden en los números reles. Representr en l rect numéric ls diferentes clses de intervlos. Resolver inecuciones lineles y representr su solución geométricmente.

3 Ojetivos: Interpretr l solución de un inecución en csos prácticos. Resolver inecuciones lineles con vlor soluto lgericmente y geométricmente.

4 Este tller responde los siguientes estándres y epecttivs A.RE Identific y utiliz correctmente l terminologí lgeric (vrile, ecución, inecución, término, coeficiente, constnte). A.RE Represent ls soluciones de inecuciones de l form >, (< ) y ( ) en l rect numéric. A.RE Escrie un inecución pr representr un intervlo o ryo, con o sin etremos, en un rect numéric.

5 A.RE Desrroll epresiones lgerics, ecuciones e inecuciones equivlentes usndo ls propieddes conmuttiv, socitiv, inverso, identidd y distriutiv. A.RE Identific y trduce entre representciones equivlentes de epresiones lineles, ecuciones, inecuciones y sistems de ecuciones, por medio de representciones verles, tls, gráfics y símolos. A.RE Identific los términos vriles y constnte en un epresión linel, en ecuciones e inecuciones y en sistems de ecuciones e inecuciones.

6 A.MO Construye un ecución o inecución linel pr modelr un situción del mundo rel, usndo un vriedd de métodos y representciones. A.RE Anliz y eplic el rzonmiento utilizndo pr resolver ecuciones e inecuciones lineles. A.RE Resuelve ecuciones e inecuciones lineles usndo símolos, gráfics, tls y tecnologí.

7 A.RE Resuelve ecuciones e inecuciones lineles con vlor soluto. A.RE Resuelve un sistem de inecuciones lineles en dos vriles y trz l gráfic de su solución A.RE Reconoce y resuelve prolems que se pueden representr por un sistem de ecuciones e inecuciones lineles. Interpret l solución en términos del conteto del prolem.

8 El orden en los números reles: Cundo decimos que hy un orden en el conjunto de los números reles R queremos decir que eiste un criterio pr comprr números reles. Esto nos permite decidir entre dos números diferentes cul es el menor o el myor. Recordemos que el cero en l rect numéric divide el conjunto de los números reles en tres conjuntos disjuntos: los reles positivos ( l derech del cero), los reles negtivos ( l izquierd del cero) y el conjunto cuyo único elemento es el cero.

9 Reles negtivos Reles positivos < 0 0 > 0 Definición: Ddos dos números reles, y decimos que es menor que y si y solo si y es positivo. Simólicmente se escrie: < y y > 0

10 Similrmente, podemos decir que es myor que y si y solo si y es positivo. Simólicmente: > y y > 0 Propiedd de tricotomí: Ddo un número rel un de ls siguientes firmciones es verdder: es positivo > 0 es negtivo < 0 es cero = 0

11 Propiedd clusurtiv de los números reles positivos Si summos dos números positivos otenemos un número positivo: > 0 > 0 + > 0 Si multiplicmos dos números positivos otenemos un número positivo: > 0 > 0 > 0

12 Definición: Escriiremos pr indicr que < ó =. ( < = ) Similrmente, escriimos pr indicr que > ó =.. ( > = )

13 Ejemplos: 3 5 porque 3 < porque 3 = porque 3 = porque 2 > 5

14 Tmién usremos el símolo: c pr indicr que: c y ( c) c Ejemplos: y 5 2 porque y 0 1 porque

15 Intervlos: Intervlos finitos cerrdos: [, ] = { R } Intervlos finitos iertos:(, ) = { R < < }

16 Intervlos: Intervlos finitos semiiertos o semicerrdos: (, ] = { R < } [, ) = { R < }

17 Intervlos: Intervlos infinitos cerrdos: (, ] = { R } [, ) = { R }

18 Intervlos: Intervlos infinitos iertos: (, ) = { R < } (, ) = { R > }

19 Ejemplo: Representr el conjunto de números reles que stisfce l siguiente desiguldd < < = 2 7 R 1 2 7, 1

20 El conjunto de los números reles se costumr simolizr como un intervlo: R = (, ) 0

21 Propieddes de Orden Propiedd Refleiv: Propiedd Antisimétric: ( ) = Propiedd Trnsitiv: ( c) c

22 Ejemplo: 1) )

23 Otrs Propieddes de ls Desigulddes 1. c d + c + d Ejemplo:

24 L propiedd nterior implic l siguiente propiedd: + c + c, porque c c Similrmente, se cumple que: c c, porque c c

25 Ejemplo:

26 2. c > 0 c c Ejemplo: > 0 ( 2) c < 0 c c Ejemplo: < 0 ( 2)( 3) 5( 3) 6 15

27 c d 0 c d Ejemplo: c d 0 c d 0 Ejemplo: ( 3)( 5) ( 1)( 2)

28 Ejemplo: Encuentre todos los vlores de que stisfcen l desiguldd Solución: , [ 3 ) Conjunto solución: 3 [ 3, )

29 Ejemplo: Encuentre todos los vlores de que stisfcen l desiguldd Solución: 5 < 2 < 1 5 < 2 < < < < < 3 ( 3,3) 3 3 Conjunto solución: ( 3,3)

30 Teorem: Pr todo número rel, se cumple {( > 0 > 0) ( < 0 0) } > 0 < Ejemplo: Encontrr todos los vlores de que stisfcen l siguiente desiguldd ( + 1)( 2) > 0 Solución: {( + 1 > 0 2 > 0) ( + 1< 0 2 0) } ( + 1)( 2) > 0 <

31 {( > 1 > 2) ( < 1 2) } ( + 1)( 2) > 0 < > 1 > 2: , ( 2 )

32 < 1 < 2 : (, 1)

33 Uniendo ls dos prtes de l solución tenemos: (, 1) ( 2 ), 1 2 Conjunto solución: (, 1) U ( 2, )

34 Teorem: Pr todo número rel, se cumple {( > 0 < 0) ( < 0 0) } < 0 > Corolrio: Si es un número rel diferente de cero entonces 2 > 0.

35 Teorem: Si > 0 y > 0 entonces 1 1 Ejemplo:

36 Ejercicios 1. Resolver ls siguientes inecuciones (desigulddes) ) 6 < ) c) d)

37 2 e) 0 3 f 1+ ) 1 1 g) 2 < 1

38 2. Encontrr el dominio de l función f = 5 ) ( 3. Encontrr el dominio de l función 6 ) ( 2 = g 4. Encontrr el dominio de l función 2 6 ) ( k =

39 Alinz de Mtemátics y Ciencis del Turo (ACMT) GRACIAS Año cdémico, Este Proyecto es sufrgdo con fondos del Progrm Título II-B, No Child Left Behind, Mth nd Science Prtnership del Deprtmento de Educción.