Funciones reales de una variable real. 04 de Septiembre de 2017

Transcripción

1 Cálculo Funciones reales de una variable real 04 de Septiembre de 2017

2 Funciones reales de una variable real Conjuntos de números Funciones reales de una variable real Funciones elementales Límites Continuidad Continuidad en intervalos: dicotomía Interpolación de Lagrange

3 Conjuntos de números 1. Números naturales: N 1,2,3, Números enteros: Z...,-2,-1,0,1,2,... { } 3. Números racionales: Q := p q : p Z,q N. 4. Números enteros: R. Propiedades: 1. N Z Q R C 2. Propiedad arquimediana: Dado cualquier número x R, existe un n N que satisface n > x. Dado cualquier número real y > 0, existe un n N que satisface 1/n < y. 3. Densidad de Q en R: dados a,b R, a < b, existe q Q t.q. a < q < b. (Podéis ver la demostración aquí: q-es-denso-en-r/).

4 z = a 2 + b 2 es el módulo del número complejo z. θ [0,2π) es el argumento del número complejo Propiedades: Sea a R; entonces a = a + 0i C. Luego, se puede considerar R C Teorema Fundamental del Álgebra: Todo polinomio p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (a i C) tiene n raíces en C. c Dpto. de Matemáticas UDC Conjuntos de números Números complejos Definición El conjunto de los números complejos es C = {a + bi / a,b R}, donde i = 1 es la unidad imaginaria. En C se opera de la siguiente manera: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Distintas representaciones de un número complejo z: a + ib (a,b) z θ

5 Función real de una variable real Definición Sea A R Definición La correspondencia f : A R es una función si a cada x A le asigna una única imagen f (x) R. Se llama: dominio: D(f ) = {x A/ existe f (x)} = {x A/f (x) R} = Dom(f ). imagen: Im(f ) = {y R/y = f (x) para algún x A}.

6 Función real de una variable real Propiedades de monotonía Definición Sea f : A R una función real de variable real. Sea B A. f es creciente en B si x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ), x 1,x 2 B, f es estrictamente creciente en B si x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ), x 1,x 2 B, f es decreciente en B si x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ), x 1,x 2 B, f es estrictamente decreciente en B si x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ), x 1,x 2 B. Definición Se dice que f es inyectiva si: x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 )

7 Nota El nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios con exponente par (x 2, x 4, x 6,...) tienen simetría par y los monomios con exponente impar (x, x 3, x 5,...) tienen simetría impar. c Dpto. de Matemáticas UDC Función real de una variable real Simetrías Definición Se dice que una función f es par si f (x) = f ( x), x D(f ), impar si f (x) = f ( x), x D(f ). Función par Función impar

8 Función real de una variable real Periodicidad Definición Sea f : R R. Se dice que f es periódica, con período T, si f (x) = f (x + T), x R. Ejemplo de funciones periódicas: las funciones trigonométricas. Nota: Si sabemos que una función tiene un período T, será suficiente con representarla en un intervalo de longitud T. Después se repetirá. T

9 Función real de una variable real Composición de funciones Definición Sean f : A R R y g : B R R, con Im(f ) B. La función compuesta g f (se lee f compuesta con g ) es la función g f : A R R x A (g f )(x) := g(f (x)) f x A f (x) B g(f (x)) g

10 Atención: f 1 no es lo mismo que 1 f! La forma práctica de calcular una función inversa es despejar x en función de y (es decir, de f (x)) e intercambiar sus papeles. c Dpto. de Matemáticas UDC Función real de una variable real Función inversa Definición Sea f : A R R una función inyectiva. Existe una única función h : Im(f ) R tal que h(f (x)) = x, x A. Esta función se denomina inversa de f y se suele denotar por f 1. Es decir, f 1 f = Id. Además, en este caso se verifica que la composición es conmutativa, es decir, que f f 1 = Id (siendo Id la función identidad, es decir, Id(x) = x, x R). x y = f 1 (x)

11 Funciones elementales Función valor absoluto Definición Sea x R. Se llama valor absoluto de x a la cantidad: { x, si x < 0, x = x, si x 0. Observación Se verifica que x = x 2.

12 Funciones elementales Función valor absoluto Propiedad Sean x,y R. Se tiene: x 0. x = 0 x = 0. Desigualdad triangular: x + y x + y. xy = x y, x y = x, si y 0. y Si C > 0, x C C x C. Definición Dado x R, su distancia al origen es d(x,0) := x. En general, para x, y R, definimos la distancia entre estos dos puntos como d(x,y) := x y.

13 Funciones elementales Funciones polinómicas Las funciones polinómicas son funciones del tipo p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, con a 0, a 1,..., a n R, y a n 0. Se dice que el grado del polinomio es n, el coeficiente principal o coeficiente director es a n. Ejemplos de funciones polinómicas son 1. p 1 (x) = 5x 3 4x + 2, 2. p 2 (x) = 8x 3 2, 3. p 3 (x) = πx 4 + 2x 3 3x. El dominio de una función polinómica es R; su imagen varía en cada caso.

14 Funciones elementales Funciones racionales Las funciones racionales son cocientes de funciones polinómicas, es decir, f (x) = p(x) q(x), donde p y q son funciones polinómicas. Ejemplos de funciones racionales son 1. f 1 (x) = 5x3 4x + 2 8x 3 2, 2. f 2 (x) = 1 x El dominio de estas funciones son todos los números reales, excepto aquéllos que anulen el denominador, Dom(f ) = R \ {x R : q(x) = 0}, mientras que su imagen varía en cada caso.

15 Funciones elementales Funciones exponenciales Sea a > 0, a 1. Definimos la función exponencial de base a como Se tiene: Dom(f ) = R, Im(f ) = (0,+ ), f (0) = a 0 = 1. f (x) = a x < a < 1. En este caso, f (x) = a x es una función estrictamente decreciente, x < y a x > a y, lim x ax = +, lim x + ax = a > 1. En este caso, f (x) = a x es una función estrictamente creciente, lim x ax = 0, lim x + ax = +. x < y a x < a y, c Dpto. de Matemáticas UDC

16 La función exponencial más importante es la función exponencial de base e, f (x) = e x (recordemos que e = ). Esta función es la que se suele conocer por defecto como función exponencial. c Dpto. de Matemáticas UDC Funciones elementales Funciones exponenciales Propiedad i) a x+y = a x a y, x,y R, ii) (a x ) y = a xy, x,y R, iii) a x = 1 a x x R (consecuencia de la propiedad anterior) x 0.5 x

17 Funciones elementales Funciones logarítmicas Definición Dado a > 0, a 1, se dice que y es el logaritmo en base a de x si a y = x, y = log a (x) : a y = x. La función log a es la función inversa de la exponencial de base a. Propiedad Para cualquier valor de a > 0, a 1, dominio: Dom(log a ) = (0,+ ), imagen: Im(log a ) = R, log a (1) = 0. Propiedad i) log a (xy) = log a (x) + log a (y), x,y > 0, ii) log a (x y ) = ylog a (x), x > 0, y R, ( ) x iii) log a = log y a (x) log a (y) x,y > 0. c Dpto. de Matemáticas UDC

18 Funciones elementales Funciones logarítmicas 1. a > 1. En este caso, f (x) = loga (x) es una función estrictamente creciente, lim log x 0 + a (x) =, lim log x + a (x) = +. x < y log a (x) < log a (y), 2. a < 1. En este caso la situación se invierte, como se muestra en la gráfica. 6 4 log 2 (x) log 0.5 (x)

19 Funciones elementales Funciones logarítmicas 6 4 log 2 (x) log 0.5 (x) El logaritmo más utilizado es el logaritmo en base e, f (x) = log e (x). Se denomina logaritmo neperiano, y se suele denotar por ln(x) o, simplemente, log(x). Cualquier otro logaritmo se puede expresar en función del ln mediante la fórmula log a (x) = ln(x) ln(a).

20 Funciones elementales Funciones trigonométricas: seno Función seno La función f (x) = sin(x), verifica su dominio es R, su imagen es [ 1,1], es una función impar, es una función periódica con período 2π sen(x)

21 Funciones elementales Funciones trigonométricas: coseno La función f (x) = cos(x), verifica su dominio es R, su imagen es [ 1,1], es una función par, es una función periódica con período 2π cos(x)

22 Funciones elementales Funciones trigonométricas El seno y el coseno pueden entenderse como las longitudes de las proyecciones sobre los ejes del ángulo, en radianes, dibujado sobre la circunferencia de radio unidad. 1 x cos(x) sin(x) Propiedad sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 x, sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y), cos(x + y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y).

23 Funciones elementales Funciones trigonométricas: tangente La función tangente se define como tan(x) := sin(x) cos(x). El dominio de esta función lo forman todos los puntos de R en los que el coseno no se anula, es decir, { π } Dom(tan) = R \ 2 + kπ : k Z, mientras que su imagen es R. Además, es una función impar y periódica, con período π.

24 Funciones elementales Funciones trigonométricas Cosecante, cosec(x) := 1 sin(x), Secante, sec(x) := 1 cos(x), Cotangente, cotan(x) := 1 tan(x).

25 Funciones elementales Funciones trigonométricas inversas: arco-seno Función arco-seno: inversa de la función seno. Como la función seno no es una función inyectiva, restringimos su dominio, quedándonos con el seno definido sólo en el intervalo [ π 2, π 2 ]. Definimos entonces la función arco-seno, arcsin(x), como la función que, dado un x [ 1,1], le asocia el único y [ π 2, π 2 ] tal que sin(y) = x. x y = asin(x)

26 Funciones elementales Funciones trigonométricas inversas: arco-seno Función arco-seno Por tanto, Dom(arcsin) = [ 1,1] e Im(arcsin) = [ π 2, π 2 ]. La función arco-seno es una función impar asin(x)

27 Funciones elementales Funciones trigonométricas inversas: arco-coseno Función arco-coseno: inversa de la función coseno. En este caso, restringimos el dominio de la función coseno para quedarnos con el coseno definido en el intervalo [0,π]. Definimos entonces la función arco-coseno, arccos(x), como la función que, dado un x [ 1,1], le asocia el único y [0,π] tal que x = cos(y). 3 acos(x)

28 Funciones elementales Funciones trigonométricas inversas: arco-tangente Función arco-tangente: inversa de la funicón tangente. En ( este caso, restringimos el dominio de la función tangente al intervalo π 2, π ) 2. Definimos entonces la función arco-tangente, arctan(x), como la función que, dado un x R, le asocia el único y ( π 2, π 2 ) tal que x = tan(y). y = arctan(x) x

29 Funciones elementales Funciones trigonométricas inversas: arco-tangente Por tanto, Dom(arctan) = R e Im(arctan) = ( π 2, π ) 2. La función arco-tangente es una función impar atan(x)

30 Definición de límite Introducción ε δ Figure: Eligiendo x en el intervalo azul, f (x) estará en el intervalo verde. Figure: Si x está en el intervalo azul, (x,f (x)) está dentro del rectángulo verde.

31 Definición de límite Límite de una función en un punto Definición Se dice que l R es límite de f en x 0 si ε > 0, δ > 0 tal que 0 < x x 0 < δ = f (x) l < ε Se escribe lim x x0 f (x) = l

32 Definición de límite Propiedades Propiedad El límite de una función en un punto, si existe, es único. Propiedad Supongamos que lim x x0 f (x) = l 1 y lim x x0 g(x) = l 2. Entonces, lim (f ± g)(x) = l 1 ± l 2, x x0 lim (f g)(x) = l 1 l 2, x x0 f lim x x0 g (x) = l 1 si l 2 0. l 2

33 Definición de límite Límites laterales Definición El límite de f cuando x se acerca a x 0 por la derecha es l si [ / ] lim f (x) = l : x x 0 + ε > 0, δ > 0 0 < x x 0 < δ = f (x) l < ε. El límite de f cuando x se acerca a x 0 por la izquierda es l si [ / ] lim f (x) = l : x x0 ε > 0, δ > 0 0 < x 0 x < δ = f (x) l < ε.

34 Definición de límite Límites laterales x 0 x 0 Límite por la derecha Límite por la izquierda Propiedad Existe lim f (x) si y sólo si existen lim f (x) y lim f (x) y son iguales. x x0 x x 0 + x x0

35 Definición de límite Límites infinitos Definición [ / ] lim f (x) = + : M > 0, δ > 0 0 < x x 0 < δ f (x) > M, x x0 [ / ] lim f (x) = : M > 0, δ > 0 0 < x x 0 < δ f (x) < M. x x0 M M lim x x 0 f (x) = + lim f (x) = x x 0

36 Definición de límite Límites en el infinito Definición [ lim f (x) = l : x + / ε > 0, M > 0 / [ lim f (x) = l : ε > 0, M > 0 x ] x > M f (x) l < ε, x < M f (x) l < ε ]. l l M M lim f (x) = l x + lim f (x) = l x

37 Asíntotas La recta y = l es una asíntota horizontal de la función f si lim f (x) = l y/o lim f (x) = l. x + x La recta x = x 0 es una asíntota vertical de la función f si lim f (x) = ±. x x 0

38 Asíntotas La recta y = mx + n (m 0) es una asíntota oblicua de la función f si lim (f (x) (mx + n)) = 0 y/o lim (f (x) (mx + n)) = 0. x + x Para determinar si una función f tiene asíntotas oblícuas, calculamos f (x) m = lim. Si m 0 y m, entonces calculamos x ± x n = lim (f (x) mx). x ± La ecuación de la asíntota es: y = mx + n.

39 Continuidad Definición Sean f : (a,b) R y x 0 (a,b). Definición Se dice que la función f es continua en x 0 si lim x x0 f (x) = f (x 0 ).

40 Continuidad Tipos de discontinuidades Cuando f no es continua en x 0, se dice que f es discontinua en x 0. Las discontinuidades pueden ser: Evitables: lim f (x), pero lim f (x) f (x 0 ). x x0 x x0 esencial: lim f (x). Puede ser porque: x x0 f (x) lim f (x) o x x 0 + lim x x0 alguno de los límites laterales (o ambos) no existe.

41 Propiedad Si f es continua en x 0 y g es continua en f (x 0 ), entonces la función g f es continua en x 0. c Dpto. de Matemáticas UDC Continuidad Propiedades Propiedad Si f,g : (a,b) R son funciones continuas en x 0 (a,b), λf es continua en x 0, λ R, (f ± g) y (f g) son continuas en x 0, si g(x 0 ) 0, entonces f g es continua en x 0. Propiedad El límite conmuta con las funciones continuas, es decir, si f y g son funciones tales que existe lim f (x) = l R y g es una función continua en l, entonces x x0 lim g(f (x)) = g x x 0 ( lim x x 0 f (x) ) = g(l).

42 Continuidad en intervalos Definición Sea f : (a,b) R R. Se dice que f es continua en (a,b) si f es continua en todos los puntos de (a,b). Definición Sea f : [a,b] R R. Se dice que f es continua en [a,b] si 1. f es continua en (a,b), 2. f es continua en a por la derecha: lim f (x) = f (a), x a + 3. f es continua en b por la izquierda: lim f (x) = f (b). x b

43 Continuidad en intervalos Teorema de Bolzano Teorema (de Bolzano) Sea f : [a,b] R continua en [a,b]. Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces x 0 (a,b) tal que f (x 0 ) = 0.

44 Continuidad en intervalos Teorema de Bolzano 1. Pueden existir varias raíces: a b 2. Si se suprime alguna de las hipótesis, el teorema no es aplicable: a b a b f (a)f (b) > 0 f no continua en [a,b]

45 Continuidad en intervalos Método de dicotomía Sea f : [a,b] R, continua en [a,b], con f (a)f (b) < 0. Para aproximar una raíz de f en [a,b], el método de dicotomía: Divide el intervalo dado a la mitad. Toma el punto medio del intervalo como aproximación de la raíz. Repite el proceso con la mitad del intervalo en la que f presenta un cambio de signo.

46 Continuidad en intervalos Método de dicotomía Algoritmo del método de dicotomía: Inicializar [a 1,b 1 ] = [a,b]. Para k = 1,2,... Calcular x k = a k + b k. 2 Si f (a k )f (x k ) < 0, actualizar [a k+1,b k+1 ] = [a k,x k ]. Si no, [a k+1,b k+1 ] = [x k,b k ]. Nota: El proceso se repite hasta que x k aproxima satisfactoriamente una raíz α. Cota de error: x k α b a 2 k.

47 Continuidad en intervalos Teorema de Weierstrass Teorema (de Weierstrass) Si f : [a,b] R es continua en [a,b], entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en el intervalo [a,b]. Es decir, existen x 1,x 2 [a,b] tales que: f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), x [a,b].

48 Interpolación de Lagrange Dados n + 1 puntos distintos x 0,x 1,...,x n ; n + 1 valores cualesquiera y 0,y 1,...,y n ; existe un único polinomio p n de grado n tal que p n (x i ) = y i, i = 0,1,2,...,n. Este polinomio p n se denomina polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x 0,x 1,...,x n relativo a los valores y 0,y 1,...,y n. En particular, si y i = f (x i ), decimos que p n es el polinomio de interpolación de Lagrange de la función f en los puntos x i.

49 Interpolación de Lagrange Definición Para cada i = 0,1,...,n, existe un único polinomio l i de grado n tal que l i (x k ) = δ ik (k = 0,1,...,n): l 0, l 1,..., l n grado n. l i (x) = n j=0 j i x x j x i x j se dicen polinomios fundamentales de Lagrange de Fórmula de Lagrange: El polinomio de interpolación de Lagrange en los nodos x 0, x 1,..., x n relativo a los valores y 0, y 1,..., y n es p n (x) = y 0 l 0 (x) + y 1 l 1 (x) y n l n (x). c Dpto. de Matemáticas UDC

50 Nota Después de construir la tabla, se puede añadir un dato adicional aprovechando los cálculos ya realizados. c Dpto. de Matemáticas UDC Interpolación de Lagrange Tabla de diferencias divididas Diferencias divididas de orden 0: [y i ] = y i, i = 0,1,...,n. Diferencias divididas de orden k (k = 1,...,n): [y i,y i+1,...,y i+k ] = [y i,y i+1,...,y i+k 1 ] [y i+1,...,y i+k ] x i x i+k, i = 0,1,...,n k. En la práctica, el cálculo de las diferencias divididas se dispone en tabla: x 0 y 0 [y 0,y 1 ] [y 0,y 1,y 2 ]... [y 0,y 1,...,y n ] x 1 y 1 [y 1,y 2 ] [y 1,y 2,y 3 ]... x 2 y 2 [y 2,y 3 ] [y 2,y 3,y 4 ] x n 1 y n 1 [y n 1,y n ] x n y n

51 Interpolación de Lagrange Fórmula de Newton: El polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x 0, x 1,..., x n relativo a los valores y 0, y 1,..., y n puede escribirse como p n (x) = [y 0 ] + [y 0,y 1 ](x x 0 ) + [y 0,y 1,y 2 ](x x 0 )(x x 1 ) [y 0,y 1,...,y n ](x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ).