Una comparación entre tres formulaciones para resolver el problema del Cutting Stock

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1 Una comparación entre tres formulaciones para resolver el problema del Cutting Stock A comparison between three formulations to solve the Cutting Stock Problem Harol M. Gámez Centro latinoamericano de innovación, LOGYCA / INVESTIGACIÓN, Bogotá, Colombia hgamez@logyca.org Resumen Este artículo presenta tres formulaciones distintas para resolver el problema del Cutting Stock minimizando el desperdicio de material. Las tres formulaciones que se abordan para este problema son: la formulación standard, formulación standard con desigualdades para romper simetría y la formulación extendida o generación de columnas. La comparación se hace en tres grupos de instancias clasificadas según el grado de dificultad, es decir fácil, mediano y difícil, distribuidas en nueve instancias y se comparan en tiempos computacionales y calidad de las soluciones. Matemáticamente se muestran las tres formulaciones explicando las características de cada una de ellas, luego se describen las instancias a evaluar con las tres formulaciones presentadas, donde en todos los casos la función objetivo fue la minimización de la perdida de material. Finalmente se presentan las conclusiones de los hallazgos más relevantes de esta investigación, donde se detalla la posibilidad de resolver este problema con una formulación que da buenas soluciones en tiempos computacionales razones. Palabras clave: Generación de Columnas, problema del corte, optimización y tiempos de ejecución

2 Abstrac This paper discusses three different formulations for solving the Cutting Stock Problem minimizing material waste. The three formulations for this problem are: the standard formulation, standard formulation with inequalities for breaking symmetry and extended formulation or generation column. The comparison is made in three groups of instances classified according to the degree of difficulty, ie easy, medium and hard, distributed in nine instances and compared in computational time and quality of solutions. Mathematically are shown the three formulations explaining the characteristics of each, then described the instances to evaluate with the three formulations presented, where in each case the objective was the minimization of material waste. Finally we present the conclusions of the most important findings of this research, where details the possibility of solving this problem with formulation that gives good solutions in computational times reasons. Keywords: Column generation, cutting stock, optimization and execution times 1. Introducción Encontrar buenas soluciones al problema del Cutting Stock es una de las situaciones más interesantes y difíciles de resolver dentro del mundo de la programación entera y la optimización combinatorial. Este problema es muy interesante debido a que tiene a que es muy común en muchas situaciones reales de diferentes tipos de compañías que tienen que satisfacer una demanda por un cierto número de productos que tienen diferentes medidas. Este problema se puede ver en la industria de la madera, industria del papel, industria del plástico, industria del acero y en la industria del vidrio. El problema del Cutting Stock básicamente consiste en satisfacer una demanda por un cierto número de rollos con cierto tipo de ancho; dado esto la situación difícil de resolver pasa por lo que la mayoría de las veces se tiene un rollo ancho estándar, luego encontrar las mejores combinaciones de corte para satisfacer los diferentes tipos de demanda es un problema arduo de resolver es decir es un problema NP completo. Supóngase que se tiene un rollo de ancho estándar de 20 metros y se tienen demandas en cantidades de 7 y 12 por los anchos de 3 y 2 metros respectivamente. La idea de este problema es

3 ocupar el menor número de rollos estándar posibles y minimizar el desperdicio total asociados a los tipos de corte que se puedan generar. Según Nozarin et al. (2013) en la figura 1 se puede apreciar una combinación posible de cortes. Como pueden ver se ocupan 3 rollos estándar de 20 metros, donde el primero de ellos no genera desperdicio, el segundo genera 3 metros de desperdicio y el tercero genera 12 metros de desperdicio para un total de 15 metros desperdiciados, algo que para la mayoría de las compañías representa dinero perdido en sus operaciones. El problema de Cutting ha sido abordado por muchos autores de diversas maneras ocupando diferentes tipos de algoritmos exactos o algoritmos heurísticos enfocados a encontrar buenas soluciones en instancias grandes. Por ejemplo Ahmed et al. (2008) ocupa una heurística basada en tres pasos que básicamente busca enumerar todos los patrones no dominados factibles para luego resolver el problema relajado generado obteniendo resultados satisfactorios en instancias aleatorias. Según Saad (2001) uno de los factores que se añaden a la complejidad del problema es el gran número de patrones de corte que se pueden generar, para eso el autor propone un modelo basado en el método ad hoc tipo mochila para resolver el problema obteniendo buenos resultados. Clautiaux et al. (2011) plantean un algoritmo de generación de columnas donde se basan en el hecho que existen ciertas particularidades en el problema dual basados en el concepto de cortes dobles para así acelerar la convergencia de la generación de columnas. Burke et al. (2009) plantea el algoritmo recocido simulado y la heurística best-fit obteniendo excelentes resultados para un conjunto de instancias diferentes donde proponen al final 10 nuevos problemas a trabajar como futuras investigaciones. En el caso de Vanderbeck, F. (2001) ocupa dentro de la formulación temas muy interesantes como por ejemplo el envejecimiento de las piezas, considera pedido urgentes y los costos asociados a la instalación, para ello plantea una formulación resolviéndola por medio del algoritmo de generación de columnas, aplicándola a instancias reales de una industria. En el caso del Benell, J. et al. (2001), sugieren un algoritmo hibrido con enfoque de búsqueda tabú que incorpora dos rutinas de optimización que utilizan los vecinos alternativos para hacer frente al problema.

4 Jansen, K. et al. (2011) trabajan un problema con consideraciones de empaquetamiento tal que los objetos con terminada longitudes no pueden superar la capacidad del contenedor, para ello presentan un algoritmo en tiempo polinomial que minimiza el uso de contenedores. Kenyon, C., Remila E. (2000). Krichagina, E. et al. (1998) plantean un modelo de programación lineal en primer paso y el control browniano en el segundo, en un problema real de una planta de papel, con el objetivo de minimizar los costos medios esperados a largo plazo relacionados con el consumo de papel. Burke, E, et al. (2004) proponen una nueva heurística que se compara favorablemente con otras heurísticas en términos del tiempo y la calidad de la solución obtenida, donde básicamente la heurística trabaja con base en el área de los productos, haciendo que se incremente o se reduzca alterando los parámetros de medidas. 2. Formulaciones a comparar para resolver el problema del Cutting Stock 2.1 Formulación estándar Después de haber introducido el problema se plantea la formulación estándar para el siguiente caso: se tiene un conjunto de demandas (=1,.,) por un determinado ancho (=1,.,), se dispone de un rollo estándar de ancho, en cantidades suficientes para satisfacer la demanda es decir se dispone de (=1,.,) rollos. Se plantean dos variables que dice si se ocupa el rollo y dice la cantidad de cortes de ancho se cortan en el rollo estandar. La idea es minimizar el desperdicio total asociado al uso de los rollos estándar satisfaciendo la demanda dada. La formulación es la siguiente: =( ) (1), = (2)

5 (3)!0 1$ (4) Ζ ' (5) Donde la Ec(1) es la función objetivo que busca minimizar el desperdicio total, la Ec(2) asocia el cumplimiento de la demanda en cantidad, la Ec(3) relaciona el cumplimiento del número de cortes que no debes sobrepasar la capacidad del rollo estándar y finalmente las Ec(4) y Ec(5) asocian la naturaleza de las variables. 2.2 Formulación para romper simetría Es común encontrar en la solución de este problema, simetría en los posibles cortes generados para satisfacer la demanda, es por eso que se plante una formulación que considera la misma estructura que la formulación estándar pero con una restricción adicional que permite eliminar las simetrías generadas en las soluciones. La formulación es la siguiente: =( ) (6), = (7) (8),,-.. 2 (9)!0 1$ (10) Ζ ' (11)

6 Donde prácticamente se presentan las misma ecuaciones a diferencia de la Ec(9) que es la que se ingresa para romper las simetrías en los cortes generados. De resto las ecuaciones Ec(6), Ec(7), Ec(8), Ec(10) y Ec(11) son las mismas que la formulación estándar. 2.3 Formulación con generación de columnas Finalmente se presenta la formulación de generación de columnas, que en esencia trabaja únicamente considerando un grupo reducido de variables básicas que aportan a la función objetivo, luego en cada iteración si una variable no básica aporta a la solución entra a la base y así se ejecuta el algoritmo hasta no encontrar más variables no básicas que aporten a la solución. A continuación se presenta la formulación clásica del Cutting Stock con generación de columnas, se presenta el problema maestro y el subproblema asociado. = (12) 1 (13) Ζ ' (14) Donde 1 es la cantidad de piezas de ancho en el patrón y es la cantidad de veces que se ocupa el patrón. La Ec(12) muestra la función objetivo que en esencia busca minimizar el uso de patrones de corte, la Ec(13) relaciona la satisfacción de la demanda y la Ec(14) es la naturaleza de las variables. Para el caso del subproblema se presenta la siguiente formulación: =1 1 (15) 1 (16)

7 1 Ζ ' (17) Este subproblema busca generar un patrón factible con el menor costo reducido, donde es el valor de las variables duales del asociado a la -esima restricción del problema maestro y 1 son los patrones generados. La Ec(15) relación la función objetivo que para este caso es el costo reducido de la -esima restricción del problema maestro, la Ec(16) relaciona el cumplimiento en la capacidad del rollo estándar y finalmente la Ec(17) la naturaleza de las variables para este caso. 3. Resultados y discusión Para comparar las tres formulaciones, se seleccionaron 9 instancias diferentes clasificadas en 3 grupos fácil, complejidad media y difícil. Todas las instancias fueron modeladas en la herramienta GAMS versión 23.6 y resueltas mediante el solver de optimización Cplex versión 10.0 en un ordenador con procesador Intel Core i5 2.4 GHz con 6GB de memoria RAM. La tabla 1 muestra los resultados principales de cada una de las instancias evaluadas, donde las primeras 3 columnas muestran los datos de las instancias, seguido están los resultados por cada formulación donde se muestra el tiempo de ejecución medido minutos: segundos: milésimas de segundo, después esta la solución encontrada y finalmente el Gap porcentual de cada una de ellas. Se puede apreciar que para el caso de las instancias fáciles (1-3), la formulación estándar y la formulación de romper simetría llegan a buenas soluciones en tiempos computacionales muy rápidos, mientras que la de generación de columnas se tarda mucho más pero sus soluciones casi en todos los casos fueron siempre mejor. Para el caso de las instancias medianas en términos de tiempos computacionales la de mejor comportamiento fue la formulación estándar pero con soluciones no tan buenas obteniendo gap s superiores al 90%, mientras que la de generación de columnas presenta los mejores comportamientos con soluciones optimas y con tiempos razonables, y finalmente la formulación de eliminando simetrías definitivamente presenta muchas desventajas en todos los ítems

8 es lenta y con malas soluciones. Finalmente para las instancias difíciles tanto la formulación estándar como la de romper simetría presentaron malos comportamientos pues no pudieron bajar del 100% en el gap a medida que el tiempo pasaba no encontraban mejores soluciones, mientras que la formulación de generación de columnas con unos tiempos razonables llegó a muy buenas soluciones es decir las resolvió a optimalidad. 4. Conclusiones En general las tres formulaciones se comportan de buena manera para instancias fáciles y medianas, con resultados razonables tanto en tiempo computacional como en calidad de las soluciones, pero para instancias difíciles la formulación estándar y la formulación de romper simetría se quedan cortas y no pueden bajar de 100% en el gap y sus tiempos son muy altos, mientras que la formulación de generación de columnas se comporta de buena manera con muy buenos resultados en tiempos computacionales razonables. La dificultad de este tipo de problemas pasa por la gran combinación posible de patrones de corte que se pueden generar, lo cual hace que este sea un problema NP-completo, donde las combinaciones posibles pueden crecer exageradamente. Para atacar este problema sin duda la generación de columnas es una herramienta que más se ajusta a la dificultad de este, pero no en todos los casos será posible llegar a buenas soluciones pues para instancias demasiado grandes los tiempos computaciones tiende a incrementarse, es por eso que se deja la brecha abierta para que se pueda atacar dicho problema por medio de otros algoritmos, como lo pueden ser exactos o heurísticos. 5. Referencias bibliográficas Ahmed, M., Abdelazis, D. (2008). An Algorithm for the two-dimensional Cutting-Stock Problem Based on a Pattern Generation Procedure. Information and Management Sciencies 19 (2),

9 Benell, J., Dowsland K. (2001). Hybridising Tabu Search With Optimisation Techniques for Irregular Stock Cutting. Management Science 47 (8), Burke, D., Kendall, G., Whitwell, G. (2009). A Simulated Annealing Enhancement of the Best-Fit Heuristic for the Orthogonal Stock-Cutting Problem. INFORMSs Journal on Computing 21 (3), Burke, E., Kendall G., Whitell G. (2004). A New Placement Heuristic for the Orthogonal Stock- Cutting Problem. Operation Research 52 (4), Clautiaux, F., Alves, C., Valerio de Carvalho, J., Rietz J. (2011). New Stabilization Procedures for the Cutting Stock Problem. INFORMSs Journal on Computing 23 (4), Jansen, K., Solis R. (2011). A Polynomial Time OPT + 1 Algorithm for the Cutting Stock Problem with a Constant Number of Object Lengths. Mathematics of Operation Research 36 (4), Krichagina, E., Rubio R., Taksar M., Wein L. (1998). A Dynamic Stochastic Stock-Cutting Problem. Operation Research 46 (5), Nozarian, S., Vadafei M., Jalali M. (2013). A Imperialist Competitive Algorithm for 1-D Cutting-Stock Problem. International journal of informatio science 3(2), Saad, M. (2001). Pattern generating procedure for the cutting stock problem. International journal of production economics 74, Vanderbeck, F. (2001). A Nested Decomposition Approach to a Three-Stage, Two-Dimensional Cutting-Stock Problem. Management Science 47 (6),

10 Tablas e Ilustraciones Tabla 1: resultados principales para cada una de las instancias Instancia Instancias Tipos de Demanda Tamaño del Rollo Formulación Estándar Tiempo Ejecución MIP Gap Formulación Eliminando Simetrías Tiempo Ejecución MIP Gap Formulación Generación de Columnas Tiempo MIP Gap Ejecución : % 00: % 05: % : % 00: % 05: % : % 00: % 05: % : ,58% 06: % 04: % : ,23% 04: % 05: % : ,23% 02: % 05: % : ,07% 01: % 04: % : ,60% 02: % 04: % : % 05: % 04: % Figura 1. Cortes posibles para demanda dada

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