TÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO

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1 TÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO I.- ERRORES 1.- Introduccón Todas las meddas epermentales venen afectadas de una mprecsón nherente al proceso de medda. Puesto que en éste se trata, báscamente, de comparar con un patrón esta comparacón se hace con un aparato por smple que sea-una regla, por ejemplo- podemos nclurlo en la denomnacón generalada de aparato, la medda dependerá de la mínma cantdad que aquel sea capa de medr. Y esta cantdad va decrecendo con el progreso de la físca en un proceso contnuado, pero sn fn aparente. Es decr, que, aunque cada ve podamos dar la medda con más decmales, el sguente decmal no podrá saberse... por el momento. Por lo tanto, podemos decr que las meddas de la físca son sempre ncorrectas. Dcho de una manera más correcta : s llamamos error a la dferenca que este entre la medda el valor verdadero de la magntud, sempre estrá este error. Es, lo que podríamos llamar un error ntrínseco, por nevtable. Pero, el valor de las magntud físcas se obtene, como hemos ndcado, epermentalmente. Es decr, por medcón, ben drecta de la magntud cuo valor deseamos conocer o ben ndrecta por medo de los valores de otras magntudes, lgadas con la magntud problema medante alguna le o fórmula físca. Por lo tanto, debe de admtrse como postulado que, aparte del error ntrínseco que hemos señalado anterormente, el proceso epermental lleva en sí otras mperfeccones que hacen que resulte mposble ncluso s prescndéramos del error ntrínseco llegar a conocer el valor eacto de nnguna magntud físca, puesto que los medos epermentales de comparacón con el patrón correspondente en las meddas drectas las meddas propamente dchas vene sempre afectado por mprecsones nevtables. De este modo, aunque es mposble, en la práctca, encontrar el valor verdadero o eacto de una magntud determnada, a los centífcos no les cabe duda de que este; nuestro problema consste en establecer los límtes dentro de los cuales estamos seguros de que se encuentra dcho valor cota de error. 1

2 .- CLASIICACIÓN DE LOS ERRORES El error se defne, tal como habíamos dcho, como la dferenca entre el valor verdadero el obtendo epermentalmente. Los errores no sguen una le determnada su orgen está en múltples causas. Atendendo a las causas que lo producen, los errores se pueden clasfcar en dos grandes grupos: errores sstemátcos errores accdentales. Se denomna error sstemátco a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de medda, por tanto, afecta a todas las meddas de un modo defndo es el msmo para todas ellas. Estos errores tenen sempre un sgno determnado las causas probables pueden ser: - Errores nstrumentales de aparatos; por ejemplo, el error de calbrado de los nstrumentos. - Error personal: Este es, en general, dfícl de determnar es debdo a las lmtacones de carácter personal. Como, por ejemplo, los errores de paralaje, o los problemas de tpo vsual. - Errores de método de medda, que corresponden a una eleccón nadecuada del método de medda; lo que nclue tres posbldades dstntas: la nadecuacón del aparato de medda, del observador o del método de medda propamente dcho. Se denomnan errores accdentales a aquellos que se deben a las pequeñas varacones que aparecen entre observacones sucesvas realadas por el msmo observador bajo las msmas condcones. Las varacones no son reproducbles de una medcón a otra se supone que sus valores están sometdos tan sólo a las lees del aar que sus causas son completamente ncontrolables para un observador. Los errores accdentales poseen, en su maoría, un valor absoluto mu pequeño s se reala un número sufcente de meddas se obtenen tantas desvacones postvas como negatvas. Y, aunque con los errores accdentales no se pueden hacer correccones para obtener valores más concordantes con los reales, s pueden emplearse métodos estadístcos, medante los cuales se pueden llegar a algunas conclusones relatvas al valor más probable en un conjunto de medcones.

3 3.- CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD En lo que se refere a los aparatos de medda, ha tres conceptos mu mportantes que vamos a defnr: eacttud, precsón sensbldad. La eacttud se defne como el grado de concordanca entre el valor verdadero el epermental. De manera que un aparato es eacto s las meddas realadas con él son todas mu prómas al valor verdadero de la magntud medda. La precsón hace referenca a la concordanca entre las meddas de una msma magntud realadas en condcones sensblemente guales. De modo que, una aparato será precso cuando la dferenca entre dferentes medcones de una msma magntud sean mu pequeñas. La eacttud mplca, normalmente, precsón, pero la afrmacón nversa no es certa, a que pueden estr aparatos mu precsos que posean poca eacttud, debdo a errores sstemátcos, como el error de cero, etc. En general, se puede decr que es más fácl conocer la precsón de un aparato que su eacttud báscamente, debdo a la ntroduccón del térmno verdadero. La sensbldad de un aparato está relaconada con el valor mínmo de la magntud que es capa de medr. Por ejemplo, decr que la sensbldad de una balana es de 5 mg sgnfca que, para masas nferores a la ctada, la balana no acusa nnguna desvacón. Normalmente, se admte que la sensbldad de un aparato vene ndcada por el valor de la dvsón más pequeña de la escala de medda. En muchas ocasones, de un modo erróneo, se toman como déntcos los conceptos de precsón sensbldad, aunque a hemos vsto que se trata de conceptos dferentes. Lo que estamos hablando hablaremos todavía un tempo de valores verdaderos, habrá que entenderlos como los que más tarde defnremos báscamente, valores medos. 3

4 4.- ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO S medmos una certa magntud físca cuo valor verdadero es 0, obtenendo un valor de la medda, llamaremos error absoluto de dcha medda a la dferenca en donde, en general, se supone que << 0. 0, 1 El error absoluto nos da una medda de la desvacón, en térmnos absolutos, respecto al valor verdadero. No obstante, en ocasones nos nteresa resaltar la mportanca relatva de esa desvacón. Para tal fn, se usa el error relatvo. El error relatvo se defne como el cocente entre el error absoluto el valor verdadero : ε, 0 lo que, en forma porcentual se epresará como ε 100 %. Cuando ndquemos el resultado de una medda o de un conjunto de meddas de una magntud, tendremos que ndcar, sempre, el grado de ncertdumbre de la msma, para lo cual acompañamos el resultado de la medda de sus error absoluto; epresando el resultado así ±. De ordnaro, dado el sgnfcado de la cota de mprecsón que tene el error absoluto, este, durante el transcurso de estas práctcas de laboratoro, no deberá escrbrse con más de una cfra sgnfcatva aunque podrían admtrse dos cfras s estas no sobrepasan 4, pero esto se quedará para cursos posterores. S el error se ha obtendo con más de una cfra, se deberá a proceder a suprmr las posterores, aumentando en una undad la prmera, s la segunda fuera 5 o maor que 5. El valor de la magntud debe de tener sólo las cfras necesaras para que su últma cfra sgnfcatva sea del msmo orden decmal que la últma del error absoluto, llamada cfra de acotamento. Como ejemplo, damos las sguentes tablas de valores de dstntas magntudes en la columna de la querda mal escrtos en la de la derecha correctos para poner de manfesto lo que acabamos de decr. Ver al fnal del capítulo. 4

5 Valores ncorrectos Valores correctos 3,418 ± 0,13 3,4 ± 0,1 6,3 ± 0,09 6,30 ± 0, ± ,6 ± ,351 ± 0,7 48,4 ± 0,3 0,01683 ± 0,0058 0,017 ± 0,006 Nota: S un valor es leído de una tabla o algún otro lugar que no tengan una mencón epresa del error cometdo, se tomará como s todas sus cfras fueran sgnfcatvas. 5

6 5.- DETERMINACIÓN DE ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS Cuando realcemos la medda de cualquer magntud, deberemos ndcar sempre una estmacón del error asocado a la msma. Dado que no conocemos el valor verdadero de la magntud que deseamos medr, habrá que segur certos procedmentos para hacer una estmacón, tanto del valor verdadero, como de una cota de error, que nos ndquen la ncertdumbre de la medcón realada. Dstnguremos dos casos ben dferencados: a S sólo se puede realar una sola medda,, de la magntud. En este caso consderaremos que el error absoluto concde con el valor absoluto de la sensbldad S del aparato utlado para realar la medda. De este modo, el resultado de la medda lo epresaremos así: ± S b Caso en el que se realan varas meddas de una msma magntud. Con el fn de alcanar certa valde estadístca en los resultados de las meddas, es mu convenente repetr varas veces la determnacón del valor de la magntud problema. Los resultados de las meddas ndvduales pueden presentarse poco o mu dspersas, en funcón de esta dspersón será convenente aumentar o no el número de medcones de la magntud. Para decdr el número de determnacones que ha que efectuar del valor de la magntud físca que deseamos medr, seguremos el sguente procedmento: Se realan tres meddas de la magntud 1, 3, se calcula el valor 1 3 medo de las tres meddas, 3, se halla la dspersón total, D, de 3 las msmas, es decr, la dferenca entre los valores etremos de las meddas valor mámo menos el valor mínmo. nalmente, se obtene el tanto por cento de dspersón, T, que vene dado por: D T. 3 3 Ahora ben, puede suceder que el valor de la dspersón D no sea maor que el valor de la sensbldad del aparato de medda D S. En este caso, tomaremos como estmacón del valor verdadero de la magntud el valor medo de las tres meddas, 3, como error absoluto la sensbldad, es decr, 6

7 ± S 3 Ahora ben, s el valor de la dspersón D es maor que la sensbldad del aparato, D > S, procederemos a aumentar el número de meddas de la magntud. El crtero a segur en esta aumento vene condconado por el valor del porcentaje dspersón T del modo ndcado en la sguente tabla: T en las tres prmeras meddas Nº total de meddas necesaras T 3 % Bastan las 3 meddas realadas % < T 3 8% Ha que hacer 3 meddas más, hasta un total de 6 8% < T 6 15% Ha que hacer un total de 15 meddas 15% < T 15 Ha que hacer un mínmo de 50 meddas Una ve realadas las meddas necesaras, se toma como valor de la magntud el valor medo de la msma, calculado sobre el número total de meddas realadas en cuanto al correspondente error, se determna según los casos que sgue: S 1 se han realado tres meddas, se toma como error absoluto el valor de la sensbldad del aparato, es decr, lo que a hemos ndcado, S. se han realado ses meddas, entonces se calcula el error de dspersón defndo como D 6 /4 la cuarta parte de la dspersón total de las ses meddas, es decr, la dferenca entre la maor la menor de todas, se asgna como error absoluto de las meddas, el maor de entre este valor la sensbldad del aparato. Es decr, ma D 6 /6, S 3 se han realado más de 15 meddas; entonces el error absoluto puede calcularse por la epresón: N n 1/ 4 7

8 que proporcona el llamado error cuadrátco medo puesto que es algo así como una meda del cuadrado de los errores, en donde son cada una de las meddas realadas, n es la meda artmétca de todas las meddas ndvduales N es el número total de meddas realadas. El procedmento segudo en este últmo caso se debe a que, en una sere repetda de meddas de una msma magntud, la dstrbucón estadístca de éstas alrededor del valor medo representa una forma típca, que recbe el nombre de dstrbucón gaussana o dstrbucón normal. 6.- DETERMINACIÓN DEL ERROR DE UNA MAGNITUD MEDIDA INDIRECTAMENTE Como a hemos ndcado, la medda ndrecta de una magntud se alcana medante la aplcacón de una fórmula a un conjunto de meddas drectas varables ndependentes o datos, que las relaconan con la magntud problema. Por eso tambén esta fórmula ha de servrnos para obtener el error de dcha magntud. Ahora eplcaremos la manera de realar esto. Antes que nada, debemos ndcar que, s en la fórmula ctada aparecen números rraconales, tales como π, e, etc, debemos elegr el número de cfras sgnfcatvas con las que vamos a realar los cálculos, de modo que los errores cometdos al apromar estos números rraconales no afecten a la magntud que queremos determnar bastará con poner una cfra sgnfcatva más baja que la más baja de los datos,. Supongamos que la magntud problema es funcón de otras magntudes físcas datos, estando relaconadas con ellas por,,,... 5 Supongamos, además, que se han realado meddas de las ctadas varables,,,... se han determnado su valor medo al que llamaremos con el msmo nombre,,,... sus errores absolutos,,,... Para realar el cálculo del error absoluto de, en funcón de los antedchos valores, se procede así: En prmer lugar, se obtene la dferencal total de en funcón de las varables,,,... d d d d... S, a contnuacón asmlamos las dferentes dferencales a los errores absolutos, además, consderamos que en el cálculo del error de debemos ponernos en el caso más desfavorable sempre deseamos tener una cota de error, o sea un valor de la magntud del que podamos estar seguros de que el 8

9 valor verdadero está dentro de nuestro ntervalo de segurdad, o sea, el maor error posble. Lo que sgnfca que consderaremos todos los errores como postvos, es decr, tomaremos, además, los valores absolutos de las dervadas parcales, con lo que obtendremos el valor absoluto de, es decr,... 6 En este problema se presenta una notable smplfcacón en el caso de que la funcón fórmula consderada sea de la forma: a b c... 7 con a, b, c, constantes postvas o negatvas; a que en este caso podemos proceder del sguente modo: Calculamos la dferencal logarítmca de tomar ln luego la dferencal de este logartmo: d d a b d c d..., 8 en donde, asmlando de nuevo los dferencales totales a los errores absolutos, tenemos: a b c... 9 Y, recordando el concepto de error relatvo, ε, obtenemos ε aε bε cε Con esto podemos, fnalmente obtener el error absoluto de, ε.. 11 Ejemplos numércos del cálculo de errores a Error de una magntud de la forma general 5: Vamos a calcular el error de una magntud que depende de los datos a través de una epresón del tpo. u v 9

10 Consderemos que se han meddo las valores medos de las varables se han determnado sus errores absolutos, de modo que, 7,33 ± 0,1,45 ± ,0 ± 0,1 u 50, ± 0,1 v 1,033 ± 0,01 3,6 ± 0,0 Vamos a obtener el valor de la magntud el error correspondente a la msma 1, v v u u. Realando cálculos se obtene: v u v v u u v u v u v u v u Tras realar los cálculos numércos correspondentes, se obtene: 0, Tenendo en cuenta el número mámo de cfras sgnfcatvas del error absoluto, obtenemos el resultado fnal: 1,86 ± 0,04 Propuesta alternatva Con el fn de smplfcar el engorroso cálculo de dervadas parcales como en el caso anteror, podemos utlar el cambo de varables. Como puede verse en el sguente tratamento del ejemplo anteror: Hagamos X X u v U u v U 10

11 Con lo que nos quedaría, Y, aplcando el método de la dervada logarítmca, obtendríamos X U X X U U en donde todos lo datos son conocdos podemos calcular, que es lo que queríamos sn realar nnguna dervada. 11

12 II.- CONSTRUCCIÓN DE GRÁICAS La representacón gráfca de los fenómenos físcos que estudaremos deberá ajustarse a las sguentes normas: 1 Gráfcas en papel mlmetrado en el caso de que no estén realadas con ordenador con los ejes ben traados, ndcando en sus etremos la magntud representada en ese eje, así como la undad en que ha sdo medda. El título de la gráfca se pondrá, ben claro, en la parte superor. La varable ndependente del fenómeno estudado se representará en abcsas la dependente en ordenadas. 3 Las escalas, sobre ambos ejes, han de permtr una lectura rápda senclla. Para ello se elegrán las escalas con ntervalos sencllos de 1,, 5, 10, 0,... undades. 4 Sobre los ejes sólo se ndcarán los valores correspondentes a las dvsones enteras de la escala que quedarán así unformemente espacadas. Nunca se señalarán los valores correspondentes a las meddas realadas. 5 Los valores meddos se representarán sobre el papel mlmetrado por el punto correspondente a sus dos coordenadas punto epermental rodeado por el denomnado rectángulo de error, cua base abarca desde - hasta, cua altura se etende desde - hasta, sendo e las coordenadas del punto epermental. 6 En el caso de que o sean desprecables en comparacón con la escala utlada, el rectángulo de error quedará reducdo a un smple segmento vertcal u horontal barra de error, según el caso. En el caso ecepconal de que ambos errores sean smultáneamente desprecables, el punto epermental quedaría reducdo a un punto. Las gráfcas han de ser líneas fnas contnuas, nunca quebradas, que han de pasar por todos los rectángulos de error, aunque para ello dejen muchas veces de pasar por los puntos epermentales, que pueden quedar a derecha o a querda de la gráfca. S al hacer esta operacón, alguno de los rectángulos de error, queda ecesvamente alejado de la forma contnua de la gráfca, es prueba de que esa medda es falsa, por alguna causa accdental, debería repetrse. 1

13 III.- AJUSTE DE LA RECTA DE REGRESIÓN POR EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Con frecuenca, se plantea el problema de encontrar una epresón matemátca f de la le físca que rge el comportamento de un determnado fenómeno, a partr de una sere de N meddas,,, de las magntudes e que lo caracteran. Cuando la representacón gráfca del fenómeno estudado proporcona una dstrbucón de los puntos epermentales que parecen tener la forma de una curva plana determnada es convenente obtener la ecuacón de esta curva que probablemente será la epresón de la le físca que rge el fenómeno estudado. El método más potente, sobre todo, el más smple conocdo es el de regresón por los mínmos cuadrados. Estos métodos son aplcables a dversas curvas de dstntos grados, pero nosotros, en este prmer curso de ntroduccón, nos vamos a lmtar a estudar el caso más smple posble de una le físca lneal, es decr de una recta de regresón. Dcha recta debe de cumplr la condcón de que los puntos epermentales queden dstrbudos smétrcamente a ambos lados lo más prómos posble de la msma. Esta condcón se cumple s se oblga a la recta, de ecuacón a b, cumpla con que la epresón C, Σ a b Tenga un valor mínmo. Dervando respecto a a a b, hacendo ambas dervadas guales a cero, tras una sere de operacones, se obtene: a N N Nb b N a N S la recta hubera de pasar por el orgen de coordenadas, el problema se smplfca notablemente, puesto que, al ser b 0, resulta a que proporcona drectamente el valor de la pendente de la recta. Además de los valores de la pendente de la ordenada en el orgen, es nteresante obtener el denomnado coefcente de correlacón lneal, r, que nos da una medda del grado de correlacón de apromacón entre los valores de 13

14 las varables e, es decr, hasta que punto e están relaconados medante una funcón lneal. La epresón de r es [ N N N r que varía entre cero correlacón nestente ± 1 correlacón completa. Las epresones correspondentes al cálculo de error de la pendente de la ordenada en el orgen son 1 N b a a 1 1 N b a N b 14

15 IV.- INTERPOLACIÓN 1.- EN TABLAS DE SIMPLE ENTRADA La tablas de smple entrada nos proporconan el valor de una varable dada en funcón de otra, vceversa. Cuando se quere determnar el valor de que corresponde a uno de no tabulado, o vceversa, se supone que, para ntervalos mu pequeños de las varables como es usual en las tablas de valores, la funcón es lneal por tanto los ncrementos de las msmas son proporconales. Esto nos permte dseñar un procedmento para encontrar estos valores no tabulados llamado nterpolacón lneal. Para resolver el problema se determnan prevamente los valores tabulados de e entre los que se encuentran los de nuestro problema 1 << ; 1 < <, 1 1 Entonces, la relacón que lga con puede escrbrse, dentro de las apromacones antedchas, según la fórmula lneal que permte determnar en funcón de, o vceversa. El error absoluto de resulta ser EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA En las tablas de doble entrada, para cada pareja de valores e se sumnstra el valor correspondente de una tercera varable relaconada con las dos anterores medante una funcón,. En este caso el trao de tablas cuos ntervalos se consderan ahora trplemente lneales, entre cuos valores se encuentran el buscado, presentan el aspecto 1 << ; 1 < <,

16 La relacón apromada lnealmente que permte el cálculo es puede utlarse tambén en la nterpolacón nversa, es decr, en la determnacón de o, conocdos los valores de, o de,. El error de resulta análogamente de la epresón:

17 NOTAS *Cfra sgnfcatva El número de dígtos con sgnfcado de una magntud se llama número de cfras sgnfcatvas. En general, nngún número puede tener más cfras sgnfcatvas que las de los números a partr de los cuales se ha calculado. La regla para consderar un dígto como sgnfcatvo es la de que el error absoluto de la medda debe de ser del orden de magntud ** de este msmo dígto. Nosotros, para fjar deas, adoptaremos el conveno de consderar que s una cfra es sgnfcatva, el error absoluto de la magntud es al menos de una undad de ese orden. Por ejemplo, s los números 300,06 0,00078 están escrtos con todas sus cfras sgnfcatvas, sgnfcará que sus errores son ± 0,01 ± 0,00001, respectvamente. En los cálculos con números mu grandes o mu pequeños estas consderacones se smplfcan en gran medda utlando las potencas de de denomnada a veces notacón centífca. Por ejemplo, la dstanca de la Terra al Sol es apromadamente de m, pero al escrbr el número de esta manera no se está ndcando, evdentemente no se puede medr esta dstanca con una precsón de 1 m!, el número de cfras sgnfcatvas. S el error que hemos cometdo es del orden de 1000 Km, podemos escrbr este número así: m. De esta forma es evdente que el número de cfras sgnfcatvas es ses. *Orden de magntud Cuando hablamos de orden de magntud de un número nos estamos refrendo al valor de un número que concde apromadamente con el orden de la prmera cfra de aquel. Por ejemplo, en 1387,4 la prmera cfra es el 1, que es del orden de los mles ; en 3, el tres es del orden de los de mllones ; en 0,00056, el cnco es del orden de la demlésma; etc. Esto lo podemos poner de una manera algo más sstemátca de la manera sguente: llamaremos orden de magntud de una medda a la potenca de de más baja de las dos entre las que está contendo el número. Por ejemplo, veamos los tres números ctados más arrba: 1387,4 puede escrbrse así: 10 < 1387,4 < Lo que quere decr que de este número dremos que tene un orden de magntud de 10 3 o de los mles. Análogamente, 10 7 < 3, <10 8. Es decr que de este número dremos que tene un orden de magntud de 10 7 o de los de mllones Tambén, 10 < 0,00056 < 10. O sea, que de este número dremos que tene un orde n de magntud de 10-4 o de las de mlésmas. 3 17

18 Naturalmente, estos valores habrá que tratarlos con sentdo común no se trata de un concepto precso, sno una manera de hablar centífca. Por ejemplo, s consderamos dos números tales como , la aplcacón de la regla anteror nos dría que el prmero tene un orden de magntud 1 el segundo,. Cuando la dferenca entre los dos es de tan sólo undades! Está claro que, en este caso, lo sensato es decr que ambos tenen el msmo orden de magntud el lógco sería el. 18

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