Geometría del espacio

Transcripción

1 Geomería del espacio º) Dados los vecores u = (,, ) v = (,, ), calcula: a) sus módulos. b) su produco escalar. c) el coseno del ángulo que forman. d) el valor de w para que el vecor w (w,, ) sea perpendicular a u. º) Dados los vecores u = (u,, ) v = (, v, ), deermina u v para que los vecores u v sean perpendiculares además el módulo de v sea. º) Dados los vecores u = (,, ) v = (,, ), a) calcula un vecor perpendicular a u v uniario oro con módulo. b) halla el área del paralelogramo que deerminan los vecores u v. º) Calcula el área del riángulo de vérices los punos A(,,), B(,,) C(,, ). Solución / u º) Dados los vecores u = (,, ), v = (,, ) w = (,, ), calcula: a) u (v + w ) b) (u v) w 6º) Calcula el volumen del paralelepípedo deerminado por los vecores i, j k.[ Sol: u ] 7º) Averiguar si los punos O(,, ), A(,, ), B(,, ) C(,, 8) son coplanarios. 8º) Deermina de odas las formas posibles las ecuaciones del plano deerminado por los punos P(,, ), Q(,, ) R(,, ). 9º) Represena el plano de ecuación + + = (Noa: Escribe la ecuación segmenaria) º) Dados los vecores u, v w ales que u =, v = w = además u + v + w =, calcula la suma u v + v w + u w (Observa cómo esarán dispuesos u, v w, u v con senidos opuesos sobre w. [Sol: ] º) Los vecores u v cumplen u = v =. Además u v=. Calcula u v [Sol: Observa que u v son paralelos, luego será el produco vecorial] º) Demuesra que (u v) (u + v) = (u v) ) Halla el vecor orogonal a u = (,, ) v = (,, ) que enga la ercera componene igual a. [Sol: u = (,, )] º) Los punos A(,, ), B(,, ) C(,, ) son vérices de un paralelogramo. Calcula el cuaro vérice, el perímero del paralelogramo su área. [ Sol: D(,,), P = ( + 7) Area = 6 u ] º) Deermina k para que los punos A(,, ), B(,, ), C(,, ) D(k, k +, ) sean coplanarios. [ Sol: k = /) 6º) Deermina la ecuación general del plano que pasa por el puno P(,, ), es perpendicular al plano OXY que iene un vecor direcor perpendicular a los vecores u = (,, ) v = (,,). [ Sol: = ]

2 7º) Halla el volumen del eraedro deerminado por los punos A(,, ), B(,, ), C(,, ) D(9,, ). [Sol: / u ] 8º) Escribe las ecuaciones paraméricas, coninua general de la reca que pasa por el puno A(,,) iene la dirección del vecor u =(,, ). 9º) Dada la reca de ecuación r a) Escríbela en forma paramérica coninua. b) Halla la ecuación de la reca s paralela a r que pasa por el origen de coordenadas. c) Escribe la reca s como inersección de planos. º) Dado el plano de ecuación + = a) Halla la ecuación de la reca perpendicular al plano que pasa por el puno A(,, ). b) Halla el puno de inersección de la reca el plano. º) Dados los punos A(,, ), B(,,) C( a,, b + ) deermina a b para que los punos A, B C esén alineados. [Sol: a = /; b = /] º) Halla la ecuación coninua de la reca que pasa por el puno medio del segmeno de eremos A(,,) B(,,) que iene un vecor direcor perpendicular a los vecores u = (,, ) v=(,, ). º) Dados los punos A(,6, ) B(,, ) deermina los punos en los que la reca que pasa por A B cora a los planos coordenados. º) Halla la ecuación general del plano deerminado por las recas [Sol: +9+=. Observa que las recas son paralelas] º) Escribe las recas del aparado anerior en forma de inersección de planos. 6º) Escribe la ecuación general de un plano que pasa por el puno A(,, ) coniene a la reca [Sol: ++-=] 7º) Halla la ecuación del plano que pasa por el puno A(,,) coniene a la reca de ecuación [Sol: -++=] 8º) Comprueba si la reca de ecuación r π + =. esá o no conenida en el plano 9º) Dadas las recas r: que coniene a r es paralelo a s. [Sol: -+6-+=] s:, calcula la ecuación del plano

3 º) Halla la ecuación del plano paralelo al plano + = que pasa por puno en que la reca cora al plano OXZ. º) Deermina la ecuación del plano que pasa por el puno A(,, ), es perpendicular al plano + + = paralelo a la reca r: [Sol: ---=] º) Halla el valor de k para que la reca r: [Sol: k = ] el plano k + = sean paralelos. º) Halla la posición relaiva de las recas r: s: [Sol: Se coran en P(9/, /, /] 7 º) Deermina la ecuación de la reca r que pasa por el puno A(,, ) es perpendicular al plano deerminado por el origen de coordenadas la reca s: [Sol: = = ] º) Deermina la posición relaiva de los planos a) + = ; + = + = [Sol: Se coran en un puno] b) + + = ; + = + = [Sol: Se coran de forma prismáica] 6º) Halla la proección orogonal del puno P(,, ) sobre la reca r: [Sol: Q(, 7, )] 7º) Calcula el volumen del eraedro cuos vérices son los punos A(,, ), B(,, ), C(,, ) D(9, -, ). [Sol: V = / u ] 8º) Halla la ecuación de un plano que, pasando por los punos A(,,), B(,, ), cora al eje OX en un puno C de forma que el área del riángulo ABC es. [Sol: ± 6( + ) = ] 9º) Obén la ecuación del plano que es orogonal a la reca pasa por el puno P(,, ). Calcula el puno del plano más próimo al puno Q(,, ) [Sol: + 7 = el puno Q`(,, )] º) Deermina el ángulo que forman los planos + = + + = [Sol: 7,º] º) Discue en función de k la posición de la reca = = el plano + + k + =. [Sol: k = serían paralelos en caso conrario se coran] º) Deermina a b para que las recas siguienes se coren orogonalmene: r: s: b a [Sol: Obliga a que se coren además orogonalmene; a =, b = ]

4 º) Deermina la posición relaiva de la reca r: el plano + = [ Sol: Se coran en el puno P( 9/, /, /) ] º) Halla la ecuación de la reca que pasa por el puno P(,, ) es paralela a los planos π π de ecuaciones π + + = π + =. [ Sol º) Se consideran las recas r: s: = = a) Deermina su posición relaiva. [Sol: Se cruan] b) Calcula la disancia enre ellas. [Sol: 6 ] 6º) Se consideran las recas r: s: a) Deermina su posición relaiva. [Sol: Paralelas disinas] b) Calcula la disancia enre ellas. [Sol: 7 6 ] 7º) Enre odos los planos que conienen a la reca r: 6 a) Halla la ecuación del plano que es paralelo al plano : [Sol: +-=] b) Halla la disancia enre. [Sol / u] 8º) Halla el puno de la reca r: = = cua disancia al origen es el doble que su disancia a la reca r: [Sol: P(, /,/)] 9º) Halla las ecuaciones del lugar geomérico de odos los punos del plano =, que disan del plano + =. [Sol: formarán dos recas: r: s: ] º) Halla la disancia del puno P(,, ) a la reca r: 7 [Sol: u] º) Calcula la reca simérica a r: respeco del plano π: = [Sol: º) Deermina el valor de a para que los planos + =, + + = + a = 6 se coren dos a dos. [Sol a = 7 ] º) Calcula la disancia enre los planos = = [Sol: ]

5 º) Halla la ecuación de la reca que pasa por el origen de coordenadas cora (se apoa) en las recas r: s: = = Noa: La reca podemos darla como inersección de dos planos π π,siendo π el plano que pasa por P coniene a la reca r π el plano que pasa por P coniene a la reca s [Sol: = = ] º) Halla el puno Q simérico del puno P(,, ) respeco de la reca r que pasa por el puno A(,, ) es paralela a la reca s: [Sol: Q( 8, 6, )] 6º) Obén la perpendicular común a las recas r: = = s: = = [Sol: 7º) Halla las coordenadas del puno simérico del puno P(,, ) respeco del puno Q(,, ). [Sol: P (,, )] 8ª) Dada la reca r: halla los punos de r ales que su disancia al origen de coordenadas sea u. [Sol: P( /, /, /) Q(/, /, /)] 9º) Halla el ángulo que deerminan las recas r: s: [Sol: º] 6º) Halla la reca que pasa por el puno A(,, ), cora a la reca r del ejercicio anerior es paralela al plano + =. [Sol: 6 6) Dados el plano π + =, la reca r = = el puno P(,, ), pereneciene al plano π, se pide: a) Deerminar la posición relaiva de π r. b) Calcular la ecuación de la reca, conenida en π, que pasa por el puno P que cora perpendicularmene a r. c) Sea Q el puno de inersección de r. Si s es la reca perpendicular al plano π que coniene a P, R es un puno cualquiera de s, probar que la reca deerminada por R Q es perpendicular a r. 6º) Dados puno P(,, ), el plano π + =, se pide: a) Deerminar el puno Q de inersección del plano π con la reca perpendicular a π que pasa por P. Hallar el puno R simérico del puno P respeco del plano π. b) Obener la ecuación del plano paralelo al plano π que coniene al puno H que se encuenra a 6 unidades del puno P en el senido del vecor PQ. 6º) Dadas las recas r = = + s: se pide: a) Comprobar que se cruan calcular la disancia enre ellas. b) Hallar la ecuación del plano que coniene a r es paralelo a s.

6 c) Hallar el ángulo que forma la reca r con el plano =. EvAU Modelo 6-7. Opción A 6º) Dados los punos A(,, ), B(,, ) P(,, ), se pide: a) Hallar la ecuación del plano que coniene a los res punos. b) Hallar el área del riángulo formado por A, B P. c) Hallar la disancia del puno P a la reca que pasa por A B. EvAU Modelo 6-7. Opción B = + α 6º) Dada la reca r { = α = α α R proección de r sobre π. [Sol: { + = 8 9 = ] el plano π + =, calcula la reca 6