MÉTODO DEL CENTRO DE GRAVEDAD

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1 DEFINICIÓN MÉTODO DEL CENTRO DE GRVEDD Es un moelo matemátco que se utlza para la localzacón e plantas e fabrcacón o almacenes e strbucón respecto a unos puntos ya establecos e la empresa, ese one se proucen salas o haca one se llevan prouctos o materas prmas. Este métoo e localzacón toma en cuenta tres factores e transporte: C : Coste e transporte por una V : Volumen transportao e la una : Dstanca recorra en el transporte e la una El objetvo prmoral e este métoo es el e encontrar la mejor ubcacón e una nstalacón aa e una empresa con respecto a los emás elementos que la conforman, para garantzar el mínmo Coste Total e Transporte. El Coste Total e Transporte o CTT se efne como la sumatora el proucto entre el coste e transporte c, el volumen transportao v y la stanca recorra. Esto es: CTT c v [1] Done el subínce en caa térmno nca un elemento o nstalacón e la empresa. Es ecr, c nca el coste untaro e transporte ese/haca la una. v nca el volumen e los materales transportaos ese o haca y es la stanca entre la una y la nstalacón que se esea ubcar. Por otro lao, al proucto c v w [] Se le efne como peso, ó w, el -ésmo elemento; tambén se le conoce como la mportanca e caa punto en el plano e ubcacón. Carolna Solano Danel Vctora Elson Quñonez Rownson Gallego MODO DE MEDIR DISTNCIS ENTRE DOS O MÁS PUNTOS Exsten os moos para la mecón e stancas entre ferentes elementos ya establecos que se van a conserar con respecto a la ubcacón e la nueva nstalacón. Es ecr, son os formas ferentes e conserar la mea e las trayectoras que conectarán los puntos que se van a tomar en cuenta. El prmero, el que mra la stanca rectangular, toma en cuenta sólo movmentos e 90 ; mentras que el seguno, el que toma en cuenta la stanca euclíea, permte movmentos en agonal. Ver fg. 1.

2 Campo aberto Cua Dstancas rectangulares: En una cua, one su organzacón por calles, etermna el tpo e trayectora Dstancas euclíeas: Por la naturaleza el terreno, no mporta s la trayectora es agonal. Fg. 1: Dferenca entre stanca rectangular y stanca euclíea según las característcas el terrtoro. La aplcacón e uno e estos os moos e mer stancas, en un problema e ubcacón, epene e la organzacón y las característcas el lugar en one se esee stuar la nueva nstalacón. Dstanca rectangular Esta toma las stancas entre os puntos conserano solamente os tpos e movmento: el vertcal y el horzontal. Para la representacón e la stanca entre os puntos y stuaos en un plano a escala K, se tene que: K x x y y ) [3] ( Done las x representan a la pareja abscsa y las y a la pareja orenaa e los os puntos. y y 1 : K x x Fg. : Trayectora rectangular para movmento horzontal. Dstanca euclíea Esta, es la stanca e una línea recta que une a los os puntos y, permteno trayectoras oblcuas. Esta stanca vene aa por la sguente expresón: K ( x x ) ( y y ) [4] Esta expresón se esprene el teorema e Ptágoras.

3 y y 1 : K x x Fg. 3: Trayectora recta entre os puntos. Esta es una trayectora nclnaa. Su magntu se halla meante el uso el teorema e Ptágoras. Ejemplo 1: Según la fgura 1, se esea saber la stanca entre os plantas y, stuaas en os tpos e lugares con característcas stntas: en una cua y a campo aberto. Determnar el tpo e stanca que se presenta en caa caso. Caso 1: En una cua. quí, se ebe tener en cuenta que la stanca entre las plantas y, e una empresa, que se ubcan en una cua, no es la stanca mea ese haca rectamente, sn tomar en cuenta la nfluenca e la organzacón típca e una cua. Ya que el tpo e trayectoras que generalmente se encuentran en una cua son e 90, horzontales o vertcales, ebo a su organzacón en bloques, se ebe e mer la stanca rectangular entre chos puntos. Caso : En el caso e ser a campo aberto, en la fgura 1 se observa que ya no exsten conconamentos que mpan tomar la trayectora recta ese la planta haca la planta. Por lo tanto, en este caso, convene tomar la stanca euclíea como la stanca entre estas os plantas. Centro e Gravea El Centro e Gravea se efne como el punto con coorenaas (x*, y*) que mnmza el Coste Total e Transporte. Las coorenaas e este punto, venen aas por las sguentes expresones: x* c v x c v cv y y* [5] c v El punto que arroja las expresones e [5] no es necesaramente el punto efcente en el que se eba ubcar la nueva nstalacón. Para encontrar el punto efcente utlzano la expresón anteror, se eben realzar muchas teracones que arrojan posbles solucones a nuestro problema, pero que no se conseran solucones fnales. De este moo, la últma solucón, luego e varar las coorenaas x* y y* ncales, es aquella que arroje menor valor en el CTT. DETERMINCIÓN DEL PUNTO ÓPTIMO DE LOCLIZCIÓN Dstancas rectangulares: moelo e la meana smple Para hallar el punto óptmo e localzacón e una nstalacón, usano las coorenaas rectangulares, se realza el sguente procemento: 1. Hallar el valor meo e las cantaes esplazaas poneraas por sus costes:

4 c v. Se orenan los puntos según su orenaa y según su abscsa en forma crecente. Se hace un acumulao el proucto c v e toos los atos. 3. La orenaa y la abscsa que en el acumulao e los atos fueron los prmeros en sobrepasar el valor meo calculao etermnan el punto óptmo e localzacón. Dstancas euclíeas: centro e gravea con stancas euclíeas Para el caso e utlzar las stancas euclíeas, se requere e un proceso que, epeneno e la exacttu eseaa, puee resultar aruo. De este moo, se hace lo sguente: 1. Se ubca el centro e gravea, ( x*, y*), a partr e las ecuacones [5]. Según las coorenaas anterores el punto corresponente al Centro e Gravea, se halla la stanca euclíea, el Centro e Gravea a caa punto el plano, a través e la ecuacón [4]. Esto es, [6] K ( x * x ) ( y * y ) 3. Se halla el Coste Total e Transporte por elemento, CTT. Este se calcula multplcano el peso el elemento, w por la stanca entre el elemento y el centro e Gravea, obtena el paso. Esto es: CTT w c v Fnalmente, se halla el Coste Total e Transporte CTT realzano la suma e los CTT CTT CTT 4. El punto resultante en el paso 1 y la stanca el paso, se reemplazan en la sguente ecuacón, obtena a partr e la ervaa parcal gualaa a cero el CTT respecto a la abscsa y la orenaa: X * c v x c v / / c v y c v / / Y* [7] Esto nos arroja las coorenaas (X*, Y*) el punto óptmo e localzacón corresponente a cho CTT. S se esea una exacttu muy grane, el punto óptmo se encuentra realzano repetas veces este procemento. Se varía el Centro e Gravea el paso 1 haca el Norte, Sur, Orente y Oeste, y se comparan toos los resultaos con respecto al CTT obteno para caa punto. El punto óptmo es aquel que arroje el menor valor el CTT. Para este caso, generalmente se utlza un software como ayua, que realza las sufcentes teracones hasta que ubca el punto óptmo e localzacón. Estas pueen ser hasta e 50 o más teracones, algo que es muy spenoso para realzar. S el anteror no es nuestro caso, s se esea un valor estmao, se realza el cálculo por encma y por ebajo e las coorenaas el Centro e Gravea, obtenas anterormente. Para esto, se procee: Calculo por encma: Los valores arrojaos por el paso 1, para el Centro e Gravea, se aproxman haca certo valor por encma e ellos. Es ecr, s se escoge un rango e 0.5, se le suma a la abscsa y a la orenaa este valor. Cálculo por ebajo: Smlar al anteror. El Centro e Gravea se halla en certo valor por ebajo el orgnal.

5 Fnalmente, el valor óptmo entre el cálculo por encma/ebajo es aquel que arroje el menor valor el CTT (Costo Total e Transporte) Too lo explcao anterormente quea más claro s se observa el sguente ejemplo. Ejemplo : Una empresa necesta ubcar una nueva nstalacón para amplar la cobertura en ventas; para ello, realza un estuo en el que etermna los costos e transporte y el volumen a transportar. Estos se anotan en la tabla 1. Ubcar e la manera más efectva el sto óptmo one ebe ubcarse la nueva nstalacón. El agrama e strbucón e la empresa es el sguente: Ubcacón e las 4 nstalacones 10 Y - orenaa 9 7, ,4 3 3,3 C D 1 10, X - abscsa Punto (x,y) c v c v 3, , C 15, D 10, Fg. 4: Ubcacón e las 4 nstalacones Tabla 1: Valores c y v Solucón: Métoo e la stanca mea Coorenaas rectangulares 1. Hallamos la mportanca mea c v Orenamos los puntos según la abscsa y la orenaa. Hacemos el proucto c v acumulao Tabla : Orenaos según su abscsa Tabla 3: Orenaos según su orenaa Puntos x c v c v acumulao D C Puntos y c v c v acumulao D C Hallamos el punto óptmo e localzacón Para x: Se toma el punto D, el prmero en sobrepasar el valor meo, one 8900 > 6700

6 Para y: Se toma el punto C, one > 6700 De este moo, se toma la abscsa y la orenaa e chos puntos y ese es el punto óptmo e localzacón: (X, Y) = (10, 4) Métoo para stancas euclíeas En este caso, ubcamos el punto óptmo realzano el cálculo por encma/ebajo el Centro e Gravea 1. Hallamos el Centro e Gravea. bscsa: x * c v x c v 1000 * * * * Orenaa: x * y * c v y c v y * * *4 3000* El Centro e Gravea es: (x*, y*) = (10.49, 3.948) () Usano el cálculo por encma el Centro e Gravea. umentamos 0.1 Por encma, el nuevo Centro e Gravea es: (x*, y*) = (10.5, 4). Hallamos la stanca entre caa punto y el Centro e Gravea: K ( x * x ) ( y * y ) Puntos (x, y) c v CTT 3, , C 15, D 10, Hallamos CTT: CTT CTT CTT Obtenemos las coorenaas el punto que hace que se obtenga un CTT= Este es: X * X * 10.8 cv x / 1000*3/ *7/ *15/ 4.5 c v / 1000/ / / / *10/ 3.04

7 Y * Y * 3. cv y / 1000*3/ *9/ *4/ 4.5 c v / 1000/ / / /3. 04 Por tanto, el punto óptmo para el cálculo por encma será: (X*, Y*) = (10.8, 3.) 4900*1/ 3.04 () Usano el cálculo por ebajo el Centro e Gravea. Dsmnumos 0.5 Por encma, el nuevo Centro e Gravea es: (x*, y*) = (10, 3.5). Hallamos la stanca entre caa punto y el Centro e Gravea: K ( x * x ) ( y * y ) Puntos (x, y) c v CTT acumulao 3, , C 15, D 10, Hallamos CTT: CTT CTT CTT Obtenemos las coorenaas el punto que hace que se obtenga un CTT= Este es: X * X * Y * Y *.96 cv x / 1000*3/ *7 / *15/ 5.0 c v / 1000/ / / / *10/.5 cv y / 1000*3/ *9/ *4/5.0 c v / 1000/ / / /. 5 sí, el punto óptmo para el cálculo por ebajo será: (X*, Y*) = (10.59,.960) 4900*1/.5 Como la suma el Coste Total e Transporte en el cálculo por encma es mayor que el cálculo por ebajo, se toma a este últmo como punto óptmo..: P = (10.59,.960)

8 EJERCICIOS MÉTODO DEL CENTRO DE GRVEDD Ejercco 1: Una empresa cuyas sees están localzaas en las cuaes e Ibagué, Neva, Cal y Pasto, esea agregar una nueva nstalacón e lmacenamento y strbucón e materales. Cuál sería la mejor ubcacón para cha nstalacón s los atos son los sguentes?: Rownson Gallego Elson Quñonez Danel Vctora Carolna Solano Puntos (x,y) C V I 6, N 5, P 1., C 5.5, Caa punto representa a una cua. I: Ibagué, N: Neva, P: Pasto, y C: Cal. Desarrolle este ejercco meante el métoo e la stanca euclíea, sn tener en cuenta el análss por encma y por ebajo el Centro e Gravea. Ejercco : Utlzano el métoo e la meana smple realce el sguente ejercco: La ea consste en buscar la mejor ubcacón para un Centro Comercal en Popayán. Para ello, se eben mnmzar los costos e transporte e mercancías haca este, ese el Centro e copo e la Cua, localzao en el Centro e Popayán - coorenaas (1, 14); tambén, ebe quear cerca e la Una e oega e Electrooméstcos que se ubca en otra sucursal e la msma franquca coorenaas (1, 1). conalmente, como se trata e un Centro Comercal muy grane, su capaca en el servco e parqueo puee saturarse en altas temporaas, por lo que ebe e quear cerca e parqueaeros prvaos coorenaas: P1(7,8) y P(13,8). Caa parqueaero ofrece su servco al Centro Comercal, caa uno con una tarfa ferente por auto. La ea consste en ubcarse cerca el parqueaero e aquel que menos cobre por auto parqueao. Los atos e costos y volumen son los sguentes: Punto Costo C Volumen V P P Ejercco 3: Una empresa prouctora e prótess e mano, en el sur el país, ebo a la emana crecente en el mercao, ece construr una nstalacón que permta strbur los prouctos en esta zona e manera más efcente. Para cho efecto, la nueva nstalacón ebe tener la capaca e abastecer toa la emana local y naconal. Los almacenes e la empresa están strbuos e la sguente forma:

9 Ubcacón e los almacenes Y 70 Instalacón (x,y) C V 60 30, , , ,30 70,30 E D 0 10,0 C 40, C 50,10 D 50, E 70, X 1:000Km Hallar la mejor ubcacón para cha nstalacón teneno en cuenta que la strbucón e esta zona es a campo aberto.