C. E. C. y T. No. 11 WILFRIDO MASSIEU PÉREZ

Transcripción

1 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Altua A Recta paalela a BC C Distancia (0, 0) Bisectiz B Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

2 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ La unidad de Apendizaje Geometía Analítica petenece al áea de fomación Científica, Humanística Tecnológica Básica del Bachilleato Tecnológico peteneciente al Nivel Medio Supeio del Instituto Politécnico Nacional Se ubica en el tece nivel de complejidad del plan de estudios se impate de manea obligatoia en el tece semeste coespondiente a las amas del conocimiento Ciencias Físico-Matemático, Ciencias Sociales Administativas Ciencias Médico-Biológicas Competencia Geneal Resuelve poblemas efeentes a lugaes geométicos sus espectivas ecuaciones, utilizando los difeentes sistemas de coodenadas, en situaciones académicas sociales Unidad Conceptos Básicos de la Geometía Analítica La Línea Recta Muchos teoemas de la geometía plana pueden pobase con mao facilidad mediante métodos analíticos Es deci, pueden demostase colocando la figua en el plano de coodenadas utilizando el álgeba paa epesa saca conclusiones aceca de las elaciones geométicas El estudio de la geometía a pati de la pespectiva algebaica ecibe el nombe de Geometía Analítica Competencia Paticula Resuelve poblemas de lugaes geométicos, en paticula de la línea ecta, empleando las popiedades del plano catesiano en situaciones académicas sociales RAP Descibe lugaes geométicos mediante la localización de puntos en el plano catesiano Sistema Catesiano La localización de un punto po medio de sus coodenadas, se llama tazado de un punto Se anota la abscisa en pime luga la odenada en segundo, po esta azón un paa de coodenadas en el plano se llama un pa odenado de númeos (, ) Ejemplos Taza en el plano catesiano los siguientes puntos ) P (,) Q (-,) R (-,-) S (,-) une los puntos indicados, qué figua epesenta? Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

3 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Q P R S Un cuadado ) A (,-) B (,-) C (,) une los puntos ABC e indica que figua epesenta C A B Un tiángulo ectángulo ) M (,-) N (7,-) si M N son los vétices de un tiángulo isósceles, cuáles seán las coodenadas del punto O? O M N Las coodenadas del punto O es (9/, ) Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

4 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Distancia Ente Dos Puntos La distancia d ente dos puntos P, esta dada po la fómula P, Ejemplos d ) Calcula la distancia ente los puntos P (6,) Q (-6,-) ubicalos en el sistema catesiano Planteamiento: d P Desaollo: d 6 6 Q d= 69 u ) Uno de los etemos de un segmento ectilíneo de longitud, es el punto (, -) Si la abscisa del oto etemo es 6, cuál seá su odenada? Planteamiento: P d Desaollo: u u P' ) Halla la distancia ente los puntos P (-,6) Q (-7) R (-8,-), e indica la figua plana que epesenta Planteamiento: P d Desaollo: RP 8 6 RP u RQ 8 7 RQ 6 08 u PQ 7 PQ u 6 R La figua plana es un tiángulo Q Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

5 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Peímetos áeas de figuas ectangulaes Peímeto p=a+b+c+ A = /( Pod De Diag Hacía abajo- Pod De Diag Hacía aiba) De las coodenadas de los puntos, como se muesta en el ejemplo Ejemplos ) Tes vétices de un ectángulo son los puntos A (,-) B (7,-) C (7,) Halla el cuato vétice D, el peímeto el áea de la figua D C A B Planteamiento: Desaollo: d p=a+b+c+ a c p AB b BC CD d DA 8 u A = /( Poducto de las diagonales hacía abajo menos la Poducto de las Diagonales hacía aiba) A A A A u 6 6 Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

6 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Los vétices de un cuadiláteo son: A (-, ), B (, ), C (9, 6) D (7, ) Detemina, el peímeto el áea C B D A Planteamiento: AD d p=a+b+c+ AD BC BC u u 7 9 A = /( Poducto de las diagonales hacía abajo menos la Poducto de las Diagonales hacía aiba) DC DC 0 7 u p u Desaollo: AB A AB u A A 8 7 A u 0 - Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

7 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ División de un Segmento en una Razón Dada Si P, P, son los etemos de un segmento P P, las coodenadas, de un punto P que divide a este segmento en una azón dada P P : PP son: P P PP Las coodenadas del punto medio de un segmento diigido cuos puntos etemos sean P, P, son: Ejemplos ) Si el punto A (-, ) B (, 6) son los puntos etemos de un segmento diigido AB, halla las coodenadas del punto P que divide a este segmento en la azón P P : PP P P PP Planteamiento: P P : PP Desaollo: P 6 8 P P ) Los etemos de un segmento son los puntos P (7, ) Q (-, - ) Halla la azón P P : PP en el punto P (, -) que divide al segmento Planteamiento: P P : PP Desaollo: P P P Ing J Ventua Ángel Felícitos 7 Academia de Matemáticas

8 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Aplicaciones Ejemplos ) Los vétices de un tiángulo son A (-, ), B (, ) C (7, -) Si D es el punto medio del lado AB E del lado BC, demosta que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC B D A E C Planteamiento: d Desaollo: D D E E DE u AC AC 7 u Ing J Ventua Ángel Felícitos 8 Academia de Matemáticas

9 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Tes moléculas con pesos de 8, moles se ubican en los puntos (, ), (-, ) (, -), espectivamente Detemina su cento de gavedad m m C m Planteamiento: m m m M P M PM 8 77 Desaollo: M u 8 u Ing J Ventua Ángel Felícitos 9 Academia de Matemáticas

10 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Ejecicios Tace en el plano coodenado los siguientes puntos ) P (-,-) Q (,) R (-7,-) e indique en que cuadante se encuentan Sol» P en el º Q en el ª R en el ª ) A (-,0) B (0,) C (0,-) une los puntos indicados, qué figua epesenta? Sol» Un tiángulo ) A (0,0) B (,) C (8,) D (,0) une los puntos indicados, qué figua epesenta? Sol» Un paalelogamo ) Si P (,) Q (,), son los vétices de un paalelogamo que R tiene como abscisa, Cuáles seán las coodenadas del punto S (?,?) la odenada de R? Sol» S (9, ) R (, ) ) Si A (-,-) C (,-), son los vétices de un tiángulo isósceles, cuáles seán las coodenadas del vétice B? Sol» Todos los puntos que confoman la mediatiz del segmento AB ecepto el punto medio de dicho segmento 6) Encuente la distancia ente los puntos A (-,) B (,-7) ubícalos en el sistema catesiano Sol» AB =07 u 7) Demosta que los puntos A (-,0) B (0,) C (0,-), son los vétices de un tiángulo isósceles calcula el peímeto el áea Sol» AB = 8 u AC = 8 u CB = p=770 u A=0 u 8) Demosta que los puntos A (0,0) B (,) C (8,) D (,0), son los vétices de un ombo, calcula el peímeto el áea Sol» AB = u BC = u DC = u AD = u p=0 u A=0 u 9) Halla el peímeto el áea del cuadiláteo cuos vétices son P (-,-) R (0,) S (,) T (,-) Sol» p =06 u A= u 0) Los puntos etemos de un segmento es el punto A (,) B (8,) Halla el punto P que divide a este segmento en dos pates tales que BP : PA es igual - Sol» P (-, ) Ing J Ventua Ángel Felícitos 0 Academia de Matemáticas

11 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Una cicunfeencia tiene como diámeto al segmento con etemos P (-,) Q (,-) Encuenta las coodenadas del cento el adio Sol» C (, ) = u ) Uno de los etemos de un segmento es el punto P (7, 8) su punto medio M (, ) Halla las coodenadas del oto etemo Q Sol» Q (, -) ) Los puntos medios de los lados de un tiangulo son D (, ), E (, ) F (, ) Halla las coodenadas de los tes vétices Sol» A (-, ), B (, -) C (, 6) ) Dado los puntos R (-, -) S (, ), detemina las coodenadas de los puntos que divide al segmento en las azones, espectivamente Sol» P (, ), P (-9, -6) P (, ) 7 ) Considea los puntos P (, ), Q (6, ) R (, -) En qué azón divide el punto R al segmento PQ el segmento QP? Sol» Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

12 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ RAP Manipula los elementos de la ecuación de la línea ecta en sus difeentes epesiones 6 La Recta Una línea ecta analíticamente, es una ecuación lineal o de pime gado en dos vaiables Una ecta queda deteminada completamente si se conocen dos condiciones, po ejemplo, dos de sus puntos, un punto su diección (pendiente o coeficiente angula) 6 Punto Pendiente Es de la foma: m m tg m En donde m es la pendiente de la ecta θ el ángulo de inclinación Ejemplos ) Halla la pendiente el ángulo de inclinación de la ecta que pasa po los puntos (, 6) (, -) Planteamiento: m m Desaollo: 6 ( ) m tg tg m ( tg 8 ) m 6 '" (, 6) ) o (, -) ) Halla la ecuación de la ecta que pasa po el punto (, -) tiene un ángulo de inclinación de Planteamiento: m m tg Desaollo: m tg m ecuación de la ecta ) (, -) Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

13 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Los vétices de un tiángulo son los puntos A (, -) B (-, ) C (, ) Calcula los ángulos de inclinación de los lados del ABC, el peímeto el áea Planteamiento: m d p a A =/(?Pod De Pod De b c m Desaollo: ( ) mac m m AB BC tg Diag Hacía abajo - Diag Hacía aiba) ( ( ) ) m m m AB BC AC 7 6 m m AC m BC AB 0 tg tg tg BC BC AC 7 0' 7" 6 '" 0 8'6" 7 tg tg tg () ) (0) u 780 u AB u p u A A ( u C B A 6 Pendiente Odenada al Oigen Es la ecta cua pendiente es m cua odenada en el oigen es b tiene po ecuación =m+b 6 Abscisa Odenada al Oigen La ecta cuas intesecciones con los ejes son a 0 b 0, espectivamente tiene po ecuación simética a b Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

14 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ 6 Ecuación Geneal A+B+C=0 en donde A, B C son A C constantes abitaias m su odenada en el oigen b B B Ejemplos ) Detemina la abscisa la odenada al oigen, de la ecta que pasa po los puntos (-, -) (, ) Obtene la foma geneal la simética de la ecta Planteamiento: m m (-, -) (, ) Desaollo: m 8 a 0 foma geneal b FomaSimét ica ) Una ecta tiene de abscisa odenada en el oigen -, espectivamente Halla su ecuación en la foma geneal Planteamiento: a b Desaollo: 0 Foma Geneal Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

15 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Taza la siguiente ecta empleando puntos convenientes (sin necesidad de tabula) -+6=0 Planteamiento: Pasa a la foma de pendienteodenada al oigen despeja, Paa obtene la pendiente la odenada al oigen Desaollo: m 6 b 6 6 Posiciones Relativas de Dos Rectas Si las ecuaciones de dos ectas son A+B+C=0 A +B +C =0, las elaciones siguientes son condiciones necesaias suficientes paa : Paalelismo A B m m o AB' A' B 0 tg 0 A' B' Pependiculaidad AA ' BB' 0 m mm ctg 0 m Coincidencia A KA' B KB' C KC' K 0 Intesección Dos ectas se inteceptan en uno solamente un A B punto, cuando o sea AB' A' B 0 A' B' Ángulo ente dos Rectas θ, esta dado po la fómula m m tg mm En donde m es la pendiente inicial m m m la pendiente final coespondiente al ángulo θ Distancia Punto a una Recta La distancia de un punto cualquiea nomal a una e, esta dada po la fómula A B C D En donde el signo del adical es + si la ecta no A B pasa po el oigen si el punto P el oigen están en lados opuestos o del mismo lado de la ecta Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

16 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Ejemplos ) Halla el ángulo agudo del paalelogamo cuos vétices son: A (-, ), B (, ), C (0, 7) D (7, ) Planteamiento: m Desaollo: m tg m tg m tg º 6' 0' ' m m m A 0 6'0'' B D C ) Halla la distancia de la ecta -+=0 al punto (, -), la ecuación nomal que pasa po el mismo punto la intesección ente ambas ectas Planteamiento: D A B C A B m sistema de ecuaciones Desaollo: D 9 6 D u Si m mn po lo tan to, 6 igualando ambas ecuaciones I (6/, 87/) l P (, -) 6 06 u sustituen do en, 6 8 u Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

17 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ RAP Emplea las condiciones de la línea ecta en la solución de poblemas, mediante el uso de sus ecuaciones, en situaciones académicas sociales 66 Aplicaciones Ejemplo Foma equipos de tabajo de o integantes, paa obseva agumenta el desaollo de este ejemplo guiado, que es de mao complejidad ) Las ecuaciones de los lados de un tiángulo son: a) -+=0 b) +-=0 c) +7-=0 Detemina a) Las coodenadas de los vétices A intesección de las ectas a) b), B intesección de las ectas b) c) C la intesección de las ectas a) c) b) La ecuación de la altua que pase po el vétice B c) La distancia de la ecta AB, al oigen d) Los vétices del tiángulo fomado po las ectas que pasan po los vétices ABC que son paalelas a los lados opuestos Dichos vétices seán A B C a) Planteamiento: Se despeja, se le da valoes a Desaollo: A C B Ing J Ventua Ángel Felícitos 7 Academia de Matemáticas

18 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ b) Planteamiento: Desaollo: Calculando la pendiente de La ecuación de la altua po se al lado po lo tanto:, tiene de pendiente c) Planteamiento: Siendo la ecuación de la ecta Desaollo: Altua A Recta paalela a BC C Distancia (0, 0) Bisectiz B Ing J Ventua Ángel Felícitos 8 Academia de Matemáticas

19 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ d) Planteamiento Desaollo: La ecta que pasa po A es paalela al lado su ecuación La ecta que pasa po B es paalela al lado su ecuación La ecta que pasa po C es paalela al lado su ecuación po tanto, su pendiente po tanto, su pendiente po tanto, su pendiente Despejando de e igualando, tenemos sustituendo Despejando de 6 e igualando, tenemos sustituendo 6 Despejando de 6 e igualando, tenemos sustituendo 6 C' A C A' B B' Ing J Ventua Ángel Felícitos 9 Academia de Matemáticas

20 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Ejecicios Popuestos ) Dos ectas se cotan fomando un ángulo de Sabiendo que la ecta final tiene una pendiente de -, calcula la pendiente de la ecta inicial Sol» -/ ) Dos ectas se cotan fomando un ángulo de, la ecta inicial pasa po los puntos A (-,) B (9,7) la ecta final pasa po el punto C (,9) po el punto D, cua abscisa es - Halla la odenada del punto D Sol» -8 ) Demosta que los cuato puntos (,) (,6) (9,9) (6,) son vétices de un ombo que sus diagonales son pependiculaes se cotan en su punto medio Sol» ) Detemina la abscisa la odenada al oigen, de la ecta que pasa po los puntos la ecuación coespondiente: a) (-, ) (, 0) Sol» b) (, ) (0, -) Sol» c) (, -) (-, ) Sol» ) Halla la ecuación el ángulo de inclinación de la ecta que pasa po los puntos A (-,) B (7,-) Sol» θ= =0 6) Una ecta de pendiente pasa po el punto A (,), la abscisa de oto punto de la ecta es Halla su odenada Sol» 7) Detemina la ecuación de la ecta dada las siguientes condiciones: a) m 8, b) P 7, P, c) m= b= d) a= b= e) f) g) Ing J Ventua Ángel Felícitos 0 Academia de Matemáticas

21 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ 8) Halla la ecuación de la ecta que pasa po el punto (, -) ángulo de inclinación θ=7 6 Sol» 9) Detemina la abscisa la odenada al oigen, de la ecta que pasa po los puntos dados obtene la foma simética geneal de la ecta a) (, ) (, 7) Sol» b) (, ) (-, 7) Sol» c) (, ) (0, -7) Sol» d) (7, -) (-, ) Sol» e) (, -) (-, -) Sol» 0) Una ecta tiene de abscisa odenada en el oigen los puntos dados, espectivamente Halla su ecuación en foma simética geneal a) a= b= Sol» b) a=- b= Sol» c) a= b=-6 Sol» ) Taza la ecta, empleando puntos convenientes Sin tabula a) --=0 Sol» b) +-7=0 Sol» c) X+-8=0 Sol» d) --=0 Sol» e) --7=0 Sol» ) Halla la distancia ente las ectas paalelas dadas +-=0 +-0=0 Sol» d= u ) Paa comunica el faccionamiento las Palmas con la caetea que une los poblados de Higueón Ceitos, se constuiá un camino ecto de asfalto A qué distancia de la entada del faccionamiento quedaá la caetea? Sol»d= u Higueón Ceitos Las Palmas Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

22 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Enconta las ecuaciones de las medianas un punto de intesección del tiángulo cuos vétices son los puntos A (,-), B(-,6) C(,) Sol» ) Halla el áea del tiángulo cuos vétices son A (,-) B (,) C (6,-) Sol» 6) Se instala una empesa con una invesión de $ 0, 000, el costo de poducción de un atículo es de $,00 se vendeá al mecado en un pecio unitaio de $,0 Detemina la ecuación que epesenta la ganancia consideando que los atículos poducidos son igual a los vendidos cuantos atículos ha que poduci paa tene una ganancia de $ 0,000 Sol» = =0 000 atículos 7) La pendiente de la ecta que pasa po el punto A (,) es igual a ¾ Halla las coodenadas de los puntos que se encuentan a unidades de distancia de A Sol» 8) Halla la ecuación de la mediatiz ( en su punto medio) del segmento que pasa po los puntos (-, ) (, -) Sol» 0--9=0 Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

23 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Unidad Cónicas (Cicunfeencia, Paábola, Elipse e Hipébola) Competencia Paticula Resuelve poblemas que involucen ecuaciones de segundo gado su epesentación gafica, mediante la identificación de los elementos específicos de cada una de las cónicas, en situaciones académicas sociales RAP Ubica los elementos de las cónicas, a pati de la ecuación de segundo gado Cónicas Los giegos definieon las cuvas cónicas como las difeentes intesecciones que pueden obtenese a pati de un plano Paticulamente esta constitución se debe al matemático giego Apolonio de Pega (800 a C) Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

24 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ La Cicunfeencia La cicunfeencia es el peímeto cuvo del cote efectuado po un plano paalelo a la base de un cono Ecuación Odinaia La cicunfeencia es el luga geomético de un punto que se mueve en el plano, manteniéndose a una distancia constante de un punto fijo del mismo plano El punto fijo se llama cento (c) la distancia constante se llama adio () Analíticamente es una ecuación de segundo gado, con dos vaiables D E F 0, peo no toda ecuación de este tipo epesenta siempe una cicunfeencia sólo en deteminadas condiciones, como son: La ecuación de una cicunfeencia cuo cento está en el punto C (h, k) de adio es: h k Conocido con el nombe de Ecuación Odinaia de la cicunfeencia P (, ) c (h, k) O (0, 0) Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

25 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Ahoa bien, si el cento se ubica en el oigen (0, 0), como se obseva en la figua, la ecuación odinaia de la cuva se educe a conocida como Ecuación Canónica P (, ) c (0, 0) La Paábola La paábola es el peímeto cuvo del cote efectuado po un plano paalelo a una diectiz del cono Po lo tanto, es el luga geomético de un punto que se mueve en un plano de tal manea que su distancia de una ecta fija, situada en el plano, es siempe igual a su distancia de un punto fijo del plano que no petenece a la ecta El punto fijo se llama foco la ecta fija diectiz de la paábola Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

26 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ En donde V es el vétice, F el foco, P un punto cualquiea, p distancia ente el vétice el foco igual a la distancia ente el vétice la diectiz, LL lado ecto al eje focal, NN cueda focal, MM cueda, FP adio focal o adio vecto Ecuación la Paábola con Vétice en el Oigen Eje Focal un Eje Coodenado Si el eje focal coincide con el eje la ecuación seá p El F (p, 0) la ecuación de la diectiz es =-p LR=lpl Si p>0 la paábola abe a la deecha Peo si p<0 la paábola abe a la izquieda Si el eje focal coincide con el eje la ecuación seá p El F (0, p) la ecuación de la diectiz es =-p LR=lpl Si p>0 la paábola abe hacia aiba Peo si p<0 la paábola abe hacia abajo Ecuación de la Paábola con Vétice fuea del Oigen Eje Focal Paalelo a un Eje Coodenado Si el eje focal es paalela al eje la ecuación seá El F (p+h, 0) la ecuación de la diectiz es =-p+h LR=lpl Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

27 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Si p>0 la paábola abe a la deecha Peo si p<0 la paábola abe a la izquieda Si el eje focal es paalelo al eje la ecuación seá El F (0, p+k) la ecuación de la diectiz es =-p+k LR=lpl Si p>0 la paábola abe hacia aiba Peo si p<0 la paábola abe hacia abajo Ecuación Geneal de la Paábola A C D E F 0 Sí A=0 C 0 D 0 La Ecuación epesenta una Paábola cuo eje es paalelo o coincide con el eje C D E F 0 Sí A 0 C=0 E 0 La Ecuación epesenta una Paábola cuo eje es paalelo o coincide con el eje A D E F 0 Dado tes puntos de la Paábola cuo eje es paalelo a uno de los ejes coodenados A C D E F 0 Sí el eje focal es paalelo al eje, entonces A=0 la ecuación queda C D E F 0 D E F dividiendo la ecuación ente C 0 C C C D E F tomando D ' E' F ' la Ecuación C C C finalmente queda D' E' F' 0 Ing J Ventua Ángel Felícitos 7 Academia de Matemáticas

28 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Sí el eje focal es paalelo al eje, entonces C=0 la ecuación queda A D E F 0 D E F dividiendo la ecuación ente A 0 A A A D E F haciendo D ' E' F ' la Ecuación A A A finalmente queda D' E' F' 0 La Elipse La elipse es el peímeto cuvo del cote efectuado po un plano oblicuo a la base a las geneatices del cono Es el luga geomético de un punto que se mueve en un plano de tal manea que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempe igual a una constante, mao que la distancia ente dichos puntos llamados focos de la elipse Ing J Ventua Ángel Felícitos 8 Academia de Matemáticas

29 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ En donde V V son los vétices, F F los focos, VV eje mao=a, p un punto cualquiea de la elipse, BB eje meno=b, JJ cueda, LL lado ecto al eje focal, NN cueda focal, DD diámeto, FP F P adio vecto C cento Ecuación de la Elipse de Cento en el Oigen Ejes Coodenados los Ejes de la Elipse Si una elipse tiene su cento en el oigen su eje focal coincide con el eje, su ecuación es a b Si una elipse tiene su cento en el oigen su eje focal coincide con el eje, su ecuación es b a En donde a longitud del eje mao b longitud del eje meno a b c LR b a e c a Ecuación de la Elipse con Cento Fuea del Oigen Ejes paalelos a los Ejes coodenados Ing J Ventua Ángel Felícitos 9 Academia de Matemáticas

30 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Si una elipse tiene su cento en (h, k) su eje focal es paalelo al eje, su ecuación odinaia seá h a k b Peo, si la elipse tiene su cento en (h, k) su eje focal es paalelo al eje, su ecuación es En donde h b k a a longitud del eje mao b longitud del eje meno a b c LR b a e c a Ecuación Geneal de la Elipse A C D E F 0 Sí A C son del mismo signo, la ecuación A C D E F 0 epesenta una elipse de ejes paalelos a los coodenados, o bien un punto, o no epesenta ningún luga geomético eal La Hipébola La hipébola es el peímeto cuvo del cote efectuado po un plano paalelo al eje pependicula a las bases del cono de dos mantos Es el luga geomético de un punto que se mueve en un plano de tal manea que el valo absoluto de la difeencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempe igual a una cantidad constante, positiva meno que la distancia ente los focos Ing J Ventua Ángel Felícitos 0 Academia de Matemáticas

31 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ En donde: F F son los focos, V V los vétices, VV eje tasveso=a, C cento, AA eje conjugado=b /o eje nomal, BB cueda, EE cueda focal, LL lado ecto, DD diámeto, P punto cualquiea de la hipébola, FP F P adio vecto FF eje focal=c Las elaciones son: Ecuación Odinaia de la Hipébola con Cento en el Oigen Si el eje focal coincide con el eje la ecuación es los focos (±c, o) la asíntota la hipébola es hoizontal Peo si el eje focal coincide con el eje la ecuación es los focos (o, ±c) la asíntota la hipébola es vetical Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

32 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Ecuación Odinaia de la Hipébola con Cento fuea del Oigen (h, k) Si el eje focal es paalela con el eje la ecuación es los focos (a±c, o) la asíntota la hipébola es hoizontal Peo si el eje focal es paalela con el eje la ecuación es la hipébola es vetical los focos (o, a±c) la asíntota Foma Geneal de la Hipébola con Cento en /o fuea del Oigen A C D E F 0 RAP Obtiene la ecuación la epesentación gafica coespondiente a cada una de las cónicas a pati de sus elementos Ejemplos Cicunfeencia ) Una cicunfeencia tiene su cento en (6, -) pasa po el punto (, 0) Halla su ecuación odinaia Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

33 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Planteamiento h k Desaollo Sustituendo las coodenadas del punto del cento, se tiene P (, 0) c (6, -) o bien ) Halla la ecuación de la cicunfeencia con cento en el oigen pasa po el punto (7, 0) Planteamiento Como pasa po el punto (7,0) Desaollo Sustituen do el punto en la ecuación O P (7, 0) ) Halla la ecuación de la cicunfeencia de cento (-, ) adio Planteamiento h k Desaollo Sustituendo las coodenadas del cento el valo del adio, se tiene P (, ) C (-, ) Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

34 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Detemina la ecuación de la cicunfeencia si los etemos de uno de sus diámetos son los puntos (6, ) (-, -) Planteamiento d h k Desaollo m 6 m m 0 6 m E O C ) Halla la ecuación de la cicunfeencia cuo cento esta en el punto (0, -) es tangente a la ecta 0 0 Planteamiento a b c A B Desaollo m 6 6 m h k C Tangente E O Intégate a un equipo de tabajo de o compañeos, paa obseva agumenta el desaollo de estos dos ejemplos guiados, que son de mao complejidad 6) Si los puntos P (, 0), Q (7, ) R (-9, -), son los vétices de un tiángulo, detemina la ecuación odinaia geneal de la cicunfeencia cicunscita 7) Dada la ecuación de la cicunfeencia , halla el cento, el adio la ecuación odinaia de dicha cicunfeencia Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

35 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas 6) Planteamiento 0 k h F E D Desaollo G E O E k k h k h h k h k h k h k h P Q R C 7) Planteamiento Desaollo , ) ( ) 6 8 6( k h k h C C (-/, /)

36 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Paábola Ejemplos ) Una paábola cuo vétice está en el oigen cuo eje coincide con el eje, pasa po el punto (, ) Halla la ecuación de la paábola, las coodenadas de su foco, la ecuación de la diectiz la longitud de su lado ecto Taza la gáfica coespondiente = Planteamiento: p Desaollo: V p (-) 6=-8p p=6/-8 p=- po tanto la ecuación es: 8 F(0, -) =-(-) = diectiz LR=(-) LR =8 F ) Discuti la ecuación 6 Planteamiento: De acuedo con el análisis la cuva coincide con el eje p es (-) Po lo tanto la cuva abe hacia la izquieda Desaollo: : 6 si =0, =0 si =±, =-07 si =±, =-7 LR =p LR =(-6) LR =- Diectiz: =-p =-(-6) =6 F (p, 0) F (-6, 0) V (0, 0) dibuja la cuva F V =6 ) Halla la ecuación de la paábola de vétice en el oigen, el lado ecto las coodenadas de su foco Si la diectiz es la ecta + =0 Planteamiento: Si la diectiz es la ecta +=0 F entonces =- Po lo tanto, la paábola abe hacia aiba Desaollo: p= LR=p LR=() LR=0: F V (0, ) La ecuación seá p es deci 0 de donde: si =0, =0 si =±, =0 0 si =± =08 =- Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

37 Eje Focal C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Halla la ecuación de la paábola cuo vétice es el punto (, ) cuo foco es el punto (, ) Halla también la ecuación de su diectiz, la longitud de su lado ecto la gáfica coespondiente Planteamiento: h p k =6 Diectiz Desaollo: P=- ( )( ) 6 9 8( ) F V P =6 LR=p=LR=8 ) Detemina la ecuación de la paábola cuo foco es el punto (-, ) cua diectiz es la ecta = Halla también su lado ecto taza la gáfica coespondiente Planteamiento: k p h p=- ( )( 0) Desaollo: ( ) Eje Focal F V Diectiz = LR 0 p LR V 0, 6) Demosta que la ecuación epesenta una paábola halla las coodenadas del vétice del foco, la ecuación de su diectiz la longitud de su lado ecto Tazando la gáfica coespondiente Planteamiento: es una paábola cuo eje focal es paalela o 97 coincide con el eje Dividiendo ente 6 0 Ing J Ventua Ángel Felícitos 7 Academia de Matemáticas

38 Eje Focal C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Desaollo: p 6 p 6 p LR p LR 6 Diectiz V, F, 9 (/, 9/) F V (/, ) Diectiz =/ 7) Veifica que la ecuación epesenta una paábola halla las coodenadas del vétice del foco, la ecuación de su diectiz la longitud de su lado ecto Tazando la gáfica coespondiente Planteamiento: es una paábola cuo eje focal es paalela o 7 coincide con el eje Dividiendo enta Desaollo: LR p LR 7 Diectiz V p 96, p F, p Ing J Ventua Ángel Felícitos 8 Academia de Matemáticas

39 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Diectiz =- (-, /) V (, /) F Eje Focal Intégate a un equipo de tabajo de o compañeos, paa obseva agumenta el desaollo de estos dos ejemplos guiados, que son de mao complejidad 8) Halla la ecuación de la paábola cuo eje es paalela al eje pasa po los puntos, 0, 6, 7 Planteamiento: D' E' F' 0 D' E' F' 0 D' E' F' E' F' 0 E' F' 9 6D' 7E' F' 0 6D' 7E' F' 9 Desaollo: Tomando la () (), al multiplica () po 6D' E' F ' 6D' 7E' F ' 9 Ahoa tomando la E' F ' () (), al multiplica () po - E' F' E' F' 7 E ' 6 6E' 7 E =- sustituendo E en () (-)+F =- F =-+0 F =- sustituendo E F en () D' ( ) ( ) D' D' 8 8 Diectiz F D' 0 6 LR 0, () 8 p Ing J Ventua Ángel Felícitos 9 Academia de Matemáticas

40 Eje Focal Diectiz = C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Eje Focal F (0, ) V (, ) 9) Halla la ecuación de la paábola cuo eje es paalelo al eje pasa po los puntos 0, 0 8,, Planteamiento: D' E' F' 0 F' 0 6 8D' E' F' 0 8D' E' F' 6 9 D' E' F' 0 D E' F' 9 Desaollo: Tomando la () (), al multiplica () D' E' F ' 6 8D' E' F ' 6 po 0D' F ' 00 Sustituendo F en () 0D' (0) 00 D' 00 0 D' Sustituendo D F en () (-)+E +0=-9 E =-9+ E =6 Quedando la ecuación: Diectiz * 6 F, LR 6 p Diectiz =6/ V (/, /) F (/, -/) Ing J Ventua Ángel Felícitos 0 Academia de Matemáticas

41 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Elipse Ejemplos ) En la siguiente ecuación 6 00 Halla las coodenadas de los vétices focos, las longitudes de los ejes mao meno, la ecenticidad la longitud de cada lado ecto Gafica Planteamiento Desaollo: a b c a b c c 9 c Resultado: Eje mao= a =0 Eje meno= b =8 b (6) c TR = 6 e = a a 6 Y L B L V F C F V X R R B ) Halla la ecuación de la elipse cuos focos son los puntos (, 0), (-, 0) su ecenticidad es igual Planteamiento desaollo: c a e e a 9 b a c b b () 0 TR Resultado: a 9 a c b b 9 Y L B L V F C V F X R B R Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

42 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ 7 ) Halla la ecuación de la elipse que pasa po el punto (,) tiene su cento en el oigen, su eje meno coincide con el eje la longitud de su eje mao es el doble de la de su eje meno Planteamiento desaollo: Si C(0,0) eje meno coincide con eje, su ecuación es: b a 7 Si pasa po (,) Sustituimos en la ecuación de la elipse b LR 7 ( ) a (b) c a b () a b c 6 LR b a a b c LR b (b) b b Resultado: b 7 9 b b 6 b b b Y V F B C B X F V Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

43 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) El cento de una elipse es el punto (-,-) uno de sus vétices es el punto (, -) Si la longitud de cada lado ecto es, hállese la ecuación de la elipse, se ecenticidad las coodenadas de sus focos Planteamiento desaollo: LR LR C (-, -) V (, -) a= b 0 b b b a 0 b c c a b c 0 c c 8 e e a Coodenada s : focos : F(, C h, K) F (8, ) F ( 8, ) EcuaciónEl ipse : 0 b e 0 07 Y L B L V F C F V X R R B Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

44 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Reduci la ecuación dada a la foma odinaia de la ecuación de la elipse, detemina todos sus elementos gafica Planteamiento desaollo: Comple tan do el tinomio _ 9 8 _ 7 ( 8 6) 9( ) ( ) 6 a b 9( ) 6 b 6 6 Ec Elipse ( ) 9 ( ) C (, ) a 9 b () 8 c c a b 9 LR 6 e 0 7 a a Eje mao=6 Eje meno= Y L B L V F C F V R R X B Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

45 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Ejemplos Hipébola ) Dada la hipébola , halla: (a) los valoes de a, b c (b) las coodenadas de los focos, de los vétices de los etemos de los lados ectos c) la longitud del lados ecto d) las ecuaciones de las asíntotas, e) Dibuja la cuva a) Reduci la ecuación a la foma odinaia Po lo tanto, a= b 9 7 Y así c a b c e 6 a b) Como el témino que contiene a es positivo, sabemos que el eje tansveso está incluido en el eje Y Podemos ahoa obtene las coodenadas de los puntos buscados: Focos: FF = ( 0, c ) (0, 6) Vétices VV = ( 0, a ) (0, ) Etemos de los latea ecta c) La longitud del lado esto es b 9 a d) Las ecuaciones de las asíntotas son: 7-=0 7+=0 LR L R = b 9 (, c) (, 6) a 8 Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

46 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Dada la hipébola , detemina: a) los valoes de a, b, c e (b) las coodenadas del cento de os focos de los vétices (c) las longitudes de los lateas ecta los ejes tansveso conjugado (d) las ecuaciones de los ejes pincipales de las asíntotas de la hipébola, (e) Obtene la ecuación de la hipébola conjugada dibuja ambas cuvas Completando cuadados paa epesa en su foma odinaia ( ) 9( ) 6 c a b) Las coodenadas del cento son (h, k)=(,), po consiguiente, los focos son FF = ( h c, k) (,), los vétices V(h+a), k)=(,) V (h-a, k)=(-, ) a) Las longitudes del lado ecto los ejes tansveso conjugado son: espectivamente: b 8 LR, ª = 6, b = ( ) ( ) a 9 b) La ecuación del eje pincipal es = El témino que contiene a 0 Las asíntotas son los factoes del es positivo, puesto que miembo izquiedo de la ecuación indica que el eje tansveso odinaia igualado a ceo: es paalelo al eje X la ecuación es de la foma (-)²-9(-)²=(--)(+-7) ( h) ( k) entonces las asíntotas seán: --=0 + 7=0 a b Entonces: c) La foma odinaia de la ecuación es: a 9, b ( ) ( ) ( ) ( ) o c a b, e 9 9 Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

47 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Detemina la ecuación de una hipébola con cento en (-,) una distancia del cento al foco de unidades La longitud del semieje conjugado es de unidades El poblema no menciona si eje es paalelo al eje X o al eje Y, de donde ( h) ( k) a) a b ( k) ( h) b) a b Paa ambos casos se equiee el valo de los paámetos a, b, h k Se tienen los valoes de h= -, k= b=, faltando el valo del paámeto a, peo se sabe que la hipébola cumple la elación c² = a²+ b², entonces se puede calcula el valo de a a² = c² - b² luego entonces a² = ² - ² = 6 a= Con este valo se tiene que: ( ) ( 6 9 si se desaolla 9(+) ² - 6(-) ² = (6)(9) que equivale a ) 9² - 6² =0 Paa el caso b se obtiene la siguiente ecuación -6² +9² =0 a) b) F A V F' V' V F A' A C C A' V' F' Ing J Ventua Ángel Felícitos 7 Academia de Matemáticas

48 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Ejecicios Popuestos ) Detemina la ecuación de la cicunfeencia, cuo cento es C (-, ) adio m Sol» ) Halla la ecuación de la cicunfeencia de cento (,-) que pasa po el punto (-, ) Sol» ) Halla la ecuación de la cicunfeencia de cento en el oigen de adio m Sol» ) Enconta la ecuación de la cicunfeencia que pasa po el punto (, -) cuo cento está en el punto (6, -) Sol» ) Halla la ecuación de la cicunfeencia, en el cual, el segmento de ecta que detemina los puntos (-, ) (-, -7) es un diámeto Sol» ) Enconta la ecuación de la cicunfeencia cuo cento esta a dos teceas pates de la distancia que sepaa el punto (, ) del punto (-, -7) el adio es de 6 m Sol» ) Halla la ecuación de la cicunfeencia con C (-, -) tangente a 0 Sol» 8 0 8) Una cicunfeencia es tangente a la ecta 0, en el punto (, -) el cento está en la ecta 7 0 Detemina su ecuación odinaia geneal Sol» ) Detemina la ecuación de la cicunfeencia que pasa po los puntos (, ), (-, 6) (-7, ) Sol» ) Halla la ecuación de la cicunfeencia que pasa po el punto (0, 0), tenga de adio la abscisa de su cento sea - Sol» 0 0 Ing J Ventua Ángel Felícitos 8 Academia de Matemáticas

49 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Enconta la ecuación de la cicunfeencia que pasa po los puntos (, -), (, ) (-, -) 70 Sol» ) Detemina la ecuación de la cicunfeencia que pasa po los puntos (-, ), (, ) (, ) 6 Sol» 8 0 ) Dada la ecuación de la cicunfeencia halla el cento, el adio su ecuación odinaia Además de su gáfica a) Sol» c (/, -/) = b) Sol» c (, -) =-i No epesenta ningún luga geomético eal c) 0 d) e) 6 0 f) g) 0 Sol» C(, ) = h) i) Sol» 6 C(, -) =6 j 0 Sol» 90 C, 90 ) Una paábola cuo vétice está en el oigen cuo eje coincide con el eje, pasa po el punto (-, ) Halla la ecuación de la paábola, las coodenadas del foco, la ecuación de la diectiz la longitud del lado ecto Sol» F (-/, 0) =/ LR= Ing J Ventua Ángel Felícitos 9 Academia de Matemáticas

50 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Discuti la ecuación 0 taza la cuva coespondiente Sol» p= F (0, ) =- LR= 6) Halla la ecuación de la paábola de vétice en el oigen foco el punto (, 0) El lado ecto la ecuación de la diectiz Sol» LR= =- 7) Halla la ecuación de la paábola de vétice en el oigen, siendo su diectiz la ecta -=0 Así como sus demás elementos Sol» p=- F (0, -) LR=0 0 8) Halla la ecuación de la paábola cuo vétice foco son los puntos (-, ) (-, ), espectivamente Halla también las ecuaciones de su diectiz de su lado ecto, tazando la gáfica coespondiente Sol» LR 9) La diectiz de una paábola es la ecta -=0 su foco es el punto (, -) Halla la ecuación de la paábola, su lado ecto taza la gáfica coespondiente Sol» LR 8 p 0) Halla la ecuación de la paábola cuo vétice foco son los puntos (, ) (, ), espectivamente Halla también la ecuación de su diectiz la longitud de su lado ecto, tazando la gáfica coespondiente Sol» ) Veifica que la ecuación indicada epesente una paábola, encontando sus elementos la gáfica coespondiente a) Sol» 8 p LR 8 Diectiz, F, b) 7 7 Sol» p LR Diectiz, F, 0 c) 8 9 Sol» 7 p LR Diectiz, F, Ing J Ventua Ángel Felícitos 0 Academia de Matemáticas

51 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ d) 7 0 Sol» p LR Diectiz, 8 8 F, 8 e) Sol» p LR Diectiz, F, f) Sol» p LR Diectiz, F, ) Halla la ecuación de la paábola que pasa po los puntos (0, 6), (, -) (6, -) cuo eje focal es paalela al eje Así como sus demás elementos la gáfica coespondiente 0 6 p LR Sol» Diectiz, F 6, ) Halla la ecuación de la paábola que pasa po los puntos (6, 7), (7/, -) (8, ), cuo eje focal es paalela al eje Así como sus demás elementos la gáfica coespondiente p LR 8 Sol» Diectiz, 0 F 6, ) Halla la ecuación de la paábola que pasa po los puntos (7, 7), (, ) (7, -7), cuo eje focal es paalela al eje Así como sus demás elementos la gáfica coespondiente 0 6 p LR Sol» Diectiz, F 6, ) Paa cada uno de los ejecicios, halla las coodenadas de los focos, los etemos de los ejes mao meno, los etemos de cada lado ecto gafica a) 9 b) 9 Sol: F, 0, V 7, 0 B 0,,, Sol: F ( 0, ), V ( 0, ) B (,0) (,),(, ) Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

52 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ c) Sol: F (,0), V (,0) B (0, ) (, ),(, ) d) 8 Sol: F (, O), V (,0) B (0 6) (, ),(, ) e) 6 9 Sol: F ( 7), V (,) B (, ) ( 7, 9 ),( 7, 9 ) 6) Reduci la ecuación gafica ( ) ( ) a) Sol: 6 ( ) ( ) b) Sol 6 ( ) ( ) c) 60 0 Sol: 7) Escibe la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas en cada uno de los ejecicios a) Cento en (,) vétice en (,), etemo de su eje meno ( ) ( ) (,) Sol: b) Vétice en (-,) (,), la longitud del eje meno es ( ) ( ) Sol: 9 c) Cento en (-,), un vétice en (-,6), etemo en un eje meno ( ) ( ) (0, ) Sol: 6 8) Halla las ecuaciones de las hipébolas que satisfacen las condiciones siguientes: a) Eje eal 8, focos (,0) Sol 9²-6²= b) Cento (0,0), un foco (8,0), un vétice (6,0) Sol 7²- 9²= Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

53 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ 9) Halla la ecuación de la hipébola de cento el oigen, eje eal sobe el eje de coodenadas, longitud del lado ecto 6 distancia ente los focos igual a Sol ² -² = 08 0) Halla la ecuación de la hipébola de vétices ( 6,0) asíntotas 6 = +7 Sol 9² - 6² = 76 ) Halla las ecuaciones de las hipébolas cuos focos vétices son: a) (,0), VV (,0) b) FF (0, ), VV (0, ) ( c) F (,), F (7,) V (,), V (,) ( ) ( ) Sol 6 0 ) Detemina las ecuaciones de las hipébolas conjugadas de: a ) 9 6 ( b) ( c) / ( d)9 ( ) Sol a ) b) c) d) 9 9 ) Escibi la ecuación de la hipébola cuos focos están situados siméticamente con especto al oigen sobe el eje X, tal que satisfaga las siguientes condiciones: a) a= 0, b = 8 b) La distancia ente los focos es 0 unidades el eje conjugado mide 8 unidades c) La ecenticidad es / c = 6 d) El eje tansveso mide 0 unidades e = / Sol a ) b) c) d) Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

54 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ RAP Resuelve poblemas que involucen ecuaciones de segundo gado, en situaciones académicas sociales Ejemplos ) La altua de un aco semicicula, medida a un meto de su etemo es de 7 m, cuál seá su altua máima? Planteamiento: Desaollo: ) Detemina la ecuación del aco paabólico fomado po los cables que sopotan un puente colgante cuando el clao es de 0 m, la depesión de 0 m p 7 ( ) 6 p p p 6 80 p 6 Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

55 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Un aco de foma paabólica mide 6 m de lago en su base, su vétice está a m aiba de la misma Hállese la longitud de una viga paalela a la base 8 m aiba de la misma p 6 06 p p p l 9 96 l p 6 l m ) Un aco de 80m de luz tiene foma semielíptica Sabiendo que su altua es de 0 metos halla la altua del aco en un punto situado a m del cento Planteamiento desaollo: a b ( ) m Y (-,) (0,0) (,) (-0,0) (0,0) X Ing J Ventua Ángel Felícitos Academia de Matemáticas

56 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Intégate a un equipo de tabajo de o compañeos, paa obseva agumenta el desaollo de este ejemplo guiado, que es de mao complejidad ) Halla el luga geomético de los puntos cuo poducto de distancias a las ectas + = = 0 sea igual a Sea P(, ) un punto cualquiea ( )( ) Simplificando 6 obien ( ) 9 ( ) 6 Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

57 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Ejecicios Popuestos ) Halla la longitud de la cicunfeencia cua ecuación es Sol» p=088 u ) Halla el áea del cículo cua ecuación es Sol» A u ) Escibi la ecuación del cículo en el cual el segmento de ecta que detemina los puntos (-, ) (-, -7) es un diámeto Sol» ) Halla la ecuación de la cicunfeencia inscita en el tiángulo, cuos lados son las ectas 0, Sol» 8 0 ) El cento de una cicunfeencia esta en (-, ) pasa po la intesección de Halla la ecuación odinaia geneal de dicha cicunfeencia Sol» ) Una cueda de la paábola 0 es un segmento de la ecta -+=0 Halla su longitud Sol» 7) Halla la longitud de la cueda focal de la paábola 8 0 que es paalela a la ecta 7 0 Sol» 8) Enconta la ecuación del diámeto de la cicunfeencia, cua ecuación es 6 Sol» 9) Detemina la longitud de la cueda de la cicunfeencia 0, que se divide po la mitad en el punto (, ) Sol» 0) Halla la longitud del adio vecto del punto de la paábola 9 0, cua odenada es igual a 6 Sol» ) La diectiz de una paábola es la ecta +=0 su vétice es el punto (0, ) Halla la ecuación de la paábola, su lado ecto taza la gáfica coespondiente Sol» Ing J Ventua Ángel Felícitos 7 Academia de Matemáticas

58 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Una cueda de la paábola 0 es un segmento de la ecta -+=0 Halla su longitud Sol» ) Halla la longitud de la cueda focal de la paábola 8 0 que es paalela a la ecta 7 0 Sol» ) Halla la longitud del adio vecto del punto de la paábola 9 0, cua odenada es igual a 6 Sol» ) La óbita de la tiea es una elipse con el sol en uno de los focos La longitud del eje mao es mi la ecenticidad es oo67 Halla las distancias de los etemos del eje mao al sol Sol: 9 millones de millas 96millones de millas 6) El aco de un paso subteáneo es una semielipse de 60 pies de ancho 0 pies de altua Halla el clao de la oilla de un cail si la oilla esta a 0 pies del punto medio Sol: 0 pies 7) Halla la ecuación de la taectoia de un punto P(, ) que se mueve de tal manea que su distancia a (-, 0) es igual a dos tecios de la distancia de la ecta =-9 Sol: 6 0 8) Halla el luga geomético de los puntos cuo poducto de las pendientes de las ectas que los une con los puntos fijos (-,) (,) es igual a, epesenta una hipébola Sol: ²-²-+-6=0 9) Dada la hipébola 6 9, halla: a) las longitudes de los semiejes b) las coodenadas de los focos c) la ecenticidad, d) las ecuaciones de las asíntotas Sol a ) a, b b) F, F (,0) c) e d) Ing J Ventua Ángel Felícitos 8 Academia de Matemáticas

59 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Unidad Coodenadas Polaes Ecuaciones Paaméticas Competencia Paticula Tansfoma las ecuaciones de lugaes geométicos a los difeentes sistemas de coodenadas, tansitando de catesianas a polaes o paaméticas vicevesa en situaciones académicas RAP Obtiene lugaes geométicos mediante la localización de puntos en el plano pola Lugaes Geométicos, paa las Coodenadas Polaes Ejemplos Taza los puntos las ecuaciones dadas en el sistema pola ) P, 0º ) B, º ) K, 0º ) D 6, 00º P (, 0º) D (-6, -00º) K (, -0º) B (-, º) Ing J Ventua Ángel Felícitos 9 Academia de Matemáticas

60 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) cos 6) sen Si 0º 90º 0 0º 60º Si 0º 90º 0 80º Intégate a un equipo de tabajo de o compañeos, paa obseva agumenta el desaollo de este ejemplo guiado, que es de mao complejidad 7) sen si 0 0 si si 90 0 etc Ing J Ventua Ángel Felícitos 60 Academia de Matemáticas

61 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Lugaes Geométicos, paa las Ecuaciones Paaméticas Ejemplos Taza la gáfica de las siguientes ecuaciones paaméticas t t t 0 ) ) t t t 0 7 t 0 t t Ejecicios Taza los puntos las ecuaciones dadas en el sistema pola ) A 6, 60º ) B, 0º ) K, 0º ) D 6, 00º ) sen 6) sen 7) cos 8) 9sen RAP Tasfoma ecuaciones paaméticas a la foma catesiana vicevesa, en situaciones académicas Relaciones Ente Coodenadas Polaes Rectangulaes Paa un luga geomético deteminado, conviene, fecuentemente, sabe tansfoma la ecuación pola en ecuación ectangula ecípocamente Paa efectua tal tansfomación debemos conoce las elaciones que Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

62 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ eisten ente las coodenadas ectangulaes las coodenadas polaes de cualquie punto del luga geomético Se obtienen elaciones simples cuando el polo el eje pola se hacen coincidi, espectivamente, con el oigen la pate positiva del eje, tal como se indica en la figua Sea un punto cualquiea, que tenga po coodenadas ectangulaes (, ) po coodenadas polaes (, θ) O ) t (, ) P (, t) A sen cos tg sen cos tg Ejemplos Tansfoma las ecuaciones polaes a ectangulaes vicevesa Así como taza las gáficas en el sistema coespondiente ) cos sen PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO: sen cos Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

63 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) 0 PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO: sen sen cos cos cos cos cos sen sen sen cos cos cos cos cos ) Halla la ecuación ectangula de la cuva, cuas ecuaciones paaméticas son: (taza las gáficas coespondientes) a) Planteamiento Desaollo: tg po la identidad sec tg tigonomét ica sec como sec 6 tg 0 Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

64 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ b) Planteamiento Desaollo: h cos po la identidad k sen 0 cos tigonomét ica sen LR p LR sen como sen p p cos p Ejecicios ) Halla las coodenadas ectangulaes del punto P cuas coodenas polaes son (, 0 ) Sol» =- = ) Halla un pa de coodenadas polaes del punto P cuas coodenadas ectangulaes son (,-) Sol» =» Ө =00 8 ) Halla la ecuación pola del luga geomético cua ecuación ectangula es 0 Sol -cosө -senө +=0 ) Pasa la ecuación ectangula dada a su foma pola 6 0 Sol» cosө - 6 senө +=0 ) Pasa la ecuación ectangula dada a su foma pola 0 Sol» - senө =0 Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

65 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ 6) Halla la ecuación ectangula del luga geomético cua ecuación pola es: Sol» cos 7) Halla la ecuación ectangula del luga geomético cua ecuación pola es : Sol» 0 cos 8) Halla la ecuación ectangula del luga geomético cua ecuación pola es: = (-cosө ) 9) Escibi la ecuación siguiente en coodenadas ectangulaes e identifica la cuva 0 sen 0) Halla las coodenadas ectangulaes del punto deteminado po las coodenadas polaes (6,0 ) Sol: (-, ) ) Epesa las coodenadas ectangulaes (-, ) en téminos de coodenadas polaes Sol: (, ) ) Tansfoma la ecuación = senө a coodenadas ectangulaes Sol: ) Tasfoma la ecuación en coodenadas polaes a ectangulaes: Sol: + = cos sen ) Tansfoma las ecuaciones siguientes a las coespondientes ecuaciones en coodenadas polaes Sol: cos sen 0 Sol: cos sen 0 Sol: 9 Sol: cos sen 9 0 Sol: cos 9sen 0 Sol: ( sen ) Sol: sen Ing J Ventua Ángel Felícitos 6 Academia de Matemáticas

66 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ ) Tansfoma las ecuaciones a las coespondientes ecuaciones en coodenadas ectangulaes cos Sol: 6cos Sol: 6 8 sen Sol: 8 Sol: cos Sol: sen cos Sol: 8 sen Ecuaciones Polaes de la Recta, la Cicunfeencia las Cónicas Ecuación de la Recta p cos ) Si ω=0» p = cosθ la ecta es al eje pola a p unidades a la deecha del oigen ) Si ω=80» -p = cosθ la ecta es al eje pola a p unidades a la izquieda del oigen ) Si ω=90» p = senθ la ecta es al eje pola a p unidades aiba del oigen ) Si ω=70» -p = senθ la ecta es al eje pola a p unidades debajo del oigen Ejemplos ) Basándose de una figua hállese la ecuación de la ecta al eje pola a) u a la deecha del polo b) u a la izquieda del polo Ing J Ventua Ángel Felícitos 66 Academia de Matemáticas

67 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ a) si ω=0» p= cosθ cosθ= b) si ω=0» -p= cosθ cosθ=- P (, t) P (, t) ) t R p A O R ) t A -p O l l ) Basándose de una figua hállese la ecuación de la ecta al eje pola a) u debajo del eje b) u aiba del eje a) si ω=70» -p= senθ senθ=- b) si ω=90» p= senθ senθ= O A l R p p l R O A Si una ecta no pasa po el oigen, puede deducise a c A cos B sen Esto es, si A + B = C cuando C 0 A B ambas no igual a ceo Ing J Ventua Ángel Felícitos 67 Academia de Matemáticas

68 C E C T No WILFRIDO MASSIEU PÉREZ Ejemplos ) Taza la gáfica de la ecuación pola enconta la ecuación ectangula coespondiente Planteamiento Desaollo: B cos sen C A O A ) Escibi la ecuación pola de la ecta hoizontal que pasa po el punto (, 90 ) Planteamiento Desaollo: A cos 90 sen 90 C B sen cos 90 0 p=seno - l A 0 C B Ecuación de la Cicunfeencia a c c cos O bien c cos c a ) Si la cicunfeencia pasa po el polo su cento está sobe el eje pola, su ecuación es de la foma a cos debiéndose toma el signo positivo o el negativo según que el cento esté a la deecha o a la izquieda del polo Ing J Ventua Ángel Felícitos 68 Academia de Matemáticas