Puntos, rectas y planos en el espacio

Transcripción

1 Maemáicas II Geomeía del espacio Punos, ecas planos en el espacio Obsevación: La maoía de los poblemas esuelos a coninuación se han popueso en los eámenes de Selecividad.. La eca coa a los es planos coodenados en es punos. Deemina las coodenadas de esos punos, las disancias eisenes ene cada pa de ellos e indica cuál es el que se encuena en medio de los oos dos. La eca (en paaméicas) Punos de coe con los planos coodenados. Con el plano ( ): A (,, ) Con el plano ( /): B (/,, 4/) Con el plano ( ): C (,, ) Disancias: d(a, B) ( ) d(a, C) ( ) ( ) 4 4 d(b, C) ( ) Las disancias halladas son los módulos de los vecoes 4 AB,, ; AC (,, ); BC,, Como los es vecoes ienen el mismo senido el más lago es AC, la siuación debe se así: El puno inemedio es B. José Maía Maíne Mediano

2 Maemáicas II Geomeía del espacio. Considea los punos del espacio A(,, ), B(,,) C(,, ). a) Encuena la ecuación del plano ABC. b) Si D es el puno de coodenadas (k,, ), cuáno ha de vale k paa que los cuao punos A, B, C D sean coplanaios? a) Como AB (,, ) AC (,, ), la ecuación geneal viene dada po: b) El puno D(k,, ) seá del plano cuando cumpla su ecuación; eso es: k k Po ano, D (,, ).. Halla la ecuación de la eca que pasa po el puno (,, ) es paalela al eje (una ecuación: la que quieas). Ha un esquema dibujando los ejes, el puno la eca. La ecuación del eje es (coe de los planos e ) La ecuación de la paalela pedida seá (coe de los planos e ) Gáficamene. 4. Halla las coodenadas del puno inesección de la eca. del plano Las ecuaciones paaméicas de la eca dada son: Susiuendo en la ecuación del plano se iene: ( ) ( ) El puno de coe seá ( ) P(,, ) José Maía Maíne Mediano

3 Maemáicas II Geomeía del espacio 5. a) Calcula las ecuaciones implícias de la eca que pasa po los punos A (,, ) B (,, ). b) Calcula la ecuación geneal del plano π que pasa po los punos A, B C (,, 4). c) Cuános planos disinos pueden fomase con los punos A, B, C D (,, 4)? Jusifica u espuesa. d) Pueba que los punos A, B, C D aneioes foman un cuadado calcula su áea. a) El veco de diección de la eca es: AB (,, ) (,, ) (,, ) Sus ecuaciones paaméicas son: ; o bien: b) El veco BC (,, 4) (,, ) (,, ) El plano π esá deeminado po el puno A po los vecoes AB BC; su ecuación es: π: π: c) El puno D ambién cumple la ecuación del plano π; po ano, los cuao punos sólo definen un plano. d) Los punos A, B, C D fomaán un cuadado cuando los vecoes AB, BC, CD DA sean coelaivamene pependiculaes odos engan el mismo módulo. Como AB (,, ), BC (,, ), CD (,, ) DA (,, ) se compueba que: AB BC, BC CD, CD DA DA AB También es obvio que odos ienen módulo. Po ano, su áea seá unidad cuadada. 6. Se considea la eca de ecuación paaméica: 4 Halla su ecuación como inesección de dos planos (ecuaciones caesianas). Eise algún valo de s al que el puno (, s, s) peeneca a la eca? Raona la espuesa ano en caso afimaivo como en caso negaivo. Paa encona las ecuaciones caesianas despejamos en las ecuaciones paaméicas e igualamos: Paa que el puno (, s, s) peeneca a ambos planos es necesaio que 6s 4 s / 8s s s / 9 Como se obienen dos valoes difeenes de s el puno (, s, s) no puede peenece a ambos planos. José Maía Maíne Mediano

4 Maemáicas II Geomeía del espacio José Maía Maíne Mediano 4 7. Halla la ecuación coninua de la eca que pasa po el puno P (,, ) coa a las ecas La eca pedida seá la inesección de dos planos: π, que pasa po P coniene a, π, que pasa po P coniene a Epesamos ambas ecas en paaméicas: con v (,, ) A, A (,, ) h h con v (,, ) B, B (,, ) El plano π viene dado po A, v AP (,, ), su ecuación es: π El plano π viene dado po B, v BP (,, ), su ecuación es: π Po ano, la eca pedida es: ;

5 Maemáicas II Geomeía del espacio José Maía Maíne Mediano 5 8. Sea la eca. a) Escibe la eca en foma paaméica. b) Paa cada puno P de, deemina la ecuación de la eca que pasa po P coa pependiculamene al eje OZ. a) Despejando en función de se iene: Paameiando obenemos: b) Los punos P de son de la foma P (,, ). Las ecas pependiculaes al eje OZ deben esa en un plano de ecuación k (paalelos a la base del iedo caesiano). Po ano, la pependicula que pasa po P debe coa al eje OZ en el puno Q (,, ); la odenada de ambos punos es la misma, consane. En consecuencia, el veco de diección de las ecas pedidas seá QP (,, ) (,, ) (,, ). Las ecas pedidas quedan deeminadas po el puno Q el veco QP. Su ecuación, paa cada valo de, seá: ) ( ), ( Q P eca λ λ NOTA. El paámeo de esas ecas es λ, mienas que deemina cada puno P de. Po ejemplo, paa, el puno P (,, 5), el puno Q (,, 5), la ecuación de la eca pependicula al eje OZ que pasa po P seá 5 s λ λ

6 Maemáicas II Geomeía del espacio 6 9. Encona la ecuación paaméica de la eca dada po Eise algún valo de s al que el puno (, s, s) peeneca a la eca? Raona la espuesa ano en caso afimaivo como negaivo. Paa encona las ecuaciones paaméicas de debe esolvese el sisema asociado. 5 4 (haciendo ) 4 Si el puno (, s, s) fuese de la eca debeá cumpli sus ecuaciones; eso es: ( ) s s s 9 / s s s Como se obienen dos valoes difeenes paa s, el puno (, s, s) no puede se de la eca, cualquiea que sea el valo de s.. Sean los punos A(,, ) B(,, 4). Deemina: a) Ecuación del plano π mediai del segmeno AB. b) El volumen del eaedo fomado po π los es planos coodenados. c) Ecuación de la eca pependicula al plano π que pasa po el oigen. a) El plano pedido pasa po el puno medio de A B iene como veco nomal el veco AB. 4 Puno medio: M,, (,, ). Veco AB: AB (,, 4) (,, ) (4,, 4). La ecuación del plano es: 4( ) ( ) 4( ) b) El plano coa a los ejes coodenados en los punos: P X (,, ); P Y (,, ); P Z (,, ) El volumen del eaedo vendá dado po: V 6 6 c) El veco de diección de la eca es el nomal al plano; eso es: v (,, ). La ecuación de la eca seá: : José Maía Maíne Mediano

7 Maemáicas II Geomeía del espacio 7 Punos siméicos 6. Considea el puno P(,, ) la eca. a) Halla la ecuación del plano que coniene a P a. b) Calcula el puno siméico de P especo de la eca. 6 a) En paaméicas, siendo R (6,, ) un puno de v (,, ) su veco de diección. El plano pedido viene dado po R, v PR (6,, ) (,, ) (4,, ). Su ecuación es: 6 4h 6 4 π 4 h b) Si P es el puno siméico de P especo de, enonces su puno medio M debe se de la eca ;, además, los es punos deben esa en el plano pependicula a que pasa po P. Dicho plano es π: ( ) 4. El puno de inesección de con π es M: (6 ) 4 8/5 M (4/5, 8/5, ) a b c Si P (a, b, c), el puno medio ene P P es: M,, a 4 b 8 Luego: a 8/5; 5 c b 6/5; c. 5 El puno pedido es P (8/5, 6/5, ).. Calcúlese el siméico de P(,, ) especo del plano. Sea P (a, b, c) el puno buscado. Debe cumpli:. El veco PP debe se paalelo al nomal del plano v π (,, ). El puno medio (M) del segmeno PP debe se del plano. Po ano: PP (a, b, c ) k(,, ) a k; b k; c k [] a b c M,, π (a )/ (b )/ (c )/ a b c [] Susiuendo [] en []: k k a,; b ; c. El puno buscado es P (,, ). José Maía Maíne Mediano

8 Maemáicas II Geomeía del espacio 8. Sea el plano π 6. a) Halla el puno siméico del (,, ) especo de π. b) Halla el plano pependicula a π que coniene al eje OZ. c) Halla el volumen del eaedo cuos véices son el oigen los punos de inesección de π con los ejes coodenados. Sea P (,, ) el puno siméico de O (,, ) especo de π. Ambos punos P O esaán en la eca, pependicula a π po O. Además, si M es el puno de coe de la eca el plano, M debe se el puno medio ene P O. Como el veco nomal del plano es v π (,, ), se λ deduce que : λ λ Coe de eca plano: λ 4λ 9λ 6 λ / Po ano, M,, Puno medio ene P O:,, Como M,,,,,, Luego, el puno siméico es P,, b) El plano π, pependicula a π, que coniene a OZ viene deeminado po el puno O (,,,) po los vecoes v π (,, ) v OZ (,, ). Su ecuación es: c) Los punos de inesección de π con los ejes coodenados son: A ( 6,, ), B (,, ) C (,, ). Po ano, el volumen del eaedo vendá dado po: 6 V 6 6 José Maía Maíne Mediano

9 Maemáicas II Geomeía del espacio 9 4. Dado el plano π, la eca (,, ) (,,) λ(,, ), el puno P(,, ), se pide: a) Halla la ecuación de una eca s que sea pependicula a pase po P. b) Halla el puno P, siméico de P especo de. c) Halla el puno P, siméico de P especo de π. Un puno genéico X de la eca es, X (. λ, λ). El veco PX (, λ, λ). Ese veco debe se pependicula a v (,, ), luego (, λ, λ) (,, ) λ λ ½ X (, ½, ½) Po ano, PX (, /, /) (,, ) s : b) El puno P debe cumpli que OP OP PX (,, ) (,, ) (,, ). Luego, P (,, ). Noa: Convendía hace una figua paa eplicalo. c) Reca pependicula a π po P: λ u : λ ( v u v π (,, ) λ Puno de coe, Q, del plano π con la eca u: λ λ λ λ λ / Q (/, /, /) Como Q debe se el puno medio ene P (,, ) P (,, ), se iene: /; /; / Po ano, P (/, /, /). José Maía Maíne Mediano

10 Maemáicas II Geomeía del espacio 5. Paa cada valo de a los punos P (,, ) A (,, a) son siméicos especo a un plano. Halla, de foma aonada, la ecuación de dicho plano. En paicula encuena el plano paa a. El plano buscado es pependicula al veco AP (ese seá su veco caaceísico) pasa po el puno medio de ambos, M. AP (,, ) (,, a) (,, a) M,, a Su ecuación seá: a ( a) Opeando, se iene: a ( a) ( a) a Paa el caso de a, queda: 9 José Maía Maíne Mediano