FISICA I (FIS 1100) PROYECTO DIDACTICO EL MODELO ESPACIAL. (Documento de apoyo didáctico elaborado por el Ing. José B. Puña V.)

Transcripción

1 FISICA I (FIS 1100) PRECT DIDACTIC EL MDEL ESPACIAL (Dcument de apy didáctic elabrad pr el Ing. Jsé B. Puña V.) Qué es el espaci? - Vaya preguntita n?, será psible que alguien pueda decirns qué es el espaci? Nstrs estams tranquils pr que sól estudiams para ingeniers; per, debe ser terrible para quienes tienen la bligación de respnder la pregunta. Alguien que se atrevió a intentar una respuesta fue René Descartes, (El filósf, matemátic y científic francés que publicó en 1637 Ensays filsófics. En el prólg de dicha bra, que llevaba pr títul Discurs del métd, Descartes pretendió buscar un métd que le permitiera alcanzar la certeza y un nuev fundament de la racinalidad. Para ell, aplicó la investigación racinal de la ciencia a la filsfía y cncluyó que l únic que el individu puede afirmar de frma cierta es su prpia existencia, argument que pasaría a la histria: Cgit, erg sum : Piens, lueg exist ). Sin embarg, para nuestra actividad, la cntribución más efectiva fue en el area de las Matemáticas: (El filósf y matemátic francés René Descartes escribe su Discurs del métd (1637), en el que presenta la sistematización de la gemetría analítica; muestra cóm utilizar el álgebra (desarrllada desde el renacimient) para investigar la gemetría de las curvas). Fragment de Discurs del métd: De René Descartes. Segunda parte. Había estudiad un pc, cuand era más jven, de entre las partes de la filsfía, la lógica, y de las matemáticas, el análisis de ls geómetras y el álgebra, tres artes ciencias que al parecer debían cntribuir en alg a mi prpósit. Per, al examinarlas atentamente, advertí cn relación a la lógica que sus silgisms y la mayr parte de sus precepts sirven más para explicar a tr cuestines ya sabidas inclus, cm el arte de Luli, para hablar sin juici de las que se ignran, que para investigar las que descncems. si bien cntiene, en efect, muchs precepts que sn muy buens y verdaders, hay sin embarg, mezclads cn ells, tants trs perjudiciales bien superflus, que es casi tan difícil separarls cm sacar una Diana una Minerva de un blque de márml en el que ni siquiera hay alg esbzad. En l que cncierne, pr tra parte, al análisis de ls antigus y al álgebra de ls mderns, además de que n se refieren sin a materias muy abstractas, que parecen carecer de td us, el primer está siempre tan circunscrit a la cnsideración de las figuras, que n permite ejercitar el entendimient sin fatigar excesivamente la imaginación; y en la segunda, hay que sujetarse tant a ciertas reglas y cifras, que se ha cnvertid en un arte cnfus y scur, buen para enredar el ingeni, en lugar de una ciencia que l cultive. Tal fue la causa pr la que pensé que había que buscar algún tr métd que, reuniend las ventajas de ls trs tres, estuviera exent de sus defects. cm la multiplicidad de leyes a menud sirve de excusa para ls vicis, de tal frma que un Estad está much mejr regid cuand n existen más que unas pcas, per muy estrictamente bservadas, así también, en lugar del gran númer de precepts de ls que la lógica está repleta, estimé que tendría suficiente cn ls cuatr siguientes, cn tal de que tmase la firme y cnstante reslución de n dejar de bservarls ni una sla vez.

2 El primer cnsistía en n admitir jamás csa alguna cm verdadera sin haber cncid cn evidencia que así era; es decir, evitar cn sum cuidad la precipitación y la prevención, y n admitir en mis juicis nada más que l que se presentase tan clara y distintamente a mi espíritu, que n tuviese mtiv algun para pnerl en duda. El segund, en dividir cada una de las dificultades a examinar en tantas partes cm fuera psible y necesari para su mejr slución. El tercer, en cnducir cn rden mis pensamients, empezand pr ls bjets más simples y más fáciles de cncer, para ascender pc a pc, gradualmente, hasta el cncimient de ls más cmplejs, y supniend inclus un rden entre aquélls que n se preceden naturalmente uns a trs. el últim, en hacer en td enumeracines tan cmpletas y revisines tan amplias, que llegase a estar segur de n haber mitid nada. Basads en aquellas cntribucines desarrllarems una maqueta del espaci, ntesé que dije: una maqueta del espaci, n en el espaci : un mdel espacial, que ns ayude a incrprar ls elements racinales que se deben manejar cuand sistematizams al espaci. bservems la ftgrafía siguiente y cmentems: Una semi-caja hecha cn placas de vidri, crtadas en frma cuadrada de cm de lad, unidas cn pegament muy resistente (UHU líquid), y que sn revestidas cn papel milimetrad, cuidadsamente ubicadas (hacer cincidir las lineas de división en cada plan, partiend de un rigen cmún). Cada par de placas cnfrma un eje espacial que es perpendicular a ls trs ds, tambien frmads pr sus capas respectivas. Ests ejes, denminads según las tres últimas letras del alfabet (x,y,z) frman una triada única: n sl sn perpendiculares entre sí y tienen un rigen cmún, sin que, además deben respnder a una regla para su rganización: la regla de la man derecha, que es cm sigue: El ded índice apunta al eje, a elegir cnvenientemente; el crrespnde al ded medi, tambien será alinead según ls requerimients del prblema; sin embarg, el n pdrá cambiarse, crrespnde al ded pulgar. Ls tres ejes así frmads sn independientes entre sí, pudiend medirse las distancias sbre cualquiera de ls ejes.

3 Si querems lcalizar punts en cada eje, sl ns bastará recrrerls a l larg de eje, sea en la dirección psitiva en la negativa. Para la figura crrespnderán las crdenadas (0,y,0) En cambi, si querems lcalizar punts en cada plan, debems seguir lineas de referencia paralels a ls ejes que frman el plan, así requerims de ds lngitudes, una en cada eje, pr cnsiguiente aunque medidas independientemente en cada eje, sn dependientes entre sí para lgrar lcalizar el punt. Para la figura crrespnderán las crdenadas (x,y,0) Per, cuand querems ubicar un punt en el espaci, debems recurrir a cada eje (ls tres) y cmbinar las tres parejas de distancias que intervienen (ds pr cada plan), señaland ls punts en ls plans hasta pryectarls en dirección perpendicular y cnseguir que se crucen en el espaci, ahí estará nuestr punt espacial. Para la figura crrespnderán las crdenadas (x,y,z) N bstante l labris del prces manual, en nuestra mente debería frmarse una sla idea: tres númers, llamads crdenadas cartesianas, (x,y,z), que frman un paquete en el que debe respetarse el rden de cada eje y asimilar su integridad cm un punt en el espaci. z Ahra pdems agregar punts, en cualquier númer, para frmar ls bjets que ns rdean. (Es sl una representación, n l lvides, per muy efectiva) y x

4 Ahra crrespnde incrprar elements matemátics que hagan más efectiva nuestra representación. Preguntems: Cóm pdríams representar ests punts en el espaci, de tal manera que esté incluída la dirección de la linea que une el rigen cn el extrem (el rigen del sistema de referencia y el punt)? Una primera aprximación crrespnde a nuestra experiencia cn ls númers reales: si visualizams la recta pdrems ubicar punts a la derecha y a la izquierda del rigen, tal cm se vé en el siguiente dibuj: Habiend elegid el sentid, sl ns queda medir la distancia y señalar el númer. En La Física requerims alg más: cóm discriminams, además del sign, a ls trs ejes que intervienen? La respuesta es asignanad señales inequívcas a cada eje. Est es cnstruyend entidades rientadas según el lad psitiv del eje crrespndiente, cuya lngitud sea la unidad de medida que mejr se acmde a nuestr prblema. Así lcalizams ls VECTRES UNITARIS, cuya representación se muestra a cntinuación: En efect, cn ls nuevs elements directrices, n habrán dudas acerca de la dirección y el sentid. Entnces el punt P quedará inequivcamente Pz lcalizad a partir de la expresión: PPxPyPz (,, ) (1) K per, será aún mejr expresarl a través de ls P Py vectres: J Px, Py, Pz (2) I much mejr aún a través de: Px P = Px i + Py j + Pz (3) resultad que se representa a la izquierda y que reemplaza cn mucha slvencia cualquier tr intent pr hacerl mejr. Ha quedad cm un recurs insuperable la representación vectrial de ls punts en el espaci.

5 A cntinuación trabajems cn la caja, hagams nuestra primera cnstrucción: un tetraedr, que se cnstruye uniend seis (6) pajitas de diferentes lngitudes; tambien pdrían ser iguales, en tal cas tenems una pirámide de base triangular. Ntems que para insertar cada pajita debems cntar cn ds punts, ls de ls estrems. Para cada par de punts pdems hallar la lngitud de la pajita apyads pr el terema de ecuación de Pitágras, extendid al espaci: L = x x + y y + z z (4) ( f ) ( f ) ( f ) D nde: ( x, y, z ) sn las crdenadas del punt final f f f ( x, y, z ) las crdenadas del punt inicial Según nuestra cnveniencia, cnstruyams cuatr (4) punts que se requieren para asegurar el bjet, distanciandls l suficiente de ls plans para llenar el espaci dispnible. Entnces cada punt del tetraedr tendrá su representación: Si ls punts sn: P1( x1, y1, z1) P( x, y, z ) P( x, y, z ) P( x, y, z ) entnces ls vectres que representan a las aristas del cuerp estarán dadas pr: P12 = ( x2 x1 ) i + ( y2 y1 ) j+ ( z2 z1) P13 = ( x3 x1 ) i + ( y3 y1 ) j+ ( z3 z1) P14 = ( x4 x1 ) i + ( y4 y1 ) j+ ( z4 z1) P23 = ( x3 x2 ) i + ( y3 y2) j+ ( z3 z2) P24 = ( x4 x2 ) i + ( y4 y2) j+ ( z4 z2) P = ( x x ) i + ( y y ) j+ ( z z ) Hasta aquí hems racinalizad al espaci en ls siguientes elements: Insertar ejes para lcalizar punts Punts que ns permiten realizar cnstruccines fijas Rectas entre punts que ns ayudan a definir cntrns.

6 El pryect deberá ahra ajustarse a la gemetría que cada estudiante ha incrprad en su mdel maqueta. Así btenems un resultad cm el que bservams en la figura siguiente: