Métodos indirectos de estimación: razón, regresión y diferencia
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- María Ángeles Montero Castillo
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1 Métodos drectos de estmacó: razó, regresó dfereca Cotedo. Itroduccó, defcó de estmadores drectos. Estmador de razó, propedades varazas. Límtes de cofaza. 3. Tamaño de la muestra e los estmadores de razó 4. Efceca de los estmadores de razó 5. Estmadores de razó e el muestreo estratfcado: razó separado razó combado. 6. Estmadores de regresó co b pre-asgada co b estmada. 7. Comparacó etre los estmadores de razó, de regresó smple. 8. Estmadores de regresó e el muestreo estratfcado: separado combado. 9. Estmador de dfereca. Muestreo I 9
2 Métodos drectos de estmacó Es frecuete e el muestreo usar formacó adcoal para mejorar la precsó de las estmacoes, esto se cooce como métodos drectos los más comues so los de razó los de regresó. Los métodos drectos requere el poder observar ua varable auxlar apareada co la varable e estudo (,x además coocer el total. La correlacó exstete etre e es lo que permte el cremeto de la precsó al estmar los parámetro de. Los estmadores drectos se usa para estmar el total, la meda la razó propamete. Muestreo I 93
3 Métodos drectos de estmacó Para el total la forma geeral de los estmadores drectos es: I + α( Dode α es el coefcete de correccó para mejorar el estmador drecto α 0 α α b I I I estmador drecto estmador de razó + α I + b( estmador de dfereca estmador de regresó b coefcete de regresó leal / Muestreo I 94
4 Estmador de razó e el Muestreo Aleatoro mple. E el mas el estmador de razó del total es: debe ser ua varable apareada co correlacoada etre s, puede ser el valor de e ua ocasó ateror ( t t-s la razó /x es la msma e todas las udades de muestreo, x es estable de muestra e muestra será mas precsa. El método se justfca al supoer que varía proporcoal a ( kx k x El estmador de razó ( o es:. Cosstete e el setdo de cocra. esgado, pero el sesgo es desprecable e muestras grades 3. E muestras grades se puede utlzar la dstrbucó ormal (grades s >30 CV( x < 0% CV < 0%, e muestras medaas la dstrbucó es asmétrca postva Muestreo I 95 x
5 Muestreo I 96 Estmadores de razó del total, la meda, la razó. Estmadores us varazas (aproxmadas x f V x x f V x x f V Los estmadores so aproxmadamete sesgados las pruebas de las varazas se vero e el tema para la de los otros dos sgue medato.
6 Muestreo I 97 Formas de expresó de la varaza Como + x x x x x ; x x ( ρ Así f V ρ + + f C C C f + dode C C so los cuadrados de los coefcetes de varacó C es la covaraza relatva. El cuadrado del coefcete de varacó de se deoma varaza relatva C C C f V CV ( ( +
7 Estmacoes de la varaza ( Las estmacoes ( x ( x por Cuado estmacoes o ( V, V x o. Límtes de cofaza V ( e las formulas de V (. se obtee al susttur so descoocdos se susttue por sus es sufcetemete grade, CV( x CV so ambos <0, se puede aplcar razoablemete la aproxmacó ormal. Obteedo los límtes de cofaza para,. ( m t α V m tα V ( m tα V ( Cuado las codcoes exgdas o se cumple la dstrbucó puede ser de otora asmetría. E estos casos exste métodos alteros para calcular los límtes de cofaza. Muestreo I 98
8 Muestreo I 99 Tamaño de la muestra e los estmadores de razó El procedmeto para obteer el tamaño de la muestra para estmar (, o e el muestreo aleatoro smple es gual al a estudado; fjado el resgo α que estamos dspuestos a afrotar de que el error real supere a e e α e Pr supoedo que, ( ~ σ, de ( s t e V t e d α α dode ( x s d Así o o + dode e s t d o α d s es calculada a pror de acuerdo a formacó dspoble.
9 Tamaño de la muestra e los estmadores de razó De gual maera se puede obteer los tamaños de muestras requerdos para estmar tα s e tα s o e Obteedo o d d o para usado estmadores de razó para, e este caso o + o Muestreo I 00
10 Efceca de los estmadores. La efceca de los estmadores de razó (e el mas, se mde e relacó co la de los estmadores drectos. E muestras grades (mas el estmador de razó del total tee ua varaza meor que el CV ( estmador drecto s: ρ > CV ( así: V > V ( f f > ( + ρ CV ( ρ > s > 0 ρ > ρ > x CV ( e demuestra que los estmadores de razó so estmadores óptmos detro de la clase de estmadores sesgados s:. Exste ua relacó leal etre, que pasa por el orge se matee para todo par (,. La varaza alrededor de la líea recta es proporcoal a, es decr, V(/ V(. e puede comprobar estas codcoes acedo u grupo de dspersó (, (caso partcular t t- Muestreo I 0
11 Estmadores de razó e el muestreo estratfcado. E el muestreo estratfcado, los estmadores de razó puede ser más efcetes que los estmadores drectos s los tamaños de muestra e cada estrato so lo sufcetemete grades como para que las varazas sea las apropadas se cumple las codcoes de optmzacó. Ha dos tpos de estmadores de razó (para o e el muestreo estratfcado: de razó separada de razó combada. Muestreo I 0
12 Estmadores de razó separada E las estmacoes de razó separada, la razó e cada estrato de la poblacó se estma por separado, se podera por los respectvos totales luego se suma sobre todos los estratos x se supoe que la verdadera razó permaece costate al pasar de u estrato a otro además se requere coocer,..,l Como la seleccó e cada estrato es aleatora smple, depedete tamaño sufcetemete grade ( se cumple que: f > ( V ( + ρ La prueba es medata Cuado los so pequeños puede poseer u sesgo o desprecable Muestreo I 03
13 Estmacó de razó combada Este estmador cosste e estmar prevamete st st luego acer ua sola estmacó estmada. Co los datos muestrales se calcula: st st x La estmacó de razó combada del total estmado es: st C st x st st dode st st La estmacó de C o requere del coocmeto de los totales por estrato so del total geeral, esta estmacó está meos sujeta a resgo de sesgo que de razó separada. e comprueba: V ( C > ( f ( + ρ para las estmacoes muéstrales de estas varazas se susttue los, los muestrales. Muestreo I 04 x por sus respectvas estmacoes st st
14 Estmadores de regresó Los estmadores de regresó (al gual que los de razó se justfca e el cremeto de la precsó de las estmacoes, que brda ate los estmadores drectos. Estos estmadores se utlza propamete cuado: a la relacó etre es leal o pasa por el orge b es meos costoso observar x que c se quere predecr valores partculares de. El estmador de de regresó es: + b x para el total dode b es ua estmacó del coefcete de regresó leal de e x. Muestreo I 05
15 Estmadores de regresó El fudameto de esta estmacó es que s x está por debajo del promedo, també deberíamos esperar que lo estuvera por la catdad x b debdo a la regresó de e x. Los estmadores de regresó tee las msmas propedades que los de razó, so cosstetes e el setdo de cocra pero suele ser sesgados, pero la razó del sesgo al error estádar se reduce cuado es grade e este caso se puede usar la aproxmacó ormal. b se obtee por estmacoes muéstrales, o se obtee de los valores muéstrales o co formacó preva a la muestra, así, se dstgue dos casos:. Estmadores de regresó co b preasgada. Estmadores de regresó co b calculada e la muestra Muestreo I 06
16 Estmador de regresó co b presasgada b 0 es ua costate calculada co formacó pre-muestral, el estmador de regresó leal es: + bo x el cual es sesgado co varaza: f [ ] V bo x f V ( bo + bo f cuo estmador sesgado es V ( s bos + bo s El valor de b o que mmza V s b o B es s s calculado sobre la poblacó. Muestreo I 07
17 Estmador de regresó co b estmada e la muestra b o es coocda prevo a la muestra, debe calcularse co los datos muéstrales por: b ( ( x ( x b así calculada, es u estmador, ua varable aleatora para podeo utlzar adecuadamete debemos exge que la relacó etre sea aproxmadamete leal, la varaza alrededor de la líea de regresó sea costate (omoscedastcdad, que el tamaño de la muestra sea grade el muestreo sea aleatoro smple. E este caso: + b x f cua varaza es V ρ dode ρ cua estmacó muestral válda para muestras grades es: V ( f ( [( b( x x ] ( x x Muestreo I 08
18 Comparacó etre los estmadores de razó, regresó smples ( grade es sufcetemete grade de modo que V ( V ( aproxmadas sea váldas, se cumple que bajo certas codcoes V < V V ( < V V ( < V como vmos ecordemos ( ρ Etoces V < V V V ( V V < ( + ρ V e cumple para todo ρ es gual para ρ 0 s ρ < ρ o equvalete > B > ( ρ 0 o 0 así la es mas precsa que a meos que B esto ocurre s la regresó pasa por el orge. Muestreo I 09
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