SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43

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1 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a Págia. a) Es la sucesió de los úmeros impares:, 5, 7 b) Se suma al valor absoluto del úmero y se cambia de sigo: 7, 0, c) Se suma e cada paso ua uidad más: 8, 6, 5 d) Se divide por : 6, 8,. a a a a 0, a 5 0, 5 9 a 9 0, Págia 5 Razoa El castillo de u piso tiee cartas. El de dos pisos 9 + ( + ) cartas El de tres pisos ( + + ) cartas Por lo tato: + a Por lo tato: a 5 5 cartas a 0 65 cartas a 5 60 cartas Si u castillo tiee 975 cartas, el úmero de cartas verifica: ; 5, 6 ; U castillo co 975 cartas será de 5 pisos.. a) PA co d 6 b) ( 5) ( ) PA co d c) 8, ,5 5,5 7,5 PA co d,5 d) 0 6 pero 0,,6 No es PA e) PA co d f) pero ( ) No es PA 5. a 8 ( ) a 8 ( ) 6. Se verifica: 9 a + d ; d; a + 5d d : ; 9 a + ; a 9 8 Por lo tato: a + ( ) a a a S d 6 a 6 a Por lo tato: S 0 9. Se verifica: d 5.80 [ ] d; d 60 : 0 El térmio geeral es 8.50 ; -0

2 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a a 8 + ( ); Y fialmete: a (7 ) S 0 Págia 7 [ ( ) ] 95. a) 6 : pero 0 : 6,6 o es PG b) 6 : ( ) : 6 : ( ) PG co r c) 5 : 5 : 5 / 5 : / 5 PG co r / 5 d) 0,9 : 9 0,09 : 0,9 0,009 : 0,09 0, PG co r 0,. a ( / ) a ( / ) a 5 ( / ) / 6. S S 6 / f) a 0 8,; a 00 98,09569; a ,0099; ; a ,000 Es divergete. 6. a 0.000, Procediedo como e la actividad aterior cocluimos que el límite de la sucesió es y, por lo tato: L a , a 00,000 Por lo tato: L a 00 (,000) 0, La represetació es la siguiete: Págia 5. a) a 0 0,5; a 00 0,005; a.000 0,00005; a , Coverge hacia L 0. b) a 0,5; a 00,905; a.000,99005; a 0.000, Coverge hacia L. c) a 0,; a 00,0; a.000,00; a 0.000,000 Coverge hacia L. d) a 0,9; a 00,99; a.000,999; a 0.000,9999 Coverge hacia L. e) a 0 0, ; a 00 0, ; a.000 0, ; a , Coverge hacia L 0. No tiee límite. Es ua sucesió que tiee ua oscilació ifiita. 9. Los térmios so:,,, 5, 8,,, 7, 0,. La sucesió es divergete pues es creciete y o está acotada. -

3 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a 0.Los primeros térmios de la sucesió so los siguietes: /, /, / 8, / 6, /,... b) + c) + d) e) + f) 0. a) + b) c) + d) La sucesió tiede a 0. Es covergete..actividad persoal. Por ejemplo, se multiplica ( ) por ua sucesió costate..actividad persoal. Por ejemplo, se multiplica ( ) por ua sucesió divergete..tiee límite..actividad persoal: a) Por ejemplo, a k dode k es u úmero cualquiera tiede a k. b) Ua sucesió costate. Págia Págia 5. a) + b) 0 c) / d) / 9 /. a) b) 9 / + +. a) + ( + ) (a + b ), 5,, 9, 0,,... (a b ) 0,, 7,, 0, 8,... (a b ),, 8, 8, 5, 88, (a + b ) (a b ) (a b ) (a / b ) 5, /, / 5, / 7, 7 / 9, 0 /,... 8.Para el valor de para el que b 0: 5 + 0;, Por lo tato, o existe el cociete para y. Págia 9. a) 5 l im 0 ( + ) l im b) l im l im c)

4 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a l im l im 5 d) l im. a) / / + 5 l im b) Págia a) lim + lim + e e + + b) lim e lim + + e e + c) d) lim lim + e e lim + e Págia 8 6. a) x 5 b) x 6 c) x d) x ( / ) 6 / 6 0, / e) x / x 7. a) log a x + log a y + log a z b) log a x + log a y + log a z log a x / log a x / + log a y + log a z c) log a x + log a y log a z / 8. a) log log 0,90 b) log log,908 c) log log,0 d) log ( ) / log / log / 0,505 0,85 0,89 e) log ( ) log + log 0,90 + 0,95,857 f) log log 0,90, 0,58 Págia. Es la expresió que permite averiguar el valor de u térmio sabiedo el lugar que éste ocupa e la sucesió. No todas tiee térmio geeral.. Sucesió e la cual cada térmio se obtiee sumado u úmero fijo al aterior. a a + d a a + d a + d... a a + ( )d. S ( a a ) + La sucesió de los múltiplos de 5 es la progresió aritmética tal que a 5 y d 5: [ ] S Sucesió e la que cada térmio se obtiee multiplicado por u úmero fijo el térmio aterior: a a r a a r a r... a a r -

5 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a a 5. S a r r Las potecias de forma ua progresió geométrica tal que a 0 y r. 0 S a 6. Se puede calcular cuado r < : S r b) 6,, 6, 8, c) /, 5, 9 /,, 7 /.a) a 7. Ua sucesió es creciete si cada térmio es meor o igual que el siguiete. Defiimos sucesió decreciete de forma aáloga. Ua sucesió está acotada superiormete cuado existe u úmero M mayor o igual que todos los térmios de la sucesió. Aálogamete defiimos sucesió acotada iferiormete. Ua sucesió es acotada cuado está acotada superior e iferiormete. Ua sucesió es covergete cuado existe u úmero real al que se aproxima cada vez más a medida que toma valores cada vez mayores. Ua sucesió es divergete cuado para todo úmero positivo M existe u a partir del cual todos los elemetos de la sucesió so mayores que M (límite + ) o para cuado todo úmero egativo M existe u a partir del cual todos los elemetos de la sucesió so meores que M (límite ). 8. Si el grado del umerador es mayor que el del deomiador, el límite es + si los coeficietes de los térmios de mayor grado tiee el mismo sigo y e caso cotrario. Si umerador y deomiador tiee el mismo grado, el límite es el cociete etre los coeficietes de los térmios de mayor grado. Si el grado del umerador es meor que el del deomiador, el límite es Es el expoete al que hay que elevar a para obteer el úmero. Actividad persoal. 0.No existe logaritmos de úmeros egativos i de 0. log a 0 para todo a. log a a para todo a. log a x log a y x y.a),, 7,, 5 b) a 8 c) a ( ) 00 -

6 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a.a) a + 7 ( ) a a b) S [ ( + 7 ) ].66.Las filas de lechugas forma u progresió aritmética de diferecia. Sabemos: a 8 a a 9 El térmio geeral de la progresió es: a 9 + ( ) E la primera fila hay 9 lechugas, e la última fila hay a lechugas. E total hay S lechugas dode: [ ] S 5.a) a 0,.096 a 9 0, 8, 0 7 a 0,, 0 0 0, b) S 6, 6 0, c) S 6, 6 0, 6. S 86 0,5 7. a) a + ( ) Costate. c) a 0 0,5 Decreciete d) a ( ) + Creciete. b) a 6 Oscilate. 8.a) a + a > 0 para todo Moótoa creciete b) a + a < 0 para todo Moótoa decreciete -5

7 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a c) a + a + 0 / < 0 a + a + > 0 para todo Moótoa creciete d) a + a 8 > 0 si > 0 Moótoa creciete 9.Actividad persoal. a) Los térmios de la sucesió so egativos. Cualquier úmero positivo es cota superior. b) No tiee cotas superiores. c) Es decreciete y el primer térmio es,. Cualquier úmero mayor que, es cota superior. d) No tiee cotas superiores. 5.a) + b) c) + d) 6. lim a a) / / lim b b) ( / ) / c) / + (+ ) + d) ( / ) (+ ) lim c + 0.Actividad persoal. a) Los térmios de la sucesió so positivos. Cualquier úmero egativo es cota iferior. b) Es decreciete y tiede a. Dicho límite y cualquier úmero meor que él es ua cota iferior..actividad persoal. Es creciete y su primer térmio es y tiede a. Cualquier M es cota superior y cualquier M es cota iferior. e) + (+ ) + f) (+ ) + g) / ( / ) / h) / i) / + 0 j) ( / ) 8 / k) / ( / ) l) / (+ ) m) / / (+ ) 0 ) (+ ) Págia.(a + b ) 7 (a b ) (a b ) + + (a / b ) ( + ) / ( ) No existe para..a) b) + c) + d) + e) f).a) + b) + c) d) e) + f) + ñ) / (+ ) 0 o) / (+ ) 0 p) q) 7.a) + b) / c) d) e) f) 0 8.a) + b) / c) d) + e) f) 6 / 8 9. a) -6

8 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a l im l im b) + + l im + l im + c) l im l im d) + + l im 0.a) 56 + l im b) 0 c) 0 d) / lim + e. a) e lim b) lim e lim + e c) lim + + d) + lim + lim + e e + + lim + e e) lim + + f) g) h) + + lim + + e e lim + + lim + e + + lim e 6 6 / lim + e +. a) 6 79 x 6 b) ( / ) 8 x c) 5 65 x 65 d) 5 65 x 5 e) / 56 x / f) 5 / 5 / 5 x /,5-7

9 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a g) x h) ( / 9) / 8 x / 9 0, i) 9 x 8 9 j) 5 x 8 k) ( / ) 6 / Por lo tato: x / l) 6 / x 6.a) log a + log a x + log a y + log a z b) log a x + log a y (log a x) / (log a z) / (log a x) / + log a y (log a z) / c) log a x + log a z log a y (log a z) / log a x log a y + (log a z) / d) (log a ) / + log a x (log a y) / (log a z) / e) (log a x) / + 5 (log a y) / + 7 (log a z) / f) 5 log a x + 0 log a y + 5 (log a z) / Págia. a) PG de r / / 9, / 7, / 8 b) PG de r,, c), /,, 5 / PA de d 0,5, 7 /, d) PA de d 5, 7, 5. El diero que da Jua al ambicioso sigue ua PA co a y d. 5 S 5 [ + ( + ) ] 0 El diero que el ambicioso da a Jua sigue ua PG co a 0, y r : 5 0, 0, S , Al fial de la quicea, el saldo es favorable a Jua e 6.55, 0 6.,. 6. El área del cuadrado de lado m es de m. La razó etre las áreas de los cuadrados de la sucesió es /, por lo tato, la suma de las áreas de los ifiitos cuadrados es: S 8 / m 7. Actividad persoal. 8. Veamos: log x y log y y / log y x log x y / log y x Por lo tato: log x y log y x ( / log y x) log y x 9. a) log 9 (m ) log 9 m log 9 m log m / log 9 / Por lo tato: log 9 (m ) b) log ( ) log log log / log 6 / Por lo tato: log ( ) 9 0. a) log (0 / ) log 0 log 0,0 0,699 b) log + 5 log log 5 0,55 + 0, 699,505 c) log log 5 log 5,98 d) log log 9 log,908 e) log log 8 log 7 7 log,07 f) (log 5) / (log 8) / 0,95 (log + log ) / 0,95 (log ) / log 0,78 Autoevaluació. Es ua PA co a y co d : [ ] ; 90 0; 0, 9 / Se debe tomar 0 térmios.. Si está e PA, llamamos a las dimesioes: x d, x, x + d Por ua parte teemos: x d + x + x + d; x; ; -8

10 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a x 7 Por otra parte: 80 (7 d) 7 (7 + d); 80 7d ; d 6 / 7 9; d ± Las dimesioes so, 7 y 0.. Es ua PG co a / y co r / : 5.8 ±.0. ; Probamos co los úmeros aturales hasta que llegamos a 6, que cumple la ecuació, por lo tato, para que el producto sea / 5.8 se debe multiplicar 6 térmios. Por otra parte: / 8 S /. Sea cualquier úmero atural o ulo: 9 a + a ( + ) El deomiador es positivo, por lo tato, a + a < < 0 e los casos e los que 9 < ,05; 0,55 0 ( 0,55;,05) y como < 0, teemos que 9 < 0 ( 0,55;,05). Por lo tato, la sucesió o es creciete pues lo es sólo a partir de a) Estrictamete creciete ; b) Estrictamete creciete c) Decreciete d) Los putos represetados forma ua sucesió estrictamete creciete, auque teiedo e cueta que a a + 7, la sucesió es decreciete a partir de a 8. -9

11 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a 6. Actividad persoal. La sucesió es estrictamete creciete y tiede a. 7. a) 0 b) (+ ) 0 c) d) lim + lim a) (+ ) b) Por lo tato, el límite que buscamos vale e 7 /. 0. log a + log b + (log c) / + (log d) / (log e) / / (log f) /. a) 0,5 x b), x, c) No existe la solució pues la base debería ser u úmero real y positivo diferete de. 5. 5log log log.000 log , , ,5 0,6965-0